Åh-åh-åh-åh... jamen, det er hårdt, som om han læste en sætning op for sig selv =) Afslapning vil dog hjælpe senere, især da jeg i dag købte det passende tilbehør. Derfor, lad os fortsætte til det første afsnit, jeg håber, at jeg ved slutningen af artiklen vil bevare et muntert humør.
Den relative position af to lige linjer
Sådan er det, når publikum synger med i kor. To lige linjer kan:
1) match;
2) være parallel: ;
3) eller skærer i et enkelt punkt: .
Hjælp til dummies : Husk venligst matematisk tegn kryds, vil det forekomme meget ofte. Notationen betyder, at linjen skærer linjen i punktet.
Hvordan bestemmer man den relative position af to linjer?
Lad os starte med det første tilfælde:
To linjer falder sammen, hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er proportionale, det vil sige, at der er et tal "lambda", således at lighederne er opfyldt
Lad os betragte de rette linjer og skabe tre ligninger ud fra de tilsvarende koefficienter: . Af hver ligning følger det, at disse linjer derfor er sammenfaldende.
Faktisk, hvis alle koefficienterne i ligningen 
gange med –1 (skift fortegn), og alle ligningens koefficienter 
skåret med 2, får du samme ligning:.
Det andet tilfælde, når linjerne er parallelle:
To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne er proportionale: 
, Men.
Som et eksempel, overvej to lige linjer. Vi kontrollerer proportionaliteten af de tilsvarende koefficienter for variablerne: 
Det er dog ret indlysende.
Og det tredje tilfælde, når linjerne skærer hinanden:
To linjer skærer hinanden, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne IKKE er proportionale, det vil sige, at der IKKE er en sådan værdi af "lambda", at lighederne er opfyldt 
Så for lige linjer vil vi oprette et system: 
Af den første ligning følger, at , og af den anden ligning: , hvilket betyder systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Koefficienterne for variablerne er således ikke proportionale.
Konklusion: linjer skærer hinanden
I praktiske problemer du kan bruge det netop omtalte løsningsskema. Det minder i øvrigt meget om algoritmen til kontrol af vektorer for kollinearitet, som vi kiggede på i klassen Begrebet lineær (u)afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer. Men der er en mere civiliseret emballage:
Eksempel 1
At finde ud af gensidig ordning direkte: 
Løsning baseret på studiet af retningsvektorer af rette linjer:
a) Ud fra ligningerne finder vi retningsvektorerne for linjerne: 
.
, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære, og linjerne skærer hinanden.
For en sikkerheds skyld sætter jeg en sten med skilte ved krydset:
Resten hopper over stenen og følger videre, lige til Kashchei den udødelige =)
b) Find retningsvektorerne for linjerne: 
Linjerne har samme retningsvektor, hvilket betyder, at de enten er parallelle eller sammenfaldende. Der er ingen grund til at tælle determinanten her.
Det er indlysende, at koefficienterne for de ukendte er proportionale, og .
Lad os finde ud af, om ligestillingen er sand: 
Dermed,
c) Find retningsvektorerne for linjerne: 
Lad os beregne determinanten, der består af koordinaterne for disse vektorer: 
, derfor er retningsvektorerne kollineære. Linjerne er enten parallelle eller sammenfaldende.
Proportionalitetskoefficienten "lambda" er let at se direkte fra forholdet mellem kollineære retningsvektorer. Det kan dog også findes gennem selve ligningernes koefficienter: 
.
Lad os nu finde ud af, om ligestillingen er sand. Begge frie termer er nul, så:
Den resulterende værdi opfylder denne ligning(ethvert tal opfylder det generelt).
Dermed falder linjerne sammen.
Svar:
Meget snart vil du lære (eller endda allerede har lært) at løse det problem, der diskuteres verbalt, bogstaveligt talt på få sekunder. I den forbindelse ser jeg ingen mening i at tilbyde noget for selvstændig beslutning, det er bedre at lægge en anden vigtig mursten i det geometriske fundament:
Hvordan konstruerer man en linje parallel med en given linje?
For uvidenhed om dette enkleste opgave Nightingale, røveren, straffer hårdt.
Eksempel 2
Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning for en parallel linje, der går gennem punktet.
Løsning: Lad os betegne den ukendte linje med bogstavet . Hvad siger tilstanden om hende? Den lige linje går gennem punktet. Og hvis linjerne er parallelle, så er det indlysende, at retningsvektoren for den rette linje "tse" også er egnet til at konstruere den lige linje "de".
Vi tager retningsvektoren ud af ligningen:
Svar:
Eksemplets geometri ser simpel ud: 
Analytisk test består af næste skridt:
1) Vi tjekker, at linjerne har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er forenklet korrekt, så vil vektorerne være kollineære).
2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning.
I de fleste tilfælde kan analytisk test nemt udføres mundtligt. Se på de to ligninger, og mange af jer vil hurtigt bestemme linjernes parallelitet uden nogen tegning.
Eksempler på uafhængige løsninger i dag vil være kreative. For du bliver stadig nødt til at konkurrere med Baba Yaga, og hun, du ved, elsker alle mulige gåder.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje, der går gennem et punkt parallelt med linjen if
Der er en rationel og en ikke så rationel rationel måde løsninger. Den korteste vej er i slutningen af lektionen.
Vi arbejdede lidt med parallelle linjer og vender tilbage til dem senere. Tilfældet med sammenfaldende linjer er af ringe interesse, så lad os overveje et problem, som du kender fra skolepensum:
Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?
