Katika kazi zote B6 imewashwa nadharia ya uwezekano, ambazo zinawasilishwa ndani Fungua benki ya kazi kwa, unahitaji kupata uwezekano tukio lolote.
Unahitaji kujua moja tu fomula, ambayo hutumiwa kuhesabu uwezekano:
Katika fomula hii p - uwezekano wa tukio,
k- idadi ya matukio ambayo "yanatutosheleza", kwa lugha nadharia ya uwezekano wanaitwa matokeo mazuri.
n- idadi ya matukio yote yanayowezekana, au idadi ya matokeo yote yanayowezekana.
Kwa wazi, idadi ya matukio yote iwezekanavyo ni kubwa kuliko idadi ya matokeo mazuri, hivyo uwezekano ni thamani ambayo ni ndogo kuliko au sawa na 1.
Kama uwezekano thamani ya tukio ni 1, ambayo ina maana kwamba tukio hili hakika litatokea. Tukio kama hilo linaitwa kuaminika. Kwa mfano, ukweli kwamba baada ya Jumapili kutakuwa na Jumatatu, kwa bahati mbaya, ni tukio la kuaminika na uwezekano wake ni sawa na 1.
Shida kubwa zaidi katika kutatua shida huibuka kwa kupata nambari k na n.
Kwa kweli, kama wakati wa kutatua shida zozote, wakati wa kutatua shida nadharia ya uwezekano unahitaji kusoma kwa uangalifu hali hiyo ili kuelewa kwa usahihi kile kilichopewa na kile unachohitaji kupata.
Hebu tuangalie mifano kadhaa ya kutatua matatizo kutoka kutoka kwa Open Task Bank kwa .
Mfano 1. Katika jaribio la nasibu, kete mbili zimeviringishwa. Tafuta uwezekano kuwa jumla itakuwa pointi 8. Zungusha matokeo hadi mia.
Acha kete ya kwanza isonge hatua moja, kisha kete ya pili inaweza kukunja chaguzi 6 tofauti. Kwa hivyo, kwa kuwa kifo cha kwanza kina pande 6 tofauti, jumla ya chaguzi tofauti ni 6x6 = 36.
Lakini hatujaridhika na kila kitu. Kulingana na hali ya tatizo, jumla ya pointi zilizotolewa zinapaswa kuwa sawa na 8. Hebu tutengeneze jedwali la matokeo mazuri:
Tunaona kwamba idadi ya matokeo ambayo yanatufaa ni 5.
Kwa hivyo, uwezekano kwamba jumla ya alama 8 zitaonekana ni 5/36=0.13(8).
Mara nyingine tena tunasoma swali la tatizo: matokeo lazima yamezungukwa hadi mia.
Hebu tukumbuke kanuni ya kuzunguka.
Tunahitaji kuzunguka hadi mia moja iliyo karibu. Ikiwa katika nafasi inayofuata baada ya mia (hiyo ni, mahali pa elfu) kuna nambari ambayo ni kubwa kuliko au sawa na 5, basi tunaongeza 1 kwa nambari katika nafasi ya mia; ikiwa nambari hii ni chini ya 5, basi nambari katika nafasi ya mia imesalia bila kubadilika.
Kwa upande wetu, nambari katika nafasi ya elfu ni 8, kwa hivyo tunaongeza nambari 3, ambayo iko katika nafasi ya mia, kwa 1.
Kwa hivyo, p=5/36 ≈0.14
Jibu: 0.14
Mfano 2. Wanariadha 20 wanashiriki katika michuano ya gymnastics: 8 kutoka Urusi, 7 kutoka Marekani, wengine kutoka China. Agizo ambalo wana mazoezi ya viungo hufanya imedhamiriwa na kura. Tafuta uwezekano kwamba mwanariadha anayeshindana kwanza anatoka Uchina.
Katika tatizo hili, idadi ya matokeo iwezekanavyo ni 20 - hii ni idadi ya wanariadha wote.
Wacha tupate idadi ya matokeo mazuri. Ni sawa na idadi ya wanariadha wa kike kutoka China.
Hivyo,
Jibu: 0.25
Mfano 3: Kwa wastani, kati ya pampu 1000 za bustani zilizouzwa, 5 zimevuja. Pata uwezekano kwamba pampu moja iliyochaguliwa kwa nasibu kwa udhibiti haivuji.
Katika tatizo hili n=1000.
