Grundlæggende love for sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori

Læren om de love, der styrer de såkaldte. tilfældige fænomener. Ordbog fremmede ord, inkluderet i det russiske sprog. Chudinov A.N., 1910 ... Ordbog over fremmede ord i det russiske sprog

sandsynlighedsteori- - [L.G. Sumenko. Engelsk-russisk ordbog om informationsteknologi. M.: Statsvirksomhed TsNIIS, 2003.] Emner Informationsteknologi generelt EN sandsynlighedsteori teori om chancesandsynlighedsberegning ... Teknisk oversættervejledning

Sandsynlighedsteori- er en del af matematikken, der studerer sammenhængen mellem sandsynligheder (se Sandsynlighed og Statistik) for forskellige begivenheder. Lad os liste de vigtigste teoremer relateret til denne videnskab. Sandsynligheden for en af flere ikke fælles arrangementer lige med... ... encyklopædisk ordbog F. Brockhaus og I.A. Ephron

SANDSYNLIGHEDSTEORI- matematisk en videnskab, der tillader, ud fra sandsynligheden for nogle tilfældige begivenheder (se), at finde sandsynligheden for tilfældige begivenheder forbundet med k.l. måde med de første. Moderne T.v. baseret på aksiomatik (se Aksiomatisk metode) af A. N. Kolmogorov. På den… … Russisk sociologisk encyklopædi

Sandsynlighedsteori- en gren af matematikken, hvor der, baseret på de givne sandsynligheder for nogle tilfældige begivenheder, findes sandsynligheden for andre begivenheder, der på en eller anden måde er relateret til den første. Sandsynlighedsteori studerer også tilfældige variable og tilfældige processer. En af de vigtigste...... Begreber moderne naturvidenskab. Ordliste over grundlæggende termer

sandsynlighedsteori- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. sandsynlighedsteori vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. sandsynlighedsteori, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Sandsynlighedsteori- ... Wikipedia

Sandsynlighedsteori- en matematisk disciplin, der studerer mønstrene for tilfældige fænomener... Begyndelsen af moderne naturvidenskab

SANDSYNLIGHEDSTEORI- (sandsynlighedsteori) se Sandsynlighed... Stor forklarende sociologisk ordbog

Sandsynlighedsteori og dens anvendelser- ("Sandsynlighedsteori og dens anvendelser") Science Magazine Institut for Matematik ved USSR Academy of Sciences. Udgiver originale artikler og korte beskeder ifølge sandsynlighedsteori, generelle spørgsmål matematisk statistik og deres anvendelser i naturvidenskab og... ... Stor Sovjetisk encyklopædi

Bøger

Sandsynlighedsteori. , Ventzel E.S.. Bogen er en lærebog beregnet til personer, der er fortrolige med matematik inden for rammerne af et almindeligt college-kursus og interesseret i tekniske anvendelser af sandsynlighedsteori, i... Køb for 1993 UAH (kun Ukraine)
Sandsynlighedsteori. , Ventzel E.S.. Denne bog vil blive produceret i overensstemmelse med din ordre ved hjælp af Print-on-Demand-teknologi. Bogen er en lærebog beregnet til personer, der er fortrolige med matematik i almindeligt omfang...

Klassificering af begivenheder i mulige, sandsynlige og tilfældige. Begreber om enkle og komplekse elementære begivenheder. Operationer på begivenheder. Klassisk definition sandsynligheden for en tilfældig hændelse og dens egenskaber. Elementer af kombinatorik i sandsynlighedsteori. Geometrisk sandsynlighed. Aksiomer for sandsynlighedsteori.

Begivenhedsklassificering

Et af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori er begrebet en begivenhed. Under begivenhed forstå enhver kendsgerning, der kan opstå som et resultat af en oplevelse eller test. Under erfaring, eller prøve, henviser til implementeringen af et bestemt sæt betingelser.

Eksempler på arrangementer:

Der er utallige lignende eksempler. Arrangementer er udpeget med store bogstaver latinske alfabet etc.

Skelne fælles arrangementer Og uforenelig. Begivenheder kaldes fælles, hvis forekomsten af en af dem ikke udelukker forekomsten af den anden. I Ellers begivenheder kaldes uforenelige. For eksempel kastes to terninger. Begivenhed - får tre point på den første terning, er begivenheden tabet af tre point på den anden terning. og - fælles arrangementer. Lad butikken modtage et parti sko af samme stil og størrelse, men anden farve. Begivenhed - en kasse taget tilfældigt vil indeholde sorte sko, begivenhed - boksen vil indeholde sko Brun, og er uforenelige begivenheder.

Arrangementet kaldes pålidelig, hvis det er sikkert at forekomme under betingelserne for et givent eksperiment.

En begivenhed kaldes umulig, hvis den ikke kan finde sted under betingelserne for en given oplevelse. For eksempel er den begivenhed, at en standarddel vil blive taget fra et parti af standarddele, pålidelig, men en ikke-standarddel er umulig.

Arrangementet kaldes muligt, eller tilfældig, hvis det som følge af erfaring kan dukke op, men det kan ikke forekomme. Et eksempel på en tilfældig hændelse ville være identifikation af produktfejl under batchinspektion færdige produkter, uoverensstemmelse mellem størrelsen af det forarbejdede produkt og det specificerede, fejl i et af linkene automatiseret system ledelse.

Begivenhederne kaldes lige så muligt, hvis ingen af disse hændelser i henhold til testbetingelserne objektivt set er mere mulige end de andre. Lad for eksempel en butik forsyne med pærer (og ind lige store mængder) flere produktionsanlæg. Begivenheder, der involverer køb af en pære fra en af disse fabrikker, er lige så mulige.

Et vigtigt koncept er hele gruppen af arrangementer. Adskillige begivenheder i dette eksperiment form fuld gruppe, hvis mindst en af dem er sikker på at dukke op som et resultat af eksperimentet. For eksempel indeholder en urne ti kugler, seks af dem er røde, fire er hvide, og fem kugler har tal. - udseendet af en rød bold med én remis, - udseendet af hvid kugle, - udseendet af en bold med et nummer. Arrangementer udgør en komplet gruppe af fælles arrangementer.

Lad os introducere begrebet en modsat eller yderligere begivenhed. Under modsat En begivenhed forstås som en begivenhed, der nødvendigvis skal indtræffe, hvis en eller anden begivenhed ikke indtræffer. Modsatte begivenheder er uforenelige og de eneste mulige. De udgør en komplet gruppe af begivenheder. For eksempel, hvis et parti af fremstillede produkter består af gode og defekte produkter, så når et produkt fjernes, kan det vise sig at være enten god-begivenhed eller defekt-begivenhed.

Operationer på begivenheder

Når man udvikler et apparat og en metode til at studere tilfældige hændelser i sandsynlighedsteori, er begrebet summen og produktet af hændelser meget vigtigt.

Summen eller foreningen af flere begivenheder er en begivenhed, der består af forekomsten af mindst én af disse begivenheder.

Summen af begivenheder er angivet som følger:

For eksempel, hvis en begivenhed rammer målet med det første skud, en begivenhed - med det andet, så rammer begivenheden målet generelt, det er lige meget med hvilket skud - det første, andet eller begge dele.

Produktet eller skæringspunktet mellem flere begivenheder er en begivenhed, der består af den fælles forekomst af alle disse begivenheder.

Produktionen af begivenheder er angivet

For eksempel, hvis hændelsen er, at skiven rammes med det første skud, er hændelsen, at skiven rammes med det andet skud, så er hændelsen, at skiven blev ramt med begge skud.

