Matarajio ya hisabati na sifa zake.
Sifa za nambari za anuwai za nasibu.
Kazi ya tabia.
Mhadhara namba 5
Sehemu ya 2. Vigezo vya nasibu.
Mada ya 1. Chaguo za kukokotoa za usambazaji, msongamano wa uwezekano na sifa za nambari za kigezo cha nasibu.
Kusudi la hotuba: toa maarifa juu ya njia za kuelezea anuwai za nasibu.
Maswali ya mihadhara:
Fasihi:
L1 - Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Nadharia ya uwezekano. Takwimu za hisabati. - Toleo la 2. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 p.
L2 - Gmurman, V. E. Nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati: Kitabu cha maandishi. mwongozo kwa vyuo vikuu/V. E. Gmurman. Toleo la 9, limefutwa. - M.: Juu zaidi. shule, 2005. - 479 p.: mgonjwa.
L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Safu. Nadharia ya Uwezekano na Takwimu za Hisabati. Maendeleo ya kimbinu. - Tambov: Nyumba ya Uchapishaji ya TSTU, 2009.
L4 - Plotnikova S.V. Takwimu za hisabati. Maendeleo ya kimbinu. – Tambov: TSTU Publishing House, 2005. (pdf file)
Wakati wa kutatua matatizo mengi, badala ya kazi ya usambazaji F(x) na p.v. p(x) kipengele cha sifa kinatumika. Kwa msaada wa tabia hii inageuka kuwa ni vyema, kwa mfano, kuamua baadhi ya sifa za nambari za sl.v. na z.r. kazi s.v.
Kazi ya tabia sl.v. inaitwa mabadiliko ya Fourier ya a.e. p(x):
, (2.6.1)
iko wapi parameter ambayo ni hoja ya kazi ya tabia, - m.o. sl.v. (tazama § 2.8.).
Kwa kutumia ubadilishaji kinyume cha Fourier, tunapata fomula inayobainisha a.e. sl.v. kwa tabia yake ya kazi
. (2.6.2)
Tangu mwelekeo p(x) kinyume cha mwelekeo x, basi wingi , na kwa hiyo, ni dimensionless. Hoja ina mwelekeo wa kinyume x.
Kwa kutumia uwakilishi (2.5.7) a.e. p(x) katika umbo la jumla ya vitendakazi vya delta, tunaweza kupanua fomula (1) hadi tofauti r.v.
. (2.6.3)
Wakati mwingine, badala ya kazi ya tabia, inageuka kuwa rahisi kutumia logarithm yake:
Y
. (2.6.4)
Kazi Y inaweza kuitwa ya pili ( logarithmic)kazi ya tabia sl.v. .
Hebu tuangalie mali muhimu zaidi ya kazi ya tabia.
| |
. (2.6.5)
2. Kwa usambazaji wa ulinganifu, lini p(x)= p(-x), sehemu ya kufikirika katika (1) ni sifuri, na kwa hiyo kipengele cha utendaji ni kitendakazi halisi 
. Kinyume chake, ikiwa inachukua maadili halisi tu, basi ni sawa na usambazaji unaofanana ni wa ulinganifu.
3. Ikiwa s.v. ni kazi ya mstari wa r.v. , basi kazi yake ya tabia imedhamiriwa na usemi
, (2.6.6)
Wapi a Na b- kudumu.
4. Tabia ya kazi ya jumla 
kujitegemea s.v. ni sawa na bidhaa ya kazi za sifa za masharti, yaani, ikiwa
. (2.6.7)
Mali hii ni muhimu sana, kwani vinginevyo kutafuta a.e. kiasi cha sl.v. inahusishwa na marudio mengi ya convolution, ambayo wakati mwingine husababisha matatizo.
Kwa hivyo, kwa kuzingatia uhusiano usio na utata kati ya kazi ya usambazaji, wiani wa uwezekano na kazi ya tabia, mwisho unaweza kutumika kwa usawa kuelezea r.v.
| |
Discrete s.v. inaweza kuchukua maadili matatu (hakuna mapigo yoyote yaliyokandamizwa), (mshipa mmoja umekandamizwa), (mapigo yote mawili yamekandamizwa). Uwezekano wa maadili haya ni sawa kwa mtiririko huo:
Kwa njia, umetetea tu kwamba mwanafunzi hapaswi kujua chochote juu ya mwendelezo wa sare, na sasa unampa kazi za delta? Kwa kutosha, sitasema chochote.
