Uwezekano wa classical na mali zake

Uwezekano ni mojawapo ya dhana za msingi za nadharia ya uwezekano. Kuna ufafanuzi kadhaa wa dhana hii. Wacha tutoe ufafanuzi unaoitwa classical.

Uwezekano tukio ni uwiano wa idadi ya matokeo ya msingi yanayofaa kwa tukio fulani kwa idadi ya matokeo yote yanayowezekana ya matumizi ambayo tukio hili linaweza kuonekana.

Uwezekano wa tukio A unaonyeshwa na P(A)(Hapa R- herufi ya kwanza ya neno la Kifaransa uwezekano- uwezekano).

Kulingana na ufafanuzi

ambapo ni idadi ya matokeo ya mtihani wa kimsingi yanayofaa kutokea kwa tukio;

Jumla ya idadi ya matokeo ya mtihani wa msingi yanawezekana.

Ufafanuzi huu wa uwezekano unaitwa classic. Iliibuka katika hatua ya awali ya maendeleo ya nadharia ya uwezekano.

Nambari mara nyingi huitwa mzunguko wa jamaa wa kutokea kwa tukio A katika uzoefu.

Uwezekano mkubwa zaidi wa tukio, mara nyingi zaidi hutokea, na kinyume chake, uwezekano mdogo wa tukio, mara nyingi hutokea. Wakati uwezekano wa tukio ni karibu au sawa na moja, basi hutokea katika karibu majaribio yote. Tukio kama hilo linasemekana kuwa karibu uhakika, yaani kwamba mtu hakika anaweza kutegemea kutokea kwake.

Kinyume chake, wakati uwezekano ni sifuri au mdogo sana, basi tukio hutokea mara chache sana; tukio kama hilo linasemekana kuwa karibu haiwezekani.

Wakati mwingine uwezekano unaonyeshwa kama asilimia: P(A) 100% ni asilimia ya wastani ya idadi ya matukio ya tukio A.

Mfano 2.13. Wakati wa kupiga nambari ya simu, mteja alisahau nambari moja na akaipiga bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba nambari sahihi imepigwa.

Suluhisho.

Wacha tuonyeshe kwa A tukio - "nambari inayohitajika imepigwa."

Mteja anaweza kupiga nambari yoyote kati ya 10, kwa hivyo jumla ya matokeo ya msingi yanawezekana ni 10. Matokeo haya hayaoani, yanawezekana kwa usawa na huunda kikundi kamili. Inapendelea tukio A matokeo moja tu (kuna nambari moja tu inayohitajika).

Uwezekano unaohitajika ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio na idadi ya matokeo yote ya msingi:

Fomula ya awali ya uwezekano hutoa njia rahisi sana, isiyo na majaribio ya kukokotoa uwezekano. Hata hivyo, unyenyekevu wa formula hii ni udanganyifu sana. Ukweli ni kwamba wakati wa kuitumia, maswali mawili magumu sana kawaida huibuka:

1. Jinsi ya kuchagua mfumo wa matokeo ya majaribio ili iwezekanavyo kwa usawa, na inawezekana kufanya hivyo kabisa?

2. Jinsi ya kupata nambari m Na n?

Ikiwa vitu kadhaa vinahusika katika jaribio, si rahisi kila wakati kuona matokeo yanayowezekana kwa usawa.

Mwanafalsafa mkuu wa Ufaransa na mwanahisabati d'Alembert aliingia katika historia ya nadharia ya uwezekano na kosa lake maarufu, kiini chake ni kwamba aliamua kimakosa usawa wa matokeo katika jaribio la sarafu mbili tu!

Mfano 2.14. ( makosa ya d'Alembert). Sarafu mbili zinazofanana zinatupwa. Kuna uwezekano gani kwamba wataanguka upande mmoja?

Suluhisho la D'Alembert.

Jaribio lina matokeo matatu yanayowezekana kwa usawa:

1. Sarafu zote mbili zitatua juu ya vichwa;

2. Sarafu zote mbili zitatua kwenye mikia;

3. Moja ya sarafu itatua kwenye vichwa, nyingine kwenye mikia.

Suluhisho sahihi.

Jaribio lina matokeo manne yanayowezekana:

1. Sarafu ya kwanza itaanguka juu ya vichwa, ya pili pia itaanguka juu ya vichwa;

2. Sarafu ya kwanza itatua kwenye mikia, ya pili pia itatua kwenye mikia;

3. Sarafu ya kwanza itaanguka juu ya vichwa, na ya pili juu ya mikia;

4. Sarafu ya kwanza itatua kwenye mikia, na ya pili juu ya vichwa.

Kati ya hizi, matokeo mawili yatafaa kwa tukio letu, kwa hivyo uwezekano unaohitajika ni sawa na .

D'Alembert alifanya mojawapo ya makosa ya kawaida yaliyofanywa wakati wa kuhesabu uwezekano: aliunganisha matokeo mawili ya msingi hadi moja, na hivyo kuifanya kutofautiana kwa uwezekano wa matokeo yaliyosalia ya jaribio.

TAASISI YA ELIMU YA MANISPAA

GYMNASIUM Namba 6

juu ya mada "Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano."

Imekamilishwa na mwanafunzi wa darasa la 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Mwalimu wa hisabati: Videnkina V.A.

