Problemer med den klassiske sandsynlighedsbestemmelse.
Eksempler på løsninger
I den tredje lektion vil vi se på forskellige problemer, der involverer direkte anvendelse af den klassiske definition af sandsynlighed. For effektivt at studere materialerne i denne artikel anbefaler jeg, at du gør dig bekendt med de grundlæggende begreber sandsynlighedsteori Og det grundlæggende i kombinatorik. Opgaven med klassisk at bestemme sandsynlighed med en sandsynlighed, der tenderer til én, vil være til stede i dit selvstændige/kontrolarbejde på terver, så lad os gøre os klar til seriøst arbejde. Du kan spørge, hvad der er så alvorligt ved dette? ...kun en primitiv formel. Jeg advarer dig mod letsindighed - tematiske opgaver er ret forskellige, og mange af dem kan nemt forvirre dig. I denne henseende, ud over at gennemarbejde hovedlektionen, prøv at studere yderligere opgaver om emnet, der er i sparegrisen færdige løsninger til højere matematik. Løsningsteknikker er løsningsteknikker, men "venner" skal stadig "kendes af synet", for selv en rig fantasi er begrænset, og der er også nok standardopgaver. Nå, jeg vil prøve at sortere så mange af dem som muligt i god kvalitet.
Lad os huske genrens klassikere:
Sandsynligheden for, at en hændelse finder sted i en bestemt test er lig med forholdet, hvor:
– det samlede antal af alle lige så muligt, elementære resultater af denne test, som danner hele gruppen af arrangementer;
- antal elementære gunstige resultater for arrangementet.
Og straks et øjeblikkeligt pitstop. Forstår du de understregede udtryk? Dette betyder klar, ikke intuitiv forståelse. Hvis ikke, så er det stadig bedre at vende tilbage til 1. artikel om sandsynlighedsteori og først derefter gå videre.
Venligst spring ikke de første eksempler over - i dem vil jeg gentage et grundlæggende vigtigt punkt og også fortælle dig, hvordan du formaterer en løsning korrekt, og på hvilke måder dette kan gøres:
Opgave 1
En urne indeholder 15 hvide, 5 røde og 10 sorte kugler. 1 kugle trækkes tilfældigt, find sandsynligheden for at den bliver: a) hvid, b) rød, c) sort.
Løsning: Den vigtigste forudsætning for at bruge den klassiske definition af sandsynlighed er evne til at tælle det samlede antal udfald.
Der er i alt 15 + 5 + 10 = 30 bolde i urnen, og selvfølgelig er følgende fakta sande:
– Det er lige så muligt at hente enhver bold (lige muligheder resultater), mens resultaterne elementære og form hele gruppen af arrangementer (dvs. som et resultat af testen, vil en af de 30 bolde helt sikkert blive fjernet).
Således er det samlede antal resultater:
Overvej begivenheden: – en hvid kugle vil blive trukket fra urnen. Denne begivenhed er favoriseret elementære resultater derfor ifølge den klassiske definition: 
– sandsynligheden for, at der trækkes en hvid kugle fra urnen.
Mærkeligt nok kan man selv i så simpel en opgave lave en alvorlig unøjagtighed, som jeg allerede fokuserede på i den første artikel om sandsynlighedsteori. Hvor er faldgruben her? Det er forkert at hævde det her "da halvdelen af kuglerne er hvide, så er sandsynligheden for at tegne en hvid kugle» . Den klassiske definition af sandsynlighed refererer til ELEMENTÆRE udfald, og brøken skal skrives ned!
Med andre punkter skal du på samme måde overveje følgende begivenheder:
– en rød kugle vil blive trukket fra urnen;
– der trækkes en sort kugle fra urnen.
En begivenhed begunstiges af 5 elementære resultater, og en begivenhed begunstiges af 10 elementære resultater. Så de tilsvarende sandsynligheder er: 
Et typisk tjek af mange serveropgaver udføres vha teoremer om summen af sandsynligheder for begivenheder, der danner en komplet gruppe. I vores tilfælde udgør begivenhederne en komplet gruppe, hvilket betyder, at summen af de tilsvarende sandsynligheder nødvendigvis skal være lig med en: .
Lad os tjekke, om dette er sandt: det var det, jeg ville være sikker på.
Svar: 
I princippet kan svaret skrives mere detaljeret ned, men personligt er jeg vant til kun at sætte tal der - af den grund, at når man begynder at "stemple" problemer i hundreder og tusinder, så forsøger man at reducere skrivningen af løsningen så meget som muligt. Forresten, om korthed: i praksis er "højhastigheds" designmuligheden almindelig løsninger:
I alt: 15 + 5 + 10 = 30 bolde i urnen. Ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at en hvid kugle vil blive trukket fra urnen;
– sandsynligheden for, at en rød kugle bliver trukket fra urnen;
– sandsynligheden for, at der trækkes en sort kugle fra urnen.
Svar: 
Men hvis der er flere punkter i tilstanden, så er det ofte mere bekvemt at formulere løsningen på den første måde, hvilket tager lidt mere tid, men samtidig "lægger alt på hylderne" og gør det lettere for at navigere i problemet.
Lad os varme op:
Opgave 2
Butikken modtog 30 køleskabe, hvoraf fem har en fabrikationsfejl. Et køleskab vælges tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at den bliver fejlfri?
Vælg den relevante designindstilling, og tjek prøven nederst på siden.
I de simpleste eksempler ligger antallet af almindelige og antallet af gunstige udfald på overfladen, men i de fleste tilfælde skal du selv grave kartoflerne op. En kanonisk række af problemer om en glemsom abonnent:
Opgave 3
Ved opkald til et telefonnummer glemte abonnenten de sidste to cifre, men husker, at det ene er nul, og det andet er ulige. Find sandsynligheden for, at han vil ringe til det rigtige nummer.
