Geometrisk definition af vektorproduktet af vektorer. Krydsprodukt - definitioner, egenskaber, formler, eksempler og løsninger

Definition En ordnet samling af (x 1 , x 2 , ... , x n) n reelle tal kaldes n-dimensionel vektor, og tal x i (i = ) - komponenter, eller koordinater,

Eksempel. Hvis f.eks. en bestemt bilfabrik skal producere 50 biler, 100 lastbiler, 10 busser, 50 sæt reservedele til biler og 150 sæt til lastbiler og busser pr. skift, så kan produktionsprogrammet for dette anlæg skrives som en vektor (50, 100, 10, 50, 150), med fem komponenter.

Notation. Vektorer er angivet med fede små bogstaver eller bogstaver med en streg eller pil øverst, f.eks. -en eller. De to vektorer kaldes lige, hvis de har det samme antal komponenter og deres tilsvarende komponenter er ens.

Vektorkomponenter kan ikke byttes, for eksempel (3, 2, 5, 0, 1) og (2, 3, 5, 0, 1) forskellige vektorer.
Operationer på vektorer. Arbejdet x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) med et reelt talλ kaldet en vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Beløbx= (x 1, x 2, ..., x n) og y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) kaldes en vektor x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., xn + + y n).

Vektor rum. N -dimensionelt vektorrum R n er defineret som mængden af ​​alle n-dimensionelle vektorer, for hvilke operationerne multiplikation med reelle tal og addition er defineret.

Økonomisk illustration. Økonomisk illustration af n-dimensionelt vektorrum: plads af varer (gods). Under gods vi vil forstå nogle varer eller tjenester, der sælges på et bestemt tidspunkt på et bestemt sted. Antag, at der er et endeligt antal n af tilgængelige varer; mængderne af hver af dem købt af forbrugeren er karakteriseret ved et sæt varer

x= (x 1, x 2, ..., x n),

hvor x i angiver mængden af ​​den i-te vare købt af forbrugeren. Vi vil antage, at alle varer har egenskaben af ​​vilkårlig opdeling, så enhver ikke-negativ mængde af hver af dem kan købes. Så er alle mulige varesæt vektorer af godsrummet C = ( x= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineær uafhængighed. System e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensionelle vektorer kaldes lineært afhængig, hvis der er sådanne talλ1, λ2, ..., λm , hvoraf mindst én er ikke-nul, således at lighedenλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λm e m = 0; ellers kaldes dette system af vektorer lineært uafhængig, det vil sige, at den angivne lighed kun er mulig i det tilfælde, hvor alle . Den geometriske betydning af den lineære afhængighed af vektorer i R 3, fortolket som rettede segmenter, forklar følgende sætninger.

Sætning 1. Et system bestående af én vektor er lineært afhængigt, hvis og kun hvis denne vektor er nul.

Sætning 2. For at to vektorer kan være lineært afhængige, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at de er kollineære (parallelle).

Sætning 3 . For at tre vektorer kan være lineært afhængige, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at de er koplanære (ligger i samme plan).

Venstre og højre tripler af vektorer. Tredobbelt af ikke-koplanære vektorer a, b, c hedder højre, hvis observatøren fra deres fælles oprindelse omgår enderne af vektorerne a, b, c i den angivne rækkefølge ser ud til at ske med uret. Ellers a, b, c -tilbage tre. Alle højre (eller venstre) tripler af vektorer kaldes det samme orienteret.

Grundlag og koordinater. Trojka e 1, e 2 , e 3 ikke-koplanære vektorer i R 3 kaldes basis, og vektorerne selv e 1, e 2 , e 3 - grundlæggende. Enhver vektor -en kan entydigt udvides til basisvektorer, det vil sige repræsenteret i formen

EN= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

numrene x 1 , x 2 , x 3 i ekspansion (1.1) kaldes koordinater-en i grundlaget e 1, e 2 , e 3 og er udpeget -en(x 1, x 2, x 3).

Ortonormalt grundlag. Hvis vektorerne e 1, e 2 , e 3 er parvis vinkelrette og længden af ​​hver af dem er lig med én, så kaldes basis ortonormale, og koordinaterne x 1 , x 2 , x 3 - rektangulær. Basisvektorerne for en ortonormal basis vil blive betegnet med i, j, k.

Det vil vi antage i rummet R 3 er det rigtige system af kartesiske rektangulære koordinater valgt (0, i, j, k}.

Vektor kunstværk. Vektor kunstværk EN til vektor b kaldet en vektor c, som er bestemt af følgende tre betingelser:

1. Vektorlængde c numerisk lig med arealet af et parallelogram bygget på vektorer -en Og b, dvs.
c= |a||b| synd( -en^b).

2. Vektor c vinkelret på hver af vektorerne -en Og b.

3. Vektorer en, b Og c, taget i den angivne rækkefølge, danner en højre tripel.

Til et krydsprodukt c betegnelsen indføres c =[ab] eller
c = a × b.

Hvis vektorerne -en Og b er kollineære, så synd( a^b) = 0 og [ ab] = 0, især [ aa] = 0. Vektorprodukter af enhedsvektorer: [ ij]=k, [jk] = jeg, [ki]=j.

Hvis vektorerne -en Og b angivet i grundlaget i, j, k koordinater -en(en 1, en 2, en 3), b(b 1, b 2, b 3), derefter

Blandet arbejde. Hvis vektorproduktet af to vektorer EN Og b skalarisk ganget med den tredje vektor c, så kaldes et sådant produkt af tre vektorer blandet arbejde og er angivet med symbolet -en b c.

Hvis vektorerne a, b Og c i grundlaget i, j, k givet af deres koordinater
-en(en 1, en 2, en 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), derefter

.

Det blandede produkt har en simpel geometrisk fortolkning - det er en skalar, der i absolut værdi svarer til volumenet af et parallelepipedum bygget på tre givne vektorer.