Begreberne sum og produkt af begivenheder har en klar geometrisk fortolkning. Lad begivenheden bestå af et punkt, der kommer ind i regionen, begivenheden består af at komme ind i regionen, så består begivenheden af, at punktet kommer ind i området, der er skraveret i fig. 1, og hændelsen er, når et punkt rammer det skraverede område i fig. 2.

Klassisk definition af sandsynligheden for en tilfældig hændelse

For kvantitativt at sammenligne hændelser efter graden af mulighed for deres forekomst, indføres et numerisk mål, som kaldes sandsynligheden for en hændelse.

Sandsynligheden for en begivenhed er et tal, der udtrykker målet for den objektive mulighed for, at en begivenhed indtræffer.

Sandsynligheden for en hændelse vil blive angivet med symbolet.

Sandsynligheden for en hændelse er lig med forholdet mellem antallet af sager, der er gunstige for den, ud af det samlede antal unikt mulige, lige mulige og uforenelige tilfælde og antallet dvs.

Dette er den klassiske definition af sandsynlighed. For at finde sandsynligheden for en hændelse er det således nødvendigt, efter at have overvejet de forskellige resultater af testen, at finde et sæt unikt mulige, lige mulige og inkompatible tilfælde, beregne deres samlede antal, antallet af tilfælde, der er gunstige for en given hændelse, og udfør derefter beregningen ved hjælp af formel (1.1).

Af formel (1.1) følger, at sandsynligheden for en hændelse er ikke-negativt tal og kan variere fra nul til én afhængig af, hvor stor en andel det gunstige antal sager er af det samlede antal sager:

Egenskaber for sandsynlighed

Ejendom 1. Hvis alle tilfælde er gunstige for en given hændelse, så vil denne hændelse helt sikkert indtræffe. Følgelig er den pågældende hændelse pålidelig, og sandsynligheden for dens indtræden er , da i dette tilfælde

Ejendom 2. Hvis der ikke er et enkelt tilfælde, der er gunstigt for en given begivenhed, kan denne begivenhed ikke opstå som et resultat af erfaring. Følgelig er den pågældende begivenhed umulig, og sandsynligheden for dens forekomst er , da i dette tilfælde:

Ejendom 3. Sandsynligheden for forekomsten af begivenheder, der danner en komplet gruppe, er lig med én.

Ejendom 4. Sandsynligheden for, at den modsatte begivenhed indtræffer, bestemmes på samme måde som sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer:

hvor er antallet af tilfælde, der er gunstigt for, at den modsatte begivenhed indtræffer. Derfor er sandsynligheden for, at den modsatte begivenhed indtræffer, lig med forskellen mellem enhed og sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer:

En vigtig fordel ved den klassiske definition af sandsynligheden for en begivenhed er, at med dens hjælp kan sandsynligheden for en begivenhed bestemmes uden at ty til erfaring, men ud fra logiske ræsonnementer.

Eksempel 1. Mens han ringede til et telefonnummer, glemte abonnenten et ciffer og ringede til det tilfældigt. Find sandsynligheden for, at det rigtige nummer er ringet op.

Løsning. Lad os betegne den hændelse, hvor det nødvendige nummer ringes op. Abonnenten kunne ringe til et hvilket som helst af de 10 cifre, så samlet antal mulige udfald er lig med 10. Disse udfald er de eneste mulige (et af tallene skal indtastes) og lige mulige (tallet skal indtastes tilfældigt). Kun ét udfald favoriserer begivenheden (der er kun et nødvendigt antal). Den krævede sandsynlighed er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden, og antallet af alle udfald:

Elementer af kombinatorik

I sandsynlighedsteorien bruges ofte placeringer, permutationer og kombinationer. Hvis et sæt er givet, så placering (kombination) af elementerne ved er enhver ordnet (uordnet) delmængde af elementerne i sættet. Når placeres kaldes omlægning fra elementer.

Lad for eksempel få et sæt. Placeringen af de tre elementer i dette sæt af to er , , , , , ; kombinationer - , , .

To kombinationer er forskellige i mindst ét element, og placeringer adskiller sig enten i selve elementerne eller i den rækkefølge, de vises i. Antallet af kombinationer af elementer med beregnes af formlen

er antallet af placeringer af elementer med ; - antal permutationer af elementer.

Eksempel 2. I en batch på 10 dele er der 7 standard. Find sandsynligheden for, at der blandt 6 dele taget tilfældigt er præcis 4 standard.

Løsning. Det samlede antal mulige testresultater er lig med antallet af måder, hvorpå 6 dele kan udtrækkes fra 10, dvs. lig med antallet af kombinationer af 10 elementer af 6. Antallet af resultater, der er gunstige for begivenheden (blandt de 6 taget dele er der nøjagtig 4 standarddele) bestemmes som følger: 4 standarddele kan tages fra 7 standarddele på forskellige måder; i dette tilfælde skal de resterende dele være ikke-standard; Der er måder at tage 2 ikke-standarddele fra ikke-standarddele. Derfor er antallet af gunstige resultater lig med . Den oprindelige sandsynlighed er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden, og antallet af alle udfald:

Statistisk definition af sandsynlighed

Formel (1.1) bruges til direkte beregning sandsynligheder for begivenheder kun, når erfaring er reduceret til et mønster af tilfælde. I praksis er den klassiske definition af sandsynlighed ofte ikke anvendelig af to grunde: For det første antager den klassiske definition af sandsynlighed, at det samlede antal tilfælde skal være endeligt. Faktisk er det ofte ikke begrænset. For det andet er det ofte umuligt at præsentere resultaterne af et eksperiment i form af lige mulige og uforenelige hændelser.

Hyppigheden af forekomst af hændelser under gentagne eksperimenter har en tendens til at stabilisere sig omkring en konstant værdi. Således nogle konstant værdi, omkring hvilke frekvenser er grupperet, og som er karakteristisk for den objektive sammenhæng mellem det sæt af betingelser, som eksperimenter udføres under, og begivenheden.

Sandsynligheden for en tilfældig hændelse er det tal, som frekvenserne af denne hændelse grupperes omkring, efterhånden som antallet af forsøg stiger.

Denne definition af sandsynlighed kaldes statistisk.

Fordel statistisk metode Definitionen af sandsynlighed er, at den er baseret på et rigtigt eksperiment. Dens væsentlige ulempe er imidlertid, at det er nødvendigt at udføre for at bestemme sandsynligheden stort antal oplevelser, der meget ofte forbindes med materialeomkostninger. Den statistiske bestemmelse af sandsynligheden for en begivenhed, selv om den ganske fuldt ud afslører indholdet af dette koncept, gør det ikke muligt rent faktisk at beregne sandsynligheden.

Den klassiske definition af sandsynlighed betragter hele gruppen begrænset antal lige mulige begivenheder. I praksis er antallet af mulige testresultater meget ofte uendeligt. I sådanne tilfælde er den klassiske definition af sandsynlighed ikke anvendelig. Men nogle gange i sådanne tilfælde kan du bruge en anden metode til at beregne sandsynlighed. For bestemtheden begrænser vi os til det todimensionelle tilfælde.

