Nafasi ni yeye hana. Jumla ya Uwezekano Formula

Ikiwa matukio H 1, H 2, ..., H n yanaunda kikundi kamili, basi kuhesabu uwezekano wa tukio la kiholela unaweza kutumia formula ya jumla ya uwezekano:

P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)

Kulingana na ambayo uwezekano wa kutokea kwa tukio A unaweza kuwakilishwa kama jumla ya bidhaa za uwezekano wa masharti wa tukio A, kulingana na kutokea kwa matukio H i, na uwezekano usio na masharti wa matukio haya H i. Matukio haya H i huitwa hypotheses.

Kutoka kwa jumla ya fomula ya uwezekano ifuatavyo formula ya Bayes:

Uwezekano wa P(H i) wa dhahania H i unaitwa uwezekano wa priori - uwezekano kabla ya kufanya majaribio.
Uwezekano P(A/H i) huitwa uwezekano wa nyuma - uwezekano wa dhahania H i, iliyosafishwa kama matokeo ya uzoefu.

Kusudi la huduma. Kikokotoo cha mtandaoni kimeundwa kukokotoa uwezekano wa jumla na mchakato mzima wa ufumbuzi ulioandikwa katika umbizo la Neno (angalia mifano ya utatuzi wa matatizo).

Idadi ya vitu 2 3 4 5
Idadi ya bidhaa zilizoainishwa Uwezekano wa bidhaa zenye kasoro umebainishwa
Nambari ya mmea 1: P (H1) = . Uwezekano wa bidhaa za kawaida: P(A|H1) =
Panda nambari 2: P (H2) = . Uwezekano wa bidhaa za kawaida: P(A|H2) =
Nambari ya mmea 3: P (H3) = . Uwezekano wa bidhaa za kawaida: P(A|H3) =
Panda nambari 4: P (H4) = . Uwezekano wa bidhaa za kawaida: P(A|H4) =
Panda nambari 5: P (H5) = . Uwezekano wa bidhaa za kawaida: P(A|H5) =

Ikiwa data ya chanzo itawasilishwa kama asilimia (%), basi lazima iwasilishwe kama sehemu. Kwa mfano, 60%: 0.6.

Mfano Nambari 1. Duka hilo hupokea balbu kutoka kwa viwanda viwili, huku sehemu ya kiwanda cha kwanza ikiwa ni 25%. Inajulikana kuwa asilimia ya kasoro katika viwanda hivi ni sawa na 5% na 10% ya bidhaa zote za viwandani, kwa mtiririko huo. Muuzaji huchukua balbu moja bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba itakuwa na kasoro?
Suluhisho: Wacha tuashiria kwa A tukio - "balbu inageuka kuwa na kasoro." Dhana zifuatazo kuhusu asili ya balbu hii zinawezekana: H 1- "balbu ilitoka kiwanda cha kwanza." H 2- "balbu ilitoka kwa mmea wa pili." Kwa kuwa sehemu ya mmea wa kwanza ni 25%, uwezekano wa hypotheses hizi ni sawa, mtawaliwa. ; .
Uwezekano wa masharti kwamba balbu yenye kasoro ilitolewa na mmea wa kwanza ni , mmea wa pili - p(A/H 2)=tunapata uwezekano unaohitajika kuwa muuzaji alichukua balbu yenye kasoro kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano
0.25·0.05+0.75·0.10=0.0125+0.075=0.0875
Jibu: p(A)= 0,0875.

Mfano Nambari 2. Duka lilipokea idadi mbili sawa ya bidhaa ya jina moja. Inajulikana kuwa 25% ya kundi la kwanza na 40% ya kundi la pili ni bidhaa za daraja la kwanza. Je, kuna uwezekano gani kwamba kitengo cha bidhaa kilichochaguliwa kwa nasibu hakitakuwa cha daraja la kwanza?
Suluhisho:
Wacha tuashiria kwa A tukio - "bidhaa itakuwa ya daraja la kwanza." Nadharia zifuatazo kuhusu asili ya bidhaa hii zinawezekana: H 1- "bidhaa kutoka kwa kundi la kwanza". H 2- "bidhaa kutoka kwa kundi la pili." Kwa kuwa sehemu ya kundi la kwanza ni 25%, uwezekano wa nadharia hizi ni sawa, mtawaliwa. ; .
Uwezekano wa masharti kwamba bidhaa kutoka kwa kundi la kwanza ni , kutoka kundi la pili - uwezekano unaohitajika kuwa kitengo cha bidhaa kilichochaguliwa kwa nasibu kitakuwa cha daraja la kwanza
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0.25·0.5+0.4·0.5=0.125+0.2=0.325
Kisha, uwezekano kwamba kitengo cha bidhaa kilichochaguliwa kwa nasibu hakitakuwa cha daraja la kwanza itakuwa sawa na: 1- 0.325 = 0.675
Jibu: .

