Workshop om differentialregning. Geometrisk betydning af afledte

2. Funktioner. Funktionernes enkleste egenskaber 21 2.11. Bevis, at hvis f (x) er en periodisk funktion med periode T, så er funktionen f (ax) også periodisk med periode T /a. Løsning. Faktisk f = f (ax + T) = f (ax), dvs. T /a er en af perioderne af funktionen f (ax). 2.12. Find perioden for funktionen f (x) = cos2 x. 1 + cos 2x Løsning. Vi kan skrive: cos2 x = . Vi ser den periode 2 cos funktioner 2 x er det samme som perioden for cos 2x-funktionen. Da perioden for funktionen cos x er lig med 2π, så er perioden for funktionen cos 2x ifølge opgave 2.11 lig π. 2.13. Find perioden for funktionerne: a) f (x) = sin 2πx; b) f (x) = | fordi x|. Svar: a) T = 1; b) T = π. Opgaver til selvstændig beslutning 2.14. Lad f (x) = x2 og ϕ(x) = 2x. Find: a) f [ϕ(x)], b) ϕ. 2.15. Find f (x + 1), hvis f (x − 1) = x2. 1 2,16. Funktionen f (x) = er givet. 1−x Find ϕ(x) = f (f ). 2.17. Givet en funktion f (x) = 3x2 − 4x − 2. Bevis at funktionen f (2x + 1) kan repræsenteres som f (2x+1) = = Ax2 + Bx + C. Find værdierne af konstanterne A, B, C 2,18. Givet to lineære funktioner f1 (x) = 5x + 4 og f2 (x) = 3x − 1. Bevis, at funktionen f (x) = f2 også er lineær, dvs. den har formen f (x) = Ax + B. Find værdier af konstanten A og B. 3x + 7 5x + 4 2.19. Givet to funktioner f1 (x) = og f2 (x) = , 5x + 6 2x − 8 kaldet fraktioneret lineær. Bevis, at funktionen f (x) = f1 også er brøklineær, dvs. den har formen Ax + B f (x) = . Angiv værdierne af konstanterne A, B, C, D. Cx + D 22 Introduktion til matematisk analyse 2,20. For nogle funktioner f: X ⊂ R → Y ⊂ R, er det kendt, at f (3x + 5) = 45x2 − 12x + 3. Bevis, at funktionen f (x) kan repræsenteres som f (x) = Ax2 + Bx + C. Find værdierne af konstanterne A, B, C. 2.21. Find definitionsdomænet følgende funktioner: √ 2+x a) f (x) = x + 1; b) f(x) = Ig; √ 2−x c) f (x) = 2 + x − x2 ; d) f(x) = arcsin(log2x); 1 + x2 d) f (x) = cos(sin x) + arcsin. 2x 2,22. Find definitionsdomænet for følgende funktioner: √ 1 a) f (x) = x2 + 33x + 270; b) f(x) = 2; x + 26x + 168 x+2 c) f (x) = log[(1 + x)(12 − x)]; d) f(x) = arcsin; x−6 d) f (x) = (x + 9)(x + 8)(x - 14); 15 f) f (x) = arcsin; x − 11 −x f) f (x) = x2 + 13x + 42 + arcsin . 13 2,23. Konstruer definitionsdomænet for følgende funktioner: a) f (x, y) = log2 (x + y); √ b) f (x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2 ; x2 + y2 c) f (x, y) = arcsin; 4 √ g) f (x, y) = xy. 2.24. Find definitionsdomænet for følgende funktioner:    1 − log x 3 − 2x    arcsin a) f (x) =  1 ; b) f (x) =  √ 5 . √ x2 − 4x 3−x 2. Funktioner. Funktionernes enkleste egenskaber 23 2.25. Find og konstruer definitionsdomænet for følgende funktioner: 4x − y 2 a) f (x, y) = ; log(1 − x2 − y 2) x2 + 2x + y 2 b) f (x, y) = . x2 − 2x + y 2 2,26. Bevis, at funktionerne 2 2x + 2−x a) f1 (x) = 2−x , f2 (x) = , 2 f3 (x) = |x + 1| + |x − 1| også selvom; 2x − 2−x 3x + 1 b) ϕ1 (x) = , ϕ2 (x) = x , 2 3 −1 1+x ϕ3 (x) = lg ulige; 1−x 2 c) ψ1 (x) = sin x − cos x, ψ2 (x) = 2x−x, ψ3 (x) = x3 + x2 − 2 af generel form. 2,27. Funktionerne er givet: 1 a) y = sin2 x; b) y = sin x2; c) y = 1 + tan x; d) y = synd. x Hvilke af dem er periodiske? 2x 2,28. Bevis, at funktionen y = har en invers, 1 + 2x, og find den. 2,29. Bevis, at funktionen y = x2 − 2x har to inverse: y1 = 1 + x + 1 og y2 = 1 − x + 1. 2.30. Bevis, at følgende funktioner er afgrænset nedefra: a) f1 (x) = x6 − 6x4 + 11x2 ; b) f2 (x) = x4 − 8x3+ 22x2. 2,31. Bevis, at følgende funktioner er afgrænset ovenfra: 1 5 a) f1 (x) = √ ; b) f1 (x) = √ . 4x2 − 16x + 36 5x 2 − 10x + 55 24 Introduktion til Calculus 2.32. Find den mindste og højeste værdi følgende funktioner: a) f1 (x) = 3 sin x + 4 cos x; b) f2 (x) = 5 sin x + 12 cos x. 2,33. Beskriv formen af grafen for følgende funktioner: a) z = 1 − x2 − y 2 ; b) z = x2 + y2; c) z = x2 + y2; d) z = x2 − y2. 