Mafunzo ya juu katika takwimu za hisabati. Wakufunzi wa takwimu za hisabati

Vichungi zaidi

Kutoka kwa mwalimu au mwanafunzi

Kwa mwalimu

Kwa mwanafunzi

Kwa mbali

Bei kwa saa

Kutoka

Kabla

kusugua

Onyesha

Na picha pekee

Na hakiki pekee

Imethibitishwa pekee

Mwanafunzi aliyehitimu

Mwalimu wa shule

Profesa

Mwalimu binafsi

Msemaji wa lungha ya asili

Zaidi ya miaka 10

Zaidi ya miaka 50

Takwimu:

Walimu 500 wamepatikana

2246 maoni iliyoachwa na wanafunzi

wastani wa ukadiriaji: 4,5 5 1 Wastani wa ukadiriaji wa wakufunzi unaopatikana kwa kichujio

Walimu 500 wamepatikana

Weka upya vichujio

Mtihani wa Jimbo la Umoja wa OGE (GIA). maandalizi ya Olimpiki kozi ya shule Algebra Jiometri ya uchambuzi Hisabati ya juu+8 Jiometri Combinatorics Algebra ya mstari Takwimu za hisabati Uchambuzi wa hisabati Hisabati Iliyotumika Nadharia ya uwezekano Trigonometry

Watoto wa miaka 6-7 Wanafunzi wa darasa la 1-11 Wanafunzi Watu wazima

m. Ozernaya m. Yugo-Zapadnaya m. Kuntsevskaya (Filyovskaya)

Alexander Alexandrovich

Mwalimu wa chuo kikuu Uzoefu wa miaka 17

kutoka 2,000 kusugua / saa

Mawasiliano ya bure

Kwa mwalimu

Mkufunzi mzuri sana na mwalimu mwenye talanta- anajua jinsi ya kuwasilisha programu kama hii hisabati ya juu Chuo kikuu ambacho kozi ya hisabati kutoka kwa jinamizi imekuwa ya kuudhi Panua umuhimu - licha ya ukweli kwamba kutoka kozi ya shule Mwanafunzi alijua kwa ujasiri mtaala wa darasa la 5-6 tu. Maoni yote (46)

Jiometri ya uchambuzi Calculus ya tofauti Uchambuzi wa Vector +33 Hisabati ya juu Jiometri Hisabati Tofauti Jiometri tofauti Milinganyo tofauti Combinatorics Algebra ya mstari Jiometri ya mstari Upangaji wa mstari Takwimu za hisabati Fizikia ya hisabati Mifano ya hisabati Uchambuzi wa hisabati Njia za suluhisho bora Mbinu za uboreshaji Udhibiti bora Hisabati Iliyotumika Sopromat Uchambuzi wa tensor Mitambo ya kinadharia Nadharia ya uwezekano Nadharia ya grafu Nadharia ya mchezo Nadharia ya uboreshaji Nadharia ya nambari Topolojia Trigonometry TFKP Milinganyo ya sehemu tofauti Equations ya fizikia ya hisabati Hisabati ya fedha Uchambuzi wa kiutendaji Uchumi

Wanafunzi wa darasa la 9-11 Wanafunzi Watu wazima

m. Dmitry Donskoy Boulevard

Alexey Vasilievich

Mwalimu wa chuo kikuu Uzoefu wa miaka 44

kutoka 1,500 kusugua / saa

Mawasiliano ya bure

Mkufunzi wa Takwimu za Hisabati

Kwa mwalimu

Daktari wa Fizikia sayansi ya hisabati. Inaongoza Mtafiti Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow (Kitivo cha Mechanics na Hisabati), Profesa wa Kitivo elimu ya ziada Panua MGIMO, alikuwa mwanachama wa tume za mitihani katika hisabati ya Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow, MGIMO, MGUDT.

Alexey Vasilievich ndiye mwalimu ambaye tumekuwa tukimtafuta kwa muda mrefu. Anajua jinsi ya kupata mbinu kwa mwanafunzi na kuwasilisha nyenzo za kielimu kwa ustadi. Maoni yote (29)

Wanafunzi wa darasa la 10-11 Wanafunzi

m. Ramenki

Aleksey Aleksandrovich

Mwalimu wa kibinafsi Uzoefu wa miaka 11

kutoka 1,600 kusugua / saa

Mawasiliano ya bure

Mkufunzi wa Takwimu za Hisabati

Mshindi wa Tuzo la Olympiad ya Lomonosov ya 2007 katika masomo - hisabati ya mdomo na maandishi, muundo. Mshiriki wa kozi maalum ya interfaculty matatizo ya olimpiad Panua Idara ya Uchambuzi wa Hisabati ya Mechanics na Hisabati ya Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow. Uzoefu wa kuendesha vilabu vidogo vya manyoya 2007-2012. Hisabati ya hiari katika Lyceum 1553. Mwalimu wa algebra, jiometri, sayansi ya kompyuta, kwa Kingereza katika Lyceum 1553 mnamo 2011. Kusaidia elimu ya watoto katika kambi za lugha nchini Uingereza na Malta 2011-2012. Miaka mitatu ya uzoefu wa usimamizi wa rejareja katika ofisi kuu benki kubwa zaidi katika CIS. Ninaendesha madarasa kwa kutumia kompyuta kibao ya picha ya Wacom na ubao mweupe mtandaoni (uliolipwa, ambao una uwezo wa kutumiwa na watu kadhaa kwa wakati mmoja, uhariri wa wakati mmoja, video ya pamoja na sauti). Baada ya somo, viungo vya chumba vinabaki - mwanafunzi daima anapata kile kilichoandikwa kwenye somo na anapata maelezo kwa muda wote wa kozi, vifaa vyote vilivyoandikwa kwenye ubao pia hutumwa kwa mteja katika muundo wa PDF. . Skype na chumba cha mtandaoni yenyewe hutumiwa kwa mawasiliano. Idadi ya wanafunzi waliotayarishwa kwa mitihani ni zaidi ya 100, iliyoandaliwa kwa OGE, Kuandikishwa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja katika lyceums katika MEPhI, Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow. Kuandaa wanafunzi kwa mitihani kutoka vyuo vikuu mbali mbali vya Chuo Kikuu cha Mechanics na Hisabati cha Jimbo la Moscow, Kitivo cha Fizikia, Kitivo cha Uchumi, Chuo Kikuu cha Pedagogical cha Jimbo la Moscow, Plekhanov, Chuo cha Fedha chini ya Rais, MGIMO, MEPhI, n.k. Ninawatayarisha watoto kwa Olympiads za All-Russian, Lomonosov na Vuzovsky chini ya Bauman na Mifi, MIPT. Kufundisha ndio shughuli yangu kuu. Pia ninajiandaa kujiunga na vyuo vya Kiingereza na Uswizi. Badilika mtihani wa umoja A-level kwa Kiingereza katika hisabati na fizikia. Kuandaa watoto wa shule kwa kufaulu Kiingereza OGE na Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Nilisoma na Alexey Alexandrovich, na kwa mwezi mmoja niliweza kujiandaa naye kwa kurudia uchambuzi wa hesabu. Alinieleza somo kwa uwazi na kwa uwazi, Panua Nilipita bila shida kumshukuru. Maoni yote (52)

