Nadharia ya kikomo cha kati ya takwimu. Nadharia ya kikomo cha kati katika MS EXCEL

Nadharia ya kikomo cha kati (CLT) ni kundi la pili la nadharia za kikomo ambazo huanzisha uhusiano kati ya sheria ya usambazaji. majumuisho ya anuwai ya nasibu na sura yake ya mwisho - sheria ya kawaida ya usambazaji.

Hadi sasa, mara nyingi tumezungumza juu ya utulivu wa sifa za wastani za idadi kubwa ya vipimo, au kwa usahihi, juu ya utulivu wa hesabu za fomu.

Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba thamani
nasibu, ambayo inamaanisha ina sheria fulani ya usambazaji. Inabadilika kuwa ukweli huu wa kushangaza unajumuisha yaliyomo

kikundi kingine cha nadharia, kilichounganishwa chini ya jina la jumla kikomo cha katinadharia, kwamba chini ya hali ya haki ya jumla sheria ya usambazaji karibu na sheria ya kawaida.

Tangu thamani tofauti na kiasi

sababu ya mara kwa mara tu
basi, kwa ujumla, maudhui ya CLT yanaweza kutengenezwa kama ifuatavyo.

Usambazaji wa jumla ya idadi kubwa ya vigeu huru vya nasibu vilivyo na sana

Masharti ya jumla ni karibu na sheria ya kawaida ya usambazaji.

Inajulikana kuwa vigezo vya kawaida vinavyosambazwa bila mpangilio vinatumika sana katika mazoezi (sio tu katika nadharia ya uwezekano, bali pia katika matumizi yake mengi). Ni nini kinaelezea jambo hili? Jibu la "jambo" kama hilo lilitolewa kwanza na mwanahisabati bora wa Kirusi A.M. Lyapunov mnamo 1901: "Nadharia kuu ya kikomo ya Lyapunov." Jibu la Lyapunov liko katika hali yake ambayo CLT inashikilia (tazama hapa chini).

Ili kuandaa uundaji sahihi wa CLT, hebu tujiulize maswali mawili:

1. Nini maana sahihi ya taarifa kwamba “sheria ya mgawanyo wa jumla "karibu" na sheria ya kawaida?

2. Je, ukaribu huu ni halali chini ya hali gani?

Ili kujibu maswali haya, zingatia mlolongo usio na kikomo wa anuwai za nasibu:
Hebu tutunge "jumla ya kiasi" ya mlolongo wetu wa r.v.

(23)

Kutoka kwa kila tofauti ya nasibu wacha tuendelee kwenye kibadilishaji kisicho cha kawaida cha "kawaida".

(24)

Tumeanzisha (tazama T.8., aya ya 3, usawa (19)) kwamba
.

Jibu la swali la kwanza sasa linaweza kutengenezwa kulingana na usawa wa kikomo

(25)
, (
,

ikimaanisha kuwa sheria ya usambazaji wa r.v. pamoja na ukuaji inakaribia sheria ya kawaida na
. Bila shaka, kutokana na ukweli kwamba thamani ina takriban usambazaji wa kawaida, inafuata kwamba thamani takriban kawaida kusambazwa,

(26)

Mfumo wa kuamua uwezekano kwamba jumla ya r.v kadhaa. itakuwa ndani ya mipaka iliyoainishwa. CPT mara nyingi hutumiwa kwa

Kuhusu masharti ambayo yanapaswa kuwekwa kwa kiasi
Mawazo yafuatayo yanaweza kufanywa. Hebu fikiria tofauti
Tunapata kupotoka kwa r.v. kutoka kwa matarajio yake ya hisabati. Maana ya jumla ya masharti yaliyowekwa kwa kiasi
ni kwamba deviations binafsi
lazima iwe ndogo kwa usawa ikilinganishwa na kupotoka kwa jumla
Uundaji halisi wa masharti haya ambayo uhusiano wa kikomo ni halali ulitolewa na M.A. Lyapunov mnamo 1901. Ni kama ifuatavyo.

Wacha kwa kila moja ya idadi
nambari zina mwisho (kumbuka kuwa kuna mtawanyiko r.v.
- « wakati wa kati wa agizo la tatu").

Ikiwa katika

basi tutasema kwamba mlolongo
inaridhisha Hali ya Lyapunov.

Hasa, CLT kwa kesi wakati katika jumla ya vigezo random kila neno ina usambazaji sawa, i.e. kila kitu na
basi hali ya Lyapunov imeridhika

Yaani, katika mazoezi kesi hii ya CLT hutumiwa mara nyingi. Kwa sababu katika takwimu za hisabati sampuli yoyote ya nasibu ya r.v. kuwa na mgawanyo sawa kwa sababu "sampuli" zimetolewa kutoka kwa idadi sawa.