Hvis lige 
skærer hinanden ved punkt , så er dens koordinater løsningen systemer af lineære ligninger 
Hvordan finder man skæringspunktet mellem linjer? Løs systemet.
Vær så god geometrisk betydning systemer på to lineære ligninger med to ukendte- disse er to skærende (oftest) linjer på et plan.
Eksempel 4
Find skæringspunktet mellem linjer
Løsning: Der er to måder at løse - grafisk og analytisk.
Grafisk metode er blot at tegne de givne linjer og finde ud af skæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er vores pointe:. For at kontrollere, bør du erstatte dens koordinater i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinaterne for et punkt en løsning på systemet. Grundlæggende så vi på en grafisk løsning systemer af lineære ligninger med to ligninger, to ubekendte.
Den grafiske metode er selvfølgelig ikke dårlig, men der er mærkbare ulemper. Nej, pointen er ikke, at syvende klasser beslutter sig på denne måde, pointen er, at det vil tage tid at lave en korrekt og PRÆCIS tegning. Derudover er nogle lige linjer ikke så lette at konstruere, og selve skæringspunktet kan være placeret et sted i det tredivte rige uden for notesbogsarket.
Derfor er det mere hensigtsmæssigt at lede efter skæringspunktet analytisk metode. Lad os løse systemet: 
For at løse systemet blev metoden med term-for-term addition af ligninger brugt. For at udvikle relevante færdigheder, tag en lektion Hvordan løser man et ligningssystem?
Svar:
Kontrollen er triviel - koordinaterne for skæringspunktet skal opfylde hver ligning i systemet.
Eksempel 5
Find skæringspunktet for linjerne, hvis de skærer hinanden.
Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Det er praktisk at opdele opgaven i flere faser. Analyse af tilstanden tyder på, at det er nødvendigt:
1) Skriv ligningen for den rette linje ned.
2) Skriv ligningen for den rette linje ned.
3) Find ud af linjernes relative position.
4) Hvis linjerne skærer hinanden, så find skæringspunktet.
Udvikling af en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gentagne gange fokusere på dette.
Fuldstændig løsning og svaret i slutningen af lektionen:
Ikke engang et par sko var slidt op, før vi nåede til anden del af lektionen:
Vinkelrette linjer. Afstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellem lige linjer
Lad os starte med en typisk og meget vigtig opgave. I den første del lærte vi, hvordan man bygger en lige linje parallelt med denne, og nu vil hytten på kyllingelår dreje 90 grader:
Hvordan konstruerer man en linje vinkelret på en given linje?
Eksempel 6
Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning vinkelret på linjen, der går gennem punktet.
Løsning: Ved betingelse er det kendt at . Det ville være rart at finde linjens retningsvektor. Da linjerne er vinkelrette, er tricket enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være den rette linjes retningsvektor.
Lad os sammensætte ligningen for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor:
Svar: 
Lad os udvide den geometriske skitse:
Hmmm... Orange himmel, orange hav, orange kamel.
Analytisk verifikation af løsningen:
1) Vi tager retningsvektorerne ud fra ligningerne 
og med hjælp skalært produkt af vektorer vi kommer til den konklusion, at linjerne faktisk er vinkelrette:.
I øvrigt kan du bruge normale vektorer, det er endnu nemmere.
2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning 
.
Testen er igen nem at udføre oralt.
Eksempel 7
Find skæringspunktet for vinkelrette linjer, hvis ligningen er kendt 
og periode.
Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Der er flere handlinger i problemet, så det er praktisk at formulere løsningen punkt for punkt.
Vores spændende rejse fortsætter:
Afstand fra punkt til linje
Foran os ligger en lige stribe af floden, og vores opgave er at komme dertil ad den korteste vej. Der er ingen forhindringer, og den mest optimale rute vil være at bevæge sig langs vinkelret. Det vil sige, at afstanden fra et punkt til en linje er længden af det vinkelrette segment.
Afstand i geometri betegnes traditionelt græsk bogstav"ro", for eksempel: - afstanden fra punktet "em" til den lige linje "de".
Afstand fra punkt til linje 
udtrykt ved formlen
Eksempel 8
Find afstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du skal gøre er omhyggeligt at erstatte tallene i formlen og udføre beregningerne:
Svar: 
Lad os lave tegningen: 
Den fundne afstand fra punktet til linjen er nøjagtigt længden af det røde segment. Hvis du tegner en tegning på ternet papir på en skala fra 1 enhed. = 1 cm (2 celler), så kan afstanden måles med en almindelig lineal.
Lad os overveje en anden opgave baseret på den samme tegning:
Opgaven er at finde koordinaterne til et punkt, der er symmetrisk med punktet i forhold til den rette linje 
. Jeg foreslår, at du selv udfører trinene, men jeg vil skitsere løsningsalgoritmen med mellemliggende resultater:
1) Find en linje, der er vinkelret på linjen.
2) Find skæringspunktet for linjerne: 
.
Begge handlinger diskuteres i detaljer i denne lektion.
3) Punktet er midtpunktet af segmentet. Vi kender koordinaterne for midten og en af enderne. Ved formler for koordinaterne for et segments midtpunkt vi finder .
Det vil være en god idé at tjekke, at afstanden også er 2,2 enheder.
Der kan opstå vanskeligheder i beregninger her, men en mikroberegner er en stor hjælp i tårnet, så du kan tælle almindelige brøker. Jeg har rådgivet dig mange gange og vil anbefale dig igen.
Hvordan finder man afstanden mellem to parallelle linjer?
