Jedwali la maadili ya kazi za trigonometric
Kumbuka. Jedwali hili la thamani za utendakazi za trigonometric hutumia ishara √ kuashiria kipeo. Ili kuonyesha sehemu, tumia ishara "/".
Angalia pia nyenzo muhimu:
Kwa ufafanuzi wa thamani kazi ya trigonometric , pata kwenye makutano ya mstari unaoonyesha kazi ya trigonometric. Kwa mfano, sine digrii 30 - tunatafuta safu iliyo na kichwa dhambi (sine) na kupata makutano ya safu hii ya jedwali na safu "digrii 30", kwenye makutano yao tunasoma matokeo - nusu moja. Vile vile tunapata koni 60 digrii, sine 60 digrii (mara nyingine tena, kwenye makutano ya safu ya dhambi na mstari wa digrii 60 tunapata thamani ya dhambi 60 = √3/2), nk. Maadili ya sines, cosines na tangents ya pembe zingine "maarufu" hupatikana kwa njia ile ile.
Sine pi, cosine pi, tangent pi na pembe nyingine katika radiani
Jedwali lililo hapa chini la kosini, sines na tanjiti pia linafaa kwa kupata thamani ya vitendaji vya trigonometric ambazo hoja yake ni. iliyotolewa kwa radians. Ili kufanya hivyo, tumia safu ya pili ya maadili ya pembe. Shukrani kwa hili, unaweza kubadilisha thamani ya pembe maarufu kutoka digrii hadi radians. Kwa mfano, hebu tupate angle ya digrii 60 kwenye mstari wa kwanza na tusome thamani yake katika radians chini yake. Digrii 60 ni sawa na radiani π/3.
Nambari pi inaonyesha bila utata utegemezi wa mduara kipimo cha shahada kona. Kwa hivyo, pi radiani ni sawa na digrii 180.
Nambari yoyote iliyoonyeshwa kulingana na pi (radians) inaweza kubadilishwa kwa urahisi kuwa digrii kwa kubadilisha pi (π) na 180..
Mifano:
1. Sine pi.
dhambi π = dhambi 180 = 0
hivyo, sine ya pi ni sawa na sine ya nyuzi 180 na ni sawa na sifuri.
2. Cosine pi.
cos π = cos 180 = -1
kwa hivyo, kosine ya pi ni sawa na kosine ya digrii 180 na ni sawa na minus moja.
3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
kwa hivyo, tangent pi ni sawa na tangent digrii 180 na ni sawa na sifuri.
Jedwali la sine, cosine, thamani za tangent kwa pembe 0 - 360 digrii (thamani za kawaida)
|
thamani ya pembe α (digrii) |
thamani ya pembe α (kupitia pi) |
dhambi (sinus) |
cos (kosine) |
tg (tangent) |
ctg (cotangent) |
sekunde (secant) |
cosec (cosecant) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2p | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ikiwa kwenye jedwali la maadili ya kazi za trigonometric dashi imeonyeshwa badala ya thamani ya kazi (tangent (tg) digrii 90, cotangent (ctg) digrii 180), inamaanisha kwamba wakati thamani iliyopewa Kipimo cha digrii cha chaguo za kukokotoa za pembe hakina thamani mahususi. Ikiwa hakuna dashi, kisanduku hakina kitu, kumaanisha kuwa bado hatujaingia thamani inayotakiwa. Tunavutiwa na maswali ambayo watumiaji huja kwetu na kuongeza jedwali na maadili mapya, licha ya ukweli kwamba data ya sasa juu ya maadili ya cosines, sines na tangents ya maadili ya kawaida ya pembe inatosha kutatua zaidi. matatizo.
