Galileo Galilei skrev i sin bog Discourses and Mathematical Proofs i 1638, at en kæde, der hænger på to søm, har form som en parabel. Han var sikker på dette, og måske var det derfor, han ikke "kom til bunden" af sandheden og opdagede ikke en ny kurve - en kædelinje. Denne kurve blev beskrevet 50 år senere af Huygens, Leibniz og Jacob Bernoulli. De var de første til at udlede formlen for kurven og undersøge dens egenskaber.

Figur 1 viser tre kurver.

Ved første øjekast er disse forskellige kurver, forskellige i form. Faktisk er dette den samme kurve - en kædelinje, og hvis du øger skalaen af ​​den anden linje med 2 gange og den tredje med 4 gange, så vil alle kurver smelte sammen til en, når den er overlejret på den første.

På den velkendte populærvidenskabelige hjemmeside "Mathematical Etudes" taler skitsen "Chain Line" om denne kurve: "Hvis du vælger parameteren i ligningen på en eller anden måde, så ruller midten af ​​firkanten uden at glide langs buen af kædelinjen vil bevæge sig nøjagtigt i en lige linje!” Det er klart, hvilket mål der skal nås, men hvordan man gør det, denne sætning, hvis ikke tavs, så tilbyder i det mindste ikke den mest rationelle måde. Hvad er dette "udvalg på en eller anden måde"? Nå, lad os sige, at de tog det op, så hvad så? Løs en ligning og plot en kurve? Og hvis størrelsen på hjulet ændrer sig, så igen vælge, løse og bygge? Eller måske betyder disse ord "essensen af ​​metoden er ikke afsløret, knowhow"?

Jeg foreslår en anden måde at løse dette problem på:

1. Ved hjælp af formlen Y=a chX/a konstruerer vi en kædelinje med en vilkårlig parameter a, f.eks. lig med 10 mm (fig. 2);
2. I en afstand fra toppunktet lig med a(√2-1) tegner vi en vandret akkord. Lad os måle længden af ​​den bue, der er dæmpet af akkorden. Det skal være lig med 2a;
3. Lad os kopiere den konstruerede kurve til et nyt fragment, skære de segmenter af, der strækker sig ud over segmentet og rotere det 180°. Dette segment vil være en del af "vejen" for det firkantede hjul;
4. Lad os konstruere et kvadrat med side 2a;
5. Ved at rulle firkanten langs et segment af kædelinjen sikrer vi, at der ikke er nogen lodrette bevægelser af dens centrum.

Hvis størrelsen på det firkantede hjul var kendt på forhånd, skalerer vi skitsen i det nødvendige forhold. Men vi vil gemme den konstruerede graf af kædelinjen og vil bruge den yderligere til lignende formål. Der er ingen grund til at bygge linjegrafer med forskellige parametre, da en kædelinje er en kurve med en stabil form.

Forresten er kurven vist i figur 2 konstrueret ved hjælp af kun 69 punkter og har på trods af dette god nøjagtighed: buen afskåret af korden har en størrelse på 19,9999634224 mm med en beregnet størrelse på 20 mm.

Hvad med andre polygoner? For dem alle (undtagen trekanten) kan du bygge dine egne "belægningssten" fra segmenter af en kædelinje, langs hvilken de vil rulle uden at midten svinger. Konstruktionsproceduren er lidt anderledes end for en firkant: den tidligere konstruerede kædelinje bruges også (fig. 2), men akkordens position bestemmes af tangenterne til kurven (for en sekskant f.eks. i vinkler på 30 og -30 grader), og størrelsen af ​​siden af ​​polygonen bestemmes af målingen af ​​buesegmentet. Dette skyldes det faktum, at kun en firkant har en afhængighed: siden er lig med det dobbelte af parameteren af ​​køreledningen.

Det var også interessant at se, hvad andre kurver ville vise som en "belægningssten" til firkantede hjul. Følgende blev testet: en cirkel, en parabel, en Cassini oval og flere ovaler af stabil form. Som forventet er der ikke flere "ideelle". Resultaterne af konstruktioner og beregninger af samspillet mellem et firkantet hjul med en side på 400 mm med nogle kurver er opsummeret i tabel 1.

tabel 1

Som du kan se, er de velkendte cirkel- og parabelkurver ringere end den lidet kendte zirkon og cyklon. Eller der kommer flere... Og kædelinjen... - uden konkurrence!

