Neno "kulingana" hutumiwa mara nyingi kwa Kirusi; inamaanisha uhusiano kati ya kitu, kuelezea uthabiti, usawa katika hali fulani. Kamusi Ozhegova).
Katika maisha mara nyingi husikia: "Kitabu hiki kinalingana na programu hii, lakini kitabu hiki cha maandishi hakiendani (lakini kinaweza kuendana na programu nyingine); Tufaha hili linalingana na daraja la juu zaidi, lakini hili ni la kwanza tu.” Tunasema kwamba jibu hili katika mtihani linalingana na daraja "bora", wakati jibu hili linalingana na daraja "nzuri". Tunasema kwamba mtu huyu anafaa (kwa maana ya inafaa) nguo za ukubwa wa 46. Kwa mujibu wa maagizo, unapaswa kufanya hivyo na si vinginevyo. Kuna mawasiliano kati ya nambari siku za jua kwa mwaka na mavuno ya mazao.
Ukijaribu kuchambua mifano hii, utaona kwamba katika hali zote tunazungumzia kuhusu madarasa mawili ya vitu, na kati ya vitu kutoka kwa darasa moja ni imara na sheria fulani uhusiano fulani na vitu vya darasa lingine. Kwa mfano, katika kesi ya mavazi ambayo yanalingana na saizi fulani, tabaka moja la vitu ni watu, na tabaka lingine la vitu. nambari kamili, kucheza nafasi ya ukubwa wa nguo. Tunaweza kuweka sheria ambayo kufuata kumeanzishwa, kwa mfano, kwa kutumia algorithm ya asili - kujaribu suti maalum au kuamua kufaa kwake "kwa jicho".
Tutazingatia mawasiliano ambayo madarasa ya vitu ambayo mawasiliano yameanzishwa na sheria ya kuanzisha mawasiliano imefafanuliwa kabisa. Mifano nyingi za mawasiliano kama haya zilisomwa shuleni. Kwanza kabisa, hizi ni, bila shaka, kazi. Kazi yoyote ni mfano wa mawasiliano. Hakika, fikiria, kwa mfano, kazi katika = X+ 3. Ikiwa haijasemwa mahususi kuhusu kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa, basi inachukuliwa kuwa kila thamani ya nambari ya hoja. X inalingana thamani ya nambari katika, ambayo hupatikana kwa mujibu wa kanuni: kwa X unahitaji kuongeza 3. Katika kesi hii, mawasiliano yanaanzishwa kati ya seti R Na R nambari za kweli.
Kumbuka kuwa kuanzisha miunganisho kati ya seti mbili X Na Y kuhusishwa na kuzingatia jozi za vitu vilivyoundwa kutoka kwa vipengele vya kuweka X na vipengele vinavyolingana vya kuweka Y.
Ufafanuzi. Kuzingatia kati ya seti X Na Y pigia simu kikundi chochote kisicho tupu cha bidhaa ya Cartesian X ´ Y.
Kundi la X kuitwa eneo la kuondoka mechi, kuweka Y – eneo la kuwasili kufuata.
Mawasiliano kati ya seti kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa Alfabeti ya Kilatini, Kwa mfano, R, S, T. Kama R- baadhi ya mawasiliano kati ya seti X Na Y, basi, kulingana na ufafanuzi wa mawasiliano, RÍ X´ Y Na R≠ Æ. Mawasiliano ya nyakati kati ya seti X Na Y ni kila sehemu ndogo ya bidhaa ya Cartesian X ´ Y, i.e. ni seti ya jozi zilizoagizwa, basi mbinu za kubainisha mawasiliano kimsingi ni sawa na mbinu za kubainisha seti. Kwa hivyo, kulinganisha R kati ya seti X Na Y unaweza kuweka:
a) kuorodhesha jozi zote za vipengele ( x, y) Î R;
b) kuashiria mali ya tabia, ambayo jozi zote zina ( x, y) seti R na hakuna jozi ambayo si kipengele chake inayo nayo.
MIFANO.
1) Kuzingatia R kati ya seti X= (20, 25) na Y= (4, 5, 6) imebainishwa kwa kuonyesha sifa bainifu: “ X nyingi katika»,
X Î X, katika Î Y. Kisha wengi R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Kuzingatia R kati ya seti X= (2, 4, 6, 8) na
Y= (1, 3, 5) iliyotolewa na seti ya jozi R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Kama R- mawasiliano kati ya mbili seti za nambari X Na Y, basi, inayoonyesha jozi zote za nambari zinazolingana R juu kuratibu ndege, tunapata takwimu inayoitwa grafu ya mawasiliano R. Kinyume chake, sehemu ndogo ya alama kwenye ndege ya kuratibu inachukuliwa kuwa girafu ya mawasiliano kati ya seti za nambari. X Na Y.
Grafu inayolingana
Ili kuonyesha mawasiliano kati ya seti zenye mwisho, pamoja na grafu, grafu hutumiwa. (Kutoka neno la Kigiriki"grapho" - Ninaandika, kulinganisha: grafu, telegraph).
Kuunda grafu ya mawasiliano kati ya seti X Na Y vipengele vya kila seti vinaonyeshwa kama pointi kwenye ndege, kisha mishale hutolewa kutoka X Î X Kwa katika Î Y, ikiwa jozi ( x, y) ni ya barua hii. Matokeo yake ni kuchora yenye dots na mishale.
MFANO Mawasiliano R kati ya seti X= (2, 3, 4, 5) na Y= (4, 9) imetolewa kwa kuorodhesha jozi R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
Kwa njia hiyo hiyo unaweza kuandika 4 R 4, 3R 9. Na kwa ujumla, ikiwa wanandoa
(x, y) Î R, basi wanasema kwamba kipengele X Î X kipengele kinacholingana katika Î Y na kuandika xRу. Kipengele cha 2 О X inayoitwa picha inverse ya kipengele
4 Î Y chini ya kufuata R na ameteuliwa 4 R-1 2. Vile vile, unaweza kuandika 4 R -1 4, 9R -1 3.
Chaguo 1
№
Mawasiliano kati ya seti X na Y ni _____________________________________________ ____________________________________________________________ X x Y.
№2. Katika takwimu, mawasiliano kati ya seti ni maalum kwa kutumia grafu. Bainisha jedwali linalolingana ambalo kikoa cha ufafanuzi wa ulinganifu hakiambatani na seti asili ya ulinganifu.
№
1
) grafu, 2) grafu, 3) orodha ya jozi, 4) sifa ya sifa
A 
) b) A<
b
№4. Ni kielelezo gani kinachoonyesha grafu za mawasiliano kinyume?
A 
b) c) d)
№5. Kati ya seti M = (A, B, C, D, D) na N = (1, 2, 3, 4, 5) mawasiliano yanatolewa Q: "kipengele m huenda katika alfabeti ya Kirusi chini ya nambari n " Bainisha kauli za kweli:
Seti M na N zina nguvu sawa.
Kikoa cha ufafanuzi wa mawasiliano Q sanjari na seti yake ya maadili.