Voronezh, 2008

Michezo mingi hutumia kete. Mchemraba una pande 6, kila upande una idadi tofauti ya dots zilizowekwa alama juu yake, kutoka 1 hadi 6. Mchezaji huzungusha kete na kuangalia ni dots ngapi kwenye upande ulioanguka (upande ulio juu) . Mara nyingi, alama kwenye uso wa mchemraba hubadilishwa na nambari inayolingana na kisha wanazungumza juu ya kusambaza 1, 2 au 6. Kutupa kifo kunaweza kuzingatiwa kuwa uzoefu, majaribio, jaribio, na matokeo yaliyopatikana ni. matokeo ya mtihani au tukio la msingi. Watu wana nia ya nadhani tukio la hili au tukio hilo na kutabiri matokeo yake. Je, ni ubashiri gani wanaweza kufanya wanapokunja kete? Kwa mfano, hizi:

1) tukio A - nambari 1, 2, 3, 4, 5 au 6 imevingirwa;

2) tukio B - nambari 7, 8 au 9 inaonekana;

3) tukio C - nambari 1 inaonekana.

Tukio A, lililotabiriwa katika kesi ya kwanza, hakika litatokea. Kwa ujumla, tukio ambalo hakika litatokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la kuaminika .

Tukio B, lililotabiriwa katika kesi ya pili, halitatokea kamwe, haiwezekani. Kwa ujumla, tukio ambalo haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio lisilowezekana .

Na tukio C, lililotabiriwa katika kesi ya tatu, litatokea au la? Hatuwezi kujibu swali hili kwa uhakika kamili, kwani 1 inaweza au isitoke. Tukio ambalo linaweza kutokea au haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la nasibu .

Wakati wa kufikiria juu ya tukio la tukio la kuaminika, uwezekano mkubwa hatutatumia neno "pengine". Kwa mfano, ikiwa leo ni Jumatano, basi kesho ni Alhamisi, hii ni tukio la kuaminika. Siku ya Jumatano hatutasema: "Labda kesho ni Alhamisi," tutasema kwa ufupi na wazi: "Kesho ni Alhamisi." Kweli, ikiwa tuna mwelekeo wa misemo nzuri, tunaweza kusema hivi: "Kwa uwezekano wa asilimia mia moja ninasema kesho ni Alhamisi." Kinyume chake, ikiwa leo ni Jumatano, basi kuanza kwa Ijumaa kesho ni tukio lisilowezekana. Tukitathmini tukio hili Jumatano, tunaweza kusema hivi: "Nina hakika kwamba kesho sio Ijumaa." Au hii: "Inashangaza kwamba kesho ni Ijumaa." Kweli, ikiwa tunakabiliwa na misemo nzuri, tunaweza kusema hivi: "Uwezekano kwamba kesho ni Ijumaa ni sifuri." Kwa hivyo, tukio la kuaminika ni tukio ambalo hufanyika chini ya hali fulani na uwezekano wa asilimia mia moja(yaani, kutokea katika kesi 10 kati ya 10, katika kesi 100 kati ya 100, nk). Tukio lisilowezekana ni tukio ambalo halijawahi kutokea chini ya hali fulani, tukio na uwezekano wa sifuri .

Lakini, kwa bahati mbaya (na labda kwa bahati nzuri), si kila kitu katika maisha ni wazi na sahihi: itakuwa daima (tukio fulani), haitakuwa kamwe (tukio lisilowezekana). Mara nyingi tunakabiliwa na matukio ya nasibu, ambayo baadhi yake yanawezekana zaidi, mengine yanawezekana kidogo. Kawaida watu hutumia maneno "uwezekano mkubwa" au "uwezekano mdogo", kama wanasema, kwa hiari, kutegemea kile kinachoitwa akili ya kawaida. Lakini mara nyingi makadirio kama haya yanageuka kuwa hayatoshi, kwani ni muhimu kujua kwa muda gani asilimia pengine tukio la nasibu au mara ngapi tukio moja la nasibu lina uwezekano zaidi kuliko lingine. Kwa maneno mengine, tunahitaji usahihi kiasi sifa, unahitaji kuwa na uwezo wa kubainisha uwezekano na nambari.

Tayari tumechukua hatua za kwanza katika mwelekeo huu. Tulisema kwamba uwezekano wa tukio fulani kutokea unaonyeshwa kama asilimia mia moja, na uwezekano wa tukio lisilowezekana kutokea ni kama sufuri. Ikizingatiwa kuwa 100% ni sawa na 1, watu walikubaliana juu ya yafuatayo:

1) uwezekano wa tukio la kuaminika unachukuliwa kuwa sawa 1;

2) uwezekano wa tukio lisilowezekana inachukuliwa kuwa sawa 0.

Jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio la nasibu? Baada ya yote, ilitokea bahati mbaya, kumaanisha kuwa haitii sheria, kanuni au kanuni. Inabadilika kuwa katika ulimwengu wa bahati nasibu sheria fulani zinatumika ambazo huruhusu mtu kuhesabu uwezekano. Hili ndilo tawi la hisabati linaloitwa - nadharia ya uwezekano .

Hisabati inahusika na mfano jambo fulani la ukweli unaotuzunguka. Kati ya mifano yote inayotumiwa katika nadharia ya uwezekano, tutajiwekea kikomo kwa rahisi zaidi.

Mpango wa kawaida wa uwezekano

Ili kupata uwezekano wa tukio A wakati wa kufanya jaribio fulani, unapaswa:

1) pata nambari N ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio hili;

2) kukubali dhana ya uwezekano sawa (uwezekano sawa) wa matokeo haya yote;

3) pata nambari N (A) ya matokeo hayo ya majaribio ambayo tukio A hutokea;

4) pata mgawo ; itakuwa sawa na uwezekano wa tukio A.