Mfano Nambari 3. Inajulikana kuwa 5% ya wanaume na 1% ya wanawake ni vipofu vya rangi. Mtu aliyechaguliwa bila mpangilio aligeuka kuwa si upofu wa rangi. Je, kuna uwezekano gani kwamba huyu ni mwanamume (fikiria kwamba kuna idadi sawa ya wanaume na wanawake).
Suluhisho.
Tukio A - mtu aliyechaguliwa bila mpangilio anageuka kuwa si upofu wa rangi.
Wacha tupate uwezekano wa tukio hili kutokea.
P(A) = P(A|H=mwanaume) + P(A|H=mwanamke) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
Kisha uwezekano kwamba huyu ni mwanamume ni: p = P(A|H=mtu) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897

Mfano Nambari 4. Wanafunzi 4 wa mwaka wa kwanza, wanafunzi 6 wa mwaka wa pili, na wanafunzi 5 wa mwaka wa tatu wanashiriki katika Olympiad ya michezo.Uwezekano kwamba mwanafunzi wa mwaka wa kwanza, wa pili, wa tatu atashinda Olympiad ni 0.9; 0.7 na 0.8.
a) Tafuta uwezekano wa kushinda na mshiriki aliyechaguliwa bila mpangilio.
b) Chini ya hali ya tatizo hili, mwanafunzi mmoja alishinda Olympiad. Je, ana uwezekano mkubwa wa kuwa wa kundi gani?
Suluhisho.
Tukio A - ushindi wa mshiriki aliyechaguliwa kwa nasibu.
Hapa P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
b) Suluhisho linaweza kupatikana kwa kutumia kikokotoo hiki.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Kutoka p1, p2, p3, chagua kiwango cha juu zaidi.

Mfano Nambari 5. Kampuni hiyo ina mashine tatu za aina moja. Mmoja wao hutoa 20% ya jumla ya uzalishaji, pili - 30%, ya tatu - 50%. Katika kesi hii, mashine ya kwanza hutoa 5% ya kasoro, ya pili 4%, ya tatu - 2%. Pata uwezekano kwamba bidhaa yenye kasoro iliyochaguliwa kwa nasibu hutolewa na mashine ya kwanza.

Uwezekano wa tukio kinyume

Fikiria tukio fulani la nasibu A, na acha uwezekano wake p(A) inayojulikana. Kisha uwezekano wa tukio kinyume huamuliwa na fomula

. (1.8)

Ushahidi. Tukumbuke kwamba kulingana na axiom 3 kwa matukio yasiyo ya pamoja

p(A+B) = p(A) + p(B).

Kutokana na kutopatana A Na

Matokeo., yaani, uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Kwa kutumia fomula (1.8), kwa mfano, uwezekano wa kukosa hubainishwa ikiwa uwezekano wa pigo unajulikana (au, kinyume chake, uwezekano wa kugonga ikiwa uwezekano wa kukosa unajulikana; kwa mfano, ikiwa uwezekano wa pigo unajulikana; hit kwa bunduki ni 0.9, uwezekano wa miss kwa ajili yake ni (1 - 0, 9 = 0.1).

  1. Uwezekano wa jumla ya matukio mawili

Itakuwa sahihi kukumbuka hapa kwamba kwa matukio yasiyo ya pamoja formula hii inaonekana kama:

Mfano. Kiwanda hiki kinazalisha 85% ya bidhaa za daraja la kwanza na 10% ya bidhaa za daraja la pili. Bidhaa zilizobaki zinachukuliwa kuwa zenye kasoro. Kuna uwezekano gani kwamba ikiwa tutachukua bidhaa bila mpangilio, tutapata kasoro?

Suluhisho. P = 1 - (0.85 + 0.1) = 0.05.

Uwezekano wa jumla ya matukio yoyote mawili ya nasibu sawa na

Ushahidi. Hebu tuwazie tukio A + B kama jumla ya matukio yasiyolingana

Kutokana na kutopatana A na, tunapata kulingana na axiom 3

Vile vile tunapata

Kubadilisha mwisho katika fomula iliyopita, tunapata taka (1.10) (Mchoro 2).

Mfano. Kati ya wanafunzi 20, 5 walifaulu mtihani katika historia na alama mbaya, 4 kwa Kiingereza, na wanafunzi 3 walipata alama mbaya katika masomo yote mawili. Je, ni asilimia ngapi ya wanafunzi katika kundi ambao hawajafeli katika masomo haya?

Suluhisho. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0.7 (70%).

  1. Uwezekano wa masharti

Katika baadhi ya matukio ni muhimu kuamua uwezekano wa tukio la random B mradi tukio la nasibu lilitokea A, ambayo ina uwezekano usio na sifuri. Ni tukio gani A kilichotokea, hupunguza nafasi ya matukio ya msingi hadi seti A sambamba na tukio hili. Tutafanya majadiliano zaidi kwa kutumia mfano wa mpango wa classical. Wacha W iwe na n matukio ya kimsingi yanayowezekana (matokeo) na tukio A neema m(A), na tukio AB - m(AB) matokeo. Hebu tuonyeshe uwezekano wa masharti wa tukio hilo B ili mradi A kilichotokea, - p(B|A). A-kipaumbele,

= .

Kama A kilichotokea, kisha moja ya m(A) matokeo na tukio B inaweza kutokea tu ikiwa moja ya matokeo yanapendelea AB; matokeo kama hayo m(AB). Kwa hiyo, ni kawaida kuweka uwezekano wa masharti ya tukio hilo B ili mradi A kilichotokea, sawa na uwiano

Kwa muhtasari, hebu tupe ufafanuzi wa jumla: uwezekano wa masharti wa tukio B, mradi tukio A hutokea kwa uwezekano usio na sifuri , kuitwa

. (1.11)

Ni rahisi kuangalia kwamba ufafanuzi ulioletwa kwa njia hii unakidhi axioms zote na, kwa hiyo, nadharia zote zilizothibitishwa hapo awali ni halali.

Mara nyingi uwezekano wa masharti p(B|A) inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa hali ya shida; katika hali ngumu zaidi, mtu lazima atumie ufafanuzi (1.11).

Mfano. Urn ina mipira N, ambayo n ni nyeupe na N-n ni nyeusi. Mpira hutolewa nje yake na, bila kurudisha nyuma ( sampuli bila kurudi ), wanachukua mwingine. Kuna uwezekano gani kwamba mipira yote miwili ni nyeupe?

Suluhisho. Wakati wa kusuluhisha shida hii, tunatumia ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano na sheria ya bidhaa: wacha tuonyeshe kwa A tukio ambalo mpira mweupe ulichorwa kwanza (kisha mpira mweusi ulichorwa kwanza), na kwa B tukio ambalo la pili. ilitolewa mpira mweupe; Kisha

.

Ni rahisi kuona kwamba uwezekano kwamba mipira mitatu iliyochorwa kwa safu (bila uingizwaji) ni nyeupe:

na kadhalika.

Mfano. Kati ya tikiti 30 za mitihani, mwanafunzi alitayarisha 25 tu. Ikiwa anakataa kujibu tikiti ya kwanza iliyochukuliwa (ambayo haijui), basi anaruhusiwa kuchukua ya pili. Amua uwezekano kwamba tikiti ya pili itakuwa na bahati.

Suluhisho. Acha tukio A ni kwamba tikiti ya kwanza iliyotolewa iligeuka kuwa "mbaya" kwa mwanafunzi, na B- ya pili - ²nzuri². Kwa sababu baada ya tukio A moja ya "mbaya" tayari imeondolewa, basi ni tikiti 29 tu zilizobaki, ambazo mwanafunzi anajua 25. Kwa hivyo, uwezekano unaohitajika, ikizingatiwa kuwa kuonekana kwa tikiti yoyote kunawezekana kwa usawa na hazirudi, ni sawa na .

  1. Uwezekano wa bidhaa

Uhusiano (1.11), ikizingatiwa kuwa p(A) au p(B) si sawa na sifuri, inaweza kuandikwa katika fomu

Uwiano huu unaitwa nadharia juu ya uwezekano wa bidhaa ya matukio mawili , ambayo inaweza kuwa ya jumla kwa idadi yoyote ya mambo, kwa mfano, kwa tatu ina fomu

Mfano. Kwa kutumia masharti ya mfano uliopita, pata uwezekano wa kufaulu mtihani kwa mafanikio ikiwa kwa hili mwanafunzi lazima ajibu tikiti ya kwanza au, bila kujibu ya kwanza, lazima ajibu ya pili.

Suluhisho. Wacha matukio A Na B ni kwamba, mtawalia, tiketi ya kwanza na ya pili ni ²nzuri². Kisha - kuonekana kwa tiketi "mbaya" kwa mara ya kwanza. Mtihani utachukuliwa ikiwa tukio litatokea A au kwa wakati mmoja B. Hiyo ni, tukio linalohitajika C - kufaulu kwa mitihani - linaonyeshwa kama ifuatavyo: C = A+ .Kutoka hapa

Hapa tulichukua fursa ya kutokubaliana A na, na kwa hiyo, kutopatana A na , nadharia za uwezekano wa jumla na bidhaa na ufafanuzi wa awali wa uwezekano wakati wa kukokotoa. p(A) Na.

Shida hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi ikiwa tutatumia nadharia juu ya uwezekano wa tukio tofauti:

  1. Uhuru wa matukio

Matukio ya nasibu A na Btupige simukujitegemea, Kama

Kwa matukio huru, inafuata kutoka (1.11) kwamba; Mazungumzo pia ni ya kweli.

Uhuru wa matukioinamaanisha kuwa kutokea kwa tukio A hakubadilishi uwezekano wa kutokea kwa tukio B, yaani, uwezekano wa masharti ni sawa na uwezekano usio na masharti. .

Mfano. Wacha tuchunguze mfano uliopita na urn iliyo na mipira ya N, ambayo n ni nyeupe, lakini ubadilishe jaribio: baada ya kuchukua mpira, tunairudisha na kisha tu kuchukua inayofuata ( sampuli na kurudi ).

A ni tukio ambalo mpira mweupe huchorwa kwanza, tukio ambalo mpira mweusi huchorwa kwanza, na B ni tukio ambalo mpira mweupe huchorwa mara ya pili; Kisha

yaani, katika kesi hii, matukio A na B ni huru.

Kwa hivyo, katika sampuli na kurudi, matukio ya mchoro wa pili wa mpira hayategemei matukio ya mchoro wa kwanza, lakini katika sampuli bila kurudi, hii sivyo. Walakini, kwa N kubwa na n uwezekano huu uko karibu sana kwa kila mmoja. Hii inatumika kwa sababu wakati mwingine sampuli bila kurudi hufanywa (kwa mfano, wakati wa udhibiti wa ubora, wakati kupima kitu husababisha uharibifu wake), na mahesabu hufanywa kwa kutumia fomula za sampuli na kurudi, ambazo ni rahisi zaidi.

Katika mazoezi, wakati wa kuhesabu uwezekano, mara nyingi hutumia sheria kulingana na ambayo kutoka kwa uhuru wa kimwili wa matukio hufuata uhuru wao katika maana ya kinadharia-uwezekano .

Mfano. Uwezekano kwamba mtu mwenye umri wa miaka 60 hatakufa mwaka ujao ni 0.91. Kampuni ya bima inahakikisha maisha ya watu wawili wenye umri wa miaka 60 kwa mwaka.

Uwezekano kwamba hakuna hata mmoja wao atakayekufa: 0.91 × 0.91 = 0.8281.

Uwezekano kwamba wote wawili watakufa:

(1 – 0.91) × (1 – 0.91) = 0.09 × 0.09 = 0.0081.

Uwezekano wa kufa hata moja:

1 – 0.91 × 0.91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Uwezekano wa kufa moja:

0.91 × 0.09 + 0.09 × 0.91 = 0.1638.

Mfumo wa tukio A 1 , A 2 ,..., A n Tunaiita huru katika jumla ikiwa uwezekano wa bidhaa ni sawa na bidhaa ya uwezekano wa mchanganyiko wowote wa mambo kutoka kwa mfumo huu. Katika kesi hii, haswa,

Mfano. Msimbo salama una tarakimu saba za decimal. Kuna uwezekano gani kwamba mwizi ataandika kwa usahihi mara ya kwanza?