№6. (Kazi ya vitendo) Kati ya seti A = (1, 2, 3, 4, 5) na B = (2, 4, 6, 8,10) barua T imeainishwa: " A kidogo b tarehe 2"
Orodhesha jozi zinazolingana na T
Weka mawasiliano T -1, kinyume cha ile uliyopewa, orodhesha jozi zake
Jenga grafu za mawasiliano kati ya T na T -1 katika mfumo sawa wa kuratibu
Jaribu kwenye mada "Mawasiliano kati ya seti"
Chaguo la 2
№1. Jaza maneno yanayokosekana katika sentensi:
Mawasiliano kati ya seti X na Y ni seti ya ______________________________, sehemu ya kwanza ambayo ni ____________________ kwa seti X, na ya pili ni ______________________________.
№2. Katika takwimu, mawasiliano kati ya seti ni maalum kwa kutumia grafu. Toa mchoro unaolingana ambapo seti ya thamani zinazolingana inalingana na seti ya waliofika wanaolingana.
№3. Linganisha jina la njia inayofanana na picha yake.
1), jozi za kuorodhesha 2) sifa ya sifa, 3) grafu, 4) grafu
a) b) A<
b
c) P = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)
№4. Ni kielelezo gani kinachoonyesha grafu ya mawasiliano ya mtu mmoja-mmoja?
A b) c) d)
№5. Kati ya seti A = ( 1, 2, 3, 4, ) na B = ( 2, 4, 6, 8, 9) mawasiliano Q yamebainishwa: “ A kidogo b Mara 3." Tafadhali onyesha taarifa sahihi:
Mawasiliano ni moja kwa moja.
mawasiliano" b zaidi A Mara 3" ni kinyume cha hii.
Kikoa kinacholingana cha Q hakiambatani na seti asili yake.
№6. (Kazi ya vitendo). Kati ya seti M = (1, 2, 3, 4, 5) na N = (1, 2, 4, 6, 8,10) barua T imebainishwa: m 2 = n
Orodhesha jozi zinazolingana za T.
Orodhesha jozi za mawasiliano T -1 kinyume na ile uliyopewa, tengeneza grafu yake.
Jenga grafu za mawasiliano kati ya T na T -1 katika mfumo sawa wa kuratibu.
Jaribu kwenye mada "Mawasiliano kati ya seti"
Jedwali la majibu.
Chaguo 1.
Chaguo la 2.
Seti ndogo; Bidhaa za Cartesian za seti
Jozi zilizoagizwa; ni mali; kuweka Y
1d, 2a, 3c, 4b
1c, 2b, 3d, 4a
a, b
b,c
Kigezo cha tathmini:
№1 - 2 pointi
№2 - 1 pointi
№3 - 1 pointi
№4 - 1 pointi
№5 - 3 pointi
№6 - 4 pointi
Jumla ya pointi 12.
Alama:
12-11 pointi - 5
10 - 9 pointi - 4
8 - 6 pointi - 3
Chini ya pointi 6 - 2
Chaguo 1
№1. Jaza maneno yanayokosekana katika sentensi:
Uhusiano kwenye seti X ni _____________________________________________ ____________________________________________________________ X x X.
№2. Kwenye seti A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) iliyotolewa mahusiano tofauti:
Bainisha safu wima:
№
uhusiano wa usawa.
uhusiano wa utaratibu
uhusiano wa usawa kwenye seti ya mistari iliyonyooka kwenye ndege
№
A b) c) d)
№5. Linganisha uhusiano uliofafanuliwa kwenye seti ya nyumba na mali zao:
"kuwa na idadi sawa ya sakafu"
"kuwa na vyumba zaidi"
"Itajengwa miaka 2 mapema"
Reflexivity
Ulinganifu
Antisymmetry
Upitishaji
№X hakuna mzee katika", hufafanuliwa kwenye seti ya watoto. Je, uhusiano huu ni wa utaratibu?
Olga umri wa miaka 7
Nikolai mwenye umri wa miaka 8
Valentin miaka 9
Anatoly miaka 8
Svetlana umri wa miaka 7
Peter miaka 7
Jaribu kwenye mada "Uhusiano kati ya seti"
Chaguo la 2
№1. Jaza maneno yanayokosekana katika sentensi:
Uhusiano kwenye seti ya X ni seti ______________________________, ambazo sehemu zake zote ____________________ kwa seti X.
№2. Mahusiano anuwai yanatolewa kwenye seti (2, 3, 5, 7, 9):
Bainisha safu wima:
№
3. Kwa kutumia grafu, tambua ni mahusiano gani kati ya hayo ni:
uhusiano wa utaratibu
uhusiano "chini ya au sawa na" kwenye seti N
№4. Ni takwimu gani inayoonyesha grafu ya mahusiano kati ya seti?
A b) c) d)
№5. Linganisha mahusiano yaliyofafanuliwa kwenye seti ya wanafunzi darasani na sifa zao:
"ishi kwenye barabara moja"
"kuwa na umri wa mwaka 1"
"ishi karibu na shule"
Reflexivity
Ulinganifu
Antisymmetry
Upitishaji
№6. (Kazi ya vitendo). Tengeneza grafu ya uhusiano" X ina jinsia sawa na katika", hufafanuliwa kwenye seti ya watoto. Uhusiano huu ni uhusiano wa usawa?
Olga
Nikolay
Valentine
Anatoli
Svetlana
Peter
Jaribu kwenye mada "Uhusiano kati ya seti"
Jedwali la majibu.
Chaguo 1.
Chaguo la 2.
Seti ndogo; Bidhaa ya Cartesian ya seti (Mraba wa Cartesian)
Jozi zilizoagizwa; mali; kuweka X
1a, 2a, 3a,b, 4b, 5a, 6b, 7b
1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c
1a, 2b, 3a, d
1a,b,2c
a - 1, 2, 4; b - 3, 4; saa 3
a - 1, 2, 4; b - 3, c - 3, 4
Kigezo cha tathmini:
№1 - 2 pointi
№2 - 7 pointi
№3 - 3 pointi
№4 - 1 pointi
№5 - 3 pointi
№6 - 2 pointi
Jumla ya pointi 18.
Alama:
18-17 pointi - 5
16 - 13 pointi - 4
12 - 9 pointi - 3
Chini ya pointi 9 - 2
Uunganisho wa karibu wa vitu kwenye mfumo umedhamiriwa na mwili, au tuseme, mahusiano ya asili kati yao, au mali zingine za kimsingi za mfumo, kwa mfano, kiuchumi, kijamii, inayoashiria maendeleo ya jamii ya wanadamu.
Ya kina cha uhusiano huo inategemea kiwango cha mfumo katika uongozi wa mifumo inayohusiana na eneo la somo kuwepo kwa somo linalosomwa kitu changamano. Miunganisho inajumuisha mahusiano ya jumla kati ya vipengele vya asili na jamii vinavyounda mfumo, na ya kibinafsi yanayohusiana na anuwai fulani ya vipengele vyake. Kuhusiana na hapo juu, viunganisho hivi vinaitwa ama sheria za jumla asili (msingi) au Privat, inayohusiana na seti ndogo ya matukio (sheria za kisayansi) au kwa mienendo inayojidhihirisha kwa namna ya marudio fulani katika matukio ya wingi na kuitwa taratibu.
