Lad os erstatte den fundne værdi i udtrykket. Numeriske udtryk

I som forældre vil i gang med at uddanne jeres barn mere end én gang støde på behovet for hjælp til at løse lektieopgaver i matematik, algebra og geometri. Og en af de grundlæggende færdigheder, du skal lære, er, hvordan du finder meningen med et udtryk. Mange mennesker er i en blindgyde, for hvor mange år er der gået, siden vi læste i 3.-5. Meget er allerede glemt, og noget er ikke blevet lært. Reglerne selv matematiske operationer- er enkle, og du kan nemt huske dem. Lad os starte med det helt grundlæggende om, hvad et matematisk udtryk er.

Definition af udtryk

Et matematisk udtryk er en samling af tal, handlingstegn (=, +, -, *, /), parenteser og variable. Kort fortalt er dette en formel, hvis værdi skal findes. Sådanne formler findes i matematikkurser siden skolen, og forfølger derefter elever, der har valgt specialer vedr. eksakte videnskaber. Matematiske udtryk er opdelt i trigonometriske, algebraiske og så videre, lad os ikke komme ind i det meget "vilde".

Foretag nogle beregninger først på et udkast, og skriv dem derefter ind arbejdsbog. På denne måde undgår du unødvendige krydsninger og snavs;
Genberegn det samlede antal matematiske operationer, der skal udføres i udtrykket. Bemærk venligst, at i henhold til reglerne udføres operationerne i parentes først, derefter division og multiplikation, og til sidst subtraktion og addition. Vi anbefaler at fremhæve alle handlingerne med blyant og sætte tal over handlingerne i den rækkefølge, de blev udført. I dette tilfælde vil det være lettere for både dig og dit barn at navigere;
Begynd at lave beregninger nøje efter rækkefølgen af handlinger. Lad barnet, hvis regnestykket er simpelt, prøve at udføre det i hovedet, men hvis det er svært, så sæt i en blyant det tal, der svarer til ordenstallet på udtrykket, og foretag udregningen i skriftligt under formlen;
Find typisk værdien enkelt udtryk er ikke svært, hvis alle beregninger udføres i overensstemmelse med reglerne og i den rigtige rækkefølge. De fleste mennesker støder på problemet præcist på dette tidspunkt finde betydningen af et udtryk, så vær forsigtig og lav ikke fejl;
Forbyd lommeregneren. Sami matematiske formler og opgaverne i dit barns liv er måske ikke brugbare, men det er ikke formålet med at studere emnet. Det vigtigste er udvikling logisk tænkning. Hvis du bruger lommeregnere, vil meningen med alt gå tabt;
Din opgave som forælder er ikke at løse problemer for dit barn, men at hjælpe ham i dette, at vejlede det. Lad ham lave alle beregningerne selv, og du sikrer dig, at han ikke laver fejl, forklar hvorfor han skal gøre det på denne måde og ikke på anden måde.
Når svaret på udtrykket er fundet, skriv det ned efter "="-tegnet;
Åben sidste side lærebog i matematik. Normalt er der svar til hver øvelse i bogen. Det skader ikke at tjekke, om alt er beregnet korrekt.

At finde betydningen af et udtryk er på den ene side en simpel procedure; det vigtigste er at huske de grundlæggende regler, som vi gik igennem i skoleforløb matematik. Men på den anden side, når du skal hjælpe dit barn med at klare formler og løse problemer, bliver spørgsmålet mere kompliceret. Når alt kommer til alt, er du nu ikke elev, men lærer, og fremtidens Einsteins uddannelse hviler på dine skuldre.

Vi håber, at vores artikel hjalp dig med at finde svaret på spørgsmålet om, hvordan du finder betydningen af et udtryk, og du kan nemt finde ud af enhver formel!

Formel

Addition, subtraktion, multiplikation, division - aritmetiske operationer (eller aritmetiske operationer ). Disse aritmetiske operationer svarer til tegnene aritmetiske operationer:

+ (Læs " plus") - tegn på tilføjelsesoperationen,

- (Læs " minus") - skilt subtraktionsoperationer,

∙ (Læs " formere sig") - skilt multiplikationsoperationer,

: (Læs " dele") er tegnet på divisionsoperationen.