Lad et bestemt område af område, som indeholder et andet område område, angives på planet (fig. 3). En prik kastes tilfældigt ind i området. Hvad er sandsynligheden for, at et punkt falder ind i regionen? Det antages, at et punkt kastet tilfældigt kan ramme et hvilket som helst punkt i regionen, og sandsynligheden for at ramme en hvilken som helst del af regionen er proportional med delens areal og afhænger ikke af dens placering og form. I dette tilfælde er sandsynligheden for at komme ind i området

Således i almindelig sag hvis muligheden for en tilfældig optræden af et punkt inden for et bestemt område på en ret linje, et plan eller i rummet ikke er bestemt af dette områdes position og dets grænser, men kun af dets størrelse, dvs. længde, areal eller volumen, derefter hitsandsynlighed tilfældigt punkt inden for et bestemt område defineres som forholdet mellem størrelsen af dette område og størrelsen af hele området, hvor det kan forekomme givet point. Det er der geometrisk definition sandsynligheder.

Eksempel 3. Et rundt mål roterer med en konstant Vinkelhastighed. En femtedel af målet er malet grønt, og resten er hvidt (fig. 4). Et skud affyres mod skiven på en sådan måde, at det er en pålidelig hændelse at ramme skiven. Det er påkrævet at bestemme sandsynligheden for at ramme den farvede målsektor grøn farve.

Løsning. Lad os betegne "skuddet ramte sektoren farvet grøn." Derefter . Sandsynligheden opnås som forholdet mellem arealet af den del af målet, der er malet grønt, og hele området af målet, da slag på enhver del af målet er lige så mulige.

Aksiomer for sandsynlighedsteori

Fra statistisk definition sandsynlighed for en tilfældig begivenhed følger det, at sandsynligheden for en begivenhed er det tal, som de eksperimentelt observerede frekvenser af denne begivenhed er grupperet omkring. Derfor introduceres sandsynlighedsteoriens aksiomer, så sandsynligheden for en begivenhed har de grundlæggende egenskaber for frekvens.

Aksiom 1. Hver begivenhed svarer bestemt antal, der opfylder betingelsen og kalder dens sandsynlighed.

Mor vaskede stellet

I slutningen af lange sommerferie det er tid til langsomt at vende tilbage til højere matematik og højtideligt åbne den tomme Verdov-fil for at begynde at oprette en ny sektion - . Jeg indrømmer, at de første linjer ikke er nemme, men det første skridt er halvvejs, så jeg foreslår, at alle studerer omhyggeligt indledende artikel, hvorefter det bliver 2 gange nemmere at mestre emnet! Jeg overdriver overhovedet ikke. … På tærsklen til den næste 1. september husker jeg første klasse og primeren…. Bogstaver dannes til stavelser, stavelser til ord, ord til korte sætninger- Mor vaskede stellet. At klare terveren og matematisk statistik lige så let som at lære at læse! Men til dette skal du kende centrale termer, begreber og betegnelser samt nogle specifikke regler, som denne lektion er dedikeret til.

Men først, accepter venligst mine lykønskninger med begyndelsen (fortsættelse, afslutning, bemærk efter behov) skoleår og tage imod gaven. Den bedste gave er en bog, og for selvstændigt arbejde Jeg anbefaler følgende litteratur:

1) Gmurman V.E. Sandsynlighedsteori og matematisk statistik

Legendarisk tutorial, som gennemgik mere end ti genoptryk. Den udmærker sig ved sin forståelighed og ekstremt enkle præsentation af stoffet, og de første kapitler er fuldstændig tilgængelige, synes jeg, allerede for elever i 6.-7.

2) Gmurman V.E. En guide til løsning af problemer i sandsynlighedsteori og matematisk statistik

En løsningsbog af samme Vladimir Efimovich med detaljerede eksempler og problemer.

NØDVENDIG download begge bøger fra internettet eller få deres papiroriginaler! Udgaven fra 60'erne og 70'erne vil også fungere, hvilket er endnu bedre for dummies. Selvom udtrykket "sandsynlighedsteori for dummies" lyder ret latterligt, da næsten alt er begrænset til elementære aritmetiske operationer. De springer dog nogle steder derivater Og integraler, men det er kun nogle steder.

Jeg vil forsøge at opnå samme klarhed i præsentationen, men jeg må advare om, at mit kursus er rettet mod problemløsning og teoretiske beregninger holdes på et minimum. Så hvis du har brug for en detaljeret teori, beviser for sætninger (sætninger-sætninger!), henvises til lærebogen. Nå, hvem vil lære at løse problemer i sandsynlighedsteori og matematisk statistik højest kort tid , Følg mig!

Det er nok til en start =)

Når du læser artiklerne, er det tilrådeligt at sætte dig (i hvert fald kort) ind yderligere opgaver betragtes som art. På siden Færdige løsninger til højere matematik De tilsvarende pdf'er med eksempler på løsninger vil blive offentliggjort. Der vil også blive ydet betydelig bistand IDZ 18.1 Ryabushko(enklere) og løst IDZ ifølge Chudesenkos kollektion(sværere).

1) Beløb to begivenheder, og begivenheden kaldes, hvilket er, at det vil ske eller begivenhed eller begivenhed eller begge arrangementer på samme tid. I tilfælde af at begivenheder uforenelig, sidste mulighed forsvinder, det vil sige, at det kan forekomme eller begivenhed eller begivenhed .

Reglen gælder også for stor mængde udtryk, for eksempel begivenhed er, hvad der vil ske mindst en fra begivenheder , A hvis begivenheder er uforenelige – så én ting og kun én ting begivenhed fra dette beløb: eller begivenhed , eller begivenhed , eller begivenhed , eller begivenhed , eller begivenhed .

Der er masser af eksempler:

Begivenheder (når du kaster en terning, vises 5 point ikke) er det, der vises eller 1, eller 2, eller 3, eller 4, eller 6 point.

Begivenhed (vil falde ikke mere to punkter) er, at 1 vises eller 2point.

Begivenhed (vilje lige tal point) er det, der vil blive rullet eller 2 eller 4 eller 6 point.

Begivenheden er, at et rødt kort (hjerte) vil blive trukket fra bunken eller tamburin), og begivenheden – at "billedet" vil blive udtrukket (jack eller dame eller konge eller es).

Lidt mere interessant er tilfældet med fælles arrangementer:

Arrangementet er, at en kølle vil blive trukket fra dækket eller syv eller syv af klubber Ifølge definitionen ovenfor, i det mindste noget- eller enhver klub eller en hvilken som helst syv eller deres "krydsningspunkt" - syv af klubber. Det er let at beregne, at denne begivenhed svarer til 12 elementære udfald (9 klubkort + 3 resterende syvere).

Arrangementet er, at i morgen klokken 12.00 kommer MINDST EN af de sammenfattende fælles begivenheder, nemlig:

– eller der kommer kun regn / kun tordenvejr / kun sol;
– eller kun nogle par begivenheder vil forekomme (regn + tordenvejr / regn + sol / tordenvejr + sol);
– eller alle tre begivenheder vises samtidigt.

Det vil sige, at begivenheden omfatter 7 mulige udfald.

Den anden søjle i begivenhedernes algebra:

2) Arbejdet to hændelser og kalder en hændelse, der består i den fælles forekomst af disse hændelser, med andre ord betyder multiplikation, at der under nogle omstændigheder vil være Og begivenhed , Og begivenhed . Et lignende udsagn gælder for et større antal begivenheder, for eksempel indebærer et værk, at det under visse betingelser vil ske Og begivenhed , Og begivenhed , Og begivenhed , …, Og begivenhed .