Eksempel 9
Find afstanden mellem to parallelle linjer
Dette er endnu et eksempel, som du selv kan bestemme. Jeg vil give dig et lille tip: der er uendeligt mange måder at løse dette på. Debriefing i slutningen af lektionen, men det er bedre at prøve at gætte selv, jeg tror, at din opfindsomhed var veludviklet.
Vinkel mellem to lige linjer
Hvert hjørne er en jamb: 
I geometri er vinklen mellem to rette linjer taget for at være den MINDRE vinkel, hvoraf det automatisk følger, at den ikke kan være stump. På figuren betragtes vinklen angivet af den røde bue ikke som vinklen mellem skærende linjer. Og hans "grønne" nabo el modsat orienteret"hindbær" hjørne.
Hvis linjerne er vinkelrette, så kan enhver af de 4 vinkler tages som vinklen mellem dem.
Hvordan er vinklerne forskellige? Orientering. For det første er retningen, som vinklen "scrolles" i, grundlæggende vigtig. For det andet skrives en negativt orienteret vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor fortalte jeg dig dette? Det ser ud til, at vi kan klare os med det sædvanlige begreb om en vinkel. Faktum er, at i formlerne, hvormed vi finder vinkler, kan det nemt vise sig negativt resultat, og det burde ikke overraske dig. En vinkel med et minustegn er ikke værre, og har en meget specifik geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, skal du sørge for at angive dens orientering med en pil (med uret).
Hvordan finder man vinklen mellem to rette linjer? Der er to arbejdsformler:
Eksempel 10
Find vinklen mellem linjer
Løsning Og Metode et
Lad os betragte to lige linjer defineret af ligninger i generel form: 
Hvis lige ikke vinkelret, At orienteret Vinklen mellem dem kan beregnes ved hjælp af formlen: 
Lad os være meget opmærksomme på nævneren - det er præcis skalært produkt retningsvektorer af rette linjer:
Hvis , så bliver nævneren af formlen nul, og vektorerne vil være ortogonale, og linjerne vil være vinkelrette. Derfor blev der taget forbehold for, at rette linjer ikke er vinkelrette i formuleringen.
Baseret på ovenstående er det praktisk at formalisere løsningen i to trin:
1) Lad os beregne skalarproduktet af linjernes retningsvektorer:
, hvilket betyder, at linjerne ikke er vinkelrette.
2) Find vinklen mellem rette linjer ved hjælp af formlen:
Ved hjælp af omvendt funktion Det er nemt at finde selve hjørnet. I dette tilfælde bruger vi arctangensens mærkelighed (se. Grafer og egenskaber for elementære funktioner):
Svar: 
I svaret angiver vi præcise værdi, samt en omtrentlig værdi (gerne i både grader og radianer), beregnet ved hjælp af en lommeregner.
Nå, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustration: 
Det er ikke overraskende, at vinklen viste sig at have en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tal en lige linje, og "skruningen" af vinklen begyndte præcis med den.
Hvis du virkelig vil have en positiv vinkel, skal du bytte linjerne, det vil sige tage koefficienterne fra den anden ligning 
, og tag koefficienterne fra den første ligning. Kort sagt, du skal starte med en direkte 
.
St. Petersburg State Marine Technical University
Afdeling computer grafik og informationsstøtte
LEKTION 3
PRAKTISK OPGAVE nr. 3
Bestemmelse af afstanden fra et punkt til en ret linje.
Du kan bestemme afstanden mellem et punkt og en ret linje ved at udføre følgende konstruktioner (se fig. 1):
· fra punkt MED sænk vinkelret på en lige linje EN;
· markere et punkt TIL skæring af en vinkelret med en lige linje;
måle længden af segmentet KS, hvis begyndelse er et givet punkt, og enden er det markerede skæringspunkt.
Fig.1. Afstand fra et punkt til en linje.
Grundlaget for at løse problemer af denne type er projektionsreglen ret vinkel: en ret vinkel projiceres uden forvrængning, hvis mindst en af dens sider er parallel med projektionsplanet(dvs. indtager en privat stilling). Lad os starte med netop et sådant tilfælde og overveje konstruktioner til bestemmelse af afstanden fra et punkt MED til et lige linjestykke AB.
Der er ingen testcases i denne opgave, men muligheder for udførelse individuelle opgaver vist i tabel1 og tabel2. Løsningen på problemet er beskrevet nedenfor, og de tilsvarende konstruktioner er vist i fig. 2.
1. Bestemmelse af afstanden fra et punkt til en bestemt linje.
Først konstrueres projektioner af et punkt og et segment. Projektion A1B1 parallelt med aksen x. Det betyder, at segmentet AB parallelt med flyet P2. Hvis fra punkt MED tegne vinkelret på AB, så projiceres den rigtige vinkel uden forvrængning på planet P2. Dette giver dig mulighed for at tegne en vinkelret fra et punkt C2 til projektion A2B2.
Drop down menu Tegning-Segment (Tegne- Linje) . Placer markøren ved et punkt C2 og fastgør det som det første punkt i segmentet. Flyt markøren i retning af normalen til segmentet A2B2 og fix det andet punkt på det i det øjeblik, tippet vises Normal (Vinkelret) . Marker det konstruerede punkt K2. Aktiver tilstand ORTHO(ORTHO) , og fra punktet K2 tegne en lodret forbindelseslinje, indtil den skærer fremspringet A1 B1. Udpeg skæringspunktet ved K1. Prik TIL, liggende på segmentet AB, er skæringspunktet for vinkelret tegnet fra punktet MED, med segment AB. Således segmentet KS er den nødvendige afstand fra punktet til linjen.
