Afledt af funktion y 2 rod x. Online lommeregner

Følger af dens definition. Og så logaritmen af tallet b baseret på EN er defineret som den eksponent, som et tal skal hæves til -en for at få nummeret b(logaritme findes kun for positive tal).

Af denne formulering følger, at beregningen x=log a b, svarer til at løse ligningen a x =b. For eksempel, log 2 8 = 3 fordi 8 = 2 3 . Formuleringen af logaritmen gør det muligt at begrunde, at if b=a c, derefter logaritmen af tallet b baseret på -en lige med Med. Det er også klart, at emnet logaritmer er tæt forbundet med emnet for potenser af et tal.

Med logaritmer, som med alle tal, kan du gøre operationer med addition, subtraktion og transformere på alle mulige måder. Men på grund af at logaritmer ikke er helt almindelige tal, gælder deres egne særlige regler her, som kaldes hovedejendomme.

Tilføjelse og subtrahering af logaritmer.

Lad os tage to logaritmer med på samme grund: log et x Og log et y. Så er det muligt at udføre additions- og subtraktionsoperationer:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log et x 1 + log et x 2 + log et x 3 + ... + log a x k.

Fra logaritmekvotientsætning Endnu en egenskab for logaritmen kan opnås. Det er almindelig kendt, at log -en 1 = 0, derfor

log -en 1 /b=log -en 1 - log a b= - log a b.

Det betyder, at der er en lighed:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmer af to gensidige tal af samme grund vil adskille sig fra hinanden udelukkende ved tegn. Så:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Fokus i denne artikel er logaritme. Her vil vi give definitionen af logaritme, vis accepteret betegnelse, vil vi give eksempler på logaritmer, og tale om naturlige og decimale logaritmer. Herefter vil vi overveje den grundlæggende logaritmiske identitet.

Sidenavigation.

Definition af logaritme

Begrebet logaritme opstår, når man løser et problem i i en vis forstand omvendt, når du skal finde eksponenten ved kendt værdi grad og kendt grundlag.

Men nok forord, det er tid til at besvare spørgsmålet "hvad er en logaritme"? Lad os give den tilsvarende definition.

Definition.

Logaritme af b til grundtal a, hvor a>0, a≠1 og b>0 er eksponenten, som du skal hæve tallet a til for at få b som et resultat.

På dette stadium bemærker vi, at det talte ord "logaritme" straks bør rejse to opfølgende spørgsmål: "hvilket tal" og "på hvilket grundlag." Med andre ord er der simpelthen ingen logaritme, men kun logaritmen af et tal til en eller anden base.

Lad os gå ind med det samme logaritme notation: logaritmen af et tal b til base a betegnes normalt som log a b. Logaritmen af et tal b til grundtal e og logaritmen til grundtal 10 har deres egne specielle betegnelser henholdsvis lnb og logb, det vil sige, at de ikke skriver log e b, men lnb, og ikke log 10 b, men lgb.

Nu kan vi give:.
Og optegnelserne giver ikke mening, da der i den første af dem er et negativt tal under logaritmetegnet, i det andet er der et negativt tal i basen, og i det tredje er der et negativt tal under logaritmetegnet og en enhed i basen.

Lad os nu tale om regler for aflæsning af logaritmer. Log a b læses som "logaritmen af b til base a". For eksempel er log 2 3 logaritmen af tre til grundtal 2, og er logaritmen af to komma to tredjedele til grundtal 2 Kvadrat rod ud af fem. Logaritmen til basis e kaldes naturlig logaritme, og notationen lnb lyder "naturlig logaritme af b". For eksempel er ln7 den naturlige logaritme af syv, og vi vil læse den som den naturlige logaritme af pi. Basis 10-logaritmen har også et særligt navn - decimallogaritme, og lgb læses som "decimal logaritme af b". For eksempel er lg1 decimallogaritmen af én, og lg2.75 er decimallogaritmen af to komma syv fem hundrededele.