Bemærk : nul er et lige tal (deles med 2 uden en rest)
Løsning: Først finder vi det samlede antal udfald. Ved betingelse husker abonnenten, at et af cifrene er nul, og det andet ciffer er ulige. Her er det mere rationelt ikke at være tricky med kombinatorik og brug metode til direkte liste over resultater
. Det vil sige, når vi laver en løsning, skriver vi blot alle kombinationerne ned:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
Og vi tæller dem - i alt: 10 udfald.
Der er kun ét gunstigt resultat: det korrekte antal.
Ifølge den klassiske definition:
– sandsynlighed for, at abonnenten vil ringe til det rigtige nummer
Svar: 0,1
Decimalbrøker ser ret passende ud i sandsynlighedsteori, men du kan også overholde den traditionelle Vyshmatov-stil, der kun opererer med almindelige brøker.
Avanceret opgave til selvstændig løsning:
Opgave 4
Abonnenten har glemt PIN-koden til sit SIM-kort, men husker, at den indeholder tre "femere", og et af tallene er enten en "syv" eller en "otte". Hvad er sandsynligheden for vellykket autorisation i første forsøg?
Her kan du også udvikle ideen om sandsynligheden for, at abonnenten vil blive straffet i form af en puk-kode, men ræsonnementet vil desværre gå ud over denne lektion
Løsningen og svaret er nedenfor.
Nogle gange viser kombinationer sig at være en meget omhyggelig opgave. Dette er især tilfældet i den næste, ikke mindre populære gruppe af problemer, hvor der kastes 2 terninger (mindre ofte - større mængder):
Opgave 5
Find sandsynligheden for, at når du kaster to terninger, vil det samlede antal være:
a) fem point;
b) ikke mere end fire point;
c) fra 3 til 9 point inklusive.
Løsning: find det samlede antal resultater:
Måder siden af den 1. terning kan falde ud Og på forskellige måder kan siden af 2. terning falde ud; Ved regel for multiplikation af kombinationer, I alt: 
mulige kombinationer. Med andre ord, hver ansigtet på 1. terning kan være bestilt et par med hver kanten af 2. terning. Lad os blive enige om at skrive sådan et par i formen , hvor er det tal, der står på 1. terning, og er det tal, der står på 2. terning. For eksempel:
– den første terning fik 3 point, den anden terning fik 5 point, samlet point: 3 + 5 = 8;
– den første terning fik 6 point, den anden terning fik 1 point, samlet point: 6 + 1 = 7;
– 2 point kastet på begge terninger, sum: 2 + 2 = 4.
Det mindste beløb er naturligvis givet af et par, og det største af to "seksere".
a) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vises 5 point. Lad os skrive ned og tælle antallet af udfald, der favoriserer denne begivenhed:
I alt: 4 gunstige resultater. Ifølge den klassiske definition:
– den ønskede sandsynlighed.
b) Overvej begivenheden: – Der vil ikke blive kastet mere end 4 point. Det vil sige enten 2, eller 3 eller 4 point. Igen lister og tæller vi de gunstige kombinationer, til venstre vil jeg skrive det samlede antal point ned, og efter kolon - de passende par: 
I alt: 6 gunstige kombinationer. Dermed:
– sandsynligheden for, at der ikke kastes mere end 4 point.
c) Overvej begivenheden: – 3 til 9 point vil kastes, inklusive. Her kan du tage den lige vej, men... af en eller anden grund vil du ikke. Ja, nogle par er allerede blevet opført i de foregående afsnit, men der er stadig meget arbejde at gøre.
Hvad er den bedste måde at komme videre på? I sådanne tilfælde viser en rundkørselssti sig at være rationel. Lad os overveje modsatte begivenhed: – 2 eller 10 eller 11 eller 12 point vil blive kastet.
Hvad er pointen? Den modsatte begivenhed foretrækkes af et betydeligt mindre antal par: 
I alt: 7 gunstige resultater.
Ifølge den klassiske definition:
– sandsynligheden for, at du kaster mindre end tre eller mere end 9 point.
Udover direkte notering og optælling af udfald, div kombinatoriske formler. Og igen et episk problem om elevatoren:
Opgave 7
3 personer gik ind i elevatoren i en 20-etagers bygning på første sal. Og lad os gå. Find sandsynligheden for at:
a) de vil gå ud på forskellige etager
b) to vil gå ud på samme etage;
c) alle vil stå af på samme etage.
Vores spændende lektion er nået til ende, og endelig anbefaler jeg endnu en gang kraftigt, at hvis ikke løses, så i det mindste finde ud af yderligere problemer med den klassiske sandsynlighedsbestemmelse. Som jeg allerede har bemærket, betyder "håndpolstring" også noget!
Længere hen ad banen - Geometrisk definition af sandsynlighed Og Sandsynlighedsadditions- og multiplikationssætninger og... held i hovedsagen!
Løsninger og svar:
Opgave 2: Løsning: 30 – 5 = 25 køleskabe fejler intet.
– sandsynligheden for, at et tilfældigt udvalgt køleskab ikke har en defekt.
Svar
:
Opgave 4: Løsning: find det samlede antal resultater:
måder, hvorpå du kan vælge det sted, hvor det tvivlsomme nummer er placeret og på hver Af disse 4 steder kan 2 cifre (syv eller otte) lokaliseres. Ifølge reglen om multiplikation af kombinationer er det samlede antal udfald: 
.
Alternativt kan løsningen blot liste alle resultaterne (heldigvis er der få af dem):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Der er kun ét gunstigt resultat (korrekt pinkode).