Ni desturi kuashiria uwezekano wa tukio A: P (A). Maelezo ya jina hili ni rahisi sana: neno "uwezekano" kwa Kifaransa ni uwezekano, kwa Kingereza- uwezekano.Jina linatumia herufi ya kwanza ya neno.

Kwa kutumia nukuu hii, uwezekano wa tukio A kulingana na mpango wa kitamaduni unaweza kupatikana kwa kutumia fomula

P(A)=.

Mara nyingi vidokezo vyote vya mpango wa uwezekano wa kitamaduni hapo juu huonyeshwa kwa kifungu kimoja kirefu.

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano

Uwezekano wa tukio A wakati wa jaribio fulani ni uwiano wa idadi ya matokeo kama matokeo ambayo tukio A hutokea kwa jumla ya matokeo yote yanayowezekana ya jaribio hili.

Mfano 1. Tafuta uwezekano kwamba kwa kutupa moja ya kufa matokeo yatakuwa: a) 4; b) 5; c) idadi sawa ya pointi; d) idadi ya pointi zaidi ya 4; e) idadi ya pointi ambazo haziwezi kugawanywa na tatu.

Suluhisho. Kwa jumla kuna N=6 matokeo yanayowezekana: kuanguka nje ya uso wa mchemraba na idadi ya pointi sawa na 1, 2, 3, 4, 5 au 6. Tunaamini kwamba hakuna hata mmoja wao aliye na faida yoyote juu ya wengine, yaani sisi. kukubali dhana kwamba usawa wa matokeo haya.

a) Katika mojawapo ya matokeo, tukio A ambalo linatuvutia litatokea-nambari 4 itatokea. Hii ina maana kwamba N(A)=1 na

P ( A )= =.

b) Suluhu na jibu ni sawa na katika aya iliyotangulia.

c) Tukio B tunalovutiwa nalo litatokea katika visa vitatu haswa wakati idadi ya alama ni 2, 4 au 6. Hii inamaanisha.

N ( B )=3 na P ( B )==.

d) Tukio C tunalovutiwa nalo litatokea katika visa viwili haswa wakati idadi ya alama ni 5 au 6. Hii inamaanisha.

N ( C ) =2 na Р(С)=.

e) Kati ya nambari sita zinazowezekana zilizochorwa, nne (1, 2, 4 na 5) sio nyingi ya tatu, na mbili zilizobaki (3 na 6) zinaweza kugawanywa na tatu. Hii ina maana kwamba tukio la kupendeza kwetu hutokea katika matokeo manne kati ya sita yanayowezekana na yanayowezekana na kwa usawa matokeo ya jaribio. Kwa hivyo jibu linageuka kuwa

. ; b); V); G); d).

Kete halisi inaweza kutofautiana na mchemraba bora (mfano), kwa hivyo, kuelezea tabia yake, mfano sahihi zaidi na wa kina unahitajika, kwa kuzingatia faida za uso mmoja juu ya mwingine, uwepo wa uwezekano wa sumaku, nk. "shetani yuko katika maelezo," na usahihi zaidi huelekea kusababisha utata zaidi, na kupata jibu inakuwa tatizo. Tunajiwekea kikomo kwa kuzingatia mfano rahisi zaidi wa uwezekano, ambapo matokeo yote yanayowezekana yanawezekana kwa usawa.

Kumbuka 1. Hebu tuangalie mfano mwingine. Swali liliulizwa: "Kuna uwezekano gani wa kupata tatu kwenye safu moja ya kufa?" Mwanafunzi akajibu: "Uwezekano ni 0.5." Na akaeleza jibu lake: “Watatu watakuja au la. Hii ina maana kwamba kuna matokeo mawili kwa jumla na katika moja hasa tukio la maslahi kwetu hutokea. Kwa kutumia mpango wa uwezekano wa kitamaduni, tunapata jibu 0.5. Je, kuna makosa katika hoja hii? Kwa mtazamo wa kwanza, hapana. Hata hivyo, bado ipo, na kwa njia ya msingi. Ndio, kwa kweli, tatu zitakuja au la, i.e., na ufafanuzi huu wa matokeo ya toss N = 2. Pia ni kweli kwamba N (A) = 1 na, bila shaka, ni kweli kwamba

=0.5, yaani pointi tatu za mpango wa uwezekano huzingatiwa, lakini utekelezaji wa hatua ya 2) ni shaka. Kwa kweli, kutoka kwa maoni ya kisheria, tuna haki ya kuamini kuwa kusonga tatu kuna uwezekano sawa wa kutoanguka. Lakini je, tunaweza kufikiria hivyo bila kukiuka mawazo yetu wenyewe ya asili kuhusu "usawa" wa kingo? Bila shaka hapana! Hapa tunashughulika na hoja sahihi ndani ya mtindo fulani. Lakini mfano huu yenyewe ni "vibaya", sio sambamba na jambo halisi.

Kumbuka 2. Wakati wa kujadili uwezekano, usipoteze mtazamo wa hali zifuatazo muhimu. Ikiwa tunasema kwamba wakati wa kutupa kufa, uwezekano wa kupata pointi moja ni

, hii haimaanishi kabisa kwamba kwa kukunja kete mara 6 utapata pointi moja sawa sawa, kwa kurusha kete mara 12 utapata pointi moja hasa mara mbili, kwa kurusha kete mara 18 utapata pointi moja hasa tatu. nyakati, nk. Neno hilo pengine ni la kubahatisha. Tunadhani kile kinachowezekana zaidi kutokea. Labda tukikunja kete mara 600, nukta moja itakuja mara 100, au karibu 100.

Wacha tuangalie ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano wa kutumia fomula na mifano.