Wacha tuunde kesi hii kama taarifa tofauti ya CLT.

Nadharia 10.7 (CPT).Wacha vibadilishio bila mpangilio
kujitegemea, kwa usawakusambazwa, kuwa na matarajio ya kihesabu yenye ukomo
na tofauti

Kisha kazi ya usambazaji ya jumla iliyowekwa katikati na ya kawaida ya hizi r.v. katika
huelekea utendaji wa usambazaji wa kigezo cha kawaida cha nasibu:

(27)

Katika kesi hii, ni vizuri kuelewa jinsi "udogo" wa maneno unaonyeshwa,
thamani iko wapi ina utaratibu , na thamani
agizo
, kwa hivyo uwiano wa kiasi cha kwanza hadi cha pili huwa 0.

Sasa tunaweza kuunda nadharia ya kikomo cha kati katika mfumo wa A.M. Lyapunova.

Nadharia 10.8. (Lyapunov).Ikiwa mlolongo
ya vigezo vya kujitegemea vya random inakidhi hali ya Lyapunov, basi uhusiano wa kikomo ni halali

(28)
,

kwa yoyote
Na , ambapo (
.

Kwa maneno mengine, katika kesi hii, sheria ya usambazaji wa kiasi cha kawaida inabadilika kuwa sheria ya kawaida na vigezo

Ikumbukwe kwamba ili kuthibitisha CPT A.M. Lyapunov alitengeneza njia maalum kulingana na nadharia ya kile kinachojulikana kama kazi za tabia. Njia hii iligeuka kuwa muhimu sana katika matawi mengine ya hisabati (tazama uthibitisho wa CLT, kwa mfano, katika kitabu Borodin […]). Katika kitabu hiki, tutatoa taarifa fupi kuhusu utendakazi wa kuzalisha na baadhi ya programu katika kukokotoa sifa za nambari za viambatisho nasibu.

Maelezo mafupi kuhusu hitilafu ya kipimo. Inajulikana kuwa wakati wa kurudia vipimo vya kitu kimoja, kilichofanywa kwa chombo sawa cha kupimia kwa uangalifu sawa (chini ya hali sawa), matokeo sawa hayapatikani kila wakati. Kueneza kwa matokeo ya kipimo husababishwa na ukweli kwamba mchakato wa kipimo unaathiriwa na mambo mengi ambayo haiwezekani au haifai kuzingatia. Katika hali hii, hitilafu inayotokea wakati wa kupima kiasi cha riba kwetu mara nyingi inaweza kuzingatiwa kama jumla ya idadi kubwa ya maneno huru, ambayo kila moja hutoa mchango mdogo tu katika uundaji wa jumla nzima. Lakini kesi kama hizo hutuongoza kwa usahihi kwa hali ya utumiaji wa nadharia ya Lyapunov, na tunaweza kutarajia kuwa usambazaji wa makosa ya kipimo hutofautiana kidogo na usambazaji wa kawaida.

Kwa ujumla zaidi, kosa ni kazi ya idadi kubwa ya hoja za nasibu, ambazo kila moja inatofautiana kidogo tu na thamani yake inayotarajiwa. Kwa kusawazisha kazi hii, ambayo ni, kuibadilisha na laini, tunakuja kwenye kesi iliyopita. Uzoefu uliokusanywa katika uchakataji wa takwimu za matokeo ya kipimo hakika unathibitisha ukweli huu katika hali nyingi za vitendo.

Hoja kama hiyo inaelezea kuonekana kwa usambazaji wa kawaida katika kupotoka kwa vigezo vinavyoamua bidhaa iliyokamilishwa (bidhaa) kutoka kwa viwango vya kawaida vya uzalishaji wa wingi.

Fikiria mfano ufuatao.

Mfano 5. Vigezo vya nasibu vinavyojitegemea kusambazwa kwa usawa kwenye sehemu. Tafuta sheria ya usambazaji wa r.v.
, pamoja na uwezekano kwamba

Suluhisho. Masharti ya CPT yanatimizwa, kwa hiyo r.v. ina takriban msongamano wa usambazaji

Kulingana na fomula zinazojulikana za m.o. na tofauti katika kesi ya usambazaji sare tunapata: Kisha

Kulingana na fomula (26), tunapata (kwa kuzingatia maadili yaliyoonyeshwa ya kazi ya Laplace)

Matatizo mengi ya TV yanahusiana na utafiti wa jumla ya vigezo vya kujitegemea vya random, ambayo, chini ya hali fulani, ina usambazaji karibu na kawaida. Masharti haya yanaonyeshwa na theorem ya kikomo cha kati (CLT).

