Lad os forstå, hvad en cirkel og en cirkel er. Formel for areal af en cirkel og omkreds.
Hver dag støder vi på mange genstande, der er formet som en cirkel eller tværtimod en cirkel. Nogle gange opstår spørgsmålet, hvad en cirkel er, og hvordan den adskiller sig fra en cirkel. Selvfølgelig har vi alle taget geometritimer, men nogle gange skader det ikke at opfriske din viden med nogle meget enkle forklaringer.
Hvad er omkredsen og arealet af en cirkel: definition
Så en cirkel er en lukket buet linje, der begrænser eller tværtimod danner en cirkel. En forudsætning for en cirkel er, at den har et centrum og alle punkter er lige langt fra den. Enkelt sagt er en cirkel en gymnastikring (eller som det ofte kaldes en hulahopring) på en flad overflade.
Omkredsen af en cirkel er den samlede længde af selve den kurve, der danner cirklen. Som det er kendt, uanset størrelsen af cirklen, er forholdet mellem dens diameter og længde lig med tallet π = 3,141592653589793238462643.
Det følger heraf, at π=L/D, hvor L er omkredsen og D er cirklens diameter.
Hvis du kender diameteren, kan længden findes ved hjælp af en simpel formel: L= π* D
Hvis radius er kendt: L=2 πR
Vi har fundet ud af, hvad en cirkel er og kan gå videre til definitionen af en cirkel.
En cirkel er en geometrisk figur, der er omgivet af en cirkel. Eller en cirkel er en figur, hvis grænse består af et stort antal punkter lige langt fra midten af figuren. Hele området, der er inde i en cirkel, inklusive dens centrum, kaldes en cirkel.
Det er værd at bemærke, at cirklen og cirklen, der er placeret i den, har samme radius og diameter. Og diameteren er til gengæld dobbelt så stor som radius.
En cirkel har et areal på et plan, som kan findes ved hjælp af en simpel formel:
Hvor S er arealet af cirklen, og R er cirklens radius.
Hvordan adskiller en cirkel sig fra en cirkel: forklaring
Den største forskel mellem en cirkel og en cirkel er, at en cirkel er en geometrisk figur, mens en cirkel er en lukket kurve. Bemærk også forskellene mellem en cirkel og en cirkel:
- En cirkel er en lukket linje, og en cirkel er området inden for den cirkel;
- En cirkel er en buet linje på et plan, og en cirkel er et rum, der er lukket ind i en ring af en cirkel;
- Ligheder mellem cirkel og cirkel: radius og diameter;
- Cirklen og omkredsen har et enkelt centrum;
- Hvis rummet inde i cirklen er skraveret, bliver det til en cirkel;
- En cirkel har en længde, men en cirkel har ikke, og omvendt har en cirkel et areal, hvilket en cirkel ikke har.
Cirkel og omkreds: eksempler, fotos
For klarhedens skyld foreslår vi at se på et foto, der viser en cirkel til venstre og en cirkel til højre.
Formel for omkreds og areal af en cirkel: sammenligning
Formel for omkreds L=2 πR
Formel for arealet af en cirkel S= πR²
Bemærk venligst, at begge formler indeholder radius og tallet π. Det anbefales at huske disse formler, da de er de enkleste og helt sikkert vil være nyttige i hverdagen og på arbejdet.
Arealet af en cirkel efter omkreds: formel
S=π(L/2π)=L²/4π, hvor S er arealet af cirklen, L er omkredsen.
Video: Hvad er en cirkel, omkreds og radius
En cirkel er en buet lukket linje på et plan, hvis alle punkter er i samme afstand fra et punkt; dette punkt kaldes cirklens centrum.
Den del af planet, der er afgrænset af en cirkel, kaldes en cirkel.
Et lige linjestykke, der forbinder et punkt på en cirkel med dets centrum, kaldes en radius(fig. 84).