Matukio ya nasibu huitwa zisizopatana, ikiwa haziwezi kutokea wakati huo huo. Kwa mfano, tunapotupa sarafu, kitu kimoja kitatokea - "kanzu ya silaha" au nambari," na haziwezi kuonekana kwa wakati mmoja, kwa kuwa ni sawa kwamba hii haiwezekani. Matukio kama vile kugonga na kukosa baada ya kupiga risasi yanaweza yasioani.

Matukio ya nasibu ya muundo maalum kikundi kamili matukio mawili yasiyolingana, ikiwa wakati wa kila jaribio moja, na moja tu ya matukio haya yanaonekana - pekee inayowezekana.

Wacha tuangalie mfano huo wa kutupa sarafu:

Sarafu ya kwanza Matukio ya pili

1) "kanzu ya mikono" "kanzu ya mikono"

2) "kanzu ya silaha" "nambari"

3) "nambari" "kanzu ya silaha"

4) "nambari" "nambari"

Au kwa kifupi kama "GG", - "GC", - "CHG", - "CHCH".

Matukio hayo yanaitwa kwa usawa iwezekanavyo, ikiwa hali za utafiti hutoa fursa sawa kwa kila mmoja wao kuonekana.

Kama unavyoelewa, unapotupa sarafu ya ulinganifu, basi ina uwezekano sawa, na kuna nafasi kwamba "kanzu ya silaha" na "nambari" itaonekana. Vile vile hutumika kwa kutupa kufa kwa ulinganifu, kwa kuwa kuna uwezekano kwamba inakabiliwa na nambari yoyote 1, 2, 3, 4, 5, 6 inaweza kuonekana.

Wacha tuseme kwamba sasa tunatupa mchemraba na mabadiliko katikati ya mvuto, kwa mfano, kuelekea upande na nambari 1, basi mara nyingi upande wa pili utaanguka, ambayo ni, upande ulio na nambari tofauti. Kwa hivyo, katika mfano huu, uwezekano wa kutokea kwa kila nambari kutoka 1 hadi 6 itakuwa tofauti.

Matukio ya bahati nasibu yanayowezekana kwa usawa na ya kipekee yanaitwa kesi.

Kuna matukio ya nasibu ambayo ni matukio, na kuna matukio ya nasibu ambayo sio matukio. Hapo chini tutaangalia matukio haya kwa kutumia mifano.

Kesi hizo kama matokeo ambayo tukio la nasibu hutokea huitwa kesi zinazofaa kwa tukio hilo.

Ikiwa tunaashiria na , ambayo huathiri tukio katika hali zote zinazowezekana, na kwa - uwezekano wa tukio la nasibu, basi tunaweza kuandika ufafanuzi unaojulikana wa classical wa uwezekano:

Ufafanuzi

Uwezekano wa tukio ni uwiano wa idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio hili kwa jumla ya idadi ya kesi zote zinazowezekana, ambayo ni:

Sifa za Uwezekano

Uwezekano wa classical umezingatiwa, na sasa hebu tuangalie mali ya msingi na muhimu ya uwezekano.

Mali 1. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.

Kwa mfano, ikiwa mipira yote katika ndoo ni nyeupe, basi tukio , kuchagua mpira mweupe kwa nasibu, huathiriwa na kesi,.

Mali 2. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Mali 3. Uwezekano wa tukio nasibu ni nambari chanya:

Hii ina maana kwamba uwezekano wa tukio lolote unakidhi ukosefu wa usawa:

Sasa hebu tutatue mifano kadhaa kwa kutumia ufafanuzi wa classical wa uwezekano.

Mifano ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano

Mfano 1

Kazi

Kuna mipira 20 kwenye kikapu, ambayo 10 ni nyeupe, 7 ni nyekundu na 3 ni nyeusi. Mpira mmoja huchaguliwa bila mpangilio. Mpira mweupe (tukio), mpira nyekundu (tukio) na mpira mweusi (tukio) huchaguliwa. Tafuta uwezekano wa matukio nasibu.

Suluhisho

Kulingana na hali ya shida, wanachangia , na kutoka kwa kesi zinazowezekana, kwa hivyo, kulingana na formula (1):

- uwezekano wa mpira mweupe.

Vivyo hivyo kwa nyekundu:

Na kwa nyeusi:.

Jibu

Uwezekano wa tukio la nasibu , , .

Mfano 2

Kazi

Sanduku lina taa 25 za umeme zinazofanana, 2 kati yake ni kasoro. Pata uwezekano kwamba taa ya umeme iliyochaguliwa kwa nasibu haina kasoro.

Suluhisho

Kwa mujibu wa hali ya tatizo, taa zote ni sawa na moja tu huchaguliwa. Jumla ya uwezekano wa kuchagua. Miongoni mwa taa zote 25, mbili ni kasoro, ambayo ina maana kwamba taa zilizobaki zinafaa. Kwa hivyo, kulingana na formula (1), uwezekano wa kuchagua taa inayofaa ya umeme (tukio) ni sawa na:

Jibu

Uwezekano kwamba taa ya umeme iliyochaguliwa kwa nasibu haina kasoro = .

Mfano 3

Kazi

Sarafu mbili hutupwa bila mpangilio. Tafuta uwezekano wa matukio kama haya:

1) - kanzu ya mikono ilianguka kwenye sarafu zote mbili;

2) - kwenye moja ya sarafu kanzu ya silaha ilianguka, na kwa pili - nambari;

3) - nambari zilianguka kwenye sarafu zote mbili;

4) - kanzu ya mikono inaonekana angalau mara moja.