Af konstruktionerne fremgår det tydeligt, at segmentet KS indtager en generel position, og derfor er dens projektioner forvrænget. Når vi taler om afstand, mener vi altid segmentets sande værdi, der udtrykker afstanden. Derfor skal vi finde den sande værdi af segmentet KS, ved at dreje den til en bestemt position, f.eks. KS|| P1. Resultatet af konstruktionerne er vist i fig. 2.
Fra konstruktionerne vist i fig. 2 kan vi konkludere: den særlige position af linjen (segmentet er parallelt P1 eller P2) giver dig mulighed for hurtigt at bygge projektioner af afstanden fra et punkt til en linje, men de er forvrænget.
Fig.2. Bestemmelse af afstanden fra et punkt til en bestemt linje.
2. Bestemmelse af afstanden fra et punkt til en linje generel holdning.
Ikke altid inde starttilstand segmentet indtager en bestemt position. Generelt udgangsposition Følgende konstruktioner udføres for at bestemme afstanden fra et punkt til en linje:
a) ved hjælp af tegningstransformationsmetoden, konverter et segment fra en generel position til en bestemt - dette vil tillade konstruktion af afstandsprojektioner (forvrænget);
b) ved at bruge metoden igen, konverter segmentet svarende til den nødvendige afstand til en bestemt position - vi opnår en projektion af afstanden i størrelsesorden lig med den reelle.
Overvej rækkefølgen af konstruktioner for at bestemme afstanden fra et punkt EN til et segment i generel position Sol(Fig. 3).
Ved første spin det er nødvendigt at opnå segmentets særlige position IC. For at gøre dette i laget TMR skal forbinde prikkerne AT 2, C2 Og A2. Brug af kommandoen Skift-Roter (Modificere – Rotere) trekant В2С2А2 dreje rundt om et punkt C2 til den position, hvor den nye projektion B2*C2 vil være placeret strengt vandret (punkt MED er ubevægelig, og derfor falder dens nye projektion sammen med den oprindelige og betegnelsen C2* Og C1* vises muligvis ikke på tegningen). Som følge heraf vil der blive opnået nye fremskrivninger af segmentet B2*C2 og point: A2*. Næste fra point A2* Og AT 2* lodrette udføres, og fra punkterne I 1 Og A1 horisontale kommunikationslinjer. Skæringspunktet mellem de tilsvarende linjer vil bestemme positionen af punkterne i den nye vandrette projektion: segmentet B1*C1 og prikker A1*.
I den resulterende særlige position kan vi konstruere afstandsprojektioner til dette: fra punktet A1* det normale til B1*C1. Pointen med deres gensidige skæringspunkt er K1*. Fra dette tidspunkt udføres det lodret linje forbindelser, indtil de krydser fremspringet B2*C2. Et punkt er markeret K2*. Som et resultat blev fremskrivningerne af segmentet opnået AK, som er den nødvendige afstand fra punktet EN til et lige linjestykke Sol.
Dernæst er det nødvendigt at konstruere afstandsprojektioner i den oprindelige tilstand. For at gøre dette fra punktet K1* praktisk at udføre vandret linje indtil den skærer fremspringet В1С1 og marker skæringspunktet K1. Derefter konstrueres et punkt K2 på den frontale projektion af segmentet og projektioner udføres A1K1 Og A2K2. Som et resultat af konstruktionerne blev fremskrivninger af afstanden opnået, men både i den indledende og i den nye delposition af segmentet sol, linjestykke AK indtager en generel stilling, og dette fører til, at alle dens fremskrivninger er forvrænget.
Ved anden omdrejning det er nødvendigt at rotere segmentet AK til en bestemt position, som giver os mulighed for at bestemme den sande værdi af afstanden - projektion A2*K2**. Resultatet af alle konstruktioner er vist i fig. 3.
OPGAVE nr. 3-1. MED til den lige linje af den private stilling, givet af et segment AB. Giv svaret i mm (Tabel 1).Fjern projektionslinser
tabel 1
OPGAVE nr. 3-2. Find den sande afstand fra et punkt M til en ret linje i generel position givet af segmentet ED. Giv svaret i mm (tabel 2).
tabel 2
Kontrol og beståelse udført OPGAVE nr. 3.
Bestemmelse af afstande
Afstande fra punkt til punkt og fra punkt til linje
Afstand fra punkt til punkt bestemmes af længden af den lige linje, der forbinder disse punkter. Som vist ovenfor kan dette problem løses enten ved metoden retvinklet trekant, eller ved at erstatte projektionsplaner, flytte segmentet til niveaulinjens position.
Afstand fra punkt til linje målt ved et vinkelret segment trukket fra et punkt til en linje. Et segment af denne vinkelrette er afbildet i fuld størrelse på projektionsplanet, hvis det er tegnet til den fremspringende lige linje. Således skal først den lige linje overføres til den fremspringende position, og derefter skal en vinkelret fra et givet punkt sænkes ned på den. I fig. 1 viser løsningen på dette problem. For at overføre den generelle positionslinje AB til niveaulinjepositionen udføres x14 IIA1 B1. Derefter overføres AB til den projicerende position ved at indføre et ekstra projektionsplan P5, for hvilket der tegnes en ny projektionsakse x45\A4 B4.
Billede 1
I lighed med punkterne A og B projiceres punkt M på projektionsplanet P5.