Introduktion

Jeg valgte følgende som emne for mit forskningsarbejde: "Chain Line".Den buede kædelinje er meget interessant at studere, men det er ikke så let at finde litteratur dedikeret til den.

Forskere har studeret denne linje i meget lang tid. Men selv i vores tid bruges det til at løse en række problemer, ikke kun i matematik, men også i fysik, arkitektur og mange andre discipliner. Efter min mening er dette emne interessant og relevant.

Forskere som Galileo Galilei, Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernouli og andre studerede køreledningslinjen.

Formålet med dette forskningsarbejde er en beskrivelse af de grundlæggende egenskaber ved en køreledning.

For at nå dette mål blev følgende formuleret:opgaver:

1. Analysere videnskabelig og pædagogisk litteratur om forskningsemnet for at fremhæve de vigtigste begreber og udsagn;

2. Systematisere og sammenfatte materialet om forskningsemnet for at identificere grupper af egenskaber ved en køreledningslinje;

3. Bevis de nødvendige udsagn i forskningsemnet;

4. Etablere en sammenhæng mellem forskningsemnet og differentialgeometrikurset;

5. Udvikl en computerpræsentation om emnet: "Kædelinje."

Den vigtigste forskningsmetode blev til en teoretisk analyse

litteratur inden for undersøgelsen;

Praktisk betydning er bestemt af muligheden for at bruge resultaterne af denne forskning i uddannelsesprocessen inden for disciplinerne "Geometri" og "Differential Geometry".

1. Historisk information

I Galileos bog "Conversations and Mathematical Proofs...", udgivet for første gang på italiensk i den hollandske by Leiden i 1638, blev følgende metode til at konstruere en parabel foreslået: "Lad os hamre to søm i væggen ved samme højde over horisonten og i en sådan afstand fra hinanden, at det er lig med dobbelt bredde af rektangelet, hvorpå det er ønskeligt at konstruere en semi-parabel; mellem et søm og et andet vil vi hænge en tynd kæde, der ville hænge ned og være af en sådan længde, at dens laveste punkt er fra sømmets niveau i en afstand svarende til rektanglets højde. Denne kæde, hængende, vil være arrangeret i form af en parabel (fig. 1), således at vi ved at markere dens spor på væggen med en stiplet linje får en parabel skåret i to af en vinkelret trukket gennem midten af linjen, der forbinder begge søm."

Fig.1
Denne metode er enkel og indlysende, men ikke nøjagtig. Galileo selv forstod dette. Faktisk, hvis du bygger en parabel efter alle reglerne, så vil der være huller mellem den og kæden.
Kun et halvt århundrede efter udgivelsen af ​​Galileos bog fandt den ældste af de to matematikerbrødre Bernoulli, Jacob, rent teoretisk den nøjagtige formel for en hængende kæde. Han tog sig tid til at kommunikere sin løsning på problemet og udfordrede andre matematikere. Den korrekte løsning blev offentliggjort året efter, 1691. Christian Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz og Jacobs yngre bror Johann Bernoulli. For at løse problemet brugte de alle for det første mekanikkens love og for det andet de kraftfulde værktøjer fra dengang nyligt udviklede matematiske analyser - derivater og integraler.
Huygens kaldte kurven, langs hvilken en kæde ophængt i to ender er placeret, en kædelinje.
Da kæder kommer i forskellige længder, og deres ender kan hænges i forskellig afstand fra hinanden - nogle gange tættere, nogle gange længere - så er der ikke kun én, men mange kædelinjer. Men de ligner alle hinanden, ligesom f.eks. eventuelle cirkler ligner hinanden.

2. Begrebet en køreledningslinje og dens ligning

Definition 1. Kæde linje kaldet en flad kurve, hvis form svarer til en ensartet fleksibel uudvidelig tung tråd, fastgjort i begge ender og hængende under påvirkning af tyngdekraften.
En kædelinje er formet som en parabel.

Dette var tænkt i lang tid. Begyndelsen af ​​1600-talletGalileo Galileiudtrykt tvivl om, at den hængende kæde faktisk er en parabel. Men strenge beviser og præcise konklusioner blev opnået kun et halvt århundrede senere - efterIsaac NewtonGottfried Wilhelm Leibnizudviklet grundlaget for matematisk analyse.

Løsningen på kontaktledningsproblemet blev offentliggjort i 1691Christian Huygens, Gottfried Wilhelm LeibnizOgJohann Bernoulli.