Suluhisho

Hapa tunashughulika na matukio manne. Wacha tujue ni kesi zipi zinazochangia kila moja yao. Tukio moja linalochangia tukio hilo ni wakati kanzu ya silaha (kifupi "GG") ilionekana kwenye sarafu zote mbili.

Ili kuelewa tukio hilo, fikiria kwamba sarafu moja ni fedha na ya pili ni shaba. Wakati wa kutupa sarafu kunaweza kuwa na kesi:

1) kwenye kanzu ya mikono ya fedha, kwenye kanzu ya mikono ya shaba - nambari (tunaashiria kama "GC");

2) kwenye nambari ya fedha, kwenye shaba - kanzu ya mikono (- "CHG").

Hii ina maana kwamba tukio hilo linawezeshwa na kesi na.

Tukio hilo linawezeshwa na tukio moja: nambari zilizoanguka kwenye sarafu zote mbili ni "HH".

Kwa hivyo, matukio au (GG, HC, CG, HC) huunda kikundi kamili cha matukio, matukio haya yote hayaendani, kwa kuwa moja tu hutokea kutokana na toss. Kwa kuongeza, kwa sarafu za ulinganifu, matukio yote manne yanawezekana kwa usawa, hivyo yanaweza kuchukuliwa kuwa kesi. Kuna matukio manne yanayowezekana.

Kuna tukio moja tu linalochangia tukio hilo, kwa hivyo uwezekano wake ni:

Tukio hilo linakuzwa na kesi mbili, kwa hivyo:

Uwezekano wa tukio ni sawa na kwa:

Tukio hilo linakuzwa na matukio matatu: GG, GC, CG na kwa hiyo:

Kwa kuwa matukio ya GG, GC, CG, BC yanazingatiwa, ambayo yanawezekana kwa usawa na kuunda kundi kamili la matukio, basi tukio la yeyote kati yao ni tukio la kuaminika (tunaashiria kwa barua, ambayo inachangiwa na wote 4. Kwa hivyo, uwezekano:

Hii ina maana kwamba mali ya kwanza ya uwezekano imethibitishwa.

Jibu

Uwezekano wa tukio.

Uwezekano wa tukio.

Uwezekano wa tukio.

Uwezekano wa tukio.

Mfano 4

Kazi

Kete mbili zilizo na sura ya kijiometri sawa na ya kawaida hutupwa. Tafuta uwezekano wa hesabu zote zinazowezekana kwa pande zote mbili zinazoonekana.

Suluhisho

Ili kuifanya iwe rahisi zaidi kutatua shida, fikiria kuwa mchemraba mmoja ni nyeupe na wa pili ni mweusi. Kila moja ya pande sita za divai nyeupe inaweza pia kuwa na moja ya pande sita za kufa nyeusi, kwa hivyo jozi zote zinazowezekana zitakuwa.

Kwa kuwa uwezekano wa kuonekana kwa nyuso kwenye mchemraba tofauti ni sawa (cubes ni za sura sahihi ya kijiometri!), basi uwezekano wa kuonekana kwa kila jozi ya nyuso itakuwa sawa, na kwa sababu ya kupigwa; moja tu ya jozi inaonekana. Maana za tukio haziendani, zinawezekana kwa usawa. Hizi ni kesi, na kuna kesi 36 zinazowezekana.

Sasa hebu fikiria uwezekano wa maadili ya jumla kwenye nyuso. Kwa wazi, jumla ndogo ni 1 + 1 = 2, na kubwa zaidi ni 6 + 6 = 12. Sehemu iliyobaki ya jumla huongezeka kwa moja, kuanzia pili. Hebu tuonyeshe matukio ambayo fahirisi ni sawa na jumla ya pointi zilizoanguka kwenye nyuso za cubes. Kwa kila moja ya matukio haya, tunaandika kesi zinazofaa kwa kutumia nukuu , ambapo ni jumla, ni pointi kwenye makali ya juu ya mchemraba mweupe, na ni pointi kwenye ukingo wa mchemraba mweusi.

Kwa hivyo, kwa hafla hiyo:

kwa - kesi moja (1 + 1);

kwa - kesi mbili (1 + 2; 2 + 1);

kwa - kesi tatu (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

kwa - kesi nne (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

kwa - kesi tano (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

kwa - kesi sita (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

kwa - kesi tano (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

kwa - kesi nne (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

kwa - kesi tatu (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

kwa - kesi mbili (5 + 6; 6 + 5);

kwa - kesi moja (6 + 6).

Kwa hivyo maadili ya uwezekano ni:

Jibu

Mfano 5

Kazi

Kabla ya tamasha, washiriki watatu waliulizwa kuchora kura: kila mshiriki kwa zamu hukaribia ndoo na kuchagua kwa nasibu moja ya kadi tatu zilizo na nambari 1, 2 na 3, ambayo inamaanisha nambari ya serial ya utendaji wa mshiriki huyu.

Tafuta uwezekano wa matukio kama haya:

1) - nambari ya serial kwenye foleni sanjari na nambari ya kadi, ambayo ni, nambari ya serial ya utendaji;

2) - hakuna nambari moja kwenye foleni inayolingana na nambari ya utendaji;

3) - nambari moja tu kwenye foleni inalingana na nambari ya utendaji;

4) - angalau nambari moja kwenye foleni inalingana na nambari ya utendaji.

Suluhisho

Matokeo yanayowezekana ya kuchagua kadi ni vibali vya vipengele vitatu, idadi ya vibali hivyo ni sawa na . Kila moja ya vibali ni tukio. Hebu tuashirie matukio haya kwa. Tunapeana kwa kila tukio ruhusa inayolingana katika mabano:

; ; ; ; ; .