Hvis vektorerne danner en ret tripel, så er deres blandede produkt et positivt tal svarende til det angivne volumen; hvis det er en treer a, b, c - venstre altså a b c<0 и V = - a b c, derfor V =|a b c|.

Koordinaterne for de vektorer, der stødes på i problemerne i det første kapitel, antages at være givet i forhold til et ret ortonormalt grundlag. Enhed vektor codirectional med vektor EN, angivet med symbolet EN O. Symbol r=OM angivet med radiusvektoren for punkt M, symbolerne a, AB eller|a|, | AB|moduler af vektorer er angivet EN Og AB.

Eksempel 1.2. Find vinklen mellem vektorerne -en= 2m+4n Og b= m-n, Hvor m Og n- enhedsvektorer og vinkel imellem m Og n lig med 120 o.

Løsning. Vi har: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2(-0,5) = -3; a = ; -en 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, hvilket betyder a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, hvilket betyder b = . Endelig har vi: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Eksempel 1.3.At kende vektorerne AB(-3,-2,6) og B.C.(-2,4,4),beregn længden af ​​højden AD i trekant ABC.

Løsning. Ved at angive arealet af trekanten ABC med S får vi:
S = 1/2 f.Kr. e.Kr. Derefter AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, hvilket betyder vektor A.C. har koordinater
. .

Eksempel 1.4 . To vektorer er givet -en(11,10,2) og b(4,0,3). Find enhedsvektoren c, ortogonalt på vektorer -en Og b og rettet således, at den ordnede tripel af vektorer a, b, c var rigtig.

Løsning.Lad os betegne vektorens koordinater c med hensyn til et givet ret ortonormalt grundlag i form af x, y, z.

Fordi c ⊥ a, c ⊥b, At ca= 0,cb= 0. Ifølge problemets betingelser kræves det, at c = 1 og a b c >0.

Vi har et ligningssystem til at finde x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Fra den første og anden ligning i systemet får vi z = -4/3 x, y = -5/6 x. Ved at indsætte y og z i den tredje ligning har vi: x 2 = 36/125, hvorfra
x =± . Brug af betingelsen a b c > 0, får vi uligheden

Under hensyntagen til udtrykkene for z og y omskriver vi den resulterende ulighed i formen: 625/6 x > 0, hvilket betyder, at x>0. Så x = , y = - , z = - .

Endelig fik jeg fingrene i dette store og længe ventede emne. analytisk geometri. Først lidt om dette afsnit af højere matematik... Sikkert husker du nu et skolegeometrikursus med talrige teoremer, deres beviser, tegninger osv. Hvad skal man skjule, et uelsket og ofte obskurt emne for en betydelig del af eleverne. Analytisk geometri kan mærkeligt nok virke mere interessant og tilgængelig. Hvad betyder adjektivet "analytisk"? To klichéagtige matematiske sætninger dukker straks op: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode er naturligvis forbundet med konstruktion af grafer og tegninger. Analytisk eller metode involverer løsning af problemer hovedsagelig gennem algebraiske operationer. I denne henseende er algoritmen til at løse næsten alle problemer med analytisk geometri enkel og gennemsigtig; ofte er det nok at omhyggeligt anvende de nødvendige formler - og svaret er klar! Nej, selvfølgelig vil vi slet ikke være i stand til at gøre dette uden tegninger, og udover det, for en bedre forståelse af materialet, vil jeg forsøge at citere dem ud over nødvendigheden.

Det nyåbnede undervisningsforløb om geometri foregiver ikke at være teoretisk komplet, det er fokuseret på at løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelæsninger kun inddrage det, der fra mit synspunkt er vigtigt i praksis. Hvis du har brug for mere komplet hjælp til et underafsnit, anbefaler jeg følgende ganske tilgængelige litteratur:

1) En ting, som flere generationer uden spøg er bekendt med: Skole lærebog i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skole-omklædningsbøjle har allerede gennemgået 20 (!) genoptryk, hvilket selvfølgelig ikke er grænsen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur til gymnasiet, du skal bruge første bind. Sjældent stødte opgaver kan falde ud af mit syn, og selvstudiet vil være til uvurderlig hjælp.

Begge bøger kan downloades gratis online. Derudover kan du bruge mit arkiv med færdige løsninger, som kan findes på siden Download eksempler i højere matematik.

Blandt værktøjerne foreslår jeg igen min egen udvikling - softwarepakke i analytisk geometri, hvilket i høj grad vil forenkle livet og spare en masse tid.

Det forudsættes, at læseren er bekendt med grundlæggende geometriske begreber og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallelogram, parallelepipedum, terning mv. Det er tilrådeligt at huske nogle sætninger, i det mindste Pythagoras sætning, hej til gengangere)

Og nu vil vi overveje sekventielt: konceptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler at læse videre den vigtigste artikel Punktprodukt af vektorer, og også Vektor og blandet produkt af vektorer. En lokal opgave - Opdeling af et segment i denne henseende - vil heller ikke være overflødig. Baseret på ovenstående oplysninger kan du mestre ligning af en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, hvilket vil tillade lære at løse geometriske problemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning af et plan i rummet, Ligninger af en linje i rummet, Grundlæggende problemer på en ret linje og et plan, andre sektioner af analytisk geometri. Standardopgaver vil naturligvis blive overvejet undervejs.

Vektor koncept. Gratis vektor

Lad os først gentage skolens definition af en vektor. Vektor hedder instrueret et segment, for hvilket dets begyndelse og slutning er angivet:

I dette tilfælde er begyndelsen af ​​segmentet punktet, slutningen af ​​segmentet er punktet. Selve vektoren er angivet med . Retning er afgørende, hvis du flytter pilen til den anden ende af segmentet, får du en vektor, og det er det allerede helt anden vektor. Det er praktisk at identificere begrebet vektor med bevægelsen af ​​en fysisk krop: du skal være enig, at gå ind af dørene til et institut eller forlade dørene til et institut er helt forskellige ting.

