Nambari mbalimbali. Uteuzi, kurekodi na uwakilishi wa seti za nambari

Kutoka kwa aina kubwa ya kila aina seti Ya riba hasa ni kinachojulikana seti za nambari, yaani, seti ambazo vipengele vyake ni nambari. Ni wazi kwamba kufanya kazi nao kwa raha unahitaji kuwa na uwezo wa kuwaandika. Tutaanza makala hii na nukuu na kanuni za kuandika seti za nambari. Ifuatayo, hebu tuangalie jinsi seti za nambari zinavyoonyeshwa kwenye mstari wa kuratibu.

Urambazaji wa ukurasa.

Kuandika seti za nambari

Wacha tuanze na nukuu iliyokubaliwa. Kama unavyojua, herufi kubwa za alfabeti ya Kilatini hutumiwa kuashiria seti. Seti za nambari, kama kesi maalum ya seti, pia huteuliwa. Kwa mfano, tunaweza kuzungumza juu ya seti za nambari A, H, W, nk. Seti za nambari asilia, nambari kamili, za kimantiki, halisi, changamano, n.k. ni za muhimu sana; nukuu zao zimepitishwa kwa ajili yao:

N - seti ya nambari zote za asili;
Z - seti ya nambari kamili;
Q - seti ya nambari za busara;
J - seti ya nambari zisizo na maana;
R - seti ya nambari halisi;
C ni seti ya nambari changamano.

Kuanzia hapa ni wazi kuwa haupaswi kuashiria seti inayojumuisha, kwa mfano, nambari mbili 5 na −7 kama Q, jina hili litakuwa la kupotosha, kwani herufi Q kawaida huashiria seti ya nambari zote za busara. Ili kuashiria seti maalum ya nambari, ni bora kutumia barua nyingine "isiyo na upande", kwa mfano, A.

Kwa kuwa tunazungumza juu ya nukuu, hebu tukumbuke hapa juu ya nukuu ya seti tupu, ambayo ni, seti ambayo haina vitu. Inaashiriwa na ishara ∅.

Wacha pia tukumbuke muundo wa ikiwa kitu ni mali au sio ya seti. Ili kufanya hivyo, tumia ishara ∈ - ni na ∉ - sio. Kwa mfano, nukuu 5∈N inamaanisha kuwa nambari 5 ni ya seti ya nambari asilia, na 5.7∉Z - sehemu ya decimal 5.7 sio ya seti ya nambari kamili.

Na tukumbuke nukuu iliyopitishwa kwa kujumuisha seti moja hadi nyingine. Ni wazi kwamba vipengele vyote vya seti N vimejumuishwa kwenye seti ya Z, kwa hivyo nambari iliyowekwa N imejumuishwa katika Z, hii inaashiria N⊂Z. Unaweza pia kutumia nukuu Z⊃N, ambayo inamaanisha kuwa seti ya nambari zote Z inajumuisha seti N. Mahusiano ambayo hayajajumuishwa na hayajajumuishwa yanaonyeshwa na ⊄ na , mtawalia. Ishara za ujumuishi zisizo kali za fomu ⊆ na ⊇ pia hutumiwa, maana ikiwa ni pamoja na au sanjari na inajumuisha au sanjari, mtawalia.

Tumezungumza juu ya nukuu, wacha tuendelee kwenye maelezo ya seti za nambari. Katika kesi hii, tutagusa tu kesi kuu ambazo hutumiwa mara nyingi katika mazoezi.

Wacha tuanze na seti za nambari zilizo na idadi ndogo na ndogo ya vitu. Ni rahisi kuelezea seti za nambari zinazojumuisha idadi ndogo ya vitu kwa kuorodhesha vitu vyao vyote. Vipengele vyote vya nambari vimeandikwa vikiwa vimetenganishwa na koma na kuambatanishwa ndani , ambayo inaendana na jumla sheria za kuelezea seti. Kwa mfano, seti inayojumuisha nambari tatu 0, -0.25 na 4/7 inaweza kuelezewa kama (0, -0.25, 4/7).

Wakati mwingine, wakati idadi ya vipengele vya seti ya nambari ni kubwa kabisa, lakini vipengele vinatii muundo fulani, ellipsis hutumiwa kwa maelezo. Kwa mfano, seti ya nambari zote zisizo za kawaida kutoka 3 hadi 99 zikijumuishwa zinaweza kuandikwa kama (3, 5, 7, ..., 99).

Kwa hivyo tulikaribia maelezo ya seti za nambari, idadi ya vitu ambayo haina kikomo. Wakati mwingine wanaweza kuelezewa kwa kutumia duaradufu sawa. Kwa mfano, hebu tueleze seti ya nambari zote asilia: N=(1, 2. 3, …) .

Pia hutumia maelezo ya seti za nambari kwa kuonyesha mali ya vipengele vyake. Katika kesi hii, nukuu (x| mali) hutumiwa. Kwa mfano, nukuu (n| 8·n+3, nN) hubainisha seti ya nambari asilia ambazo, zikigawanywa na 8, huacha salio la 3. Seti hii hiyo inaweza kuelezewa kama (11,19, 27, ...).

Katika hali maalum, seti za nambari na idadi isiyo na kipimo ya vipengele ni seti zinazojulikana N, Z, R, nk. au vipindi vya nambari. Kimsingi, seti za nambari zinawakilishwa kama Muungano vipindi vyao vya kibinafsi vya nambari na seti za nambari zilizo na idadi ndogo ya vipengee (ambavyo tulizungumza juu yake hapo juu).

Hebu tuonyeshe mfano. Acha nambari iwe na nambari -10, -9, -8.56, 0, nambari zote za sehemu [-5, -1,3] na nambari za mstari wa nambari wazi (7, +∞). Kwa sababu ya ufafanuzi wa umoja wa seti, seti maalum ya nambari inaweza kuandikwa kama {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Nukuu hii kwa kweli ina maana ya seti iliyo na vipengele vyote vya seti (-10, −9, -8.56, 0), [-5, -1.3] na (7, +∞).

Vile vile, kwa kuchanganya vipindi tofauti vya nambari na seti za nambari za kibinafsi, seti yoyote ya nambari (inayojumuisha nambari halisi) inaweza kuelezewa. Hapa inakuwa wazi kwa nini aina kama hizi za vipindi vya nambari kama muda, nusu ya muda, sehemu, miale ya wazi ya nambari na miale ya nambari ilianzishwa: zote, pamoja na nukuu za seti za nambari za mtu binafsi, hufanya iwezekane kuelezea seti zozote za nambari kupitia. muungano wao.