Matukio yaliyoorodheshwa yanawezekana kwa usawa na yanawezekana kipekee, ambayo ni, hizi ni kesi. Wacha tuonyeshe kama ifuatavyo: (1h, 2h, 3h) - nambari zinazolingana kwenye foleni.

Tuanze na tukio. Kwa hivyo, kuna kesi moja tu nzuri:

Kesi mbili zinafaa kwa hafla hiyo na, kwa hivyo:

Tukio hilo linakuzwa na kesi 3:, kwa hivyo:

Kwa kuongezea, hafla hiyo pia inawezeshwa na , ambayo ni:

Jibu

Uwezekano wa tukio - .

Uwezekano wa tukio - .

Uwezekano wa tukio - imesasishwa: Septemba 15, 2017 na: Makala ya kisayansi.Ru

Matatizo juu ya uamuzi wa classical wa uwezekano.
Mifano ya ufumbuzi

Katika somo la tatu tutaangalia matatizo mbalimbali yanayohusisha matumizi ya moja kwa moja ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano. Ili kujifunza kwa ufanisi nyenzo katika makala hii, ninapendekeza ujitambulishe na dhana za msingi nadharia ya uwezekano Na misingi ya combinatorics. Jukumu la kuamua kimsingi uwezekano na uwezekano wa kutunza moja litakuwepo katika kazi yako ya kujitegemea/udhibiti kwenye terver, kwa hivyo hebu tujitayarishe kwa kazi nzito. Unaweza kuuliza, ni nini zito kuhusu hili? ...fomula moja tu ya awali. Ninakuonya dhidi ya ujinga - kazi za mada ni tofauti kabisa, na nyingi zinaweza kukuchanganya kwa urahisi. Katika suala hili, pamoja na kufanya kazi kupitia somo kuu, jaribu kusoma kazi za ziada kwenye mada ambayo iko kwenye benki ya nguruwe. ufumbuzi tayari kwa hisabati ya juu. Mbinu za ufumbuzi ni mbinu za ufumbuzi, lakini "marafiki" bado "wanahitaji kujulikana kwa kuona," kwa sababu hata mawazo ya tajiri ni mdogo na pia kuna kazi za kutosha za kawaida. Kweli, nitajaribu kutatua nyingi iwezekanavyo kwa ubora mzuri.

Hebu tukumbuke classics ya aina:

Uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio fulani ni sawa na uwiano , ambapo:

- jumla ya idadi ya wote kwa usawa iwezekanavyo, msingi matokeo ya mtihani huu, ambayo ni kundi kamili la matukio;

- wingi msingi matokeo mazuri kwa hafla hiyo.

Na mara moja kuacha shimo. Je, unaelewa maneno yaliyopigiwa mstari? Hii inamaanisha wazi, sio uelewa wa angavu. Ikiwa sivyo, basi bado ni bora kurudi kwenye kifungu cha 1 nadharia ya uwezekano na tu baada ya hapo kuendelea.

Tafadhali usiruke mifano ya kwanza - ndani yao nitarudia jambo moja muhimu, na pia kukuambia jinsi ya kuunda suluhisho kwa usahihi na kwa njia gani hii inaweza kufanywa:

Tatizo 1

Mkojo una mipira 15 nyeupe, 5 nyekundu na 10 nyeusi. Mpira 1 hutolewa kwa nasibu, pata uwezekano kwamba itakuwa: a) nyeupe, b) nyekundu, c) nyeusi.

Suluhisho: Sharti muhimu zaidi la kutumia ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano ni uwezo wa kuhesabu jumla ya matokeo.

Kuna jumla ya mipira 15 + 5 + 10 = 30 kwenye urn, na ni wazi ukweli ufuatao ni kweli:

- kurudisha mpira wowote kunawezekana kwa usawa (fursa sawa matokeo), wakati matokeo msingi na fomu kundi kamili la matukio (yaani, kama matokeo ya jaribio, moja ya mipira 30 hakika itaondolewa).

Kwa hivyo, jumla ya matokeo:

Fikiria tukio hilo: - mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo. Tukio hili limependelewa msingi matokeo, kwa hivyo, kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo.

Kwa kushangaza, hata katika kazi rahisi kama hii mtu anaweza kufanya usahihi mkubwa, ambao tayari nilizingatia katika makala ya kwanza. nadharia ya uwezekano. Mtego uko wapi hapa? Si sahihi kubishana hapa kwamba "Kwa kuwa nusu ya mipira ni nyeupe, basi uwezekano wa kuchora mpira mweupe» . Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano unarejelea ELEMENTARY matokeo, na sehemu lazima iandikwe!

Pamoja na mambo mengine, vile vile, fikiria matukio yafuatayo:

- mpira nyekundu utatolewa kutoka kwenye mkojo;
- mpira mweusi utatolewa kutoka kwenye mkojo.

Tukio hupendelewa na matokeo 5 ya msingi, na tukio hupendelewa na matokeo 10 ya msingi. Kwa hivyo uwezekano unaolingana ni:

Cheki ya kawaida ya kazi nyingi za seva hufanywa kwa kutumia nadharia juu ya jumla ya uwezekano wa matukio kuunda kikundi kamili. Kwa upande wetu, matukio huunda kikundi kamili, ambayo ina maana jumla ya uwezekano unaofanana lazima lazima iwe sawa na moja:.

Wacha tuangalie ikiwa hii ni kweli: ndivyo nilitaka kuhakikisha.