Jedwali la maadili ya kazi za trigonometric sin, cos, tg kwa pembe maarufu zaidi
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... digrii 360
(thamani za nambari "kulingana na jedwali la Bradis")
| thamani ya pembe α (digrii) | thamani ya pembe α katika radiani | dhambi (sine) | cos (cosine) | tg (tangent) | ctg (cotangent) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Makala hii ina meza za sines, cosines, tangents na cotangents. Kwanza, tutatoa jedwali la maadili ya msingi ya kazi za trigonometric, ambayo ni, meza ya sines, cosines, tangents na cotangents ya pembe za 0, 30, 45, 60, 90, ..., digrii 360 ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Baada ya hayo, tutatoa meza ya sines na cosines, pamoja na meza ya tangents na cotangents na V. M. Bradis, na kuonyesha jinsi ya kutumia meza hizi wakati wa kupata maadili ya kazi za trigonometric.
Urambazaji wa ukurasa.
Jedwali la sines, cosines, tangents na cotangents kwa pembe za 0, 30, 45, 60, 90, ... digrii
Bibliografia.
- Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
- Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - toleo la 14 - M.: Elimu, 2004 - 384 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.
- Bradis V.M. Nambari nne meza za hisabati: Kwa elimu ya jumla. kitabu cha kiada taasisi. - Toleo la 2. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: mgonjwa. ISBN 5-7107-2667-2
Kila kitendakazi cha trigonometric kwa pembe iliyopewa inalingana thamani maalum kipengele hiki. Kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent ni wazi kuwa thamani ya sine ya pembe ni mpangilio wa mahali ambapo hatua ya kuanzia huenda. mduara wa kitengo baada ya mzunguko wake kwa pembe, thamani ya cosine ni abscissa ya hatua hii, thamani ya tangent ni uwiano wa kuratibu kwa abscissa, na thamani ya cotangent ni uwiano wa abscissa kwa kuratibu.
Mara nyingi, wakati wa kutatua shida, hitaji linatokea la kupata maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents ya pembe maalum. Kwa pembe zingine, kwa mfano 0, 30, 45, 60, 90, ... digrii, inawezekana kupata maadili halisi kazi za trigonometric; kwa pembe zingine, kupata maadili halisi hugeuka kuwa shida na mtu lazima aridhike na takriban maadili.
Katika makala hii tutaangalia ni kanuni gani zinapaswa kufuatwa wakati wa kuhesabu thamani ya sine, cosine, tangent au cotangent. Hebu tuorodheshe kwa utaratibu.
Sasa tutazingatia kila moja ya kanuni zilizoorodheshwa za kuhesabu maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents kwa undani.
Urambazaji wa ukurasa.
- Kupata maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa ufafanuzi. Mistari ya sines, cosines, tangents na cotangents. Maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents ya pembe za digrii 30, 45 na 60. Kupunguzwa kwa pembe kutoka digrii 0 hadi 90. Inatosha kujua thamani ya moja ya kazi za trigonometric. Kupata maadili kwa kutumia fomula za trigonometric. Nini cha kufanya katika kesi nyingine?
Kupata maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa ufafanuzi
Kulingana na ufafanuzi wa sine na cosine, unaweza kupata maadili ya sine na cosine ya pembe fulani. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchukua mduara wa kitengo, mzunguko wa kuanzia A (1, 0) kwa pembe, baada ya hapo itaenda kwa uhakika A1. Kisha kuratibu za uhakika A1 zitatoa cosine na sine ya angle iliyotolewa, kwa mtiririko huo. Baada ya hayo, unaweza kuhesabu tangent na cotangent ya angle kwa kuhesabu uwiano wa kuratibu kwa abscissa na abscissa kwa kuratibu, kwa mtiririko huo.
Kwa ufafanuzi, tunaweza kuhesabu maadili halisi ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe 0, ± 90, ± 180, ±270, ± 360, ... digrii (0, ± р/2, ± р, ±3р/2, ±2р, …radian). Hebu tugawanye pembe hizi katika makundi manne: digrii 360 z (2р z radians), digrii 90+360 z (р/2+2р z radians), digrii 180+360 z (р+2р z radians) na 270 +360·z digrii (3р/2+2р·z radiani), ambapo z ni nambari kamili. Wacha tuonyeshe kwenye takwimu ambapo hatua A1 itapatikana, kutokana na kuzungusha hatua ya kuanzia A kwa pembe hizi (ikiwa ni lazima, soma angle ya mzunguko katika makala).
