Cos x 1 2 graf. Graf for funktionen y=ctg(x)

De vigtigste trigonometriske funktioner er funktionerne y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Lad os overveje hver af dem separat.

Y = sin(x)

Graf for funktionen y=sin(x).

Grundlæggende egenskaber:

3. Funktionen er mærkelig.

Y = cos(x)

Graf for funktionen y=cos(x).

Grundlæggende egenskaber:

1. Definitionsdomænet er hele den numeriske akse.

2. Funktion begrænset. Værdisættet er segmentet [-1;1].

3. Funktionen er lige.

4. Funktionen er periodisk med den mindste positiv periode lig med 2*π.

Y = tan(x)

Graf for funktionen y=tg(x).

Grundlæggende egenskaber:

1. Definitionsdomænet er hele den numeriske akse, med undtagelse af punkter på formen x=π/2 +π*k, hvor k er et heltal.

3. Funktionen er mærkelig.

Y = ctg(x)

Graf for funktionen y=ctg(x).

Grundlæggende egenskaber:

1. Definitionsdomænet er hele den numeriske akse, med undtagelse af punkter på formen x=π*k, hvor k er et heltal.

2. Ubegrænset funktion. Værdisættet er hele tallinjen.

3. Funktionen er mærkelig.

4. Funktionen er periodisk med den mindste positive periode lig med π.

Har du brug for hjælp til dit studie?

Tidligere emne:

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Lektionens emne: "Funktion y=cosx"

Lektion 1

Lektionens mål: At gøre eleverne fortrolige med en funktions egenskaber

Lektionens mål.

Pædagogisk – dannelsen af funktionelle begreber ved hjælp af visuelt materiale, dannelsen af færdigheder i at konstruere grafer af funktionen y=cosx, dannelsen af færdigheder i flydende læsning af grafer, evnen til at afspejle en funktions egenskaber på en graf.

Under timerne

№	Lektionsfase	Diasshow	Tid
1	Organisering af tid. Vær hilset
2	Annoncering af emnet og formålet med lektionen
3	Opdatering af referenceviden Udførelse af mundtlige øvelser.	Frontal undersøgelse
4	Præsentation af nyt materiale Opgaven med at konstruere en graf af y = cosx på et segment Diskussion af egenskaberne for funktionen y =cosx på et interval Opgaven med at konstruere en skitse af en graf for funktionen y = cosх Diskussion af egenskaberne for funktionen y = cosx	Indtastning af egenskaber i en tabel
5	Løsning af problemer i henhold til lærebog nr. 708, nr. 709	Løsningen er ledsaget af slide nr. 4
6	Opgaven er at konstruere en graf for en funktion med et skift langs ordinataksen og langs abscisseaksen. Diskussion af funktionsegenskaber
7	Selvstændigt arbejde ifølge lærebogen	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	Opsummerende. Lektionsopsummering. Bedømmelse.
9	Lektier	§40 nr. 710(2;4), nr. 711(2;4), nr. 711(2;4). Konstruer grafer for funktioner y =cosx på og beskriv egenskaberne for denne funktion. Yderligere nr. 717 (1)

Formål med lektionen: At gøre eleverne fortrolige med egenskaberne for funktionen y=cosx, lære at bygge en graf over funktionen y=cosx, læse denne graf, bruge funktionens egenskaber og graf ved løsning af ligninger og uligheder.

2. Annonceringen af emnet og formålet med lektionen er ledsaget af slide nr. 2

3. Opdatering af grundlæggende viden

Udførelse af mundtlige øvelser.

Gennemgå definitionen af trigonometriske funktioner og tegnene på værdierne af disse funktioner.
Gør elevernes opmærksomhed på, at for evt reelle tal du kan angive det tilsvarende punkt på enhedscirkel, og derfor dens abscisse og ordinat, dvs. cosinus og sinus af et tal x: y = cosx og y = sinx, hvis domæne er alle reelle tal.

Derefter svarer eleverne på spørgsmålene:

For hvilke værdier af x tager funktionen y=cosx værdien 0? 1? -1?
Kan funktionen y=cosx tage en værdi større end 1 eller mindre end -1?
Ved hvilke værdier af x får funktionen y=cosx den største (mindste) værdi?
Hvad er værdisættet for funktionen y=cosx?

Svarene på disse og de følgende spørgsmål er ledsaget af en illustration på enhedscirklen.

Efter at have gentaget tegnene for værdierne af trigonometriske funktioner i hver fjerdedel af koordinatplanet, bliver eleverne bedt om at vise flere punkter på enhedscirklen svarende til tal, hvis cosinus er et positivt (negativt) tal. Svar derefter på spørgsmålene:

1) Hvilket fortegn har funktionen y=cosx, hvis x=, x=,

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

2) Angiv flere værdier af x, hvor værdierne af funktionen y = cosx er positive og negative.

3) Er det muligt at navngive alle værdierne af et tal, hvis cosinus er positiv eller negativ?

4) Er det muligt at navngive alle værdierne af argumentet x, for hvilke værdierne af funktionen y = cosx er positive og negative?

5) Lige eller ulige funktion y = cosx.

6) Hvad er perioden for denne funktion?

4. Præsentation af nyt materiale.

Generalisering og konkretisering af viden erhvervet tidligere: studiet af definitionsdomænet, værdisæt, paritet, periodicitet giver dig mulighed for at konstruere en graf først på et segment, derefter på et segment og derefter på hele tallinjen. Forklaringen er ledsaget af slide nummer 3.

Derefter lærer eleverne at tegne en skitse af grafen for funktionen y = cosx ved hjælp af point (0;1), (;0),

(:-1), (;0), (;1) og opsummer funktionens egenskaber ved at registrere dem i en tabel.

Lad os tjekke ved hjælp af slide nummer 4.

(På dette stadium udsendes understøttende noter (bilag 1))

5. Konsolidering af primær viden.

Ved hjælp af en skitse af grafen for funktionen y=cosx besvarer eleverne spørgsmål nr. 708, ved hjælp af en tabel over egenskaber for funktionen y=cosx, besvarer spørgsmål nr. 709

6. Opgaven med at konstruere en graf for en funktion med forskydning langs ordinataksen og langs abscisseaksen.

1. Slide nr. 5, 6

Under samtalen diskuteres disse funktioners egenskaber.

7. Selvstændigt arbejde vha. lærebogen

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

Opdel dette segment i to segmenter, så på det ene af dem øges funktionen y = cosx, og på det andet falder det:

Aftagende; - stiger

Ved at bruge den stigende eller faldende egenskab for funktionen y = cosx, sammenligne tallene:

På segmentet falder funktionen y = cosx; , derfor, .

På segmentet øges funktionen y = cosx;

<, следовательно, cos < cos

Find alle rødder af ligningen, der hører til segmentet:

1) cosx = x = ±+2 n, n Z

Svar: ; ; .

2) cosx = - x = ±

8. Opsummering.

Bedømmelse.

I løbet af lektionen lærte vi at bygge en graf af funktionen y = cosx, læse egenskaberne for denne graf, bygge en skitse af grafen og løse problemer relateret til brugen af grafen og egenskaber for funktionen y = cosx.

9. Hjemmearbejde.

§40 nr. 710(2;4), nr. 711(2;4), nr. 711(2;4). Konstruer grafer for funktioner y =cosx på og beskriv egenskaberne for denne funktion.

Tillægs nr. 717, stk.

Emne: "Funktion y=cosx"

Lektion #2

Lektionens mål: Gennemgå reglerne for at konstruere en graf for funktionen у=cosx, lær at transformere en graf, læs denne graf, brug egenskaberne og grafen for en funktion, når du løser ligninger og uligheder.

Lektionens mål.

Pædagogisk - dannelsen af funktionelle repræsentationer ved hjælp af visuelt materiale, dannelsen af færdigheder i at plotte grafer af funktionen y=cosx under forskellige transformationer, dannelsen af færdigheder i flydende læsning af grafer, evnen til at afspejle en funktions egenskaber på en graf .

Udviklingsmæssig – udvikling af evnen til at analysere og generalisere erhvervet viden. Dannelse af logisk tænkning.

Pædagogisk - at intensivere interessen for at tilegne sig ny viden, fremme en grafisk kultur, udvikle præcision og nøjagtighed ved tegninger.

Udstyret med: multimedieprojektor, lærred, Microsoft Windows 98/Me/2000/XP styresystem, MS Office 2003 program: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.

Under timerne

№	Lektionsfase	Diasshow	Tid
1	Organisering af tid. Vær hilset		1
2	Annoncering af emnet og formålet med lektionen		2
3	Tjek lektier	nr. 717(1), Slide nr. 7	5
4	Præsentation af nyt materiale Opgaven med at konstruere en graf ved at klemme og strække til OX-aksen Diskussion af egenskaberne for funktionen y =k cosx for k>1 og 0 Opgaven med at konstruere en graf ved at klemme og strække en ori op-amp Diskussion af egenskaberne for funktionen y = cos(k x) for k>1 og 0	Slide nr. 8, 9	12
5	Konsolidering af primær viden. Løsning af problemer i henhold til lærebogen №713(1;3), №715(1) №716(1)	nr. 717(2) lærebog side 208. Når du løser nr. 715(1), nr. 716(1), skal du bruge den konstruerede graf for funktionen y = cos2x. Slide nr. 10	5
6	Opgaven er at konstruere en graf for en funktion, der er symmetrisk om abscisseaksen. 1. Organisatorisk øjeblik. Vær hilset. 2. Annonceringen af undervisningens emne og formål er ledsaget af slide nr. 2. 3. Kontrol af lektier 4. Præsentation af nyt materiale 1. Opgaven med at konstruere en graf ved at klemme og strække til OX-aksen. Diskussion af egenskaberne for funktionen y =k cosx for k>1 og 0 Slide nummer 8 2. Opgaven med at konstruere en graf ved at klemme og strække til op-forstærkerens akse. Diskussion af egenskaberne for funktionen y = cos(kx) for k>1 og 0 Slide nummer 9 5. Konsolidering af primær viden Løsning af problemer i henhold til lærebog nr. 713(1;3), nr. 715(1) nr. 716(1) Vi tjekker opgave nr. 715(1) nr. 716(1) ved hjælp af slide nr. 10 6. Opgaven med at konstruere en graf for en funktion symmetrisk om abscisseaksen Diskussion af funktionsegenskaber . Slide nr. 11 (brug understøttende resumé (bilag 1)) 7. Selvstændigt arbejde Løsning af testproblemer . (Halvdelen af eleverne løser prøver i XL (bilag 2), ved computeren, den anden halvdel på uddelingskopier (bilag 3). Herefter skifter eleverne plads.) 8. Lektionsopsummering. Som et resultat af at studere emnet lærte eleverne at bygge en graf af funktionen y = cosх, læse egenskaberne for en funktion, bygge grafer for en funktion ved hjælp af forskellige transformationer, læse egenskaberne for grafer med transformationer, løse simple problemer ved hjælp af grafer og egenskaber for funktionen y = cosx. Bedømmelse. 9. Hjemmearbejde. §40 nr. 717, stk. 3, nr. 713, stk. 4, nr. 715, stk. 4, nr. 716, stk. Yderligere nr. 719(2) (Tjek slide nr. 13) I begyndelsen af næste lektion kan du invitere eleverne til at fuldføre arbejdet med at konstruere grafer på færdige uddelingskopier (

Lektion og oplæg om emnet: "Funktion y=cos(x). Definition og graf for funktionen"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 10. klasse
Algebraiske problemer med parametre, karaktererne 9-11
Softwaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hvad vi vil studere:
1. Definition.
2. Graf over en funktion.
3. Egenskaber for funktionen Y=cos(X).
4. Eksempler.

Definition af cosinusfunktionen y=cos(x)

Gutter, vi har allerede mødt funktionen Y=sin(X).

Lad os huske en af spøgelsesformlerne: sin(X + π/2) = cos(X).

Takket være denne formel kan vi hævde, at funktionerne sin(X + π/2) og cos(X) er identiske, og deres funktionsgrafer falder sammen.

Grafen for funktionen sin(X + π/2) fås fra grafen for funktionen sin(X) ved parallel translation π/2 enheder til venstre. Dette vil være grafen for funktionen Y=cos(X).

Grafen for funktionen Y=cos(X) kaldes også en sinusbølge.

Egenskaber for funktionen cos(x)

Definitionsdomænet er mængden af reelle tal.
Funktionen er jævn. Lad os huske definitionen af en lige funktion. En funktion kaldes, selvom ligheden y(-x)=y(x) gælder. Som vi husker fra spøgelsesformlerne: cos(-x)=-cos(x), er definitionen opfyldt, så er cosinus en lige funktion.
Funktionen Y=cos(X) falder på segmentet og stiger på segmentet [π; 2π]. Vi kan verificere dette i grafen for vores funktion.
Funktionen Y=cos(X) er begrænset nedefra og ovenfra. Denne egenskab følger af, at
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Den mindste værdi af funktionen er -1 (ved x = π + 2πk). Funktionens største værdi er 1 (ved x = 2πk).
Funktionen Y=cos(X) er en kontinuerlig funktion. Lad os se på grafen og sikre os, at vores funktion ikke har nogen pauser, det betyder kontinuitet.
Værdiområde: segment [- 1; 1]. Dette ses også tydeligt på grafen.
Funktion Y=cos(X) er en periodisk funktion. Lad os se på grafen igen og se, at funktionen tager de samme værdier med bestemte intervaller.

Eksempler med cos(x)-funktionen

1. Løs ligningen cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Løsning: Lad os bygge 2 grafer af funktionen: y=cos(x) og y=(x - 2π) 2 + 1 (se figur).

y=(x - 2π) 2 + 1 er en parabel forskudt til højre med 2π og opad med 1. Vores grafer skærer hinanden i et punkt A(2π;1), dette er svaret: x = 2π.