Projektion K5 af basen K af vinkelret sænket fra punkt M til linje AB på projektionsplanet P5 vil falde sammen med de tilsvarende projektioner af punkterne
A og B. Projektion M5 K5 af den vinkelrette MK er den naturlige værdi af afstanden fra punkt M til den rette linje AB.
I systemet med projektionsplaner P4/P5 vil vinkelret på MK være en niveaulinje, da den ligger i et plan parallelt med projektionsplanet P5. Derfor er dens projektion M4 K4 på planet P4 parallel med x45, dvs. vinkelret på projektion A4 B4. Disse forhold bestemmer placeringen af fremspringet K4 af bunden af den vinkelrette K, som findes ved at tegne en ret linje fra M4 parallelt med x45, indtil den skærer fremspringet A4 B4. De resterende projektioner af vinkelret findes ved at projicere punktet K på projektionsplanerne P1 og P2.
Afstand fra punkt til plan
Løsningen på dette problem er vist i fig. 2. Afstanden fra punkt M til planet (ABC) måles ved et vinkelret segment faldet fra punktet til planet.
Figur 2
Da vinkelret på det projekterende plan er en plan linje, flytter vi til denne position givet fly, som et resultat af hvilket vi på det nye indførte projektionsplan P4 opnår en degenereret projektion C4 B4 af ABC-planet. Dernæst projicerer vi punkt M på P4. Den naturlige værdi af afstanden fra punkt M til planet bestemmes af det vinkelrette segment
[MK]=[M4 K4]. De resterende projektioner af vinkelret er konstrueret på samme måde som i tidligere opgave, dvs. under hensyntagen til det faktum, at MK-segmentet i systemet med projektionsplaner P1 / P4 er en niveaulinje, og dets projektion M1 K1 er parallel med aksen
x14.
Afstand mellem to linjer
Den korteste afstand mellem skærende rette linjer måles ved størrelsen af segmentet af den fælles vinkelret på dem afskåret af disse rette linjer. Problemet løses ved at vælge (som et resultat af to på hinanden følgende substitutioner) et projektionsplan vinkelret på en af de skærende linjer. I dette tilfælde vil det krævede vinkelrette segment være parallelt med det valgte projektionsplan og vil blive afbildet på det uden forvrængning. I fig. Figur 3 viser to skærende linjer defineret af segmenterne AB og CD.
Figur 3
Linjerne projiceres indledningsvis på projektionsplanet P4, parallelt med en (enhver) af dem, for eksempel AB, og vinkelret på P1.
På projektionsplanet P4 vil segment AB blive afbildet uden forvrængning. Derefter projiceres segmenterne på et nyt plan P5 vinkelret på den samme linje AB og plan P4. På projektionsplanet P5 degenererer projektionen af segmentet AB vinkelret på det til punktet A5 = B5, og den ønskede værdi N5 M5 af segmentet NM er vinkelret på C5 D5 og er afbildet i fuld størrelse. Ved hjælp af passende kommunikationslinjer konstrueres projektioner af segmentet MN på originalen
tegning. Som det blev vist tidligere, er projektionen N4 M4 af det ønskede segment på planet P4 parallel med projektionsaksen x45, da det er en niveaulinje i systemet af projektionsplanerne P4 / P5.
Opgaven med at bestemme afstanden D mellem to parallelle linjer AB til CD - særlig situation den forrige (fig. 4).
Figur 4
Ved dobbelt udskiftning af projektionsplanerne overføres de parallelle rette linjer til den projicerende position, hvorved vi på projektionsplanet P5 vil have to degenererede projektioner A5 = B5 og C5 = D5 af de rette linjer AB og CD. Afstanden mellem dem D vil være lig med dens naturlige værdi.
Afstanden fra en ret linje til et plan parallelt med den måles ved et vinkelret segment tegnet fra et hvilket som helst punkt på den rette linje og ind på planet. Derfor er det nok at transformere det generelle positionsplan til det projekterende plans position, tage et direkte punkt, og løsningen af problemet vil blive reduceret til at bestemme afstanden fra punktet til planet.
For at bestemme afstanden mellem parallelle planer, er det nødvendigt at overføre dem til den fremspringende position og konstruere en vinkelret på de degenererede projektioner af flyene, hvis segment mellem dem vil være den nødvendige afstand.
Denne artikel taler om emnet « afstand fra et punkt til en linje », Diskuterer definitionen af afstanden fra et punkt til en linje med illustrerede eksempler ved brug af koordinatmetoden. Hver teoriblok i slutningen har vist eksempler på løsning af lignende problemer.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Afstanden fra et punkt til en linje findes ved at bestemme afstanden fra punkt til punkt. Lad os se nærmere.
Lad der være en linje a og et punkt M 1, der ikke hører til den givne linje. Gennem det tegner vi en lige linje b, placeret vinkelret på den lige linje a. Lad os tage linjernes skæringspunkt som H 1. Vi opnår, at M 1 H 1 er en vinkelret, der blev sænket fra punkt M 1 til den rette linje a.
Definition 1
Afstand fra punkt M 1 til lige linje a kaldes afstanden mellem punkterne M 1 og H 1.
Der er definitioner, der inkluderer længden af vinkelret.
Definition 2
Afstand fra punkt til linje er længden af vinkelret tegnet fra et givet punkt til en given linje.
Definitionerne er tilsvarende. Overvej figuren nedenfor.
Det er kendt, at afstanden fra et punkt til en linje er den mindste af alle mulige. Lad os se på dette med et eksempel.