Overvej en test, hvor to mønter bliver kastet og følgende begivenheder:

– hoveder vises på den 1. mønt;
– den første mønt vil lande hoveder;
– hoveder vises på den 2. mønt;
– den 2. mønt vil lande hoveder.

Derefter:
Og den 2.) vises hoveder;
– begivenheden er, at på begge mønter (den 1 Og den 2.) vil det være hoveder;
– begivenheden er, at den 1. mønt vil lande hoveder Og den 2. mønt er haler;
– begivenheden er, at den 1. mønt vil lande hoveder Og på 2. mønt er der en ørn.

Det er nemt at se begivenhederne uforenelig (fordi det f.eks. ikke kan være 2 hoveder og 2 haler på samme tid) og form fuld gruppe (siden taget i betragtning Alle mulige resultater af at kaste to mønter). Lad os opsummere disse begivenheder: . Hvordan tolker man denne post? Meget simpelt - multiplikation betyder logisk forbindelse OG, og tilføjelse – ELLER. Så beløbet er let at læse og forståeligt menneskeligt sprog: "to hoveder vises eller to hoveder eller den 1. mønt vil lande hoveder Og på 2. haler eller den 1. mønt vil lande hoveder Og på den 2. mønt er der en ørn"

Dette var et eksempel på hvornår i én test flere genstande er involveret, I dette tilfælde- to mønter. En anden almindelig i praktiske problemeråh diagrammet er gentestning , når den samme terning for eksempel slås 3 gange i træk. Overvej følgende begivenheder som en demonstration:

– i 1. kast får du 4 point;
– i 2. kast får du 5 point;
– i 3. kast får du 6 point.

Så begivenheden er, at du i 1. kast får 4 point Og i 2. kast får du 5 point Og på 3. kast får du 6 point. Det er klart, at i tilfælde af en terning vil der være betydeligt flere kombinationer (udfald), end hvis vi kastede en mønt.

...Jeg forstår, at de måske ikke forstår så godt interessante eksempler, men det er ting, man ofte støder på i problemer, og der er ingen flugt fra dem. Ud over en mønt, en terning og et spil kort, venter dig urner med flerfarvede kugler, flere anonyme personer, der skyder på et mål og en utrættelig arbejder, der konstant sliber nogle detaljer =)

Sandsynlighed for hændelse

Sandsynlighed for hændelse er det centrale begreb for sandsynlighedsteori. ...En dræber logisk ting, men vi var nødt til at starte et sted =) Der er flere tilgange til dens definition:

;
Geometrisk definition af sandsynlighed ;
Statistisk definition af sandsynlighed .

I denne artikel vil jeg fokusere på den klassiske definition af sandsynlighed, som er mest brugt i pædagogiske opgaver.

Betegnelser. Sandsynligheden for en hændelse er angivet som høj latinsk bogstav, og selve begivenheden er sat i parentes og fungerer som en slags argument. For eksempel:

Også det lille bogstav er meget brugt til at betegne sandsynlighed. Især kan du opgive de besværlige betegnelser for begivenheder og deres sandsynligheder til fordel for følgende stil::

– sandsynligheden for, at et møntkast vil resultere i hoveder;
– sandsynligheden for, at et terningkast vil resultere i 5 point;
– sandsynligheden for, at et kort i klubfarven trækkes fra bunken.

Denne mulighed populært, når du løser praktiske problemer, da det giver dig mulighed for betydeligt at reducere registreringen af løsningen. Som i det første tilfælde er det praktisk at bruge "talende" sænkede/superskripter her.

Alle har længe gættet tallene, som jeg lige skrev ned ovenfor, og nu vil vi finde ud af, hvordan de blev:

Klassisk definition af sandsynlighed:

Sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted i en bestemt test kaldes forholdet, hvor:

– det samlede antal af alle lige så muligt, elementære resultater af denne test, som danner hele gruppen af arrangementer;

- antal elementære resultater, gunstige begivenhed.

Når du kaster en mønt, kan enten hoveder eller haler falde ud - disse begivenheder dannes fuld gruppe, altså det samlede antal udfald; på samme tid, hver af dem elementære Og lige så muligt. Begivenheden favoriseres af resultatet (hoveder). Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .

På samme måde, som et resultat af at kaste en terning, kan elementære lige mulige udfald dukke op, der danner en komplet gruppe, og begivenheden favoriseres af et enkelt udfald (kastning af fem). Derfor: DETTE ER IKKE ACCEPTERET AT GØRE (selvom det ikke er forbudt at estimere procenter i dit hoved).

Det er sædvanligt at bruge brøkdele af en enhed, og sandsynligheden kan naturligvis variere inden for . Desuden, hvis , så er begivenheden umulig, hvis - pålidelig, og hvis , så taler vi om tilfældig begivenhed.

! Hvis du, mens du løser et problem, får en anden sandsynlighedsværdi, så se efter fejlen!

På klassisk tilgang for at bestemme sandsynlighed opnås ekstreme værdier (nul og én) gennem nøjagtig samme ræsonnement. Lad 1 kugle trækkes tilfældigt fra en bestemt urne indeholdende 10 røde kugler. Overvej følgende begivenheder:

i et enkelt forsøg vil en hændelse med lav mulighed ikke forekomme.

Dette er grunden til, at du ikke vil ramme jackpotten i lotteriet, hvis sandsynligheden for denne begivenhed for eksempel er 0,00000001. Ja, ja, det er dig - med den eneste billet i et bestemt oplag. Et større antal billetter og et større antal tegninger vil dog ikke hjælpe dig meget. ...Når jeg fortæller andre om dette, hører jeg næsten altid som svar: "men nogen vinder." Okay, så lad os lave følgende eksperiment: køb venligst en billet til ethvert lotteri i dag eller i morgen (udsæt ikke!). Og hvis du vinder... ja, i hvert fald mere end 10 kilorubler, så sørg for at tilmelde dig - jeg vil forklare, hvorfor det skete. For en procentdel, selvfølgelig =) =)

Men der er ingen grund til at være ked af det, for der er et modsat princip: hvis sandsynligheden for en begivenhed er meget tæt på en, så vil den i en enkelt retssag næsten sikker vil ske. Derfor, før du hopper med faldskærm, er der ingen grund til at være bange, tværtimod, smil! Der skal trods alt opstå helt utænkelige og fantastiske omstændigheder for at begge faldskærme fejler.

Selvom alt dette er lyrik, da afhængigt af indholdet af begivenheden, kan det første princip vise sig at være muntert, og det andet - trist; eller endda begge er parallelle.

Måske er det nok for nu, i klassen Klassiske sandsynlighedsproblemer vi får mest muligt ud af formlen. I den sidste del af denne artikel vil vi overveje en vigtig sætning:

Summen af sandsynligheden for begivenheder, der danner en komplet gruppe, er lig med én. Groft sagt, hvis begivenheder udgør en komplet gruppe, så vil en af dem med 100 % sandsynlighed ske. I selve simpel sag en komplet gruppe dannes af modsatte begivenheder, for eksempel:

– som et resultat af et møntkast, vil hoveder dukke op;
– resultatet af et møntkast bliver hoveder.

Ifølge teoremet:

Det er helt klart, at disse begivenheder er lige mulige, og deres sandsynligheder er de samme .

På grund af ligheden af sandsynligheder kaldes lige så mulige hændelser ofte lige så sandsynligt . Og her er en tongue twister til at bestemme graden af forgiftning =)

Eksempel med en terning: begivenheder er derfor modsatte .