Da alle punkter i cirklen er i samme afstand fra centrum, så er alle radier i den samme cirkel lig med hinanden. Radius er normalt angivet med bogstavet R eller r.
Et punkt taget inde i en cirkel er placeret fra dets centrum i en afstand mindre end radius. Dette er let at verificere, hvis du tegner en radius gennem dette punkt (fig. 85).
Et punkt taget uden for cirklen er placeret fra dets centrum i en afstand større end radius. Dette kan nemt verificeres ved at forbinde dette punkt med cirklens centrum (fig. 85).
Et lige linjestykke, der forbinder to punkter på en cirkel, kaldes en korde.
Korden, der passerer gennem midten, kaldes diameteren(fig. 84). Diameteren er normalt angivet med bogstavet D. Diameteren er lig med to radier:
Da alle radierne i den samme cirkel er lig med hinanden, så er alle diametrene af en given cirkel lig med hinanden.
Sætning. En korde, der ikke passerer gennem midten af en cirkel, er mindre end diameteren tegnet i den samme cirkel.
Faktisk, hvis vi tegner en korde, for eksempel AB, og forbinder dens ender med midten O (fig. 86), vil vi se, at korden AB er mindre end den stiplede linje AO+OB, dvs. AB r, og siden 2 r= D, derefter AB
Hvis cirklen bøjes langs diameteren (fig. 87), vil begge dele af cirklen og cirklen flugte. Diameteren deler cirklen og omkredsen i to lige store dele.
To cirkler (to cirkler) kaldes ens, hvis de kan lægges oven på hinanden, så de falder sammen.
Derfor er to cirkler (to cirkler) med lige store radier ens.
2. Cirkelbue.
En del af en cirkel kaldes en bue.
Ordet "bue" erstattes nogle gange med tegnet \(\breve( )\). En bue er betegnet med to eller tre bogstaver, hvoraf to er placeret i enderne af buen, og den tredje på et tidspunkt på buen. På tegning 88 er to buer angivet: \(\breve(ACB)\) og \(\breve(ADB)\).
Når en bue er mindre end en halvcirkel, er den normalt angivet med to bogstaver. Således kan bue ADB betegnes \(\breve(AB)\) (fig. 88). En akkord, der forbinder enderne af en bue, siges at underspænde buen.
Hvis vi flytter buen AC (fig. 89, a), så den glider langs den givne cirkel, og hvis den samtidig falder sammen med buen MN, så er \(\breve(AC)\) = \(\breve) (NM)\).
På tegning 89, b, er buer AC og AB ikke ens med hinanden. Begge buer begynder ved punkt A, men den ene bue \(\breve(AB)\) er kun en del af den anden bue \(\breve(AC)\).
Derfor \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)
Konstruer en cirkel ved hjælp af tre punkter
Opgave. Tegn en cirkel gennem tre punkter, der ikke ligger på samme linje.
Lad os få tre punkter A, B og C, der ikke ligger på samme rette linje (fig. 311).
Lad os forbinde disse punkter med segmenterne AB og BC. For at finde punkter lige langt fra punkterne A og B skal du dele segmentet AB i to og tegne en linje vinkelret på AB gennem midten (punkt M). Hvert punkt i denne vinkelret er lige langt fra punkterne A og B.
For at finde punkter, der er lige langt fra punkterne B og C, deler vi segmentet BC i to og trækker en linje vinkelret på BC gennem dets midte (punkt N). Hvert punkt i denne vinkelret er lige langt fra punkt B og C.
Punkt O i skæringspunktet mellem disse perpendikulære vil være i samme afstand fra disse punkter A, B og C (AO = BO = CO). Hvis vi tager punktet O som centrum af en cirkel, med en radius lig med AO, tegner en cirkel, så vil den passere gennem alle givne punkter A, B og C.