Kwa kila moja ya vikundi hivi vya pembe, tutapata maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa kutumia ufafanuzi.
Kama kwa pembe zingine zaidi ya 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... digrii, basi kwa ufafanuzi tunaweza kupata tu maadili ya takriban ya sine, cosine, tangent na cotangent. Kwa mfano, hebu tutafute sine, kosine, tangent na cotangent ya pembe -52 digrii.
Wacha tufanye ujenzi.
Kwa mujibu wa kuchora, tunaona kwamba abscissa ya uhakika A1 ni takriban sawa na 0.62, na kuratibu ni takriban sawa na -0.78. Hivyo, 
Na 
. Inabakia kuhesabu maadili ya tangent na cotangent, tunayo 
Na 
.
Ni wazi kwamba kadiri miundo inavyokamilishwa kwa usahihi zaidi, ndivyo kwa usahihi zaidi makadirio ya maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe fulani itapatikana. Pia ni wazi kuwa kupata maadili ya kazi za trigonometric, kwa ufafanuzi, sio rahisi katika mazoezi, kwani ni ngumu kutekeleza ujenzi ulioelezewa.
Juu ya ukurasa
Mistari ya sines, cosines, tangents na cotangents
Inastahili kukaa kwa ufupi juu ya kinachojulikana mistari ya sines, cosines, tangents na cotangents. Mistari ya sine, kosini, tanjiti na kotanji ni mistari inayoonyeshwa pamoja na duara ya kitengo, yenye asili na sawa na moja iliyoingizwa. mfumo wa mstatili kuratibu, zinawakilisha wazi zote maadili iwezekanavyo sine, kosini, tanjiti na kotanjiti. Wacha tuwaonyeshe kwenye mchoro ulio hapa chini.
Juu ya ukurasa
Maadili ya sines, cosines, tangents na cotangents ya pembe za digrii 30, 45 na 60
Kwa pembe za digrii 30, 45 na 60, maadili halisi ya sine, cosine, tangent na cotangent yanajulikana. Wanaweza kupatikana kutoka kwa ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent katika pembetatu ya kulia kwa kutumia theorem ya Pythagorean.
Ili kupata maadili ya kazi za trigonometric kwa pembe za digrii 30 na 60, fikiria pembetatu ya kulia na pembe hizi, na uichukue ili urefu wa hypotenuse ni sawa na moja. Inajulikana kuwa mguu ulio kinyume na pembe ya digrii 30 ni nusu ya ukubwa wa hypotenuse, kwa hiyo urefu wake ni 1/2. Tunapata urefu wa mguu mwingine kwa kutumia nadharia ya Pythagorean: 
.
Kwa kuwa sine ya pembe ni uwiano upande kinyume kwa hypotenuse, basi 
Na 
. Kwa upande wake, cosine ni uwiano mguu wa karibu kwa hypotenuse, basi 
Na 
. Tangent ni uwiano wa upande kinyume na ule wa karibu, na cotangent ni uwiano wa upande wa karibu na upande mwingine, kwa hiyo, 
Na 
, na 
Na 
.
Inabakia kupata maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa pembe ya digrii 45. Wacha tugeuke kwenye pembetatu ya kulia na pembe za digrii 45 (itakuwa isosceles) na hypotenuse, sawa na moja. Kisha, kwa kutumia theorem ya Pythagorean, ni rahisi kuthibitisha kwamba urefu wa miguu ni sawa. Sasa tunaweza kuhesabu maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kama uwiano wa urefu wa pande zinazolingana za inayozingatiwa. pembetatu ya kulia. Tuna na 
.
Thamani zilizopatikana za sine, cosine, tangent na cotangent ya digrii 30, 45 na 60 zitatumika mara nyingi sana wakati wa kutatua jiometri mbalimbali na. matatizo ya trigonometric, kwa hivyo tunapendekeza uwakumbuke. Kwa urahisi, tutawaingiza kwenye jedwali la maadili ya msingi ya sine, cosine, tangent na cotangent.
Kuhitimisha aya hii, tunatoa kielelezo cha maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent ya pembe 30, 45 na 60 kwa kutumia mduara wa kitengo na mistari ya sine, cosine, tangent na cotangent.
Juu ya ukurasa
Kupunguzwa kwa pembe kutoka digrii 0 hadi 90
Wacha tuangalie mara moja kuwa ni rahisi kupata maadili ya kazi za trigonometric wakati pembe iko katika safu kutoka digrii 0 hadi 90 (kutoka sifuri hadi pi katika nusu ya radians). Ikiwa hoja ya kazi ya trigonometric, thamani ambayo tunahitaji kupata, inapita zaidi ya mipaka kutoka digrii 0 hadi 90, basi tunaweza kutumia fomula za kupunguza kila wakati ili kuendelea kupata thamani ya kazi ya trigonometric, hoja ambayo itakuwa ndani ya mipaka iliyoainishwa.
Kwa mfano, hebu tupate thamani ya sine ya digrii 210. Kwa kuwakilisha 210 kama 180+30 au kama 270−60, fomula zinazolingana za kupunguza hupunguza tatizo letu kutoka kupata sine ya digrii 210 hadi kupata thamani ya sine ya digrii 30, au cosine ya digrii 60.
Wacha tukubaliane kwa siku zijazo wakati wa kupata maadili ya utendakazi wa trigonometric ili kutumia fomula za kupunguza kila wakati kusonga kwa pembe kutoka kwa muda kutoka digrii 0 hadi 90, isipokuwa bila shaka pembe iko tayari ndani ya mipaka hii.
Juu ya ukurasa
Inatosha kujua thamani ya moja ya kazi za trigonometric
Msingi vitambulisho vya trigonometric anzisha miunganisho kati ya sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe sawa. Kwa hiyo, kwa msaada wao, tunaweza kutumia thamani inayojulikana ya moja ya kazi za trigonometric ili kupata thamani ya kazi nyingine yoyote ya pembe sawa.
Wacha tuangalie suluhisho la mfano.
Kuamua nini sawa na sine angle pi kwa nane, ikiwa 
.
Kwanza, hebu tupate nini cotangent ya pembe hii ni sawa na: 
Sasa kwa kutumia formula 
, tunaweza kuhesabu nini sawa na mraba sine ya pembe pi kwa nane, na kwa hiyo thamani inayotakiwa ya sine. Tuna 
Kilichobaki ni kupata thamani ya sine. Kwa kuwa pembe pi kwa nane ni pembe ya robo ya kwanza ya kuratibu, sine ya pembe hii ni chanya (ikiwa ni lazima, angalia sehemu ya nadharia ya ishara za sine, cosine, tangent na cotangent kwa robo). Hivyo, 
.
.
Juu ya ukurasa
Kupata Maadili Kwa Kutumia Mifumo ya Trigonometric
Katika aya mbili zilizopita, tayari tumeanza kushughulikia suala la kupata maadili ya sine, cosine, tangent na cotangent kwa kutumia fomula za trigonometry. Hapa tunataka tu kusema kwamba wakati mwingine inawezekana kuhesabu thamani inayotakiwa ya kazi ya trigonometric kutumia fomula za trigonometric Na maadili yanayojulikana sine, cosine, tangent na cotangent (kwa mfano, kwa pembe za digrii 30, 45 na 60).
Kwa mfano, kwa kutumia fomula za trigonometric, hebu tuhesabu thamani ya tangent ya pembe pi kwa nane, ambayo tulitumia aya iliyotangulia kupata thamani ya sine.
Tafuta thamani.
Kwa kutumia formula ya tangent pembe ya nusu, tunaweza kuandika usawa ufuatao 
. Tunajua maadili ya cosine ya pembe pi kwa nne, kwa hivyo tunaweza kuhesabu mara moja thamani ya mraba wa tangent inayotaka: 
.
Pembe ya pi iliyogawanywa na nane ni pembe ya roboduara ya kwanza ya kuratibu, hivyo tangent ya angle hii ni chanya. Kwa hivyo, 
.
.