Således ifølge den klassiske definition:
– sandsynlighed for, at abonnenten logger ind ved 1. forsøg
Svar
:
Opgave 6: Løsning: find det samlede antal resultater:
tal på 2 terninger kan optræde på forskellige måder.
a) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vil produktet af pointene være lig med syv. Der er ingen gunstige udfald for en given begivenhed, ifølge den klassiske definition af sandsynlighed:
, dvs. denne begivenhed er umulig.
b) Overvej begivenheden: – når du kaster to terninger, vil produktet af pointene være mindst 20. Følgende resultater er gunstige for denne begivenhed:
I alt: 8
Ifølge den klassiske definition:
– den ønskede sandsynlighed.
c) Overvej de modsatte begivenheder:
– produktet af point vil være lige;
– produktet af point vil være ulige.
Lad os liste alle de gunstige resultater for begivenheden:
I alt: 9 gunstige resultater.
Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: 
Modsatte begivenheder udgør en komplet gruppe, derfor:
– den ønskede sandsynlighed.
Svar
: 
Opgave 8: Løsning: lad os beregne det samlede antal resultater: 
10 mønter kan falde på forskellige måder.
En anden måde: måder, hvorpå den 1. mønt kan falde Og måder, hvorpå den 2. mønt kan falde Og … Og måder, hvorpå den 10. mønt kan falde. Ifølge reglen om multiplikation af kombinationer kan der falde 10 mønter 
måder.
a) Overvej begivenheden: – der vises hoveder på alle mønter. Denne begivenhed er begunstiget af et enkelt udfald ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .
b) Overvej begivenheden: – 9 mønter vil lande hoveder, og en mønt vil lande haler.
Der er mønter, der kan lande på hoveder. Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: 
.
c) Overvej begivenheden: – der vises hoveder på halvdelen af mønterne.
Eksisterer 
unikke kombinationer af fem mønter, der kan lande hoveder. Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: 
Svar
:
Kombinatorik studerer måder at tælle antallet af elementer i endelige mængder. Kombinatoriske formler bruges til direkte at beregne sandsynligheder.
Sæt af elementer, der består af de samme forskellige elementer og kun adskiller sig fra hinanden i deres rækkefølge, kaldes permutationer disse elementer. Antallet af mulige permutationer fra n elementer er angivet med , og dette tal er lig med n! (læs "en-factorial"):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Hvor
. (1.3.2)
Bemærkning 1. For det tomme sæt er konventionen accepteret: det tomme sæt kan kun bestilles på én måde; per definition tror.
Placeringer kaldes sæt, der består af n forskellige elementer iflg m elementer, der adskiller sig enten i sammensætningen af elementerne eller i deres rækkefølge. Antallet af alle mulige placeringer bestemmes af formlen
. (1.3.3)
Kombinationer fra n forskellige elementer iflg m kaldes sæt indeholdende m elementer fra blandt n givet, og som adskiller sig i mindst ét element. Antal kombinationer af n elementer af m stå for: eller . Dette tal er udtrykt ved formlen
. (1.3.4)
Bemærkning 2. Antag pr. definition .
For antallet af kombinationer er lighederne gyldige:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)
Den sidste lighed formuleres nogle gange som følgende sætning om endelige sæt:
Antallet af alle delmængder af et sæt, der består af dem n elementer, lig med .
Bemærk, at antallet af permutationer, placeringer og kombinationer er relateret til ligheden
Bemærkning 3. Det antoges ovenfor, at alle n elementer er forskellige. Hvis nogle elementer gentages, beregnes sæt med gentagelser i dette tilfælde ved hjælp af andre formler.
For eksempel, hvis blandt n elementer er elementer af en type, elementer af en anden type osv., så er antallet af permutationer med gentagelser bestemt af formlen 
(1.3.7)
Hvor .
Antal placeringer pr m elementer med gentagelser fra n elementer er ens
, det er
med gentagelse (1.3.8)
Antal kombinationer med gentagelser fra n elementer af m elementer er lig med antallet af kombinationer uden gentagelser fra n + m- 1 element hver m elementer, altså
fra gentagelse (1.3.9)
Ved løsning af kombinatoriske problemer anvendes følgende regler.
Sum regel. Hvis noget objekt A kan vælges fra et sæt objekter på m måder, og et andet objekt B kan vælges på n måder, så kan enten A eller B vælges på m + n måder.
Produktregel. Hvis objekt A kan vælges fra en række objekter m metoder og efter hvert sådant valg kan objekt B vælges n måder, så kan et par objekter (A, B) i den angivne rækkefølge vælges på måder.
Det klassiske skema til beregning af sandsynligheder er velegnet til at løse en række rent praktiske problemer. Lad os for eksempel overveje et bestemt sæt elementer af volumen N. Disse kan være produkter, som hver især er egnede eller defekte, eller frø, som hver især kan være levedygtige eller ej. Situationer af denne art er beskrevet af et urneskema: der er N kugler i urnen, hvoraf M er blå og (N - M) er røde.
Fra en urne med N kugler, hvori der er M blå kugler, trækkes der n kugler. Du skal bestemme sandsynligheden for, at m blå kugler vil blive fundet i en stikprøve af størrelse n. Lad os med A betegne begivenheden "der er m blå kugler i en prøve af størrelse n", så 
(1.3.10)
Eksempel 1. På hvor mange forskellige måder kan tre personer udvælges til tre forskellige stillinger ud af ti kandidater?
Løsning. Lad os bruge formel (1.3.3). For n = 10 får vi m = 3
.
Eksempel 2. På hvor mange forskellige måder kan 5 personer passe på en bænk?