Hvis vi tager et punkt Q, der ligger på en ret linje a, som ikke falder sammen med punktet M 1, så får vi, at stykket M 1 Q kaldes et skrå stykke, sænket fra M 1 til en ret linje a. Det er nødvendigt at angive, at vinkelret fra punkt M 1 er mindre end enhver anden skrå linje trukket fra punktet til den rette linje.
For at bevise dette, overvej trekanten M 1 Q 1 H 1, hvor M 1 Q 1 er hypotenusen. Det er kendt, at dens længde altid er større end længden af nogen af benene. Det betyder, at vi har M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
De indledende data til at finde fra et punkt til en linje giver dig mulighed for at bruge flere løsningsmetoder: gennem Pythagoras sætning, bestemmelse af sinus, cosinus, tangens af en vinkel og andre. De fleste opgaver af denne type løses på skolen i geometritimerne.
Når det, når man skal finde afstanden fra et punkt til en linje, er muligt at indføre et rektangulært koordinatsystem, så bruges koordinatmetoden. I dette afsnit vil vi overveje de to vigtigste metoder til at finde den nødvendige afstand fra et givet punkt.
Den første metode går ud på at søge efter afstanden som en vinkelret tegnet fra M 1 til den rette linje a. Den anden metode bruger normal ligning lige linje a for at finde den nødvendige afstand.
Hvis der er et punkt på planet med koordinaterne M 1 (x 1, y 1), placeret ved rektangulært system koordinater, ret linje a, og det er nødvendigt at finde afstanden M 1 H 1, kan beregningen foretages på to måder. Lad os se på dem.
Første vej
Hvis der er koordinater for punkt H 1 lig med x 2, y 2, så beregnes afstanden fra punktet til linjen ved hjælp af koordinaterne fra formlen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Lad os nu gå videre til at finde koordinaterne for punkt H 1.
Det er kendt, at en ret linje i O x y svarer til ligningen for en ret linje på planet. Lad os tage metoden til at definere en ret linje a ved at skrive en generel ligning af en ret linje eller en ligning med en vinkelkoefficient. Vi sammensætter ligningen for en ret linje, der går gennem punkt M 1 vinkelret på en given ret linje a. Lad os betegne den rette linje med bogstavet b. H 1 er skæringspunktet mellem linje a og b, hvilket betyder, at man for at bestemme koordinaterne skal bruge artiklen, hvori vi taler om om koordinaterne for to linjers skæringspunkter.
Det kan ses, at algoritmen til at finde afstanden fra et givet punkt M 1 (x 1, y 1) til den rette linje a udføres i henhold til punkterne:
Definition 3
- at finde den generelle ligning for en ret linje a, med formen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, eller en ligning med en vinkelkoefficient, med formen y = k 1 x + b 1;
- opnåelse af en generel ligning af linie b, med formen A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 eller en ligning med en vinkelkoefficient y = k 2 x + b 2, hvis linie b skærer punkt M 1 og er vinkelret på en given linje a;
- bestemmelse af koordinaterne x 2, y 2 for punktet H 1, som er skæringspunktet for a og b, til dette formål løses systemet af lineære ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B2y + C2 = 0 eller y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
- beregning af den nødvendige afstand fra et punkt til en linje ved hjælp af formlen M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Anden vej
Sætningen kan hjælpe med at besvare spørgsmålet om at finde afstanden fra et givet punkt til en given ret linje på et plan.
Sætning
Det rektangulære koordinatsystem har O x y har et punkt M 1 (x 1, y 1), hvorfra der trækkes en ret linje til planet, givet ved normalligningen for planet, der har cos udsigtα · x + cos β · y - p = 0, lig i modul med værdien opnået på venstre side af linjens normalligning, beregnet ved x = x 1, y = y 1, hvilket betyder, at M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .
Bevis
Linje a svarer til normalligningen for planet, der har formen cos α x + cos β y - p = 0, så n → = (cos α, cos β) betragtes som normalvektoren for linje a i en afstand fra oprindelse til linje a med p enheder . Det er nødvendigt at vise alle dataene i figuren, tilføje et punkt med koordinaterne M 1 (x 1, y 1), hvor radiusvektoren for punktet M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Det er nødvendigt at tegne en ret linje fra et punkt til en ret linje, som vi betegner som M 1 H 1 . Det er nødvendigt at vise projektionerne M 2 og H 2 af punkterne M 1 og H 2 på en ret linje, der går gennem punktet O med en retningsvektor på formen n → = (cos α, cos β), og angive numerisk projektion af vektoren som O M 1 → = (x 1, y 1) til retningen n → = (cos α , cos β) som n p n → O M 1 → .
Variationerne afhænger af selve M1-punktets placering. Lad os se på figuren nedenfor.
Vi fikser resultaterne ved hjælp af formlen M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Så bringer vi ligheden til denne form M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p for at opnå n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Skalært produkt vektorer som et resultat giver en transformeret formel på formen n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , som er et produkt i koordinatform af form n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Det betyder, at vi får, at n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Det følger heraf, at M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Sætningen er blevet bevist.
Vi finder ud af, at for at finde afstanden fra punkt M 1 (x 1 , y 1) til lige linje a på planet, skal du udføre flere handlinger:
Definition 4
- opnåelse af normalligningen for den rette linje a cos α · x + cos β · y - p = 0, forudsat at den ikke er i opgaven;
- beregning af udtrykket cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, hvor den resulterende værdi tager M 1 H 1.
Lad os anvende disse metoder til at løse problemer med at finde afstanden fra et punkt til et plan.