Miunganisho ya kimsingi inaitwa sheria. Sheria ni kategoria ya kifalsafa ambayo ina sifa za ulimwengu katika uhusiano na wote vitu vya asili, matukio, matukio. Katika suala hili, ufafanuzi wa sheria ni kama ifuatavyo. sheria ni uhusiano muhimu, thabiti, unaorudiwa kati ya matukio yoyote.
Sheria inaeleza uhusiano fulani kati ya mifumo yenyewe, vipengele vinavyounda uhusiano wa vitu na matukio, na vile vile ndani ya vitu na matukio yenyewe.
Sio kila uhusiano ni sheria. Inaweza kuwa muhimu na ajali, Sheria ni uhusiano muhimu. Inaonyesha uhusiano muhimu kati ya vitu vilivyomo katika nafasi (miundo ya nyenzo, kwa maana ya jumla).
Kila kitu kilichosemwa hapo juu kinatumika kwa sheria za uendeshaji( kuwepo mazingira ya asili au iliyoundwa na mwanadamu). Wapo pia sheria za maendeleo, ikionyesha mwelekeo, mwelekeo au mpangilio wa matukio kwa wakati. Wote sheria za asili- hazijafanywa na mikono ya wanadamu, zipo ulimwenguni kwa malengo na zinaelezea uhusiano wa mambo, na pia zinaonyeshwa katika ufahamu wa kibinadamu.
Kama ilivyoelezwa tayari, sheria zimegawanywa kulingana na kiwango cha jumla. Sheria za ulimwengu wote ni sheria za kifalsafa. Sheria za msingi za asili, kwa ujumla wao, pia zimegawanywa katika madarasa mawili makubwa. Kwa jumla zaidi, iliyosomwa na idadi, au hata aina kamili ya sayansi (hizi ni pamoja na, kwa mfano, sheria za uhifadhi wa nishati na habari, nk). Na kidogo sheria za jumla, ambayo inaenea hadi maeneo machache, alisoma na sayansi maalum (fizikia, kemia, biolojia).
Sheria za nguvu zinasomwa na sayansi maalum, ambayo ni pamoja na sayansi zote za kiufundi. Kwa mfano, tunaweza kuchukua nidhamu ya nguvu ya nyenzo. Inasoma masomo na mifumo ambayo sheria zote za kimsingi na sheria za majaribio zinatumika, kulingana na data ya majaribio ambayo inahusiana na masomo ya taaluma yale tu. miili ya mitambo, ambayo hutii sheria ya Hooke: deformation ya mwili ni sawia moja kwa moja na nguvu inayofanya kazi kwenye mwili (na kinyume chake).
KATIKA sayansi ya kiufundi kuna sehemu ambazo zinategemea mahususi zaidi miunganisho ya majaribio, iliyokubaliwa kama axioms.
Sheria zingine zinaonyesha utegemezi mkali wa kiasi na zimewekwa fomula za hisabati, wakati zingine bado hazijaweza kurasimishwa, ikionyesha hali ya lazima ya aina moja ya tukio kutokana na kutokea kwa jingine, kwa mfano.
Baadhi ya sheria - kuamua, yaani, zimeanzishwa kwa msingi wa sababu - miunganisho ya uchunguzi mahusiano halisi ya kiasi, wengine - takwimu, kuanzisha uwezekano wa tukio la tukio chini ya hali fulani.
Kwa asili, sheria hufanya kama nguvu ya hiari. Walakini, kwa kujua sheria, zinaweza kutumika kwa makusudi ndani shughuli za vitendo(kama vile nguvu ya shinikizo la mvuke katika injini za mvuke, kama vile nguvu ya gesi iliyobanwa katika injini za mwako wa ndani).
Sheria za kijamii na kihistoria sio tofauti sana na sheria za asili, lakini zinafanya kazi kati yao watu wanaofikiri. Ujuzi wa sheria hizi husaidia shirika bora uchumi na jamii.
Kwa hivyo, kusoma sheria za maumbile na jamii ndio kazi kuu ya ubinadamu. Ujuzi tu wa sheria na maendeleo ya hatua kwa matumizi yao sahihi unaweza kutoa ubinadamu unaoendelea na kukua na chakula na mazingira ya hali zilizoundwa kwa njia ambayo inaweza kuwepo.
Kasi ya kutatua matatizo mapya yanayotokea inategemea kiasi gani cha hifadhi maarifa ya kisayansi watu waliohifadhiwa wakati huu na jinsi ilivyochakatwa na kueleweka. Kuelewa maarifa ya kisayansi husababisha uundaji tatizo la kisayansi, suluhisho ambalo linaweza kusababisha kukamilika kwa nadharia juu ya safu hii ya maswala na utumiaji wa hitimisho kali zaidi katika maswala ya vitendo. Tatizo la kisayansi- sio tu jamii ya falsafa kwa maana iliyoelezwa, lakini pia ya vitendo, ambayo inategemea jinsi gani sayansi ya kinadharia, pamoja na utekelezaji wake wa vitendo katika maisha ya watu.
Kutoka kwa sehemu hii ya maelezo ya umuhimu wa shida ya kisayansi kwa utimilifu wa nadharia, ufafanuzi wake pia unafuata: shida ya kisayansi ni hali inayopingana ambayo inaonekana kwa namna ya nafasi zinazopingana katika maelezo ya matukio yoyote, vitu, michakato na inahitaji. nadharia moja ya kutosha kuisuluhisha.
Sharti muhimu kwa suluhisho lake la mafanikio ni yake nafasi sahihi. Tazama migongano katika iliyopokelewa maarifa ya majaribio, kuwazingatia na kuibua swali la kuondoa utata huu kunamaanisha kuanza kutatua tatizo la kisayansi na kuendeleza sayansi kuelekea maendeleo. Sio bila sababu kwamba katika sayansi, watu ambao wanaweza kuunda shida wanaheshimiwa zaidi kuliko watafiti ambao wamesuluhisha shida iliyoandaliwa. Uundaji wa shida mbaya husababisha vilio kubwa katika sayansi.
Jamii "tatizo la kisayansi" inahusiana moja kwa moja na kategoria "hypothesis". Hypotheses, kwanza kabisa, hutumiwa kwa kinadharia kuondoa utata wa shida ya kisayansi. Dhana kama hizo (mawazo), ikiwa zimefanikiwa, hata zinageuka kuwa nadharia za kimsingi (mawazo ya Newton juu ya nguvu ya mvuto kati ya miili miwili ya mwili).
Hypotheses pia hutumiwa katika sayansi ya kiufundi, ambapo ni ya asili fulani na inawakilisha maelezo ya njia ya mwingiliano wa mambo ambayo huamua tabia ya kitu kinachojifunza na vipengele vyake. Katika kesi hii, hypothesis inaitwa kazi hypothesis, ambayo, kama katika tatizo la kisayansi, inaweza kuthibitishwa au kukataliwa kwa misingi ya data ya majaribio.