Acha ξ 1, ξ 2, …, ξ n, … iwe mfuatano wa vigeu huru vya nasibu. Hebu kuashiria

n η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. Wanasema kwamba CTP inatumika kwa mlolongo ξ 1, ξ 2, ..., ξ n, ...

ikiwa kama n → ∞ sheria ya usambazaji η n inaelekea kuwa ya kawaida:

Kiini cha CLT: kwa ongezeko lisilo na kikomo la idadi ya vigezo vya random, sheria ya usambazaji wa jumla yao huwa ya kawaida.

Nadharia ya kikomo cha kati cha Lyapunov

Sheria ya idadi kubwa haichunguzi fomu ya sheria ya kikomo ya usambazaji wa jumla ya vigezo vya random. Swali hili linazingatiwa katika kundi la nadharia zinazoitwa nadharia ya kikomo cha kati. Wanasema kuwa sheria ya usambazaji wa jumla ya anuwai za nasibu, ambayo kila moja inaweza kuwa na usambazaji tofauti, inakaribia kawaida wakati idadi ya istilahi ni kubwa vya kutosha. Hii inaelezea umuhimu wa sheria ya kawaida kwa matumizi ya vitendo.

Kazi za tabia.

Ili kudhibitisha nadharia ya kikomo cha kati, njia ya kazi za tabia hutumiwa.

Ufafanuzi 14.1.Kazi ya tabia kutofautiana nasibu X inayoitwa kazi

g(t) = M (na itX) (14.1)

Hivyo, g (t) inawakilisha matarajio ya kihisabati ya utofauti changamano wa nasibu U = na itX, inayohusishwa na thamani X. Hasa, ikiwa X ni tofauti ya nasibu iliyobainishwa na mfululizo wa usambazaji, basi

. (14.2)

Kwa mabadiliko ya nasibu endelevu yenye msongamano wa usambazaji f(x)

(14.3)

Mfano 1. Hebu X- idadi ya pointi 6 zilizopatikana kwa kutupa moja ya kete. Kisha kulingana na formula (14.2) g(t) =

Mfano 2. Tafuta kipengele cha kukokotoa cha kibadilishio cha kawaida kisicho na mpangilio kinachosambazwa kulingana na sheria ya kawaida . Kulingana na fomula (14.3) (tulitumia fomula na nini i² = -1).

Sifa za kazi za tabia.

1. Kazi f(x) inaweza kupatikana kwa kutumia kazi inayojulikana g(t) kulingana na fomula

(14.4)

(mabadiliko (14.3) huitwa Mabadiliko ya Fourier, na mabadiliko (14.4) - kubadilisha Fourier kinyume).

2. Ikiwa vigezo vya nasibu X Na Y kuhusiana na uhusiano Y = aX, basi kazi zao za tabia zinahusiana na uhusiano

g y (t) = g x (katika). (14.5)

3. Tabia ya kazi ya jumla ya vigezo huru vya nasibu ni sawa na bidhaa ya sifa za kazi za maneno: kwa

Nadharia ya 14.1 (nadharia ya kikomo cha kati kwa masharti yanayosambazwa sawasawa). Kama X 1 , X 2 ,…, X uk,… - vigeu huru vya nasibu vilivyo na sheria sawa ya usambazaji, matarajio ya hisabati T na tofauti σ 2, basi kwa ongezeko lisilo na kikomo P sheria ya usambazaji wa kiasi kwa muda usiojulikana inakaribia kawaida.

Ushahidi.

Wacha tuthibitishe nadharia ya anuwai za nasibu zinazoendelea X 1 , X 2 ,…, X uk(uthibitisho wa idadi tofauti ni sawa). Kulingana na masharti ya nadharia, kazi za tabia za maneno ni sawa: Kisha, kwa mali 3, kazi ya tabia ya jumla Yn itakuwa Panua utendaji g x(t) katika mfululizo wa Maclaurin:

, wapi.

Kwa kudhani kuwa T= 0 (yaani, sogeza asili hadi kwa uhakika T), hiyo.

(kwa sababu T= 0). Kubadilisha matokeo yaliyopatikana katika fomula ya Maclaurin, tunapata hiyo

Fikiria tofauti mpya ya nasibu tofauti na Yn kwa kuwa mtawanyiko wake kwa yoyote P sawa na 0. Tangu Yn Na Zn zinahusiana na uhusiano wa mstari, inatosha kuthibitisha hilo Zn kusambazwa kwa mujibu wa sheria ya kawaida, au, ambayo ni kitu kimoja, kwamba kazi yake ya tabia inakaribia kazi ya tabia ya sheria ya kawaida (tazama mfano 2). Kwa mali ya kazi za tabia

Wacha tuchukue logarithm ya usemi unaosababishwa:

Wapi

Wacha tuiweke kwa safu P→ ∞, tukijiwekea mipaka kwa masharti mawili ya upanuzi, kisha ln(1 - k) ≈ - k.