Løsning. Ifølge formel (1.3.1) med n=5 finder vi
P5=5!=1·2·3·4·5=120.
Eksempel 3. På hvor mange måder kan tre personer udvælges til tre identiske stillinger ud af ti kandidater?
Løsning. I overensstemmelse med formel (1.3.4) finder vi
Eksempel 4. Hvor mange forskellige sekscifrede tal kan skrives ved hjælp af cifrene 1; 1; 1; 2; 2; 2?
Løsning. Her skal du finde antallet af permutationer med gentagelser, som er bestemt af formel (1.3.7). Med k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, ved hjælp af denne formel får vi
Eksempel 5. Hvor mange forskellige permutationer af bogstaver kan der laves i ordene: slot, rotor, økse, klokke?
Løsning. I ordet slot er alle bogstaverne forskellige, der er fem i alt. I overensstemmelse med formel (1.3.1) får vi P 5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. I et ord rotor, bestående af fem bogstaver, bogstaver s Og o gentages to gange. For at beregne forskellige permutationer bruger vi formel (1.3.7). For n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2, ved hjælp af denne formel finder vi
Bogstavet i ordet økse O gentages to gange, så 
I de syv bogstaver ord klokke, bogstavet Til vises to gange, bogstav O- tre gange, brev l- to gange. I overensstemmelse med formel (13.7) med n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 får vi 
Eksempel 6. Bogstaverne I, K, M, N, S er skrevet på fem ens kort Kortene blandes og placeres tilfældigt på en række. Hvad er sandsynligheden for, at ordet MINSK dukker op?
Løsning. Fra fem forskellige elementer kan du oprette P5-permutationer:
. Det betyder, at der i alt vil være 120 mulige udfald, men kun ét gunstigt for en given begivenhed. Derfor,
Eksempel 7. Fra bogstaverne i ordet rotor, sammensat ved hjælp af et opdelt alfabet, 3 bogstaver er tilfældigt udvalgt sekventielt og placeret i en række. Hvad er sandsynligheden for, at ordet udkommer torus?
Løsning. For at skelne identiske bogstaver fra hinanden giver vi dem tal: s 1 , s 2 , 0
1 , 0
2. Det samlede antal elementære udfald er lig med: 
. Ord rotor vil virke i tilfælde ( derefter 1 r 1, så 1 r 2, så 2 r 1, så 2 r 2). Den nødvendige sandsynlighed er lig med
Ved beregning af antallet af gunstige tilfælde brugte vi produktreglen: bogstavet m du kan vælge én måde, bogstav O- to, et brev R- på to måder.
Eksempel 8. Ordets bogstaver er skrevet på seks kort af samme form og størrelse. talent- et bogstav på hvert kort. Kortene blandes grundigt. de tages ud tilfældigt og stilles på bordet efter hinanden. Hvad er sandsynligheden for at få ordet igen? talent?
Løsning. Lad os nummerere kortene med bogstaver:
Ordet talent (513246) vil ikke ændre sig, hvis bogstaverne EN omarranger, men i henhold til arrangementet af kortene får du en anden kombination: talent (523146). Hvis vi i hver af disse to kombinationer gør det samme med bogstavet t, får vi yderligere 2 forskellige kombinationer af kort med ordet talent. Det betyder, at ordets udseende talent 4 elementære resultater er gunstige. Det samlede antal mulige elementære udfald er lig med antallet af permutationer af 6 elementer: n = 6! = 720. Derfor er den krævede sandsynlighed
.
Bemærkning: Denne sandsynlighed kan også findes ved hjælp af formlen (1.3.7), som for n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 ser:
. Således er P = 1/180.
Eksempel 9. Bogstaver skrives på fem ens kort: på to kort l, på de tre andre Og. Disse kort placeres tilfældigt i
række. Hvad er sandsynligheden for, at dette vil frembringe ordet liljer?
Løsning. Lad os finde antallet af permutationer af disse fem bogstaver med gentagelser.
Ved at bruge formlen (1.3.7) for n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 får vi 
Dette er det samlede antal lige så mulige udfald af eksperimentet; denne begivenhed A - "ordet liljes udseende" er begunstiget af én. I overensstemmelse med formel (1.2.1) opnår vi
Eksempel 10. I et parti på 10 dele er 7 standard. Find sandsynlighed
det faktum, at blandt 6 dele taget tilfældigt, er 4 standard.
Løsning. Det samlede antal mulige Ix elementære testresultater er lig med antallet af måder, hvorpå 6 dele kan udtrækkes fra 10, det vil sige antallet af kombinationer af 10 elementer af hver 6 elementer ().
Vi bestemmer antallet af udfald, der er gunstige for begivenhed A - "blandt 6 taget dele er 4 standard." Fire standarddele ud af syv standarddele kan tages på forskellige måder, mens de resterende 6 - 4 = 2 dele skal være ikke-standard; Der er måder at tage 2 ikke-standarddele ud af 10 - 7 = 3 ikke-standarddele. Derfor er antallet af gunstige resultater lig med .
Den krævede sandsynlighed er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der er gunstige for begivenheden, og antallet af alle elementære udfald: 
Bemærkning Den sidste formel er et specialtilfælde af formel (1.3.10): N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.
Eksempel 11. Blandt 25 elever i en gruppe på 10 piger trækkes der 5 lodder. Find sandsynligheden for, at der bliver 2 piger blandt billetholderne.