Punkt O er det eneste punkt, der kan tjene som centrum for en cirkel, der går gennem tre punkter A, B og C, der ikke ligger på samme linje, da to vinkelrette på segmenterne AB og BC kun kan skære hinanden i ét punkt. Det betyder, at problemet har en unik løsning.
Bemærk. Hvis tre punkter A, B og C ligger på den samme rette linie, vil problemet ikke have en løsning, da vinkelrette på segmenterne AB og BC vil være parallelle, og der vil ikke være noget punkt lige langt fra punkterne A, B, C, altså ... et punkt, der kunne tjene som centrum for den ønskede cirkel.
Hvis vi forbinder punkterne A og C med et segment og forbinder midten af dette segment (punkt K) med midten af cirklen O, så vil OK være vinkelret på AC (Fig. 311), da AOC i den ligebenede trekant er OK. medianen, derfor OK⊥AC.
Følge. Tre vinkelrette sider på siderne af en trekant tegnet gennem deres midtpunkter skærer hinanden i et punkt.
Demo materiale: kompas, materiale til eksperiment: runde genstande og reb (til hver elev) og linealer; cirkelmodel, farveblyanter.
Mål: At studere begrebet "cirkel" og dets elementer, etablere forbindelser mellem dem; introduktion af nye vilkår; udvikling af evnen til at foretage observationer og drage konklusioner ved hjælp af eksperimentelle data; fremme kognitiv interesse for matematik.
Under timerne
I. Organisatorisk øjeblik
Vær hilset. At sætte et mål.
II. Verbal optælling
III. Nyt materiale
Blandt alle slags flade figurer skiller to hoved sig ud: trekanten og cirklen. Disse tal har været kendt for dig siden den tidlige barndom. Hvordan definerer man en trekant? Gennem segmenter! Hvordan kan vi bestemme, hvad en cirkel er? Denne linje bøjer trods alt på hvert punkt! Den berømte matematiker Grathendieck, der mindede om sine skoleår, bemærkede, at han blev interesseret i matematik efter at have lært definitionen af en cirkel.
Lad os tegne en cirkel ved hjælp af en geometrisk enhed - kompas. Konstruktion af en cirkel med et demonstrationskompas på tavlen:
- markere et punkt på flyet;
- Vi justerer kompassets ben med spidsen med det markerede punkt, og roterer benet med pennen omkring dette punkt.
Resultatet er en geometrisk figur - cirkel.
(Dias nr. 1)
Så hvad er en cirkel?
Definition. Omkreds - er en lukket buet linje, hvis alle punkter er i samme afstand fra et givet punkt på planet, kaldet centrum cirkler.
(Dias nr. 2)
Hvor mange dele deler et fly en cirkel i?
Punkt O- centrum cirkler.
ELLER - radius cirkel (dette er et segment, der forbinder midten af cirklen med ethvert punkt på den). På latin radius- hjuleger.
AB – akkord cirkel (dette er et segment, der forbinder to vilkårlige punkter på en cirkel).
DC – diameter cirkel (dette er en akkord, der går gennem midten af cirklen). Diameter kommer fra det græske "diameter".
DR– bue cirkel (dette er en del af en cirkel afgrænset af to punkter).
Hvor mange radier og diametre kan tegnes i en cirkel?
Den del af flyet inde i cirklen og selve cirklen danner en cirkel.
Definition. Cirkel - Dette er den del af planet, der er afgrænset af en cirkel. Afstanden fra ethvert punkt på cirklen til cirklens centrum overstiger ikke afstanden fra cirklens centrum til noget punkt på cirklen.
Hvordan adskiller en cirkel og en cirkel sig fra hinanden, og hvad har de til fælles?
Hvordan er længderne af radius (r) og diameter (d) af en cirkel forbundet med hinanden?
d = 2 * r (d– diameter længde; r – radius længde)
Hvordan hænger længderne af en diameter og enhver akkord sammen?
Diameter er den største af akkorderne i en cirkel!