Kwa hiyo, hypothesis ni dhana kuhusu muundo unaowezekana (unaowezekana) wa mabadiliko katika jambo, kitu, tukio ambalo halijathibitishwa, lakini inaonekana kuwa inawezekana.
Umuhimu wa nadharia ni kwamba inawahamasisha watafiti kuunda matatizo kazi ya majaribio ili kuthibitisha usahihi wa nadharia iliyotajwa. Na ikiwa matokeo tofauti yanapatikana, basi nyenzo zilizokusanywa zitatuwezesha kurekebisha hypothesis na kupanga kazi zaidi ya utafiti wa kisayansi.
Katika uundaji wa jumla zaidi, uundaji wa mfano kama mbinu ya mbinu ya kisayansi unajumuisha mabadiliko kutoka kwa mawazo yasiyo rasmi kuhusu kitu kinachosomwa hadi matumizi ya miundo ya hisabati.
Kiwango cha kinadharia cha mifano iliyopatikana kwa misingi ya axioms, sheria za kupata nadharia, na sheria za mawasiliano huongezeka zaidi kwa misingi ya vifungu vya hypotico-deductive na uundaji wa matokeo yaliyopatikana kwa kuchambua hypotheses zilizowekwa mbele. Vifaa vya hisabati vinavyotumiwa katika kesi hii ni njia tu ya kupata ujuzi mpya na kwa njia yoyote lengo la mwisho uchambuzi wa mbinu.
Kwa mkusanyiko mfano wa hisabati matumizi yake yanafuata, madhumuni yake ni kupata taarifa ambazo hazikuwepo kabla ya kuundwa kwake, i.e. mfano kusababisha lazima heuristic. Ni kitendo hiki ambacho hugeuza mbinu kuwa sayansi ya majaribio, kuruhusu uthibitishaji wa hitimisho lake kwa vitendo.
Mfano na sifa zake.
Kurasimisha maarifa yaliyopo kuhusu mfumo unaojifunza (na mkusanyaji wa mfano) huunda mfano ili kupata mali muhimu ya mfumo: uthabiti; ukamilifu; uhuru wa mfumo wa axiom; maudhui. Mfano mzuri utimilifu wa mali hizi ni nadharia za jiometri zisizo za Euclidean za Lobachevsky, Gauss, Bolyai katika karne ya 19. Beltrami ya Italia ilionyesha kuwa kuna miili halisi, juu ya uso ambao sheria za jiometri ya Lobachevsky zinatidhika.
Mwanzoni mwa ufahamu wa kinadharia wa maarifa ya mwanadamu, ukuzaji wa nadharia kila wakati uliendelea kutoka kwa kesi fulani hadi kwa jumla. Hivi sasa, njia za kuiga vitu zimeibuka kulingana na muundo wa mfano wa hisabati. Mlolongo wa maendeleo ya ujuzi huo huenda kwa utaratibu wa nyuma. Kwanza, maelezo ya hisabati ya axiomatic ya tukio (kitu) kinachosomwa yanaonekana, na kwa msingi wake imeundwa. mfano wa dhana- dhana. Pamoja na hili, kanuni za kufuata pia zinabadilika. michakato ya asili Na miradi ya kinadharia(mifano). Badala ya bahati mbaya ya matokeo ya hesabu kulingana na mfano na data ya majaribio ya majaribio, tunazingatia. sifa za kulinganisha zao algorithms ya hisabati kufikia matokeo katika vigezo vingine (zisizo za moja kwa moja). Kanuni hizi ni pamoja na, kwa mfano, kanuni unyenyekevu na uzuri nadharia za kisayansi . Aidha, katika kesi hii mfano huletwa na kifaa kipya cha hisabati pamoja na tafsiri, i.e. Hatua ya kuanzia ndani yake ni urasmi wa kihisabati ambao una uwezo wa kueleza kwa lugha ya hisabati kiini fulani kinachojidhihirisha katika tajriba. Ni hatua hii inayofanya uthibitishaji wa kimajaribio kuwa mgumu, kwani sio tu mlinganyo wa maelezo, lakini pia tafsiri yake lazima idhibitishwe na uzoefu.
Imeingia vifaa vya hisabati katika kesi hii, ina mambo yasiyo ya kujenga ambayo yanaweza hatimaye kusababisha tofauti kati ya nadharia na uzoefu. Ikumbukwe kwamba hii ni hasa maalum ya kisasa utafiti wa kisayansi. Kwa upande mwingine, kipengele hiki cha utafiti wa kisasa wa kisayansi kinatishia uwezekano wa kutupa vifaa vya kuahidi vilivyopendekezwa. Ili kuzuia hili kutokea, ni muhimu kushughulikia kando upande huu wa suala - kuondoa tofauti kwa msingi wa majaribio (mfano ungekuwa. fizikia ya quantum na electrodynamics).
Mfumo wa zamani fizikia ya classical tafsiri ukweli wa kisayansi iligeuka kuwa "uumbaji" wa hatua kwa hatua wa nadharia takriban iliyoundwa kihisabati mchakato halisi kwa mfano wa asili. Swali linatokea, ni nini kinachosukuma watafiti kwa algorithm hiyo ya vitendo, i.e. Je, kuna msukumo gani wa njia hii ya kuunda picha ya kinadharia? Kwa hili, mbinu ya sayansi inatoa jibu dhahiri sana: thamani ya ndani ya ukweli; thamani ya novelty.
Yote haya hapo juu yanapatikana kwa kutumia kanuni za utafiti zifuatazo: a) kukataza wizi; b) kukubalika kwa marekebisho muhimu ya misingi utafiti wa kisayansi; c) usawa wa wote (pamoja na fikra) mbele ya ukweli; d) kupiga marufuku uwongo na ulaghai
Mfano wa hii ni uhusiano wa Einstein-Lorentz. Ya kwanza kulingana na rating isiyo rasmi wakati huo haikuwa na mamlaka wakati huo, lakini vipengele vyake vya nadharia ya uhusiano viligeuka kuwa. nadharia ya msingi. .
Licha ya kazi nyingi za uundaji wa hisabati, ugumu fulani umeibuka katika kuunda dhana halisi mfano wa hisabati. Wao (mifano) na maudhui yao ni tofauti sana. Kwa ujumla, ni wazi kwamba kitu zaidi kinahitajika kutoka kwa mfano kuliko kulinganisha na ukweli: mfano lazima lazima utoe taarifa kuhusu mali ya vitu vilivyoiga na matukio. Kwa hiyo, ufafanuzi unaokubalika wa mfano unapaswa kuwa ambao haujumuishi kutokuwa na uhakika fulani. Kwa mfano: kielelezo cha kitu fulani ni kitu kingine ambacho kinalinganishwa na asili, kielelezo na mali fulani ambayo huonyesha (huokoa) sifa zilizochaguliwa za kitu kwa njia fulani.