Katika kila moja ya nafasi 7 unaweza kupiga nambari yoyote kati ya 10 0,1,2,...,9, jumla ya nambari 10 7, kuanzia 0000000 na kumalizia na 9999999.

Mfano. Nambari ya salama ina barua ya Kirusi (kuna 33 kati yao) na nambari tatu. Kuna uwezekano gani kwamba mwizi ataandika kwa usahihi mara ya kwanza?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Mfano. Kwa fomu ya jumla zaidi, tatizo la bima: uwezekano kwamba mtu mwenye umri wa miaka ... miaka hatakufa katika mwaka ujao ni sawa na p. Kampuni ya bima inahakikisha maisha ya n watu wa umri huu kwa mwaka.

Uwezekano huo hakuna mtu wao hawatakufa: pn (hakuna mtu atalazimika kulipa malipo ya bima).

Uwezekano wa kufa hata moja: 1 - p n (malipo yanakuja).

uwezekano kwamba wao Wote watakufa: (1 – p) n (malipo makubwa zaidi).

Uwezekano wa kufa moja: n × (1 – p) × p n-1 (ikiwa watu wamehesabiwa, basi anayekufa anaweza kuwa na nambari 1, 2,…,n – haya ni matukio tofauti, ambayo kila moja ina uwezekano (1 – p. ) × pn-1).

  1. Jumla ya Uwezekano Formula

Wacha matukio H 1 , H 2 , ... , H n kutimiza masharti

Kama .

Mkusanyiko kama huo unaitwa kundi kamili la matukio.

Wacha tufikirie kuwa uwezekano unajulikana uk(H i), uk(A/H i) Katika kesi hii inatumika jumla ya formula ya uwezekano

. (1.14)

Ushahidi. Hebu tumia ukweli kwamba H i(kawaida huitwa hypotheses ) hazioani kwa pande zote mbili (kwa hivyo haziendani na H i× A), na jumla yao ni tukio la kuaminika

Mpango huu hutokea kila wakati tunapoweza kuzungumza juu ya kugawanya nafasi nzima ya matukio katika maeneo kadhaa, kwa ujumla, tofauti. Katika uchumi, hii ni mgawanyiko wa nchi au mkoa katika mikoa ya ukubwa tofauti na hali tofauti, wakati sehemu ya kila mkoa inajulikana. p(Hi) na uwezekano (sehemu) ya paramu fulani katika kila mkoa (kwa mfano, asilimia ya wasio na ajira - kila mkoa una yake) - p (A/H i). Ghala inaweza kuwa na bidhaa kutoka kwa viwanda vitatu tofauti, vinavyosambaza kiasi tofauti cha bidhaa na asilimia tofauti ya kasoro, nk.

Mfano. Kutuma katika nafasi zilizoachwa wazi kunatokana na warsha mbili hadi ya tatu: 70% kutoka ya kwanza na 30% kutoka ya pili. Wakati huo huo, bidhaa za warsha ya kwanza zina kasoro 10%, na pili - 20%. Tafuta uwezekano kwamba moja tupu iliyochukuliwa bila mpangilio ina kasoro.

Suluhisho: p (H 1) = 0.7; p (H 2) = 0.3; p (A/H 1) = 0.1; p (A/H 2) = 0.2;

P = 0.7 × 0.1 + 0.3 × 0.2 = 0.13 (kwa wastani, 13% ya ingots katika warsha ya tatu ni kasoro).

Mfano wa hisabati inaweza kuwa, kwa mfano, kama hii: kuna urns kadhaa za utungaji tofauti; urn ya kwanza ina n 1 mipira, ambayo m 1 ni nyeupe, nk. Kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano, tunatafuta uwezekano wa kuchagua urn bila mpangilio na kuchora mpira mweupe kutoka kwayo.

Mpango huo huo hutumiwa kutatua matatizo katika kesi ya jumla.

Mfano. Wacha turudi kwa mfano wa urn iliyo na mipira ya N, ambayo n ni nyeupe. Tunachukua mipira miwili kutoka kwake (bila kurudi). Kuna uwezekano gani kwamba mpira wa pili ni nyeupe?

Suluhisho. H 1 - mpira wa kwanza ni nyeupe; p(H 1)=n/N;

H 2 - mpira wa kwanza ni mweusi; p(H 2)=(N-n)/N;

B - mpira wa pili ni nyeupe; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);

Mfano huo unaweza kutumika kutatua tatizo lifuatalo: kati ya tikiti za N, mwanafunzi amejifunza n. Ni faida gani zaidi kwake - kuteka tikiti ya kwanza au ya pili? Inageuka kuwa kwa hali yoyote ana uwezekano n/N itatoa tikiti nzuri na kwa uwezekano ( N-n)/N - mbaya.

Mfano. Amua uwezekano kwamba msafiri anayeondoka kwenye sehemu A ataishia kwenye hatua B ikiwa, kwenye uma barabarani, atachagua barabara yoyote kwa nasibu (isipokuwa ya kurudi). Ramani ya barabara imeonyeshwa kwenye Mtini. 1.3.