Tafadhali kumbuka kuwa wakati wa kuandika seti ya nambari, nambari zake za sehemu na vipindi vya nambari vinaamriwa kwa mpangilio wa kupanda. Hii sio hali ya lazima lakini ya kuhitajika, kwa kuwa seti ya nambari iliyoagizwa ni rahisi kufikiria na kuonyesha kwenye mstari wa kuratibu. Pia kumbuka kuwa rekodi hizo hazitumii vipindi vya nambari na vipengele vya kawaida, kwani rekodi hizo zinaweza kubadilishwa kwa kuchanganya vipindi vya nambari bila vipengele vya kawaida. Kwa mfano, muungano wa seti za nambari na vipengele vya kawaida [-10, 0] na (-5, 3) ni nusu ya muda [-10, 3) . Vile vile hutumika kwa muunganisho wa vipindi vya nambari na nambari za mipaka sawa, kwa mfano, umoja (3, 5]∪(5, 7] ni seti (3, 7] , tutakaa juu ya hili kando tunapojifunza pata makutano na umoja wa seti za nambari

Uwakilishi wa seti za nambari kwenye mstari wa kuratibu

Kwa mazoezi, ni rahisi kutumia picha za kijiometri za seti za nambari - picha zao zimewashwa. Kwa mfano, lini kutatua ukosefu wa usawa, ambayo ni muhimu kuzingatia ODZ, ni muhimu kuonyesha seti za nambari ili kupata makutano yao na / au umoja. Kwa hivyo itakuwa muhimu kuwa na ufahamu mzuri wa nuances zote za kuonyesha seti za nambari kwenye mstari wa kuratibu.

Inajulikana kuwa kuna mawasiliano ya moja kwa moja kati ya alama za mstari wa kuratibu na nambari halisi, ambayo inamaanisha kuwa mstari wa kuratibu yenyewe ni mfano wa kijiometri wa seti ya nambari zote halisi R. Kwa hivyo, ili kuonyesha seti ya nambari zote halisi, unahitaji kuchora mstari wa kuratibu na kivuli kwa urefu wake wote:

Na mara nyingi hazionyeshi hata asili na sehemu ya kitengo:

Sasa hebu tuzungumze juu ya picha ya seti za nambari, ambazo zinawakilisha idadi fulani ya kikomo ya nambari za mtu binafsi. Kwa mfano, hebu tuonyeshe nambari iliyowekwa (−2, −0.5, 1.2) . Picha ya kijiometri ya seti hii, yenye nambari tatu -2, -0.5 na 1.2, itakuwa pointi tatu za mstari wa kuratibu na kuratibu zinazofanana:

Kumbuka kwamba kwa kawaida kwa madhumuni ya vitendo hakuna haja ya kutekeleza kuchora hasa. Mara nyingi mchoro wa kimkakati unatosha, ambayo inamaanisha kuwa sio lazima kudumisha kiwango; katika kesi hii, ni muhimu tu kudumisha msimamo wa jamaa wa alama zinazohusiana na kila mmoja: hatua yoyote iliyo na kuratibu ndogo lazima iwe kwa kushoto kwa uhakika na kuratibu kubwa zaidi. Mchoro uliopita utaonekana kama hii:

Kando, kutoka kwa kila aina ya seti za nambari, vipindi vya nambari (vipindi, vipindi vya nusu, mionzi, nk) vinatofautishwa, ambavyo vinawakilisha picha zao za kijiometri; tulizichunguza kwa undani katika sehemu hiyo. Hatutajirudia hapa.

Na inabakia tu kukaa juu ya picha ya seti za nambari, ambazo ni umoja wa vipindi kadhaa vya nambari na seti zinazojumuisha nambari za mtu binafsi. Hakuna kitu kigumu hapa: kulingana na maana ya umoja katika kesi hizi, kwenye mstari wa kuratibu ni muhimu kuonyesha vipengele vyote vya seti ya seti ya nambari iliyotolewa. Kwa mfano, hebu tuonyeshe picha ya seti ya nambari (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (logi 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Na wacha tukae kwenye kesi za kawaida wakati seti ya nambari iliyoonyeshwa inawakilisha seti nzima ya nambari halisi, isipokuwa alama moja au kadhaa. Seti kama hizo mara nyingi hubainishwa na masharti kama vile x≠5 au x≠−1, x≠2, x≠3.7, n.k. Katika kesi hizi, kijiometri huwakilisha mstari mzima wa kuratibu, isipokuwa pointi zinazofanana. Kwa maneno mengine, pointi hizi zinahitajika "kung'olewa" kutoka kwa mstari wa kuratibu. Zinaonyeshwa kama miduara iliyo na kituo kisicho na kitu. Kwa uwazi, hebu tuonyeshe seti ya nambari inayolingana na masharti (seti hii kimsingi ipo):

Fanya muhtasari. Kwa kweli, habari kutoka kwa aya zilizopita inapaswa kuunda mtazamo sawa wa kurekodi na taswira ya seti za nambari kama mtazamo wa vipindi vya nambari: kurekodi kwa seti ya nambari inapaswa kutoa picha yake mara moja kwenye mstari wa kuratibu, na kutoka kwa picha kwenda. mstari wa kuratibu tunapaswa kuwa tayari kuelezea kwa urahisi nambari inayolingana iliyowekwa kupitia umoja wa vipindi vya mtu binafsi na seti zinazojumuisha nambari za kibinafsi.

Bibliografia.

Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljebra. daraja la 9. Katika masaa 2. Sehemu ya 1. Kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. Toleo la 13, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01752-3.

Nambari imegawanywa katika madarasa. Nambari chanya - N = (1, 2, 3, ...) - tengeneza seti ya nambari za asili. Mara nyingi, 0 inachukuliwa kuwa nambari ya asili.

Seti ya nambari Z inajumuisha nambari zote za asili, nambari 0 na nambari zote za asili zilizochukuliwa na ishara ya kuondoa: Z = (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Kila nambari ya kimantiki x inaweza kubainishwa kama jozi ya nambari kamili (m, n), ambapo m ni nambari, n ni kipunguzi cha nambari: x = m/n. Uwakilishi sawa wa nambari ya kimantiki ni kuieleza kama nambari iliyoandikwa katika nukuu ya decimal ya nafasi, ambapo sehemu ya sehemu ya nambari inaweza kuwa sehemu ya muda ya mwisho au isiyo na kikomo. Kwa mfano, nambari x = 1/3 = 0,(3) inawakilishwa kama sehemu ya muda isiyo na kikomo.