Det er praktisk at overveje individuelle punkter i et fly eller rum som den såkaldte nul vektor. For en sådan vektor falder slutningen og begyndelsen sammen.

!!! Bemærk: Her og videre kan man antage, at vektorerne ligger i samme plan, eller man kan antage, at de er placeret i rummet - essensen af ​​det præsenterede materiale er gældende for både planet og rummet.

Betegnelser: Mange lagde straks mærke til pinden uden en pil i betegnelsen og sagde, der er også en pil øverst! Sandt nok kan du skrive det med en pil: , men det er også muligt den post, som jeg vil bruge i fremtiden. Hvorfor? Tilsyneladende udviklede denne vane sig af praktiske årsager; mine skytter på skolen og universitetet viste sig at være for forskellige i størrelse og pjuskede. I pædagogisk litteratur gider de nogle gange slet ikke kileskriftsskrivning, men fremhæver bogstaverne med fed skrift: , og antyder derved, at dette er en vektor.

Det var stilistik, og nu om måder at skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bogstaver:
og så videre. I dette tilfælde det første bogstav Nødvendigvis angiver vektorens begyndelsespunkt, og det andet bogstav angiver vektorens slutpunkt.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bogstaver:
Især kan vores vektor omdesignes for kortheds skyld med et lille latinsk bogstav.

Længde eller modul en ikke-nul vektor kaldes længden af ​​segmentet. Længden af ​​nulvektoren er nul. Logisk.

Længden af ​​vektoren er angivet med modultegnet: ,

Vi lærer, hvordan man finder længden af ​​en vektor (eller vi gentager den, afhængigt af hvem) lidt senere.

Dette var grundlæggende information om vektorer, som alle skolebørn kender. I analytisk geometri, den såkaldte gratis vektor.

For at sige det enkelt - vektoren kan plottes fra ethvert punkt:

Vi er vant til at kalde sådanne vektorer lige (definitionen af ​​lige vektorer vil blive givet nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de den SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løbet af at løse problemer, kan du "vedhæfte" denne eller den vektor til ethvert punkt i det fly eller det rum, du har brug for. Dette er en meget fed funktion! Forestil dig en vektor med vilkårlig længde og retning - den kan "klones" et uendeligt antal gange og på ethvert punkt i rummet eksisterer den faktisk OVERALT. Der er sådan en studerende, der siger: Enhver underviser giver en helvede til vektoren. Det er trods alt ikke bare et vittigt rim, alt er matematisk korrekt - vektoren kan også vedhæftes der. Men skynd dig ikke at glæde dig, det er eleverne selv, der ofte lider =)

Så, gratis vektor- Det her en masse identiske rettede segmenter. Skoledefinitionen af ​​en vektor, givet i begyndelsen af ​​afsnittet: "Et rettet segment kaldes en vektor..." indebærer bestemt et rettet segment taget fra et givet sæt, som er bundet til et bestemt punkt i planet eller rummet.

Det skal bemærkes, at fra et fysisk synspunkt er begrebet en fri vektor generelt ukorrekt, og vektorens anvendelsespunkt har betydning. Faktisk medfører et direkte slag af samme kraft på næsen eller panden, nok til at udvikle mit dumme eksempel, forskellige konsekvenser. Imidlertid, ufri vektorer findes også i løbet af vyshmat (gå ikke derhen :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet af vektorer

Et skolegeometrikursus dækker en række handlinger og regler med vektorer: addition efter trekantsreglen, addition efter parallelogramreglen, vektordifferensregel, multiplikation af en vektor med et tal, skalarprodukt af vektorer osv. Lad os som udgangspunkt gentage to regler, der er særligt relevante for at løse problemer med analytisk geometri.

Reglen for at tilføje vektorer ved hjælp af trekantsreglen

Overvej to vilkårlige ikke-nul vektorer og:

Du skal finde summen af ​​disse vektorer. På grund af det faktum, at alle vektorer betragtes som frie, vil vi afsætte vektoren fra ende vektor:

Summen af ​​vektorer er vektoren. For en bedre forståelse af reglen er det tilrådeligt at lægge en fysisk betydning ind i den: lad noget krop rejse langs vektoren og derefter langs vektoren. Så er summen af ​​vektorer vektoren af ​​den resulterende sti med begyndelsen ved afgangspunktet og slutningen ved ankomstpunktet. En lignende regel er formuleret for summen af ​​et hvilket som helst antal vektorer. Som de siger, kan kroppen gå sin vej meget magert langs en zigzag, eller måske på autopilot - langs den resulterende vektor af summen.

Forresten, hvis vektoren er udskudt fra startede vektor, så får vi det tilsvarende parallelogram regel tilføjelse af vektorer.

Først om kollinearitet af vektorer. De to vektorer kaldes collineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Groft sagt taler vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem bruges adjektivet "collinear" altid.

Forestil dig to kollineære vektorer. Hvis pilene på disse vektorer er rettet i samme retning, kaldes sådanne vektorer co-instrueret. Hvis pilene peger i forskellige retninger, så vil vektorerne være det modsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet af vektorer skrives med det sædvanlige parallelisme-symbol: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-dirigeret) eller (vektorer er modsat rettet).

Arbejdet en ikke-nul vektor på et tal er en vektor, hvis længde er lig med , og vektorerne og er co-rettet mod og modsat rettet mod.

Reglen for at gange en vektor med et tal er lettere at forstå ved hjælp af et billede:

Lad os se på det mere detaljeret:

1) Retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så er vektoren skifter retning til det modsatte.

2) Længde. Hvis multiplikatoren er indeholdt i eller , så længden af ​​vektoren falder. Så længden af ​​vektoren er halvdelen af ​​længden af ​​vektoren. Hvis multiplikatorens modul er større end én, så længden af ​​vektoren stiger i tide.