Sætningen under overvejelse er praktisk, fordi den giver dig mulighed for hurtigt at finde sandsynligheden for den modsatte begivenhed. Så hvis sandsynligheden for, at en femmer bliver kastet, er kendt, er det let at beregne sandsynligheden for, at den ikke bliver kastet:

Dette er meget enklere end at opsummere sandsynligheden for fem elementære udfald. For elementære resultater, forresten, denne sætning også sandt:
. For eksempel, hvis er sandsynligheden for, at skytten rammer målet, så er sandsynligheden for, at han vil misse.

! I sandsynlighedsteori er det uønsket at bruge bogstaver til andre formål.

Til ære for Vidensdagen vil jeg ikke spørge lektier=), men det er meget vigtigt, at du kan svare næste spørgsmål:

– Hvilke typer arrangementer findes der?
– Hvad er tilfældigheder og lige muligheder for en begivenhed?
– Hvordan forstår du begreberne kompatibilitet/inkompatibilitet af begivenheder?
– Hvad er en komplet gruppe af begivenheder, modsatte begivenheder?
– Hvad betyder addition og multiplikation af begivenheder?
– Hvad er essensen af den klassiske definition af sandsynlighed?
– Hvorfor er sætningen til at tilføje sandsynligheden for begivenheder, der danner en komplet gruppe, nyttig?

Nej, du behøver ikke proppe noget, det er blot det grundlæggende i sandsynlighedslære - en slags primer, der hurtigt vil passe ind i dit hoved. Og for at dette kan ske så hurtigt som muligt, foreslår jeg, at du gør dig bekendt med lektionerne

INTRODUKTION

Mange ting er uforståelige for os, ikke fordi vores begreber er svage;
men fordi disse ting ikke er inkluderet i rækken af vores koncepter.
Kozma Prutkov

Hovedmålet med at studere matematik i sekundære specialiserede uddannelsesinstitutioner er at give eleverne et sæt matematisk viden og færdigheder, der er nødvendige for at studere andre uddannelsesdiscipliner, der bruger matematik i en eller anden grad, for evnen til at udføre praktiske beregninger, for dannelse og udvikling af logisk tænkning.

I dette arbejde er alle de grundlæggende begreber i sektionen af matematik "Fundamentals of Probability Theory and Mathematical Statistics", fastsat af programmet og statens uddannelsesstandarder for sekundær erhvervsuddannelse (Undervisningsministeriet i Den Russiske Føderation. M., 2002 ), er konsekvent introduceret, er hovedsætningerne formuleret, hvoraf de fleste ikke er bevist . De vigtigste problemer og metoder til at løse dem og teknologier til at anvende disse metoder til at løse praktiske problemer overvejes. Præsentationen er ledsaget af detaljerede kommentarer og talrige eksempler.

Metodiske instruktioner kan bruges til indledende fortrolighed med det studerede materiale, når der tages noter til forelæsninger, for at forberede praktiske klasser, for at konsolidere den erhvervede viden, færdigheder og evner. Derudover vil manualen også være nyttig for bachelorstuderende som et referenceværktøj, så de hurtigt kan huske, hvad der tidligere blev studeret.

I slutningen af arbejdet er der eksempler og opgaver, som eleverne kan udføre i selvkontroltilstand.

Retningslinjerne er beregnet til deltids- og fuldtidsstuderende.

BASALE KONCEPTER

Sandsynlighedsteori studerer de objektive mønstre af tilfældige massehændelser. Det er hun tilfældigvis teoretisk grundlag for matematisk statistik, der omhandler udvikling af metoder til indsamling, beskrivelse og bearbejdning af observationsresultater. Gennem observationer (test, eksperimenter), dvs. erfaring i i bred forstand ord opstår viden om den virkelige verdens fænomener.

I hans praktiske aktiviteter Vi støder ofte på fænomener, hvis udfald ikke kan forudsiges, hvis udfald afhænger af tilfældigheder.

Et tilfældigt fænomen kan karakteriseres ved forholdet mellem antallet af dets forekomster og antallet af forsøg, i hvert af hvilke det, under de samme betingelser for alle forsøg, kunne forekomme eller ikke forekomme.

Sandsynlighedsteori er en gren af matematikken, hvor tilfældige fænomener (begivenheder) studeres og mønstre identificeres, når de gentages i massevis.

Matematisk statistik er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med undersøgelse af metoder til at indsamle, systematisere, bearbejde og bruge statistiske data til at opnå videnskabeligt baserede konklusioner og træffe beslutninger.

I dette tilfælde forstås statistiske data som et sæt tal, der repræsenterer de kvantitative karakteristika af karakteristikaene for de undersøgte objekter, der interesserer os. Statistiske data opnås som resultat af specialdesignede eksperimenter og observationer.

Statistiske data afhænger af deres essens af mange tilfældige faktorer Derfor er matematisk statistik tæt forbundet med sandsynlighedsteori, som er dens teoretiske grundlag.

I. SANDSYNLIGHED. SÆTNINGER OM ADDITION OG MULTIPLIKATION AF SANDsynligheder

1.1. Grundlæggende begreber i kombinatorik

I grenen af matematik, som kaldes kombinatorik, løses nogle problemer i forbindelse med hensyntagen til mængder og sammensætningen af forskellige kombinationer af elementer i disse mængder. For eksempel, hvis vi tager 10 forskellige tal 0, 1, 2, 3,: , 9 og laver kombinationer af dem, får vi forskellige tal, for eksempel 143, 431, 5671, 1207, 43 osv.

Vi ser, at nogle af disse kombinationer kun adskiller sig i rækkefølgen af cifrene (for eksempel 143 og 431), andre - i cifrene inkluderet i dem (for eksempel 5671 og 1207), og andre adskiller sig også i antallet af cifre (f.eks. 143 og 43).

Således opfylder de resulterende kombinationer forskellige betingelser.

Afhængigt af reglerne for sammensætning kan der skelnes mellem tre typer kombinationer: permutationer, placeringer, kombinationer.

Lad os først stifte bekendtskab med konceptet faktorielle.

Produkt af alle naturlige tal fra 1 til og med n kaldes n-faktor og skrive.

Beregn: a) ; b); V).

Løsning. A).

b) Siden , så kan vi sætte det ud af parentes

Så får vi

V) .

Omarrangeringer.

En kombination af n elementer, der kun adskiller sig fra hinanden i rækkefølgen af elementerne, kaldes en permutation.

Permutationer er angivet med symbolet P n , hvor n er antallet af elementer inkluderet i hver permutation. ( R- første bogstav i et fransk ord permutation- omarrangering).

Antallet af permutationer kan beregnes ved hjælp af formlen

eller ved at bruge factorial:

Lad os huske det 0!=1 og 1!=1.

Eksempel 2. På hvor mange måder kan seks forskellige bøger placeres på én hylde?

Løsning. Det nødvendige antal måder er lig med antallet af permutationer af 6 elementer, dvs.

Placeringer.

Opslag fra m elementer i n i hver kaldes sådanne forbindelser, der adskiller sig fra hinanden enten ved selve grundstofferne (mindst én) eller ved rækkefølgen af deres arrangement.

Placeringer er angivet med symbolet, hvor m- antallet af alle tilgængelige elementer, n- antallet af elementer i hver kombination. ( EN- første bogstav fransk ord arrangement, som betyder "placering, at sætte i orden").

Samtidig mener man det nm.

Antallet af placeringer kan beregnes ved hjælp af formlen

de der. antal af alle mulige placeringer fra m elementer af n er lig med produktet n på hinanden følgende heltal, hvoraf det største er m.