Ambapo kikomo cha mwisho ni 0, kwani saa . Kwa hivyo, , hiyo ni - kipengele cha utendaji wa usambazaji wa kawaida. Kwa hivyo, kwa ongezeko lisilo na kikomo la idadi ya maneno, kazi ya tabia ya wingi Zn inakaribia bila ukomo kazi ya tabia ya sheria ya kawaida; kwa hiyo, sheria ya usambazaji Zn(Na Yn) inakaribia kawaida bila kikomo. Nadharia imethibitishwa.

A.M. Lyapunov alithibitisha nadharia ya kikomo cha kati kwa hali ya fomu ya jumla zaidi:

Theorem 14.2 (nadharia ya Lyapunov). Ikiwa tofauti ya nasibu X ni jumla ya idadi kubwa sana ya vigeu vya nasibu vinavyotegemeana ambavyo hali ifuatayo inatimizwa:

Wapi b k- wakati wa tatu kabisa wa kati wa ukubwa X k, A Dk ni tofauti yake, basi X ina usambazaji karibu na kawaida (hali ya Lyapunov ina maana kwamba ushawishi wa kila neno kwa jumla ni kidogo).

Kwa mazoezi, inawezekana kutumia nadharia ya kikomo cha kati na idadi ndogo ya maneno, kwani hesabu za uwezekano zinahitaji usahihi wa chini. Uzoefu unaonyesha kuwa kwa jumla ya masharti kumi au machache, sheria ya usambazaji wao inaweza kubadilishwa na ya kawaida.

Sheria ya idadi kubwa iliyojadiliwa hapo juu inathibitisha ukweli kwamba wastani wa idadi kubwa ya vigeu vya nasibu hukaribia viambatisho fulani.Lakini hii haizuii ruwaza zinazotokea kutokana na kitendo cha jumla cha viambajengo vya nasibu. Inabadilika kuwa chini ya hali zingine za jumla hatua ya pamoja ya idadi kubwa ya anuwai ya nasibu husababisha y fulani, ambayo ni sheria ya kawaida ya usambazaji y.

Nadharia ya kikomo cha kati ni kikundi cha nadharia zinazojitolea kuanzisha masharti ambayo sheria ya kawaida ya usambazaji hutokea. Miongoni mwa nadharia hizi, nafasi muhimu zaidi ni ya theorem ya Lyapunov.

Nadharia ya Lyapunov. Ikiwa X ( , X ъ ..., , ambayo kila moja ina matarajio ya hisabati M(X g) = A,

mtawanyiko 0(Хд=a 2, wakati kamili wa kati wa agizo la tatu Na

kisha sheria ya ugawaji wa kiasi hicho wakati n -> oo sio mdogo

lakini inakaribia kawaida na matarajio ya hisabati na tofauti

Tunakubali nadharia bila uthibitisho.

Ukadiriaji usio na kikomo wa sheria ya usambazaji wa jumla

kwa sheria ya kawaida n -> oo kwa mujibu wa sifa za sheria ya kawaida ina maana kwamba

ambapo Ф(r) ni kazi ya Laplace (2.11).

Maana ya sharti (6.20) ni kwamba jumla isiwe

masharti ambayo ushawishi wake katika kutawanyika U p kubwa sana ikilinganishwa na ushawishi wa wengine wote, na haipaswi kuwa na idadi kubwa ya maneno ya nasibu, ambayo ushawishi wake ni mdogo sana ikilinganishwa na ushawishi wa jumla wa wengine. Hivyo, uzito mahususi wa kila muhula binafsi unapaswa kuwa sufuri kadri idadi ya istilahi inavyoongezeka.

Kwa hiyo, kwa mfano, matumizi ya umeme kwa mahitaji ya kaya kwa mwezi katika kila ghorofa ya jengo la ghorofa inaweza kuwakilishwa kama P vigezo mbalimbali vya nasibu. Ikiwa matumizi ya umeme katika kila ghorofa haitoi kwa kasi kutoka kwa wengine kwa thamani yake, basi kulingana na theorem ya Lyapunov tunaweza kudhani kuwa matumizi ya umeme ya nyumba nzima, i.e. jumla P Vigezo huru vya nasibu vitakuwa kigezo cha nasibu ambacho kina takriban sheria ya kawaida ya usambazaji. Ikiwa, kwa mfano, kituo cha kompyuta iko katika moja ya majengo ya nyumba, kiwango cha matumizi ya umeme ni cha juu zaidi kuliko katika kila ghorofa kwa mahitaji ya nyumbani, basi hitimisho kuhusu usambazaji wa kawaida wa matumizi ya umeme ya nyumba nzima. itakuwa sahihi, kwa kuwa hali (6.20) inakiukwa. kwa sababu matumizi ya umeme ya kituo cha kompyuta yatakuwa na jukumu kubwa katika uundaji wa kiasi kizima cha matumizi.