3) Bemærk venligst at alle vektorer er kollineære, mens en vektor udtrykkes gennem en anden, f.eks. Det omvendte er også sandt: hvis en vektor kan udtrykkes gennem en anden, så er sådanne vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi gange en vektor med et tal, får vi collinear(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorerne er co-dirigeret. Vektorer og er også co-directed. Enhver vektor i den første gruppe er modsat rettet i forhold til enhver vektor i den anden gruppe.

Hvilke vektorer er lige store?

To vektorer er ens, hvis de er i samme retning og har samme længde. Bemærk, at codirectionality indebærer collinearitet af vektorer. Definitionen ville være unøjagtig (overflødig), hvis vi sagde: "To vektorer er ens, hvis de er collineære, codirectionale og har samme længde."

Fra synspunktet om begrebet en fri vektor er lige vektorer den samme vektor, som diskuteret i det foregående afsnit.

Vektorkoordinater på flyet og i rummet

Det første punkt er at overveje vektorer på planet. Lad os afbilde et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra koordinaternes oprindelse enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelret. Jeg anbefaler, at du langsomt vænner dig til begreberne: i stedet for parallelitet og vinkelrethed bruger vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten af ​​vektorer skrives med det sædvanlige vinkelret symbol, for eksempel: .

De betragtede vektorer kaldes koordinatvektorer eller orts. Disse vektorer dannes basis på overfladen. Hvad et grundlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange; mere detaljeret information kan findes i artiklen Lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer Med enkle ord definerer grundlaget og oprindelsen af ​​koordinater hele systemet - dette er en slags fundament, hvorpå et fuldt og rigt geometrisk liv koger.

Nogle gange kaldes det konstruerede grundlag ortonormale basis af planet: "ortho" - fordi koordinatvektorerne er ortogonale, betyder adjektivet "normaliseret" enhed, dvs. længderne af basisvektorerne er lig med én.

Betegnelse: grundlaget er normalt skrevet i parentes, inden for hvilke i streng rækkefølge basisvektorer er angivet, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omarrangere.

Nogen plan vektor den eneste måde udtrykt som:
, Hvor - tal som kaldes vektor koordinater på dette grundlag. Og selve udtrykket hedder vektor nedbrydningpå grundlag .

Middag serveret:

Lad os starte med det første bogstav i alfabetet: . Tegningen viser tydeligt, at når en vektor dekomponeres til en basis, bruges de netop omtalte:
1) reglen for at gange en vektor med et tal: og ;
2) addition af vektorer efter trekantsreglen:.

Plot nu vektoren mentalt fra et hvilket som helst andet punkt på flyet. Det er helt indlysende, at hans forfald vil "følge ham ubønhørligt." Her er det, vektorens frihed - vektoren "bærer alt med sig selv." Denne egenskab er selvfølgelig sand for enhver vektor. Det er sjovt, at selve basisvektorerne (frie) ikke skal plottes fra oprindelsen; den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre og den anden øverst til højre, og intet vil ændre sig! Sandt nok, du behøver ikke at gøre dette, da læreren også vil vise originalitet og trække dig en "kredit" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøjagtigt reglen for at gange en vektor med et tal, vektoren er codirectional med basisvektoren, vektoren er rettet modsat grundvektoren. For disse vektorer er en af ​​koordinaterne lig nul; du kan omhyggeligt skrive det sådan her:


Og basisvektorerne er i øvrigt sådan her: (faktisk udtrykkes de gennem sig selv).

Og endelig: , . Forresten, hvad er vektorsubtraktion, og hvorfor talte jeg ikke om subtraktionsreglen? Et sted i lineær algebra, jeg kan ikke huske hvor, bemærkede jeg, at subtraktion er et særligt tilfælde af addition. Udvidelserne af vektorerne "de" og "e" skrives således let som en sum: , . Omarranger vilkårene og se på tegningen, hvor godt den gode gamle addition af vektorer efter trekantsreglen fungerer i disse situationer.

Den overvejede nedbrydning af formen nogle gange kaldet vektornedbrydning i ort-systemet(dvs. i et system af enhedsvektorer). Men dette er ikke den eneste måde at skrive en vektor på; følgende mulighed er almindelig:

Eller med et lighedstegn:

Selve basisvektorerne er skrevet som følger: og

Det vil sige, at vektorens koordinater er angivet i parentes. I praktiske problemer bruges alle tre notationsmuligheder.

Jeg tvivlede på, om jeg skulle tale, men jeg siger det alligevel: vektorkoordinater kan ikke omarrangeres. Strengt på førstepladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren, strengt taget på andenpladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren. Faktisk, og er to forskellige vektorer.

Vi fandt ud af koordinaterne på flyet. Lad os nu se på vektorer i tredimensionelt rum, næsten alt er det samme her! Det vil blot tilføje en koordinat mere. Det er svært at lave tredimensionelle tegninger, så jeg begrænser mig til én vektor, som jeg for nemheds skyld sætter til side fra oprindelsen:

Nogen 3D rum vektor den eneste måde ekspandere på ortonormal basis:
, hvor er koordinaterne for vektoren (tallet) i denne basis.

Eksempel fra billedet: . Lad os se, hvordan vektorreglerne fungerer her. Først skal du gange vektoren med et tal: (rød pil), (grøn pil) og (hindbærpil). For det andet er her et eksempel på tilføjelse af flere, i dette tilfælde tre, vektorer: . Sumvektoren begynder ved det indledende udgangspunkt (begyndelsen af ​​vektoren) og slutter ved det endelige ankomstpunkt (enden af ​​vektoren).

Alle vektorer af tredimensionelt rum er naturligvis også frie; prøv mentalt at tilsidesætte vektoren fra ethvert andet punkt, og du vil forstå, at dens nedbrydning "vil forblive med den."

Svarende til den flade sag, foruden at skrive versioner med beslag er meget brugt: enten .

Hvis der mangler en (eller to) koordinatvektorer i udvidelsen, sættes nuller i stedet for. Eksempler:
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive .

Basisvektorerne er skrevet som følger:

Dette er måske al den minimale teoretiske viden, der er nødvendig for at løse problemer med analytisk geometri. Der kan være mange udtryk og definitioner, så jeg anbefaler, at tekander genlæser og forstår denne information igen. Og det vil være nyttigt for enhver læser at henvise til den grundlæggende lektion fra tid til anden for bedre at assimilere materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrydning - disse og andre begreber vil ofte blive brugt i fremtiden. Jeg bemærker, at materialerne på webstedet ikke er nok til at bestå den teoretiske prøve eller kollokvium om geometri, da jeg omhyggeligt krypterer alle teoremer (og uden beviser) - til skade for den videnskabelige præsentationsstil, men et plus for din forståelse af emnet. For at modtage detaljeret teoretisk information, skal du bøje dig for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske del:

De simpleste problemer med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er stærkt tilrådeligt at lære at løse de opgaver, der vil blive overvejet fuldautomatisk, og formlerne lære udenad, du behøver ikke engang at huske det med vilje, de husker det selv =) Dette er meget vigtigt, da andre problemer med analytisk geometri er baseret på de enkleste elementære eksempler, og det vil være irriterende at bruge ekstra tid på at spise bønder . Der er ingen grund til at fastgøre de øverste knapper på din skjorte; mange ting kender du fra skolen.

Præsentationen af ​​materialet vil følge et parallelt forløb - både for flyet og for rummet. Af den grund, at alle formlerne... vil du selv se.

Hvordan finder man en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter i planet og er givet, så har vektoren følgende koordinater:

Hvis der er givet to punkter i rummet, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinaterne for enden af ​​vektoren du skal trække de tilsvarende koordinater fra begyndelsen af ​​vektoren.

Dyrke motion: For de samme punkter skal du nedskrive formlerne for at finde vektorens koordinater. Formler i slutningen af ​​lektionen.

Eksempel 1

Givet to punkter af flyet og . Find vektorkoordinater

Løsning: efter den passende formel:

Alternativt kan følgende indgang bruges:

Æsteter vil afgøre dette:

Personligt er jeg vant til den første version af optagelsen.

Svar:

Ifølge betingelsen var det ikke nødvendigt at konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for at præcisere nogle punkter for dummies, vil jeg ikke være doven:

Du skal helt sikkert forstå forskel mellem punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– det er almindelige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror, ​​at alle ved, hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plads på flyet, og de kan ikke flyttes nogen steder.

Koordinaterne for vektoren– dette er dens udvidelse i henhold til grundlaget, i dette tilfælde. Enhver vektor er gratis, så hvis det er nødvendigt, kan vi nemt flytte den væk fra et andet punkt i planet. Det er interessant, at du for vektorer slet ikke behøver at bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem; du behøver kun en basis, i dette tilfælde en ortonormal basis af planet.

Registreringerne af koordinater for punkter og koordinater af vektorer ser ud til at være ens: , og betydning af koordinater absolut forskellige, og du bør være udmærket klar over denne forskel. Denne forskel gælder naturligvis også for rummet.

Mine damer og herrer, lad os fylde vores hænder:

Eksempel 2

a) Point og gives. Find vektorer og .
b) Der gives point Og . Find vektorer og .
c) Point og gives. Find vektorer og .
d) Der gives point. Find vektorer .

Måske er det nok. Dette er eksempler for dig at bestemme på egen hånd, prøv ikke at forsømme dem, det vil betale sig ;-). Der er ingen grund til at lave tegninger. Løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad er vigtigt ved løsning af analytiske geometriproblemer? Det er vigtigt at være EKSTREMT FORSIGTIG for at undgå at begå den mesterlige "to plus to er lig nul" fejl. Jeg undskylder med det samme, hvis jeg har lavet en fejl et sted =)

Hvordan finder man længden af ​​et segment?

Længden, som allerede nævnt, er angivet med modultegnet.

Hvis to punkter i flyet er givet og , så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Hvis der er givet to punkter i rummet, så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Bemærk: Formlerne forbliver korrekte, hvis de tilsvarende koordinater byttes om: og , men den første mulighed er mere standard

Eksempel 3

Løsning: efter den passende formel:

Svar:

For klarhedens skyld vil jeg lave en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den nogen steder. Hvis du derudover tegner i målestok: 1 enhed. = 1 cm (to notesbogceller), så kan det resulterende svar kontrolleres med en almindelig lineal ved direkte at måle længden af ​​segmentet.

Ja, løsningen er kort, men der er et par vigtigere punkter i den, som jeg gerne vil præcisere:

For det første sætter vi i svaret dimensionen: "enheder". Tilstanden siger ikke HVAD det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor ville en matematisk korrekt løsning være den generelle formulering: "enheder" - forkortet som "enheder."

For det andet, lad os gentage skolematerialet, som ikke kun er nyttigt til den overvejede opgave:

Vær opmærksom på vigtig teknik – fjerner multiplikatoren fra under roden. Som et resultat af beregningerne har vi et resultat, og god matematisk stil involverer at fjerne faktoren fra under roden (hvis det er muligt). Mere detaljeret ser processen sådan ud: . Det ville selvfølgelig ikke være en fejl at lade svaret være som det er – men det ville bestemt være en mangel og et tungtvejende argument for at skændes fra lærerens side.

Her er andre almindelige tilfælde:

Ofte producerer roden et ret stort antal, f.eks. Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Ved hjælp af lommeregneren tjekker vi, om tallet er deleligt med 4: . Ja, det var helt opdelt, således: . Eller måske kan tallet divideres med 4 igen? . Dermed: . Det sidste ciffer i tallet er ulige, så at dividere med 4 for tredje gang vil naturligvis ikke fungere. Lad os prøve at dividere med ni: . Som resultat:
Parat.