Mfano unapaswa kuonyesha kila kitu kinachojulikana (wakati mwingine sifa zinazojulikana) kuhusu kitu na kutabiri au umbo habari mpya kuhusu yeye katika hali yoyote mpya ya kuwepo. Madhumuni ya modeli ni Hivyo, - kazi uwakilishi (maelezo) ikiwa kuna maelezo ya matukio yanayozingatiwa na mfano. Ni katika kesi hii kwamba mfano hufanya kama nadharia. Na, licha ya hili, upinzani mkali kati ya pande za hisabati (rasmi) na kubwa za mfano kwa ujumla haukubaliki. Kwa kuzingatia upande maalum wa malezi ya mfano, tunaweza kufupisha kuwa hisabati hufanya kama njia muhimu zaidi kukuza mawazo yenye maana kuhusu jambo linalochunguzwa katika kipindi chote cha utafiti.
Mada ya 8. Mahusiano na mawasiliano
Dhana ya uhusiano wa binary kati ya vipengele vya seti
Katika maisha ya kila siku, tunazungumza kila wakati juu ya uhusiano kati ya vitu viwili. Kwa mfano, x hufanya kazi kwa usimamizi, x ni baba, x na y ni marafiki - haya ni mahusiano kati ya watu. Nambari nambari zaidi m, nambari inaweza kugawanywa na y, nambari na y ikigawanywa na 3 inatoa salio sawa - haya ni uhusiano kati ya nambari.
Nadharia yoyote ya hisabati inahusika na seti ya baadhi ya vitu au vipengele. Kujenga nadharia ya hisabati Hatuhitaji tu vipengele wenyewe, lakini pia mahusiano kati yao. Kwa nambari, dhana ya uhusiano ina mantiki: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
Mahusiano haya yote yanahusu vitu viwili. Ndiyo sababu wanaitwa mahusiano ya binary.
Tunapozingatia mahusiano fulani, sisi daima tunashughulika na jozi zilizoagizwa zilizoundwa kutoka kwa vipengele vya seti fulani. Kwa mfano, kwa uhusiano "nambari x ni 4 kubwa kuliko nambari y", ambayo inazingatiwa kwenye seti X = (2, 6, 10, 14), hizi zitaamuru jozi (6,2), (10). , 6), (14, 10). Wao ni sehemu ndogo ya bidhaa ya Cartesian X X.
Ufafanuzi. Uhusiano wa jozi kati ya vipengele vya seti ya X au uhusiano kwenye seti ya X ni kitengo kidogo cha bidhaa ya Cartesian X X.
Mahusiano ya binary kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa Alfabeti ya Kilatini: P, T, S, R, Q, nk. Kwa hivyo, ikiwa P ni uhusiano kwenye seti ya X, basi P X X. Seti ya vipengele vyote vya kwanza vya jozi kutoka kwa P inaitwa uwanja wa ufafanuzi wa uhusiano P. Seti ya maadili ya uhusiano P ni seti ya vitu vyote vya pili vya jozi kutoka kwa P.
Katika hali nyingi ni rahisi kutumia picha ya mchoro uhusiano wa binary.
Vipengele vya kuweka X vinawakilishwa na pointi, na mishale huunganisha vipengele vinavyolingana ili ikiwa (x, y) P (xPy) hutokea, basi mshale hutolewa kutoka kwa pointi hadi pointi. Mchoro unaosababishwa unaitwa grafu ya uhusiano P, na vidokezo vinavyowakilisha vipengele vya seti ya X
vipeo vya grafu.
Kwa mfano, grafu ya uhusiano P: "nambari - mgawanyiko wa nambari", iliyofafanuliwa kwenye seti X = (5, 10, 20, 30,40), imeonyeshwa kwenye Mtini. 54.
Mishale ya grafu ambayo mwanzo na mwisho wake ni hatua sawa huitwa loops. Ikiwa kwenye grafu ya uhusiano P badilisha maelekezo ya mishale yote kuwa
kinyume chake, basi uhusiano mpya utapatikana, ambao unaitwa inverse kwa P. Inaashiria P -1. Kumbuka kuwa xPy yP -1 x.
Njia za kubainisha uhusiano wa binary, mali zao
Kwa kuwa uhusiano R kati ya vipengele vya kuweka X ni seti ambayo vipengele vyake vimeagizwa jozi, inaweza kutajwa kwa njia sawa na kuweka yoyote.
Mara nyingi, uhusiano R kwenye seti ya X imeainishwa kwa kutumia tabia ya jozi ya vitu ambavyo viko kwenye uhusiano R. Sifa hii imeundwa kama sentensi yenye viambishi viwili. Kwa mfano, kati ya mahusiano kwenye seti X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) yafuatayo yanaweza kuzingatiwa: "nambari idadi ndogo y ni mara 2", "nambari ni kigawanyo cha nambari", nk.
Uhusiano R kwenye seti X pia unaweza kufafanuliwa kwa kuorodhesha jozi zote za vitu vilivyochukuliwa kutoka kwa seti X na kuunganishwa na uhusiano R.
Kwa mfano, ikiwa tutaandika seti ya jozi (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3),
4), kisha kwenye seti | X = (1, 2, 3, 4) tutaweka baadhi |
mtazamo | |
R = ((x, y)| x X, y | X, x< y} . |
Uhusiano sawa R unaweza kutajwa kwa kutumia grafu (Mchoro.). Hebu tuangazie mali muhimu zaidi mahusiano ya binary.
Ufafanuzi 1. Uhusiano wa R kwenye seti ya X unaitwa reflexive ikiwa kila kipengele kutoka kwa seti X kiko kwenye uhusiano huu nacho chenyewe.
Kwa ufupi kusema ufafanuzi huu inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: R ni reflexive kwenye X xRx kwa x X yoyote.
Ni wazi, ikiwa uhusiano R kwenye seti ya X ni wa kutafakari, basi kuna kitanzi katika kila kipeo cha grafu ya uhusiano. Kauli iliyo kinyume nayo ni kweli.
Mifano ya mahusiano ya kutafakari ni mahusiano: "kuwa sawa kwenye seti ya pembetatu zote za ndege", "x ≤ y".
Kumbuka kwamba kuna mahusiano ambayo hayana mali ya reflexivity, kwa mfano, uhusiano wa perpendicularity ya mistari.
Ufafanuzi 2. Uhusiano wa R kwenye seti ya X huitwa ulinganifu ikiwa kwa vipengele vyovyote vya X hali ifuatayo inatimizwa: ikiwa x na y zinahusiana R, basi y pia ziko katika uhusiano huu.
Kwa kifupi: R ni ulinganifu kwenye X xRy yRx.
Grafu ya uhusiano wa ulinganifu ina mali: ikiwa kuna mshale unaounganisha jozi ya vipengele, basi kuna lazima ya pili inayounganisha vipengele sawa, lakini inakwenda kinyume. Mazungumzo pia ni ya kweli.
Mifano ya mahusiano ya ulinganifu ni mahusiano: "kuwa pande zote kwa usawa kwenye seti ya mistari yote ya moja kwa moja ya ndege", "kuwa sawa kwenye seti ya mistatili yote ya ndege".