Løsning. Antallet af alle lige mulige tilfælde af fordeling af 5 billetter blandt 25 elever er lig med antallet af kombinationer af 25 elementer af 5, dvs. Antallet af grupper på tre drenge ud af 15, der kan modtage billetter er . Hver sådan triplet kan kombineres med et hvilket som helst par på ti piger, og antallet af sådanne par er lig med . Følgelig er antallet af grupper på 5 elever dannet af en gruppe på 25 elever, som hver vil omfatte tre drenge og to piger , er lig med produktet. Dette produkt er lig med antallet af fordelagtige tilfælde af fordeling af fem billetter blandt gruppens studerende, således at tre billetter går til drenge og to billetter til piger. I overensstemmelse med formel (1.2.1) finder vi den nødvendige sandsynlighed
Bemærkning Den sidste formel er et specialtilfælde af formel (1.3.10): N= 25, M= 15, n = 5, m = 3.
Eksempel 12. En æske indeholder 15 røde, 9 blå og 6 grønne kugler. 6 kugler trækkes tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at der trækkes 1 grøn, 2 blå og 3 røde kugler (begivenhed A)?
Løsning. Der er kun 30 bolde i kassen. For dette eksperiment vil antallet af alle lige mulige elementære udfald være . Lad os tælle antallet af elementære udfald, der er gunstige for begivenhed A. Tre røde bolde ud af 15 kan vælges på måder, to blå bolde ud af 9 kan vælges på måder, en grøn ud af 6 kan vælges på måder
Antallet af gunstige resultater er lig med produktet 
Den krævede sandsynlighed bestemmes af formel (1.3.10): 
Eksempel 14. Terningerne kastes 10 gange. Hvad er sandsynligheden for, at side 1, 2, 3, 4, 5, 6 vises henholdsvis 2, 3, 1, 1, 1, 2 gange (hændelse A)?
Løsning. Vi beregner antallet af gunstige udfald for begivenhed A ved hjælp af formel (1.3.7):
Antallet af alle elementære udfald i dette eksperiment er derfor n = 6 10 
Opgaver
1. Bogstaverne B, E, R, S, T er skrevet på 5 ens kort Disse kort placeres tilfældigt i en række. Hvad er sandsynligheden for, at ordet BREST dukker op?
2. Der er 4 blå og 5 røde kugler i en æske. 2 bolde trækkes tilfældigt fra kassen. Find sandsynligheden for, at disse kugler har forskellige farver.
3. Der er 4 kvinder og 3 mænd på holdet. Der udloddes 4 billetter til teatret blandt brigademedlemmer. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt billetholderne vil være 2 kvinder og 2 mænd?
4. Der er 10 kugler i en æske, hvoraf 2 er hvide, 3 er røde og 5 er blå.3 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at alle 3 bolde har forskellige farver.
5. Bogstaverne l, m, o, o, t er skrevet på fem ens kort.Hvad er sandsynligheden for, at vi ved at tage kortene ud et ad gangen får ordet hammer i den rækkefølge, de kom?
6. Fra et parti indeholdende 10 produkter, hvoraf 3 er defekte, udvælges 3 produkter tilfældigt. Find sandsynligheden for, at et produkt i den resulterende prøve er defekt.
7. Ud af ti billetter vinder to. Hvad er sandsynligheden for, at én blandt fem tilfældigt udvalgte billetter er en vinder?
Svar
1.
1/120. 2.
5/9. 3.
18/35. 4
. 0,25. 5
. 1/60. 6
. 21/40. 7
. 5/9.