OGE (GIA) kozi ya shule ya Mtihani wa Jimbo la Umoja Algebra Jiometri ya uchambuzi Hisabati ya juu Jiometri +12 Hisabati Tofauti Milinganyo tofauti Algebra ya mstari Jiometri ya mstari Takwimu za hisabati Uchambuzi wa hisabati Kwa Kingereza Nadharia ya uwezekano Nadharia ya grafu Mchezo nadharia ya Trigonometry Econometrics

Wanafunzi wa darasa la 1-11 Wanafunzi Watu wazima

m. Krasnogvardeyskaya

Maxim Alekseevich

Mwalimu wa kibinafsi Uzoefu wa miaka 9

kutoka 1,500 kusugua / saa

Mawasiliano ya bure

Mkufunzi wa Takwimu za Hisabati

Na mwalimu, na mwanafunzi, kwa mbali

Mhitimu wa Kitivo cha Mechanics na Hisabati cha Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow. Nina uzoefu wa kufanya kazi katika tasnia ya benki kama mchambuzi, na uzoefu wa kufanya kazi kama mchambuzi wa mifumo katika uwanja wa ukuzaji wa IT. Maarifa Kupanua programu, hifadhidata za uhusiano (sql). Aina ya kwanza katika mchezo wa chess. Nina uzoefu mzuri wa kufanya kazi na aina zote za wanafunzi: Watoto wa Shule (OGE, Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa, kuboresha utendaji wa kitaaluma) Wanafunzi (takriban sehemu zote za hisabati na ufundi wa hali ya juu) Watu wazima (darasa la mtu mwenyewe, usaidizi wa maswali ya kazi) .

Kozi ya nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. Sevastyanov B.A.

M.: Sayansi. Ch. mh. fizikia na hisabati lit., 1982.- 256 p.

Kitabu hiki kinatokana na kozi ya mwaka mzima ya mihadhara iliyotolewa na mwandishi kwa miaka kadhaa katika idara ya hisabati ya Kitivo cha Mechanics na Hisabati cha Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow. Dhana za kimsingi na ukweli wa nadharia ya uwezekano huletwa mwanzoni kwa mpango wa mwisho. Matarajio ya hisabati katika kesi ya jumla inafafanuliwa kwa njia sawa na kiungo cha Lebesgue, lakini msomaji hatarajiwi kujua lolote habari za awali juu ya ushirikiano wa Lebesgue.

Kitabu hiki kina sehemu zifuatazo: vipimo vya kujitegemea na minyororo ya Markov, nadharia za kikomo za Moivre-Laplace na Poisson, vigezo random, kazi za tabia na zinazozalisha, sheria ya idadi kubwa, theorem ya kikomo cha kati, dhana za msingi za takwimu za hisabati, kupima hypotheses ya takwimu, makadirio ya takwimu, vipindi vya kujiamini.

Kwa wanafunzi wa vyuo vikuu vya chini na vyuo vikuu wanaosoma nadharia ya uwezekano.