Tunavutiwa na pampu ambazo hazivuja. Nambari yao ni 1000-5=995. Wale.
Aliacha jibu Mgeni
Kwa kete moja hali ni rahisi sana. Acha nikukumbushe kwamba uwezekano unapatikana kwa formula P=m/n
P
=
m
n
, wapi n
n
ni idadi ya matokeo yote ya kimsingi yanayowezekana kwa usawa ya jaribio linalohusisha kurusha mchemraba au kete, na m
m
- idadi ya matokeo yanayopendelea tukio hilo.
Mfano 1: Kifa hutupwa mara moja. Kuna uwezekano gani kwamba idadi hata ya alama imevingirwa?
Kwa kuwa kufa ni mchemraba (pia wanasema kufa kwa kawaida, ambayo ni, kufa kwa usawa ili kutua pande zote na uwezekano sawa), mchemraba una nyuso 6 (na idadi ya alama kutoka 1 hadi 6, kawaida huonyeshwa. kwa pointi), basi na jumla ya idadi ya matokeo katika tatizo n=6
n
=
6
. Matokeo pekee ambayo yanapendelea tukio ni yale ambapo upande ulio na alama 2, 4 au 6 (hata nambari tu) unaonekana; kuna m=3 pande kama hizo.
m
=
3
. Kisha uwezekano unaohitajika ni P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.
Mfano 2. Kifo hutupwa. Tafuta uwezekano wa kukunja angalau pointi 5.
Tunasababu kwa njia sawa na katika mfano uliopita. Jumla ya idadi ya matokeo yanayowezekana kwa usawa wakati wa kurusha kufa n=6
n
=
6
, na sharti "angalau pointi 5 zimefungwa", yaani, "ama pointi 5 au 6 zimevingirishwa" inatimizwa na matokeo 2, m=2
m
=
2
. Uwezekano unaohitajika ni P=2/6=1/3=0.333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.
Sioni hata maana ya kutoa mifano zaidi, hebu tuendelee kwenye kete mbili, ambapo kila kitu kinapata kuvutia zaidi na ngumu.
Kete mbili
Linapokuja suala la matatizo yanayohusisha kukunja kete 2, ni rahisi sana kutumia jedwali la bao. Kwa usawa, tunapanga idadi ya pointi zilizoanguka kwenye kete ya kwanza, na kwa wima, idadi ya pointi zilizoanguka kwenye kete ya pili. Wacha tupate kitu kama hiki (mimi kawaida huifanya katika Excel, unaweza kupakua faili hapa chini):
meza ya pointi kwa rolling 2 kete
Ni nini kwenye seli za meza, unauliza? Na hii inategemea ni shida gani tutasuluhisha. Kutakuwa na kazi kuhusu jumla ya pointi - tutaandika jumla huko, kuhusu tofauti - tutaandika tofauti na kadhalika. Tuanze?
Mfano 3: Kete 2 hutupwa kwa wakati mmoja. Tafuta uwezekano kuwa jumla itakuwa chini ya pointi 5.
Kwanza, hebu tuangalie jumla ya idadi ya matokeo ya jaribio. tulipotupa kifo kimoja, kila kitu kilikuwa wazi, pande 6 - matokeo 6. Tayari kuna kete mbili hapa, kwa hivyo matokeo yanaweza kuwakilishwa kama jozi za nambari zilizoamriwa za fomu (x,y)
x
,
y
, wapi x
x
- ni alama ngapi zilivingirishwa kwenye kufa kwa kwanza (kutoka 1 hadi 6), y
y
- ni pointi ngapi zilivingirishwa kwenye kete ya pili (kutoka 1 hadi 6). Ni wazi, kutakuwa na n=6⋅6=36 jozi kama hizo za nambari
n
=
6
⋅
6
=
36
(na seli 36 haswa kwenye jedwali la matokeo zinalingana nazo).
Sasa ni wakati wa kujaza meza. Katika kila seli tunaingiza jumla ya idadi ya alama zilizovingirwa kwenye kete ya kwanza na ya pili na tunapata picha ifuatayo:
jedwali la jumla ya pointi wakati wa kutupa kete 2
Sasa jedwali hili litatusaidia kupata idadi ya matokeo yanayofaa kwa hafla hiyo "jumla ya alama chini ya 5 zitaonekana." Ili kufanya hivyo, tunahesabu idadi ya seli ambazo thamani ya jumla ni chini ya 5 (yaani, 2, 3 au 4). Kwa uwazi, hebu tupake rangi seli hizi, kutakuwa na m=6
m
=
6
:
jedwali la jumla ya pointi chini ya 5 wakati wa kutupa kete 2
Kisha uwezekano ni: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.