Det er værd at dvæle separat ved betingelserne a>0, a≠1 og b>0, under hvilke definitionen af logaritmen er givet. Lad os forklare, hvor disse begrænsninger kommer fra. En lighed af formen kaldet , som direkte følger af definitionen af logaritme ovenfor, vil hjælpe os med at gøre dette.

Lad os starte med a≠1. Da én til enhver potens er lig med én, kan ligheden kun være sand, når b=1, men log 1 1 kan være enhver reelle tal. For at undgå denne tvetydighed antages a≠1.

Lad os begrunde det hensigtsmæssige i betingelsen a>0. Med a=0, ved definitionen af en logaritme, ville vi have lighed, hvilket kun er muligt med b=0. Men så kan log 0 0 være et hvilket som helst reelt tal, der ikke er nul, da nul til enhver potens, der ikke er nul, er nul. Betingelsen a≠0 giver os mulighed for at undgå denne tvetydighed. Og når en<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирrationel indikator kun defineret for ikke-negative baser. Derfor accepteres betingelsen a>0.

Endelig følger betingelsen b>0 af uligheden a>0, da , og værdien af en potens med en positiv base a altid er positiv.

For at konkludere dette punkt, lad os sige, at den angivne definition af logaritmen giver dig mulighed for straks at angive værdien af logaritmen, når tallet under logaritmetegnet er en vis styrke af basen. Faktisk giver definitionen af en logaritme os mulighed for at sige, at hvis b=a p, så er logaritmen af tallet b til grunden a lig med p. Det vil sige, at lighedsloggen a a p =p er sand. For eksempel ved vi, at 2 3 =8, så log 2 8=3. Vi vil tale mere om dette i artiklen.

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Archimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente for yderligere åbning logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor du skal forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, det vil sige logaritmen af evt. ikke-negativt tal(det vil sige enhver positiv) "b" ved sin grundtal "a" anses for at være potensen af "c", hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at opnå værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, sådan at du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.

Typer af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre individuelle arter logaritmiske udtryk:

Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
Decimal a, hvor grundtallet er 10.
Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.

Hver af dem er bestemt på en standard måde, som omfatter forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til én logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af handlinger, når du løser dem.

Regler og nogle restriktioner

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække en lige rod fra negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
hvis a > 0, så a b >0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning af logaritmer konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at introducere logaritmen til for at opnå givet nummer.

For nøjagtigt at bestemme værdien ukendt grad du skal lære at arbejde med gradertabellen. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. Dog for store værdier du skal bruge en tabel med grader. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekst matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor enhver matematisk numeriske udtryk kan skrives som en logaritmisk ligning. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af 81 lig med fire (log 3 81 = 4). Til negative kræfter reglerne er de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Givet et udtryk af følgende form: log 2 (x-1) > 3 - det er logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under fortegn for logaritmen. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af det ønskede tal til base to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) indebærer et eller flere specifikke svar. numeriske værdier, mens ulighederne ved løsning af defineres som regionen acceptable værdier, og brudpunkterne for denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men snarere kontinuerlig serie eller et sæt tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere, lad os først se nærmere på hver egenskab.

Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde forudsætning er: d, s1 og s2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Sætningen i form af en formel tager på næste visning: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskaben for graden af logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i stort set alle problembøger, og indgår også i obligatorisk del matematik eksamener. For optagelse på universitetet eller bestået optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne problemer korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller ordning til at løse og bestemme ukendt værdi Der er ikke sådan noget som en logaritme, men du kan anvende den på enhver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. visse regler. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller føre til generelle udseende. Forenkle lange logaritmiske udtryk muligt, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.

Når man beslutter sig logaritmiske ligninger, bør vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For løsninger naturlige logaritmer skal ansøge logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på løsningen med eksempler logaritmiske problemer forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.

Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at udvide stor betydning tal b til enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer findes ofte i adgangsprøver, især en masse logaritmiske problemer i Unified State Exam ( Statseksamen for alle skoleelever). Disse opgaver er typisk ikke kun til stede i del A (den nemmeste testdel af eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er taget fra officielle Muligheder for Unified State Exam. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af et udtryk, der er under logaritmetegnet og som dets base, tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.

1.1. Bestemmelse af eksponenten for en heltalseksponent

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N gange

1.2. Nul grader.

Per definition er det generelt accepteret, at nul grader ethvert tal er lig med 1:

1.3. Negativ grad.

X -N = 1/X N

1.4. Brøkkraft, rod.

X 1/N = N roden af X.

For eksempel: X 1/2 = √X.

1.5. Formel til at tilføje kræfter.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formel for at trække potenser fra.

X (N-M) = XN/X M

1.7. Formel til multiplikation af magter.

X N*M = (X N) M

1.8. Formel til at hæve en brøkdel til en magt.

(X/Y) N = X N/Y N

2. Nummer e.

Værdien af tallet e er lig med følgende grænse:

E = lim(1+1/N), som N → ∞.

Med en nøjagtighed på 17 cifre er tallet e 2,71828182845904512.

3. Eulers ligestilling.

Denne lighed forbinder fem tal, der spiller en særlig rolle i matematik: 0, 1, e, pi, imaginær enhed.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Eksponentiel funktion exp(x)

exp(x) = e x

5. Afledt af eksponentiel funktion

Den eksponentielle funktion har bemærkelsesværdig ejendom: Den afledede af en funktion er lig med selve eksponentialfunktionen:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logaritme.

6.1. Definition af logaritmefunktionen

Hvis x = b y, så er logaritmen funktionen

Y = Log b(x).

Logaritmen viser til hvilken potens et tal skal hæves - logaritmen (b)'s basis for at opnå et givet tal (X). Logaritmefunktionen er defineret for X større end nul.

For eksempel: Log 10 (100) = 2.

6.2. Decimal logaritme

Dette er logaritmen til base 10:

Y = Log 10 (x).

Angivet med Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Eksempel på brug decimallogaritme- decibel.

6.3. Decibel

Punktet er fremhævet på en separat side Decibel

6.4. Binær logaritme

Dette er basis 2-logaritmen:

Y = Log 2 (x).

Angivet med Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Naturlig logaritme

Dette er logaritmen til base e:

Y = Log e (x) .

Angivet med Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Naturlig logaritme - omvendt funktion til eksponentiel funktioner eksp(X).

6.6. Karakteristiske punkter

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Produktlogaritmeformel

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formel for logaritme af kvotient

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Formel for magtlogaritme

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formel til konvertering til en logaritme med en anden base

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Eksempel:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formler nyttige i livet

Ofte er der problemer med at konvertere volumen til areal eller længde og omvendt problem-- konvertering af areal til volumen. For eksempel sælges brædder i terninger (kubikmeter), og vi skal beregne, hvor meget vægareal der kan dækkes med brædder indeholdt i et vist volumen, se beregning af brædder, hvor mange brædder der er i en terning. Eller hvis væggens dimensioner er kendt, skal du beregne antallet af mursten, se murstensberegning.

Det er tilladt at bruge webstedsmaterialer, forudsat at der er installeret et aktivt link til kilden.

I forbindelse med

opgaven med at finde et hvilket som helst af de tre tal fra de to andre givne kan indstilles. Hvis a og derefter N er givet, findes de ved eksponentiering. Hvis N og derefter a er givet ved at tage roden af graden x (eller hæve den til potensen). Overvej nu tilfældet, når vi givet a og N skal finde x.

Lad tallet N være positivt: tallet a være positivt og ikke lig med en:.

Definition. Logaritmen af tallet N til grundtallet a er den eksponent, som a skal hæves til for at opnå tallet N; logaritme er angivet med

I lighed (26.1) findes eksponenten således som logaritmen af N til grundtal a. Indlæg

har samme betydning. Ligestilling (26.1) kaldes undertiden logaritme-teoriens hovedidentitet; i virkeligheden udtrykker det definitionen af begrebet logaritme. Ved denne definition Grundlaget for logaritmen a er altid positiv og forskellig fra enhed; det logaritmiske tal N er positivt. Negative tal og nul har ingen logaritmer. Det kan bevises, at ethvert tal med en given base har en veldefineret logaritme. Derfor medfører ligestilling. Bemærk, at den væsentlige betingelse her er Ellers konklusionen ville ikke være berettiget, da ligheden er sand for alle værdier af x og y.

Eksempel 1. Find

Løsning. For at opnå et tal skal du hæve grundtallet 2 til potensen Derfor.

Du kan lave noter, når du løser sådanne eksempler i følgende form:

Eksempel 2. Find .

Løsning. Vi har

I eksempel 1 og 2 fandt vi let den ønskede logaritme ved at repræsentere logaritmetallet som en potens af grundtallet med en rationel eksponent. I almindelig sag, for eksempel for osv., kan dette ikke lade sig gøre, da logaritmen har irrationel betydning. Lad os være opmærksomme på et spørgsmål relateret til denne erklæring. I afsnit 12 gav vi konceptet om muligheden for at bestemme en hvilken som helst reel grad af en given positivt tal. Dette var nødvendigt for indførelsen af logaritmer, som generelt set kan være irrationelle tal.

Lad os se på nogle egenskaber ved logaritmer.

Egenskab 1. Hvis tallet og grundtallet er ens, så logaritmen lig med én, og omvendt, hvis logaritmen er lig med én, så er tallet og grundtallet ens.

Bevis. Lad Ved definitionen af en logaritme har vi og hvorfra

Omvendt, lad derefter per definition

Egenskab 2. Logaritmen af et til enhver grundtal er lig med nul.

Bevis. Ved definition af en logaritme (nulpotensen af enhver positiv base er lig med én, se (10.1)). Herfra

Q.E.D.

Det omvendte udsagn er også sandt: hvis , så N = 1. Vi har faktisk .

Før vi formulerer den næste egenskab ved logaritmer, lad os blive enige om at sige, at to tal a og b ligger på samme side af det tredje tal c, hvis de begge er større end c eller mindre end c. Hvis et af disse tal er større end c, og det andet er mindre end c, så vil vi sige, at de ligger langs forskellige sider fra landsbyen

Egenskab 3. Hvis tallet og grundtallet ligger på samme side af én, så er logaritmen positiv; Hvis tallet og grundtallet ligger på modsatte sider af en, så er logaritmen negativ.

Beviset for egenskab 3 er baseret på, at potensen af a er større end én, hvis grundtallet er større end én, og eksponenten er positiv, eller grundfladen er mindre end én, og eksponenten er negativ. En potens er mindre end én, hvis grundtallet er større end én, og eksponenten er negativ, eller basen er mindre end én, og eksponenten er positiv.

Der er fire sager at overveje:

Vi vil begrænse os til at analysere den første af dem, læseren vil overveje resten på egen hånd.

Lad så i lighed eksponenten hverken være negativ eller lig med nul, derfor er det positivt, dvs. som det kræves bevist.

Eksempel 3. Find ud af, hvilke af logaritmerne nedenfor der er positive og hvilke der er negative:

Løsning, a) da tallet 15 og basen 12 er placeret på samme side af en;

b) da 1000 og 2 er placeret på den ene side af enheden; i dette tilfælde er det ikke vigtigt, at grundtallet er større end det logaritmiske tal;

c) da 3.1 og 0.8 ligger på modsatte sider af enhed;

G); Hvorfor?

d); Hvorfor?

Følgende egenskaber 4-6 kaldes ofte logaritmeringsreglerne: de tillader, ved at kende logaritmerne for nogle tal, at finde logaritmerne for deres produkt, kvotient og grad af hver af dem.

Egenskab 4 (produktlogaritmeregel). Logaritme af produktet af flere positive tal ved dette grundlag lig med summen logaritmer af disse tal til samme grundtal.