Umbizo: djvu/zip

Ukubwa: 2.5 7 MB

/Pakua faili

JEDWALI LA YALIYOMO
Dibaji 7
Sura ya 1. Nafasi ya uwezekano 9
§ 1. Mada ya nadharia ya uwezekano 9
§ 2. Matukio 12
§ 3. Nafasi ya uwezekano 16
§ 4. Nafasi kamili ya uwezekano. Ufafanuzi wa kawaida uwezekano 19
§ 5 Uwezekano wa kijiometri 23
Matatizo 24
Sura ya 2. Uwezekano wa masharti. Uhuru 26
§ 6. Uwezekano wa masharti 26
§ 7. Mfumo uwezekano kamili 28
§ 8. Fomula za Bayes 29
§ 9. Uhuru wa matukio 30
§ 10. Uhuru wa partitions, aljebra na aljebra.... 33
§ kumi na moja. Vipimo vya kujitegemea 35
Matatizo 39
Sura ya 3. Vigezo vya nasibu (mpango wa mwisho). 41
§ 12. Vigezo vya nasibu. Viashiria 41
§ 13. Matarajio ya hisabati 45
§ 14. Sheria za usambazaji wa pande nyingi 50
§ 15. Kujitegemea kwa vigezo nasibu 53
§ 10. Nafasi ya Euclidean ya ukuu wa nasibu. . . . ya 5
§ 17. Matarajio ya kihisabati yenye masharti 5E
§ 18. Ukosefu wa usawa wa Chebyshev. Sheria idadi kubwa.... 61
Matatizo 64
Sura ya 4. Punguza nadharia katika mpango wa Bernoulli. 65
§ 19. Usambazaji wa nambari mbili 65
§ 20. Nadharia ya Poisson 66
§ 21. Nadharia ya kikomo ya eneo la Moivre - Laplace. . 70
§ 22. Nadharia muhimu ya kikomo ya Moivre - Laplace 71
§ 23. Maombi ya nadharia za kikomo. 73
Matatizo 76
Sura ya 5. Markov Minyororo 77
§ 24. Mtihani wa utegemezi wa Markov 77
§ 25. Uwezekano wa mpito 78
§ 26. Nadharia ya uwezekano wa kuzuia 80
Matatizo 83
Sura ya 6. Vigezo vya nasibu (kesi ya jumla) 84
§ 27. Vigezo vya nasibu na usambazaji wao 84
§ 28. Usambazaji wa aina nyingi 92
§ 29. Kujitegemea kwa vigeu vya nasibu 96
Matatizo 98
Sura ya 7. Matarajio 100
§ 30. Ufafanuzi matarajio ya hisabati 100
§ 31. Fomula za kukokotoa matarajio ya hisabati 108
Matatizo 115
Sura ya 8. Kuzalisha kazi 117
§ 32. Vigezo vya nasibu kamili na vitendakazi vyake vya kuzalisha 117
§ 33. Matukio ya kiwandani 118
§ 34. Mali ya kuzidisha 120
§ 35. Nadharia ya mwendelezo 123
§ 36. Michakato ya matawi 125
Matatizo 127
Sura ya 9. Kazi za tabia 129
§ 37. Ufafanuzi na mali rahisi zaidi kazi za sifa 129
§ 38. Kanuni za ubadilishaji kwa vipengele bainishi 136
§ 39. Nadharia juu ya mawasiliano ya kuendelea kati ya seti ya kazi za sifa na seti ya kazi za usambazaji 140.
Matatizo 145
Sura ya 10. Nadharia ya kikomo cha kati 146
§ 40. Nadharia ya kikomo cha kati kwa masharti yanayofanana yanayosambazwa 146
§ 41. Nadharia ya Lyapunov 147
§ 42. Matumizi ya nadharia ya kikomo cha kati 150
Matatizo 153
Sura ya 11. Kazi za sifa za pande nyingi.154
§ 43. Ufafanuzi na sifa rahisi 154
§ 44. Fomula ya mzunguko 158
§ 45. Mipaka ya nadharia za utendaji bainishi 159
§ 46. Usambazaji anuwai wa kawaida na ugawaji unaohusiana 164
Matatizo 173
Sura ya 12. Sheria Iliyoimarishwa ya Hesabu Kubwa 174
§ 47. Borel-Cantelli lemma. Sheria ya "0 au 1" ya Kolmogorov 174
§ 48 Aina tofauti muunganiko wa vigeu vya nasibu. . . 177
§ 49. Sheria iliyoimarishwa ya idadi kubwa 181
Matatizo 188
Sura ya 13. Takwimu 189
§ 50. Kazi kuu takwimu za hisabati.... 189
§ 51. Mbinu ya sampuli 190
Matatizo 194
Sura ya 14. Vigezo vya takwimu 195
§ 52. Nadharia za takwimu 195
§ 53. Kiwango cha umuhimu na uwezo wa kigezo 197
§ 54. Kigezo bora kabisa cha Neyman-Pearson.... 199
§ 55. Vigezo vyema vya kupima dhahania kuhusu vigezo vya usambazaji wa kawaida na wa binomial 201
§ 56. Vigezo vya kupima hypotheses tata 2E4
§ 57. Vigezo visivyo vya kipimo 206
Matatizo 211
Sura ya 15. Makadirio ya Vigezo 213
§ 58. Makadirio ya takwimu na mali zao 213
§ 59. Sheria za masharti za usambazaji 216
§ 60. Takwimu za kutosha 220
§ 61. Ufanisi wa tathmini 223
§ 62. Mbinu za kutafuta makadirio 228
Matatizo 232
Sura ya 16. Vipindi vya kujiamini 234
§ 63. Uamuzi wa vipindi vya uaminifu 234
§ 64. Vipindi vya kujiamini kwa vigezo usambazaji wa kawaida 236
§ 65. Vipindi vya kujiamini kwa uwezekano wa kufaulu katika mpango wa Bernoulli 240
Matatizo 244
Majibu ya matatizo 245
Jedwali la kawaida la usambazaji 251
Fasihi 253
Kielezo cha mada 254

Je! unataka kupata mwalimu katika takwimu za hisabati huko Moscow? Kuna 164 kati yao kwenye hifadhidata yetu!

Ikiwa huna muda wa kuchagua mwalimu wa takwimu za hesabu mwenyewe, kwa kuangalia kupitia wasifu wote, unaweza andika, ni aina gani ya mwalimu unahitaji, na msimamizi kwa bure itachagua chaguo zinazofaa kwako.

Wakufunzi wa takwimu za hisabati

Mkufunzi wa kibinafsi katika takwimu za hesabu huko Moscow.
Mafunzo kwa watoto wa shule katika darasa la 5 - 11, wanafunzi, watu wazima. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, OGE. Ukamilishaji wa ubora wa juu wa mtaala wa shule. Maandalizi ya shule zote zinazoongoza za fizikia na hisabati na lyceums. Kuwasaidia wanafunzi kujifunza hisabati peke yao. Madarasa ya majira ya joto yanapatikana.
Madarasa katika kikundi kidogo (watu 2-4) yanawezekana kwa bei ya chini kuliko ile rasmi.
Ninafanya kazi kwa matokeo. Ninatumia mbinu ya kufundishia ambayo wanafunzi wanakuza kikamilifu Ujuzi wa ubunifu Na kufikiri kimantiki, na pia wanavutiwa na hisabati. Ninafanya kazi kwa kutumia miongozo na njia zangu maalum (kwa njia, zilizojaribiwa kwa vitendo)...