Lad os skrive denne formel i faktoriel form:

Eksempel 3. Hvor mange muligheder for at uddele tre værdibeviser til sanatorier med forskellige profiler kan der udarbejdes for fem ansøgere?

Løsning. Det nødvendige antal muligheder er lig med antallet af placeringer af 5 elementer af 3 elementer, dvs.

Kombinationer.

Kombinationer er alle mulige kombinationer af m elementer af n, som adskiller sig fra hinanden med mindst ét element (her m Og n- naturlige tal, og n m).

Antal kombinationer af m elementer af n er betegnet med ( MED-det første bogstav i et fransk ord kombination- kombination).

Generelt er antallet af m elementer af n lig med antallet af placeringer fra m elementer af n, divideret med antallet af permutationer fra n elementer:

Ved at bruge faktorielle formler for antallet af placeringer og permutationer får vi:

Eksempel 4. I et team på 25 personer skal du afsætte fire til at arbejde i et bestemt område. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning. Da rækkefølgen af de fire valgte personer ikke betyder noget, er der måder at gøre dette på.

Vi finder ved hjælp af den første formel

Derudover bruges følgende formler, når man løser problemer, der udtrykker de grundlæggende egenskaber ved kombinationer:

(per definition antager de og);

1.2. Løsning af kombinatoriske problemer

Opgave 1. Der studeres 16 fag på fakultetet. Du skal sætte 3 emner på din tidsplan for mandag. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning. Der er lige så mange måder at planlægge tre elementer ud af 16 på, som du kan arrangere placeringer af 16 elementer med 3.

Opgave 2. Ud af 15 objekter skal du vælge 10 objekter. På hvor mange måder kan dette gøres?

Opgave 3. Fire hold deltog i konkurrencen. Hvor mange muligheder for at fordele pladser mellem dem er mulige?

Opgave 4. På hvor mange måder kan der dannes en patrulje på tre soldater og en officer, hvis der er 80 soldater og 3 officerer?

Løsning. Du kan vælge en soldat på patrulje

måder, og officerer på måder. Da enhver officer kan gå med hvert hold af soldater, er der kun så mange måder.

Opgave 5. Find , hvis det vides at .

Siden får vi

Ved definition af en kombination følger det, at . At. .

1.3. Konceptet med en tilfældig begivenhed. Typer af begivenheder. Sandsynlighed for hændelse

Enhver handling, fænomen, observation med flere forskellige udfald, realiseret under et givet sæt betingelser, vil blive kaldt prøve.

Resultatet af denne handling eller observation kaldes begivenhed .

Hvis begivenheden givne betingelser kan ske eller ikke, hedder det tilfældig . Når en begivenhed med sikkerhed vil ske, kaldes den pålidelig , og i det tilfælde, hvor det åbenbart ikke kan ske, - umulig.

Begivenhederne kaldes uforenelig , hvis kun én af dem er mulig at dukke op hver gang.

Begivenhederne kaldes samling , hvis forekomsten af en af disse hændelser under givne forhold ikke udelukker forekomsten af en anden under samme test.

Begivenhederne kaldes modsat , hvis de under testbetingelserne, som de eneste resultater, er uforenelige.

Begivenheder er normalt angivet med store bogstaver i det latinske alfabet: A, B, C, D, : .

Et komplet system af hændelser A 1 , A 2 , A 3 , : , A n er et sæt af uforenelige hændelser, hvoraf mindst én er obligatorisk under en given test.

Hvis et komplet system består af to uforenelige hændelser, kaldes sådanne hændelser modsatte og betegnes A og .

Eksempel. Æsken indeholder 30 nummererede bolde. Bestem, hvilke af følgende hændelser der er umulige, pålidelige eller modsatte:

tog en nummereret bold frem (EN);

fik en bold med et lige tal (I);

fik en bold med et ulige tal (MED);

fik en bold uden nummer (D).

Hvem af dem udgør en komplet gruppe?

Løsning . EN- pålidelig begivenhed; D- umulig begivenhed;

I og MED- modsatte begivenheder.

Den komplette gruppe af arrangementer består af EN Og D, V Og MED.

Sandsynligheden for en begivenhed betragtes som et mål for den objektive mulighed for forekomsten af en tilfældig begivenhed.

1.4. Klassisk definition af sandsynlighed

Et tal, der udtrykker målet for den objektive mulighed for, at en begivenhed indtræffer kaldes sandsynlighed denne hændelse og er angivet med symbolet R(A).

Definition. Sandsynlighed for hændelsen EN kaldes forholdet mellem antallet af udfald m gunstige for angrebet af denne begivenhed EN, til nummeret n alle udfald (inkonsekvente, kun mulige og lige mulige), dvs. .

For at finde sandsynligheden for en hændelse er det derfor nødvendigt, efter at have overvejet forskellige udfald af testen, at beregne alle mulige inkonsistente udfald n, vælg antallet af udfald m vi er interesserede i og beregn forholdet m Til n.

Følgende egenskaber følger af denne definition:

Sandsynligheden for enhver test er et ikke-negativt tal, der ikke overstiger én.

Faktisk er antallet m af de påkrævede hændelser inden for . Opdeling af begge dele i n, vi får

2. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én, fordi .

3. Sandsynlighed umulig begivenhed er lig nul fordi .

Opgave 1. I et lotteri på 1000 lodder er der 200 vindende. Én billet udtages tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at denne billet er en vinder?

Løsning. Det samlede antal forskellige udfald er n=1000. Antallet af udfald, der er gunstige for at vinde, er m=200. Ifølge formlen får vi

Opgave 2. I et parti med 18 dele er der 4 defekte. 5 dele udvælges tilfældigt. Find sandsynligheden for, at to af disse 5 dele vil være defekte.

Løsning. Antallet af alle lige mulige uafhængige udfald n lig med antallet af kombinationer af 18 gange 5 dvs.

Lad os tælle tallet m, der favoriserer begivenhed A. Blandt 5 dele, der tages tilfældigt, skal der være 3 gode og 2 defekte. Antallet af måder at vælge to defekte dele på fra 4 eksisterende defekte er lig med antallet af kombinationer af 4 gange 2:

Antallet af måder at vælge tre kvalitetsdele fra 14 tilgængelige kvalitetsdele er lig med

Enhver gruppe af gode dele kan kombineres med enhver gruppe af defekte dele, så det samlede antal kombinationer m beløber sig til

Den krævede sandsynlighed for begivenhed A er lig med forholdet mellem antallet af udfald m, der er gunstige for denne begivenhed, og antallet n af alle lige mulige uafhængige udfald:

Summen af et begrænset antal begivenheder er en begivenhed, der består af forekomsten af mindst én af dem.

Summen af to hændelser er angivet med symbolet A+B og summen n hændelser med symbolet A 1 +A 2 + : +A n.

Sandsynlighedsadditionssætning.

Sandsynligheden for summen af to uforenelige hændelser er lig med summen af sandsynligheden for disse hændelser.

Konsekvens 1. Hvis begivenheden A 1 , A 2 , : ,A n form komplet system, så er summen af sandsynligheden for disse hændelser lig med én.

Konsekvens 2. Summen af sandsynligheden for modsatte hændelser og er lig med én.

Opgave 1. Der er 100 lottokuponer. Det er kendt, at 5 billetter vinder 20.000 rubler hver, 10 billetter vinder 15.000 rubler, 15 billetter vinder 10.000 rubler, 25 billetter vinder 2.000 rubler. og intet til resten. Find sandsynligheden for, at den købte billet vil modtage en gevinst på mindst 10.000 rubler.