Spørgsmål
1. Hvad kaldes permutationer?
2. Hvilken form bruges til at beregne antallet af permutationer af n forskellige elementer?
3. Hvad kaldes placeringer?
4. Hvilken formel bruges til at beregne antallet af placeringer af n forskellige elementer med m elementer?
5. Hvad kaldes kombinationer?
6. Hvilken formel bruger du til at beregne antallet af kombinationer af n elementer af m elementer?
7. Hvilken lighed relaterer antallet af permutationer, placeringer og kombinationer?
8. Hvilken formel bruges til at beregne antallet af permutationer af n elementer, hvis nogle elementer gentages?
9. Hvilken formel bestemmer antallet af placeringer af m elementer med gentagelser af n elementer?
10. Hvilken formel bestemmer antallet af kombinationer med gentagelser af n elementer af m elementer?
Hård lærer, har akut brug for at løse problemer med sandsynlighedsteori på 1 dag, emnet "Sandsynlighedsteori (matematik)"
1. Telefonnummeret består af seks cifre. Find sandsynligheden for, at alle tal er forskellige. 2. Der er 10 produkter i partiet, hvoraf fire er ikke-standard. Fire genstande tages tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt de taget produkter er flere standard end ikke-standard. 3. Ti personer sidder tilfældigt på en ti-sæders bænk. Find sandsynligheden for, at 2 bestemte personer vil være i nærheden. 4. Et punkt vælges tilfældigt inde i en firkant med toppunkter. Find sandsynligheden for følgende hændelse: 5. To skytter affyrede uafhængigt et skud mod skiven. Det er kendt, at sandsynligheden for at ramme målet for en af skytterne er 0,6; og for den anden - 0,7. Find sandsynligheden for, at mindst en af skytterne vil misse målet. 6. Inden beståelse af første runde af konkurrencen, får hver ansøger tre opgaver: en tekst til kunstnerisk læsning, et tema til præsentation i pantomime, et digt til vokalfremførelse til sin egen melodi. Ved beståelse af konkurrencen foreslås det at udføre to numre ud af tre. Valget af tal er tilfældigt. Konkurrenten vurderer, at han vil bestå første runde i litterær læsning med en sandsynlighed på 0,9; når du udfører pantomime – 0,3; når du udfører en vokal opgave – 0,5. Hvad er sandsynligheden for at bestå første runde for en deltager med en sådan forberedelse? 7. Den første urne indeholder 10 kugler, hvoraf de 8 er hvide; Den anden urne indeholder 15 kugler, hvoraf de 4 er hvide. To bolde blev trukket tilfældigt fra den første urne, og derefter blev en bold fra den anden urne overført ind i den. Herefter blev der trukket en kugle fra den første urne. Find sandsynligheden for, at denne kugle er hvid. 8. Ud af 18 skytter rammer 5 målet med en sandsynlighed på 0,6; 7 – med sandsynlighed 0,7; 4 – med sandsynlighed 0,8; 2 – med sandsynlighed 0,5. Den tilfældigt udvalgte skytte missede målet. Hvilken gruppe tilhører denne skytte højst sandsynligt? 9. Sandsynligheden for at ramme målet med et skud er 0,7. Find sandsynligheden for, at målet med 20 uafhængige skud ikke bliver ramt mere end 14 gange. 10. Der er 5 mønter i lommen, omtrent det samme at røre ved: tre - 2 rubler hver og to - 10 rubler hver. Uden at kigge trækker de 2 mønter ud. En tilfældig variabel er det samlede antal udtrukne rubler. For en stokastisk variabel: a) konstruer en fordelingsrække, b) find den matematiske forventning og varians, c) find sandsynligheden for hændelsen (mindst 4, men ikke mere end 12 rubler blev udtrukket). 11. En tekniker, der kaldes til dit hjem, kan dukke op når som helst fra kl. 10.00 til 18.00. Klienten, der havde ventet op til 14 timer, gik i 1 time. I betragtning af at masterens ankomsttid er en tilfældig variabel fordelt ensartet, find sandsynlighedstætheden, fordelingsfunktionen. Bestem sandsynligheden for, at mesteren (hans ankomst er obligatorisk) ikke finder klienten derhjemme? Konstruer sandsynlighedstæthedsgrafer og fordelingsfunktioner.
1. Telefonnummeret består af seks cifre. Find sandsynligheden for, at alle tal er forskellige. 2. Der er 10 produkter i partiet, hvoraf fire er ikke-standard. Fire genstande tages tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt de taget produkter er flere standard end ikke-standard. 3. Ti personer sidder tilfældigt på en ti-sæders bænk. Find sandsynligheden for, at 2 bestemte personer vil være i nærheden. Flere detaljer
§ 7. Anvendelse af kombinatorik til beregning af sandsynlighed
Hvis fra det samlede volumen n prøveudtagning foretages k elementer med afkast, så anses sandsynligheden for at opnå hver specifik prøve som lig med .
Hvis prøven er lavet uden at returnere, så er denne sandsynlighed lig med .
Lad forekomsten af begivenhed A bestå i udseendet af en prøve med nogle yderligere begrænsninger, og antallet af sådanne prøver er lig med m. Så i tilfælde af prøveudtagning med retur har vi:
i tilfælde af prøveudtagning uden returnering:
Eksempel 1. Et trecifret tal vælges tilfældigt uden et nul i decimalnotationen. Hvad er sandsynligheden for, at det valgte tal har præcis to identiske cifre?
Løsning. Lad os forestille os, at tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 er skrevet på 9 identiske kort, og disse kort placeres i en urne. At vælge et trecifret tal tilfældigt svarer til at trække sekventielt, returnere 3 kort fra urnen og skrive tallene ned i den rækkefølge, de vises. Følgelig er antallet af alle elementære udfald af eksperimentet 93 = 729. Antallet af gunstige tilfælde for begivenheden A af interesse for os er beregnet som følger: 2 forskellige tal x og y kan vælges på forskellige måder; hvis x og y er valgt, så kan https://pandia.ru/text/78/365/images/image007_10.gif" width="115 height=41" height="41"> laves ud fra dem.
Eksempel 2. Fra bogstaverne i ordet "rotor", sammensat ved hjælp af et opdelt alfabet, udtrækkes 3 bogstaver sekventielt tilfældigt og sættes i en række. Hvad er sandsynligheden for, at ordet "tor" kommer ud?
Løsning. For at skelne identiske bogstaver fra hinanden giver vi dem tal: p1, p2, o1, o2. Så er det samlede antal elementære udfald lig med: . Ordet "torus" vises i 1 × 2 × 2 = 4 tilfælde (to1р1, then1р2, then2р1, then2р2)..gif" width="24" height="25 src="> og vi antager, at de alle har lige store sandsynligheder.
Eksempel 3. I et parti af N dele er der n defekte. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt k tilfældigt udvalgte dele vil være s defekte?
Løsning. Antallet af alle elementære udfald er lig med . For at beregne antallet af gunstige tilfælde ræsonnerer vi som følger: fra n defekte dele kan man vælge s dele på s måder, og fra N - n ikke-defekte dele kan man vælge k – s ikke-defekte dele på måder; Ifølge produktreglen er antallet af gunstige tilfælde lig med ×. Den nødvendige sandsynlighed er:
.
Eksempel 4. Der er 4 kvinder og 3 mænd på holdet. Der udloddes 4 billetter til teatret blandt brigademedlemmer. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt billetholderne vil være 2 kvinder og 2 mænd?
Løsning. Lad os anvende en statistisk udvælgelsesordning. Ud af 7 teammedlemmer kan 4 personer vælges = 35 måder, derfor er antallet af alle elementære udfald af testen 35..gif" width="28" height="34">= 3 måder. Derefter er antallet af gunstige tilfælde vil være lig med 6 × 3 = 18..gif" width="21" height="41"> . Hvor mange hvide kugler er der i urnen?
150. Der er n hvide og m sorte kugler i en urne. K kugler (k>m) tegnes tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at der kun er hvide kugler tilbage i urnen?