Cirklen er en forbløffende harmonisk figur; de gamle grækere betragtede den som den mest perfekte, da cirklen er den eneste kurve, der kan "glide af sig selv" og rotere rundt om midten. En cirkels hovedegenskab besvarer spørgsmålene, hvorfor kompasser bruges til at tegne den, og hvorfor hjul er lavet runde og ikke firkantede eller trekantede. Forresten om hjulet. Dette er en af menneskehedens største opfindelser. Det viser sig, at det ikke var så let at komme op med hjulet, som det kunne se ud. Når alt kommer til alt, kendte selv aztekerne, der boede i Mexico, ikke hjulet før næsten det 16. århundrede.
Cirklen kan tegnes på ternet papir uden kompas, altså i hånden. Sandt nok viser cirklen sig at have en vis størrelse. (Lærer viser på den ternede tavle)
Reglen for at afbilde en sådan cirkel er skrevet som 3-1, 1-1, 1-3.
Tegn en fjerdedel af en sådan cirkel i hånden.
Hvor mange celler er radius af denne cirkel? De siger, at den store tyske kunstner Albrecht Dürer kunne tegne en cirkel så nøjagtigt med en bevægelse af sin hånd (uden regler), at en efterfølgende kontrol med et kompas (midten blev angivet af kunstneren) ikke viste nogen afvigelser.
Laboratoriearbejde
Du ved allerede, hvordan man måler længden af et segment, find omkredsen af polygoner (trekant, firkant, rektangel). Hvordan måler man længden af en cirkel, hvis selve cirklen er en buet linje, og måleenheden for længde er et segment?
Der er flere måder at måle omkreds på.
Sporet fra cirklen (en omdrejning) på en lige linje.
Læreren tegner en ret linje på tavlen, markerer et punkt på den og på cirkelmodellens grænse. Kombinerer dem, og ruller derefter glat cirklen i en lige linje indtil det markerede punkt EN på en cirkel vil ikke være på en lige linje i et punkt I. Linjestykke AB vil så være lig med omkredsen.
Leonardo da Vinci: "Bevægelsen af vogne har altid vist os, hvordan man udretter en cirkels omkreds."
Opgave til elever:
a) tegne en cirkel ved at kredse om bunden af en rund genstand;
b) pak bunden af objektet med tråd (en gang), så enden af tråden falder sammen med begyndelsen på samme punkt på cirklen;
c) ret denne tråd til et segment og mål dens længde ved hjælp af en lineal, dette vil være omkredsen.
Læreren er interesseret i flere elevers måleresultater.
Disse metoder til direkte måling af omkredsen er imidlertid ubelejlige og giver grove resultater. Derfor begyndte de siden oldtiden at lede efter mere avancerede måder at måle omkreds på. Under måleprocessen bemærkede vi, at der er et vist forhold mellem længden af en cirkel og længden af dens diameter.
d) Mål diameteren af bunden af objektet (den største af akkorderne i cirklen);
e) find forholdet C:d (nøjagtig til tiendedele).
Spørg flere elever om resultaterne af beregninger.
Mange videnskabsmænd og matematikere forsøgte at bevise, at dette forhold er et konstant tal, uafhængigt af størrelsen af cirklen. Den antikke græske matematiker Archimedes var den første til at gøre dette. Han fandt en ret præcis betydning for dette forhold.
Dette forhold begyndte at blive betegnet med et græsk bogstav (læs "pi") - det første bogstav i det græske ord "periferi" er en cirkel.
C - omkreds;
d – diameter længde.
Historisk information om tallet π:
Archimedes, der boede i Syracusa (Sicilien) fra 287 til 212 f.Kr., fandt betydningen uden mål, blot ved at ræsonnere
Faktisk kan tallet π ikke udtrykkes som en nøjagtig brøk. 1500-tallets matematiker Ludolf havde tålmodighed til at beregne det med 35 decimaler og testamenterede denne værdi af π til at blive udskåret på hans gravmonument. I 1946-1947 to videnskabsmænd beregnede uafhængigt de 808 decimaler af pi. Nu er der fundet mere end en milliard cifre af tallet π på computere.