Gharama ya somo: 1500 kusugua. / Dakika 60
Vipengee:
Jiji: Moscow
Vituo vya karibu vya metro: Elektrozavodskaya, Aviamotornaya
Ziara ya nyumbani: Hapana
Hali: Mwalimu wa shule
Elimu: Alisoma katika Shule ya Fizikia na Hisabati iliyopewa jina hilo. A. N. Kolmogorov (sasa Kituo cha Utafiti wa Sayansi katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow) mwaka 1986-1988. Alihitimu kutoka Kitivo cha Fizikia cha Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow. M.V. Lomonosov mnamo 1994. Nimekuwa nikifanya kazi shuleni kama mwalimu wa hisabati tangu 1994 ...

Hisabati kwa wanafunzi wa darasa la 2-11, waombaji, wanafunzi. Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati. Maandalizi ya Chuo Kikuu cha Jimbo-Shule ya Juu ya Olympiad ya Uchumi na mitihani ya kuingia katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow. Msaada katika sehemu zote za mtaala wa shule, uzoefu wa kufanya kazi shuleni. Mashauriano kwa wanafunzi katika maeneo yote ya hisabati ya juu (uchambuzi wa hisabati, algebra ya mstari, jiometri ya uchambuzi, nadharia ya uwezekano, takwimu za hisabati, uchumi, hisabati tofauti na wengine).

Gharama ya somo: 2000 kusugua. / Dakika 60
Vipengee:
Jiji: Moscow
Kituo cha karibu cha metro: Kuntsevskaya
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Profesa
Elimu: Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada. M. V. Lomonosov (MSU), Kitivo cha Mechanics na Hisabati, alihitimu mnamo 1981. Mtahiniwa wa Sayansi ya Fizikia na Hisabati. Ninafundisha katika Shule ya Juu ya Uchumi ya Chuo Kikuu cha Jimbo.

Huduma za mwalimu katika takwimu za hisabati.
Maandalizi ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa, Mtihani wa Jimbo. Kuandaa wanafunzi katika eneo lolote la hisabati, kuondoa mapengo kati ya watoto wa shule na wanafunzi. Kuandaa waombaji kwa mitihani ya kujiunga na chuo kikuu chochote. Sayansi ya kompyuta na programu.

Gharama ya somo: 1500 kusugua. / Dakika 60
Vipengee: Hisabati, Uchambuzi wa hisabati, Nadharia ya uwezekano, Sayansi ya Kompyuta
Miji: Moscow, Krasnogorsk
Vituo vya karibu vya metro: Vijana, Strogino
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Mwalimu binafsi
Elimu: Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada M. V. Lomonosov, Kitivo cha Mekaniki na Hisabati, alihitimu mwaka wa 1996.

Mkufunzi binafsi katika takwimu za hisabati.
Hisabati: maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo, algebra (pamoja na trigonometry, hesabu, mantiki ya hisabati), jiometri (planimetry, stereometry), uchambuzi wa hisabati, hisabati ya juu, nadharia ya uwezekano, algebra linear, hisabati discrete na taaluma nyingine za hisabati, maandalizi ya kuingia chuo kikuu, kwa ajili ya mitihani ya chuo kikuu. Fizikia: programu ya shule, maandalizi ya Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa, Mtihani wa Jimbo.
Jiografia: mtaala wa shule, maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, Mtihani wa Jimbo.
Mbinu kwa kila mwanafunzi ni mtu binafsi. Niambie matokeo unayotaka kupata kutoka kwa madarasa haya, na tutayafikia pamoja.
Mtazamo wa mtu binafsi kwa kila mwanafunzi...

Gharama ya madarasa: Dakika 60/2200-2900 rubles (kulingana na eneo la somo na kiwango cha mafunzo);
Dakika 90/3200 - 4000 rubles (kulingana na eneo la somo na kiwango cha mafunzo);
Dakika 120/410...
Vipengee: Hisabati, Fizikia, Jiografia, Nadharia ya Uwezekano
Miji: Moscow, Odintsovo
Kituo cha karibu cha metro: Krylatskoe
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Mwalimu binafsi
Elimu: Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada M. V. Lomonosov, Kitivo cha Mekaniki na Hisabati, mhitimu wa 2010 Alama ya wastani- 4.5. Nilimaliza shule na medali.

Mwalimu binafsi wa takwimu za hisabati.
Kuandaa watoto wa shule kwa ajili ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na mitihani ya ndani, kwa kiingilio shule za kigeni, usaidizi kwa wanafunzi katika kujaza mapengo katika uchambuzi wa hisabati, TFKP, hisabati ya juu (aljebra ya mstari, jiometri ya uchambuzi, hisabati ya juu).
Imethibitishwa Mtaalam wa Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, uzoefu wa miaka 12 katika kujiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, zaidi ya miaka 30 ya uzoefu wa kufundisha. Wanafunzi hujiandikisha kwa bajeti ya Kitivo cha Uchumi Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow, Chuo Kikuu cha Jimbo-Shule ya Juu ya Uchumi, Kitivo cha Uchumi. Kuna uzoefu wa mafanikio katika kujiandaa kwa GSCE, A-Level.

Gharama ya madarasa: Dakika 60/2000 kusugua.;
Dakika 120/4000 kusugua..
Vipengee: Hisabati, Uchanganuzi wa Hisabati, Nadharia ya Uwezekano, Aljebra Linear
Jiji: Moscow
Vituo vya karibu vya metro: Kitay-Gorod, Lubyanka
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Profesa
Elimu: Ural taasisi ya ufundishaji, Kitivo cha Fizikia na Hisabati, alihitimu mwaka 1982, diploma na heshima. Mgombea wa Sayansi ya Kimwili na Hisabati, Profesa Mshiriki chuo kikuu cha serikali.

Gharama ya madarasa: 1500 rub.-2000 rub./60 min. kulingana na darasa.
Vipengee: Hisabati, Uchanganuzi wa Hisabati, Aljebra Linear, Nadharia ya uwezekano
Jiji: Moscow
Kituo cha karibu cha metro: Novogievo
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Mwalimu wa shule
Elimu: Taasisi ya Sverdlovsk Pedagogical, maalum: hisabati, sayansi ya kompyuta na sayansi ya kompyuta, alihitimu mwaka 1991.