Konklusion: hvis vi under roden får et tal, der ikke kan udtrækkes som en helhed, så forsøger vi at fjerne faktoren fra under roden - ved hjælp af en lommeregner tjekker vi om tallet er deleligt med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når man løser forskellige problemer, støder man ofte på rødder; prøv altid at trække faktorer ud under roden for at undgå en lavere karakter og unødvendige problemer med at færdiggøre dine løsninger baseret på lærerens kommentarer.

Lad os også gentage kvadratrødder og andre kræfter:

Reglerne for at arbejde med beføjelser i generel form kan findes i en skolealgebra-lærebog, men jeg tror, ​​ud fra de angivne eksempler, alt eller næsten alt allerede er klart.

Opgave til selvstændig løsning med et segment i rummet:

Eksempel 4

Point og gives. Find længden af ​​segmentet.

Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen.

Hvordan finder man længden af ​​en vektor?

Hvis en plan vektor er givet, beregnes dens længde ved formlen.

Hvis der er givet en rumvektor, beregnes dens længde ved formlen .

Enhedsvektor- Det her vektor, hvis absolutte værdi (modul) er lig med enhed. For at betegne en enhedsvektor vil vi bruge sænket e. Så hvis der er givet en vektor EN, så vil dens enhedsvektor være vektoren EN e. Denne enhedsvektor er rettet i samme retning som vektoren selv EN, og dets modul er lig med én, det vil sige a e = 1.

Naturligvis, EN= a EN e (a - vektor modul EN). Dette følger af reglen, hvorved operationen med at gange en skalar med en vektor udføres.

Enhedsvektorer ofte forbundet med koordinatakserne i et koordinatsystem (især med akserne i et kartesisk koordinatsystem). Retningslinjerne for disse vektorer falder sammen med retningerne af de tilsvarende akser, og deres oprindelse er ofte kombineret med oprindelsen af ​​koordinatsystemet.

Lad mig minde dig om det Kartesisk koordinatsystem i rummet kaldes traditionelt en trio af indbyrdes vinkelrette akser, der skærer hinanden i et punkt kaldet koordinaternes oprindelse. Koordinatakser er normalt betegnet med bogstaverne X, Y, Z og kaldes henholdsvis abscisseaksen, ordinataksen og applikataksen. Descartes selv brugte kun én akse, hvorpå abscisser blev plottet. Fortjeneste ved brug systemerøkser tilhører hans elever. Derfor sætningen Kartesisk koordinatsystem historisk forkert. Det er bedre at tale rektangulær koordinatsystem eller ortogonalt koordinatsystem. Vi vil dog ikke ændre traditioner og i fremtiden vil vi antage, at kartesiske og rektangulære (ortogonale) koordinatsystemer er et og det samme.

Enhedsvektor, rettet langs X-aksen, er angivet jeg, enhedsvektor, rettet langs Y-aksen, er angivet j, A enhedsvektor, rettet langs Z-aksen, er angivet k. Vektorer jeg, j, k hedder orts(Fig. 12, venstre), de har enkelte moduler, dvs
i = 1, j = 1, k = 1.

Økser og enhedsvektorer rektangulært koordinatsystem i nogle tilfælde har de forskellige navne og betegnelser. Abscisseaksen X kan således kaldes tangentaksen, og dens enhedsvektor betegnes τ (græsk lille bogstav tau), ordinataksen er normalaksen, dens enhedsvektor er angivet n, den anvendte akse er den binormale akse, dens enhedsvektor er angivet b. Hvorfor ændre navne, hvis essensen forbliver den samme?

Faktum er, at for eksempel i mekanik, når man studerer kroppens bevægelse, bruges det rektangulære koordinatsystem meget ofte. Så hvis selve koordinatsystemet er stationært, og ændringen i koordinaterne for et bevægende objekt spores i dette stationære system, så er akserne normalt betegnet X, Y, Z og deres enhedsvektorer henholdsvis jeg, j, k.

Men ofte, når et objekt bevæger sig langs en form for krumlinjet bane (for eksempel i en cirkel), er det mere bekvemt at overveje mekaniske processer i koordinatsystemet, der bevæger sig med dette objekt. Det er for et sådant bevægeligt koordinatsystem, at andre navne på akser og deres enhedsvektorer bruges. Det er bare sådan det er. I dette tilfælde er X-aksen rettet tangentielt til banen på det punkt, hvor dette objekt aktuelt er placeret. Og så kaldes denne akse ikke længere X-aksen, men tangentaksen, og dens enhedsvektor er ikke længere betegnet jeg, A τ . Y-aksen er rettet langs kurvens krumningsradius (i tilfælde af bevægelse i en cirkel - til midten af ​​cirklen). Og da radius er vinkelret på tangenten, kaldes aksen normalaksen (vinkelret og normal er det samme). Enhedsvektoren for denne akse er ikke længere angivet j, A n. Den tredje akse (tidligere Z) er vinkelret på de to foregående. Dette er en binormal med en ort b(Fig. 12, højre). Af den måde, i dette tilfælde sådan rektangulært koordinatsystem ofte omtalt som "naturlig" eller naturlig.

7.1. Definition af krydsprodukt

Tre ikke-koplanære vektorer a, b og c, taget i den angivne rækkefølge, danner en højrehåndet triplet, hvis den korteste drejning fra den første vektor a til den anden vektor b fra slutningen af ​​den tredje vektor c ses til være mod uret, og en venstrehåndet triplet, hvis med uret (se fig. 16).

Vektorproduktet af vektor a og vektor b kaldes vektor c, som:

1. Vinkelret på vektorerne a og b, dvs. c ^ a og c ^ b;

2. Har en længde numerisk lig med arealet af et parallelogram konstrueret på vektorerne a ogb som på siderne (se fig. 17), dvs.

3. Vektorerne a, b og c danner en højrehåndet tripel.

Krydsproduktet betegnes a x b eller [a,b]. Følgende relationer mellem enhedsvektorerne i følger direkte af definitionen af ​​vektorproduktet, j Og k(se fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Lad os for eksempel bevise det i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, men | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorerne i, j og k danner en ret tripel (se fig. 16).