En post bestående af tal forbundet med aritmetiske fortegn kaldes numerisk udtryk. Et numerisk udtryk kan også indeholde parenteser. For eksempel posten 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) er et numerisk udtryk.

Resultatet af at udføre handlinger på tal i numeriske udtryk kaldes værdien af et numerisk udtryk. At udføre disse handlinger kaldes at beregne værdien af et numerisk udtryk. Før du skriver værdien af et numerisk udtryk, skal du sætte lighedstegn"=". Tabel 1 viser eksempler på numeriske udtryk og deres betydninger.

En post bestående af tal og små bogstaver latinske alfabet, indbyrdes forbundet med tegn på aritmetiske operationer kaldes bogstaveligt udtryk. Denne post kan indeholde parenteser. For eksempel optage a+b - 3 ∙c er et bogstaveligt udtryk. I stedet for bogstaver ind bogstaveligt udtryk kan erstattes forskellige tal. I dette tilfælde kan betydningen af bogstaverne ændre sig, så bogstaverne i bogstavudtrykket kaldes også variabler.

Ved at erstatte tal i stedet for bogstaver i det bogstavelige udtryk og beregne værdien af det resulterende numeriske udtryk, finder de betydningen af et bogstaveligt udtryk for givne bogstavværdier(for givne værdier af variable). Tabel 2 viser eksempler på bogstavudtryk.

Et bogstaveligt udtryk har muligvis ingen betydning, hvis der ved erstatning af bogstavernes værdier opnås et numerisk udtryk, hvis værdi for naturlige tal kunne ikke findes. Dette numeriske udtryk kaldes ukorrekt for naturlige tal. Det siges også, at betydningen af et sådant udtryk er " udefineret" for naturlige tal, og selve udtrykket "giver ikke mening". For eksempel det bogstavelige udtryk a-b betyder ikke noget, når a = 10 og b = 17. For naturlige tal kan minuenden faktisk ikke være mindre end subtrahenden. For eksempel, hvis du kun har 10 æbler (a = 10), kan du ikke give 17 af dem væk (b = 17)!

Tabel 2 (kolonne 2) viser et eksempel på et bogstaveligt udtryk. Analogt, udfyld tabellen fuldstændigt.

For naturlige tal er udtrykket 10 -17 forkert (giver ikke mening), dvs. forskellen 10 -17 kan ikke udtrykkes som et naturligt tal. Et andet eksempel: du kan ikke dividere med nul, så for ethvert naturligt tal b er kvotienten b: 0 udefineret.

Matematiske love, egenskaber, nogle regler og relationer er ofte skrevet i bogstavelig form (dvs. i form af et bogstaveligt udtryk). I disse tilfælde kaldes det bogstavelige udtryk formel. For eksempel hvis siderne af en sekskant er lige store en,b,c,d,e,f,g, derefter formlen (bogstaveligt udtryk) for at beregne dens omkreds s har formen:

p =a+b+c+d+e+f+g

Med a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, omkredsen af sekskanten p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Med a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, omkredsen af den anden sekskant p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Blok 1. Ordforråd

Lav en ordbog over nye termer og definitioner fra afsnittet. For at gøre dette skal du skrive ord fra listen over termer nedenfor i de tomme celler. I tabellen (i slutningen af blokken) skal du angive numrene på termerne i overensstemmelse med numrene på rammerne. Det anbefales, at du omhyggeligt gennemgår afsnittet igen, før du udfylder cellerne i ordbogen.

Operationer: addition, subtraktion, multiplikation, division.

2. Tegn "+" (plus), "-" (minus), "∙" (multiplicer, " : " (dele).

3. En post bestående af tal, der er indbyrdes forbundet med fortegn for aritmetiske operationer, og som også kan indeholde parenteser.

4. Resultatet af at udføre handlinger på tal i numerisk udtryk.

5. Tegnet foran værdien af et numerisk udtryk.

6. En post bestående af tal og små bogstaver i det latinske alfabet, indbyrdes forbundet med tegn på aritmetiske operationer (parenteser kan også være til stede).