Mwalimu mwenye uzoefu wa takwimu za hisabati.
Maandalizi ya kitaalam na ya hali ya juu kwa daraja la 9 la HSE Lyceum mnamo 2019. Kazi kubwa kulingana na anuwai za Majaribio ya Kina ya HSE, na vile vile kulingana na kazi zinazolingana kabisa chaguzi za mitihani! Ukuzaji kamili wa njia za kutatua kazi zote za Jaribio la Complex! Mwanafunzi atakuwa amejitayarisha vyema!
Utaratibu wa maarifa kwa darasa la 5 - 11. Uboreshaji mzuri na muhimu katika programu (algebra na jiometri). Kuhakikisha ufaulu wa hali ya juu mfululizo (kwa "4" na "5"). Maandalizi ya kina kwa OGE - 2019. Mafunzo katika kutatua matatizo ya sehemu za I na II za lahaja za OGE...

Mkufunzi wa kibinafsi katika takwimu za hisabati.
Watoto wa shule katika darasa la 5-11, waombaji (Maandalizi katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow au kwa kazi C5 na C6 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja), wanafunzi (madarasa katika kozi ya jumla hisabati ya juu: uchambuzi wa hisabati, jiometri ya uchambuzi, aljebra ya mstari, nadharia ya uwezekano).
Ninatoa madarasa mazito kwa kutumia nyenzo asili na kazi zilizochaguliwa kibinafsi kwa kila mwanafunzi. Kwa kuongezea, ninachambua nambari changamano za Olympiad na C6 kwa Mtihani wa Jimbo Moja.
Bei ya chini ya somo 90 min. 3300 kusugua.
Ikiwa maandalizi katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow au kwa kazi C5 na C6 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja - ndani ya rubles 3800-4000.
Mkufunzi wa kitaalam wa hesabu. Ubora wa uhakika wa kazi. Mbinu ya mtu binafsi na uteuzi wa mbinu kwa kila mwanafunzi...

Gharama ya somo: 2200 kusugua. / Dakika 60
Vipengee: Hisabati, Uchanganuzi wa Hisabati, Nadharia ya Uwezekano, Aljebra Linear
Jiji: Moscow
Kituo cha karibu cha metro: Shchukinskaya
Ziara ya nyumbani: Hapana
Hali: Mwalimu binafsi
Elimu: Juu zaidi Elimu ya Walimu: Kitivo cha Hisabati, Chuo Kikuu cha Pedagogical cha Jimbo la Moscow. Alihitimu mwaka 1996.

Mkufunzi aliyehitimu katika takwimu za hisabati.
Masomo: Hisabati (shule na ya juu, Mtihani wa OGE na Jimbo Iliyounganishwa), Fizikia (shule, OGE na Mtihani wa Jimbo la Umoja), Nadharia ya Uwezekano, Takwimu za Hisabati, Combinatorics.
Wanafunzi wa shule, waombaji, wanafunzi. Maandalizi ya chuo kikuu chochote, Mtihani wa Jimbo Pamoja, Olimpiki. Masomo: hisabati, fizikia, uchambuzi wa hisabati, aljebra ya mstari, jiometri ya uchanganuzi, nadharia ya uwezekano, takwimu za hisabati, michakato ya nasibu.
Mwalimu kozi za maandalizi kwa chuo kikuu.

Gharama ya madarasa: Kiwango changu nyumbani huko Dolgoprudny ni rubles 3000 / 60 min. , kwenye tovuti kwa mwanafunzi - rubles 3,700/60 min. , kujifunza umbali (Skype) - 2700 RUR/60 min.
Vipengee: Hisabati, Fizikia, Nadharia ya Uwezekano, Uchambuzi wa Hisabati
Miji: Moscow, Lobnya, Dolgoprudny, Dmitrov
Vituo vya karibu vya metro: Altufyevo, Kituo cha Mto
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Profesa
Elimu: Moscow Taasisi ya Fizikia na Teknolojia(MIPT), Kitivo cha Usimamizi na Hisabati Inayotumika, Ph.D. sayansi ya kiufundi, cheo cha kitaaluma"Mtafiti Mwandamizi", Profesa Mshiriki wa Idara ya Hisabati ya Juu huko MIPT...

Mkufunzi mwenye uzoefu katika takwimu za hisabati.
Hisabati na fizikia kwa wanafunzi wa shule ya kati na ya upili, wanafunzi, watu wazima, maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja na Mtihani wa Jimbo la Umoja. Madarasa kwa waombaji kwa vyuo vikuu. Vikao vya mtu binafsi- kwa ufanisi iwezekanavyo. Uhakikisho wa uzoefu wa kina wa kufundisha utafiti wenye mafanikio maswali magumu zaidi.

Gharama ya madarasa: Hisabati na fizikia: 90 min./900 rubles kwa watoto wa shule.
Wanafunzi na watu wazima 90 min./1200 rub.
Vipengee: Hisabati, Uchambuzi wa Hisabati, Fizikia
Miji: Moscow, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky, Zhukovsky
Vituo vya karibu vya metro: Kotelniki, Vykhino
Ziara ya nyumbani: inapatikana
Hali: Mwalimu binafsi
Elimu: Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow kilichoitwa baada M. V. Lomonosov, Kitivo cha Fizikia, Idara ya Hisabati kwa Kitivo cha Fizikia, 1976. Chuo cha Ujasiriamali cha Urusi, 1994

Wizara Shirikisho la Urusi juu ya mawasiliano na habari

Chuo Kikuu cha Jimbo la Siberia la Mawasiliano na Informatics

N. I. Chernova

KIHESABU

TAKWIMU

Mafunzo

Novosibirsk

Profesa Mshiriki, Mgombea wa Sayansi fizikia na hisabati Sayansi N.I. Chernova. Takwimu za hisabati: Kitabu cha maandishi / SibGUTI - Novosibirsk, 2009. - 90 p.