Nambari zinazofafanuliwa na sehemu zisizo za muda zisizo na kikomo zinaitwa nambari zisizo na mantiki. Hizi ni, kwa mfano, nambari zote za fomu vp, ambapo p ni nambari kuu. Nambari zinazojulikana kwa kila mtu na e hazina mantiki.

Muungano wa seti za nambari kamili, nambari za busara na zisizo na maana ni seti ya nambari halisi. Picha ya kijiometri ya seti ya nambari halisi ni mstari wa moja kwa moja - mhimili halisi, ambapo kila hatua kwenye mhimili inalingana na nambari fulani halisi, ili namba halisi mnene na kuendelea kujaza mhimili mzima wa kweli.

Ndege inawakilisha picha ya kijiometri ya seti ya namba tata, ambapo shoka mbili zinaletwa - halisi na za kufikiria. Kila nambari changamano, iliyofafanuliwa na jozi ya nambari halisi, inawakilishwa katika fomu hii: x = a+b*i, ambapo a na b ni nambari halisi, ambazo zinaweza kuzingatiwa kama viwianishi vya Cartesian vya nambari kwenye ndege.

Vigawanyiko na vizidishi

Wacha sasa tuzingatie uainishaji unaogawanya seti ya nambari asilia katika sehemu ndogo mbili - nambari kuu na za mchanganyiko. Uainishaji huu unategemea dhana ya mgawanyiko wa nambari za asili. Ikiwa n inaweza kugawanywa na d, basi tunasema kwamba d "inagawanya" n, na kuiandika kwa fomu:. Kumbuka kuwa ufafanuzi huu hauwezi kuendana na uelewa wa angavu: d "hugawanya" n ikiwa n inaweza kugawanywa na d, na si kinyume chake. Nambari d inaitwa kigawanyo cha n. Kila nambari n ina mambo mawili madogo - 1 na n. Vigawanyiko vingine isipokuwa vile vidogo vinaitwa sababu za n. Nambari n inaitwa prime ikiwa haina vigawanyiko isipokuwa vile vidogo. Nambari kuu zinaweza kugawanywa tu na 1 na wao wenyewe. Nambari ambazo zina sababu huitwa nambari za mchanganyiko. Nambari 1 ni nambari maalum kwa sababu sio nambari kuu au ya mchanganyiko. Nambari hasi pia si za nambari kuu au za mchanganyiko, lakini unaweza kuzingatia moduli ya nambari kila wakati na kuiainisha kama nambari kuu au ya mchanganyiko.

Nambari yoyote ya mchanganyiko N inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya vipengele vyake: . Uwakilishi huu sio pekee, kwa mfano 96 = 8*12 = 2*3*16. Hata hivyo, kwa kila nambari ya mchanganyiko N kuna uwakilishi wa pekee kwa namna ya bidhaa ya mamlaka ya nambari kuu:, wapi nambari kuu na. Uwakilishi huu unaitwa uainishaji wa nambari N kuwa sababu kuu. Kwa mfano .

Ikiwa na , basi d ni kigawanyiko cha kawaida cha nambari m na n. Miongoni mwa vigawanyiko vyote vya kawaida, tunaweza kutofautisha kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida, kinachoashiria kama gcd(m,n). Ikiwa gcd(m,n) = 1, basi nambari m na n zinaitwa coprime. Nambari kuu ni coprime, kwa hivyo gcd(q,p) =1 ikiwa q na p ni nambari kuu.

Ikiwa na , basi A ni kizidishio cha kawaida cha m na n. Kati ya vizidishi vyote vya kawaida, tunaweza kutofautisha kizidishio kisicho cha kawaida, kinachoashiria kama LCM(m,n). Ikiwa LCM(m,n) = m*n, basi nambari m na n ni kubwa kiasi. LCM(q, p) =q*p ikiwa q na p ni nambari kuu.

Ikiwa tunaashiria seti za mambo yote kuu ya nambari m na n kwa na, basi

Ikiwa mtengano wa nambari m na n katika mambo makuu hupatikana, basi, kwa kutumia mahusiano yaliyotolewa, ni rahisi kuhesabu GCD (m, n) na LCM (m, n). Pia kuna algoriti zenye ufanisi zaidi ambazo hazihitaji kuainisha nambari.

Algorithm ya Euclid

Kanuni bora ya kukokotoa GCD(m,n) ilipendekezwa na Euclid. Inategemea sifa zifuatazo za GCD(m,n), uthibitisho ambao umeachwa kwa msomaji:

Ikiwa , basi kulingana na mali ya tatu inaweza kupunguzwa kwa thamani n. Ikiwa, basi, kwa mujibu wa mali ya pili, hoja zinaweza kubadilishwa na tena kuja kwenye kesi iliyozingatiwa hapo awali. Wakati, kama matokeo ya mabadiliko haya, maadili ya hoja yanakuwa sawa, suluhisho litapatikana. Kwa hivyo, tunaweza kupendekeza mpango ufuatao:

while(m != n) ( if(m< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Hapa utaratibu wa kubadilishana hubadilishana maadili ya hoja.

Ikiwa unafikiria kidogo, inakuwa wazi kuwa sio lazima kabisa kubadilishana maadili - inatosha kubadilisha hoja na dhamana ya juu katika kila hatua ya kitanzi. Kama matokeo, tunakuja kwenye mchoro:

while(m != n) ( if(m > n) m = m - n; else n = n - m; ) return(m);

Ukifikiria zaidi, unaweza kuboresha mpango huu kwa kuhamia kitanzi chenye hali sawa sawa:

wakati(kweli) (if(m > n) m = m - n; vinginevyo ikiwa (n > m) n = n - m; mwingine rudisha(m);)

Mchoro wa mwisho ni mzuri kwa sababu unaonyesha wazi haja ya kuthibitisha ukamilifu wa mzunguko huu. Si vigumu kuthibitisha ukamilifu wa kitanzi kwa kutumia dhana ya lahaja ya kitanzi. Kwa kitanzi hiki, chaguo inaweza kuwa kazi kamili - max(m,n) , ambayo hupungua kwa kila hatua, daima kubaki chanya.