7. Almindeligt navn bogstaver i bogstavelig udtryk.

8. Værdien af et numerisk udtryk, som opnås ved at substituere variable i et bogstaveligt udtryk.

9. Et numerisk udtryk, hvis værdi for naturlige tal ikke kan findes.

10. Et numerisk udtryk, hvis værdi for naturlige tal kan findes.

11. Matematiske love, egenskaber, nogle regler og sammenhænge, skrevet i bogstavform.

12. Et alfabet, hvis små bogstaver bruges til at skrive alfabetiske udtryk.

Blok 2. Match

Match opgaven i venstre kolonne med løsningen i højre. Skriv dit svar på skemaet: 1a, 2d, 3b...

Blok 3. Facettest. Numeriske og alfabetiske udtryk

Facettest erstatter samlinger af opgaver i matematik, men adskiller sig positivt fra dem ved, at de kan løses på en computer, løsningerne kan tjekkes, og resultatet af arbejdet kan umiddelbart findes frem. Denne test indeholder 70 problemer. Men du kan løse problemer ved valg; til dette er der en evalueringstabel, som indikerer simple opgaver og sværere. Nedenfor er testen.

Givet en trekant med sider c,d,m, udtrykt i cm
Givet en firkant med sider b,c,d,m, udtrykt i m
Bilens hastighed i km/t er b, rejsetid i timer er d
Den afstand, turisten har tilbagelagt i m timer er Med km
Den distance, turisten tilbagelægger, bevæger sig med hastighed m km/t er b km
Summen af to tal er 15 større end det andet tal
Forskellen er mindre end den, der reduceres med 7
Et passagerskib har to dæk med det samme antal passagersæder. I hver af rækkerne af dækket m sæder, rækker på dæk på n mere end pladser i træk
Petya er m år gammel, Masha er n år gammel, og Katya er k år yngre end Petya og Masha sammen
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

Betydningen af dette udtryk
Det bogstavelige udtryk for omkredsen er
Omkreds udtrykt i centimeter
Formel for afstanden s tilbagelagt af en bil
Formel for speed v, turistbevægelse
Formel for tid t, turistbevægelse
Afstand tilbagelagt af bilen i kilometer
Turisthastighed i kilometer i timen
Turist rejsetid i timer
Det første tal er...
Subtrahenden er lig med...
Udtryk for det største antal passagerer, som kan transportere liner for k flyvninger
Nai stor mængde passagerer, som kan transportere liner for k flyvninger
Bogstavudtryk for Katyas alder
Katyas alder
Koordinaten til punkt B, hvis koordinaten til punkt C er t
Koordinaten til punkt D, hvis koordinaten til punkt C er t
Koordinaten til punkt A, hvis koordinaten til punkt C er t
Længde af segment BD på tallinjen
Længde af segment CA på tallinjen
Længde af segment DA på tallinjen

Første niveau

Konvertering af udtryk. Detaljeret teori (2019)

Konvertering af udtryk

Det hører vi ofte ubehagelig sætning: "forenkle udtrykket." Normalt ser vi en slags monster som dette:

"Det er meget enklere," siger vi, men sådan et svar fungerer normalt ikke.

Nu vil jeg lære dig ikke at være bange for noget lignende opgaver. Desuden vil du i slutningen af lektionen selv forenkle dette eksempel til (bare!) et almindeligt tal (ja, for helvede med disse bogstaver).

Men før du starter denne lektion, skal du være i stand til at håndtere brøker og faktorpolynomier. Derfor, hvis du ikke har gjort dette før, skal du sørge for at mestre emnerne "" og "".

Har du læst den? Hvis ja, så er du nu klar.

Grundlæggende forenklingsoperationer

Lad os nu se på de grundlæggende teknikker, der bruges til at forenkle udtryk.

Den enkleste er

1. Bringe lignende

Hvad ligner hinanden? Det tog du i 7. klasse, da der først dukkede bogstaver i stedet for tal op i matematik. Lignende er udtryk (monomier) med samme bogstavdel. Fx i alt lignende vilkår- dette er jeg.

Kan du huske?