Kitabu cha kiada kina kozi ya miezi sita ya mihadhara juu ya takwimu za hesabu kwa wanafunzi wa utaalam wa kiuchumi. Kitabu cha kiada kinakidhi mahitaji ya kiwango cha elimu cha Jimbo kwa taaluma programu za elimu utaalam 080116 - "Njia za hisabati katika uchumi."

Idara ya Jedwali la IMBP. 7, michoro - 9, orodha ya fasihi. - 8 majina

Wahakiki: A. P. Kovalevsky, Ph.D. fizikia na hisabati Sayansi, Profesa Mshiriki wa Idara ya Hisabati ya Juu ya NSTU V. I. Lotov, Daktari wa Fizikia na Hisabati. Sayansi, Profesa wa Idara

nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati NSU

Kwa utaalam 080116 - "Njia za hisabati katika uchumi"

Imeidhinishwa na baraza la uhariri na uchapishaji la SibGUTI kama msaada wa kufundishia

c Chuo Kikuu cha Jimbo la Siberia

mawasiliano ya simu na sayansi ya habari, 2009

Dibaji. . . . . . . . . .
	I. Dhana za kimsingi za takwimu za hisabati. . . . . . . .
	Matatizo ya takwimu za hisabati . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Sampuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Sifa Zilizochaguliwa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Sifa za chaguo za kukokotoa za usambazaji wa majaribio. . . . . . . . .

§ 5. Sifa za nyakati za sampuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. Histogram kama makadirio ya msongamano. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. Maswali na mazoezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Sura ya II. Ukadiriaji wa pointi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. Makadirio ya pointi na mali zao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. Mbinu ya muda mfupi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	Sifa za njia ya wakadiriaji wa matukio. . . . . . . . . . . . . . . . .
	Mbinu ya juu ya uwezekano. . . . . . . . . . . . . . .
	Kawaida ya Asymptotic ya makadirio. . . . . . . . . . . . . .
	Maswali na Mazoezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Ulinganisho wa ratings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Njia ya mzizi wa maana ya mraba kwa kulinganisha makadirio. . . . . . . . .
	Usawa wa Rao-Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Maswali na Mazoezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	IV. Ukadiriaji wa muda. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Vipindi vya kujiamini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Kanuni za kuunda vipindi vya kujiamini. . . . . . . .
	Maswali na Mazoezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Usambazaji unaohusishwa na kawaida. . . . . . . . . .
	Msingi usambazaji wa takwimu. . . . . . . . . . . . . .
	Mabadiliko ya sampuli za kawaida. . . . . . . . . . . . . . .
	Vipindi vya kujiamini kwa usambazaji wa kawaida. . .

§ 1. Dhana na vigezo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. Maswali na mazoezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Sura ya VII. Vigezo vya kibali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. Fomu ya jumla vigezo vya makubaliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. Kujaribu hypotheses rahisi kuhusu vigezo. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. Vigezo vya kupima hypothesis ya usambazaji. . . . . . . . 56

§ 4. Vigezo vya kupima hypotheses ya parametric. . . . . . . . 59

§ 5. Vigezo vya kuangalia homogeneity. . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 6. χ 2 kigezo cha kuangalia uhuru. . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. Maswali na mazoezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. Mbinu ya juu ya uwezekano.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. Njia ya angalau mraba.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

DIBAJI

Mafunzo yana kozi kamili mihadhara juu ya takwimu za hisabati kwa wanafunzi wanaosoma katika utaalam "Mbinu za Hisabati katika uchumi" katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Siberia la Mawasiliano na Informatics. Maudhui ya kozi ni thabiti kabisa viwango vya elimu mafunzo ya bachelors katika utaalam maalum.

Kozi ya takwimu za hisabati hujengwa juu ya kozi ya muhula mrefu katika nadharia ya uwezekano na ndio msingi wa kozi ya mwaka mzima katika uchumi. Kama matokeo ya kusoma somo, wanafunzi wanapaswa kufanya vizuri mbinu za hisabati utafiti mifano mbalimbali takwimu za hisabati.

Kozi hiyo ina sura nane. Sura ya kwanza ndiyo kuu ya kuelewa somo. Inamtambulisha msomaji kwa dhana za msingi za takwimu za hisabati. Sura ya pili imejitolea kwa mbinu za ukadiriaji wa uhakika wa vigezo vya usambazaji visivyojulikana: muda na uwezekano mkubwa.

Sura ya tatu inaangalia kulinganisha makadirio katika maana ya mzizi maana ya mraba. Ukosefu wa usawa wa Rao-Cramer pia unachunguzwa hapa kama njia ya kuangalia ufanisi wa makadirio.

Sura ya nne inajadili makadirio ya vigezo vya muda, ambayo inaishia katika sura inayofuata na ujenzi wa vipindi kwa vigezo vya kawaida vya usambazaji. Kwa kufanya hivyo, ugawaji maalum wa takwimu huletwa, ambao hutumiwa katika vipimo vya wema katika Sura ya Nane. Sura ya sita inatoa dhana muhimu za kimsingi za nadharia ya upimaji dhahania, kwa hivyo msomaji anapaswa kuisoma kwa uangalifu sana.

Hatimaye, sura ya saba na ya nane hutoa orodha ya vigezo vya ridhaa vinavyotumika sana katika utendaji. Sura ya tisa inajadili mifano rahisi na mbinu uchambuzi wa kurudi nyuma na mali kuu ya makadirio yaliyopatikana yanathibitishwa.

Karibu kila sura inaisha na orodha ya mazoezi kulingana na maandishi ya sura. Kiambatisho kina majedwali yenye orodha ya sifa kuu za mgawanyo wa kipekee na unaoendelea kabisa, majedwali ya mgawanyo wa kimsingi wa takwimu.

DIBAJI

Fahirisi ya kina ya mada imetolewa mwishoni mwa kitabu. Bibliografia inaorodhesha vitabu vya kiada vinavyoweza kutumika kuongezea kozi na makusanyo ya matatizo kwa mazoezi ya vitendo.

Nambari za aya katika kila sura ni tofauti. Fomula, mifano, kauli, n.k. zina nambari zinazoendelea. Wakati wa kurejelea kitu kutoka kwa sura nyingine, nambari ya ukurasa ambayo kitu kilichomo imeonyeshwa kwa urahisi wa msomaji. Wakati wa kurejelea kitu kutoka kwa sura hiyo hiyo, nambari tu ya fomula, mfano, taarifa hutolewa. Mwisho wa ushahidi umewekwa alama.

SURA YA I

DHANA ZA MSINGI ZA TAKWIMU ZA HISABATI

Takwimu za hisabati zinatokana na mbinu za nadharia ya uwezekano, lakini hutatua matatizo mengine. Katika nadharia ya uwezekano, vigeu vya nasibu na kupewa usambazaji au majaribio ya nasibu ambayo sifa zake zinajulikana kabisa. Lakini ujuzi juu ya usambazaji katika majaribio ya vitendo hutoka wapi? Kwa uwezekano gani, kwa mfano, kanzu ya silaha inaonekana kwenye sarafu iliyotolewa? Kuamua uwezekano huu, tunaweza kurusha sarafu mara nyingi. Lakini kwa hali yoyote, hitimisho italazimika kufanywa kulingana na matokeo. nambari ya mwisho uchunguzi. Kwa hivyo, ukiangalia kanzu 5,035 za silaha baada ya kupigwa kwa sarafu 10,000, mtu hawezi kufanya hitimisho sahihi juu ya uwezekano wa kanzu ya silaha imeshuka: hata kama uwezekano huu unatofautiana na 0.5, kanzu ya silaha inaweza kuonekana mara 5,035. Hitimisho sahihi juu ya usambazaji inaweza tu kufanywa wakati idadi isiyo na kipimo ya majaribio inafanywa, ambayo haiwezekani. Takwimu za hisabati huruhusu, kulingana na matokeo ya idadi maalum ya majaribio, kupata hitimisho sahihi zaidi au kidogo kuhusu usambazaji wa vigeuzo nasibu vilivyozingatiwa katika majaribio haya.

§ 1. Matatizo ya takwimu za hisabati

Tuseme tunarudia jaribio lile lile la nasibu ndani masharti sawa. Kama matokeo ya kila marudio ya jaribio, seti fulani ya data (nambari au vinginevyo) huzingatiwa.

Hii inazua maswali yafuatayo.

1. Ikiwa tofauti moja ya nasibu itazingatiwa, hitimisho sahihi zaidi kuhusu usambazaji wake linawezaje kufanywa kutoka kwa seti ya maadili yake katika majaribio kadhaa?

2. Ikiwa udhihirisho wa ishara mbili au zaidi huzingatiwa, ni nini kinachoweza kusema kuhusu aina na nguvu ya utegemezi wa vigezo vya random vinavyozingatiwa?

Mara nyingi inawezekana kufanya mawazo fulani kuhusu usambazaji unaozingatiwa au mali zake. Katika kesi hii, kulingana na data ya majaribio, ni muhimu kuthibitisha au kukataa mawazo haya ("hypotheses"). Ni lazima ikumbukwe kwamba jibu "ndiyo" au "hapana" linaweza kutolewa tu kwa kiwango fulani cha uhakika, na kwa muda mrefu tunaweza kuendelea na majaribio, hitimisho sahihi zaidi inaweza kuwa. Wakati mwingine inawezekana kuthibitisha upatikanaji mapema

8 SURA YA I. DHANA ZA MSINGI ZA TAKWIMU ZA HISABATI

baadhi ya mali ya majaribio aliona - kwa mfano, kuhusu utegemezi wa kazi kati ya idadi iliyozingatiwa, juu ya kawaida ya usambazaji, juu ya ulinganifu wake, juu ya uwepo wa msongamano katika usambazaji au juu ya asili yake ya kipekee, nk.

Kwa hivyo, takwimu za hisabati hufanya kazi pale ambapo kuna jaribio la nasibu, sifa zake ambazo hazijulikani kwa sehemu au hazijulikani kabisa, na ambapo tunaweza kuzalisha jaribio hili chini ya hali sawa baadhi ya nyakati (au bora, zozote).

Matokeo ya majaribio yanaweza kuwa ya kiasi au tabia ya ubora. Matokeo ya kiasi yanaweza, kwa mfano, kuongezwa. Kwa hivyo, moja ya sifa zao za maana ni maana ya hesabu ya uchunguzi. Haina maana kujumlisha matokeo ya ubora, ingawa yanaweza kuonyeshwa ndani fomu ya nambari. Hebu sema, mwezi wa kuzaliwa kwa mhojiwa ni ubora, sio uchunguzi wa kiasi: Ingawa inaweza kubainishwa kama nambari, maana ya hesabu ya nambari hizi hubeba taarifa zinazofaa kama vile ujumbe kwamba mtu wa kawaida alizaliwa kati ya Juni na Julai.

Katika sura za kwanza tutajifunza kufanya kazi nayo matokeo ya kiasi uchunguzi.

§ 2. Sampuli

Acha ξ : Ω → R kiwe kigezo cha nasibu kinachozingatiwa katika jaribio la nasibu. Kwa kufanya jaribio hili mara n chini ya hali sawa, tutapata nambari X1, X2, . . . , Xn - maadili ya mabadiliko ya nasibu yaliyozingatiwa katika majaribio ya kwanza, ya pili, nk. Tofauti ya nasibu ξ ina usambazaji fulani F, ambao haujulikani kwa sehemu au haujulikani kabisa.

Hebu tuangalie kwa karibu seti ya X = (X1, . . . , Xn), inayoitwa sampuli.

Katika mfululizo wa majaribio ambayo tayari yamefanyika, sampuli ni seti ya nambari. Lakini kabla ya jaribio kufanywa, ni jambo la busara kuzingatia sampuli kama seti ya anuwai ya nasibu (huru na kusambazwa kwa njia sawa na ξ). Hakika, kabla ya kufanya majaribio, hatuwezi kusema ni maadili gani ambayo vipengele vya sampuli vitachukua: hizi zitakuwa baadhi ya maadili ya kutofautiana kwa nasibu ξ. Kwa hivyo, inaeleweka kuzingatia kwamba kabla ya jaribio, Xi ni tofauti ya nasibu, iliyosambazwa sawasawa na ξ, na baada ya jaribio, ni nambari ambayo tunaona katika jaribio la i-th, i.e. moja ya maadili iwezekanavyo mabadiliko ya nasibu Xi.

Ufafanuzi 1. Sampuli ya X = (X1, . . . , Xn) ya ujazo n kutoka kwa usambazaji F ni seti ya vigeu vya n vinavyojitegemea na vilivyosambazwa sawa sawa vyenye usambazaji F.

Vipengee vilivyochaguliwa mara nyingi hubadilishwa ili iwe rahisi kufanya kazi na seti kubwa ya data - iliyoagizwa au iliyopangwa.

Ikiwa vipengele vya sampuli ni X1, . . . , Xn zimeagizwa kwa mpangilio wa kupanda, na seti ya vigeu vipya vya nasibu hupatikana, vinavyoitwa mfululizo wa mabadiliko:

X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .

Hapa X(1) = min(X1 , . . , Xn ), X(n) = max(X1 , . . . , Xn ). Kipengele X(k) kinaitwa neno la kth mfululizo wa mabadiliko au takwimu za agizo la kth.

Wakati wa kuweka data katika vikundi, unachagua vikundi kadhaa vya maadili ya sampuli, kuhesabu idadi ya vipengee katika kila kikundi, na kisha ushughulikie tu seti hii mpya ya data. Data ya kupanga na kuagiza hutupa baadhi ya taarifa zilizomo kwenye sampuli.

Kazi ya takwimu za hisabati ni kupata hitimisho kutoka kwa sampuli kuhusu usambazaji usiojulikana F ambayo hutolewa. Usambazaji una sifa ya kazi ya usambazaji, wiani au meza, seti ya sifa za nambari: E ξ = E X1, Dξ = D X1, Eξ k = E X1 k. Kwa kutumia sampuli, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga makadirio ya sifa hizi zote. Makadirio kama haya huitwa makadirio. Neno "tathmini" halina uhusiano wowote na ukosefu wa usawa. Makadirio ya baadhi ya sifa za usambazaji zisizojulikana ni kigezo cha nasibu kilichoundwa kutoka kwa sampuli, ambacho kwa maana fulani ni ukadiriaji wa sifa hii ya usambazaji isiyojulikana.

Mfano 1. Kifa cha pande sita kinarushwa mara 100. Uso wa kwanza ulianguka mara 25, ya pili na ya tano - mara 14 kila moja, ya tatu - mara 21, ya nne - mara 15, ya sita - mara 11. Tunashughulika na sampuli ya nambari, ambayo kwa urahisi imejumuishwa na idadi ya pointi zilizotolewa.

Kulingana na matokeo haya ya majaribio, haiwezekani kuamua uwezekano p1,. . . , p6 kupoteza kingo. Tunaweza kusema tu kwamba makadirio ya nambari kwa uwezekano huu yamepatikana: 0.25 kwa p1, 0.14 kwa p2 na kwa p5, nk.

Hata bila kufanya jaribio kama hilo, tunaweza kusema mapema kwamba makisio ya uwezekano usiojulikana p1 yatakuwa tofauti ya nasibu.

na makisio ya uwezekano p2 yatakuwa tofauti ya nasibu

Katika safu hii ya majaribio, anuwai hizi za nasibu zilichukua maadili ya 0.25 na 0.14, mtawaliwa. Katika mfululizo mwingine maana zao zitabadilika.

SURA YA I. DHANA ZA MSINGI ZA TAKWIMU ZA HISABATI

§ 3. Tabia zilizochaguliwa

Kutoka kwa nadharia ya uwezekano tunajua tiba ya ulimwengu wote kwa hesabu takriban ya matarajio yote ya hisabati iwezekanavyo: sheria ya idadi kubwa. Sheria hii inahakikisha kwamba njia za hesabu za istilahi zinazojitegemea na zinazosambazwa sawasawa kwa maana fulani zinakaribia matarajio ya hisabati ya neno la kawaida (ikiwa, bila shaka, matarajio haya ya hisabati yapo).

Kwa hivyo, kama makadirio (makadirio) ya matarajio yasiyojulikana ya hisabati E X1, unaweza kutumia maana ya hesabu ya vipengele vyote vya sampuli: wastani wa sampuli.

X1 + . . . +Xn

Sampuli ya muda wa kth inafaa kama makadirio ya E X1 k

X1 k + . . . + Xn k

Xi k =

na kama makadirio ya tofauti D X1 = E (X1 − E X1 )2 = E X1 2 − (E X1 )2

sampuli tofauti hutumiwa

S2 =n 1

(Xi − X)2 = X2 − X

Kwa ujumla, thamani

g(X1) + . . . + g(Xn)

g(Xi) =

inaweza kutumika kukadiria thamani ya E g(X1 ).

Vile vile, sheria ya Bernoulli ya idadi kubwa inaturuhusu kukadiria uwezekano tofauti. Kwa mfano, uwezekano wa tukio (X1< 3} можно заменить на долю majaribio ya mafanikio katika mpango wa Bernoulli: ikiwa kwa kila kipengele cha sampuli tukio (Xi< 3}, то доля успехов

p = wingi Xi< 3n

itaungana (kwa uwezekano) kwa uwezekano wa kufaulu P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

lakini kwa kutumia kitendakazi cha usambazaji wa majaribio