Løsning. Lad A, B og C være begivenheder, der består i, at den købte billet modtager en gevinst svarende til henholdsvis 20.000, 15.000 og 10.000 rubler. da begivenhederne A, B og C er uforenelige

Opgave 2. Til ekstramural teknisk skole modtager prøver i matematik fra byer A, B Og MED. Sandsynlighed for at modtage en test fra byen EN lig med 0,6, fra byen I- 0,1. Find sandsynligheden for, at den næste prøve vil komme fra byen MED.

Mange, når de står over for begrebet "sandsynlighedsteori", bliver bange og tænker, at det er noget overvældende, meget kompliceret. Men alt er faktisk ikke så tragisk. I dag vil vi se på det grundlæggende begreb sandsynlighedsteori og lære at løse problemer ved hjælp af specifikke eksempler.

Videnskaben

Hvad studerer en sådan gren af matematik som "sandsynlighedsteori"? Hun noterer mønstre og mængder. Forskere blev først interesseret i dette spørgsmål tilbage i det attende århundrede, da de studerede gambling. Det grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori er en begivenhed. Det er ethvert faktum, der er etableret ved erfaring eller observation. Men hvad er erfaring? Et andet grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori. Det betyder, at dette sæt omstændigheder ikke blev skabt tilfældigt, men med specifikt formål. Med hensyn til observation, her deltager forskeren ikke selv i eksperimentet, men er blot et vidne til disse begivenheder, han påvirker ikke på nogen måde, hvad der sker.

Begivenheder

Vi lærte, at det grundlæggende begreb for sandsynlighedsteori er en begivenhed, men vi overvejede ikke klassifikationen. Alle er opdelt i følgende kategorier:

Pålidelig.
Umulig.
Tilfældig.

Uanset hvilken slags begivenheder de er, observeret eller skabt under oplevelsen, er de alle underlagt denne klassificering. Vi inviterer dig til at stifte bekendtskab med hver type separat.

Pålidelig begivenhed

Dette er en omstændighed, for hvilken der er truffet de nødvendige foranstaltninger. For bedre at forstå essensen er det bedre at give et par eksempler. Fysik, kemi, økonomi og højere matematik. Sandsynlighedsteorien inkluderer dette vigtigt koncept som en pålidelig begivenhed. Her er nogle eksempler:

Vi arbejder og modtager kompensation i form af løn.
Vi bestod eksamenerne godt, bestod konkurrencen, for dette modtager vi en belønning i form af optagelse til uddannelsesinstitution.
Vi har investeret penge i banken, og om nødvendigt får vi dem tilbage.

Sådanne begivenheder er pålidelige. Hvis vi har fuldført alt de nødvendige betingelser, så får vi helt sikkert det forventede resultat.

Umulige begivenheder

Nu overvejer vi elementer af sandsynlighedsteori. Vi foreslår at gå videre til en forklaring på den næste type begivenhed, nemlig den umulige. Til at begynde med, lad os fastsætte det meste vigtig regel- sandsynligheden for en umulig hændelse er nul.

Man kan ikke afvige fra denne formulering, når man løser problemer. For afklaring, her er eksempler på sådanne begivenheder:

Vandet frøs ved en temperatur på plus ti (dette er umuligt).
Manglen på elektricitet påvirker ikke produktionen på nogen måde (lige så umuligt som i det foregående eksempel).

Det er ikke værd at give flere eksempler, da de ovenfor beskrevne meget klart afspejler essensen af denne kategori. En umulig begivenhed vil under ingen omstændigheder forekomme under et eksperiment.

Tilfældige begivenheder

At studere elementerne i sandsynlighedsteori, Særlig opmærksomhed værd at være opmærksom på denne art begivenheder. Det er dem, han studerer denne videnskab. Som et resultat af oplevelsen kan der ske noget eller ikke. Derudover kan testen udføres et ubegrænset antal gange. Levende eksempler kan tjene:

Kast af en mønt er en oplevelse eller test, landing af hoveder er en begivenhed.
At trække en bold op af en pose blindt er en test; at få en rød bold er en begivenhed, og så videre.

Der kan være et ubegrænset antal af sådanne eksempler, men generelt bør essensen være klar. For at opsummere og systematisere den viden, der er opnået om begivenhederne, udleveres en tabel. Sandsynlighedsteori studerer kun den sidste type af alle præsenterede.

Navn	definition
Pålidelig	Begivenheder, der sker med 100 % garanti, hvis visse betingelser er opfyldt.	Optagelse på en uddannelsesinstitution ved god bestået adgangsprøve.
Umulig	Begivenheder, der aldrig vil ske under nogen omstændigheder.	Det sner ved en lufttemperatur på plus tredive grader celsius.
Tilfældig	En hændelse, der kan eller måske ikke forekommer under et eksperiment/test.	Et hit eller miss, når du kaster en basketball ind i en bøjle.

Love

Sandsynlighedsteori er en videnskab, der studerer muligheden for, at en begivenhed indtræffer. Ligesom de andre har den nogle regler. Følgende love for sandsynlighedsteori eksisterer:

Konvergens af sekvenser af stokastiske variable.
Lov om store tal.

Når du beregner muligheden for noget komplekst, kan du bruge et sæt simple hændelser til at opnå et resultat på en nemmere og hurtigere måde. Bemærk, at lovene let kan bevises ved hjælp af visse teoremer. Vi foreslår, at du først gør dig bekendt med den første lov.

Konvergens af sekvenser af stokastiske variable

Bemærk, at der er flere typer konvergens:

Rækkefølgen af tilfældige variable konvergerer i sandsynlighed.
Næsten umuligt.
Gennemsnitlig kvadratkonvergens.
Fordelingskonvergens.

Så lige fra starten er det meget svært at forstå essensen. Her er definitioner, der hjælper dig med at forstå dette emne. Lad os starte med den første visning. Rækkefølgen kaldes konvergent i sandsynlighed, hvis opfyldt næste tilstand: n har en tendens til uendelig, tallet, som sekvensen tenderer til, er større end nul og tæt på én.

Lad os gå videre til næste visning,næsten sikkert. Sekvensen siges at konvergere næsten sikkert til en stokastisk variabel, hvor n tenderer mod uendelig og P tenderer til en værdi tæt på enhed.

Den næste type er middel kvadratisk konvergens. Når du bruger SC-konvergens, studerer du vektor tilfældige processer kommer ned til at studere deres koordinerede tilfældige processer.

Den sidste type er tilbage, lad os se på det kort, så vi kan gå direkte til at løse problemer. Konvergens i distribution har et andet navn - "svag", og vi vil forklare hvorfor senere. Svag konvergens er konvergensen af fordelingsfunktioner på alle kontinuitetspunkter for den begrænsende fordelingsfunktion.

Vi vil helt sikkert holde vores løfte: svag konvergens adskiller sig fra alle ovenstående på det tilfældig værdi er ikke defineret på sandsynlighedsrummet. Dette er muligt, fordi betingelsen udelukkende dannes ved hjælp af distributionsfunktioner.

Lov om store tal

Teoremer af sandsynlighedsteori, såsom:

Chebyshevs ulighed.
Chebyshevs teorem.
Generaliserede Chebyshevs teorem.
Markovs teorem.