Nedenfor vil vi se på udledningen af ​​kædelinjeligningen og nogle af dens variationer.

Lad en tung ensartet tråd hænge i punkterA, B , som kan være i forskellige højder (fig. 1.2).

Lad os overveje ligevægten af ​​et vilkårligt lille element af en tråd af længdeΔ s .

Dette element påvirkes af en fordelt tyngdekraft, hvor er bulkdensiteten af ​​trådmaterialet, er tyngdeaccelerationen,EN − trådens tværsnitsareal og spændingskræfterT ( x ) OgT ( x+ Δ x ), henholdsvis i pointx og (x+ Δ x ).

Ligevægtsbetingelser for et udvalgt længdeelementΔ s i projektioner på aksenOkse OgÅh er skrevet i form:

.

Fra den første ligning er det klart, at den vandrette komponent af spændingskraftenT ( x ) er altid konstant:

Når vi vender os til differentialer i den anden ligning, kan vi skrive det på formen:

.

Fordi, så får vi

eller.

Lad os tage højde for det, så ligevægtsligningen er skrevet i differentialform som

Element med længde Δs kan udtrykkes med formlen

Som et resultat får vikædeled differentialligning:

eller.

Denne ligning giver mulighed for en reduktion i rækkefølge. Efter at have udpegety" = z , lad os præsentere det i form af en førsteordens ligning:

Den sidste ligning løses ved metoden til adskillelse af variable.

Her betegnes vi med 1/-en .
Tangenten til køreledningslinjen i bundpunktet er parallel med aksenOkse . Derfor,

Herfra definerer vi konstantenC 1 :

Så vi har følgende ligning:

Lad os gange begge sider af denne ligning med det konjugerede udtryk

Vi får:

Tilføjer vi med den foregående ligning, finder vi udtrykket forz = y" :

Vi integrerer igen og får det endelige smukke udtryk for kontaktleddets form:

Så kædelinjen er beskrevethyperbolsk cosinus . Dens form er unikt bestemt af en parameter, hvis afhængighed er vist i fig. 1.3.

Fig.1.3

3. Egenskaber for en køreledning

1. Buens længde(Bilag 1)af en kædelinje fra dens toppunkt til et bestemt punkt er lig med projektionen af ​​dette punkts ordinat på tangenten tegnet i dette punkt.

Bevis:

1.Længdesbuekædelinje målt fra toppunkt A er lig med projektionenMM' ordinaterRM på en tangentMT .( ris.3)

2. S==MM′= ((1) ellers = a.

3. Med ordinatRM=y lysbueforbundet forhold. 4. Sidstnævnte følger af køreledningsligningen og (1) og

let at læse fra trekantenRM′M , HvorPM = y , MM′ = s OgRM′ = -en (ifølge tractrixens hovedegenskab).

2. krumningsradius(Bilag 1)ved et vilkårligt punkt på en kædelinje er lig med længden af ​​normalen i det punkt.

Bevis:

1. KrumningsradiusMK = R kædelinje er lig med segmentetM.D. normale fra et punktM til forstanderindenX′X og er udtrykt ved formlen

R=MD=

ellerR = a.

3. Hvis en kædelinje ruller i en lige linje, så bevæger krumningscentret svarende til kontaktpunktet sig langs en parabel.

Bevis:

1. Ved at bestemme området afgrænset af kædelinjen, dens to ordinater og abscisseaksen, vil vi have:

4. Området afgrænset af kædelinjen, to ordinater og x-aksen er proportional med længden af ​​den tilsvarende bue.

Bevis:

1. OmrådeS"kurvilineær trapez"OAMP ( O.A. = -en - vertex ordinat,RM - endeordinatM buers = ) er lig med arealet af et rektangel med sider-en , s Så

S = som =.

5. Summen af ​​krumningerne af en kædelinje i punkter, hvor tangenterne er indbyrdes vinkelrette, er en konstant værdi for hver kædelinje.

Bevis:

1. Lad være punkter af en kædelinje, hvor tangenterne er indbyrdes vinkelrette. Bestemmelse af deres vinkelkoefficienter, vi har

2. På grund af tangenternes vinkelrethed (2),

men iflgS== MM ′= (= -en= ,

hvor er længderne af buerne, målt fra toppen af ​​køreledningslinjen til punkterne. Ved at erstatte disse udtryk med lighed (2) får vi,

eller,

derefter på grundlagR = -en vil have.