Ufafanuzi 3. Ikiwa hakuna vipengele na y kutoka kwa seti ya X inaweza kutokea kwamba wote xRy na yRx zipo kwa wakati mmoja, basi uhusiano R kwenye seti ya X inaitwa asymmetric. Mfano wa uhusiano wa asymmetrical: "kuwa baba" (ikiwa ih - kwa baba, basi huwezi kuwa baba).
Ufafanuzi 4. Uhusiano R kwenye seti X inaitwa antisym-
Kwa mfano, uhusiano "chini ya" kwenye seti ya nambari kamili ni antisymmetric.
Grafu ya uhusiano wa antisymmetric ina kipengele maalum: ikiwa wima mbili za grafu zimeunganishwa na mshale, basi kuna mshale mmoja tu. Kauli iliyo kinyume nayo ni kweli. Mali ya asymmetry ni mchanganyiko wa mali ya antisymmetry na ukosefu wa reflexivity.
Ufafanuzi 5. Uhusiano R kwenye seti X huitwa mpito ikiwa kwa vipengele vyovyote x, y, z X hali ifuatayo inatimizwa: ikiwa x iko katika uhusiano R na y iko katika uhusiano R cz, basi kipengele x ni. katika uhusiano R na kipengele z.
Kwa kifupi: R inabadilika kwenye X xRy na yRz xRz.
Kwa mfano, uhusiano "mstari x ni sambamba na mstari," unaofafanuliwa kwenye seti ya mistari katika ndege, ni ya mpito.
Grafu ya uhusiano wa mpito ina kipengele maalum: kwa kila jozi ya mishale kutoka x hadi ky na oty hadi z, pia ina mshale kutoka x hadi z. Mazungumzo pia ni ya kweli.
Kumbuka kuwa kuna mahusiano ambayo hayana mali ya upitishaji. Kwa mfano, uhusiano "kusimama karibu na kila mmoja kwenye rafu" sio mpito.
Uhusiano wa usawa
Acha X iwe seti ya watu. Kwenye seti hii tunafafanua uhusiano wa jozi R kwa kutumia sheria: aRb, ikiwa a na b walizaliwa mwaka mmoja.
Ni rahisi kuthibitisha kwamba uhusiano R una sifa ya reflexivity, ulinganifu na transitivity. Uhusiano R unasemekana kuwa uhusiano wa usawa.
Ufafanuzi 1. Uhusiano wa binary R kwenye seti ya X inaitwa uhusiano wa usawa ikiwa ni reflexive, linganifu na badilifu.
Hebu turudi tena kwenye uhusiano R, unaofafanuliwa kwa seti ya watu na sheria: aRb, ikiwa a na b walizaliwa mwaka huo huo.
Pamoja na kila mtu a, fikiria seti ya watu K a ambao walizaliwa katika mwaka huo huo. Seti mbili K a na K b aidha hawana vipengele vya kawaida, au sanjari kabisa.
Seti ya seti K a inawakilisha kizigeu cha seti ya watu wote katika madarasa, kwani kutoka kwa ujenzi wake inafuata kwamba masharti mawili yamefikiwa: kila mtu amejumuishwa katika darasa fulani na kila mtu amejumuishwa katika darasa moja tu. Kumbuka kwamba kila darasa lina watu waliozaliwa katika mwaka huo huo.
Kwa hivyo, uhusiano wa usawa R hutoa kizigeu cha seti ya X katika madarasa (madarasa ya usawa). Kinyume chake pia ni kweli.
Nadharia. Kila uhusiano wa usawa kwenye seti ya X inalingana na kizigeu cha seti ya X katika madarasa (madarasa ya usawa). Kila kizigeu cha seti inalingana na uhusiano wa usawa kwenye seti ya X.
Tunakubali nadharia hii bila uthibitisho.
Inafuata kutoka kwa nadharia kwamba kila darasa lililopatikana kama matokeo ya kugawa seti katika madarasa imedhamiriwa na yeyote (mmoja) wa wawakilishi wake, ambayo inafanya uwezekano, badala ya kusoma vitu vyote vya seti fulani, kusoma mkusanyiko tu. wawakilishi binafsi kila darasa.
Uhusiano wa kuagiza
Sisi hutumia mahusiano ya utaratibu kila wakati Maisha ya kila siku. Ufafanuzi 1. Kila uhusiano wa antisymmetric na mpito R umewashwa
seti fulani ya X inaitwa uhusiano wa agizo.
Seti ya X ambayo uhusiano wa agizo hutolewa inaitwa kuamuru.
Wacha tuchukue seti X = (2, 4, 10, 24). Imeagizwa na uhusiano "x ni mkubwa" (Mchoro 63).
Wacha sasa tuzingatie juu yake uhusiano mwingine wa agizo "x divides
y" (Mchoro 64).
Matokeo ya ukaguzi huu yanaweza kuonekana kuwa ya kushangaza. Mahusiano "x ni makubwa" na "x mgawanyiko" hupanga seti ya X kwa njia tofauti. Uhusiano wa x-greater hukuruhusu kulinganisha nambari zozote mbili kutoka
weka X. Kuhusu uhusiano "x mgawanyiko", haina mali kama hiyo. Kwa hivyo jozi ya nambari 10 na 24 haihusiani na uhusiano huu.
Ufafanuzi 2. Uhusiano wa agizo R kwenye seti fulani ya X inaitwa uhusiano mpangilio wa mstari, ikiwa ina mali ifuatayo: kwa vipengele vyovyote u
seti ya X ni eitherxRy au yRx.
Seti ya X ambayo uhusiano wa mpangilio wa mstari hutolewa inaitwa kuamuru kwa mstari.
Seti zilizopangwa kwa mstari zina idadi ya sifa. Acha a, b, c iwe vipengele vya seti ya X ambayo uhusiano wa mpangilio wa mstari R umebainishwa. Ikiwa aRb na bRc, basi tunasema kwamba kipengele b kiko kati ya vipengele a na .
Seti iliyoagizwa kwa mstari X inaitwa discrete ikiwa kati ya vipengele vyake viwili kuna seti ya vipengele vyenye kikomo.
Ikiwa kwa mbili yoyote vipengele mbalimbali linearly kuamuru kuweka X kuna kipengele cha kuweka uongo kati yao, basi kuweka X inaitwa mnene.
Wazo la mawasiliano kati ya seti. Mbinu za kubainisha mawasiliano
Acha seti mbili X na Y zipewe. Ikiwa kwa kila kipengele x X imeainishwa kwa kipengele Y ambacho kinalinganishwa nacho, basi mawasiliano yanasemekana kuanzishwa kati ya seti X na Y.
Kwa maneno mengine, mawasiliano kati ya vipengele vya seti X na Y ni kitengo chochote G cha bidhaa ya Cartesian X na Y ya seti hizi: G X Y .