Den omtrentlige værdi af π, nøjagtig med fem decimaler, kan huskes ved hjælp af følgende linje (baseret på antallet af bogstaver i ordet):
π ≈ 3,14159 – "Jeg ved og husker dette perfekt."
Introduktion til omkredsformlen
Når man ved, at C:d = π, hvad bliver længden af cirklen C?
(Dias nr. 3) C = πd C = 2πr
Hvordan opstod den anden formel?
Læser: omkreds er lig med produktet af tallet π og dets diameter (eller to gange produktet af tallet π og dets radius).
Arealet af en cirkel er lig med produktet af tallet π og kvadratet af radius.
S= πr 2
IV. Problemløsning
№1. Find længden af en cirkel, hvis radius er 24 cm. Afrund tallet π til nærmeste hundrededel.
Løsning:π ≈ 3,14.
Hvis r = 24 cm, så er C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72 (cm).
Svar: omkreds 150,72 cm.
nr. 2 (mundtligt): Hvordan finder man længden af en bue lig med en halvcirkel?
Opgave: Hvis du vikler en ledning rundt om kloden langs ækvator og derefter tilføjer 1 meter til dens længde, vil en mus så kunne glide mellem ledningen og jorden?
Løsning: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x) 
Ikke kun en mus, men også en stor kat vil glide ind i et sådant hul. Og det ser ud til, hvad betyder 1 m sammenlignet med 40 millioner meter af jordens ækvator?
V. Konklusion
- Hvilke hovedpunkter skal du være opmærksom på, når du konstruerer en cirkel?
- Hvilke dele af lektionen var mest interessante for dig?
- Hvad nyt har du lært i denne lektion?
Løsning på krydsord med billeder(Dias nr. 3)
Det er ledsaget af en gentagelse af definitionerne af cirkel, akkord, bue, radius, diameter, formler for omkreds. Og som et resultat - nøgleordet: "CIRKEL" (vandret).
Lektionsopsummering: karaktergivning, kommentarer til lektier. Lektier: s. 24, nr. 853, 854. Udfør et eksperiment for at finde tallet π 2 gange mere.
For de fleste voksne er skoletiden forbundet med en ubekymret barndom. Mange er selvfølgelig tilbageholdende med at gå i skole, men kun dér kan de få grundlæggende viden, som senere vil være nyttig for dem i livet. Et af disse er spørgsmålet om, hvorvidt og cirklen. Det er ret nemt at forveksle disse begreber, fordi ordene har samme rod. Men forskellen mellem dem er ikke så stor, som den kan se ud for et uerfarent barn. Børn elsker dette emne på grund af dets enkelhed.
Hvad er en cirkel?
En cirkel er en lukket linje, hvor hvert punkt er lige langt fra det centrale. Det mest slående eksempel på en cirkel er en bøjle, som er en lukket krop. Faktisk er der ingen grund til at tale meget om cirklen. I spørgsmålet om, hvad en cirkel og en cirkel er, er dens anden del meget mere interessant.
Hvad er en cirkel?
Forestil dig, at du besluttede at farve cirklen tegnet ovenfor. For at gøre dette kan du vælge en hvilken som helst farver: blå, gul eller grøn - hvad end der passer til din smag. Og så begyndte du at fylde tomrummet med noget. Når dette var afsluttet, endte vi med en form kaldet en cirkel. Grundlæggende er en cirkel en del af en overflade, der er skitseret af en cirkel.