151. Fra en urne, der indeholder N bolde, fjernes en bold N gange, hver gang den fjernede bold returneres. Hvad er sandsynligheden for, at alle kuglerne bliver trukket én gang?
152. Et helt sæt kort (52 ark) deles tilfældigt i 2 lige store dele (26 kort hver). Find sandsynligheden for følgende hændelser:
A – der vil være 2 esser i hver del;
B – i en af delene vil der ikke være et enkelt es;
C – en af delene vil have præcis et es.
153. En urne indeholder a hvide, b sorte og c røde kugler. Alle kuglerne tages ud af denne urne én efter én uden at vende tilbage, og deres farver registreres. Find sandsynligheden for, at hvid vises før sort i denne liste.
154. Der er 2 urner: den første indeholder en hvid og b sorte kugler; den anden med hvid og d sort. Der trækkes en kugle fra hver urne. Find sandsynligheden for, at begge kugler bliver hvide (begivenhed A) og sandsynligheden for, at kuglerne har forskellige farver (begivenhed B).
155. 2n hold er opdelt i 2 undergrupper af n hold. Find sandsynligheden for, at de 2 stærkeste hold ender: a) i forskellige undergrupper (begivenhed A); b) i én undergruppe (begivenhed B).
156. 3 kort trækkes tilfældigt fra et spil med 36 kort. Bestem sandsynligheden for, at summen af point i disse kort er 21, hvis stik er 2 point, dronningen er 3, kongen er 4, esset er 11, og de resterende kort er 6, 7, 8, 9, 10 point , henholdsvis.
157. Ejeren af et Sportloto-lotterikort (6 ud af 49) streger 6 numre over. Hvad er sandsynligheden for, at de vil gætte:
a) alle 6 numre i næste oplag;
b) 5 eller 6 numre;
c) mindst 3 numre?
158. En bus med 15 passagerer skal holde 20 stop. Forudsat at alle mulige måder at fordele passagerer på mellem stoppesteder er lige mulige, find sandsynligheden for, at ingen 2 passagerer stiger af ved samme stop.
159. Fra tallene 1, 2, …, N, r vælges forskellige tal (r £ N) tilfældigt. Find sandsynligheden for, at r fortløbende tal bliver valgt.
160. Flere kort trækkes fra et fuldt sæt kort (52 ark). Hvor mange kort skal der trækkes for med en sandsynlighed større end 0,5 at hævde, at der blandt dem vil være kort i samme kulør?
161. Der er n bolde, der er tilfældigt spredt over m huller. Find sandsynligheden for, at nøjagtigt k1 bolde falder i det første hul, k2 bolde i det andet osv., og km bolde i det m-te hul, hvis k1+k2+…+km=n.
162. I betingelserne for den forrige opgave, find sandsynligheden for, at der i et af hullerne (det er lige meget hvilket) der vil være k1-kugler, og i den anden - k2-kugler osv. i m-te. - km-bolde (tal k1, k2, ... ,km antages at være forskellige).
163. Fra sættet (1, 2,..., N) vælges tallene x1 og x2 sekventielt uden at vende tilbage. Find p(x2 > x1).
1 manuskripter er opdelt i 30 mapper (et manuskript fylder 3 mapper). Find sandsynligheden for, at 6 tilfældigt kasserede mapper ikke indeholder et eneste manuskript i sin helhed.
165. Hvad er sandsynligheden for, at i et selskab med r mennesker vil mindst to have samme fødselsdag? (For nemheds skyld antages det, at den 29. februar ikke er en fødselsdag).
166. Brug af en tabel med lg n værdier! og betingelsen for den forrige opgave, beregn sandsynligheden for r = 22, 23, 60.
167. Du satte dig for at finde en person, hvis fødselsdag falder sammen med din. Hvor mange fremmede skulle du interviewe, så sandsynligheden for at møde sådan en person ville være ikke mindre end 0,5?
168. For Statslånet trækkes aarlig 6 Hovedtræk og en Tillægstrækning, der finder Sted efter den femte Hoved. Ud af 100.000 afsnit vinder 170 episoder i hver hovedserie og 230 episoder i hver ekstra serie. Find sandsynligheden for at vinde én obligation i de første 10 år: a) i hovedcirkulationen; b) i en ekstra udgave; c) i enhver udgave.
1. Et helt sæt kort (52 ark) deles tilfældigt i 2 lige store dele (26 kort hver). Find sandsynligheden for følgende begivenheder: A – der vil være 2 esser i hver del; B – i en af delene vil der ikke være et enkelt es; C – en af delene vil have præcis ét es.
2. 5 militærpersoner udvælges tilfældigt fra en gruppe på 4 officerer og 12 soldater. Hvad er sandsynligheden for, at der ikke er mere end to betjente i gruppen?
3. Find sandsynligheden for, at en deltager i "Sportloto 6 ud af 45"-lotteriet, som har købt én billet, vil gætte korrekt: a) 2 numre, b) 6 numre.
4. Tre personer er tilfældigt placeret i 8 togvogne. Hvad er sandsynligheden for, at de alle: a) kommer ind i samme vogn, b) kommer ind i vogn nr. 3, c) bliver placeret i forskellige vogne?
5. Blandt et parti på 50 produkter er der 5 defekte. For at kontrollere denne batch er 5 produkter udvalgt. Hvis der blandt dem er mere end én defekt, afvises hele partiet af produkter. Hvad er sandsynligheden for, at et parti produkter bliver afvist?
6. Af de 20 laboratoriemedarbejdere skal 5 personer på forretningsrejse. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt de udstationerede medarbejdere ikke vil være 3 laboratorieledere (lederen, hans stedfortræder og maskinchefen)?