Mfano mwingine. Kwa uendeshaji thabiti na unaofanya kazi vizuri wa mashine, usawa wa nyenzo zinazosindika, nk. tofauti katika ubora wa bidhaa inachukua fomu ya sheria ya kawaida ya usambazaji kutokana na ukweli kwamba kosa la uzalishaji ni matokeo ya hatua ya jumla ya idadi kubwa ya vigezo vya random: kosa la mashine, chombo, mfanyakazi, nk.

Matokeo. Ikiwa X ( , X 2 , ..., X n - vigezo vya kujitegemea vya random, ambazo zina matarajio sawa ya hisabati M(X () = A, utawanyiko 0(X,) = 2 na muda mfupi kabisa wa kati wa tatu

amri basi sheria ya mgawanyo wa kiasi

katika n -> na kwa muda usiojulikana inakaribia kawaida

sheria.

Uthibitisho unatokana na hali ya kuangalia (6.20):

kwa hivyo, usawa (6.21) pia unashikilia. ?

Hasa, ikiwa anuwai zote za nasibu X) zimesambazwa kwa usawa, basi sheria ya ugawaji wa jumla yao kwa muda usiojulikana inakaribia sheria ya kawaida kama n -> oo.

Wacha tuonyeshe kauli hii na mfano wa muhtasari wa vijiti huru vya nasibu ambavyo vina usambazaji sawa kwa muda (0, 1). Mkondo wa usambazaji wa kigezo kimoja kama hicho unaonyeshwa kwenye Mtini. 6.2, A. Katika Mtini. 6.2, b inaonyesha msongamano wa uwezekano wa jumla ya vigeuzo viwili vya nasibu (tazama mfano 5.9), na katika Mtini. 6.2, V - msongamano wa uwezekano wa jumla ya viambishi vitatu vya nasibu (grafu yake ina sehemu tatu za parabola kwenye vipindi (0; 1), (1; 2) na (2; 3) na, hata hivyo, tayari inafanana na mkunjo wa kawaida) .

Ukijumlisha anuwai sita kama hizo, unapata kutofautisha bila mpangilio na wiani wa uwezekano ambao kwa kweli hauna tofauti na ule wa kawaida.

Sasa tuna nafasi ya kuthibitisha nadharia za ndani na shirikishi za Moivre - Laplace(tazama aya ya 2.3).

Fikiria kutofautisha bila mpangilio - idadi ya matukio ya tukio katika P majaribio ya kujitegemea, katika kila moja ambayo inaweza kuonekana kwa uwezekano sawa p, i.e. X = T - kigezo cha nasibu kilicho na sheria ya usambazaji ya binomial ambayo matarajio yake ya hisabati M(X) = pr na tofauti O(X) = pr.

Tofauti ya nasibu 7, kama vile tofauti ya X, kwa ujumla, ni tofauti, lakini kwa idadi kubwa P vipimo, thamani zake ziko kwenye mhimili wa abscissa kwa karibu sana kwamba inaweza kuzingatiwa kuwa endelevu na wiani wa uwezekano ср(х).

Wacha tupate sifa za nambari za kutofautisha kwa nasibu 7 kwa kutumia mali ya matarajio ya kihesabu na utawanyiko:

Kutokana na ukweli kwamba kutofautiana kwa nasibu X ni jumla ya vigeu mbadala vya nasibu vinavyojitegemea (tazama aya ya 4.1), kigezo cha nasibu 2 inawakilisha pia jumla ya anuwai huru, iliyosambazwa kwa nasibu sawa na, kwa hivyo, kulingana na nadharia ya kikomo cha kati kwa idadi kubwa. P ina usambazaji karibu na sheria ya kawaida na vigezo a = 0, na 2 = 1. Kutumia mali (4.32) ya sheria ya kawaida, kwa kuzingatia usawa (4.33), tunapata

Kuamini , kwa kuzingatia kile tunachopata,

kwamba ukosefu wa usawa maradufu kwenye mabano ni sawa na ukosefu wa usawa Matokeo yake, kutoka kwa fomula (6.22) tunapata formula muhimu ya Moivre - Laplace (2.10):

Uwezekano R t uk hilo tukio A itatokea T mara moja kila P vipimo vya kujitegemea, vinaweza kuandikwa takriban katika fomu

kidogo Katika, sahihi zaidi takriban usawa. Kiwango cha chini (idadi kamili) Katika - 1. Kwa hivyo, kwa kuzingatia fomula (6.23) na (6.22), tunaweza kuandika:

Wapi

Kwa Dg ndogo tunayo

ambapo f(g) ni msongamano wa kigezo cha kawaida kinachosambazwa nasibu chenye vigezo a = 0, na 2 = 1, i.e.