Jibu:

Kimsingi, jibu linaweza kuandikwa kwa undani zaidi, lakini kibinafsi, nimezoea kuweka nambari tu hapo - kwa sababu unapoanza "kuondoa" shida kwa mamia na maelfu, unajaribu kupunguza maandishi. suluhisho kadiri inavyowezekana. Kwa njia, kuhusu ufupi: kwa mazoezi, chaguo la "high-speed" la kubuni ni la kawaida ufumbuzi:

Jumla: 15 + 5 + 10 = mipira 30 kwenye urn. Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo;
- uwezekano kwamba mpira nyekundu utatolewa kutoka kwenye mkojo;
- uwezekano kwamba mpira mweusi utatolewa kutoka kwenye mkojo.

Jibu:

Walakini, ikiwa kuna alama kadhaa katika hali hiyo, basi mara nyingi ni rahisi zaidi kuunda suluhisho kwa njia ya kwanza, ambayo inachukua muda kidogo zaidi, lakini wakati huo huo "huweka kila kitu kwenye rafu" na kuifanya iwe rahisi. kuabiri tatizo.

Wacha tupate joto:

Tatizo 2

Duka hilo lilipokea jokofu 30, tano kati ya hizo zina kasoro ya utengenezaji. Jokofu moja huchaguliwa kwa nasibu. Je, kuna uwezekano gani kwamba itakuwa bila kasoro?

Chagua chaguo sahihi cha kubuni na uangalie sampuli chini ya ukurasa.

Katika mifano rahisi zaidi, idadi ya kawaida na idadi ya matokeo mazuri hulala juu ya uso, lakini katika hali nyingi unapaswa kuchimba viazi mwenyewe. Mfululizo wa kisheria wa shida kuhusu mteja aliyesahau:

Tatizo 3

Wakati wa kupiga nambari ya simu, msajili alisahau nambari mbili za mwisho, lakini anakumbuka kuwa moja yao ni sifuri na nyingine ni isiyo ya kawaida. Tafuta uwezekano kwamba atapiga nambari sahihi.

Kumbuka : sifuri ni nambari sawa (inayogawanywa na 2 bila salio)

Suluhisho: Kwanza tunapata jumla ya idadi ya matokeo. Kwa hali, msajili anakumbuka kuwa moja ya nambari ni sifuri, na nambari nyingine ni isiyo ya kawaida. Hapa ni busara zaidi kutokuwa na ujanja na combinatorics na matumizi njia ya kuorodhesha matokeo ya moja kwa moja . Hiyo ni, wakati wa kutengeneza suluhisho, tunaandika tu mchanganyiko wote:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Na tunazihesabu - kwa jumla: matokeo 10.

Kuna matokeo moja tu mazuri: nambari sahihi.

Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mteja atapiga nambari sahihi

Jibu: 0,1

Sehemu za decimal zinaonekana sawa katika nadharia ya uwezekano, lakini unaweza pia kuambatana na mtindo wa jadi wa Vyshmatov, unaofanya kazi tu na sehemu za kawaida.

Kazi ya hali ya juu ya suluhisho la kujitegemea:

Tatizo 4

Msajili amesahau nambari ya siri ya SIM kadi yake, lakini anakumbuka kuwa ina "tano" tatu, na moja ya nambari ni "saba" au "nane". Kuna uwezekano gani wa idhini iliyofanikiwa kwenye jaribio la kwanza?

Hapa unaweza pia kukuza wazo la uwezekano kwamba aliyejiandikisha atakabiliwa na adhabu kwa njia ya nambari ya puk, lakini, kwa bahati mbaya, hoja hiyo itaenda zaidi ya upeo wa somo hili.

Suluhisho na jibu ni hapa chini.

Wakati mwingine kuorodhesha mchanganyiko hugeuka kuwa kazi yenye uchungu sana. Hasa, hii ndio kesi katika kundi linalofuata, ambalo sio maarufu sana la shida, ambapo kete 2 zimevingirwa (chini ya mara nyingi - idadi kubwa):

Tatizo 5

Pata uwezekano kwamba wakati wa kutupa kete mbili jumla ya nambari itakuwa:

a) pointi tano;
b) si zaidi ya pointi nne;
c) kutoka pointi 3 hadi 9 pamoja.

Suluhisho: pata jumla ya idadi ya matokeo:

Njia za upande wa kufa 1 zinaweza kuanguka Na kwa njia tofauti upande wa mchemraba wa 2 unaweza kuanguka; Na sheria ya kuzidisha mchanganyiko Jumla: michanganyiko inayowezekana. Kwa maneno mengine, kila mmoja uso wa mchemraba wa 1 unaweza kuwa kuamuru wanandoa na kila mmoja makali ya mchemraba wa 2. Wacha tukubaliane kuandika jozi kama hiyo katika fomu, nambari iliyovingirishwa kwenye kifo cha 1 iko wapi, ni nambari iliyovingirishwa kwenye kifo cha 2. Kwa mfano:

– kete ya kwanza ilipata pointi 3, kete ya pili ilipata pointi 5, jumla ya pointi: 3 + 5 = 8;
– kete ya kwanza ilipata pointi 6, kete ya pili ilipata pointi 1, jumla ya pointi: 6 + 1 = 7;
- Pointi 2 zimefungwa kwenye kete zote mbili, jumla: 2 + 2 = 4.