7. 12 elever er tilfældigt placeret på de første 12 pladser i en række af boderne. Hvad er sandsynligheden for, at eleverne M og N sidder ved siden af hinanden?
8. Posthuset sælger 6 typer postkort. Køber købte 4 postkort. Find sandsynligheden for, at disse postkort er: a) af samme type; b) af forskellige typer.
9. Fra en gruppe bestående af 7 mænd og 4 kvinder skal der udvælges 5 personer. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt disse udvalgte personer vil være mindst tre kvinder.
10. Der er 10 pærer i kassen, hvoraf de 3 er udbrændte. Find sandsynligheden for, at ud af 5 pærer taget tilfældigt fra en kasse, vil 2 pærer være tændt.
11. Der er 15 elever i gruppen. Heraf er 12 piger, resten er drenge. Det er kendt, at der skal indkaldes to elever til bestyrelsen. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt dem vil være: a) en pige og en dreng; b) to piger?
12. Der er 10 vogne med forskellige produkter på stationen. Bilerne er markeret med tal fra 1 til 10. Find sandsynligheden for, at der blandt de 5 biler udvalgt til kontrolåbning vil være biler med nummer 2 og 5?
13. Der blev bragt 20 kasser med komponenter til en type computer til lageret, men blandt dem var der 4 kasser med komponenter til en anden type computer. Vi tog 6 kasser tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt 6 kasser vil være: a) en kasse med ufuldstændige dele; b) mindst én kasse med ufuldstændige dele?
14. Af 20 aktieselskaber er 4 konkurs. Borgeren købte en aktie hver af seks aktieselskaber. Hvad er sandsynligheden for, at der blandt de købte aktier vil være 2 konkursramte aktier?
15. Der er 5 blå, 4 røde og 3 grønne blyanter i en æske. 3 blyanter tages ud tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at: a) de alle har samme farve, b) de alle er forskellige, c) blandt dem er der 2 røde og 1 grøn blyant.
16. Der er 8 nye og 10 brugte biler på lejestedet. Vi lejede tre biler tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at alle lejede biler er: a) alle nye; b) 1 ny og 2 brugte?
17. Bogstaverne A, A, I, M, L, N er skrevet på separate kort Find sandsynligheden for, at ved at vælge kort tilfældigt efter hinanden: a) ordet "MINA" opnås; b) "HINDBÆR"; c) "BURBT".
18. I en kuvert blandt 100 fotografier er der et eftersøgt. 10 kort trækkes tilfældigt fra kuverten. Finde sandsynligheden for, at den rigtige vil være blandt dem?
19. Der er 10 fjernsyn i butikken, hvoraf de 4 er defekte. Batchen er tilfældigt opdelt i 2 lige store dele, som sendes til to forbrugere. Hvad er sandsynligheden for, at defekte produkter går ligeligt til to forbrugere?
20. I en gruppe på 20 elever er 9 lavpresterende. To personer udvælges tilfældigt fra gruppen. Hvad er sandsynligheden for, at blandt dem: a) der kun er én lavt præsterende elev; b) mindst én underpræsterende elev?
21. Der er 7 radiorør, blandt hvilke 3 er defekte, tilsyneladende ikke anderledes end de fungerende. To lamper vælges tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at: a) begge lamper vil være i god stand; b) man arbejder; c) virker mindst én?
22. Der er 20 busser i flåden af to mærker: henholdsvis 12 og 8. Sandsynligheden for, at hvert busmærke tager på udflugt, er den samme. Hvad er sandsynligheden for, at efter 18 busser tager på udflugt, forbliver følgende busser i flåden: a) af det første mærke; b) ét mærke; c) forskellige mærker?
23. En bus med 15 passagerer skal holde 20 stop. Forudsat at alle mulige måder at fordele passagerer på mellem stoppesteder er lige mulige, find sandsynligheden for, at ingen 2 passagerer stiger af ved samme stop.
24. Der er 12 elever i gruppen, heraf 3 fremragende elever. 9 elever blev udvalgt tilfældigt fra listen. Find sandsynligheden for, at blandt de udvalgte elever: a) 3 fremragende elever; b) mindst 3 fremragende elever.
25. Der er 5 identiske produkter i en æske, og 3 af dem er malet. 2 genstande blev fjernet tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt to udvundne produkter vil være: a) ét malet produkt; b) to malede produkter; c) mindst ét malet produkt.
26. Der er 15 lærebøger arrangeret i tilfældig rækkefølge på en bibliotekshylde, hvoraf 5 er indbundet. Bibliotekaren tager 3 lærebøger tilfældigt. Find sandsynligheden for, at indbindingen vil indeholde: a) mindst én af de optagne lærebøger; b) 2 lærebøger er ikke indbundet.
27. 5 personer sidder tilfældigt på en fem-personers bænk. Hvad er sandsynligheden for, at 3 specifikke personer vil være i nærheden?.
28. Mekanismen omfatter to identiske dele. Mekanismen fungerer ikke, hvis begge dele er underdimensionerede. Monteringsmaskinen har 10 dele, hvoraf 3 er mindre end standarden. Bestem sandsynligheden for, at mekanismen vil fungere normalt, hvis samleren vælger to dele tilfældigt.
29. En blomsterbutik sælger 8 asparges og 5 pelargonier. Hvad er sandsynligheden for, at blandt 5 solgte planter: a) 2 asparges; b) alle pelargonier?
30. 8 skakspillere, heraf 3 stormestre, deles ved lodtrækning i 2 hold á 4 personer. Hvad er sandsynligheden for, at: a) to stormestre vil være i et hold, og en anden vil være i et andet; vil alle 3 stormestre være på samme hold?