Faida ya toleo hili la algorithm ya Euclid ni kwamba katika kila hatua operesheni ya msingi na ya haraka kwenye nambari zote hutumiwa - kutoa. Ikiwa unaruhusu uendeshaji wa kuhesabu salio wakati wa kugawanya kwa nambari kamili, basi idadi ya hatua za kitanzi inaweza kupunguzwa kwa kiasi kikubwa. Mali ifuatayo ni kweli:

Hii inasababisha mchoro ufuatao:

joto la ndani; if(n>m) temp = m; m = n; n = joto; //swap(m,n) huku(m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

Ikiwa unafikiri juu yake kidogo, inakuwa wazi kwamba si lazima kabisa kufanya hundi kabla ya kuanza mzunguko. Hii inasababisha mpango rahisi wa kuhesabu GCD, kawaida hutumika katika mazoezi:

joto la ndani; wakati(m != n) ( temp = m; m = n; n = temp%n; )

Ili kuhesabu LCM(m, n) unaweza kutumia uhusiano ufuatao:

Inawezekana kuhesabu LCM(m, n) bila kutumia shughuli za kuzidisha na kugawanya? Inabadilika kuwa unaweza kuhesabu wakati huo huo LCM(m,n) wakati wa kuhesabu GCD(m,n). Hapa kuna mchoro unaolingana:

int x = v = m, y = u = n,; wakati(x != y) ( ikiwa(x > y)( x = x - y; v = v + u;) mwingine (y = y - x; u = u + v;) ) GCD = (x + y )/2; LCM = (u+v)/2;

Uthibitisho kwamba mpango huu unahesabu kwa usahihi GCD hufuata kutoka kwa mali iliyotolewa hapo awali ya GCD. Usahihi wa hesabu ya LCM ni dhahiri kidogo. Ili kudhibitisha hili, angalia kuwa kigeugeu cha kitanzi ni usemi ufuatao:

Uhusiano huu umeridhika baada ya vigeu kuanzishwa kabla ya kitanzi kuanza kutekelezwa. Mwishoni mwa mzunguko, x na y zinapokuwa sawa na gcd, usahihi wa mpango hufuata kutoka kwa ukweli wa kutofautiana. Ni rahisi kuthibitisha kuwa taarifa za mwili wa kitanzi huacha taarifa kuwa kweli. Maelezo ya uthibitisho yameachwa kwa wasomaji.

Dhana ya GCD na LCM inaweza kupanuliwa kwa kuzifafanua kwa nambari zote. Mahusiano yafuatayo ni halali:

Algorithm Iliyoongezwa ya Euclidean

Wakati mwingine ni muhimu kuwakilisha gcd(m,n) kama mchanganyiko wa mstari wa m na n:

Hasa, hesabu ya coefficients a na b ni muhimu katika algorithm ya RSA - encryption ya ufunguo wa umma. Nitatoa mchoro wa algorithm ambayo inakuwezesha kuhesabu mara tatu - d, a, b - mgawanyiko mkubwa zaidi wa kawaida na coefficients ya upanuzi. Algorithm inaweza kutekelezwa kwa urahisi kama utaratibu wa kujirudia

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, rejea int b),

ambayo, ikipewa hoja za pembejeo m na n, huhesabu maadili ya hoja d, a, b. Tawi lisilojirudia la utaratibu huu linalingana na kisa n = 0, na kurudisha thamani kama matokeo: d = m, a = 1, b = 0. Simu za tawi zinazojirudia.

ExtendedEuclid(n, m % n, rejeleo d, rejeleo a, rejeleo b)

na kisha kurekebisha maadili yanayotokana ya a na b kama ifuatavyo:

Si vigumu kujenga uthibitisho wa usahihi wa algorithm hii. Kwa tawi lisilojirudia, usahihi ni dhahiri, na kwa tawi la kujirudia ni rahisi kuonyesha kwamba kutokana na ukweli wa matokeo yaliyorejeshwa na simu ya kujirudia, inafuata kuwa ni kweli kwa hoja za pembejeo baada ya kuhesabu tena maadili. ya a na b.

Je, utaratibu huu unafanyaje kazi? Kwanza, kushuka kwa kujirudia hutokea hadi n inakuwa sifuri.

Katika hatua hii, thamani ya d na maadili ya vigezo a na b itahesabiwa kwa mara ya kwanza. Baada ya hayo, kupanda kutaanza na vigezo a na b vitahesabiwa tena.

Kazi

49. Iliyopewa m na n ni nambari za asili. Kokotoa gcd(m, n). Wakati wa kufanya mahesabu, usitumie shughuli za kuzidisha na kugawanya.
50. Kutokana na m na n ni namba za asili. Kokotoa LCM(m, n).
51. Iliyopewa m na n ni nambari za asili. Kokotoa LCM(m, n). Wakati wa kufanya mahesabu, usitumie shughuli za kuzidisha na kugawanya.
52. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Kokotoa gcd(m, n). Wakati wa kufanya mahesabu, usitumie shughuli za kuzidisha na kugawanya.
53. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Kokotoa LCM(m, n). Wakati wa kufanya mahesabu, usitumie shughuli za kuzidisha na kugawanya.
54. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Kokotoa gcd(m, n). Wakati wa kufanya hesabu, tumia operesheni ya kuchukua sehemu iliyobaki ya mgawanyiko kwa nambari kamili.
55. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Kokotoa LCM(m, n). Wakati wa kufanya hesabu, tumia operesheni ya kuchukua sehemu iliyobaki ya mgawanyiko kwa nambari kamili.
56. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Hesabu mara tatu ya nambari - (d, a, b) kwa kutumia algoriti ya Euclidean iliyopanuliwa.
57. Iliyopewa m na n ni nambari za asili. Fikiria GCD(m, n) kama mchanganyiko wa mstari wa m na n.
58. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Fikiria GCD(m, n) kama mchanganyiko wa mstari wa m na n.
59. Iliyopewa m na n ni nambari kamili. Angalia ikiwa nambari m na n ni coprime.

Nambari kuu

Miongoni mwa nambari zilizo sawa kuna nambari moja kuu - hii ni 2. Kuna nambari nyingi za kawaida za kawaida upendavyo. Sio ngumu kudhibitisha kuwa nambari, ambapo nambari kuu zinazofuatana, ni kuu. Kwa hivyo, ikiwa nambari kuu zimeundwa, basi tunaweza kuunda nambari kuu nyingine kubwa kuliko . Inafuata kwamba seti ya nambari kuu haina ukomo. Mfano: nambari N = 2*3*5*7 + 1 = 211 ni nambari kuu.

Ungo wa Eratosthenes

Jinsi ya kuamua kuwa N ni nambari kuu? Ikiwa operesheni N % m ni halali, ikitoa salio wakati wa kugawanya N kwa nambari m, basi algorithm rahisi zaidi ni kuangalia kwamba salio si sawa na sifuri wakati wa kugawanya N kwa nambari zote m chini ya N. Uboreshaji wa dhahiri wa hili algorithm ni kupunguza safu ya majaribio - inatosha kuzingatia nambari m katika safu.

Nyuma katika karne ya 3 KK. Mwanahisabati wa Ugiriki Eratosthenes alipendekeza algoriti ya kutafuta nambari kuu katika masafa ambayo haihitaji shughuli za mgawanyiko. Algorithm hii inaitwa "Sieve ya Eratosthenes". Katika toleo la kompyuta, wazo la algorithm hii inaweza kuelezewa kama ifuatavyo. Hebu tujenge safu Nambari, vipengele ambavyo vina mfululizo wa nambari zisizo za kawaida, kuanzia na 3. Hapo awali, nambari zote katika safu hii zinazingatiwa bila kuvuka. Wacha tuweke nambari ya kwanza ambayo haijavuka kutoka safu hii hadi safu ya SimpleNumbers - na hii itakuwa nambari kuu ya kwanza isiyo ya kawaida (3). Kisha tutafanya kuchuja, tukipitia safu ya Nambari na hatua sawa na nambari kuu iliyopatikana, tukivuka nambari zote zinazokuja wakati wa kupita. Katika pasi ya kwanza, nambari 3 na nambari zote ambazo ni zidishi za 3 zitatolewa. Katika pasi inayofuata, nambari kuu inayofuata 5 itaingizwa kwenye jedwali la nambari kuu, na nambari ambazo ni zidishi za 5 zitaingizwa. imevuka kutoka kwa safu ya Nambari. Mchakato unarudiwa hadi nambari zote kwenye safu zipitishwe Nambari. Kama matokeo, safu ya SimpleNumbers itakuwa na jedwali la nambari kuu za kwanza chini ya N.

Algorithm hii ni nzuri kwa kupata nambari kuu ndogo. Lakini ikiwa unahitaji kupata nambari kuu na nambari ishirini muhimu, basi kumbukumbu ya kompyuta haitoshi tena kuhifadhi safu zinazolingana. Kumbuka kwamba algoriti za kisasa za usimbaji fiche hutumia nambari kuu zilizo na tarakimu mia kadhaa.

Msongamano Mkuu

Tumeonyesha kuwa idadi ya nambari kuu haina kikomo. Ni wazi kwamba kuna wachache wao kuliko idadi isiyo ya kawaida, lakini ni kiasi gani kidogo? Je, msongamano wa nambari kuu ni nini? Wacha iwe chaguo la kukokotoa ambalo linarudisha idadi ya nambari kuu chini ya n. Haiwezekani kutaja kazi hii kwa usahihi, lakini kuna makadirio mazuri kwa hilo. Nadharia ifuatayo ni kweli:

Chaguo la kukokotoa linakaribia kikomo chake kutoka juu bila dalili, kwa hivyo makadirio hutoa maadili yaliyopunguzwa kidogo. Makadirio haya yanaweza kutumika katika algorithm ya Ungo wa Eratosthenes kuchagua kipimo cha safu ya SimpleNumbers wakati kipimo cha safu ya Nambari kinatolewa, na, kinyume chake, kwa kuzingatia ukubwa wa jedwali la primes, mtu anaweza kuchagua mwelekeo unaofaa kwa Safu ya nambari.

Algorithm ya jedwali ya kuamua ukubwa wa nambari

Ikiwa utaweka jedwali la nambari kuu, SimpleNumbers, ambayo nambari kuu kubwa zaidi ni M, basi unaweza kuamua kwa urahisi ikiwa nambari N chini ya ni ya msingi. Ikiwa N ni chini ya M, basi inatosha kuangalia ikiwa nambari N iko kwenye jedwali la SimpleNumbers. Ikiwa N ni kubwa kuliko M, basi inatosha kuangalia ikiwa nambari N inaweza kugawanywa kwa nambari kutoka kwa jedwali la SimpleNumbers ambazo hazizidi thamani ya vN. Ni wazi kwamba ikiwa nambari N haina sababu kuu chini ya vN, basi nambari N ndiyo kuu.

Kutumia jedwali kuu la nambari kunahitaji kumbukumbu ya kutosha ya kompyuta na kwa hivyo hupunguza uwezo wa algorithm, kuizuia kutumiwa kupata nambari kuu kuu.

Algorithm isiyo na maana

Ikiwa N ni nambari isiyo ya kawaida, basi unaweza kuangalia kuwa ni ya msingi kulingana na ufafanuzi wa ukubwa wa nambari. Katika kesi hii, hakuna kumbukumbu inahitajika kuhifadhi meza za nambari - lakini, kama kawaida, kushinda katika kumbukumbu, tunapoteza kwa wakati. Kwa kweli, inatosha kuangalia ikiwa nambari N inaweza kugawanywa kwa nambari zisizo za kawaida mfululizo katika safu . Ikiwa nambari N ina angalau sababu moja, basi ni mchanganyiko, vinginevyo ni mkuu.

Algoriti zote zinazojadiliwa huacha kufanya kazi kwa ufanisi wakati nambari zinapita zaidi ya gridi ya kompyuta kwa kuwakilisha nambari, kwa hivyo ikiwa kuna haja ya kufanya kazi na nambari kamili nje ya safu ya System.Int64, basi jukumu la kuamua ubora wa nambari kama hiyo inakuwa mbali. kutoka rahisi. Kuna baadhi ya mapishi ya kuamua kwamba idadi ni composite. Hebu angalau tukumbuke algoriti zinazojulikana tangu nyakati za shule. Ikiwa nambari ya mwisho ya nambari inaweza kugawanywa na 2, basi nambari inaweza kugawanywa na 2. Ikiwa nambari mbili za mwisho za nambari zinagawanywa na 4, basi nambari inaweza kugawanywa na 4. Ikiwa jumla ya nambari imegawanywa na 3 (kwa 9), basi nambari inaweza kugawanywa na 3 (na 9). Ikiwa tarakimu ya mwisho ni 0 au 5, basi nambari inaweza kugawanywa na 5. Wanahisabati wametumia jitihada nyingi kuthibitisha kwamba nambari ni (au sio) namba kuu. Sasa kuna mbinu maalum zinazokuwezesha kuthibitisha kwamba nambari za aina fulani ni kuu. Wagombea wanaofaa zaidi kwa mkuu ni nambari za fomu , ambapo p ni nambari kuu. Kwa mfano, nambari yenye tarakimu zaidi ya 6000 imethibitishwa kuwa kuu, lakini haiwezi kusemwa ni nambari zipi kuu ambazo ni majirani wa karibu wa nambari hiyo.

Kazi

Miradi

67. Jenga darasa la "Joto" ambalo hukuruhusu kuweka hali ya joto katika vitengo tofauti vya kipimo. Jenga mradi wa Windows unaoauni kiolesura cha kufanya kazi na darasa.
68. Tengeneza darasa la "Umbali" ambalo hukuruhusu kutumia mifumo tofauti ya hatua. Jenga mradi wa Windows unaoauni kiolesura cha kufanya kazi na darasa.
69. Jenga darasa "Nambari kuu". Jenga mradi wa Windows unaoauni kiolesura cha kufanya kazi na darasa.
70. Jenga darasa "Mifumo ya nambari". Tengeneza kikokotoo cha Windows kinachoauni mahesabu katika mfumo fulani wa nambari.
71. Jenga darasa "Nambari za busara". Tengeneza kikokotoo cha Windows kinachoauni mahesabu na nambari hizi.
72. Jenga darasa "Nambari tata". Tengeneza kikokotoo cha Windows kinachoauni mahesabu na nambari hizi.

Tafuta alama kwenye duara la nambari na abscissa uliyopewa. Kuratibu. Mali ya kuratibu za uhakika. Katikati ya mduara wa nambari. Kutoka kwa mduara hadi trigonometer. Tafuta alama kwenye mduara wa nambari. Dots na abscissa. Trigonometer. Weka alama kwenye mduara wa nambari. Mduara wa nambari kwenye ndege ya kuratibu. Mzunguko wa nambari. Pointi zilizo na mpangilio. Toa uratibu wa hoja. Taja mstari na uratibu wa uhakika.

""Derivatives" aljebra ya daraja la 10" - Utumiaji wa viini katika utendakazi wa kusoma. Derivative ni sifuri. Tafuta pointi. Hebu tufanye muhtasari wa habari. Hali ya monotonicity ya kazi. Utumiaji wa derivative katika utafiti wa kazi. Joto-up ya kinadharia. Kamilisha taarifa. Chagua kauli sahihi. Nadharia. Linganisha. Derivative ni chanya. Linganisha uundaji wa nadharia. Kazi huongezeka. Masharti ya kutosha kwa waliokithiri.

""Milinganyo ya Trigonometric" daraja la 10" - Maadili kutoka kwa muda. X= tani x. Kutoa mizizi. Je, usawa ni kweli? Mfululizo wa mizizi. Equation kitanda t = a. Ufafanuzi. Kwa 4x. Tafuta mizizi ya equation. Equation tg t = a. Dhambi x. Je, usemi huo una maana? Dhambi x =1. Kamwe usifanye usichokijua. Endelea sentensi. Hebu tuchukue sampuli ya mizizi. Tatua mlinganyo. Ctg x = 1. Milinganyo ya Trigonometric. Mlinganyo.

"Aljebra "Derivatives" - Mlinganyo wa Tangent. Asili ya masharti. Tatua tatizo. Derivative. Pointi ya nyenzo. Fomula za kutofautisha. Maana ya mitambo ya derivative. Vigezo vya tathmini. Utendakazi wa derivative. Tanji kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa. Ufafanuzi wa derivative. Mlinganyo wa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa. Algorithm ya kutafuta derivative. Mfano wa kutafuta derivative. Muundo wa somo la mada. Hatua hiyo inasonga kwa mstari wa moja kwa moja.

"Njia fupi" - Njia katika digrafu. Mfano wa grafu mbili tofauti. Grafu zilizoelekezwa. Mifano ya grafu iliyoelekezwa. Upatikanaji. Njia fupi zaidi kutoka kwa kipeo A hadi kipeo D. Maelezo ya algoriti. Faida za orodha ya hierarchical. Grafu zilizopimwa. Njia kwenye grafu. Mpango wa ProGraph. Vipeo vya karibu na kingo. Shahada ya juu. Matrix ya ukaribu. Urefu wa njia katika grafu yenye uzito. Mfano wa matrix ya karibu. Kutafuta njia fupi zaidi.

"Historia ya Trigonometry" - Jacob Bernoulli. Mbinu za kufanya kazi na kazi za trigonometric. Mafundisho ya kupima polihedra. Leonard Euler. Maendeleo ya trigonometry kutoka karne ya 16 hadi leo. Mwanafunzi anapaswa kukutana na trigonometry mara tatu. Hadi sasa, trigonometry imeundwa na kuendelezwa. Ujenzi wa mfumo wa jumla wa ujuzi wa trigonometric na kuhusiana. Muda unapita, na trigonometry inarudi kwa watoto wa shule.

Mchoro wa 3 wa chati ya shirika

Kuongeza chati ya shirika hufanywa kwa kutumia mchoro wa Ongeza au kitufe cha chati ya shirika, jaribio la asili hubadilishwa katika vizuizi vyake, baada ya hapo kitu kizima kinabanwa kwa wima.

1.1 Mpango wa WordArt

Mpango huo umeundwa kwa ajili ya kuingiza maandishi ya kisanii kwenye hati, kuhariri, kuziweka kwa maandishi, nk.

Kuingiza kitu hufanywa kama ifuatavyo:

bonyeza kushoto kwenye kitufe Ongeza kituNenoSanaa, chagua aina ya maandishi, bonyeza kitufe SAWA;

kwenye dirisha inayoonekana Kubadilisha maandishiWordArt weka aina ya fonti, saizi yake na mtindo (ujasiri, italiki), ingiza maandishi na bonyeza kitufe sawa.

paneli itaonekana WordArt, kuwa na fomu (Mchoro 4):

Upauzana wa Kielelezo 4 WordArt

Paneli ina vifungo: Ongeza kituWordArt,Badilisha maandishi…, MkusanyikoWordArt, Umbizo la kituWordArt(rangi na mistari, saizi, msimamo kwenye skrini, kufunika, kuchora, maandishi), Umbo la Maandishi ya Menyu(aina za maandishi) , Maandishi ya wima na nk.

Saizi ya maandishi inaweza kubadilishwa kwa kutumia miduara nyeupe ya muhtasari wa uteuzi. Kusonga maandishi hufanywa na panya, na unahitaji kunyakua maandishi katikati yake au mstari wa contour ya uteuzi. Mzunguko wa kitu unafanywa kwa kutumia miduara ya kijani, tilt ya uandishi ni

kutumia almasi ya njano. Rangi na vigezo vingine vya kitu hubadilishwa kwa kutumia kifungo Umbizo la KituWordArt au kutoka kwa paneli kuu Kuchora, ambayo unaweza kuongeza athari za shading na volumetric .

Kwa mfano, jina la gazeti "Znamya" baada ya kuingia na kubinafsisha kutumia programu ya WordArt linaweza kuonekana kama (Mchoro 5):

Mfano 3

Kielelezo 5 Uandishi "Bango"

2 Maendeleo ya tangazo la ukuta

Wakati wa kuitengeneza tunatumia nyanja za maandishi, ambazo zinaundwa kwa kutumia kitufe Uandishi. Uandishi ni fremu, "kiraka" ambacho kimewekwa juu ya hati na kinaweza kuwa na data yoyote - maandishi, meza, picha na vitu vingine. Tangazo kama hilo kawaida huwa na picha, maandishi ya tangazo, jina la shirika na shuka za "nambari za simu za kubomoa". Vipengele vyote vya tangazo vimeingizwa katika sehemu zao za maandishi Na. 1-No. 5:

Mfano 4: Mlolongo wa vitendo (inawezekana) wakati wa kuunda tangazo la ukuta kwa kutumia sehemu za maandishi:

Kwa kutumia kitufe Uandishi vipau vya zana Kuchora unda sehemu ya maandishi #1 inayolingana na saizi ya tangazo.

Kwenye menyu Umbizo chagua kipengee Mipaka na Kivuli na uunda sura karibu na uwanja wa maandishi Nambari 1 - hii ni mipaka ya dimensional ya tangazo. Sura inaweza kuwa mbili, ujasiri, dotted, nk.

Katika kona ya juu kushoto ya shamba Nambari 1, unda shamba Nambari 2 (bila mpaka), ndani

ambayo itakuwa na jina la shirika.

Katika paneli ya Chora, chagua Ongeza WordArt.

Dirisha la WordArt litaonekana kwenye skrini, chagua maandishi yaliyoinuliwa, bofya OK. Katika uwanja wa kuingia Nakala, ingiza jina la shirika "mwanafunzi". Weka aina ya fonti kuwa Arial, ukubwa wa 18, mtindo - wa ujasiri, italiki, bofya Sawa. Jina la shirika litaonekana katika sehemu ya maandishi Nambari 2, iliyopinda katika safu; inyooshe kwa wima.

Unda nambari ya uwanja wa maandishi 3, saizi yake ambayo inafaa kwenye safu ya neno "mwanafunzi". Weka mchoro ndani ya maandishi ya arched. Ili kufanya hivyo kwenye menyu Ingiza chagua kipengee Kuchora\Picha, katika sanduku la mazungumzo linalofungua, chagua picha inayofaa katika orodha ya faili na bofya kifungo sawa. Picha iliyoingizwa imezungukwa na sura yenye miraba nyeupe. Ikiwa picha hailingani na ukubwa wa shamba Nambari 3, basi inaweza kupunguzwa kwa kusonga mraba huu na panya, na picha imepunguzwa. Ili kuifanya iwe ndogo kwa uwiano, unahitaji kubofya picha na panya, sura yenye mraba nyeusi itaonekana, ambayo unaweza kurekebisha ukubwa wa picha bila kupiga mazao.

Unda sehemu ya maandishi Nambari 4 na uandike maandishi ya tangazo "Muhtasari, kazi ya kozi, tasnifu: UCHAPA, DESIGN". Chagua na umbizo la maandishi kulingana na saizi ya uga Nambari 4, fonti Nyembamba ya Arial, saizi ya fonti 16, ya herufi nzito, iliyowekwa kwa upana, rangi nyekundu iliyokolea, bluu iliyokolea na maua otomatiki (nyeusi).

Unda sehemu ya maandishi # 5 kwenye mstari ambapo simu ya kwanza ya kukatika upande wa kushoto itapatikana. Ongeza kitu cha WordArt na athari ya maandishi ya wima na uweke nambari ya simu.

Nakili sehemu ya maandishi Nambari 5 na nambari ya simu kwa kutumia kipanya huku ukibofya kitufe cha Ctrl mara nyingi kadri itakavyotoshea kwa upana katika sehemu ya maandishi Nambari 1. Unaweza kutumia ubao wa kunakili, i.e. chagua kitu, nakili kwenye ubao wa kunakili kwa amri Hariri\Copy au kifungo Nakili kwenye paneli Kawaida, kisha weka mshale kwenye sehemu ya kuwekea na utekeleze amri Hariri\Bandika au kifungo Ingiza, lakini wakati wa kubandika, nakala zitapishana na itabidi zihamishwe kwa safu hadi kwenye safu mwenyewe.

Kuweka vitu vyote katika vikundi ili baadaye kuzitumia kama kitu kimoja, kwa mfano, wakati wa kunakili. Ikiwa hii haijafanywa, basi kila kitu (picha, njia ya mkato ya simu, jina ...) itakiliwa tofauti. Kuweka vitu kwa vikundi kunaweza kufanywa kwa njia mbili:

Huku akishikilia ufunguo Shift, bonyeza kwenye kila moja ya vitu, kwa hivyo wote watachaguliwa kwa wakati mmoja. Kisha

panua upau wa vidhibiti Kuchora na bonyeza kitufe cha G kikundi. Sura ya kawaida itaonekana karibu na vitu (watakuwa kitu kimoja);

Bonyeza kitufe Kuchagua vitu kwenye paneli Kuchora na kunyoosha gridi kuzunguka vitu vyote vya matangazo, vyote vitaangaziwa kwa wakati mmoja na bonyeza kitufe Kikundi. Ikiwa ni lazima, vitu vinaweza kutengwa kwa kutumia kifungo Tenganisha kikundi.

Panya na ufunguo Ctrl au kupitia ubao wa kunakili, kama ilivyoonyeshwa katika aya ya 9.

Sasa ukurasa wa tangazo unaweza kuchapishwa na kukatwa

Laha ya umbizo la A4 inaweza kubeba matangazo 8 ya ukubwa huu.

Hifadhi tangazo la ukuta linalosababisha (Mchoro 6) kwenye diski ya floppy na amri Faili\Hifadhi Kama... .