At bringe lignende betyder at tilføje flere lignende udtryk til hinanden og få ét udtryk.

Hvordan kan vi sætte bogstaverne sammen? - du spørger.

Dette er meget let at forstå, hvis du forestiller dig, at bogstaverne er en slags objekter. For eksempel er et bogstav en stol. Hvad er udtrykket lig med? To stole plus tre stole, hvor mange bliver det? Det er rigtigt, stole:.

Prøv nu dette udtryk: .

For at undgå forvirring, lad forskellige bogstaver repræsentere forskellige objekter. For eksempel - er (som sædvanligt) en stol, og - er et bord. Derefter:

stole borde stole borde stole stole borde

De tal, som bogstaverne i sådanne termer ganges med, kaldes koefficienter. For eksempel er koefficienten lig i et monomial. Og i det er lige.

Så reglen for at bringe lignende er:

Eksempler:

Giv lignende:

Svar:

2. (og lignende, da disse udtryk derfor har samme bogstavdel).

2. Faktorisering

Dette er normalt det meste en vigtig del i at forenkle udtryk. Efter at du har givet lignende, skal det resulterende udtryk oftest faktoriseres, det vil sige præsenteret som et produkt. Dette er især vigtigt i brøker: For at kunne reducere en brøk skal tæller og nævner være repræsenteret som et produkt.

Du gennemgik metoderne til faktorisering af udtryk i detaljer i emnet "", så her skal du bare huske, hvad du har lært. For at gøre dette skal du beslutte et par stykker eksempler(skal faktoriseres):

Løsninger:

3. Reduktion af en brøkdel.

Nå, hvad kunne være mere behageligt end at strege en del af tælleren og nævneren ud og smide dem ud af dit liv?

Det er det smukke ved nedtrapning.

Det er simpelt:

Hvis tæller og nævner indeholder de samme faktorer, kan de reduceres, det vil sige fjernes fra brøken.

Denne regel følger af den grundlæggende egenskab for en brøk:

Det vil sige, at essensen af reduktionsoperationen er det Vi dividerer brøkens tæller og nævner med det samme tal (eller med det samme udtryk).

For at reducere en brøkdel skal du:

1) tæller og nævner faktorisere

2) hvis tæller og nævner indeholder fælles faktorer, kan de streges over.

Princippet, tror jeg, er klart?

Jeg vil gerne henlede din opmærksomhed på én ting typisk fejl ved kontraktindgåelse. Selvom dette emne er enkelt, gør mange mennesker alt forkert, uden at forstå det reducere- Det betyder dele tæller og nævner er det samme tal.

Ingen forkortelser, hvis tælleren eller nævneren er en sum.

For eksempel: vi skal forenkle.

Nogle mennesker gør dette: hvilket er helt forkert.

Et andet eksempel: reducere.

Den "klogeste" vil gøre dette: .

Fortæl mig, hvad der er galt her? Det ser ud til: - dette er en multiplikator, hvilket betyder, at den kan reduceres.

Men nej: - dette er en faktor på kun et led i tælleren, men selve tælleren som helhed er ikke faktoriseret.

Her er et andet eksempel: .

Dette udtryk er faktoriseret, hvilket betyder, at du kan reducere det, det vil sige dividere tælleren og nævneren med og derefter med:

Du kan straks opdele det i:

For at undgå sådanne fejl, husk nem vej hvordan man bestemmer, om et udtryk er faktoriseret:

Den aritmetiske operation, der udføres sidst, når værdien af et udtryk beregnes, er "master"-operationen. Det vil sige, hvis du erstatter nogle (vilkårlige) tal i stedet for bogstaver og prøver at beregne værdien af udtrykket, så hvis sidste handling der vil være en multiplikation, hvilket betyder, at vi har et produkt (udtrykket er faktoriseret). Hvis den sidste handling er addition eller subtraktion, betyder det, at udtrykket ikke er faktoriseret (og derfor ikke kan reduceres).