Bevis. Lad de givne tal være positive.

For logaritmen af deres produkt skriver vi ligheden (26.1), der definerer logaritmen:

Herfra finder vi

Sammenligning af eksponenterne for den første og sidste udtryk, opnår vi den nødvendige lighed:

Bemærk, at betingelsen er væsentlig; logaritmen af produktet af to negative tal giver mening, men i dette tilfælde får vi

Generelt, hvis produktet af flere faktorer er positivt, er dets logaritme lig med summen af logaritmerne af de absolutte værdier af disse faktorer.

Egenskab 5 (regel for at tage logaritmer af kvotienter). Logaritmen af en kvotient af positive tal er lig med forskellen mellem logaritmerne af udbyttet og divisoren taget til samme grundtal. Bevis. Vi finder konsekvent

Q.E.D.

Egenskab 6 (potenslogaritmeregel). Logaritme af styrken af et positivt tal lig med logaritmen dette tal ganget med eksponenten.

Bevis. Lad os igen skrive hovedidentiteten (26.1) for nummeret:

Q.E.D.

Følge. Logaritmen af en rod af et positivt tal er lig med logaritmen af radikalet divideret med eksponenten af roden:

Gyldigheden af denne konsekvens kan bevises ved at forestille sig hvordan og bruge egenskab 6.

Eksempel 4. Tag logaritmen til at basere a:

a) (det antages, at alle værdier b, c, d, e er positive);

b) (det antages, at ).

Løsning, a) Det er praktisk at gå til dette udtryk til brøkpotenser:

Baseret på ligheder (26.5)-(26.7) kan vi nu skrive:

Vi bemærker, at der udføres enklere operationer på tals logaritmer end på selve tallene: når man multiplicerer tal, tilføjes deres logaritmer, når de divideres, trækkes de fra osv.

Det er derfor, der bruges logaritmer i beregningspraksis (se afsnit 29).

Den omvendte handling af logaritmen kaldes potentiering, nemlig: potensering er den handling, hvorved selve tallet findes ud fra en given logaritme af et tal. I bund og grund er potensering ikke nogen speciel handling: det kommer ned til at hæve en base til en magt ( lig med logaritmen tal). Udtrykket "potentiering" kan betragtes som synonymt med udtrykket "eksponentiering".

Når du potentierer, skal du bruge reglerne omvendt til reglerne for logaritmering: Erstat summen af logaritmer med logaritmen af produktet, forskellen af logaritmer med logaritmen af kvotienten osv. Især hvis der er en faktor foran af logaritmens fortegn, så skal den under potensering overføres til eksponentgraderne under logaritmens fortegn.

Eksempel 5. Find N, hvis det vides, at

Løsning. I forbindelse med den netop nævnte potentieringsregel vil vi overføre faktorerne 2/3 og 1/3, der står foran logaritmernes fortegn på højre side af denne lighed til eksponenter under disse logaritmers fortegn; vi får

Nu erstatter vi forskellen af logaritmer med logaritmen af kvotienten:

for at opnå den sidste brøk i denne kæde af ligheder, befriede vi den foregående brøk fra irrationalitet i nævneren (klausul 25).

Ejendom 7. Hvis basen er større end én, så større antal har en større logaritme (og et mindre tal har en mindre), hvis grundtallet er mindre end én, så har et større tal en mindre logaritme (og et mindre tal har en større).

Denne egenskab er også formuleret som en regel til at tage logaritmer af uligheder, hvis begge sider er positive:

Når du tager logaritmer af uligheder til basen, større end én, bevares ulighedstegnet, og når man tager en logaritme til en grundtal mindre end én, ændres ulighedstegnet til det modsatte (se også afsnit 80).

Beviset er baseret på egenskaberne 5 og 3. Overvej det tilfælde, hvor If , then og ved at tage logaritmer får vi

(a og N/M ligger på samme side af enhed). Herfra

Tilfælde a følger, vil læseren selv finde ud af det.