Kwa kuwa mechi ni seti, inaweza kubainishwa kwa njia sawa na seti yoyote: kwa kuorodhesha jozi zote (x, y), ambapo
Wakati seti za X na Y ni za mwisho, basi mawasiliano kati ya vipengele yanaweza kutajwa kwenye meza ambapo vipengele vya kuweka X vimeandikwa kwenye safu ya kushoto, na vipengele vya kuweka Y vimeandikwa kwenye safu ya juu. Jozi za vipengele vinavyolingana na G zitakuwa kwenye makutano ya safu wima na safu mlalo zinazolingana.
Mawasiliano kati ya seti mbili za mwisho pia inaweza kuonyeshwa kwa kutumia grafu. Seti X na Y zinaonyeshwa kama ovals, vipengele vya seti X na Y vinateuliwa na dots, na vipengele vinavyolingana vinaunganishwa na mishale ili ikiwa (x, y) G hutokea, basi mshale hutolewa kutoka kwa pointi hadi. pointi.
Kwa mfano, grafu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 16, huweka mawasiliano "Mwandishi x aliandika kazi."
Wakati seti na Y ni nambari, basi inawezekana kujenga grafu ya mawasiliano ya G kwenye ndege ya kuratibu.
Mawasiliano ni kinyume cha aliyopewa. Mawasiliano ya mtu kwa mtu
Acha R iwe mawasiliano "Nambari ni mara tano chini ya nambari" kati ya vitu vya seti X = (1, 2, 4, 5, 6) na
Y = (10, 5, 20, 13, 25).
Grafu ya barua hii itakuwa kama kwenye Mtini. 23. Ukibadilisha mwelekeo wa mishale ya grafu hii kwa
kinyume chake, basi tunapata grafu (Kielelezo 22) ya barua mpya "Nambari y ni kubwa mara tano kuliko nambari x", inazingatiwa.
kati ya seti Y na X.
Mawasiliano haya yanaitwa mawasiliano ya kinyume
mawasiliano na R, na inaonyeshwa na R -1. | ||
Ufafanuzi. Hebu | R - kufuata | |
vipengele vya seti X na Y. Kuzingatia R-1 | ||
vipengele vya seti Y na X inaitwa kinyume cha ile iliyotolewa, |
||
wakati (y, x) R -1 ikiwa na tu ikiwa (x, | y) R. |
|
Mawasiliano R na R -1 huitwa kinyume. | ||
Ikiwa seti X na Y ni nambari, basi grafu | ||
mawasiliano R -1 , kinyume cha mawasiliano R, inajumuisha | ||
pointi, pointi linganifu R inayolingana na michoro | ||
jamaa na bisector ya kwanza na | cha tatu | |
kuratibu pembe.
Hebu fikiria hali: katika ukumbi kuna mtazamaji katika kila kiti na kuna nafasi kwa kila mtazamaji. Katika kesi hii wanasema kwamba kati ya kuweka
viti katika ukumbi na umati wa watazamaji wameanzisha mawasiliano ya moja kwa moja.
Ufafanuzi. Acha seti mbili X na Y zipewe. Mawasiliano kati ya vipengele vya seti X na Y, ambayo kila kipengele cha kuweka X kinalingana na kipengele kimoja cha kuweka Y, na kila kipengele cha kuweka Y kinalingana na kipengele kimoja tu kutoka kwa kuweka X, inaitwa moja hadi moja.
Wacha tuangalie mifano ya mawasiliano ya moja kwa moja. Mfano 1. Katika kila shule, kila darasa
inalingana na gazeti baridi. Mawasiliano haya ni ya moja kwa moja.
Mfano 2. Pembetatu iliyotolewa ABC (Kielelezo 25).A 1 C 1 mstari wa kati wa pembetatu. Acha X iwe seti ya alama kwenye sehemu A 1 C 1, Y seti ya alama kwenye AC.
Tunaunganisha hatua ya kiholela x ya sehemu A 1 C 1 hadi vertex B ya pembetatu na sehemu ya mstari wa moja kwa moja na
Wacha tuendelee hadi itakapoingiliana na AC kwa uhakika. Hebu tulinganishe pointi na hatua iliyojengwa kwa njia hii. Katika kesi hii, mawasiliano ya moja kwa moja yataanzishwa kati ya seti X na Y.
Ufafanuzi. Seti X na Y huitwa sawa, au nguvu sawa, ikiwa mawasiliano ya moja kwa moja yanaweza kuanzishwa kati yao kwa njia fulani. Usawa wa seti mbili unaonyeshwa kama ifuatavyo: X ~ Y.
Dhana ya nguvu ni jumla ya dhana ya wingi. Huu ni upanuzi wa dhana ya wingi hadi seti zisizo na kikomo.
Ili kujenga nadharia ya hisabati, huhitaji tu vipengele wenyewe, bali pia mahusiano kati yao. Kwa nambari, dhana ya usawa ina maana: a = b. Ikiwa nambari a na b ni tofauti, huh? b, basi inawezekana ama a > b, au a
Ndege mbili za moja kwa moja zinaweza kuwa perpendicular, sambamba, au kuingiliana kwa pembe fulani.
Mahusiano haya yote yanahusu vitu viwili. Ndiyo sababu wanaitwa mahusiano ya binary.
Ili kujifunza uhusiano kati ya vitu katika hisabati, nadharia ya mahusiano ya binary iliundwa.
Tunapozingatia mahusiano fulani, sisi daima tunashughulika na jozi zilizoagizwa zilizoundwa kutoka kwa vipengele vya seti fulani. Kwa mfano, kwa uhusiano "kubwa na 4", ambayo inazingatiwa kwenye seti X = (2, 6, 10, 14), hizi zitaamriwa jozi (2, 6), (6, 10), (10), 14), na kwa mahusiano "yamegawanywa" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).
Inaweza kuzingatiwa kuwa seti ya jozi zinazofafanua uhusiano "kubwa kuliko 4", "zinazogawanyika", ni sehemu ndogo za bidhaa ya Cartesian.
X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) )
Ufafanuzi 1. Uhusiano wa jozi kati ya vipengele vya seti ya X au uhusiano kwenye seti ya X ni kikundi chochote cha bidhaa ya Cartesian X ´ X.
Uhusiano wa binary kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa za alfabeti ya Kilatini: P, T, S, R, Q, nk. Kwa hivyo, ikiwa P ni uhusiano kwenye seti X, basi P Ì X ´ X. Mara nyingi alama maalum hutumiwa. kuandika mahusiano, kwa mfano , =, >, ~, ½, ^, nk. Seti ya vipengele vyote vya kwanza vya jozi kutoka P inaitwa uwanja wa ufafanuzi wa uhusiano P. Seti ya maadili ya uhusiano P. ni seti ya vipengele vyote vya pili vya jozi kutoka kwa P.
Kwa uwazi, mahusiano ya jozi yanaonyeshwa kwa mchoro kwa kutumia mchoro maalum wa grafu. Vipengele vya seti ya X vinawakilishwa na dots. Ikiwa (x, y) Î Р(хРу) inashikilia, basi mshale hutolewa kutoka hatua x hadi hatua y. Mchoro kama huo unaitwa grafu ya uhusiano P, na vidokezo vinavyowakilisha vitu vya seti ya X ni wima za grafu. mishale kama kingo za grafu.