For at konsolidere, løs nogle få selv eksempler:

Svar:

1. Jeg håber ikke du straks skyndte dig at klippe og? Det var stadig ikke nok at "reducere" enheder som dette:

Det første trin bør være faktorisering:

4. Addere og trække brøker fra. Reduktion af brøker til en fællesnævner.

Addition og subtraktion almindelige brøker- operationen er velkendt: vi leder efter en fællesnævner, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtraherer tællerne. Lad os huske:

Svar:

1. Nævnerne og er relativt prime, det vil sige, at de ikke har fælles faktorer. Derfor er LCM af disse tal lig med deres produkt. Dette vil være fællesnævneren:

2. Her er fællesnævneren:

3. Første ting her blandede fraktioner vi gør dem til forkerte og følger derefter det sædvanlige mønster:

Det er en helt anden sag, hvis brøkerne indeholder bogstaver, for eksempel:

Lad os starte med noget simpelt:

a) Nævnere indeholder ikke bogstaver

Her er alt det samme som med almindelige numeriske brøker: vi finder fællesnævneren, gange hver brøk med den manglende faktor og addere/subtrahere tællerne:

Nu i tælleren kan du give lignende, hvis nogen, og faktor dem:

Prøv selv:

b) Nævnere indeholder bogstaver

Lad os huske princippet om at finde en fællesnævner uden bogstaver:

· først og fremmest bestemmer vi de fælles faktorer;

· så skriver vi alle de fælles faktorer ud én ad gangen;

· og gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

For at bestemme de fælles faktorer for nævnerne, indregner vi dem først i primfaktorer:

Lad os understrege de fælles faktorer:

Lad os nu skrive de fælles faktorer ud én ad gangen og tilføje alle de ikke-almindelige (ikke understregede) faktorer til dem:

Dette er fællesnævneren.

Lad os vende tilbage til bogstaverne. Nævnerne er givet på nøjagtig samme måde:

· faktorisere nævnerne;

· bestemme fælles (identiske) faktorer;

· skrive alle fælles faktorer én gang;

· gange dem med alle andre ikke-fælles faktorer.

Så i rækkefølge:

1) faktor nævnerne:

2) bestemme fælles (identiske) faktorer:

3) skriv alle de fælles faktorer ud én gang og gang dem med alle andre (ikke-understreget) faktorer:

Så der er en fællesnævner her. Den første brøk skal ganges med, den anden - med:

Forresten er der et trick:

For eksempel: .

Vi ser de samme faktorer i nævnerne, kun alle med forskellige indikatorer. Fællesnævneren vil være:

til en vis grad

til en vis grad.

Lad os komplicere opgaven:

Hvordan får man brøker til at have samme nævner?

Lad os huske den grundlæggende egenskab ved en brøk:

Ingen steder står der, at det samme tal kan trækkes fra (eller adderes) fra tælleren og nævneren af en brøk. For det er ikke sandt!

Se for dig selv: Tag en hvilken som helst brøk, for eksempel, og læg et tal til tælleren og nævneren, for eksempel. Hvad lærte du?

Så en anden urokkelig regel:

Når du reducerer fraktioner til fællesnævner, brug kun multiplikationsoperationen!

Men hvad skal du gange med for at få?

Så gange med. Og gange med:

Vi vil kalde udtryk, der ikke kan faktoriseres, "elementære faktorer". For eksempel - dette er en elementær faktor. - Samme. Men nej: det kan faktoriseres.

Hvad med udtrykket? Er det elementært?

Nej, fordi det kan faktoriseres:

(du har allerede læst om faktorisering i emnet "").

Så de elementære faktorer, som du udvider udtrykket med bogstaver til, er analoge primære faktorer, hvori du nedbryder tallene. Og vi vil håndtere dem på samme måde.

Vi ser, at begge nævnere har en multiplikator. Det vil gå til fællesnævneren til den grad (husk hvorfor?).