Hvis vi betragter alle disse teoremer, så dette spørgsmål kan holde til flere dusin ark. Vores hovedopgave er at anvende sandsynlighedsteori i praksis. Vi foreslår, at du gør dette lige nu. Men før det, lad os se på sandsynlighedsteoriens aksiomer; de vil være de vigtigste assistenter til at løse problemer.

Aksiomer

Vi mødte allerede den første, da vi talte om en umulig begivenhed. Lad os huske: sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul. Vi gav et meget levende og mindeværdigt eksempel: sne faldt ved en lufttemperatur på tredive grader Celsius.

Den anden lyder på følgende måde: en bestemt begivenhed indtræffer med sandsynlighed, lig med én. Nu vil vi vise, hvordan man skriver dette ved hjælp af matematisk sprog: P(B)=1.

Tredje: Tilfældig begivenhed kan ske eller ikke, men muligheden spænder altid fra nul til én. Hvordan tættere værdi til en, jo større chancer; hvis værdien nærmer sig nul, er sandsynligheden meget lav. Lad os skrive dette i matematisk sprog: 0<Р(С)<1.

Lad os overveje det sidste, fjerde aksiom, som lyder sådan: sandsynligheden for summen af to begivenheder er lig med summen af deres sandsynligheder. Vi skriver det i matematisk sprog: P(A+B)=P(A)+P(B).

Sandsynlighedsteoriens aksiomer er de enkleste regler, som ikke er svære at huske. Lad os prøve at løse nogle problemer baseret på den viden, vi allerede har erhvervet.

Lodseddel

Lad os først se på det enkleste eksempel - et lotteri. Forestil dig, at du har købt en lottokupon for held og lykke. Hvad er sandsynligheden for, at du vinder mindst tyve rubler? I alt deltager tusind billetter i omløbet, hvoraf én har en præmie på fem hundrede rubler, ti af dem har hundrede rubler hver, halvtreds har en præmie på tyve rubler, og hundrede har en præmie på fem. Sandsynlighedsproblemer er baseret på at finde muligheden for held. Nu vil vi sammen analysere løsningen på ovenstående opgave.

Hvis vi bruger bogstavet A til at angive en gevinst på fem hundrede rubler, så vil sandsynligheden for at få A være lig med 0,001. Hvordan fik vi det her? Du skal blot dividere antallet af "heldige" billetter med deres samlede antal (i dette tilfælde: 1/1000).

B er en gevinst på hundrede rubler, sandsynligheden vil være 0,01. Nu handlede vi efter samme princip som i den tidligere handling (10/1000)

C - gevinsten er tyve rubler. Vi finder sandsynligheden, den er lig med 0,05.

Vi er ikke interesserede i de resterende billetter, da deres præmiefond er mindre end den, der er angivet i betingelsen. Lad os anvende det fjerde aksiom: Sandsynligheden for at vinde mindst tyve rubler er P(A)+P(B)+P(C). Bogstavet P angiver sandsynligheden for forekomsten af en given begivenhed; vi har allerede fundet dem i tidligere handlinger. Tilbage er blot at lægge de nødvendige data sammen, og svaret vi får er 0,061. Dette nummer vil være svaret på opgavespørgsmålet.

Kortdæk

Problemer i sandsynlighedsteori kan være mere komplekse; lad os for eksempel tage følgende opgave. Foran dig er et spil med seksogtredive kort. Din opgave er at trække to kort i træk uden at blande stakken, det første og andet kort skal være esser, farven er ligegyldig.

Lad os først finde sandsynligheden for, at det første kort bliver et es, for dette dividerer vi fire med seksogtredive. De lagde det til side. Vi tager det andet kort ud, det vil være et es med en sandsynlighed på tre femogtredivedele. Sandsynligheden for den anden begivenhed afhænger af hvilket kort vi trak først, vi spekulerer på, om det var et es eller ej. Det følger heraf, at begivenhed B afhænger af begivenhed A.

Det næste trin er at finde sandsynligheden for samtidig forekomst, det vil sige, at vi multiplicerer A og B. Deres produkt findes som følger: vi multiplicerer sandsynligheden for en begivenhed med den betingede sandsynlighed for en anden, som vi beregner under antagelse af, at den første hændelsen fandt sted, det vil sige, at vi trak et es med det første kort.

For at gøre alt klart, lad os give en betegnelse til et sådant element som begivenheder. Det beregnes under forudsætning af, at hændelse A er indtruffet. Det beregnes som følger: P(B/A).

Lad os fortsætte med at løse vores problem: P(A * B) = P(A) * P(B/A) eller P(A * B) = P(B) * P(A/B). Sandsynligheden er lig med (4/36) * ((3/35)/(4/36). Vi regner ved at afrunde til nærmeste hundrededel. Vi har: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0,09. Sandsynligheden for, at vi trækker to esser i træk er ni hundrededele. Værdien er meget lille, det følger, at sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer, er ekstremt lille.

Glemt nummer

Vi foreslår at analysere flere flere varianter af opgaver, der studeres af sandsynlighedsteori. Du har allerede set eksempler på at løse nogle af dem i denne artikel. Lad os prøve at løse følgende problem: drengen glemte det sidste ciffer i sin vens telefonnummer, men da opkaldet var meget vigtigt, begyndte han at ringe op til alt én efter én . Vi skal beregne sandsynligheden for, at han ikke ringer mere end tre gange. Løsningen på problemet er enklest, hvis reglerne, lovene og aksiomer for sandsynlighedsteori er kendt.

Før du ser på løsningen, så prøv at løse den selv. Vi ved, at det sidste ciffer kan være fra nul til ni, det vil sige ti værdier i alt. Sandsynligheden for at få den rigtige er 1/10.

Dernæst skal vi overveje mulighederne for begivenhedens oprindelse, antag at drengen gættede rigtigt og straks skrev den rigtige, sandsynligheden for en sådan begivenhed er 1/10. Anden mulighed: det første opkald går glip af, og det andet er i mål. Lad os beregne sandsynligheden for en sådan begivenhed: gange 9/10 med 1/9, og som et resultat får vi også 1/10. Den tredje mulighed: det første og andet opkald viste sig at være på den forkerte adresse, kun med det tredje kom drengen derhen, hvor han ville. Vi beregner sandsynligheden for en sådan hændelse: 9/10 ganget med 8/9 og 1/8, hvilket resulterer i 1/10. Vi er ikke interesserede i andre muligheder i henhold til problemets betingelser, så vi skal bare sammenlægge de opnåede resultater, i sidste ende har vi 3/10. Svar: sandsynligheden for, at drengen ikke ringer mere end tre gange, er 0,3.

Kort med tal

Der er ni kort foran dig, på hvert af hvilke der er skrevet et tal fra et til ni, tallene gentages ikke. De blev lagt i en kasse og blandet grundigt. Du skal beregne sandsynligheden for, at

et lige tal vises;
tocifret.

Før vi går videre til løsningen, lad os bestemme, at m er antallet af vellykkede sager, og n er det samlede antal muligheder. Lad os finde sandsynligheden for, at tallet bliver lige. Det vil ikke være svært at beregne, at der er fire lige tal, dette vil være vores m, der er ni mulige muligheder i alt, det vil sige m=9. Så er sandsynligheden 0,44 eller 4/9.

Lad os overveje det andet tilfælde: antallet af muligheder er ni, og der kan slet ikke være nogen succesfulde resultater, det vil sige m er lig med nul. Sandsynligheden for, at det trukne kort indeholder et tocifret tal, er også nul.