7.2. Egenskaber ved et krydsprodukt

1. Ved omarrangering af faktorerne skifter vektorproduktet fortegn, dvs. og xb =(b xa) (se fig. 19).

Vektorerne a xb og b xa er kollineære, har de samme moduler (arealet af parallelogrammet forbliver uændret), men er modsat rettet (tripler a, b, a xb og a, b, b x a med modsat orientering). Det er axb = -(b xa).

2. Vektorproduktet har en kombinerende egenskab med hensyn til skalarfaktoren, dvs. l (a xb) = (la) x b = a x (lb).

Lad l >0. Vektor l (a xb) er vinkelret på vektorerne a og b. Vektor ( løkse b er også vinkelret på vektorerne a og b(vektorer a, l men ligger i samme plan). Det betyder, at vektorerne l(a xb) og ( løkse b collineær. Det er indlysende, at deres retninger falder sammen. De har samme længde:

Derfor l(a xb)= l en xb. Det er bevist på lignende måde for l<0.

3. To ikke-nul vektorer a og b er kollineære, hvis og kun hvis deres vektorprodukt er lig med nulvektoren, dvs. a ||b<=>og xb = 0.

Især i *i =j *j =k *k =0.

4. Vektorproduktet har fordelingsegenskaben:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Vi vil acceptere uden bevis.

7.3. At udtrykke krydsproduktet i form af koordinater

Vi vil bruge krydsprodukttabellen af ​​vektorer i, j og k:

hvis retningen af ​​den korteste vej fra den første vektor til den anden falder sammen med pilens retning, så er produktet lig med den tredje vektor; hvis den ikke falder sammen, tages den tredje vektor med et minustegn.

Lad to vektorer a =a x i +a y være givet j+a z k og b = b x jeg+b y j+b z k. Lad os finde vektorproduktet af disse vektorer ved at gange dem som polynomier (i henhold til vektorproduktets egenskaber):

Den resulterende formel kan skrives endnu mere kort:

da højre side af lighed (7.1) svarer til udvidelsen af ​​tredjeordens determinant med hensyn til elementerne i første række.Lighed (7.2) er let at huske.

7.4. Nogle anvendelser af krydsprodukt

Etablering af kollinearitet af vektorer

Find arealet af et parallelogram og en trekant

Ifølge definitionen af ​​vektorproduktet af vektorer EN og b |a xb | =|a | * |b |sin g, dvs. S-par = |a x b |. Og derfor D S =1/2|a x b |.

Bestemmelse af kraftmomentet omkring et punkt

Lad en kraft påføres ved punkt A F =AB Giv slip OM- et eller andet punkt i rummet (se fig. 20).

Det ved man fra fysikken kraftmoment F i forhold til punktet OM kaldet en vektor M, som går gennem punktet OM Og:

1) vinkelret på det plan, der går gennem punkterne O, A, B;

2) numerisk lig med produktet af kraft pr. arm

3) danner en ret tripel med vektorerne OA og A B.

Derfor er M = OA x F.

Finde lineær rotationshastighed

Fart v punkt M af et stift legeme, der roterer med vinkelhastighed w omkring en fast akse, bestemmes af Eulers formel v =w xr, hvor r =OM, hvor O er et eller andet fast punkt på aksen (se fig. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Før vi giver begrebet et vektorprodukt, lad os vende os til spørgsmålet om orienteringen af ​​en ordnet tripel af vektorer a →, b →, c → i tredimensionelt rum.

Til at begynde med, lad os tilsidesætte vektorerne a → , b → , c → fra et punkt. Orienteringen af ​​triplen a → , b → , c → kan være højre eller venstre, afhængigt af retningen af ​​vektoren c → selv. Typen af ​​tripel a → , b → , c → vil blive bestemt ud fra den retning, hvori den korteste drejning foretages fra vektor a → til b → fra enden af ​​vektor c → .

Hvis den korteste drejning udføres mod uret, kaldes trippelen af ​​vektorer a → , b → , c → højre, hvis med uret – venstre.

Tag derefter to ikke-kollineære vektorer a → og b →. Lad os så plotte vektorerne A B → = a → og A C → = b → fra punkt A. Lad os konstruere en vektor A D → = c →, som samtidigt er vinkelret på både A B → og A C →. Når vi konstruerer selve vektoren A D → = c →, kan vi således gøre to ting, hvilket giver den enten én retning eller den modsatte (se illustration).

En ordnet tripel af vektorer a → , b → , c → kan, som vi fandt ud af, være højre eller venstre afhængig af vektorens retning.

Fra ovenstående kan vi introducere definitionen af ​​et vektorprodukt. Denne definition er givet for to vektorer defineret i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum.

Definition 1

Vektorproduktet af to vektorer a → og b → vi vil kalde en sådan vektor defineret i et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum, således at:

• hvis vektorerne a → og b → er kollineære, vil den være nul;
• den vil være vinkelret på både vektor a →​​​og vektor b → dvs. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• dens længde bestemmes af formlen: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• trippelen af ​​vektorer a → , b → , c → har samme orientering som det givne koordinatsystem.

Vektorproduktet af vektorerne a → og b → har følgende notation: a → × b →.

Koordinater for vektorproduktet

Da enhver vektor har bestemte koordinater i koordinatsystemet, kan vi introducere en anden definition af et vektorprodukt, som vil tillade os at finde dens koordinater ved hjælp af de givne koordinater for vektorerne.

Definition 2

I et rektangulært koordinatsystem af tredimensionelt rum vektorprodukt af to vektorer a → = (a x ; a y ; a z) og b → = (b x ; b y ; b z) kaldes en vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , hvor i → , j → , k → er koordinatvektorer.