Kwa wazi, kiasi kidogo zaidi hutolewa na jozi, na kubwa zaidi kwa "sita" mbili.

a) Zingatia tukio: - wakati wa kurusha kete mbili, alama 5 zitaonekana. Hebu tuandike na kuhesabu idadi ya matokeo ambayo yanapendelea tukio hili:

Jumla: matokeo 4 mazuri. Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano unaohitajika.

b) Zingatia tukio: - sio zaidi ya alama 4 zitakunjwa. Hiyo ni, ama 2, au 3, au 4 pointi. Tena tunaorodhesha na kuhesabu mchanganyiko mzuri, upande wa kushoto nitaandika jumla ya nambari, na baada ya koloni - jozi zinazofaa:

Jumla: michanganyiko 6 inayofaa. Hivyo:
- uwezekano kwamba si zaidi ya pointi 4 zitakunjwa.

c) Zingatia tukio: - Alama 3 hadi 9 zitapita, zikiwemo. Hapa unaweza kuchukua barabara moja kwa moja, lakini ... kwa sababu fulani hutaki. Ndiyo, baadhi ya jozi tayari zimeorodheshwa katika aya zilizopita, lakini bado kuna kazi nyingi za kufanywa.

Ni ipi njia bora ya kuendelea? Katika hali kama hizi, njia ya kuzunguka inageuka kuwa ya busara. Hebu tuzingatie tukio kinyume: – 2 au 10 au 11 au 12 pointi zitakunjwa.

Kuna maana gani? Tukio la kinyume linapendelewa na idadi ndogo sana ya wanandoa:

Jumla: matokeo 7 mazuri.

Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba utasonga chini ya alama tatu au zaidi ya 9.

Mbali na kuorodhesha moja kwa moja na kuhesabu matokeo, anuwai fomula za mchanganyiko. Na tena shida kubwa juu ya lifti:

Tatizo 7

Watu 3 waliingia kwenye lifti ya jengo la orofa 20 kwenye ghorofa ya kwanza. Na twende. Tafuta uwezekano kwamba:

a) watatoka kwenye sakafu tofauti
b) wawili watatoka kwenye sakafu moja;
c) kila mtu atashuka kwenye sakafu moja.

Somo letu la kusisimua limefikia mwisho, na mwishowe, ninapendekeza tena kwa nguvu kwamba ikiwa haitasuluhisha, basi angalau ujue. matatizo ya ziada juu ya uamuzi wa classical wa uwezekano. Kama nilivyoona tayari, "kuweka pedi kwa mikono" ni muhimu pia!

Zaidi kwenye kozi - Ufafanuzi wa kijiometri wa uwezekano Na Nadharia za kuongeza na kuzidisha uwezekano na ... bahati katika jambo kuu!

Suluhu na Majibu:

Kazi ya 2: Suluhisho: 30 - 5 = friji 25 hazina kasoro.

- uwezekano kwamba jokofu iliyochaguliwa kwa nasibu haina kasoro.
Jibu :

Kazi ya 4: Suluhisho: pata jumla ya idadi ya matokeo:
njia unaweza kuchagua mahali ambapo nambari ya shaka iko na kwa kila Kati ya maeneo haya 4, tarakimu 2 (saba au nane) zinaweza kupatikana. Kulingana na kanuni ya kuzidisha mchanganyiko, jumla ya matokeo: .
Vinginevyo, suluhisho linaweza kuorodhesha tu matokeo yote (kwa bahati nzuri ni machache):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Kuna matokeo moja tu mazuri (msimbo sahihi wa pini).
Kwa hivyo, kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano kwamba mteja huingia kwenye jaribio la 1
Jibu :

Kazi ya 6: Suluhisho: pata jumla ya idadi ya matokeo:
nambari kwenye kete 2 zinaweza kuonekana kwa njia tofauti.

a) Fikiria tukio: - wakati wa kutupa kete mbili, bidhaa ya pointi itakuwa sawa na saba. Hakuna matokeo mazuri kwa tukio fulani, kulingana na ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano:
, i.e. tukio hili haliwezekani.

b) Zingatia tukio: - unapotupa kete mbili, bidhaa ya pointi itakuwa angalau 20. Matokeo yafuatayo yanafaa kwa tukio hili:

Jumla: 8
Kulingana na ufafanuzi wa classical:
- uwezekano unaohitajika.

c) Fikiria matukio kinyume:
- bidhaa za pointi zitakuwa sawa;
- bidhaa ya pointi itakuwa isiyo ya kawaida.
Wacha tuorodheshe matokeo yote yanayofaa kwa hafla hiyo:

Jumla: matokeo 9 mazuri.
Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:
Matukio pinzani huunda kundi kamili, kwa hivyo:
- uwezekano unaohitajika.

Jibu :

Tatizo la 8: Suluhisho: hebu tuhesabu jumla ya idadi ya matokeo: Sarafu 10 zinaweza kuanguka kwa njia tofauti.
Njia nyingine: njia ambazo sarafu ya 1 inaweza kuanguka Na njia ambazo sarafu ya 2 inaweza kuanguka Na … Na njia ambazo sarafu ya 10 inaweza kuanguka. Kulingana na sheria ya kuzidisha mchanganyiko, sarafu 10 zinaweza kuanguka njia.
a) Fikiria tukio: - vichwa vitaonekana kwenye sarafu zote. Tukio hili linapendekezwa na matokeo moja, kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:.
b) Fikiria tukio hilo: - Sarafu 9 zitatua vichwa, na sarafu moja itatua mikia.
Kuna sarafu ambazo zinaweza kutua kwenye vichwa. Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano: .
c) Fikiria tukio: - vichwa vitaonekana kwenye nusu ya sarafu.
Ipo mchanganyiko wa kipekee wa sarafu tano ambazo zinaweza kutua vichwa. Kulingana na ufafanuzi wa classical wa uwezekano:
Jibu :