Mfano 4. Kete mbili hutupwa. Tafuta uwezekano kwamba bidhaa ya idadi ya alama inaweza kugawanywa na 3.
Tunaunda meza ya bidhaa za alama zilizovingirwa kwenye kete ya kwanza na ya pili. Mara moja tunaangazia nambari hizo ambazo ni nyingi za 3:
Jedwali la bidhaa za pointi wakati wa kutupa kete 2
Kilichobaki ni kuandika kuwa jumla ya matokeo ni n=36
n
=
36
(tazama mfano uliopita, hoja ni sawa), na idadi ya matokeo mazuri (idadi ya seli zenye kivuli kwenye jedwali hapo juu) m=20
m
=
20
. Kisha uwezekano wa tukio utakuwa sawa na P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.
Kama unaweza kuona, aina hii ya shida, kwa maandalizi sahihi (hebu tuangalie shida kadhaa zaidi), zinaweza kutatuliwa haraka na kwa urahisi. Kwa aina mbalimbali, hebu tufanye kazi moja zaidi na meza tofauti (meza zote zinaweza kupakuliwa chini ya ukurasa).
Mfano 5: Kifo hutupwa mara mbili. Pata uwezekano kwamba tofauti katika idadi ya alama kwenye kete ya kwanza na ya pili itakuwa kutoka 2 hadi 5.
Wacha tuandike jedwali la tofauti za alama, onyesha seli ndani yake ambayo thamani ya tofauti itakuwa kati ya 2 na 5:
jedwali la tofauti katika pointi wakati wa kutupa kete 2
Kwa hivyo, jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi yanayowezekana ni n=36
n
=
36
, na idadi ya matokeo yanayofaa (idadi ya seli zenye kivuli kwenye jedwali lililo hapo juu) m=10
m
=
10
. Kisha uwezekano wa tukio utakuwa sawa na P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.
Kwa hiyo, katika kesi tunapozungumzia juu ya kutupa kete 2 na tukio rahisi, unahitaji kujenga meza, chagua seli zinazohitajika ndani yake na ugawanye idadi yao kwa 36, hii itakuwa uwezekano. Mbali na matatizo juu ya jumla, bidhaa na tofauti ya idadi ya pointi, pia kuna matatizo kwenye moduli ya tofauti, idadi ndogo na kubwa zaidi ya pointi zilizotolewa (utapata meza zinazofaa kwenye faili ya Excel).
Rudi mbele
Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.
Teknolojia za elimu: Teknolojia ya ufundishaji kwa maelezo na vielelezo, teknolojia ya kompyuta, mbinu inayomlenga mtu katika kujifunza, teknolojia za kuokoa afya.
Aina ya somo: somo katika kupata maarifa mapya.
Muda: Somo 1.
Daraja: daraja la 8.
Malengo ya somo:
Kielimu:
- kurudia ustadi wa kutumia formula kupata uwezekano wa tukio na kufundisha jinsi ya kuitumia katika shida na kete;
- fanya hoja za kuonyesha wakati wa kutatua matatizo, tathmini usahihi wa kimantiki wa hoja, tambua hoja zisizo sahihi kimantiki.
Kielimu:
- kukuza ujuzi katika kutafuta, kuchakata na kuwasilisha habari;
- kukuza uwezo wa kulinganisha, kuchambua na kufikia hitimisho;
- kukuza ustadi wa uchunguzi na mawasiliano.
Kielimu:
- kukuza usikivu na uvumilivu;
- kuunda ufahamu wa umuhimu wa hisabati kama njia ya kuelewa ulimwengu unaotuzunguka.
Vifaa vya somo: kompyuta, multimedia, alama, kifaa cha nakala ya mimio (au ubao mweupe unaoingiliana), bahasha (ina kazi ya kazi ya vitendo, kazi ya nyumbani, kadi tatu: njano, kijani, nyekundu), mifano ya kete.
Mpango wa Somo
Wakati wa kuandaa.
Katika somo lililopita tulijifunza kuhusu formula ya uwezekano wa classical.
Uwezekano P wa kutokea kwa tukio A ni uwiano wa m hadi n, ambapo n ni idadi ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio, na m ni idadi ya matokeo yote yanayofaa..