Faktoren er elementær, og de har ikke en fælles faktor, hvilket betyder, at den første brøk blot skal ganges med den:

Et andet eksempel:

Løsning:

Før du multiplicerer disse nævnere i panik, skal du tænke over, hvordan du skal faktorisere dem? De repræsenterer begge:

Store! Derefter:

Et andet eksempel:

Løsning:

Lad os som sædvanlig faktorisere nævnerne. I den første nævner sætter vi det ganske enkelt uden for parentes; i den anden - forskellen mellem kvadrater:

Det ser ud til, at der ikke er nogen fælles faktorer. Men hvis man ser godt efter, ligner de hinanden... Og det er sandt:

Så lad os skrive:

Det vil sige, det blev sådan her: inde i parentesen byttede vi vilkårene, og samtidig skiftede tegnet foran brøken til det modsatte. Bemærk, du bliver nødt til at gøre dette ofte.

Lad os nu bringe det til en fællesnævner:

Forstået? Lad os tjekke det nu.

Opgaver til selvstændig løsning:

Svar:

Her skal vi huske en ting mere - forskellen på terninger:

Bemærk venligst, at nævneren i den anden brøk ikke indeholder formlen "kvadrat af summen"! Kvadraten af summen ville se sådan ud: .

A er det såkaldte ufuldstændige kvadrat af summen: det andet led i det er produktet af det første og det sidste, og ikke deres dobbeltprodukt. Summens partialkvadrat er en af faktorerne i udvidelsen af forskellen på terninger:

Hvad skal man gøre, hvis der allerede er tre brøker?

Ja, det samme! Først og fremmest, lad os sikre os det maksimalt beløb faktorerne i nævnerne var de samme:

Bemærk venligst: hvis du ændrer tegnene inden for den ene parentes, ændres tegnet foran brøken til det modsatte. Når vi ændrer fortegnene i anden parentes, skifter tegnet foran brøken igen til det modsatte. Som følge heraf er det (tegnet foran brøken) ikke ændret.

Vi skriver hele den første nævner ud i fællesnævneren og lægger så alle de faktorer, der endnu ikke er skrevet, fra den anden og så fra den tredje (og så videre, hvis der er flere brøker). Det vil sige, det bliver sådan her:

Hmm... Det er klart, hvad man skal gøre med brøker. Men hvad med de to?

Det er enkelt: du ved, hvordan man tilføjer brøker, ikke? Så vi skal få to til at blive en brøkdel! Lad os huske: en brøk er en divisionsoperation (tælleren divideres med nævneren, hvis du har glemt det). Og der er ikke noget nemmere end at dividere et tal med. I dette tilfælde ændres tallet ikke i sig selv, men bliver til en brøk:

Præcis hvad der skal til!

5. Multiplikation og division af brøker.

Nå, den sværeste del er forbi nu. Og foran os er det enkleste, men samtidig det vigtigste:

Procedure

Hvad er proceduren for at beregne et numerisk udtryk? Husk ved at beregne betydningen af dette udtryk:

Har du talt?

Det burde virke.

Så lad mig minde dig om.

Det første skridt er at beregne graden.

Den anden er multiplikation og division. Hvis der er flere gange og divisioner på samme tid, kan de udføres i vilkårlig rækkefølge.

Og til sidst udfører vi addition og subtraktion. Igen, i vilkårlig rækkefølge.

Men: udtrykket i parentes vurderes ude af tur!

Hvis flere parenteser ganges eller divideres med hinanden, beregner vi først udtrykket i hver af parenteserne, og derefter gange eller dividere dem.

Hvad hvis der er flere beslag inde i beslagene? Nå, lad os tænke: et eller andet udtryk er skrevet inden for parentes. Når du beregner et udtryk, hvad skal du så gøre først? Det er rigtigt, beregn parenteserne. Nå, vi fandt ud af det: først beregner vi de indre parenteser, så alt andet.

Så proceduren for udtrykket ovenfor er som følger (den aktuelle handling er fremhævet med rødt, det vil sige den handling, jeg udfører lige nu):

Okay, det hele er enkelt.

Men det er ikke det samme som et udtryk med bogstaver?

Nej, det er det samme! Kun i stedet for aritmetiske operationer skal du udføre algebraiske operationer, det vil sige handlingerne beskrevet i det foregående afsnit: bringe lignende, tilføjelse af brøker, reduktion af brøker og så videre. Den eneste forskel vil være handlingen med at faktorisere polynomier (vi bruger ofte dette, når vi arbejder med brøker). For at faktorisere skal du oftest bruge I eller blot tage ud fælles multiplikator uden for parentes.

Normalt er vores mål at repræsentere udtrykket som et produkt eller kvotient.

For eksempel:

Lad os forenkle udtrykket.

1) Først forenkler vi udtrykket i parentes. Der har vi en brøkforskel, og vores mål er at præsentere det som et produkt eller en kvotient. Så vi bringer brøkerne til en fællesnævner og tilføjer:

Det er umuligt at forenkle dette udtryk yderligere; alle faktorerne her er elementære (kan du stadig huske, hvad det betyder?).

2) Vi får:

Multiplikation af brøker: hvad kunne være enklere.

3) Nu kan du forkorte:

OK, det hele er forbi nu. Intet kompliceret, vel?

Et andet eksempel:

Forenkle udtrykket.

Prøv først at løse det selv, og se først derefter på løsningen.

Først og fremmest, lad os bestemme rækkefølgen af handlinger. Lad os først tilføje brøkerne i parentes, så i stedet for to brøker får vi én. Så laver vi division af brøker. Nå, lad os tilføje resultatet med den sidste brøk. Jeg vil nummerere trinene skematisk:

Nu vil jeg vise dig processen og tone den aktuelle handling i rødt:

Til sidst vil jeg give dig to nyttige tips:

1. Er der lignende, skal de straks medbringes. På hvilket tidspunkt lignende opstår i vores land, er det tilrådeligt at bringe dem op med det samme.

2. Det samme gælder for reducerende fraktioner: Så snart muligheden for at reducere opstår, skal den udnyttes. Undtagelsen er for brøker, som du tilføjer eller trækker fra: hvis de nu har samme nævnere, så skal reduktionen stå til senere.

Her er nogle opgaver, du kan løse på egen hånd:

Og hvad der blev lovet i begyndelsen:

Løsninger (kort):

Hvis du har klaret mindst de tre første eksempler, så har du mestret emnet.

Nu til at lære!

KONVERTERING AF UDTRYK. RESUMÉ OG GRUNDFORMLER

Grundlæggende forenklingsoperationer:

Medbringer lignende: for at tilføje (reducere) lignende udtryk skal du tilføje deres koefficienter og tildele bogstavdelen.
Faktorisering: sætte den fælles faktor ud af parentes, anvende den osv.
Reduktion af en brøkdel: En brøks tæller og nævner kan ganges eller divideres med det samme tal, der ikke er nul, hvilket ikke ændrer brøkens værdi.
1) tæller og nævner faktorisere
2) hvis tæller og nævner har fælles faktorer, kan de streges over.
VIGTIGT: Kun multiplikatorer kan reduceres!
Addere og trække brøker fra:
;
Multiplikation og division af brøker:
;

Nu hvor vi har lært at lægge til og gange individuelle brøker, kan vi se på flere komplekse designs. For eksempel, hvad hvis det samme problem involverer addering, subtraktion og multiplikation af brøker?

Først og fremmest skal du konvertere alle brøker til ukorrekte. Derefter udfører vi de nødvendige handlinger sekventielt - i samme rækkefølge som for almindelige tal. Nemlig:

Eksponentieringen udføres først - slip af med alle udtryk, der indeholder eksponenter;
Derefter - division og multiplikation;
Det sidste trin er addition og subtraktion.

Hvis der er parenteser i udtrykket, ændres rækkefølgen af operationer selvfølgelig - alt, hvad der er inde i parentesen, skal tælles først. Og husk om ukorrekte brøker: du skal kun fremhæve hele delen, når alle andre handlinger allerede er gennemført.

Lad os konvertere alle brøkerne fra det første udtryk til ukorrekte og derefter udføre følgende trin:

Lad os nu finde værdien af det andet udtryk. Her brøker med hele delen nej, men der er parenteser, så vi foretager tilføjelsen først, og først derefter divisionen. Bemærk, at 14 = 7 · 2. Derefter:

Overvej endelig det tredje eksempel. Der er parenteser og en grad her - det er bedre at tælle dem separat. I betragtning af at 9 = 3 3 har vi:

Vær opmærksom på det sidste eksempel. For at hæve en brøk til en potens, skal du separat hæve tælleren til denne potens og separat nævneren.