Suluhisho. Hebu kuwasili kwa msafiri katika pointi H 1, H 2, H 3 na H 4 kuwa hypotheses sambamba. Kwa wazi, huunda kikundi kamili cha matukio na kulingana na hali ya tatizo

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Maelekezo yote kutoka kwa A yanawezekana kwa msafiri kwa usawa). Kulingana na ramani ya barabara, uwezekano wa masharti wa kuingia B, mradi tu msafiri alipitia Hi, ni sawa na:

Kwa kutumia formula ya jumla ya uwezekano, tunapata

  1. Fomula ya Bayes

Wacha tufikirie kuwa masharti ya aya iliyotangulia yamefikiwa na inajulikana zaidi kuwa tukio hilo A kilichotokea. Wacha tupate uwezekano kwamba nadharia iligunduliwa H k. Kwa ufafanuzi wa uwezekano wa masharti

. (1.15)

Uhusiano unaosababishwa unaitwa Fomula ya Bayes. Inaruhusu kulingana na inayojulikana
(kabla ya jaribio) uwezekano wa kipaumbele wa nadharia p(Hi) na uwezekano wa masharti p(A|H i) kuamua uwezekano wa masharti p(H k |A) ambayo inaitwa nyuma (Hiyo ni, kupatikana chini ya hali ya kuwa kama matokeo ya tukio tukio A tayari imetokea).

Mfano. Asilimia 30 ya wagonjwa waliolazwa hospitalini ni wa kundi la kwanza la kijamii, 20% hadi la pili na 50% hadi la tatu. Uwezekano wa kuambukizwa kifua kikuu kwa mwakilishi wa kila kikundi cha kijamii ni, kwa mtiririko huo, 0.02, 0.03 na 0.01. Uchunguzi uliofanywa kwa mgonjwa aliyechaguliwa kwa nasibu ulionyesha uwepo wa kifua kikuu. Tafuta uwezekano kwamba huyu ni mwakilishi wa kundi la tatu.

Kwa hakika, fomula (1) na (2) ni rekodi fupi ya uwezekano wa masharti kulingana na jedwali la sifa za dharura. Hebu turudi kwenye mfano uliojadiliwa (Mchoro 1). Tuseme tunajifunza kwamba familia inapanga kununua televisheni ya skrini pana. Je, kuna uwezekano gani kwamba familia hii kweli itanunua TV kama hiyo?

Mchele. 1. Tabia ya Ununuzi wa Televisheni pana

Katika hali hii, tunahitaji kukokotoa uwezekano wa masharti P (ununuzi umekamilika | ununuzi umepangwa). Kwa kuwa tunajua kwamba familia inapanga kununua, nafasi ya sampuli haijumuishi familia zote 1000, lakini ni zile tu zinazopanga kununua TV ya skrini pana. Kati ya familia 250 kama hizo, 200 walinunua TV hii. Kwa hivyo, uwezekano kwamba familia itanunua TV ya skrini pana ikiwa wamepanga kufanya hivyo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:

P (ununuzi umekamilika | ununuzi umepangwa) = idadi ya familia zilizopanga na kununua TV ya skrini pana / idadi ya familia zinazopanga kununua TV ya skrini pana = 200 / 250 = 0.8

Mfumo (2) hutoa matokeo sawa:

tukio liko wapi A ni kwamba familia inapanga kununua TV ya skrini pana, na tukio hilo KATIKA- kwamba yeye kweli kununua. Kubadilisha data halisi kwenye fomula, tunapata:

Mti wa uamuzi

Katika Mtini. Familia 1 zimegawanywa katika vikundi vinne: wale waliopanga kununua TV ya skrini pana na wale ambao hawakununua, na vile vile walionunua TV kama hiyo na wale ambao hawakununua. Uainishaji sawa unaweza kufanywa kwa kutumia mti wa uamuzi (Mchoro 2). Mti ulioonyeshwa kwenye Mtini. 2 ina matawi mawili yanayolingana na familia zilizopanga kununua TV ya skrini pana na familia ambazo hazikufanya hivyo. Kila moja ya matawi haya hugawanyika katika matawi mawili ya ziada yanayolingana na kaya ambazo zilifanya na hazikununua TV ya skrini pana. Uwezekano ulioandikwa mwishoni mwa matawi mawili makuu ni uwezekano usio na masharti wa matukio A Na A'. Uwezekano ulioandikwa mwishoni mwa matawi manne ya ziada ni uwezekano wa masharti wa kila mchanganyiko wa matukio A Na KATIKA. Uwezekano wa masharti huhesabiwa kwa kugawanya uwezekano wa pamoja wa matukio na uwezekano wa kila mmoja wao usio na masharti.

Mchele. 2. Mti wa uamuzi

Kwa mfano, ili kuhesabu uwezekano kwamba familia itanunua televisheni ya skrini pana ikiwa imepanga kufanya hivyo, mtu lazima atambue uwezekano wa tukio hilo. ununuzi uliopangwa na kukamilika, na kisha ugawanye kwa uwezekano wa tukio ununuzi uliopangwa. Kusonga kando ya mti wa uamuzi unaoonyeshwa kwenye Mtini. 2, tunapata jibu lifuatalo (sawa na lililopita):

Uhuru wa takwimu

Katika mfano wa kununua TV ya skrini pana, uwezekano kwamba familia iliyochaguliwa kwa nasibu ilinunua TV ya skrini pana kutokana na kwamba walipanga kufanya hivyo ni 200/250 = 0.8. Kumbuka kwamba uwezekano usio na masharti kwamba familia iliyochaguliwa kwa nasibu ilinunua TV ya skrini pana ni 300/1000 = 0.3. Hii inaongoza kwenye hitimisho muhimu sana. Maelezo ya awali kwamba familia ilikuwa inapanga ununuzi huathiri uwezekano wa ununuzi wenyewe. Kwa maneno mengine, matukio haya mawili yanategemeana. Tofauti na mfano huu, kuna matukio huru ya kitakwimu ambayo uwezekano wake hautegemei kila mmoja. Uhuru wa kitakwimu unaonyeshwa na utambulisho: P(A|B) = P(A), Wapi P(A|B)- uwezekano wa tukio A ilimradi tukio hilo limetokea KATIKA, P(A)- uwezekano usio na masharti wa tukio A.

Tafadhali kumbuka kuwa matukio A Na KATIKA P(A|B) = P(A). Ikiwa katika jedwali la hali ya dharura yenye ukubwa wa 2×2, hali hii inatimizwa kwa angalau mchanganyiko mmoja wa matukio. A Na KATIKA, itakuwa halali kwa mchanganyiko mwingine wowote. Katika matukio yetu ya mfano ununuzi uliopangwa Na ununuzi umekamilika hazijitegemei kitakwimu kwa sababu maelezo kuhusu tukio moja huathiri uwezekano wa lingine.

Hebu tuangalie mfano unaoonyesha jinsi ya kupima uhuru wa takwimu wa matukio mawili. Hebu tuulize familia 300 ambazo zilinunua TV ya skrini pana ikiwa waliridhika na ununuzi wao (Mchoro 3). Amua ikiwa kiwango cha kuridhika na ununuzi na aina ya TV vinahusiana.

Mchele. 3. Data inayobainisha kiwango cha kuridhika kwa wanunuzi wa TV za skrini pana

Kwa kuzingatia data hizi,

Wakati huo huo,

P (mteja ameridhika) = 240 / 300 = 0.80

Kwa hivyo, uwezekano kwamba mteja ameridhika na ununuzi na kwamba familia ilinunua HDTV ni sawa, na matukio haya yanajitegemea kitakwimu kwa sababu hayahusiani kwa njia yoyote.

Kanuni ya uwezekano wa kuzidisha

Fomula ya kuhesabu uwezekano wa masharti hukuruhusu kuamua uwezekano wa tukio la pamoja A na B. Baada ya kusuluhisha fomula (1)

kuhusiana na uwezekano wa viungo P (A na B), tunapata kanuni ya jumla ya uwezekano wa kuzidisha. Uwezekano wa tukio A na B sawa na uwezekano wa tukio A ilimradi tukio litatokea KATIKA KATIKA:

(3) P(A na B) = P(A|B) * P(B)

Hebu tuchukue kama mfano familia 80 ambazo zilinunua televisheni ya HDTV ya skrini pana (Mchoro 3). Jedwali linaonyesha kuwa familia 64 zimeridhika na ununuzi huo na 16 hazijaridhika. Hebu tuchukulie kwamba familia mbili zimechaguliwa kwa nasibu kutoka miongoni mwao. Amua uwezekano kwamba wateja wote wawili wataridhika. Kwa kutumia formula (3), tunapata:

P(A na B) = P(A|B) * P(B)

tukio liko wapi A ni kwamba familia ya pili imeridhika na ununuzi wao, na tukio hilo KATIKA- kwamba familia ya kwanza imeridhika na ununuzi wao. Uwezekano kwamba familia ya kwanza imeridhika na ununuzi wao ni 64/80. Hata hivyo, uwezekano kwamba familia ya pili pia imeridhika na ununuzi wao inategemea majibu ya familia ya kwanza. Ikiwa familia ya kwanza haitarudi kwenye sampuli baada ya uchunguzi (uteuzi bila kurudi), idadi ya waliohojiwa imepunguzwa hadi 79. Ikiwa familia ya kwanza itaridhika na ununuzi wao, uwezekano wa familia ya pili pia kuridhika ni 63. /79, kwa kuwa zimesalia 63 pekee katika sampuli za familia zilizoridhika na ununuzi wao. Kwa hivyo, kubadilisha data maalum katika fomula (3), tunapata jibu lifuatalo:

P (A na B) = (63/79) (64/80) = 0.638.

Kwa hiyo, uwezekano kwamba familia zote mbili zimeridhika na ununuzi wao ni 63.8%.

Tuseme kwamba baada ya uchunguzi familia ya kwanza inarudi kwa sampuli. Amua uwezekano kwamba familia zote mbili zitaridhika na ununuzi wao. Katika kesi hii, uwezekano kwamba familia zote mbili zimeridhika na ununuzi wao ni sawa, sawa na 64/80. Kwa hiyo, P (A na B) = (64/80) (64/80) = 0.64. Kwa hivyo, uwezekano kwamba familia zote mbili zimeridhika na ununuzi wao ni 64.0%. Mfano huu unaonyesha kwamba uchaguzi wa familia ya pili hautegemei uchaguzi wa kwanza. Kwa hivyo, kuchukua nafasi ya uwezekano wa masharti katika fomula (3) P(A|B) uwezekano P(A), tunapata fomula ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru.

Kanuni ya kuzidisha uwezekano wa matukio ya kujitegemea. Ikiwa matukio A Na KATIKA zinajitegemea kitakwimu, uwezekano wa tukio A na B sawa na uwezekano wa tukio A, ikizidishwa na uwezekano wa tukio KATIKA.

(4) P(A na B) = P(A)P(B)

Ikiwa sheria hii ni kweli kwa matukio A Na KATIKA, ambayo inamaanisha kuwa wanajitegemea kitakwimu. Kwa hivyo, kuna njia mbili za kuamua uhuru wa takwimu wa matukio mawili:

  1. Matukio A Na KATIKA zinajitegemea kitakwimu ikiwa na iwapo tu P(A|B) = P(A).
  2. Matukio A Na B zinajitegemea kitakwimu ikiwa na iwapo tu P(A na B) = P(A)P(B).

Ikiwa katika jedwali la dharura la 2x2, mojawapo ya masharti haya yanatimizwa kwa angalau mchanganyiko mmoja wa matukio A Na B, itakuwa halali kwa mchanganyiko mwingine wowote.