Kwa kudhani kutoka kwa formula

(6.25) kwa kuzingatia usawa (6.24) tunapata mitaa Moivre - Laplace formula (2.7):

Maoni. Tahadhari fulani lazima itekelezwe wakati wa kutumia nadharia ya kikomo cha kati katika utafiti wa takwimu. Kwa hivyo, ikiwa kiasi ni P -> oo siku zote huwa na sheria ya kawaida

usambazaji, basi kiwango cha muunganisho kwake inategemea sana aina ya usambazaji wa masharti yake. Kwa hivyo, kwa mfano, kama ilivyoonyeshwa hapo juu, wakati wa muhtasari wa vijiti vilivyosambazwa kwa usawa, tayari na maneno 6-10 mtu anaweza kufikia ukaribu wa kutosha na sheria ya kawaida, wakati kufikia ukaribu sawa wakati wa muhtasari wa x 2 - maneno yaliyosambazwa bila mpangilio, zaidi ya 100. masharti yatahitajika.

Kulingana na nadharia ya kikomo cha kati, inaweza kubishaniwa kuwa zile zinazozingatiwa katika Sura. Vigezo 4 vya nasibu vilivyo na sheria za usambazaji - binomial, Poisson, hypergeometric, y)("chi-mraba") b(Mtihani wa Mwanafunzi), saa n -> oo husambazwa bila dalili kawaida.

Hadi sasa, mara nyingi tumezungumza juu ya utulivu wa sifa za wastani za idadi kubwa ya vipimo, au kwa usahihi, juu ya utulivu wa hesabu za fomu.

Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba thamani
nasibu, ambayo inamaanisha ina sheria fulani ya usambazaji. Inabadilika kuwa ukweli huu wa kushangaza unajumuisha yaliyomo

kikundi kingine cha nadharia, kilichounganishwa chini ya jina la jumla kikomo cha katinadharia, kwamba chini ya hali ya haki ya jumla sheria ya usambazaji karibu na sheria ya kawaida.

Tangu thamani tofauti na kiasi

sababu ya mara kwa mara tu
basi, kwa ujumla, maudhui ya CLT yanaweza kutengenezwa kama ifuatavyo.

Usambazaji wa jumla ya idadi kubwa ya vigeu huru vya nasibu vilivyo na sana

Masharti ya jumla ni karibu na sheria ya kawaida ya usambazaji.

Ili kuandaa uundaji sahihi wa CLT, hebu tujiulize maswali mawili:

1. Nini maana sahihi ya taarifa kwamba “sheria ya mgawanyo wa jumla "karibu" na sheria ya kawaida?

2. Je, ukaribu huu ni halali chini ya hali gani?

Ili kujibu maswali haya, zingatia mlolongo usio na kikomo wa anuwai za nasibu:
Hebu tutunge "jumla ya kiasi" ya mlolongo wetu wa r.v.

(23)

Kutoka kwa kila tofauti ya nasibu wacha tuendelee kwenye kibadilishaji kisicho cha kawaida cha "kawaida".

(24)

Tumeanzisha (tazama T.8., aya ya 3, usawa (19)) kwamba
.

Jibu la swali la kwanza sasa linaweza kutengenezwa kulingana na usawa wa kikomo

(25)
, (
,

(26)

Mfumo wa kuamua uwezekano kwamba jumla ya r.v kadhaa. itakuwa ndani ya mipaka iliyoainishwa. CPT mara nyingi hutumiwa kwa

Wacha kwa kila moja ya idadi
nambari zina mwisho (kumbuka kuwa kuna mtawanyiko r.v.
- « wakati wa kati wa agizo la tatu").

Ikiwa katika

basi tutasema kwamba mlolongo
inaridhisha Hali ya Lyapunov.

Hasa, CLT kwa kesi wakati katika jumla ya vigezo random kila neno ina usambazaji sawa, i.e. kila kitu na
basi hali ya Lyapunov imeridhika

Wacha tuunde kesi hii kama taarifa tofauti ya CLT.

Nadharia 10.7 (CPT).Wacha vibadilishio bila mpangilio
kujitegemea, kwa usawakusambazwa, kuwa na matarajio ya kihesabu yenye ukomo
na tofauti

Kisha kazi ya usambazaji ya jumla iliyowekwa katikati na ya kawaida ya hizi r.v. katika
huelekea utendaji wa usambazaji wa kigezo cha kawaida cha nasibu:

(27)

Katika kesi hii, ni vizuri kuelewa jinsi "udogo" wa maneno unaonyeshwa,
thamani iko wapi ina utaratibu , na thamani
agizo
, kwa hivyo uwiano wa kiasi cha kwanza hadi cha pili huwa 0.

Sasa tunaweza kuunda nadharia ya kikomo cha kati katika mfumo wa A.M. Lyapunova.