Vektorproduktet kan repræsenteres som determinanten af ​​en tredjeordens kvadratisk matrix, hvor den første række indeholder vektorvektorerne i → , j → , k → , den anden række indeholder koordinaterne for vektoren a → , og den tredje række indeholder koordinaterne for vektoren b → i et givet rektangulært koordinatsystem, dette er determinanten af ​​matricen ser sådan ud: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Udvider denne determinant til elementerne i den første række, opnår vi ligheden: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a = y a y b x b → → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Egenskaber ved et krydsprodukt

Det er kendt, at vektorproduktet i koordinater er repræsenteret som determinanten af ​​matricen c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, derefter på basis af egenskaber af matrixdeterminanten følgende vises egenskaber for et vektorprodukt:

1. antikommutativitet a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitet a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → eller a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associativitet λ a → × b → = λ a → × b → eller a → × (λ b →) = λ a → × b →, hvor λ er et vilkårligt reelt tal.

Disse egenskaber har simple beviser.

Som et eksempel kan vi bevise den antikommutative egenskab af et vektorprodukt.

Bevis på antikommutativitet

Per definition, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z og b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis to rækker af matricen byttes om, så bør værdien af ​​matricens determinant ændre sig til det modsatte, derfor a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , hvilket og beviser, at vektorproduktet er antikommutativt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger

I de fleste tilfælde er der tre typer problemer.

I opgaver af den første type er længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem normalt angivet, og du skal finde længden af ​​vektorproduktet. I dette tilfælde skal du bruge følgende formel c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Eksempel 1

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne a → og b → hvis du kender a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Løsning

Ved at bestemme længden af ​​vektorproduktet af vektorerne a → og b → løser vi dette problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Svar: 15 2 2 .

Problemer af den anden type har en forbindelse med vektorernes koordinater, i dem vektorproduktet, dets længde osv. søges gennem de kendte koordinater for givne vektorer a → = (a x; a y; a z) Og b → = (b x ; b y ; b z) .

Til denne type problemer kan du løse en masse opgavemuligheder. For eksempel kan ikke koordinaterne for vektorerne a → og b → specificeres, men deres udvidelser til koordinatvektorer af formen b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → og c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, eller vektorerne a → og b → kan specificeres ved koordinaterne for deres start og slutpunkter.

Overvej følgende eksempler.

Eksempel 2

I et rektangulært koordinatsystem er der givet to vektorer: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Find deres krydsprodukt.

Løsning

Ved den anden definition finder vi vektorproduktet af to vektorer i givne koordinater: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Hvis vi skriver vektorproduktet gennem matricens determinant, så ser løsningen til dette eksempel sådan ud: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Svar: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Eksempel 3

Find længden af ​​vektorproduktet af vektorerne i → - j → og i → + j → + k →, hvor i →, j →, k → er enhedsvektorerne for det rektangulære kartesiske koordinatsystem.

Løsning

Lad os først finde koordinaterne for et givet vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → i et givet rektangulært koordinatsystem.

Det er kendt, at vektorerne i → - j → og i → + j → + k → har henholdsvis koordinater (1; - 1; 0) og (1; 1; 1). Lad os finde længden af ​​vektorproduktet ved hjælp af determinanten af ​​matricen, så har vi i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Derfor har vektorproduktet i → - j → × i → + j → + k → koordinater (- 1 ; - 1 ; 2) i det givne koordinatsystem.

Vi finder længden af ​​vektorproduktet ved hjælp af formlen (se afsnittet om at finde længden af ​​en vektor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Svar: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

Eksempel 4

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinaterne for tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) givet. Find en vektor vinkelret på A B → og A C → på samme tid.

Løsning

Vektorerne A B → og A C → har følgende koordinater (- 1 ; 2 ; 2) henholdsvis (0 ; 4 ; 1). Efter at have fundet vektorproduktet af vektorerne A B → og A C →, er det indlysende, at det er en vinkelret vektor per definition på både A B → og A C →, det vil sige, at det er en løsning på vores problem. Lad os finde det A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Svar: - 6 i → + j → - 4 k → . - en af ​​de vinkelrette vektorer.

Problemer af den tredje type er fokuseret på at bruge egenskaberne for vektorproduktet af vektorer. Efter at have ansøgt hvilken, får vi en løsning på det givne problem.

Eksempel 5

Vektorerne a → og b → er vinkelrette og deres længder er henholdsvis 3 og 4. Find længden af ​​vektorproduktet 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Løsning

Ved den fordelende egenskab for et vektorprodukt kan vi skrive 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ved egenskaben associativitet tager vi de numeriske koefficienter ud af tegnet for vektorprodukterne i det sidste udtryk: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorprodukterne a → × a → og b → × b → er lig med 0, da a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 og b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, derefter 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Af vektorproduktets antikommutativitet følger - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Ved hjælp af egenskaberne for vektorproduktet opnår vi ligheden 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ved betingelse er vektorerne a → og b → vinkelrette, det vil sige, at vinklen mellem dem er lig med π 2. Nu er der kun tilbage at erstatte de fundne værdier i de passende formler: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Svar: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Længden af ​​vektorproduktets vektorprodukt er per definition lig med a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Da det allerede er kendt (fra skoleforløbet), at arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens to sider ganget med sinus af vinklen mellem disse sider. Følgelig er længden af ​​vektorproduktet lig med arealet af parallelogrammet - en fordoblet trekant, nemlig produktet af siderne i form af vektorerne a → og b →, fastsat fra et punkt, ved sinus af vinklen mellem dem sin ∠ a →, b →.

Dette er den geometriske betydning af et vektorprodukt.

Fysisk betydning af vektorproduktet

I mekanik, en af ​​fysikkens grene, kan du takket være vektorproduktet bestemme momentet af en kraft i forhold til et punkt i rummet.

Definition 3

Ved kraftmomentet F → påført punkt B, i forhold til punkt A, vil vi forstå følgende vektorprodukt A B → × F →.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter