I juli 2020 lancerer NASA en ekspedition til Mars. Rumfartøjet vil levere til Mars et elektronisk medie med navnene på alle registrerede ekspeditionsdeltagere.
Hvis dette indlæg løste dit problem, eller du bare kunne lide det, så del linket til det med dine venner på sociale netværk.
En af disse kodemuligheder skal kopieres og indsættes i koden på din webside, helst mellem tags og eller umiddelbart efter tagget. Ifølge den første mulighed indlæses MathJax hurtigere og sænker siden mindre. Men den anden mulighed overvåger og indlæser automatisk de nyeste versioner af MathJax. Hvis du indsætter den første kode, skal den opdateres med jævne mellemrum. Hvis du indsætter den anden kode, indlæses siderne langsommere, men du behøver ikke konstant at overvåge MathJax-opdateringer.
Den nemmeste måde at forbinde MathJax på er i Blogger eller WordPress: Tilføj en widget, der er designet til at indsætte tredjeparts JavaScript-kode i webstedets kontrolpanel, kopier den første eller anden version af downloadkoden præsenteret ovenfor ind i den, og placer widgetten tættere på til begyndelsen af skabelonen (det er i øvrigt slet ikke nødvendigt, da MathJax-scriptet indlæses asynkront). Det er alt. Lær nu markup-syntaksen for MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til at indsætte matematiske formler på dit websteds websider.
Endnu en nytårsaften... frostvejr og snefnug på vinduesglasset... Alt dette fik mig til at skrive igen om... fraktaler, og hvad Wolfram Alpha ved om det. Der er en interessant artikel om dette emne, som indeholder eksempler på todimensionelle fraktale strukturer. Her vil vi se på mere komplekse eksempler på tredimensionelle fraktaler.
En fraktal kan visuelt repræsenteres (beskrevet) som en geometrisk figur eller krop (hvilket betyder, at begge er et sæt, i dette tilfælde et sæt punkter), hvis detaljer har samme form som selve den originale figur. Det vil sige, at dette er en selvlignende struktur, der undersøger detaljerne, hvis forstørrede, vi vil se den samme form som uden forstørrelse. Hvor der er tale om en almindelig geometrisk figur (ikke en fraktal), vil vi ved forstørrelse se detaljer, der har en enklere form end selve den originale figur. For eksempel, ved en høj nok forstørrelse, ligner en del af en ellipse et lige linjestykke. Dette sker ikke med fraktaler: med nogen stigning i dem, vil vi igen se den samme komplekse form, som vil blive gentaget igen og igen med hver stigning.
Benoit Mandelbrot, grundlæggeren af videnskaben om fraktaler, skrev i sin artikel Fractals and Art in the Name of Science: "Fractals er geometriske former, der er lige så komplekse i deres detaljer som i deres overordnede form. Det vil sige, hvis en del af fraktalen vil blive forstørret til størrelsen af det hele, vil det fremstå som en helhed, enten nøjagtigt eller måske med en lille deformation."
En ret linje i rummet kan altid defineres som skæringslinjen mellem to ikke-parallelle planer. Hvis ligningen for den ene plan er ligningen for den anden plan, så er linjens ligning givet som
Her 
ikke-kollineær 
. Disse ligninger kaldes generelle ligninger lige i rummet.
Linjens kanoniske ligninger
Enhver ikke-nul vektor, der ligger på en given linje eller parallel med den, kaldes retningsvektoren for denne linje.
Hvis pointen er kendt 
lige linje og dens retningsvektor 
, så har linjens kanoniske ligninger formen:
.
(9)
Parametriske ligninger for en linje
Lad linjens kanoniske ligninger være givet
.
Herfra får vi linjens parametriske ligninger:
(10)
Disse ligninger er nyttige til at finde skæringspunktet for en linje og en plan.
Ligning for en linje, der går gennem to punkter 
Og 
har formen:
.
Vinkel mellem lige linjer
Vinkel mellem lige linjer
Og 
lig med vinklen mellem deres retningsvektorer. Derfor kan det beregnes ved hjælp af formel (4):
Betingelse for parallelle linjer:
.
Betingelse for at fly skal være vinkelrette:
Afstanden mellem et punkt og en linje
P 
lad os sige, at pointen er givet 
og lige
.
Fra linjens kanoniske ligninger kender vi punktet 
, der hører til en linje, og dens retningsvektor 
. Derefter punktets afstand 
fra en ret linje er lig med højden af et parallelogram bygget på vektorer 
Og 
. Derfor,
.
Betingelse for skæring af linjer
To ikke-parallelle linjer
,
skære hvis og kun hvis
.
Den relative position af en ret linje og et plan.
Lad den rette linje være givet 
og fly. Hjørne 
mellem dem kan findes ved formlen
.
Opgave 73. Skriv linjens kanoniske ligninger
(11)
Løsning. For at nedskrive linjens (9) kanoniske ligninger er det nødvendigt at kende ethvert punkt, der hører til linjen, og linjens retningsvektor.
Lad os finde vektoren 
, parallelt med denne linje. Da den skal være vinkelret på normalvektorerne i disse planer, dvs.
,
, At
.
Fra de generelle ligninger for den rette linje har vi det 
,
. Derefter
.
Siden pointen 
ethvert punkt på en linje, så skal dets koordinater opfylde linjens ligninger, og en af dem kan specificeres, f.eks. 
, finder vi de to andre koordinater fra system (11):
Herfra, 
.
Således har de kanoniske ligninger af den ønskede linje formen:
eller 
.
Opgave 74.
Og 
.
Løsning. Fra den første linjes kanoniske ligninger kendes punktets koordinater 
der hører til linjen, og retningsvektorens koordinater 
. Fra den anden linjes kanoniske ligninger kendes også punktets koordinater 
og koordinater for retningsvektoren 
.
Afstanden mellem parallelle linjer er lig med punktets afstand 
fra den anden lige linje. Denne afstand beregnes ved hjælp af formlen
.
Lad os finde vektorens koordinater 
.
Lad os beregne vektorproduktet 
:
.
Opgave 75. Find et punkt 
symmetrisk punkt 
relativt lige
.
Løsning. Lad os nedskrive ligningen for en plan vinkelret på en given linje og går gennem et punkt 
. Som dens normale vektor 
du kan tage retningsvektoren af en lige linje. Derefter 
. Derfor,
Lad os finde et punkt 
skæringspunktet for denne linje og plan P. For at gøre dette skriver vi linjens parametriske ligninger ved hjælp af ligningerne (10), vi får
Derfor, 
.
Lade 
punkt symmetrisk til punkt 
i forhold til denne linje. Så peg 
midtpunkt 
. At finde koordinaterne til et punkt 
Vi bruger formlerne til koordinaterne for segmentets midtpunkt:
,
,
.
Så, 
.
Opgave 76. Skriv ligningen for en plan, der går gennem en linje 
Og
a) gennem et punkt 
;
b) vinkelret på planet.
Løsning. Lad os nedskrive de generelle ligninger for denne linje. For at gøre dette skal du overveje to ligheder:
Det betyder, at det ønskede plan tilhører et bundt af fly med generatorer, og dets ligning kan skrives på formen (8):
a) Lad os finde 
Og 
fra den betingelse, at flyet passerer gennem punktet 
derfor skal dens koordinater opfylde planens ligning. Lad os erstatte punktets koordinater 
ind i ligningen for en flok fly:
Fundet værdi 
Lad os erstatte det med ligning (12). vi opnår ligningen for det ønskede plan:
b) Lad os finde 
Og 
fra den betingelse, at det ønskede plan er vinkelret på planet. Normalvektoren for et givet plan 
, normalvektor for det ønskede plan (se ligning for en masse planer (12).
To vektorer er vinkelrette, hvis og kun hvis deres prikprodukt er nul. Derfor,
Lad os erstatte den fundne værdi 
ind i ligningen for en flok fly (12). Vi får ligningen for det ønskede plan:
Problemer, der skal løses selvstændigt
Opgave 77. Bring linjeligningen til den kanoniske form:
1)
2)
Opgave 78. Skriv linjens parametriske ligninger 
, hvis:
1)
,
;
2)
,
.
Opgave 79. Skriv ligningen for det fly, der går gennem punktet 
vinkelret på en ret linje 
Opgave 80. Skriv ligningerne for en linje, der passerer et punkt 
vinkelret på planet.
Opgave 81. Find vinklen mellem linjerne:
1)
Og 
;
2)
Og 
Opgave 82. Bevis linjernes parallellitet:
Og 
.
Opgave 83. Bevis linjernes vinkelrethed:
Og 
Opgave 84. Beregn afstanden til et punkt 
fra lige linje:
1)
;
2)
.
Opgave 85. Beregn afstanden mellem parallelle linjer:
Og 
.
Opgave 86. I linjens ligninger 
definere parameter 
så denne linje skærer linjen og find punktet for deres skæringspunkt.
Opgave 87. Vis, at det er lige 
parallelt med flyet 
, og den lige linje 
ligger i dette fly.
Opgave 88. Find et punkt 
symmetrisk punkt 
i forhold til flyet 
, hvis:
1)
,
;
2)
,
;.
Opgave 89. Skriv ligningen for en vinkelret faldet fra et punkt 
direkte 
.
Opgave 90. Find et punkt 
symmetrisk punkt 
relativt lige 
.
Åh-åh-åh-åh... jamen, det er hårdt, som om han læste en sætning op for sig selv =) Afslapning vil dog hjælpe senere, især da jeg i dag købte det passende tilbehør. Derfor, lad os fortsætte til det første afsnit, jeg håber, at jeg ved slutningen af artiklen vil bevare et muntert humør.
Den relative position af to lige linjerSådan er det, når publikum synger med i kor. To lige linjer kan:
1) match;
2) være parallel: ;
3) eller skærer i et enkelt punkt: .
Hjælp til dummies : Husk det matematiske skæringstegnet, det vil dukke op meget ofte. Notationen betyder, at linjen skærer linjen i punktet.
Hvordan bestemmer man den relative position af to linjer?Lad os starte med det første tilfælde:
To linjer falder sammen, hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er proportionale, dvs. der er et tal "lambda", således at lighederne holder
Lad os betragte de rette linjer og skabe tre ligninger ud fra de tilsvarende koefficienter: . Af hver ligning følger det, at disse linjer derfor er sammenfaldende.
Faktisk, hvis alle koefficienterne i ligningen 
gange med –1 (skift fortegn), og alle ligningens koefficienter 
skåret med 2, får du samme ligning:.
Det andet tilfælde, når linjerne er parallelle:
To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne er proportionale: 
, Men .
Som et eksempel, overvej to lige linjer. Vi kontrollerer proportionaliteten af de tilsvarende koefficienter for variablerne: 
Det er dog ret indlysende.
Og det tredje tilfælde, når linjerne skærer hinanden:
To linjer skærer hinanden, hvis og kun hvis deres koefficienter for variablerne IKKE er proportionale, det vil sige, at der IKKE er en sådan "lambda"-værdi, som lighederne holder 
Så for lige linjer vil vi oprette et system: 
Af den første ligning følger, at , og af den anden ligning: , hvilket betyder, at systemet er inkonsekvent (der er ingen løsninger). Koefficienterne for variablerne er således ikke proportionale.
Konklusion: linjer skærer hinanden
I praktiske problemer kan du bruge det netop omtalte løsningsskema. Det minder i øvrigt meget om algoritmen til kontrol af vektorer for kollinearitet, som vi diskuterede i lektionen Begrebet lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer. Men der er en mere civiliseret emballage:
Eksempel 1
Find ud af den relative placering af linjerne: 
Løsningen er baseret på studiet af retningsvektorer af rette linjer:
a) Ud fra ligningerne finder vi retningsvektorerne for linjerne: 
.
, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære, og linjerne skærer hinanden.
For en sikkerheds skyld sætter jeg en sten med skilte ved krydset:
Resten hopper over stenen og følger videre, lige til Kashchei den udødelige =)
b) Find retningsvektorerne for linjerne: 
Linjerne har samme retningsvektor, hvilket betyder, at de enten er parallelle eller sammenfaldende. Der er ingen grund til at tælle determinanten her.
Det er indlysende, at koefficienterne for de ukendte er proportionale, og .
Lad os finde ud af, om ligestillingen er sand: 
Dermed,
c) Find retningsvektorerne for linjerne: 
Lad os beregne determinanten, der består af koordinaterne for disse vektorer: 
, derfor er retningsvektorerne kollineære. Linjerne er enten parallelle eller sammenfaldende.
Proportionalitetskoefficienten "lambda" er let at se direkte fra forholdet mellem kollineære retningsvektorer. Det kan dog også findes gennem selve ligningernes koefficienter: 
.
Lad os nu finde ud af, om ligestillingen er sand. Begge frie termer er nul, så:
Den resulterende værdi opfylder denne ligning (ethvert tal opfylder generelt det).
Dermed falder linjerne sammen.
Svar :
Meget snart vil du lære (eller endda allerede har lært) at løse det problem, der diskuteres verbalt, bogstaveligt talt på få sekunder. I denne henseende ser jeg ikke noget formål i at tilbyde noget for en uafhængig løsning; det er bedre at lægge en anden vigtig mursten i det geometriske fundament:
Hvordan konstruerer man en linje parallel med en given linje?For uvidenhed om denne enkleste opgave straffer Nattergalen, røveren, hårdt.
Eksempel 2
Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning for en parallel linje, der går gennem punktet.
Løsning: Lad os betegne den ukendte linje med bogstavet . Hvad siger tilstanden om hende? Den lige linje går gennem punktet. Og hvis linjerne er parallelle, så er det indlysende, at retningsvektoren for den rette linje "tse" også er egnet til at konstruere den lige linje "de".
Vi tager retningsvektoren ud af ligningen:
Svar :
Eksemplets geometri ser simpel ud: 
Analytisk test består af følgende trin:
1) Vi tjekker, at linjerne har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er forenklet korrekt, så vil vektorerne være kollineære).
2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning.
I de fleste tilfælde kan analytisk test nemt udføres mundtligt. Se på de to ligninger, og mange af jer vil hurtigt bestemme linjernes parallelitet uden nogen tegning.
Eksempler på uafhængige løsninger i dag vil være kreative. For du bliver stadig nødt til at konkurrere med Baba Yaga, og hun, du ved, elsker alle mulige gåder.
Eksempel 3
Skriv en ligning for en linje, der går gennem et punkt parallelt med linjen if
Der er en rationel og knap så rationel måde at løse det på. Den korteste vej er i slutningen af lektionen.
Vi arbejdede lidt med parallelle linjer og vender tilbage til dem senere. Tilfældet med sammenfaldende linjer er af ringe interesse, så lad os overveje et problem, der er meget velkendt for dig fra skolens læseplan:
Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?Hvis lige 
skærer hinanden ved punkt , så er dens koordinater en løsning på systemet af lineære ligninger 
Hvordan finder man skæringspunktet mellem linjer? Løs systemet.
Her er den geometriske betydning af et system af to lineære ligninger med to ukendte - det er to skærende (oftest) linjer på et plan.
Eksempel 4
Find skæringspunktet mellem linjer
Løsning: Der er to måder at løse - grafisk og analytisk.
Den grafiske metode er blot at tegne de givne linjer og finde ud af skæringspunktet direkte fra tegningen: 
Her er vores pointe:. For at kontrollere, bør du erstatte dens koordinater i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinaterne for et punkt en løsning på systemet. I det væsentlige så vi på en grafisk måde at løse et system af lineære ligninger med to ligninger, to ukendte.
Den grafiske metode er selvfølgelig ikke dårlig, men der er mærkbare ulemper. Nej, pointen er ikke, at syvende klasser beslutter sig på denne måde, pointen er, at det vil tage tid at lave en korrekt og PRÆCIS tegning. Derudover er nogle lige linjer ikke så lette at konstruere, og selve skæringspunktet kan være placeret et sted i det tredivte rige uden for notesbogsarket.
Derfor er det mere hensigtsmæssigt at søge efter skæringspunktet ved hjælp af den analytiske metode. Lad os løse systemet: 
For at løse systemet blev metoden med term-for-term addition af ligninger brugt. For at udvikle relevante færdigheder, besøg lektionen Hvordan løser man et ligningssystem?
Svar :
Kontrollen er triviel - koordinaterne for skæringspunktet skal opfylde hver ligning i systemet.
Eksempel 5
Find skæringspunktet for linjerne, hvis de skærer hinanden.
Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Det er praktisk at opdele opgaven i flere faser. Analyse af tilstanden tyder på, at det er nødvendigt:
1) Skriv ligningen for den rette linje ned.
2) Skriv ligningen for den rette linje ned.
3) Find ud af linjernes relative position.
4) Hvis linjerne skærer hinanden, så find skæringspunktet.
Udviklingen af en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gentagne gange fokusere på dette.
Fuld løsning og svar i slutningen af lektionen:
Ikke engang et par sko var slidt op, før vi nåede til anden del af lektionen:
Vinkelrette linjer. Afstand fra et punkt til en linje.Vinkel mellem lige linjer
Lad os starte med en typisk og meget vigtig opgave. I den første del lærte vi, hvordan man bygger en lige linje parallelt med denne, og nu vil hytten på kyllingelår dreje 90 grader:
Hvordan konstruerer man en linje vinkelret på en given linje?Eksempel 6
Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning vinkelret på linjen, der går gennem punktet.
Løsning: Ved betingelse er det kendt, at . Det ville være rart at finde linjens retningsvektor. Da linjerne er vinkelrette, er tricket enkelt:
Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være den rette linjes retningsvektor.
Lad os sammensætte ligningen for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor:
Svar : 
Lad os udvide den geometriske skitse:
Hmmm... Orange himmel, orange hav, orange kamel.
Analytisk verifikation af løsningen:
1) Vi tager retningsvektorerne ud fra ligningerne 
og ved hjælp af skalarproduktet af vektorer kommer vi til den konklusion, at linjerne faktisk er vinkelrette: .
I øvrigt kan du bruge normale vektorer, det er endnu nemmere.
2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning 
.
Testen er igen nem at udføre oralt.
Eksempel 7
Find skæringspunktet for vinkelrette linjer, hvis ligningen er kendt 
og periode.
Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Der er flere handlinger i problemet, så det er praktisk at formulere løsningen punkt for punkt.
Vores spændende rejse fortsætter:
Afstand fra punkt til linjeForan os ligger en lige stribe af floden, og vores opgave er at komme dertil ad den korteste vej. Der er ingen forhindringer, og den mest optimale rute vil være at bevæge sig langs vinkelret. Det vil sige, at afstanden fra et punkt til en linje er længden af det vinkelrette segment.
Afstand i geometri betegnes traditionelt med det græske bogstav "rho", for eksempel: - afstanden fra punktet "em" til den lige linje "de".
Afstand fra punkt til linje 
udtrykt ved formlen 
Eksempel 8
Find afstanden fra et punkt til en linje 
Løsning: alt du skal gøre er omhyggeligt at erstatte tallene i formlen og udføre beregningerne:
Svar : 
Lad os lave tegningen: 
Den fundne afstand fra punktet til linjen er nøjagtigt længden af det røde segment. Hvis du tegner en tegning på ternet papir i en skala fra 1 enhed. = 1 cm (2 celler), så kan afstanden måles med en almindelig lineal.
Lad os overveje en anden opgave baseret på den samme tegning:
Opgaven er at finde koordinaterne til et punkt, der er symmetrisk med punktet i forhold til den rette linje 
. Jeg foreslår, at du selv udfører trinene, men jeg vil skitsere løsningsalgoritmen med mellemliggende resultater:
1) Find en linje, der er vinkelret på linjen.