Eksempel 1
Find afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 (- 1, 2) til den rette linje 4 x - 3 y + 35 = 0.
Løsning
Lad os bruge den første metode til at løse.
For at gøre dette skal du finde generel ligning linje b, som går gennem et givet punkt M 1 (- 1, 2), vinkelret på linjen 4 x - 3 y + 35 = 0. Fra betingelsen er det klart, at linje b er vinkelret på linje a, så har dens retningsvektor koordinater lig med (4, - 3). Vi har således mulighed for at nedskrive linie bs kanoniske ligning på planet, da der er koordinater til punktet M 1, som hører til linie b. Lad os bestemme koordinaterne for retningsvektoren for den rette linje b. Vi får, at x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Den resulterende kanoniske ligning skal konverteres til en generel. Så får vi det
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Lad os finde koordinaterne for linjernes skæringspunkter, som vi vil tage som betegnelsen H 1. Transformationerne ser således ud:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Ud fra det, der er skrevet ovenfor, har vi, at koordinaterne for punkt H 1 er lig med (- 5; 5).
Det er nødvendigt at beregne afstanden fra punkt M 1 til lige linje a. Vi har, at koordinaterne for punkterne M 1 (- 1, 2) og H 1 (- 5, 5), så erstatter vi dem i formlen for at finde afstanden og få det
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Anden løsning.
For at løse på en anden måde er det nødvendigt at få linjens normale ligning. Vi beregner værdien af normaliseringsfaktoren og multiplicerer begge sider af ligningen 4 x - 3 y + 35 = 0. Herfra får vi, at normaliseringsfaktoren er lig med - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, og normalligningen vil være af formen - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Ifølge beregningsalgoritmen er det nødvendigt at opnå den normale ligning for linjen og beregne den med værdierne x = - 1, y = 2. Så får vi det
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Heraf får vi, at afstanden fra punkt M 1 (- 1, 2) til den givne rette linie 4 x - 3 y + 35 = 0 har værdien - 5 = 5.
Svar: 5 .
Det er klart, at i denne metode Det er vigtigt at bruge den normale ligning for en linje, da denne metode er den korteste. Men den første metode er praktisk, fordi den er konsistent og logisk, selvom den har flere beregningspunkter.
Eksempel 2
På planet er der et rektangulært koordinatsystem O x y med punktet M 1 (8, 0) og lige linje y = 1 2 x + 1. Find afstanden fra et givet punkt til en ret linje.
Løsning
Den første løsning involverer støbning givet ligning med hældningen til ligningen generel opfattelse. For at forenkle kan du gøre det anderledes.
Hvis produktet af vinkelkoefficienterne for vinkelrette rette linjer har en værdi på - 1, så hældning linje vinkelret på den givne y = 1 2 x + 1 har værdien 2. Nu får vi ligningen for en linje, der går gennem et punkt med koordinaterne M 1 (8, 0). Vi har, at y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Vi fortsætter med at finde koordinaterne for punktet H 1, det vil sige skæringspunkterne y = - 2 x + 16 og y = 1 2 x + 1. Vi sammensætter et ligningssystem og får:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)
Det følger heraf, at afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 (8, 0) til den rette linje y = 1 2 x + 1 er lig med afstanden fra startpunktet og slutpunktet med koordinaterne M 1 (8, 0) og H1 (6, 4). Lad os beregne og finde ud af, at M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Løsningen på den anden måde er at gå fra en ligning med en koefficient til dens normale form. Det vil sige, vi får y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, så vil værdien af normaliseringsfaktoren være - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Det følger heraf, at linjens normale ligning har formen - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Lad os udføre beregningen fra punktet M 1 8, 0 til en linje på formen - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Vi får:
M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Svar: 2 5 .
Eksempel 3
Det er nødvendigt at beregne afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 (- 2, 4) til linjerne 2 x - 3 = 0 og y + 1 = 0.
Løsning
Vi får ligningen for normalformen af den rette linje 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Derefter fortsætter vi med at beregne afstanden fra punktet M 1 - 2, 4 til den rette linje x - 3 2 = 0. Vi får:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Ligningen for den rette linje y + 1 = 0 har en normaliseringsfaktor med en værdi lig med -1. Det betyder, at ligningen vil have formen - y - 1 = 0. Vi fortsætter med at beregne afstanden fra punktet M 1 (- 2, 4) til den rette linje - y - 1 = 0. Vi finder, at det er lig med - 4 - 1 = 5.
Svar: 3 1 2 og 5.
Lad os se nærmere på at finde afstanden fra et givet punkt på flyet til koordinatakser O x og O y.
I et rektangulært koordinatsystem har O-aksen y en ligning af en ret linje, som er ufuldstændig og har formen x = 0, og O x - y = 0. Ligningerne er normale for koordinatakserne, så er det nødvendigt at finde afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 x 1, y 1 til linjerne. Dette gøres ud fra formlerne M 1 H 1 = x 1 og M 1 H 1 = y 1. Lad os se på figuren nedenfor.
Eksempel 4
Find afstanden fra punktet M 1 (6, - 7) til koordinatlinjerne i O x y-planet.
Løsning
Da ligningen y = 0 relaterer sig til linjen O x, kan vi finde afstanden fra M 1 s givne koordinater, til denne lige linje ved hjælp af formlen. Vi får at 6 = 6.
Da ligningen x = 0 refererer til den rette linje O y, kan du finde afstanden fra M 1 til denne rette linje ved hjælp af formlen. Så får vi det - 7 = 7.