Nimefurahi kukuona tena kwenye mada nikiwa na utayari wa kujadili bila kujali sifa zinazonihusu mimi binafsi. Ninavutiwa nawe. Mwanafunzi lazima ajue kila kitu anachoweza kuulizwa, lakini kwanza kabisa, lazima ajue mfumo wa dhana, tabia zao na uhusiano kati yao na haipaswi kuwa mdogo kwa mduara nyembamba wa sehemu ya taaluma ambayo yeye ni. kwa sasa inasoma na haipaswi pia kuwa kitabu cha kumbukumbu cha kutembea, ambayo inakumbuka mara kwa mara idadi kubwa ya kazi ambazo hazikidhi hali moja au nyingine.
Katika shida ya asili, ilihitajika kubaini ikiwa kazi ya HF iliyotolewa ilikuwa tofauti yoyote ya nasibu. Mwanafunzi hupokea kazi kama hiyo wakati dhana ya HF inapoanzishwa. Na lengo la kutatua matatizo hayo ni kuunganisha uelewa wa uhusiano kati ya CP na PR, na pia kuunganisha ujuzi kuhusu mali ya CP.
Kuna njia mbili za kuonyesha kuwa kitendakazi ulichopewa ni HF: ama unapaswa kupata kazi inayolingana nayo kulingana na Fourier na uangalie kuwa inakidhi hali ya kuhalalisha na ni chanya, au unapaswa kudhibitisha udhahiri usio hasi wa uliyopewa. kazi na kurejelea nadharia ya Bochner-Khinchin. Wakati huo huo, matumizi ya nadharia juu ya kuwakilisha SV kwa namna ya mchanganyiko wa mstari wa Rademacher SVs haitoi kwa njia yoyote uelewa wa mali ya msingi ya HF zaidi ya hayo, kama nilivyoonyesha hapo juu, ufumbuzi wako ina safu ya Fourier iliyofunikwa, ambayo ni kweli inalingana na njia ya kwanza.
Wakati inahitajika kuonyesha kuwa kazi fulani haiwezi kuwa HF ya SV yoyote, basi inatosha kuanzisha kutofaulu kwa moja ya mali ya HF: thamani ya kitengo kwa sifuri, moduli iliyofungwa na moja, kupata maadili sahihi. kwa wakati wa PDF, mwendelezo sawa. Kuangalia usahihi wa maadili ya muda uliohesabiwa kupitia chaguo fulani cha kukokotoa ni ukaguzi sawa wa kihisabati wa mwendelezo sawa kwa maana kwamba kushindwa kutimiza mojawapo ya sifa hizi kunaweza kutumika kama msingi sawa wa kutambua kutofaa kwa kazi fulani. Walakini, kuangalia usahihi wa maadili ya wakati huo ni rasmi: tofautisha na angalia. Mwendelezo wa sare, kwa ujumla, lazima uthibitishwe, ambayo hufanya mafanikio ya kutatua shida kutegemea uwezo wa ubunifu wa mwanafunzi, kwa uwezo wake wa "kubahatisha."
Kama sehemu ya mjadala wa "ujenzi" wa SV, ninapendekeza kuzingatia shida rahisi: wacha tuunda SV na HF ya fomu: 
Wapi
α k | (y)= | M[Y | +∞∫ ϕ k | (x) | (x)dx; | ||||||
µk(y) | ∫ (ϕ (x) | f(x)dx. | |||||||||
Utendakazi wa sifa wa kigeu cha nasibu | |||||||||||
Hebu Y = e itX, wapi | X - | kutofautiana nasibu na sheria inayojulikana |
|||||||||
usambazaji, t - parameter, i = | − 1. | ||||||||||
Kazi ya tabia kutofautiana nasibu Imeitwa |
|||||||||||
matarajio ya hisabati ya kazi Y = e itX: | |||||||||||
∑ e itx k p k , kwa DSV, | |||||||||||
k = 1 | |||||||||||
υ X (t )= M = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx , kwa NSV. | |||||||||||
Kwa hivyo, tabia | υ X(t) | na sheria ya usambazaji |
|||||||||
vigezo random vinahusiana kipekee Mabadiliko ya Fourier. Kwa mfano, msongamano wa usambazaji f (x) wa kigezo bila mpangilio X unaonyeshwa kwa njia ya kipekee kupitia kipengele chake cha kukokotoa kwa kutumia kubadilisha Fourier kinyume:
f(x)= | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
Tabia za kimsingi za kazi ya tabia: | ||||
Utendakazi wa tabia ya wingi Z = aX + b, ambapo X ni nasibu |
||||
thamani ya sifa za kukokotoa υ X (t) ni sawa na | ||||
υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (saa) . | ||||
Muda wa awali wa mpangilio wa kth wa mabadiliko ya nasibu X ni sawa na | ||||
α k (x )= υ X (k ) (0)i − k , | ||||
ambapo υ X (k) (0) ni thamani ya derivative ya kth ya sifa za kukokotoa katika t = 0.