Nadharia 10.8. (Lyapunov).Ikiwa mlolongo
ya vigezo vya kujitegemea vya random inakidhi hali ya Lyapunov, basi uhusiano wa kikomo ni halali

(28)
,

kwa yoyote
Na , ambapo (
.

Kwa maneno mengine, katika kesi hii, sheria ya usambazaji wa kiasi cha kawaida inabadilika kuwa sheria ya kawaida na vigezo

Hoja kama hiyo inaelezea kuonekana kwa usambazaji wa kawaida katika kupotoka kwa vigezo vinavyoamua bidhaa iliyokamilishwa (bidhaa) kutoka kwa viwango vya kawaida vya uzalishaji wa wingi.

Fikiria mfano ufuatao.

Mfano 5. Vigezo vya nasibu vinavyojitegemea kusambazwa kwa usawa kwenye sehemu. Tafuta sheria ya usambazaji wa r.v.
, pamoja na uwezekano kwamba

Suluhisho. Masharti ya CPT yanatimizwa, kwa hiyo r.v. ina takriban msongamano wa usambazaji

Kulingana na fomula zinazojulikana za m.o. na tofauti katika kesi ya usambazaji sare tunapata: Kisha

Kulingana na fomula (26), tunapata (kwa kuzingatia maadili yaliyoonyeshwa ya kazi ya Laplace)

Kwa kuwa anuwai nyingi za nasibu katika programu huundwa chini ya ushawishi wa sababu kadhaa za nasibu zinazotegemea dhaifu, usambazaji wao unachukuliwa kuwa wa kawaida. Katika kesi hii, sharti lazima lifikiwe kwamba hakuna sababu yoyote inayotawala. Nadharia za kikomo cha kati katika kesi hizi zinahalalisha matumizi ya usambazaji wa kawaida.

Encyclopedic YouTube

1 / 5
Acha kuwe na mlolongo usio na kikomo wa vigeu vya nasibu vinavyojitegemea vilivyosambazwa sawasawa vyenye matarajio kikomo na tofauti. Wacha tuonyeshe mwisho μ (\mtindo wa maonyesho \mu ) Na σ 2 (\mtindo wa kuonyesha \sigma ^(2)), kwa mtiririko huo. Hebu pia
. S n − μ n σ n → N (0 , 1) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))\to N(0,1) ) kwa usambazaji,
Wapi N (0 , 1) (\mtindo wa kuonyesha N(0,1))- usambazaji wa kawaida na matarajio ya sifuri ya hisabati na kupotoka kwa kawaida sawa na moja. Kwa kuashiria maana ya sampuli ya ya kwanza n (\mtindo wa kuonyesha n) kiasi, yaani X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\mtindo wa kuonyesha (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\jumla \mipaka _(i=1)^( n)X_(i)), tunaweza kuandika upya matokeo ya nadharia ya kikomo cha kati kama ifuatavyo:
n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) (\mtindo wa kuonyesha (\sqrt (n))(\frac ((\bar (X))_(n)-\mu )(\sigma ))\kwa N(0,1)) kwa usambazaji kwa n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).
Kiwango cha muunganiko kinaweza kukadiriwa kwa kutumia usawa wa Berry-Esseen.

Vidokezo
- Kuzungumza kwa njia isiyo rasmi, nadharia kuu ya kikomo cha classical inasema kuwa jumla n (\mtindo wa kuonyesha n) Vigezo vya nasibu vinavyojitegemea vilivyosambazwa sawasawa vina usambazaji karibu na N (n μ , n σ 2) (\mtindo wa kuonyesha N(n\mu ,n\sigma ^(2))). Sawa, X ¯ n (\mtindo wa kuonyesha (\bar (X))_(n)) ina usambazaji karibu na N (μ , σ 2 / n) (\mtindo wa kuonyesha N(\mu ,\sigma ^(2)/n)).
- Kwa kuwa kazi ya kukokotoa ya usambazaji wa kawaida wa kawaida ni endelevu, muunganisho wa usambazaji huu ni sawa na muunganisho wa kitendakazi wa usambazaji kwa kazi ya kukokotoa ya usambazaji wa kawaida wa kawaida. Kuweka Z n = S n − μ n σ n (\displaystyle Z_(n)=(\frac (S_(n)-\mu n)(\sigma (\sqrt (n))))), tunapata F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R (\mtindo wa kuonyesha F_(Z_(n))(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb (R) ), Wapi Φ (x) (\mtindo wa kuonyesha \Phi (x))- chaguo za kukokotoa za usambazaji wa usambazaji wa kawaida wa kawaida.
- Nadharia ya kikomo cha kati katika uundaji wa classical inathibitishwa na njia ya kazi za tabia (nadharia ya kuendelea ya Lawi).
- Kwa ujumla, muunganisho wa kazi za usambazaji haimaanishi muunganiko wa msongamano. Walakini, katika kesi hii ya classic hii ndio kesi.
C.P.T ya ndani.