Ikumbukwe kwamba picha na mashamba ya maandishi yanaweza kuwa juu ya kila mmoja katika tabaka kadhaa katika mlolongo tofauti, na pia kuwekwa juu au nyuma ya ngazi kuu - maandishi. Kwa kusudi hili, amri 6 za upau wa zana hutumiwa Kuchora\Agizo.

KUHUSU Vipengee vilivyoundwa katika WordArt vinaweza kuhaririwa baadaye. Ili kufanya hivyo, bonyeza tu juu ya kitu, orodha ya WordArt itafungua, na kubadilisha athari ya maandishi, font, nk ndani yake.

Ili kuingiza kitu kwenye maandishi, unahitaji kuchagua kitu na kwenye menyu Umbizo, timu Mipaka na Kivuli, kwenye dirisha Umbizo la Kitu

kwenye kichupo Nafasi kuchagua

ufungaji wa maandishi unaohitajika.

Kielelezo 6 Notisi ya ukuta

f Umbiza kitu na ujaze kuzunguka fremu? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kwa Mtini. 6 mtiririko "kando ya contour" unafanywa.

Mlolongo unaozingatiwa wa vitendo wakati wa kuunda tangazo la ukuta sio pekee na mojawapo. Walakini, hukuruhusu kupata uzoefu kwa kutumia programu ya WordArt

Nambari kamili

Nambari zinazotumiwa katika kuhesabu zinaitwa nambari za asili. Kwa mfano, $1,2,3$, nk. Nambari asilia huunda seti ya nambari asilia, ambayo inaashiria $N$. Jina hili linatokana na neno la Kilatini. asili- asili.

Nambari zinazopingana

Ufafanuzi 1

Ikiwa nambari mbili zinatofautiana kwa ishara tu, zinaitwa hisabati nambari zinazopingana.

Kwa mfano, nambari $5$ na $-5$ ni nambari zinazopingana, kwa sababu Wanatofautiana kwa ishara tu.

Kumbuka 1

Kwa nambari yoyote kuna nambari tofauti, na moja tu.

Kumbuka 2

Nambari sifuri ni kinyume chake yenyewe.

Nambari nzima

Ufafanuzi 2

Nzima nambari ni nambari asilia, vinyume vyake, na sifuri.

Seti ya nambari inajumuisha seti ya nambari za asili na wapinzani wao.

Onyesha nambari kamili $Z.$

Nambari za sehemu

Nambari za fomu $\frac(m)(n)$ zinaitwa sehemu au nambari za sehemu. Nambari za vipande pia zinaweza kuandikwa kwa fomu ya decimal, i.e. kwa namna ya sehemu za decimal.

Kwa mfano: $\ \frac(3)(5)$ , $0.08$ n.k.

Kama vile nambari nzima, nambari za sehemu zinaweza kuwa chanya au hasi.

Nambari za busara

Ufafanuzi 3

Nambari za busara ni seti ya nambari iliyo na seti ya nambari kamili na sehemu.

Nambari yoyote ya kimantiki, kamili na ya sehemu, inaweza kuwakilishwa kama sehemu $\frac(a)(b)$, ambapo $a$ ni nambari kamili na $b$ ni nambari asilia.

Kwa hivyo, nambari sawa ya busara inaweza kuandikwa kwa njia tofauti.

Kwa mfano,

Hii inaonyesha kwamba nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu kamili ya desimali au sehemu isiyo na kikomo ya upimaji ya desimali.

Seti ya nambari za busara inaonyeshwa na $Q$.

Kama matokeo ya kufanya operesheni yoyote ya hesabu kwenye nambari za busara, jibu linalotokana litakuwa nambari ya busara. Hii inathibitishwa kwa urahisi, kwa sababu ya ukweli kwamba wakati wa kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya sehemu za kawaida, unapata sehemu ya kawaida.

Nambari zisizo na mantiki

Wakati wa kusoma kozi ya hisabati, mara nyingi unapaswa kushughulika na nambari ambazo sio za busara.

Kwa mfano, ili kuthibitisha kuwepo kwa seti ya nambari isipokuwa zile za kimantiki, hebu tutatue mlinganyo $x^2=6$. Mizizi ya mlinganyo huu itakuwa nambari $\surd 6$ na -$\surd 6$. . Nambari hizi hazitakuwa za busara.

Pia, tunapopata diagonal ya mraba na upande wa $ 3 $, tunatumia nadharia ya Pythagorean na kupata kwamba diagonal itakuwa sawa na $\surd 18$. Nambari hii pia haina mantiki.

Nambari kama hizo zinaitwa isiyo na mantiki.

Kwa hivyo, nambari isiyo na mantiki ni sehemu ya desimali isiyo ya muda isiyo na kikomo.

Mojawapo ya nambari zisizo na mantiki zinazokutana mara kwa mara ni nambari $\pi $

Wakati wa kufanya shughuli za hesabu na nambari zisizo na maana, matokeo yanaweza kuwa ya busara au nambari isiyo na maana.

Wacha tuthibitishe hili kwa kutumia mfano wa kupata bidhaa ya nambari zisizo na maana. Hebu tupate:

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Kwa uamuzi

$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Mfano huu unaonyesha kuwa matokeo yanaweza kuwa nambari ya busara au isiyo na mantiki.

Ikiwa nambari za busara na zisizo na maana zinahusika katika shughuli za hesabu kwa wakati mmoja, basi matokeo yatakuwa nambari isiyo na maana (isipokuwa, bila shaka, kuzidisha kwa $ 0 $).

Nambari halisi

Seti ya nambari halisi ni seti iliyo na seti ya nambari za busara na zisizo na mantiki.

Seti ya nambari halisi inaonyeshwa na $R$. Kiishara, seti ya nambari halisi inaweza kuashiria kwa $(-?;+?).$

Tulisema awali kwamba nambari isiyo na mantiki ni sehemu isiyo na kikomo ya desimali isiyo ya muda, na nambari yoyote ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya desimali yenye kikomo au sehemu isiyo na kikomo ya upimaji ya desimali, kwa hivyo sehemu yoyote ya desimali yenye kikomo na isiyo na kikomo itakuwa nambari halisi.

Wakati wa kufanya shughuli za algebra, sheria zifuatazo zitafuatwa:

Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari nzuri, nambari inayotokana itakuwa chanya
Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari hasi, nambari inayotokana itakuwa chanya
Wakati wa kuzidisha na kugawanya nambari hasi na chanya, nambari inayotokana itakuwa mbaya

Nambari za kweli zinaweza pia kulinganishwa na kila mmoja.