3. Tabia ya kazi ya jumla | Y = ∑ X k huru |
k = 1 |
Vigezo vya nasibu ni sawa na bidhaa ya sifa za sifa za maneno:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (t). | ||
mimi = 1 | |||
4. Kazi ya tabia ya kawaida | kutofautisha nasibu na |
||
vigezo m na σ ni sawa na: | |||
υ X (t) = eitm - | t 2 σ 2 | ||
MUHADHARA WA 8 Vigezo vya nasibu vyenye mwelekeo-mbili. Sheria ya usambazaji wa pande mbili
Tofauti ya nasibu yenye mwelekeo-mbili (X,Y) ni seti ya vigeu viwili vya nasibu vyenye mwelekeo mmoja ambavyo huchukua thamani kama matokeo ya jaribio sawa.
Vigezo vya nasibu vyenye sura mbili vina sifa ya seti za thamani Ω X , Ω Y ya vipengele vyake na sheria ya pamoja (ya pande mbili) ya usambazaji. Kulingana na aina ya vipengee X,Y, vigeu visivyo na mpangilio, vinavyoendelea na vilivyochanganywa vya pande mbili vinatofautishwa.
Tofauti ya nasibu ya pande mbili (X, Y) inaweza kuwakilishwa kijiometri kama nukta nasibu (X, Y) kwenye ndege ya x0y au kama vekta nasibu iliyoelekezwa kutoka asili hadi uhakika (X, Y).
Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa pande mbili kubadilika kwa nasibu kwa pande mbili
(X ,Y ) ni sawa na uwezekano wa utekelezaji wa pamoja wa matukio mawili (X<х } и {Y < у }:
F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .
Chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kijiometri-dimensional F(x, y)
alama ya nasibu (X,Y) ndani | ||||
isiyo na mwisho | roboduara na | juu ndani |
||
uhakika (x,y) amelala kushoto na chini yake. | ||||
Sehemu ya X ilichukua maadili | ||||
ndogo kuliko nambari halisi x, hii ni | ||||
usambazaji | F X (x), na | |||
sehemu Y - chini ya halisi | ||||
nambari y, | usambazaji | |||
FY(y). | ||||
Sifa za chaguo za kukokotoa za usambazaji wa pande mbili:
1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.
ni uwezekano
. (x,y)
Ushahidi. Sifa hii inafuata kutokana na ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za usambazaji kama uwezekano: uwezekano ni nambari isiyo hasi isiyozidi 1.
2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.
3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), ikiwa x 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), ikiwa y 2 >y 1 .
Ushahidi. Wacha tuthibitishe kuwa F (x ,y ) ni chaguo la kukokotoa lisilopungua kwa heshima na
tofauti x. Fikiria uwezekano
p (X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
Kwa kuwa p (X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
Vivyo hivyo kwa y.
4. Mpito hadi sifa za mwelekeo mmoja:
F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. Uwezekano wa kupiga eneo la mstatili | |||||||||||
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) = | |||||||||||
F (β ,γ ) −F (β ,δ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ). | (β,γ) | ||||||||||
Kazi ya usambazaji - wengi | |||||||||||
zima | |||||||||||
usambazaji | |||||||||||
kutumika | maelezo ya jinsi | (β,δ) | |||||||||
kuendelea, | na tofauti | (α,δ) | |||||||||
vigeu vya nasibu vya pande mbili. | |||||||||||
Matrix ya usambazaji
Tofauti ya nasibu ya pande mbili (X,Y) ni tofauti ikiwa seti za thamani za vipengele vyake Ω X na Ω Y ni seti zinazoweza kuhesabika. Ili kuelezea sifa za uwezekano wa kiasi kama hicho, kitendakazi cha usambazaji wa pande mbili na matrix ya usambazaji hutumiwa.