6. En sæbefilm strakt over to ringe tager formen - overfladen som følge af drejningen af ​​køreledningsledningen.

4. Undersøgelse af en parametrisk defineret køreledning ved hjælp af differentialgeometrimetoden

Enhver linje i differentialgeometri betragtes i rummet; den kan gives en vektorligning fra et skalarargument, en implicit ligning af formenF ( x , y )=0, skæringspunktet mellem to overflader, polær ligning.

Differentialgeometrimetoden giver dig mulighed for at undersøge en linje for:

bestemmelse af elementer, der ledsager trihedronens linjer;

bestemmelse af krumning og torsion;

at skrive en linjes naturlige ligning;

beregning af buelængden af ​​en linje;

Det er mere bekvemt at anvende metoden til differentialgeometri på parametriske ligninger, hvis linjer følger direkte fra vektorligningen fra et skalarargument.

Lad os studere køreledningslinjen ved hjælp af metoden til differentialgeometri.

For det:

fra den implicitte ligning går vi videre til parametriske;

definere parametreringen;

3) find basisvektorerne, der ledsager kurvens trihedron;

4) skriv ligningen for elementerne i kurvens medfølgende trihedron:

tangent ligning;

normal ligning;

binormal ligning;

ligning af et svingende plan;

normal plan ligning;

ligning af et retificerbart plan;

5) find krumningen og vridningen af ​​kædelinjen på et vilkårligt punkt;

6) skriv kledningsliniens ligning i naturlig parametrisering.

Så ligningen for køreledningslinjen har formen

Parametrisk ligning for en kædelinje.

Linjen ligger i flyetXOY , z =0 .

1. Lad os bestemme, hvilken slags parameterisering: naturlig eller vilkårlig.

Lad os finde afledte mhpt :

.

2. Lad os finde vektorerne for den første, anden og tredje afledte.

3. Lad os finde basisvektorerne for den medfølgende trihedron:

enhed tangentvektor.

Enhedsvektor for det binormale.

enheds hovednormalvektor.

4. Lad os skrive ligningerne for elementerne i det medfølgende trihedron:

-en) Tangentligningen (bilag 1) til en kædelinje i et vilkårligt punkt har formen:

b) Ligningen af ​​hovednormalen (bilag 1) til en køreledning i et vilkårligt punkt har formen:

c) Den binormale ligning (bilag 1) til en kædelinje i et vilkårligt punkt har formen:

e) Ligning for et svingende plan:

Fordiz =0 , flyOXY - kontaktende fly.

f) Normalplanets ligning (bilag 1)

g) Ligning af retteplanet:

5. Lad os finde krumningenk (bilag 1) og torsion (bilag 1):

6. Lad os skrive ligningen for køreledningslinjen i naturlig parametrisering:

Således gjorde resultaterne af at studere egenskaberne af en køreledningslinje ved hjælp af differentialgeometrimetoder det muligt at bevise følgende egenskaber af en køreledningslinje som en flad linje:

Sætning 1. Svingningsplanet for en flad linje falder sammen med linjens plan. (se ligningen for det svingende plan for kædelinjeposten 4(e)).

Sætning 2. Hovednormalen for en plan linje ligger i linjens plan. (se ligningen for hovednormalen for køreledningsposten 4(b)).

Sætning 3. Vridningen af ​​en flad linje i alle punkter er nul. (Se vridningen af ​​en kædelinje, punkt 5)

Lad os bevise sætningen i modsætning til sætning 3.

Sætning 4 . Hvis vridningen på alle punkter af en glat linje er nul, så er linjen flad.

Bevis:

1. Lad i hvert punkt på linjen γ givet ved ligningerne, dens vridninger lig med nul.

2. Af den sidste Frenet-formel følger, at hvor ikke afhænger af variablens . Så fra identiteten, herfra eller i koordinater: , hvor, – koordinater.

3. Alle punkter γ ligger således i planen givet af ligningen. Det betyder, at γ er en flad linje.

Kommentar. For en flad linje har vix = 0 , derfor antager Frenets formler formen:

Resultaterne af at studere egenskaberne af en køreledningslinje kan vises på en tegning.

Oxy svingende plan

normalt fly

retteplan

5. Ansøgning

Porten til Vesten

Det vides ikke, om nogen før Gaudi forsøgte at lave omvendte modeller af fremtidige bygninger ved at hænge vægte på tråde. Men denne metode er blevet brugt af nogle moderne arkitekter. På byens kyst står en imponerende bue, 630 fod høj, som symboliserer et vendepunkt i amerikansk historie og geografi. St. Louis forbandt på et tidspunkt de relativt befolkede lande øst for Mississippi med de vilde, store vidder i Vesten.

Denne bue er designet af en af ​​de mest berømte arkitekter i USA i samarbejde med matematiker og ingeniør Hannskarl Bandel ( , 1925-1993). På en måde ligner deres skæbner: både Saarinen og Bandel blev født uden for Amerika - den første ind, den anden - ind . Så krydsede begge havet: den første, gik til studier i 1934, og den anden, efter krigen, på jagt efter arbejde. Her fandt de hver sit held, og de fandt begge hinanden.

På Bandels opfordring valgte Saarinen formen af ​​en kædelinje til sin bue, hvis højde var lig med bredden ved bunden. Det blev smukt, selvom designet var noget kontraintuitivt. Når alt kommer til alt, har kæden, der er overladt til sig selv, en tendens til at indtage en sådan position i rummet, at den var minimal, det vil sige, at tyngdepunktet var ekstremt lavt. Ved vending vil det lave tyngdepunkt vise sig at være højt, og minimumsenergien bliver til et maksimum.

Modsigelsen her er åbenbar. Arkitektens opgave er slet ikke at opnå konstruktionens energiminimum - det er nødvendigt, at det er bæredygtigt. Og selvom den minimale potentielle energi naturligvis svarer til en stabil ligevægtsposition, er denne position ikke den eneste. En anden ligevægtsposition svarer til maksimum af potentiel energi, hvilket er det, vi observerer, når vi vender kædelinien, samt når vi generaliserer metoden brugt af Gaudí.

Årsagerne til ligevægt kan vurderes ved at analysere ikke energien, men fordelingen af ​​kræfter. Hvis det lykkes dig at få information om kræfter, viser billedet sig som bekendt altid at være mere detaljeret og klart end det, der kan opnås ved kun at studere energier. I en ophængt kæde virker tre kræfter på hvert enkelt led: Tyngdekraften og kraften af ​​elastiske deformationer fra de to nærmeste naboer. Ligevægt opnås, når summen af ​​alle tre kræfter er nul.

Kædens mobilitet sikrer, at de elastiske kræfter i enderne af hvert led kun strækker det, det vil sige, at de altid er rettet tangentielt til linjen.

Naturligvis vil intet ændre sig, hvis man i stedet for en kæde hænger en solid bue af samme form: de spændinger, som tyngdekraften forårsager i den, vil blive fordelt på en sådan måde, at kræfterne altid vil virke tangentielt.

De vil strække buen, men vil ikke forsøge at bryde den nogen steder. Hvis vi nu vender buen om, så ændrer næsten intet sig igen. Bare spænding vil blive erstattet af kompression, men det vil kun virke tangentielt på hvert punkt af buen. Eller, hvilket er det samme, belastningen på et tværsnit tegnet på et vilkårligt punkt af buen vil være vinkelret på snitplanet. Denne konklusion ser især mærkelig ud for det højeste punkt: tværsnitsarealet der er lodret, og kraften, der virker på det, er vinkelret på tyngdekraften.

Hvert led i kæden påvirkes af tre kræfter: spænding fra naboerne og tyngdekraften. Når du reducerer linkstørrelsen,

tyngdekraften har en tendens til nul, men spændingskraften tenderer ikke mod nul, de bliver simpelthen parallelle med hinanden.

har en form tæt på en kædelinje. Det er værd at bemærke, at kæden tættere på end til en køreledning. Det skyldes, at brospændet er meget tungere end kæden.

Konklusion

Hovedmålet med arbejdet var måletstudere egenskaberne ved en køreledning.

For at nå dette mål blev følgende gjort:videnskabelig og pædagogisk litteratur blev analyseret, og grundlæggende begreber og udsagn blev fremhævet; grupper af ejendomme er fremhævet; teoremer og udsagn i forskningsemnet er blevet bevist; Køreledningsliniens egenskaber blev undersøgt ved hjælp af differentialgeometrimetoder.

Sammenfattende resultaterne af arbejdet kan det bemærkes, at målet blev nået, og opgaverne blev implementeret i de relevante afsnit af arbejdet.

Materialet præsenteret i dette arbejde kan bruges af begge eleveri uddannelsesforløbet inden for rammerne af disciplinerne ”Geometri” og ”Differentialgeometri”, samt af skoleelever i uddannelsesforløbet inden for rammerne af valgfag i matematik.

Liste over brugt litteratur

Vygodsky M.Ya. Håndbog i højere matematik.§517. M.:AST: Astel, 2006.

Galileo Galileo. Samtaler og matematiske beviser vedrørende to nye videnskabsgrene relateret til mekanik og den lokale bevægelse af Signor G. Galilei Linceo, filosof og første matematiker af den mest fredfyldte storhertug af Toscana. Med en applikation om tyngdepunkterne i forskellige kroppe. – L.: Gostekhizd., 1934. s. 273-274.

Markushevich A.I. "Vidunderlige kurver." M.: Nauka, 1978.s.91

Lyusternik P.A. De korteste linjer. Variationsproblemer. Rækken “Populære forelæsninger om matematik”, hæfte 19, §19. M.-L.: Gostekhizd. 1955.

Merkin D.R. Introduktion til mekanikken bag fleksible filamenter. M.: Videnskab. 1980. s. 135.

Savelov A.A. Flade kurver. M.: Gosizdfiz-mat litteratur. 1960'erne. 213-216.

Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Forelæsninger om differentialgeometri. M.: Logos, 2009.

Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementær topologi. SPGU, 2007.

Golovanov N.N., Ilyutko D.P., Nosovsky G.V., Fomenko A.T. Computer geometri. M.: Forlagscenter "Academy", 2006.

Bilag 1

Definition 1. Kæde linje hedder en flad kurve, hvis form svarer til en ensartet fleksibel uudvidelig tung tråd, fastgjort i begge ender og hængende under påvirkning af tyngdekraften.

Definition 2 . Tangenten kaldes , der passerer gennem et punkt på kurven og falder sammen med det på dette tidspunkt op til første orden., (er en numerisk karakteristik af længden af ​​denne kurve. Historisk set blev beregning af længden af ​​en kurve kaldt opretningskæv. Hvis længden af ​​kurven eksisterer og er endelig, så siges kurven at værerettelig, Ellers -ikke berigtiges. Længden af ​​buen er angivetS.

Definition 7. Krumning - karakterisering af kurven (overfladen) i nærheden af ​​dets givne punkt fra tangentlinjen (tangensplan). krumning refererer til objekter af mere generel karakter. Krumningen er angivet.

Definition 8. Torsion , anden krumning, et mål for afvigelsen af ​​en rumlig kurve fra . Torsion er angivet

Definition 9 . Det kaldes binormalt normal kurve i rummet vinkelret på tangenten til hovedet normale .

Definition 10. Planet, der går gennem tangenten og hovednormalen i et givet punkt på kurven,hedder rørende fly på dette tidspunkt.

Definition 11. Normalt fly til en buet linje i et givet punkt - et plan vinkelret på tangentlinjen trukket gennem det samme punkt.

Definition 12 . Udretningsplan , planet, der går gennem tangenten og binormalen i et givet punktM rumlig kurve.

En kædelinje er en flad transcendental kurve, hvis form tages under påvirkning af tyngdekraften af ​​en homogen, fleksibel, uudvidelig, tung tråd (kæde) med faste ender (se fig. 10).

For at udlede ligningen for en kædelinje vælger vi et infinitesimalt element af tråden fra punkt A (x, y) til punkt B (x+dx, y+dy) og betragter systemet af kræfter, der virker på det.

Ris. 10

Ved punkt A virker spændingen på tråden, rettet tangentielt til kurven. Lad os betegne med og dets komponenter langs koordinatakserne. Følgelig er der ved punkt B spænding med komponenter og . Derudover er element AB underlagt tyngdekraften, rettet lodret nedad og lig i absolut værdi p=qds, hvor ds er differensen af ​​buen AB, og q er vægten af ​​en længdeenhed af gevindet. For at kraftsystemet skal være i ligevægt, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at summen af ​​projektionerne på hver akse af alle virkende kræfter er lig med nul. Ved at sidestille projektionen af ​​kræfter på Ox-aksen med nul får vi:

H+(H+dH)=0 eller dH=0,

de der. den vandrette komponent af trådspændingen er en konstant værdi.

Ved at projicere kræfter på Oy-aksen opnår vi:

V-qds+(V+dV)=0 eller dV=qds.

På den anden side, ved at angive med "a" vinklen dannet af tangenten til kurven i punkt A med Ox-aksen, får vi:

Lad os differentiere den sidste lighed med hensyn til x, idet vi tager højde for, at H=konst:

I betragtning af at dV=qds og (se), får vi følgende differentialligning: hvor det er angivet Lad os finde en generel løsning på denne ligning. For at gøre dette laver vi en erstatning: . Så vil ligningen have formen: . Ved at integrere den sidste lighed over x får vi:. Derfor og endelig:

Vi har en familie af kædelinjer. Ved at vælge vilkårlige konstanter c1 og c2, så startbetingelserne er opfyldt, opnår vi den nødvendige ligning for gevindets nedbøjningslinje.

Hvis man antager, at konstanterne c1 og c2 allerede er valgt, så kan kædelinjeligningen forenkles. Lad os transformere koordinaterne: , dvs. Punktet (-c1, c2) tages som den nye oprindelse. I det nye koordinatsystem vil ligningen for køreledningslinjen, der bevarer den tidligere notation for de nye koordinater, have formen:

Hvis vi tager bundpunktet af kædelinjen som udgangspunkt for koordinaterne, så vil c1=0, c2=a og til sidst kædelinjens ligning have formen:

En kædelinje er en flad kurve, hvis form tages af en fleksibel, homogen og uudvidelig tung tråd, hvis ender er fikseret i to punkter (ca. denne form tages af en kæde, telegraftråd, hængende under påvirkning tyngdekraften). En kædelinje er en transcendental kurve; dens ligning er y = achx, hvor chx er den hyperbolske cosinus.

Ligning i kartesiske koordinater:

Længde af buen fra toppunktet til et vilkårligt punkt M (x; y):

Området afgrænset af kædelinjen, dens to ordinater og x-aksen:

krumningsradius:

Ansøgninger:

Arch. En omvendt kædelinje er den ideelle form til buer. En homogen bue i form af en omvendt køreledning oplever kun trykdeformationer, men ikke brud. På buen i St. Louis er dens formel skrevet med fødder:

Dette er i meter

Broer. Pukkelbroen har en form tæt på en køreledningslinje. Det er værd at bemærke, at hængebrokæden er formet som en parabel, ikke en køreledning. Det skyldes, at brospændet er meget tungere end kæden.

Arkimedisk spiral

Archimedes-spiralen er en flad kurve, der beskrives ved et punkt, der bevæger sig ensartet progressivt fra centrum 0 langs en ensartet roterende radius.

Konstruktionen af ​​en arkimedisk spiral med et givet trin S - afstanden fra centrum 0 til punkt VIII, udføres i følgende rækkefølge:

• 1. Tegn fra centrum 0 en cirkel med en radius svarende til spiralens trin S og opdel trin og cirkel i flere lige store dele.Delingspunkterne er nummererede;
• 2. Fra centrum 0 med radius 01, 02, 03, ... tegnes buer, indtil de skærer de tilsvarende radier i punkterne I, II, III, ...;
• 3. De resulterende punkter tilhører Archimedes-spiralen med et givet trin S og centrum 0.

Ligningen for den arkimedeiske spiral i det polære koordinatsystem er skrevet som følger:

hvor k er forskydningen af ​​punktet M langs stråle r, når den drejes med en vinkel lig med en radian. Drej den lige linje med 2? svarer til offset a = |BM| = |MA| = 2k?. Tallet a kaldes spiralens stigning. Den arkimedeiske spiralligning kan omskrives som følger:

Når strålen roterer mod uret, opnås en højrehåndsspiral (blå linje), når den drejes med uret opnås en venstrehåndsspiral (grøn linje). Begge grene af spiralen (højre og venstre) er beskrevet af en ligning. Positive værdier? en højre spiral svarer, en negativ svarer til en venstre spiral. Hvis punkt M bevæger sig langs UV-linjen fra negative værdier gennem rotationscentret O og videre til positive værdier langs UV-linjen, så vil punkt M beskrive begge grene af spiralen.

Stråle OV tegnet fra startpunktet O skærer spiralen et uendeligt antal gange - punkterne B, M, A og så videre. Afstandene mellem punkterne B og M, M og A er lig med spiralstigningen

Når spiralen vikles ud, tenderer afstanden fra punkt O til punkt M til uendelig, mens spiralens stigning forbliver konstant (endelig), det vil sige, jo længere fra midten, jo tættere kommer spiralens drejninger i form. en cirkel.