Fomula ni ile inayoitwa ufafanuzi wa kitamaduni wa uwezekano kulingana na Laplace, ambao ulitoka kwa uwanja wa kamari, ambapo nadharia ya uwezekano ilitumiwa kuamua matarajio ya kushinda. Fomula hii inatumika kwa majaribio yenye idadi maalum ya matokeo yanayowezekana kwa usawa.
Uwezekano wa tukio = Idadi ya matokeo mazuri / idadi ya matokeo yote yanayowezekana kwa usawa
Kwa hivyo uwezekano ni nambari kati ya 0 na 1.
Uwezekano ni 0 ikiwa tukio haliwezekani.
Uwezekano ni 1 ikiwa tukio ni hakika.
Hebu tutatue tatizo kwa mdomo: Kuna vitabu 20 kwenye rafu ya vitabu, 3 kati yake ni vitabu vya kumbukumbu. Je, kuna uwezekano gani kwamba kitabu kilichochukuliwa kutoka kwenye rafu hakitakuwa kitabu cha kumbukumbu?
Suluhisho:
Jumla ya matokeo yanayowezekana ni 20
Idadi ya matokeo mazuri - 20 - 3 = 17
Jibu: 0.85.
2. Kupata maarifa mapya.
Sasa hebu turudi kwenye mada ya somo letu: "Uwezekano wa matukio", hebu tusaini kwenye daftari zetu.
Kusudi la somo: jifunze kutatua shida juu ya kupata uwezekano wakati wa kutupa kete au kete 2.
Mada yetu ya leo inahusiana na kete au pia inaitwa kete. Kete zimejulikana tangu nyakati za zamani. Mchezo wa kete ni moja ya kongwe zaidi; mifano ya kwanza ya kete ilipatikana huko Misiri, na ni ya karne ya 20 KK. e. Kuna aina nyingi, kutoka kwa rahisi (yule anayetupa pointi nyingi hushinda) hadi ngumu, ambayo unaweza kutumia mbinu tofauti za mchezo.
Mifupa ya zamani zaidi ni ya karne ya 20 KK. e., iliyogunduliwa huko Thebes. Hapo awali, mifupa ilitumika kama zana ya kusema bahati. Kulingana na uchunguzi wa kiakiolojia, kete zilichezwa kila mahali katika pembe zote za ulimwengu. Jina linatokana na nyenzo asili - mifupa ya wanyama.
Wagiriki wa kale waliamini kwamba watu wa Lydia waligundua mifupa, wakikimbia njaa, ili angalau kuchukua mawazo yao na kitu.
Mchezo wa kete ulionekana katika hadithi za kale za Misri, Greco-Roman, na Vedic. Imetajwa katika Biblia, "Iliad", "Odyssey", "Mahabharata", mkusanyiko wa nyimbo za Vedic "Rigveda". Katika makundi ya miungu, angalau mungu mmoja alikuwa mmiliki wa kete kama sifa muhimu http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .
Baada ya kuanguka kwa Dola ya Kirumi, mchezo huo ulienea kote Ulaya, na ulikuwa maarufu sana wakati wa Zama za Kati. Kwa kuwa kete hazikutumiwa tu kwa kucheza, lakini pia kwa bahati nzuri, kanisa lilijaribu kurudia kupiga marufuku mchezo huo; adhabu za hali ya juu zaidi ziligunduliwa kwa kusudi hili, lakini majaribio yote yalimalizika kwa kutofaulu.
Kulingana na data ya akiolojia, kete pia zilichezwa katika Rus ya kipagani. Baada ya ubatizo, Kanisa la Othodoksi lilijaribu kutokomeza mchezo huo, lakini kati ya watu wa kawaida uliendelea kuwa maarufu, tofauti na Ulaya, ambapo wakuu wa juu zaidi na hata makasisi walikuwa na hatia ya kucheza kete.
Vita vilivyotangazwa na mamlaka za nchi mbalimbali kwenye mchezo wa kete vilizua mbinu nyingi tofauti za kudanganya.
Katika Enzi ya Mwangaza, hobby ya kucheza kete polepole ilianza kupungua, watu waliendeleza vitu vipya vya kupendeza, na wakapendezwa zaidi na fasihi, muziki na uchoraji. Siku hizi, kucheza kete sio kawaida sana.
Kete sahihi hutoa nafasi sawa ya kutua upande. Kwa kufanya hivyo, kando zote lazima ziwe sawa: laini, gorofa, kuwa na eneo sawa, roundings (kama ipo), mashimo lazima kuchimba kwa kina sawa. Jumla ya pointi kwa pande tofauti ni 7.
Faili ya hisabati, ambayo hutumiwa katika nadharia ya uwezekano, ni picha ya hisabati ya kufa kwa kawaida. Hisabati mfupa hauna ukubwa, hakuna rangi, hakuna uzito, nk.
Wakati wa kutupa kucheza mifupa(mchemraba) yoyote ya nyuso zake sita zinaweza kuanguka, i.e. yoyote ya matukio- kupoteza kutoka kwa pointi 1 hadi 6 (pointi). Lakini hakuna mbili na nyuso nyingi haziwezi kuonekana kwa wakati mmoja. Vile matukio zinaitwa haziendani.
Fikiria kesi wakati kifo 1 kinatupwa. Wacha tufanye nambari 2 kwa namna ya meza.
Sasa fikiria kesi ambapo kete 2 zimevingirishwa.
Ikiwa kifo cha kwanza kinazunguka pointi moja, basi kifo cha pili kinaweza kuzunguka 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tunapata jozi (1;1), (1;2), (1;3), (1 ;4), (1;5), (1;6) na kadhalika kwa kila uso. Kesi zote zinaweza kuwasilishwa kwa namna ya jedwali la safu 6 na safu 6:
Jedwali la Matukio ya Awali
Kuna bahasha kwenye dawati lako.
Chukua karatasi na kazi kutoka kwa bahasha.
Sasa utakamilisha kazi ya vitendo kwa kutumia jedwali la hafla za kimsingi.
Onyesha kwa kuweka kivuli matukio yanayopendelea matukio:
Kazi ya 1. "Idadi sawa ya pointi ilianguka";
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Kazi ya 2. "Jumla ya pointi ni 7";
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Kazi ya 3. "Jumla ya pointi sio chini ya 7."
Je, "si chini" inamaanisha nini? (Jibu ni "kubwa kuliko au sawa na")
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Sasa hebu tupate uwezekano wa matukio ambayo matukio mazuri yaliwekwa kivuli katika kazi ya vitendo.
Hebu tuandike kwenye daftari namba 3
Zoezi 1.
Jumla ya idadi ya matokeo - 36
Jibu: 1/6.
Jukumu la 2.
Jumla ya idadi ya matokeo - 36
Idadi ya matokeo mazuri - 6
Jibu: 1/6.
Jukumu la 3.
Jumla ya idadi ya matokeo - 36
Idadi ya matokeo mazuri - 21
P = 21/36=7/12.
Jibu: 7/12.
№4. Sasha na Vlad wanacheza kete. Kila mtu anakunja kifo mara mbili. Yule aliye na idadi kubwa ya pointi atashinda. Ikiwa pointi ni sawa, mchezo unaisha kwa sare. Sasha alikuwa wa kwanza kurusha kete, na akapata pointi 5 na pointi 3. Sasa Vlad anatupa kete.
a) Katika jedwali la matukio ya kimsingi, onyesha (kwa kuweka kivuli) matukio ya kimsingi ambayo yanapendelea tukio "Vlad atashinda."
b) Pata uwezekano wa tukio "Vlad atashinda".
3. Dakika ya elimu ya kimwili.
Ikiwa tukio ni la kuaminika, sote tunapiga makofi pamoja,
Ikiwa tukio hilo haliwezekani, sote tunaruka pamoja,
Ikiwa tukio ni la nasibu, tikisa kichwa chako / kushoto na kulia
"Kuna tufaha 3 kwenye kikapu (2 nyekundu, 1 kijani).
Nyekundu 3 zilitolewa kwenye kikapu - (haiwezekani)
Tufaha nyekundu lilitolewa kwenye kikapu - (nasibu)
Tufaha la kijani lilitolewa nje ya kikapu - (nasibu)
2 nyekundu na 1 ya kijani ilitolewa nje ya kikapu - (ya kuaminika)
Wacha tutatue nambari inayofuata.
Kifa cha haki kinaviringishwa mara mbili. Ni tukio gani linalowezekana zaidi:
A: "Mara zote mbili alama ilikuwa 5";
Swali: "Mara ya kwanza nilipata pointi 2, mara ya pili nilipata pointi 5";
S: "Wakati mmoja ilikuwa pointi 2, wakati mmoja ilikuwa pointi 5"?
Wacha tuchambue tukio A: jumla ya idadi ya matokeo ni 36, idadi ya matokeo mazuri ni 1 (5;5)
Wacha tuchambue tukio B: jumla ya idadi ya matokeo ni 36, idadi ya matokeo mazuri ni 1 (2;5)
Wacha tuchambue tukio C: jumla ya idadi ya matokeo ni 36, idadi ya matokeo mazuri ni 2 (2;5 na 5;2)
Jibu: tukio C.
4. Kuweka kazi ya nyumbani.
1. Kata maendeleo, gundi cubes. Ilete kwenye somo lako lijalo.
2. Fanya marudio 25. Andika matokeo kwenye jedwali: (katika somo linalofuata unaweza kutambulisha dhana ya mzunguko)
3. Tatua tatizo: Kete mbili hutupwa. Kuhesabu uwezekano:
a) "Jumla ya pointi ni 6";
b) "Jumla ya pointi si chini ya 5";
c) "Kifa cha kwanza kina alama nyingi kuliko cha pili."
Matatizo 1.4 - 1.6
Hali ya tatizo 1.4
Onyesha kosa katika "suluhisho" la tatizo: kete mbili hutupwa; pata uwezekano kwamba jumla ya alama zilizochorwa ni 3 (tukio A). "Suluhisho". Kuna matokeo mawili yanayowezekana ya mtihani: jumla ya pointi zilizotolewa ni 3, jumla ya pointi zilizotolewa si sawa na 3. Tukio A linapendekezwa na matokeo moja, jumla ya idadi ya matokeo ni mbili. Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika ni sawa na P (A) = 1/2.
Suluhisho la Tatizo 1.4
Hitilafu katika "suluhisho" hili ni kwamba matokeo katika swali hayawezekani kwa usawa. Suluhisho sahihi: jumla ya idadi ya matokeo yanayowezekana kwa usawa ni sawa (kila idadi ya alama zilizovingirishwa kwenye mchoro mmoja inaweza kuunganishwa na nambari zote za alama zilizovingirishwa kwenye mchoro mwingine). Miongoni mwa matokeo haya, ni matokeo mawili tu yanayopendelea tukio: (1; 2) na (2; 1). Hii ina maana kwamba uwezekano unaohitajika 
Jibu:
Hali ya tatizo 1.5
Kete mbili zinatupwa. Tafuta uwezekano wa matukio yafuatayo: a) jumla ya pointi zilizotolewa ni saba; b) jumla ya pointi zilizotolewa ni nane, na tofauti ni nne; c) jumla ya pointi zilizotolewa ni nane, ikiwa inajulikana kuwa tofauti yao ni nne; d) jumla ya pointi zilizovingirwa ni tano, na bidhaa ni nne.
Suluhisho la shida 1.5
a) Chaguzi sita kwenye fasihi ya kwanza, sita kwa ya pili. Chaguzi za jumla: (kulingana na sheria ya bidhaa). Chaguzi kwa jumla sawa na 7: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - chaguzi sita kwa jumla. Ina maana,
b) Kuna chaguzi mbili tu zinazofaa: (6,2) na (2,6). Ina maana,
c) Kuna chaguzi mbili tu zinazofaa: (2,6), (6,2). Lakini kuna chaguzi 4 zinazowezekana: (2,6), (6,2), (1,5), (5,1). Maana,.
d) Kwa jumla sawa na 5, chaguzi zifuatazo zinafaa: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Bidhaa ni 4 kwa chaguzi mbili tu. Kisha
Jibu: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18
Hali ya tatizo 1.6
Mchemraba, kingo zote ambazo zina rangi, hukatwa kwenye cubes elfu za ukubwa sawa, ambazo huchanganywa kabisa. Pata uwezekano kwamba mchemraba unaotolewa na bahati una nyuso za rangi: a) moja; b) mbili; saa tatu.
Suluhisho la tatizo 1.6
Jumla ya cubes 1000 ziliundwa. Cubes yenye nyuso tatu za rangi: 8 (hizi ni cubes za kona). Na nyuso mbili za rangi: 96 (kwa kuwa kuna kingo 12 za mchemraba na cubes 8 kwenye kila makali). Kete na kingo za rangi: 384 (kwa kuwa kuna nyuso 6 na kuna cubes 64 kwenye kila uso). Kilichobaki ni kugawanya kila kiasi kinachopatikana na 1000.
Jibu: a) 0.384; b) 0.096 c) 0.008