2,34. Tegn niveaulinjer for disse funktioner, hvilket giver z-værdier fra -3 til +3 til 1: a) z = xy; b) z = y(x2 + 1). 2,35. Tegn grafen til funktionen y = 2 −3(x + 1) − 0,5 s √ ved at transformere grafen for funktionen y = x. 2,36. Plot grafen for funktionen y = 3 sin(2x − 4) ved at transformere grafen for funktionen y = sin x. 2,37. Brug grundlæggende funktionsforskning (uden at bruge afledte), plot grafer for følgende funktioner: 1 x a) y = 2 ; b) y = 2; x +1 x +1 1 c) y = x4 − 2x2 + 5; d) y = 2; x + 4x + 5 2x − 5 d) y = ; e) y = x2 + 6x + 9 + 10. x−3 2,38. Tegn grafer for følgende funktioner:   x, hvis − ∞< x < 1;    1 1 а) f (x) = x + , если 1 ≤ x ≤ 3;  2  2   4, если 3 < x < +∞; б) f (x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f (x) = |x2 − 2x + 1|; г) f (x) = sin x + | sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f (x) = arccos(cos x); t+5 t+1 е) f (t) = ; ж) f (t) = . t−7 t2 + 2t + 2 3. Предел функции 25 3. Предел функции Рекомендуется по lærebog studieafsnit 1.4 og 1.5. Skal betales Særlig opmærksomhed til underafsnit 1.4 og kender alle typer kvarterer, deres betegnelser og skriveformer i form af uligheder. Udsagnet lim f (x) = A betyder: for enhver naboskab x→x0 af elementet A (især vilkårligt lille) af elementet A er der et punkteret naboskab V (x0) af elementet x0, således at fra betingelsen x ∈ V˙ (x0) ∩ X følger, f (x) ∈ U (A), hvor X er definitionsdomænet for funktionen f (x), og x0 er grænsepunktet for mængden X. Ofte i stedet af et vilkårligt kvarter U (A), betragter man symmetrisk kvarter Uε (A). I dette tilfælde kan kvarteret ˙ V (x0) vise sig at være enten symmetrisk eller asymmetrisk, men fra ethvert asymmetrisk kvarter er det muligt at vælge et symmetrisk kvarter Vδ (x0). Da kvarteret V (x0) er punkteret, dvs. ikke indeholder punktet x0, så er x = x0, og i punktet x0 er funktionen f (x) muligvis ikke defineret. For at bevise, at lim f (x) = A, er det nok at finde x→x0 mængden (x) af de værdier af x, for hvilke inklusion f (x) ⊂ U (A) gælder for enhver bydel U ( EN). Hvis det fundne sæt (x) er et kvarter af x0, så er udsagnet lim f (x) = A sand, i Ellers det x→x0 er falsk. Især hvis funktionen f (x) i punktet x0 er defineret og lim f (x) = f (x0), så vil mængden (x) også indeholde x→x0 punktet x0. Den givne definition af en grænse gælder for enhver klasse af funktioner. I dette afsnit vil vi hovedsageligt beskæftige os med numeriske funktionerét numerisk argument. 3.1. Baseret på definitionen af grænsen, bevis: 1 1 a) lim x = x0 ; b) lim = ; x→x0 x→2 x 2 1 1 1 c) lim = lim = lim = 0; x→+∞ x x→−∞ x x→∞ x 26 Introduktion til matematisk analyse 1 1 d) lim = +∞; e) lim = −∞; x→0+0 x x→0−0 x 1 f) lim = 2; g) lim x2 = 4. x→1 x x→2 Løsning: a) udsagnet lim x = x0 direkte x→x0 følger af definitionen af grænsen. Hvis kvarteret Uε (x0) ˙ (|x − x0 |< ε) дана, то в качестве окрестности Vδ (x0) можно принять |x − x0 | < δ = ε, т.е. положить δ = ε; 1 1 б) докажем, что lim = . По определению предела x→2 x 2 мы должны доказать, что для любой заданной окрестности 1 ˙ Uε , ε >0 er der et kvarter V (2), således at hvis 2 ˙ 1 1 1 1 x ∈ V (2), så −< ε, т.е. ∈ Uε , что равносильно сле- x 2 x 2 дующим двум неравенствам: 1 1 −ε < − < +ε или x 2 1 1 1 − ε < < + ε. 2 x 2 Так как при достаточ- но малом ε все части этого неравенства по- ложительны, то 2 2 2, 1 + 2ε 1 − 2ε multiplicer derfor- Fig. 3.1 2 2 egenskab, 1 + 2ε 1 − 2ε er et kvarter til punktet x0 = 2 (asymmetrisk). Eksistensen af det påkrævede kvarter V (2) er blevet bevist (fig. 3.1). 3. Funktionsgrænse 27 For klarhedens skyld kan vi skrive dette naboskab på formen 4ε 4ε 2− ,2 + og betragte 1 + 2ε 1 − 2ε ˙ ˙ 4ε 4ε V (2) = Vδ1 ,δ2 (2), hvor δ1 = , δ2 = . 1 + 2ε 1 − 2ε 1 c) vi beviser, at lim = 0. x→+∞ x Per definition skal vi bevise, at der for ethvert kvarter Uε (0) af punktet y = 0 eksisterer et kvarter V (+∞) element +∞ sådan, at hvis x ∈ V (+∞), 1 så − 0< ε, или x 1 < ε. Так как x x → +∞, то можно считать, что x >0, fig. 3.2 derfor kan modultegnet udelades 1 1 og skrives< ε или x >= M. Mængden x > M er x ε VM (+∞) ifølge definitionen af et naboskab af elementet +∞. Eksistensen af et kvarter V (+∞), der opfylder de tilsvarende betingelser, er blevet bevist. Dette beviser, at 1 lim = 0 (fig. 3.2). x→+∞ x 1 1 Vi overlader beviset for lighederne lim = 0 og lim = 0 til læseren. 28 Introduktion til matematisk analyse 1 Vi understreger, at ligheden lim = 0 svarer til to x→∞ x 1 1 ligheder: lim = 0 og lim = 0; x→−∞ x x→+∞ x d) vi beviser ligheden 1 lim = +∞. x→0+0 x UM (+∞) Det er nødvendigt at bevise, at der for ethvert kvarters UM (+∞) eksisterer et ret semi-kvarter Vδ+ (0) (0)< x < δ) ← такая, что если + V1/M (0) x ∈ Vδ+ (0), то 1 ∈ UM (+∞). x Рис. 3.3 Det sidste betyder, 1 1 hvad > M . Da x > 0, M > 0, derefter 0< x < . Если поло- x M 1 жить δ = , то требуемая окрестность Vδ+ (0) найдена и ра- M 1 венство lim = 0 доказано (рис. 3.3). x→0+0 x 1 Аналогично можно доказать, что lim = −∞ (предлага- x→0−0 x ем проделать это самостоятельно); 1 е) докажем, что lim = 2. Предположим противное, т.е. x→1 x 1 что lim равен двум. Это означало бы: для любой окрест- x→1 x ˙ ности Uε (2) существует окрестность V (1) такая, что если ˙ 1 1 1 x ∈ V (1), то ∈ Uε (2), т.е. − 2 < ε, или 2 − ε < < ε + 2. x x x 3. Предел функции 29 Так как все части неравенства можно считать положительны- 1 1 ми, то 0, for x > 0 stiger funktionen √ √ y = x2 monotont, derfor 4 − ε< |x| < 4 + ε. Поскольку x >0, √ kan modultegnet udelades og skrives √ derefter 4 − ε< x < 4 + ε. Точка x = 2 принадлежит интервалу √ √ (4 − ε; 4 + ε), т.е. этот интервал является окрестностью точ- ки 2, удовлетворяющей требуемому условию, которую и при- ˙ ˙ нимаем в качестве V (2). Существование V (2) доказано, а этим доказано, что lim x 2 = 4. x→2 3.2. Докажите самостоятельно, что 1 1 lim = +∞, lim = −∞. x→x0 +0 x − x0 x→x0 −0 x − x0 Указание: сделать замену x − x0 = t и применить задачу 3.1. 3.3. Используя теоремы о пределе произведения суммы и частного, докажите, что: а) lim xn = xn ; 0 x→x0 б) lim Pn (x) = lim (a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an) = x→x0 x→x0 = a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an ; 0 0 30 Введение в математический анализ Pn (x) a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x + an в) lim = lim = x→x0 Qm (x) x→x0 b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x + bm a0 xn + a1 xn−1 + . . . + an−1 x0 + an 0 0 = , b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm 0 0 где n и m heltal, ai og bi er konstanter, b0 xm + b1 xm−1 + . . . + bm−1 x0 + bm = 0, x0 0 0 selvfølgelig. Løsning: a) vi kan skrive: lim xn = lim (x · x · · · · · x). x→x0 x→x0 Da lim x = x0, så ved sætningen om produktets grænse x→x0 lim xn = lim x · lim x · · · · · lim x = xn ; 0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 b) funktionen Pn (x) er summen af (1 + n) led, som hver har endelig grænse, for eksempel lim a0 xn = lim a0 lim xn = a0 xn . Derfor følger b) af sætningen om summens grænse; c) følger af sætningen om grænsen for kvotienten, summen og produktet. Funktionen Pn (x) i opgave 3.3 kaldes et polynomium eller polynomium af orden n (hvis a0 = 0). 3.4. Beregn følgende grænser: x2 + 2x − 3 a) lim (x2 + 3x + 4); b) grænse 2. x→2 x→3 2x + 4x − 5 Løsning. Ud fra det beviste i opgave 3.3, punkt b) kan vi skrive: lim (x2 + 3x + 4) = 22 + 3 2 + 4 = 14; x→2 x2 + 2x − 3 32 + 2 3 − 3 12 lim 2 + 4x − 5 = 2+4 3−5 =. x→3 2x 2 3 25 5x2 − 20x + 15 3,5. Find A = lim. x→1 3x2 − 15x + 12 Opløsning. I I dette tilfælde Det er umuligt at anvende sætningen på grænsen af kvotienten, da nævneren bliver nul ved x0 = 1. Bemærk, at tælleren ved x0 = 1 også bliver nul. Vi får et udefineret udtryk som 0/0. Det har vi allerede understreget ved at definere grænsen som x → x0

Hvis der er specificeret en regel, ifølge hvilken et bestemt tal u er knyttet til hvert punkt M i planet (eller en del af planet), så siges det, at på planet (eller på en del af planet, "en punktfunktion er givet” er definitionen af funktionen symbolsk udtrykt ved en lighed på formen u - Tallet u, der er knyttet til et punkt M, kaldes værdien af denne funktion ved punkt M. Hvis A f.eks. er et fast punkt i fly, M er vilkårligt punkt, så er afstanden fra A til M en funktion af punktet M. I dette tilfælde er f(M) = AM.

Lad en eller anden funktion u = f(M) være givet og samtidig indføres et koordinatsystem. Så er et vilkårligt punkt M bestemt af koordinaterne x, y. Værdien af denne funktion i punktet M bestemmes derfor af koordinaterne x, y, eller, som de også siger, u = f(M) er en funktion af to variable x og y. En funktion af to variable x, y er angivet med symbolet f(x, y); hvis f(M) = f(x, y) så kaldes formlen u = f(x, y) udtrykket for denne funktion i det valgte koordinatsystem. Så i det foregående eksempel f(M)=AM; hvis du introducerer kartesisk rektangulært system koordinerer med oprindelsen i punkt A, får vi udtrykket for denne funktion:

u = √(x 2 + y 2)

146. Givet to punkter P og Q er afstanden mellem dem a, og funktionen f(M) = d 2 1 - d 2 2, hvor d 1 - MP og d 2 - MQ. Bestem udtrykket for denne funktion, hvis punktet P tages som udgangspunkt for koordinaterne, og Ox-aksen er rettet langs segmentet PQ.

147. Bestem under betingelserne i opgave 146 udtrykket af funktionen f(M) (direkte og ved hjælp af koordinattransformation ved hjælp af resultatet af opgave 146), hvis:

1) koordinaternes oprindelse er valgt i midten af segmentet PQ, Ox-aksen er rettet langs segmentet PQ.

2) koordinaternes oprindelse vælges i punktet P, og Ox-aksen er rettet langs segmentet QP.

148. Givet: kvadrat ABCD med side a og funktion f(M) = d 2 1 - d 2 2 - d 2 3 + d 2 4, hvor d 1 = MA, d 2 = MB, d 3 = MC og d 4 = MD. Bestem udtrykket for denne funktion, hvis kvadratets diagonaler tages som koordinatakser (og Ox-aksen er rettet langs segmentet AC, Oy-aksen er rettet langs segmentet BD).

149. Bestem under betingelserne i opgave 148 udtrykket for f(M) (direkte og ved hjælp af koordinattransformation, ved hjælp af resultatet af opgave 148), hvis oprindelsen af koordinaterne er valgt i punkt A, og koordinatakserne er rettet langs dens sider (Ox-aksen er langs segmentet AB, Oy-aksen - langs segmentet AD).

150. Givet funktionen f(x, y) = x 2 + y 2 - 6x + 8y. Bestem udtrykket for denne funktion i et nyt koordinatsystem, hvis oprindelsen af koordinater flyttes (uden at ændre aksernes retning) til punktet O"(3; -4).

151. Givet funktionen f(x, y) = x 2 - y 2 - 16. Bestem udtrykket for denne funktion i det nye koordinatsystem, hvis koordinatakserne drejes i en vinkel på -45°.

152. Givet en funktion f(x, y) = x 2 + y 2 . Bestem udtrykket for denne funktion i det nye koordinatsystem, hvis koordinatakserne drejes med en bestemt vinkel α.

153. Find et punkt sådan, at når origo for koordinater overføres til det, indeholder udtrykket af funktionen f(x,y) = x 2 - 4y 2 - 6x + 8y + 3 efter transformationen ikke led af den første grad med hensyn til nye variabler.

154. Find et punkt sådan, at når origo for koordinater overføres til det, indeholder udtrykket af funktionen f(x, y) = x 2 - 4xy + 4y 2 + 2x + y - 7 ikke led af første grad med hensyn til nye variabler.

155. Med hvilken vinkel skal koordinatakserne drejes, så udtrykket af funktionen f (x, y) = x 2 - 2xy + y 2 - 6x + 3 efter transformationen ikke indeholder et led med produktet af nye variable ?

156. Med hvilken vinkel skal koordinatakserne drejes, så udtrykket af funktionen f(x, y) = 3x 2 + 2√3xy + y 2 efter transformationen ikke indeholder et led med produktet af nye variable?

Lad G være grafen for funktionen y=f(x). Betragt på G punktet A(x0,f(x0)) og punktet B (x0+Δx,f(x0+Δx))

Lad γ være sekantens hældningsvinkel i forhold til OX-aksen. Hvis eksisterer grænse limγ = γ0 for Δх→0, så kaldes den rette linje, der går gennem A og danner en vinkel γ0 med OX-aksen, tangent til Г i punktet A.