Mfano. Acha uhusiano P: "nambari x ni kigawanyiko cha nambari y" iliyotolewa kwenye seti
X = (5, 10, 20, 30, 40), inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 25.
Mishale ya grafu ambayo mwanzo na mwisho wake ni hatua sawa huitwa loops. Ukibadilisha maelekezo ya mishale yote kwenye grafu ya uhusiano P hadi kinyume, utapata uhusiano mpya, unaoitwa inverse kwa P. Inaashiria P-1. Kumbuka kwamba xРу Û уР–1х.
Mbinu za kubainisha mahusiano ya binary.
Kwa kuwa uhusiano R kati ya vipengele vya kuweka X ni seti ambayo vipengele vyake vimeagizwa jozi, inaweza kutajwa kwa njia sawa na kuweka yoyote.
1. Mara nyingi, uhusiano wa R juu ya kuweka X unatajwa kwa kutumia mali ya tabia ya jozi za vipengele vilivyo katika uhusiano R. Mali hii imeundwa kwa namna ya sentensi yenye vigezo viwili.
Kwa mfano, kati ya uhusiano kwenye seti X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), tunaweza kuzingatia yafuatayo: "nambari x ni mara 2 chini ya nambari. y", "nambari x ni nambari za kigawanyiko y", "nambari x ni kubwa kuliko nambari y" na zingine.
2. Uhusiano wa R kwenye seti ya X pia unaweza kufafanuliwa kwa kuorodhesha jozi zote za vipengele vya seti ya X inayohusiana na uhusiano R.
Kwa mfano, ikiwa tutaandika seti ya jozi (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), kisha kwenye seti X = (1, 2, 3, 4) tutafafanua uhusiano fulani R. Uhusiano sawa na R pia unaweza kutolewa
3. kwa kutumia grafu (Mchoro 26).
Sifa za mahusiano ya binary.
Ufafanuzi 2. Uhusiano wa R kwenye seti ya X unaitwa reflexive ikiwa kila kipengele kutoka kwa seti X kiko kwenye uhusiano huu na chenyewe.
Kwa kifupi: R inaakisi X Û xRx kwa x О X yoyote.
au, ni nini sawa: katika kila vertex ya grafu ya uhusiano kuna kitanzi. Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa sio kila kipeo cha grafu ya uhusiano kina kitanzi, basi ni uhusiano wa kutafakari.
Mfano. Mahusiano ya kutafakari: "kuwa sawa kwenye seti ya pembetatu zote za ndege", "? na £ kwenye seti ya nambari zote halisi."
Kumbuka kuwa kuna mahusiano ambayo hayana sifa ya kubadilika (toa mfano "x ni kubwa kuliko y")
Ufafanuzi 3. Uhusiano wa binary R kwenye seti ya X inaitwa anti-reflexive kwenye X ikiwa kwa kila x kutoka X (x, x) Ï R, i.e. kwa kila x ya X hali ya xRx haijaridhika.
Ikiwa uhusiano R ni wa kupinga-reflexive, basi hakuna vertex ya grafu yake ina kitanzi. Kinyume chake: ikiwa hakuna vertex ya grafu iliyo na kitanzi, basi grafu inawakilisha uhusiano wa kupinga-reflexive.
Mifano ya mahusiano ya kupinga-reflexive: "kuwa mzee", "kuwa mdogo", "kuwa binti", nk.
Ufafanuzi 4. Uhusiano R kwenye seti ya X huitwa ulinganifu ikiwa, kwa vipengele vyovyote x, 
Î X hali imeridhika: ikiwa x na y wako katika uhusiano R, basi y na x pia wako katika uhusiano huu.
Kwa kifupi: R ni linganifu kwenye X Û xRу Û yRx.
Grafu ya uhusiano wa ulinganifu ina mali: ikiwa kuna mshale unaounganisha jozi ya vipengele, basi kuna lazima ya pili inayounganisha vipengele sawa, lakini inakwenda kinyume. Mazungumzo pia ni ya kweli.
Mifano ya mahusiano ya ulinganifu ni mahusiano: "kuwa pande zote kwa usawa kwenye seti ya mistari yote ya moja kwa moja ya ndege", "kuwa sawa kwenye seti ya mistatili yote ya ndege".
Ufafanuzi 5. Ikiwa hakuna vipengele x na y kutoka kwa seti ya X inaweza kutokea kwamba wote xRy na yRx hutokea wakati huo huo, basi uhusiano wa R kwenye seti ya X inaitwa asymmetric.
Mfano wa uhusiano usio na usawa: "kuwa baba" (ikiwa x ni baba wa y, basi hawezi kuwa baba wa x).
Ufafanuzi 6. Uhusiano wa R kwenye seti ya X inaitwa antisymmetric ikiwa kwa vipengele tofauti x, y О X Kutokana na ukweli kwamba kipengele x kinahusiana R na kipengele y, inafuata kwamba kipengele y hakihusiani na R na kipengele x.
Kwa kifupi: R ni antisymmetric kwenye X Û xRу na x? y? .
Kwa mfano, uhusiano "chini ya" kwenye seti ya nambari kamili ni antisymmetric.
Grafu ya uhusiano wa antisymmetric ina kipengele maalum: ikiwa wima mbili za grafu zimeunganishwa na mshale, basi kuna mshale mmoja tu. Kauli iliyo kinyume nayo ni kweli.
Kumbuka kuwa kuna mahusiano ambayo hayana mali ya ulinganifu wala mali ya antisymmetry.
Ufafanuzi7. Uhusiano R kwenye seti X huitwa mpito ikiwa kwa vipengele vyovyote x, y, z О X hali ifuatayo inatimizwa: ikiwa x iko katika uhusiano R na y na y iko katika uhusiano R na z, basi kipengele x. iko katika uhusiano R na kipengele z.
Kwa kifupi: R inabadilika kwa X Û xRу na уRz? xRz.
Kwa mfano, uhusiano "mstari x ni sambamba na mstari y," unaofafanuliwa kwenye seti ya mistari katika ndege, ni ya mpito.
Grafu ya uhusiano wa mpito ina upekee kwamba kwa kila jozi ya mishale kutoka x hadi y na kutoka y hadi z, pia ina mshale kutoka x hadi z. Mazungumzo pia ni ya kweli.
Kumbuka kuwa kuna mahusiano ambayo hayana mali ya upitishaji. Kwa mfano, uhusiano "kusimama karibu na kila mmoja kwenye rafu" sio mpito.
Wote mali ya jumla mahusiano yanaweza kugawanywa katika makundi matatu:
reflexivity (kila uhusiano ni reflexive au anti-reflexive),
ulinganifu (uhusiano daima ni wa ulinganifu, usio na usawa, au wa antisymmetrical);
transitivity (kila uhusiano ni wa mpito au usio wa mpito). Mahusiano ambayo yana seti fulani mali hupewa majina maalum.