Chini ya mawazo ya uundaji wa classical, hebu tufikirie kwa kuongeza kwamba usambazaji wa vigezo vya random ( X i ) i = 1 ∞ (\mtindo wa kuonyesha \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )) kuendelea kabisa, yaani, ina msongamano. Kisha usambazaji pia ni endelevu kabisa, na zaidi ya hayo,
f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 (\mtindo wa maonyesho f_(Z_(n))(x)\kwa (\frac (1)(\sqrt (2\pi )))\,e^ (-(\frac (x^(2))(2)))) katika n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ),
Wapi f Z n (x) (\mtindo wa maonyesho f_(Z_(n))(x))- msongamano wa kutofautiana kwa nasibu Z n (\mtindo wa kuonyesha Z_(n)), na upande wa kulia ni msongamano wa usambazaji wa kawaida wa kawaida.

Ujumla

Matokeo ya nadharia ya kikomo cha kati ni halali kwa hali za jumla zaidi kuliko uhuru kamili na usambazaji sawa.

C. P. T. Lindeberg

Wacha vijitegemea bila mpangilio X 1 , … , X n , … (\displaystyle X_(1),\ldets ,X_(n),\ldets ) zimefafanuliwa kwenye nafasi sawa ya uwezekano na zina matarajio na tofauti tofauti: E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 (\displaystyle \ mathbb (E) =\mu _(i),\;\mathrm (D) =\sigma _(i)^( 2)).
Hebu S n = ∑ i = 1 n X i (\mtindo wa kuonyesha S_(n)=\jumla \vikomo _(i=1)^(n)X_(i)).
Kisha E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\displaystyle \ mathbb (E) =m_(n)=\sum \ mipaka _(i=1)^(n)\mu _(i),\;\mathrm (D) =s_(n)^(2)=\jumla \mipaka _(i=1)^(n)\ sigma_(i)^(2)).
Na ifanyike Hali ya Lindeberg:
∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) ] = 0 , (\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \vikomo _(n\to \infty )\jumla \mipaka _(i=1)^(n)\mathbb (E) \kushoto[(\frac ((X_(i)-\) mu _(i))^(2))(s_(n)^(2)))\,\mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_ (n)\))\kulia]=0,)
Wapi 1 ( | X i − μ i | > ε s n ) (\displaystyle \mathbf (1) _(\(|X_(i)-\mu _(i)|>\varepsilon s_(n)\))) kiashiria cha kazi - .
kwa usambazaji kwa n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).
Ts. P. T. Lyapunova

Hebu mawazo ya msingi ya C. P. T. Lindeberg yatimizwe. Wacha vibadilishio bila mpangilio ( X i ) (\mtindo wa kuonyesha \(X_(i)\)) kuwa na dakika ya tatu yenye mwisho. Kisha mlolongo hufafanuliwa
r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X i − μ i | 3 ] (\displaystyle r_(n)^(3)=\sum _(i=1)^(n)\mathbb (E) \left[|X_(i)-\mu _(i)|^(3 )\haki]).
Ikiwa kikomo
lim n → ∞ r n s n = 0 (\displaystyle \lim \mipaka _(n\to \infty )(\frac (r_(n))(s_(n)))=0) (Hali ya Lyapunov), S n − m n s n → N (0 , 1) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (S_(n)-m_(n))(s_(n)))\hadi N(0,1)) kwa usambazaji kwa n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).
C.P.T. kwa martingales

Wacha mchakato (X n) n ∈ N (\mtindo wa kuonyesha (X_(n))_(n\katika \mathbb (N) )) ni martingale yenye nyongeza ndogo. Hasa, hebu tufikirie hivyo
E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , (\displaystyle \mathbb (E) \left=0,\;n\katika \mathbb (N) ,\;X_(0)\sawa 0,)
na nyongeza ni enhetligt mdogo, yaani
∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C (\mtindo wa kuonyesha \upo C>0\,\forall n\katika \mathbb (N) \;|X_(n+1)-X_(n)|\leq C) τ n = dakika ( k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n ) (\mtindo wa kuonyesha \tau _(n)=\min \left\(k\left\vert \;\sum _(i=1)^ (k)\sigma _(i)^(2)\geq n\kulia.\kulia\)). X τ n n → N (0 , 1) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (X_(\tau _(n)))(\sqrt (n)))\to N(0,1)) kwa usambazaji kwa n → ∞ (\displaystyle n\to \infty ).

Nadharia ya kikomo cha kati ya takwimu. Nadharia ya kikomo cha kati katika MS EXCEL

Encyclopedic YouTube

Vidokezo

C.P.T ya ndani.

Ujumla

C. P. T. Lindeberg

Ts. P. T. Lyapunova

C.P.T. kwa martingales