Lad C(f(x0+Δx), f(x0)) være det punkt, der komplementerer segmentet AB til et rektangel. trekant ABC. Fordi AC//OX, derefter tgγ =Δу/Δх. Når vi passerer til grænsen, får vi: tgγ0=f′(x0)

De der. den geometriske betydning af den afledede er, at f′(x0) er tangenten af hældningsvinklen for tangenten til grafen y=f(x) i punktet (x0,f(x0)).

Tangentligning.

Lad os finde ur-e af tangenten til grafen for Г f- og y=f(x) i punktet A(x0, f(x0)): fordi t. A hører til Γ og ur-th tangent, så f(x0)=kx0+b, hvorfra b= f(x0)-kx0, hvilket betyder, at tangenten er givet af sporet. Ur-m:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(x-x0)

Fordi k= f′(x0), så

y=f(x0)+ f'(x0)(x-x0).

Bestemmelse af en funktions elasticitet.

funktion y = f(x) i punkt x0 kaldes følgende grænse

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Elasticitet Ey er proportionalitetskoefficienten mellem de relative ændringer i størrelserne y og x.)

Rolles sætning.

Hvis en funktion er kontinuerlig i intervallet [ -en;b] og differentierbar på intervallet ( -en;b), tager i slutningen af dette interval samme værdier, så er der på dette interval mindst et punkt, hvor den afledede af funktionen er lig nul.

Lagranges sætning.

Lad funktionen f(x)

1. kontinuerlig i intervallet [ -en, b];

2. differentierbar i intervallet ( -en, b).

Så er der et punkt med O ( -en, b) sådan at

Formel (1) kaldes Lagranges formel, eller formel med endelig stigning

Cauchys sætning.

Lad to funktioner f(x) og g(x) være givet således, at:

1. f(x) og g(x) er definerede og kontinuerlige i intervallet;

2. afledte og endelige på intervallet;

3. afledte og forsvinder ikke samtidigt på intervallet

(Hvis betingelse 4 fjernes, skal betingelse 3 styrkes: g"(x) må ikke forsvinde nogen steder i intervallet ( -en,b).)

L'Hopitals regel.

Sætning (L'Hopitals regel). Lad A være et tal, et symbol på en ensidig grænse (A=a±0) eller et symbol på uendelighed (A=±∞). Lad funktionerne ƒ(x) og g(x) enten være uendeligt store eller begge uendeligt store som x→A. Så hvis der er en grænse

(endelig eller uendelig),

så er der en grænse

i dette tilfælde er ligheden opfyldt:

Derivater og differentialer af højere orden.

Hvis den afledte y(k-1) af orden (k-1) er defineret for funktionen y=f(x), så er den afledte y(k) af orden k (med forbehold for dens eksistens) defineret som den afledte af orden den afledte af orden (k-1), de. y(k) = (y(k-1))′ . Især er y''=(y')' en andenordens afledt, y'''=(y'')' er en tredjeordens afledt osv.

Differentialer af højere ordrer af f-i y=f(v) bestemmes successivt som følger:

d2y=d(dy) – 2. ordens differential

dny=d(d n-1 y) - differential n'te bestille

Taylors formel. Maclaurin formel.

Taylors sætning.

Lad funktionen f(x)har afledte af orden n+ i punktet x = a og nogle af dets kvarterer 1. Derefter mellem punkterne a og x a der er et punkt, således at følgende formel er gyldig:

Formel (10) kaldes Taylor-formlen og udtrykket

repræsenterer det resterende led i Lagrange-form. Bemærk, at hvis funktionen f (n+ 1) (x) er afgrænset i nærheden af punktet en, så er det resterende led infinitesimal kl x-en mere høj orden, hvordan ( x-a)n. Således kan det resterende led skrives som

Rn+ 1 (x)= o((x-a)n)ved xen.

denne form det resterende led kaldes Peano-formen.

Maclaurin-formlen er Taylor-formlen for a = 0:

Det resterende udtryk i Peano-form for Maclaurin-formlen har formen

Rn+ 1 = o(x n)ved x 0.

Lad os præsentere nogles udvidelser elementære funktioner efter Maclaurins formel

Find ud fra

definition, den afledede af funktionen f(x) i punktet x 0:

26. f(x) = x 3, x 0 - et vilkårligt tal.

f'(x)= =

f ′(x о)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x o -vilkårligt tal