En cirkel har flere vigtige parametre, hvoraf nogle også er karakteristiske for en cirkel. Den første er radius. Det er afstanden mellem det centrale punkt i en cirkel (eller cirkel) og selve cirklen, som skaber cirklens grænser. Den anden vigtige egenskab, som gentagne gange bruges i skoleproblemer, er diameter (det vil sige afstanden mellem modsatte punkter i cirklen).
Og endelig er den tredje egenskab, der er iboende i en cirkel, areal. Denne egenskab er kun specifik for den, cirklen har intet areal på grund af det faktum, at den ikke har noget indeni, og centrum, i modsætning til cirklen, er mere imaginært end virkeligt. I selve cirklen kan du etablere et tydeligt centrum, hvorigennem du kan tegne en række linjer, der deler den op i sektorer.
Eksempler på en cirkel i det virkelige liv
Faktisk er der nok mulige objekter, der kan kaldes en type cirkel. Hvis du for eksempel ser direkte på et bilhjul, så er her et eksempel på en færdig cirkel. Ja, det behøver ikke at være udfyldt i en enkelt farve; forskellige mønstre inde i det er meget muligt. Det andet eksempel på en cirkel er solen. Selvfølgelig vil det være svært at se på det, men det ligner en lille cirkel på himlen.
Ja, selve solstjernen er ikke en cirkel, den har også volumen. Men selve solen, som vi ser over vores hoveder om sommeren, er en typisk cirkel. Sandt nok vil han stadig ikke være i stand til at beregne arealet. Når alt kommer til alt, er dens sammenligning med en cirkel kun givet for klarhedens skyld, for at gøre det lettere at forstå, hvad en cirkel og en cirkel er.
Forskelle mellem en cirkel og en cirkel
Så hvilken konklusion kan vi drage? Forskellen mellem en cirkel og en cirkel er, at sidstnævnte har et areal, og i de fleste tilfælde er cirklen grænsen til cirklen. Selvom der er undtagelser ved første øjekast. Det kan nogle gange virke, som om der ikke er nogen cirkel i en cirkel, men det er ikke tilfældet. Der er i hvert fald noget. Det er bare, at cirklen kan være meget lille, og så er den ikke synlig med det blotte øje.
Cirklen kan også være det, der får cirklen til at skille sig ud fra baggrunden. For eksempel på billedet ovenfor er den blå cirkel på en hvid baggrund. Men den linje, som vi forstår, at figuren begynder her, kaldes i dette tilfælde en cirkel. Således er omkredsen en cirkel. Dette er forskellen mellem en cirkel og en cirkel.
Hvad er en sektor?
En sektor er et udsnit af en cirkel, der er dannet af to radier tegnet langs den. For at forstå denne definition skal du bare tænke på pizza. Når det skæres i lige store stykker, er de alle sektorer af cirklen, som præsenteres i form af sådan en lækker ret. I dette tilfælde behøver sektorerne ikke nødvendigvis at være lige. De kan have forskellige størrelser. For eksempel, hvis du skærer halvdelen af en pizza, vil det også være en del af denne cirkel.
Objektet repræsenteret af dette koncept kan kun have en cirkel. Dette kan selvfølgelig også gøres, men derefter bliver det til en cirkel) har intet areal, så det vil ikke være muligt at vælge en sektor.
konklusioner
Ja, emnet cirkel og omkreds (hvad er det) er meget let at forstå. Men generelt er alt relateret til disse det sværeste at studere. En elev skal være forberedt på, at en cirkel er en lunefuld figur. Men som de siger, det er svært at lære, men det er let at kæmpe. Ja, geometri er en kompleks videnskab. Men dens succesfulde beherskelse giver dig mulighed for at tage et lille skridt mod succes. Fordi indsats i læring giver dig mulighed for ikke kun at genopbygge din egen viden, men også at erhverve de nødvendige færdigheder i livet. Det er faktisk det, skolen sigter mod. Og svaret på spørgsmålet om, hvad en cirkel og en cirkel er, er sekundært, selvom det er vigtigt.