Uwezekano usio na masharti wa tukio la msingi

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

ambapo matukio B 1, B 2, ... B k ni ya kipekee na kamili.

Hebu tuonyeshe matumizi ya fomula hii kwa kutumia mfano wa Mchoro 1. Kwa kutumia formula (5), tunapata:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Wapi P(A)- uwezekano kwamba ununuzi ulipangwa, P(B 1)- uwezekano kwamba ununuzi unafanywa, P(B 2)- uwezekano kwamba ununuzi haujakamilika.

NADHARIA YA BAYES

Uwezekano wa masharti wa tukio unazingatia taarifa kwamba tukio lingine limetokea. Mbinu hii inaweza kutumika kuboresha uwezekano kwa kuzingatia taarifa mpya zilizopokewa, na kukokotoa uwezekano kwamba athari inayoonekana ni tokeo la sababu mahususi. Utaratibu wa kuboresha uwezekano huu unaitwa nadharia ya Bayes. Ilianzishwa kwanza na Thomas Bayes katika karne ya 18.

Hebu tuchukulie kuwa kampuni iliyotajwa hapo juu inatafiti soko la mtindo mpya wa TV. Hapo awali, 40% ya TV zilizoundwa na kampuni zilifanikiwa, wakati 60% ya mifano haikutambuliwa. Kabla ya kutangaza kutolewa kwa mtindo mpya, wataalamu wa uuzaji hutafiti kwa uangalifu soko na kurekodi mahitaji. Hapo awali, 80% ya mifano iliyofanikiwa ilitabiriwa kuwa na mafanikio, wakati 30% ya utabiri uliofanikiwa uligeuka kuwa sio sawa. Idara ya uuzaji ilitoa utabiri mzuri wa mtindo mpya. Je, kuna uwezekano gani kwamba mtindo mpya wa TV utahitajika?

Nadharia ya Bayes inaweza kutolewa kutoka kwa ufafanuzi wa uwezekano wa masharti (1) na (2). Ili kukokotoa uwezekano P(B|A), chukua fomula (2):

na badala ya P(A na B) thamani kutoka kwa fomula (3):

P(A na B) = P(A|B) * P(B)

Kubadilisha fomula (5) badala ya P (A), tunapata nadharia ya Bayes:

ambapo matukio B 1, B 2, ... B k ni ya kipekee na kamili.

Hebu tutambulishe nukuu ifuatayo: tukio S - TV inahitajika, tukio S’ - TV haihitajiki, tukio F - ubashiri mzuri, tukio F’ - ubashiri mbaya. Hebu tuchukulie kuwa P(S) = 0.4, P(S’) = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S’) = 0.3. Kutumia nadharia ya Bayes tunapata:

Uwezekano wa mahitaji ya mtindo mpya wa TV, kutokana na utabiri mzuri, ni 0.64. Hivyo, uwezekano wa ukosefu wa mahitaji kutokana na utabiri mzuri ni 1–0.64=0.36. Mchakato wa kuhesabu unaonyeshwa kwenye Mtini. 4.

Mchele. 4. (a) Hesabu zinazotumia fomula ya Bayes kukadiria uwezekano wa mahitaji ya televisheni; (b) Mti wa maamuzi unaposoma mahitaji ya mtindo mpya wa TV

Wacha tuangalie mfano wa kutumia nadharia ya Bayes kwa utambuzi wa matibabu. Uwezekano kwamba mtu anaugua ugonjwa fulani ni 0.03. Uchunguzi wa kimatibabu unaweza kuangalia kama hii ni kweli. Ikiwa mtu ni mgonjwa kweli, uwezekano wa utambuzi sahihi (kusema kwamba mtu ni mgonjwa wakati anaumwa kweli) ni 0.9. Ikiwa mtu ana afya, uwezekano wa uchunguzi wa uongo (kusema kwamba mtu ni mgonjwa wakati ana afya) ni 0.02. Hebu sema kwamba mtihani wa matibabu hutoa matokeo mazuri. Kuna uwezekano gani kwamba mtu ni mgonjwa kweli? Kuna uwezekano gani wa utambuzi sahihi?

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo: tukio D - mtu ni mgonjwa, tukio D’ - mtu ana afya, tukio T - utambuzi ni chanya, tukio T’ - utambuzi hasi. Kutokana na hali ya tatizo inafuata kwamba P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D') = 0.02. Kwa kutumia formula (6), tunapata:

Uwezekano kwamba kwa utambuzi mzuri mtu ni mgonjwa kweli ni 0.582 (tazama pia Mchoro 5). Tafadhali kumbuka kuwa denominator ya formula ya Bayes ni sawa na uwezekano wa utambuzi mzuri, i.e. 0.0464.

  • Uwezekano ni kiwango (kipimo cha jamaa, tathmini ya kiasi) ya uwezekano wa kutokea kwa tukio fulani. Wakati sababu za tukio fulani kutokea kwa kweli zinazidi sababu tofauti, basi tukio hili linaitwa kinachowezekana, vinginevyo - haiwezekani au isiyowezekana. Kuenea kwa sababu chanya juu ya hasi, na kinyume chake, kunaweza kuwa kwa viwango tofauti, kama matokeo ambayo uwezekano (na kutowezekana) unaweza kuwa mkubwa au mdogo. Kwa hivyo, uwezekano mara nyingi hupimwa katika kiwango cha ubora, haswa katika hali ambapo tathmini sahihi zaidi ya kiasi haiwezekani au ngumu sana. Gradiations mbalimbali za "ngazi" za uwezekano zinawezekana.

    Utafiti wa uwezekano kutoka kwa mtazamo wa hisabati unajumuisha taaluma maalum - nadharia ya uwezekano. Katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati, dhana ya uwezekano inarasimishwa kama sifa ya nambari ya tukio - kipimo cha uwezekano (au thamani yake) - kipimo juu ya seti ya matukio (seti ndogo za seti ya matukio ya msingi), kuchukua maadili. kutoka

    (\mtindo wa kuonyesha 0)

    (\mtindo wa kuonyesha 1)

    Maana

    (\mtindo wa kuonyesha 1)

    Inalingana na tukio la kuaminika. Tukio lisilowezekana lina uwezekano wa 0 (mazungumzo kwa ujumla sio kweli kila wakati). Ikiwa uwezekano wa tukio kutokea ni

    (\mtindo wa maonyesho p)

    Kisha uwezekano wa kutotokea kwake ni sawa na

    (\mtindo wa kuonyesha 1-p)

    Hasa, uwezekano

    (\mtindo wa kuonyesha 1/2)

    Inamaanisha uwezekano sawa wa kutokea na kutotokea kwa tukio.

    Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano unategemea dhana ya uwezekano sawa wa matokeo. Uwezekano ni uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio fulani kwa jumla ya matokeo yanayowezekana kwa usawa. Kwa mfano, uwezekano wa kupata vichwa au mikia katika kutupwa kwa sarafu bila mpangilio ni 1/2 ikiwa inachukuliwa kuwa uwezekano huu mbili pekee hutokea na kwamba zinawezekana kwa usawa. "Ufafanuzi" huu wa kawaida wa uwezekano unaweza kujumuishwa kwa idadi isiyo na kikomo ya maadili yanayowezekana - kwa mfano, ikiwa tukio fulani linaweza kutokea kwa uwezekano sawa wakati wowote (idadi ya vidokezo haina kikomo) ya eneo fulani la kikomo. nafasi (ndege), basi uwezekano kwamba itatokea katika sehemu fulani ya eneo hili linalowezekana ni sawa na uwiano wa kiasi (eneo) la sehemu hii kwa kiasi (eneo) la eneo la pointi zote zinazowezekana.

    "Ufafanuzi" wa kisayansi wa uwezekano unahusiana na marudio ya tukio, kwa kuzingatia ukweli kwamba kwa idadi kubwa ya kutosha ya majaribio, mzunguko unapaswa kuzingatia kiwango cha lengo la uwezekano wa tukio hili. Katika uwasilishaji wa kisasa wa nadharia ya uwezekano, uwezekano unafafanuliwa kwa njia ya axiomatically, kama kesi maalum ya nadharia ya kufikirika ya kipimo kilichowekwa. Hata hivyo, kiungo cha kuunganisha kati ya kipimo cha kufikirika na uwezekano, ambacho kinaonyesha kiwango cha uwezekano wa tukio la tukio, ni mara kwa mara ya uchunguzi wake.

    Maelezo ya uwezekano wa matukio fulani yameenea katika sayansi ya kisasa, haswa katika uchumi, fizikia ya takwimu ya mifumo ya macroscopic (thermodynamic), ambapo hata katika kesi ya maelezo ya kitabia ya harakati ya chembe, maelezo ya kuamua ya mfumo mzima. ya chembe haionekani kuwa inawezekana au inafaa. Katika fizikia ya quantum, michakato iliyoelezewa yenyewe ni ya uwezekano wa asili.

Ninaelewa kuwa kila mtu anataka kujua mapema jinsi tukio la michezo litaisha, nani atashinda na nani atashindwa. Kwa habari hii, unaweza kuweka dau kwenye hafla za michezo bila woga. Lakini inawezekana, na ikiwa ni hivyo, jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio?

Uwezekano ni thamani ya jamaa, kwa hiyo haiwezi kuzungumza kwa uhakika kuhusu tukio lolote. Thamani hii hukuruhusu kuchanganua na kutathmini hitaji la kuweka dau kwenye shindano fulani. Kuamua uwezekano ni sayansi nzima ambayo inahitaji kusoma kwa uangalifu na kuelewa.

Mgawo wa uwezekano katika nadharia ya uwezekano

Katika kamari ya michezo, kuna chaguzi kadhaa za matokeo ya mashindano:

  • ushindi wa timu ya kwanza;
  • ushindi wa timu ya pili;
  • kuchora;
  • jumla

Kila matokeo ya shindano yana uwezekano na frequency yake ambayo tukio hili litatokea, mradi tu sifa za awali zinadumishwa. Kama tulivyosema hapo awali, haiwezekani kuhesabu kwa usahihi uwezekano wa tukio lolote - linaweza au la sanjari. Kwa hivyo, dau lako linaweza kushinda au kushindwa.

Hakuwezi kuwa na utabiri sahihi wa 100% wa matokeo ya mashindano, kwani mambo mengi huathiri matokeo ya mechi. Kwa kawaida, wasiohalali hawajui matokeo ya mechi mapema na huchukua tu matokeo, wakifanya maamuzi kwa kutumia mfumo wao wa uchanganuzi na kutoa uwezekano fulani wa kuweka kamari.

Jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio?

Hebu tuchukue kwamba tabia mbaya ya bookmaker ni 2.1 / 2 - tunapata 50%. Inatokea kwamba mgawo 2 ni sawa na uwezekano wa 50%. Kwa kutumia kanuni hiyo hiyo, unaweza kupata mgawo wa uwezekano wa kuvunja-hata - 1/uwezekano.

Wachezaji wengi wanafikiria kuwa baada ya kushindwa mara kadhaa, ushindi utatokea - hii ni maoni potofu. Uwezekano wa kushinda dau hautegemei idadi ya hasara. Hata ikiwa unageuza vichwa kadhaa mfululizo kwenye mchezo wa sarafu, uwezekano wa kupindua mkia unabaki sawa - 50%.