Svar: afstanden fra M 1 til O x har en værdi på 6, og fra M 1 til O y har en værdi på 7.
Når i tredimensionelt rum vi har et punkt med koordinaterne M 1 (x 1, y 1, z 1), er det nødvendigt at finde afstanden fra punkt A til lige linje a.
Lad os overveje to metoder, der giver dig mulighed for at beregne afstanden fra et punkt til en lige linje a placeret i rummet. Det første tilfælde betragter afstanden fra punkt M 1 til en linje, hvor et punkt på linjen kaldes H 1 og er bunden af en vinkelret trukket fra punkt M 1 til linje a. Det andet tilfælde tyder på, at punkterne i dette plan skal søges som højden af parallelogrammet.
Første vej
Ud fra definitionen har vi, at afstanden fra punktet M 1 placeret på lige linje a er længden af den vinkelrette M 1 H 1, så får vi, at med de fundne koordinater til punktet H 1, så finder vi afstanden mellem M 1 ( x 1, y 1, z 1) og H 1 (x 1, y 1, z 1), baseret på formlen M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Vi finder, at hele løsningen går mod at finde koordinaterne for bunden af vinkelret tegnet fra M 1 til den rette linje a. Dette er produceret på følgende måde: H 1 er det punkt, hvor den rette linje a skærer den plan, der går gennem det givne punkt.
Dette betyder, at algoritmen til bestemmelse af afstanden fra punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) til linje a i rummet indebærer flere punkter:
Definition 5
- tegning af ligningen for planet χ som en ligning for planet, der passerer gennem et givet punkt placeret vinkelret på linjen;
- bestemmelse af koordinaterne (x 2, y 2, z 2), der hører til punktet H 1, som er skæringspunktet for den rette linje a og planen χ;
- beregning af afstanden fra et punkt til en linje ved hjælp af formlen M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Anden vej
Ud fra betingelsen har vi en ret linje a, så kan vi bestemme retningsvektoren a → = a x, a y, a z med koordinaterne x 3, y 3, z 3 og et bestemt punkt M 3 tilhørende lige a. Hvis du har koordinaterne for punkterne M 1 (x 1, y 1) og M 3 x 3, y 3, z 3, kan du beregne M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Vi skal tilsidesætte vektorerne a → = a x , a y , a z og M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 fra punkt M 3 , forbinde dem og få en parallelogramfigur . M 1 H 1 er højden af parallelogrammet.
Lad os se på figuren nedenfor.
Vi har, at højden M 1 H 1 er den nødvendige afstand, så er det nødvendigt at finde den ved hjælp af formlen. Det vil sige, vi leder efter M 1 H 1.
Lad os betegne arealet af parallelogrammet med bogstavet S, fundet ved formlen ved hjælp af vektoren a → = (a x, a y, a z) og M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Arealformlen er S = a → × M 3 M 1 → . Desuden er arealet af figuren lig med produktet af længden af dens sider og højden, vi får, at S = a → · M 1 H 1 med a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, hvilket er længden af vektoren a → = (a x, a y, a z), værende lige side parallelogram. Det betyder, at M 1 H 1 er afstanden fra punktet til linjen. Det findes ved hjælp af formlen M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
For at finde afstanden fra et punkt med koordinaterne M 1 (x 1, y 1, z 1) til en lige linje a i rummet, skal du udføre flere trin i algoritmen:
Definition 6
- bestemmelse af retningsvektoren for den rette linje a - a → = (a x, a y, a z);
- at beregne længden af retningsvektoren a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
- opnåelse af koordinater x 3 , y 3 , z 3 tilhørende punkt M 3 placeret på lige linje a;
- beregning af koordinaterne for vektoren M 3 M 1 → ;
- finde vektor produkt vektorerne a → (a x , a y , a z) og M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 som a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 for at opnå længden ved hjælp af formlen a → × M 3 M 1 → ;
- beregning af afstanden fra et punkt til en linje M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Løsning af problemer med at finde afstanden fra et givet punkt til en given linje i rummet
Eksempel 5Find afstanden fra punktet med koordinaterne M 1 2, - 4, - 1 til linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Løsning
Den første metode begynder med at skrive ligningen for planet χ, der går gennem M 1 og vinkelret på givet point. Vi får et udtryk som:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Det er nødvendigt at finde koordinaterne for punktet H 1, som er skæringspunktet med χ-planet til linjen specificeret af betingelsen. Vi burde flytte fra kanonisk form til den krydsende. Så får vi et ligningssystem af formen:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Det er nødvendigt at beregne systemet x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 ved Cramers metode, så får vi det:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ 0 z ∆ 60 = 0
Herfra har vi den H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Den anden metode er at starte med at søge efter koordinater i kanonisk ligning. For at gøre dette skal du være opmærksom på brøkens nævnere. Så er a → = 2, - 1, 5 retningsvektoren for linjen x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Det er nødvendigt at beregne længden ved hjælp af formlen a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Det er tydeligt, at den rette linje x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 skærer punktet M 3 (- 1 , 0 , - 5), derfor har vi, at vektoren med oprindelsen M 3 (- 1 , 0 , - 5) og dens ende ved punktet M 1 2, - 4, - 1 er M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Find vektorproduktet a → = (2, - 1, 5) og M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Vi får et udtryk af formen a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
vi finder, at længden af vektorproduktet er lig med a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Vi har alle data til at bruge formlen til at beregne afstanden fra et punkt for en lige linje, så lad os anvende det og få:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Svar: 11 .
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter