Sådan finder du det gensidige af et naturligt tal. Vend til reelle tal

Lad os give en definition og give eksempler på gensidige tal. Lad os se på, hvordan man finder det inverse af et naturligt tal og det omvendte af en fælles brøk. Derudover nedskriver og beviser vi en ulighed, der afspejler egenskaben ved summen af ​​gensidige tal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gensidige tal. Definition

Definition. Gensidige tal

Gensidige tal er tal, hvis produkt er lig med et.

Hvis a · b = 1, så kan vi sige, at tallet a er det omvendte af tallet b, ligesom tallet b er det omvendte af tallet a.

Det enkleste eksempel på gensidige tal er to enheder. Faktisk er 1 · 1 = 1, derfor er a = 1 og b = 1 gensidigt omvendte tal. Et andet eksempel er tallene 3 og 1 3, - 2 3 og - 3 2, 6 13 og 13 6, log 3 17 og log 17 3. Produktet af ethvert talpar ovenfor er lig med én. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, som for eksempel for tallene 2 og 2 3, så er tallene ikke gensidigt inverse.

Definitionen af ​​gensidige tal er gyldig for ethvert tal - naturligt, heltal, reelt og komplekst.

Hvordan finder man det omvendte af et givet tal

Lad os overveje den generelle sag. Hvis det oprindelige tal er lig med a, vil dets omvendte tal blive skrevet som 1 a eller a - 1. Faktisk er a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

For naturlige tal og almindelige brøker er det ret simpelt at finde det gensidige. Man kan endda sige, at det er indlysende. Hvis du finder et tal, der er det omvendte af et irrationelt eller komplekst tal, bliver du nødt til at lave en række udregninger.

Lad os overveje de mest almindelige tilfælde af at finde det gensidige nummer i praksis.

Det gensidige af en fælles brøk

Det er klart, at den reciproke af en almindelig brøk a b er brøken b a. Så for at finde det omvendte af en brøk, skal du blot vende brøken om. Det vil sige skift tæller og nævner.

Ifølge denne regel kan du skrive det gensidige af enhver almindelig brøk næsten med det samme. Så for brøken 28 57 vil det gensidige tal være brøken 57 28, og for brøken 789 256 - tallet 256 789.

Det gensidige af et naturligt tal

Du kan finde det inverse af ethvert naturligt tal på samme måde som at finde det inverse af en brøk. Det er nok at repræsentere det naturlige tal a i form af en almindelig brøk a 1. Så vil dets omvendte tal være tallet 1a. For det naturlige tal 3 er dets reciproke brøken 1 3, for tallet 666 er det reciproke 1.666, og så videre.

Der bør lægges særlig vægt på en, da det er det eneste tal, hvis gensidige er lig med sig selv.

Der er ingen andre par af gensidige tal, hvor begge komponenter er ens.

Det gensidige af et blandet tal

Det blandede tal ligner a b c. For at finde dets omvendte tal skal du repræsentere det blandede tal som en uægte brøk og derefter vælge det omvendte tal for den resulterende brøk.

Lad os for eksempel finde det gensidige tal for 7 2 5. Lad os først forestille os 7 2 5 som en uægte brøk: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

For den uægte brøk 37 5 er den reciproke 5 37.

Gensidig af en decimal

En decimal kan også repræsenteres som en brøk. At finde den reciproke af et decimaltal kommer ned til at repræsentere decimalen som en brøk og finde dens reciproke.

For eksempel er der en brøk 5, 128. Lad os finde dets omvendte tal. Konverter først decimalbrøken til en almindelig brøk: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. For den resulterende brøk vil det gensidige tal være brøken 125 641.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel. Find det gensidige af en decimal

Lad os finde det gensidige tal for den periodiske decimalbrøk 2, (18).

Konvertering af en decimalbrøk til en almindelig brøk:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Efter oversættelsen kan vi nemt skrive det gensidige tal for brøken 24 11. Dette tal vil naturligvis være 11 24.

For en uendelig og ikke-periodisk decimalbrøk skrives det gensidige tal som en brøk med en enhed i tælleren og selve brøken i nævneren. For eksempel for den uendelige brøk 3, 6025635789. . . det gensidige nummer vil være 1 3, 6025635789. . . .

Tilsvarende, for irrationelle tal, der svarer til ikke-periodiske uendelige brøker, skrives de gensidige tal i form af brøkudtryk.

For eksempel vil den reciproke for π + 3 3 80 være 80 π + 3 3, og for tallet 8 + e 2 + e vil den reciproke være brøken 1 8 + e 2 + e.

Gensidige tal med rødder

Hvis typen af ​​to tal er forskellig fra a og 1 a, så er det ikke altid let at afgøre, om tallene er gensidige. Dette gælder især for tal, der har et grundtegn i deres notation, da det normalt er kutyme at slippe af med roden i nævneren.

Lad os vende os til praksis.

Lad os besvare spørgsmålet: er tallene 4 - 2 3 og 1 + 3 2 gensidige?

For at finde ud af, om tallene er gensidige, lad os beregne deres produkt.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produktet er lig med én, hvilket betyder, at tallene er gensidige.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel. Gensidige tal med rødder

Skriv det gensidige af 5 3 + 1 ned.

Vi kan umiddelbart skrive, at det gensidige tal er lig med brøken 1 5 3 + 1. Men som vi allerede har sagt, er det sædvanligt at slippe af med roden i nævneren. For at gøre dette skal du gange tælleren og nævneren med 25 3 - 5 3 + 1. Vi får:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Gensidige tal med potenser

Lad os sige, at der er et tal lig med en potens af tallet a. Med andre ord er tallet a hævet til potensen n. Den reciproke af tallet a n er tallet a - n . Lad os tjekke det ud. Faktisk: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Eksempel. Gensidige tal med potenser

Lad os finde det gensidige tal for 5 - 3 + 4.

Ifølge det, der blev skrevet ovenfor, er det nødvendige tal 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Gensidige tal med logaritmer

For logaritmen af ​​et tal til grundtal b, er det omvendte tal lig med logaritmen af ​​b til grundtal a.

log a b og log b a er indbyrdes omvendte tal.

Lad os tjekke det ud. Af logaritmens egenskaber følger, at log a b = 1 log b a, hvilket betyder log a b · log b a.

Eksempel. Gensidige tal med logaritmer

Find det gensidige af log 3 5 - 2 3 .

Den reciproke af logaritmen af ​​3 til base 3 5 - 2 er logaritmen af ​​3 5 - 2 til base 3.

Det omvendte af et komplekst tal

Som nævnt tidligere er definitionen af ​​gensidige tal gyldig ikke kun for reelle tal, men også for komplekse tal.

Komplekse tal er normalt repræsenteret i algebraisk form z = x + i y. Den reciproke af det givne tal er en brøkdel

1 x + i y . For nemheds skyld kan du forkorte dette udtryk ved at gange tælleren og nævneren med x - i y.

Eksempel. Det omvendte af et komplekst tal

Lad der være et komplekst tal z = 4 + i. Lad os finde det omvendte af det.

Den reciproke af z = 4 + i vil være lig med 1 4 + i.

Gang tælleren og nævneren med 4 - i og få:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Ud over algebraisk form kan et komplekst tal repræsenteres i trigonometrisk eller eksponentiel form som følger:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Følgelig vil det omvendte tal se ud som:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Lad os sikre os dette:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Lad os overveje eksempler med repræsentation af komplekse tal i trigonometrisk og eksponentiel form.

Lad os finde det omvendte tal for 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

I betragtning af at r = 2 3, φ = π 6, skriver vi det omvendte tal

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Eksempel. Find det omvendte af et komplekst tal

Hvilket tal vil være det gensidige af 2 · e i · - 2 π 5 .

Svar: 1 2 e i 2 π 5

Summen af ​​gensidige tal. Ulighed

Der er en sætning om summen af ​​to indbyrdes omvendte tal.

Summen af ​​gensidige tal

Summen af ​​to positive og gensidige tal er altid større end eller lig med 2.

Lad os give et bevis for sætningen. Som det er kendt, for alle positive tal a og b, er den aritmetiske middelværdi større end eller lig med den geometriske middelværdi. Dette kan skrives som en ulighed:

a + b 2 ≥ a b

Hvis vi i stedet for tallet b tager det omvendte af a, vil uligheden have formen:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Lad os give et praktisk eksempel, der illustrerer denne egenskab.

Eksempel. Find summen af ​​gensidige tal

Lad os beregne summen af ​​tallene 2 3 og dens inverse.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Som sætningen siger, er det resulterende tal større end to.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Materiale fra Wikipedia - den frie encyklopædi

Omvendt nummer(gensidig værdi, gensidig værdi) til et givet tal x er et tal, hvis gange med x, giver en. Accepteret indgang: $\backslash frac(1)x$ eller $x^(-1)$. To tal, hvis produkt er lig med én, kaldes indbyrdes omvendt. Det reciproke af et tal må ikke forveksles med det reciproke af en funktion. For eksempel, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ adskiller sig fra værdien af ​​funktionen invers til cosinus - bue cosinus, som er betegnet $\backslash cos^(-1)x$ eller $\backslash arccos\; x$.

Vend til reelle tal

Komplekse talformer	Nummer $(z)$	Baglæns $\backslash venstre\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebraisk	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrisk	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Vejledende	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Bevis:
For algebraiske og trigonometriske former bruger vi den grundlæggende egenskab af en brøk, idet vi multiplicerer tælleren og nævneren med det komplekse konjugat:

• Algebraisk form:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrisk form:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Demonstrativ form:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Når man finder det inverse af et komplekst tal, er det således mere bekvemt at bruge dets eksponentielle form.

Eksempel:

Komplekse talformer	Nummer $(z)$	Baglæns $\backslash venstre\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebraisk	$1+i\backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
Trigonometrisk	$2\; \backslash venstre\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ eller $2\; \backslash venstre\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash venstre\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ eller $\backslash frac(1)(2)\; \backslash venstre\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Vejledende	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Omvendt til imaginær enhed

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Således får vi

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ eller__ $i^(-1)=-i$

Ligeledes for $-jeg$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ eller __ $-i^(-1)=i$

Skriv en anmeldelse om artiklen "Omvendt nummer"

Noter

se også

Uddrag, der karakteriserer det omvendte nummer

Sådan siger historierne, og alt dette er fuldstændig uretfærdigt, som enhver, der vil fordybe sig i sagens essens, sagtens kan se.
Russerne kunne ikke finde en bedre position; men tværtimod passerede de i deres tilbagetog mange stillinger, der var bedre end Borodino. De slog sig ikke fast på nogen af ​​disse positioner: både fordi Kutuzov ikke ønskede at acceptere en position, der ikke var valgt af ham, og fordi kravet om en folkekamp endnu ikke var blevet udtrykt stærkt nok, og fordi Miloradovich endnu ikke havde nærmet sig med militsen, og også fordi andre grunde, der er utallige. Faktum er, at de tidligere positioner var stærkere, og at Borodino-positionen (den som slaget blev udkæmpet på) ikke blot ikke er stærk, men af ​​en eller anden grund slet ikke er en position mere end noget andet sted i det russiske imperium , som man, hvis man gættede, kunne pege på med en nål på kortet.
Russerne styrkede ikke blot positionen af ​​Borodino-feltet til venstre vinkelret på vejen (det vil sige stedet, hvor slaget fandt sted), men aldrig før den 25. august 1812 troede de, at slaget kunne tage sted på dette sted. Dette vidnes for det første ved, at der ikke blot den 25. ikke fandtes nogen Befæstning paa dette Sted, men at de, paabegyndt den 25., end ikke var færdige den 26.; for det andet er beviset Shevardinsky-skansets position: Shevardinsky-skanset, forud for den position, hvor slaget blev afgjort, giver ingen mening. Hvorfor var denne skans befæstet stærkere end alle andre punkter? Og hvorfor, ved at forsvare det den 24. til sent om natten, var alle anstrengelser udtømte, og seks tusinde mennesker gik tabt? For at observere fjenden var en kosakpatrulje nok. For det tredje er beviset på, at stillingen, hvor slaget fandt sted, ikke var forudset, og at Shevardinsky-skanset ikke var det forreste punkt i denne stilling, det faktum, at Barclay de Tolly og Bagration indtil den 25. var overbevist om, at Shevardinsky-skanset var venstre flanke. af stillingen, og at Kutuzov selv i sin rapport, skrevet i øjeblikkets hede efter slaget, kalder Shevardinsky-skanset for stillingens venstre flanke. Meget senere, da rapporter om slaget ved Borodino blev skrevet i det fri, var det (sandsynligvis for at retfærdiggøre den øverstkommanderendes fejl, som måtte være ufejlbarlig), at der blev opfundet uretfærdigt og mærkeligt vidnesbyrd om, at Shevardinsky-skanset fungerede som en fremadrettet post (mens det kun var et befæstet punkt på venstre flanke) og som om slaget ved Borodino blev accepteret af os i en befæstet og forudvalgt position, hvorimod det fandt sted på et helt uventet og næsten ubefæstet sted .
Sagen var åbenbart sådan: positionen blev valgt langs Kolocha-floden, som krydser hovedvejen ikke i en ret vinkel, men i en spids vinkel, så venstre flanke var i Shevardin, den højre nær landsbyen Novy og centrum i Borodino, ved sammenløbet af Kolocha og Vo-floderne yn. Denne stilling, under dækning af Kolocha-floden, for en hær, hvis mål er at stoppe fjenden, der bevæger sig langs Smolensk-vejen til Moskva, er indlysende for enhver, der ser på Borodino-feltet og glemmer, hvordan slaget fandt sted.
Napoleon, der var gået til Valuev den 24., så ikke (som de siger i historierne) russernes position fra Utitsa til Borodin (han kunne ikke se denne position, fordi den ikke eksisterede) og så ikke fremad. post af den russiske hær, men stødte på den russiske bagtrop i jagten på venstre flanke af den russiske stilling, til Shevardinsky-skanset og, uventet for russerne, overførte tropper gennem Kolocha. Og russerne, der ikke havde tid til at deltage i en generel kamp, ​​trak sig tilbage med deres venstre fløj fra den stilling, de havde til hensigt at indtage, og indtog en ny stilling, som ikke var forudset og ikke befæstet. Efter at have flyttet til venstre side af Kolocha, til venstre for vejen, flyttede Napoleon hele det fremtidige slag fra højre mod venstre (fra den russiske side) og overførte det til feltet mellem Utitsa, Semenovsky og Borodin (til dette felt, som har intet mere fordelagtigt for stillingen end noget andet felt i Rusland), og på dette felt fandt hele slaget sted den 26. I grov form vil planen for det foreslåede slag og det slag, der fandt sted, være som følger:

Hvis Napoleon ikke var rejst om aftenen den 24. til Kolocha og ikke havde beordret et angreb på skansen straks om aftenen, men havde indledt et angreb næste dag om morgenen, så ville ingen have været i tvivl om, at Shevardinsky-skanset var venstre flanke af vores position; og kampen ville finde sted, som vi forventede. I dette tilfælde ville vi nok forsvare Shevardinsky-skanset, vores venstre flanke, endnu mere stædigt; Napoleon ville være blevet angrebet i midten eller til højre, og den 24. ville et generelt slag have fundet sted i den stilling, der var befæstet og forudset. Men da angrebet på vores venstre flanke fandt sted om aftenen efter tilbagetrækningen af ​​vores bagtrop, det vil sige umiddelbart efter slaget ved Gridneva, og da de russiske militærledere ikke ønskede eller havde tid til at begynde et generelt slag samme aften den 24. Borodinskys første og hovedaktion. Slaget blev tabt den 24. og førte naturligvis til tabet af den, der blev udkæmpet den 26..
Efter tabet af Shevardinsky-skanset befandt vi os om morgenen den 25. uden en position på venstre flanke og blev tvunget til at bøje vores venstre fløj tilbage og i al hast styrke den hvor som helst.
Men ikke alene stod de russiske tropper kun under beskyttelse af svage, ufærdige befæstninger den 26. august, men ulempen ved denne situation blev øget af det faktum, at de russiske militærledere ikke anerkendte det fuldstændigt gennemførte faktum (tabet af position pr. venstre flanke og overførslen af ​​hele den fremtidige slagmark fra højre mod venstre ), forblev i deres udstrakte position fra landsbyen Novy til Utitsa og måtte som følge heraf flytte deres tropper under slaget fra højre mod venstre. Under hele slaget havde russerne således dobbelt så svage styrker mod hele den franske hær rettet mod vores venstre fløj. (Poniatowskis handlinger mod Utitsa og Uvarov på den franske højre flanke var handlinger adskilt fra slagets gang.)
Så slaget ved Borodino fandt slet ikke sted, som de beskriver det (forsøger at skjule vores militære lederes fejl og som et resultat mindske den russiske hærs og folks herlighed). Slaget ved Borodino fandt ikke sted i en valgt og befæstet position med styrker, der var noget svagere fra russernes side, men slaget ved Borodino, på grund af tabet af Shevardinsky-skanset, blev accepteret af russerne i et åbent , næsten ubefæstet område med styrker dobbelt så svage mod franskmændene, det vil sige under sådanne forhold, hvor det ikke kun var utænkeligt at kæmpe i ti timer og gøre slaget ubeslutsomt, men det var utænkeligt at holde hæren fra fuldstændigt nederlag og flugt i tre timer.

Om morgenen den 25. forlod Pierre Mozhaisk. På nedstigningen fra det enorme stejle og krogede bjerg, der fører ud af byen, forbi katedralen, der står på bjerget til højre, hvor der foregik en gudstjeneste og evangeliet blev forkyndt, steg Pierre ud af vognen og gik videre fod. Bag ham var et kavaleriregiment med sangere foran på vej ned på bjerget. Et tog af vogne med de sårede i gårsdagens tilfælde rejste sig mod ham. Bondeførerne løb fra den ene side til den anden, råbende på hestene og piskede dem med piske. Vognene, hvorpå tre eller fire sårede soldater lå og sad, sprang over de sten, der blev kastet i form af et fortov på en stejl skråning. De sårede, bundet med klude, blege, med sammenpressede læber og rynkende bryn, holdt fast i sengene, sprang og skubbede vognene ind. Alle så på Pierres hvide hat og grønne frakke med næsten naiv barnlig nysgerrighed.

Et par tal, hvis produkt er lig med et, kaldes indbyrdes omvendt.

Eksempler: 5 og 1/5, −6/7 og −7/6, og

For ethvert tal a, der ikke er lig med nul, er der en invers 1/a.

Det gensidige af nul er uendelighed.

Omvendte brøker- disse er to fraktioner, hvis produkt er lig med 1. For eksempel 3/7 og 7/3; 5/8 og 8/5 osv.

se også

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Omvendt tal" er i andre ordbøger:

Et tal, hvis produkt med et givet tal er lig med et. To sådanne tal kaldes gensidige. Disse er for eksempel 5 og 1/5, 2/3 og 3/2 osv... Stor encyklopædisk ordbog

gensidigt nummer- - [A.S. Goldberg. Engelsk-russisk energiordbog. 2006] Emner om energi generelt EN omvendt tal gensidigt tal ... Teknisk oversættervejledning

Et tal, hvis produkt med et givet tal er lig med et. To sådanne tal kaldes gensidige. Disse er f.eks. 5 og 1/5, 2/3 og 3/2 osv. * * * OMKENDT TAL OMKENDT TAL, et tal, hvis produkt med et givet tal er lig med ... ... encyklopædisk ordbog

Et tal, hvis produkt med et givet tal er lig med et. To sådanne tal kaldes gensidige. Disse er for eksempel 5 og a, ikke lig med nul, der er en omvendt... Store sovjetiske encyklopædi

Et tal, hvis produkt ved et givet tal er lig med én. To sådanne numre kaldes. indbyrdes omvendt. Disse er for eksempel 5 og 1/5. 2/3 og 3/2 osv... Naturvidenskab. encyklopædisk ordbog

Dette udtryk har andre betydninger, se Tal (betydninger). Tal er et grundlæggende begreb i matematik, der bruges til at kvantificere, sammenligne og nummerere objekter. Efter at være opstået i det primitive samfund fra behovene... ... Wikipedia

Se også: Tal (lingvistik) Tal er en abstraktion, der bruges til kvantitativt at karakterisere objekter. Efter at have opstået i det primitive samfund fra behovene til at tælle, ændrede og berigede talbegrebet sig og blev til det vigtigste matematiske... Wikipedia

Den omvendte hvirvling af vand under dræning er en pseudo-videnskabelig myte baseret på den forkerte anvendelse af Coriolis-effekten på bevægelsen af ​​vand i et spabad, der opstår, når det strømmer ind i afløbshullet i en vask eller et badekar. Essensen af ​​myten er, at vand... ... Wikipedia

IRRATIONALT TAL Et tal, der ikke kan udtrykkes som en brøk. Eksempler inkluderer T2 og p-nummer. Derfor er irrationelle tal tal med et uendeligt antal (ikke-periodiske) decimaler. (Men det modsatte er ikke sandt... ... Videnskabelig og teknisk encyklopædisk ordbog

Laplace-transformationen er en integraltransformation, der relaterer en funktion af en kompleks variabel (billede) til en funktion af en reel variabel (original). Med dens hjælp studeres dynamiske systemers egenskaber og differentieres og ... Wikipedia er løst

Bøger

• Happy Wives Club, Weaver Von. 27 kvinder fra forskellige dele af verden, ukendte med hinanden, med forskellige skæbner. De har intet tilfælles, bortset fra én ting - de er utroligt lykkelige i ægteskabet i mere end 25 år, fordi de kender Hemmeligheden...Når...

Gensidige - eller indbyrdes gensidige - tal er et talpar, der, når de ganges, giver 1. I den mest generelle form er reciproke tal. Et karakteristisk specialtilfælde af gensidige tal er et par. De omvendte er f.eks. tal; .

Sådan finder du det gensidige af et tal

Regel: du skal dividere 1 (en) med et givet tal.

Eksempel nr. 1.

Tallet 8 er givet. Dets inverse er 1:8 eller (den anden mulighed er at foretrække, fordi denne notation er matematisk mere korrekt).

Når man leder efter det gensidige tal for en almindelig brøk, er det ikke særlig praktisk at dividere det med 1, fordi optagelsen er besværlig. I dette tilfælde er det meget nemmere at gøre tingene anderledes: Brøken vendes simpelthen ved at skifte tæller og nævner. Hvis en rigtig brøk er givet, er den resulterende brøk ukorrekt, dvs. efter at have vendt den om. en, hvorfra en hel del kan isoleres. Om det skal gøres eller ej, skal afgøres fra sag til sag. Så hvis du så skal udføre nogle handlinger med den resulterende inverterede brøk (for eksempel multiplikation eller division), så skal du ikke vælge hele delen. Hvis den resulterende fraktion er det endelige resultat, er det måske ønskeligt at isolere hele delen.

Eksempel nr. 2.

Givet en brøkdel. Omvendt til det:.

Hvis du skal finde det reciproke af en decimalbrøk, skal du bruge den første regel (dividere 1 med tallet). I denne situation kan du handle på en af ​​2 måder. Den første er simpelthen at dividere 1 med det tal i en kolonne. Den anden er at danne en brøk fra et 1 i tælleren og en decimal i nævneren og derefter gange tælleren og nævneren med 10, 100 eller et andet tal bestående af et 1 og så mange nuller som nødvendigt for at slippe af med decimal i nævneren. Resultatet bliver en almindelig brøk, som er resultatet. Hvis det er nødvendigt, skal du muligvis forkorte den, vælge en hel del fra den eller konvertere den til decimalform.

Eksempel nr. 3.

Det angivne tal er 0,82. Det gensidige nummer er: . Lad os nu reducere brøken og vælge hele delen: .

Sådan kontrolleres om to tal er gensidige

Verifikationsprincippet er baseret på at bestemme gensidige tal. Det vil sige, at for at sikre, at tallene er gensidige, skal du gange dem. Hvis resultatet er ét, så er tallene indbyrdes omvendte.

Eksempel nr. 4.

Givet tallene 0,125 og 8. Er de gensidige?

Undersøgelse. Det er nødvendigt at finde produktet af 0,125 og 8. Lad os for klarhedens skyld præsentere disse tal i form af almindelige brøker: (reducer 1. brøk med 125). Konklusion: tallene 0,125 og 8 er gensidige.

Egenskaber for gensidige tal

Ejendom nr. 1

En gensidig findes for ethvert tal undtagen 0.

Denne begrænsning skyldes, at man ikke kan dividere med 0, og ved bestemmelse af det gensidige tal for nul, vil det skulle flyttes til nævneren, dvs. faktisk dividere med det.

Ejendom nr. 2

Summen af ​​et par gensidige tal er altid ikke mindre end 2.

Matematisk kan denne egenskab udtrykkes ved uligheden: .

Ejendom nr. 3

At gange et tal med to gensidige tal svarer til at gange med en. Lad os udtrykke denne egenskab matematisk: .

Eksempel nr. 5.

Find værdien af ​​udtrykket: 3,4·0,125·8. Da tallene 0,125 og 8 er gensidige (se eksempel nr. 4), er det ikke nødvendigt at gange 3,4 med 0,125 og derefter med 8. Så svaret her vil være 3.4.

Indhold:

Der er brug for reciproke, når man løser alle typer algebraiske ligninger. For eksempel, hvis du skal dividere et brøktal med et andet, gange du det første tal med det gensidige af det andet. Derudover bruges gensidige tal, når man finder ligningen for en ret linje.

Trin

1 Find det gensidige af en brøk eller et heltal

1. 1 Find gensidigheden af ​​en brøk ved at vende den om."Gensidigt tal" defineres meget enkelt. For at beregne det, skal du blot beregne værdien af ​​udtrykket "1 ÷ (oprindeligt tal)." For et brøktal er det reciproke af en brøk et andet brøktal, der kan beregnes blot ved at "vende om" brøken (skifte pladsen for tæller og nævner).
   • For eksempel er den reciproke af fraktionen 3/4 4 / 3 .
2. 2 Skriv det reciproke af et helt tal som en brøk. Og i dette tilfælde beregnes det gensidige tal som 1 ÷ (det oprindelige tal). For et helt tal skal du skrive det gensidige som en brøk; du behøver ikke regne ud og skrive det som en decimal.
   • For eksempel er den reciproke af 2 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Find det gensidige af en blandet fraktion

1. 1 Hvad er en "blandet fraktion"? En blandet brøk er et tal skrevet som et helt tal og en simpel brøk, for eksempel 2 4/5. At finde det reciproke af en blandet fraktion udføres i to trin, beskrevet nedenfor.
2. 2 Skriv den blandede brøk som en uægte brøk. Du husker selvfølgelig, at en enhed kan skrives som (tal)/(samme tal), og brøker med samme nævner (tallet under linjen) kan lægges til hinanden. Sådan gør du det for brøken 2 4/5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Vend brøken om. Når en blandet brøk skrives som en uegen brøk, kan vi nemt finde den gensidige blot ved at bytte tæller og nævner.
   • For eksemplet ovenfor ville det gensidige tal være 14/5 - 5 / 14 .

3 Find det gensidige af en decimalbrøk

1. 1 Hvis det er muligt, udtrykkes decimalen som en brøk. Du skal vide, at mange decimaler nemt kan konverteres til brøker. For eksempel, 0,5 = 1/2 og 0,25 = 1/4. Når du har skrevet et tal som en simpel brøk, kan du nemt finde dets gensidige ved blot at vende brøken om.
   • For eksempel er den reciproke på 0,5 2/1 = 2.
2. 2 Løs problemet ved hjælp af division. Hvis du ikke kan skrive en decimal som en brøk, skal du beregne den reciproke ved at løse opgaven ved at dividere: 1 ÷ (decimal). Du kan bruge en lommeregner til at løse dette eller gå til næste trin, hvis du vil beregne værdien manuelt.
   • For eksempel beregnes den reciproke på 0,4 som 1 ÷ 0,4.
3. 3 Skift udtrykket til at arbejde med heltal. Det første trin i at dividere en decimal er at flytte decimaltegnet, indtil alle tallene i udtrykket er heltal. Fordi du flytter decimalen det samme antal pladser i både udbytte og divisor, får du det rigtige svar.
4. 4 For eksempel tager du udtrykket 1 ÷ 0,4 og skriver det som 10 ÷ 4. I dette tilfælde har du flyttet decimalen et sted til højre, hvilket er det samme som at gange hvert tal med ti.
5. 5 Løs problemet ved at dele tallene i en kolonne. Ved hjælp af lang division kan du beregne det gensidige tal. Hvis du dividerer 10 med 4, skulle du få 2,5, hvilket er det gensidige af 0,4.

• Værdien af ​​et negativt gensidigt tal vil være lig med det gensidige tal ganget med -1. For eksempel er den negative reciproke på 3/4 - 4/3.
• Den gensidige af et tal kaldes undertiden "gensidig" eller "gensidig".
• Tallet 1 er sit eget gensidige, fordi 1 ÷ 1 = 1.
• Nul har ingen gensidighed, fordi udtrykket 1 ÷ 0 ikke har nogen løsninger.