Matrix ya usambazaji ni jedwali la mstatili ambalo lina thamani za kijenzi X - Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), thamani za sehemu Y - Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) na uwezekano wa jozi zote zinazowezekana za thamani p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.
xi\yj | ||||
X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n . | ||||
j= 1 | ||||
3. Mpito hadi kwa mfululizo wa usambazaji wa uwezekano wa sehemu ya Y: | ||||
p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m . | ||||
i = 1
Msongamano wa usambazaji wa pande mbili
Tofauti ya nasibu ya pande mbili (X ,Y ) inaendelea ikiwa ni
kitendakazi cha usambazaji F (x,y) ni kitendakazi kinachoendelea, kinachoweza kutofautishwa kwa kila hoja na kuna sekunde
derivative mchanganyiko ∂ 2 F (x, y).
∂ x ∂y
Msongamano wa usambazaji wa pande mbili f(x, y ) hubainisha msongamano wa uwezekano katika eneo la uhakika na viwianishi ( x, y ) na ni sawa na derivative ya pili iliyochanganywa ya chaguo za kukokotoa za usambazaji:
∫∫ f(x, y) DXdy.
Sifa za msongamano wa pande mbili:
1. f (x ,y )≥ 0.
2. Hali ya kawaida:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .
Imetolewa kwenye mstari mzima wa nambari na fomula
X. f. mabadiliko ya nasibu X, kwa ufafanuzi, ni X. f. usambazaji wake wa uwezekano
Njia inayohusishwa na matumizi ya X. f ilitumiwa kwanza na A. M. Lyapunov na baadaye ikawa mojawapo ya wale kuu wa uchambuzi. mbinu za nadharia ya uwezekano. Inatumika kwa ufanisi hasa katika kuthibitisha nadharia za kikomo katika nadharia ya uwezekano, kwa mfano. nadharia ya kikomo cha kati kwa vigeu huru vilivyosambazwa kwa nasibu vilivyo na muda 2 hupunguzwa hadi kwa uhusiano wa kimsingi.
Sifa za kimsingi za X. f. 1) na chanya uhakika, i.e.
Kwa mkusanyiko wowote wa kikomo wa nambari na hoja changamano
2) kwa usawa kuendelea kwenye mhimili mzima
4)
haswa, inachukua tu maadili halisi (na ni chaguo la kukokotoa) ikiwa na tu ikiwa uwezekano unaolingana ni wa ulinganifu, i.e. wapi
5) X. f. bila utata hufafanua kipimo; kuna rufaa:
Kwa vipindi vyovyote (a, 6) ambavyo ncha zake zina kipimo cha sifuri. Ikiwa inaweza kuunganishwa (kabisa, ikiwa inaeleweka katika maana ya Riemannian), basi kipengele cha kukokotoa cha usambazaji kinacholingana kina ri
6) X. f. ubadilishaji wa hatua mbili za uwezekano (jumla ya vigeu viwili huru vya nasibu) ni X. f yao.
Sifa tatu zifuatazo zinaonyesha uhusiano kati ya kuwepo kwa muda wa kutofautiana nasibu na kiwango cha ulaini wa utendaji wake wa X.
7) Kama 
kwa baadhi ya asili P, basi kwa asili zote kuna derivatives ya mpangilio r kutoka X. f. kutofautiana bila mpangilio X na usawa unashikilia
8) Kama ipo basi 
9) Ikiwa kwa kila mtu
basi inashikilia kwa kila mtu
Kwa kutumia mbinu ya X.f inategemea hasa sifa za hapo juu za kazi za X., pamoja na nadharia mbili zifuatazo.
Nadharia ya Bochner (maelezo ya darasa la kazi za X.). Acha kitendakazi f kitolewe na f(0)=1. Ili f iwe X. f. kipimo fulani cha uwezekano, ni muhimu na ya kutosha kuwa ni ya kuendelea na chanya ya uhakika.