2) Find skæringspunktet for linjerne: 
.
Begge handlinger diskuteres i detaljer i denne lektion.
3) Punktet er midtpunktet af segmentet. Vi kender koordinaterne for midten og en af enderne. Ved at bruge formlerne for koordinaterne for segmentets midtpunkt finder vi .
Det vil være en god idé at tjekke, at afstanden også er 2,2 enheder.
Her kan der opstå vanskeligheder ved beregninger, men en mikroberegner er en stor hjælp i tårnet, så du kan beregne almindelige brøker. Jeg har rådgivet dig mange gange og vil anbefale dig igen.
Hvordan finder man afstanden mellem to parallelle linjer?Eksempel 9
Find afstanden mellem to parallelle linjer
Dette er endnu et eksempel, som du selv kan bestemme. Jeg vil give dig et lille tip: der er uendeligt mange måder at løse dette på. Debriefing i slutningen af lektionen, men det er bedre at prøve at gætte selv, jeg tror, at din opfindsomhed var veludviklet.
Vinkel mellem to lige linjerHvert hjørne er en jamb: 
I geometri er vinklen mellem to rette linjer taget for at være den MINDRE vinkel, hvoraf det automatisk følger, at den ikke kan være stump. På figuren betragtes vinklen angivet af den røde bue ikke som vinklen mellem skærende linjer. Og hans "grønne" nabo el modsat orienteret"hindbær" hjørne.
Hvis linjerne er vinkelrette, så kan enhver af de 4 vinkler tages som vinklen mellem dem.
Hvordan er vinklerne forskellige? Orientering. For det første er retningen, som vinklen "scrolles" i, grundlæggende vigtig. For det andet skrives en negativt orienteret vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .
Hvorfor fortalte jeg dig dette? Det ser ud til, at vi kan klare os med det sædvanlige begreb om en vinkel. Faktum er, at formlerne, som vi finder vinkler med, nemt kan resultere i et negativt resultat, og det burde ikke overraske dig. En vinkel med et minustegn er ikke værre, og har en meget specifik geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, skal du sørge for at angive dens orientering med en pil (med uret).
Hvordan finder man vinklen mellem to rette linjer? Der er to arbejdsformler:
Eksempel 10
Find vinklen mellem linjer
Løsning og metode 1
Lad os betragte to lige linjer defineret af ligninger i generel form: 
Hvis linjerne ikke er vinkelrette, så orienteret Vinklen mellem dem kan beregnes ved hjælp af formlen: 
Lad os være meget opmærksomme på nævneren - dette er præcis det skalære produkt af linjernes retningsvektorer:
Hvis , så bliver nævneren af formlen nul, og vektorerne vil være ortogonale, og linjerne vil være vinkelrette. Derfor blev der taget forbehold for, at rette linjer ikke er vinkelrette i formuleringen.
Baseret på ovenstående er det praktisk at formalisere løsningen i to trin:
1) Lad os beregne skalarproduktet af linjernes retningsvektorer:
, hvilket betyder, at linjerne ikke er vinkelrette.
2) Find vinklen mellem rette linjer ved hjælp af formlen:
Ved hjælp af den omvendte funktion er det nemt at finde selve vinklen. I dette tilfælde bruger vi arctangensens mærkværdighed (se Grafer og egenskaber for elementære funktioner): 
Svar : 
I dit svar angiver vi den nøjagtige værdi, samt en omtrentlig værdi (gerne i både grader og radianer), beregnet ved hjælp af en lommeregner.
Nå, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustration: 
Det er ikke overraskende, at vinklen viste sig at have en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tal en lige linje, og "skruningen" af vinklen begyndte præcis med den.
Hvis du virkelig vil have en positiv vinkel, skal du bytte linjerne, det vil sige tage koefficienterne fra den anden ligning 
, og tag koefficienterne fra den første ligning. Kort sagt, du skal starte med en direkte 
.