2. Plot funktionen Y=cos(X) for x ≤ 0 og Y=sin(X) for x ≥ 0

Løsning: For at bygge den nødvendige graf, lad os bygge to grafer af funktionen i "stykker". Første stykke: y=cos(x) for x ≤ 0. Andet stykke: y=sin(x)
for x ≥ 0. Lad os afbilde begge "stykker" på én graf.

3. Find den største og mindste værdi funktioner Y=cos(X) på intervallet [π; 7π/4]

Løsning: Lad os bygge en graf over funktionen og overveje vores segment [π; 7π/4]. Grafen viser, at de højeste og laveste værdier opnås i enderne af segmentet: i henholdsvis punkterne π og 7π/4.
Svar: cos(π) = -1 – den mindste værdi, cos(7π/4) = den største værdi.

4. Tegn grafen for funktionen y=cos(π/3 - x) + 1

Løsning: cos(-x)= cos(x), så vil den ønskede graf fås ved at flytte grafen for funktionen y=cos(x) π/3 enheder til højre og 1 enhed op.

Problemer, der skal løses selvstændigt

1)Løs ligningen: cos(x)= x – π/2.
2) Løs ligningen: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Tegn grafen for funktionen y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Tegn grafen for funktionen y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Find den største og mindste værdi af funktionen y=cos(x) på segmentet.
6) Find den største og mindste værdi af funktionen y=cos(x) på segmentet [- π/6; 5π/4].

I denne lektion vil vi se nærmere på funktionen y = cos x, dens hovedegenskaber og graf. I begyndelsen af lektionen vil vi give definitionen af den trigonometriske funktion y = pris på koordinatcirklen og betragte grafen for funktion på cirklen og linjen. Lad os vise periodiciteten af denne funktion på grafen og overveje funktionens hovedegenskaber. I slutningen af lektionen vil vi løse flere simple problemer ved at bruge grafen for en funktion og dens egenskaber.

Emne: Trigonometriske funktioner

Lektion: Funktion y=omkostninger, dens grundlæggende egenskaber og graf

En funktion er en lov, ifølge hvilken hver værdi af et uafhængigt argument er forbundet med en enkelt værdi af funktionen.

Lad os huske funktionsdefinition Lade t- ethvert reelt tal. Der er kun ét punkt, der svarer til det M på talcirklen. På punktet M der er en enkelt abscisse. Det kaldes tallets cosinus t. Hver argumentværdi t kun én funktionsværdi svarer (fig. 1).

Midtvinklen er numerisk lig med bueværdien i radianer, dvs. tal Derfor kan argumentet enten være et reelt tal eller en vinkel i radianer.

Hvis vi kan bestemme for hver værdi, så kan vi bygge en graf over funktionen

Du kan få grafen for en funktion på en anden måde. Ifølge reduktionsformler så cosinusgrafen er en sinusbølge forskudt langs aksen x til venstre (fig. 2).

Funktionsegenskaber

1) Definitionsomfang:

2) Værdiinterval:

3) Jævn funktion:

4) Mindste positive periode:

5) Koordinater for skæringspunkterne med abscisseaksen:

6) Koordinater for skæringspunktet med ordinataksen:

7) Intervaller, hvor funktionen tager positive værdier:

8) Intervaller, hvor funktionen tager negative værdier:

9) Stigende intervaller:

10) Aftagende intervaller:

11) Minimum point:

12) Minimum funktion: .

13) Maksimal point:

14) Maksimale funktioner:

Vi har set på funktionens grundlæggende egenskaber og graf, og derefter skal de bruges til at løse problemer.

Bibliografi

1. Algebra og begyndelse af analyse, karakter 10 (i to dele). Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner (profilniveau), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra og begyndelse af analyse, karakter 10 (i to dele). Problembog for uddannelsesinstitutioner (profilniveau), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra og matematisk analyse for klasse 10 (lærebog for elever i skoler og klasser med dybdegående studier af matematik). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dybdegående undersøgelse af algebra og matematisk analyse.-M.: Education, 1997.

5. Samling af problemer i matematik for ansøgere til videregående uddannelsesinstitutioner (redigeret af M.I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemer med algebra og analyseprincipper (en manual for studerende i klasse 10-11 på almene uddannelsesinstitutioner). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Samling af problemer om algebra og analyseprincipper: lærebog. godtgørelse for 10-11 klassetrin. med dybde studeret Matematik.-M.: Uddannelse, 2006.

Lektier

Algebra og begyndelse af analyse, karakter 10 (i to dele). Problembog for uddannelsesinstitutioner (profilniveau), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Yderligere webressourcer

3. Uddannelsesportal til eksamensforberedelse ().