Nadharia ya Levy (mawasiliano). Wacha iwe mlolongo wa hatua za uwezekano, na iwe mlolongo wa X.f yao. Kisha hubadilika kwa unyonge hadi kipimo fulani cha uwezekano (yaani, kwa kazi ya kukokotoa yenye mipaka inayoendelea, ikiwa na tu ikiwa katika kila nukta inabadilika kuwa kitendakazi fulani kinachoendelea f; katika kesi ya muunganiko, kazi ya kukokotoa Inafuata kwamba jamaa (kwa maana). ya muunganiko hafifu) ya familia ya hatua za uwezekano ni sawa na usawa katika sifuri ya familia ya vitendaji sambamba vya X..
Nadharia ya Bochner inaturuhusu kuangalia mabadiliko ya Fourier-Stieltjes kama kati ya kikundi cha nusu (kuhusiana na uendeshaji wa ubadilishanaji) wa hatua za uwezekano ndani na nusu (kuhusiana na kuzidisha kwa uhakika) ya vitendaji chanya vya kuendelea sawa na sifuri kwa sifuri kwa moja. Nadharia ya Lévy inasema kwamba aljebra hii. isomorphism pia ni topolojia. homeomorphism, ikiwa katika nusu ya hatua za uwezekano tunamaanisha topolojia ya muunganisho dhaifu, na katika kikundi cha kazi chanya - topolojia ya muunganiko wa sare kwenye seti zilizo na mipaka.
Maneno ya X. f. magonjwa ya msingi ya uwezekano (tazama,), kwa mfano, X. f. Kipimo cha Gaussian na tofauti ya wastani ni 
Kwa vigeu vya nasibu kamili visivyo hasi X, Pamoja na X. f., analog yake inatumika -
Kuhusishwa na X. f. uwiano
X. f. hatua za uwezekano katika nafasi ya kikomo-dimensional hufafanuliwa vile vile:
Wapi
Mwangaza.: Lukach E., Kazi za tabia, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1979; Feller V., Utangulizi wa Nadharia ya Uwezekano na Matumizi Yake, vol. kutoka kwa Kiingereza, M., 1967; Prokhorov Yu., Rozanov A., Nadharia ya Uwezekano. Dhana za kimsingi. Punguza nadharia. Michakato ya nasibu, toleo la 2, M., 1973; 3olotarev V. M., usambazaji thabiti wa mwelekeo mmoja, M., 1983.
N.H. Vakhania.
Ensaiklopidia ya hisabati. - M.: Encyclopedia ya Soviet. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Tazama "TABIA FUNCTION" ni nini katika kamusi zingine:
Kazi ya tabia: Kazi ya sifa katika thermodynamics ni kazi ambayo sifa za thermodynamic za mfumo zimedhamiriwa. Kazi ya sifa ya seti ni kazi ambayo huanzisha uanachama wa kipengele katika seti ... ... Wikipedia
Katika thermodynamics, kazi ya hali ya vigezo vya kujitegemea vinavyoamua hali ya thermodynamics. mifumo. Kwa X.f. ni pamoja na uwezo wa thermodynamic na entropy. Kupitia X... Ensaiklopidia ya kimwili
kazi ya tabia- Kazi ya hali ya mfumo wa thermodynamic wa vigezo vinavyolingana vya thermodynamic, inayojulikana na ukweli kwamba kupitia kazi hii na derivatives yake kwa heshima na vigezo hivi, wote thermodynamic ... ... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi
Kazi ya tabia- katika nadharia ya michezo ya vyama vya ushirika, uwiano unaobainisha kiasi cha chini cha ushindi kwa muungano wowote kwenye mchezo. Miungano miwili inapoungana, thamani ya H.f. itakuwa si chini ya jumla ya utendakazi kama hizo bila kuunganishwa... ... Kamusi ya kiuchumi na hisabati
kazi ya tabia- būdingoji funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Būsenos funkcija, kurios diferencialinėmis išraiškomis galima nusakyti visas termodinaminės sistemos savybes. atitikmenys: engl. kazi ya tabia rus. kipengele cha sifa... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas
kazi ya tabia- būdingoji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kazi ya tabia vok. Charakteristische Funktion, f rus. kazi ya tabia, f pranc. sifa za fonction, f... Fizikos terminų žodynas - seti za Espace X ni chaguo za kukokotoa sawa na 1 saa na sawa na 0 katika (ambapo CE ni kijalizo cha Ev X). Chaguo za kukokotoa zenye thamani katika (0, 1) ni chaguo za kukokotoa za X. ya seti fulani, ambayo ni seti, Sifa za kazi za X.: kando ya jozi, kisha 6) ikiwa basi... Encyclopedia ya hisabati