Du kan bestemme anderledes. Hvis vi husker definitionen af grad, reduceres problemet til almindelig multiplikation brøker:

Fleretagers brøker

Hidtil har vi kun betragtet "rene" brøker, når tæller og nævner er det almindelige tal. Dette er helt i overensstemmelse med definitionen af en talbrøk, der blev givet i den allerførste lektion.

Men hvad nu hvis tælleren eller nævneren indeholder mere end komplekst objekt? For eksempel en anden numerisk brøk? Sådanne konstruktioner opstår ret ofte, især når man arbejder med lange udtryk. Her er et par eksempler:

Der er kun én regel for at arbejde med brøker på flere niveauer: du skal slippe af med dem med det samme. Fjernelse af "ekstra" gulve er ret simpelt, hvis du husker, at skråstreget betyder standardinddelingsoperationen. Derfor kan enhver brøk omskrives på følgende måde:

Ved at bruge denne kendsgerning og følge proceduren kan vi nemt reducere enhver brøk med flere etager til en almindelig. Tag et kig på eksemplerne:

Opgave. Konverter brøker med flere etager til almindelige:

I hvert tilfælde omskriver vi hovedbrøken og erstatter delelinjen med et divisionstegn. Husk også, at ethvert heltal kan repræsenteres som en brøk med nævneren 1. Det vil sige 12 = 12/1; 3 = 3/1. Vi får:

I sidste eksempel brøkerne blev annulleret før den endelige multiplikation.

Specifikt ved at arbejde med brøker på flere niveauer

Der er én subtilitet i brøker på flere niveauer, som altid skal huskes, ellers kan du få det forkerte svar, selvom alle beregningerne var korrekte. Tag et kig:

Tælleren indeholder det enkelte tal 7, og nævneren indeholder brøken 12/5;
Tælleren indeholder brøken 7/12, og nævneren indeholder det separate tal 5.

Så for én indgang fik vi to helt forskellige fortolkninger. Hvis du tæller, vil svarene også være anderledes:

For at sikre, at posten altid læses entydigt, skal du bruge en simpel regel: delelinjen for hovedbrøken skal være længere end linjen for den indlejrede fraktion. Gerne flere gange.

Hvis du følger denne regel, skal ovenstående brøker skrives som følger:

Ja, det er nok uskønt og fylder for meget. Men du vil tælle rigtigt. Til sidst et par eksempler, hvor brøker med flere etager faktisk opstår:

Opgave. Find betydningen af udtrykkene:

Så lad os arbejde med det første eksempel. Lad os konvertere alle brøker til uægte, og derefter udføre additions- og divisionsoperationer:

Lad os gøre det samme med det andet eksempel. Lad os konvertere alle brøker til ukorrekte og udføre de nødvendige operationer. For ikke at kede læseren vil jeg undlade nogle åbenlyse beregninger. Vi har:

På grund af det faktum, at tælleren og nævneren for de grundlæggende brøker indeholder summer, overholdes reglen for skrivning af brøker med flere etager automatisk. Også i det sidste eksempel forlod vi med vilje 46/1 i brøkform for at udføre division.

Jeg vil også bemærke, at i begge eksempler erstatter brøklinjen faktisk parenteserne: Først og fremmest fandt vi summen, og først derefter kvotienten.

Nogle vil sige, at overgangen til ukorrekte fraktioner i det andet eksempel var klart overflødig. Måske er dette sandt. Men ved at gøre dette sikrer vi os mod fejl, for næste gang kan eksemplet vise sig at være meget mere kompliceret. Vælg selv, hvad der er vigtigere: hastighed eller pålidelighed.

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Bestem handlingsforløbet. Udfør den første handling i de indvendige parenteser 489–296=193. Derefter ganges 193∙8=1544 og 34∙10=340. Næste handling: 340+1544=1884. Dernæst divider du 1884:4=461 og subtraherer derefter 461–410=60. Du har fundet betydningen af dette udtryk.

Eksempel. Find værdien af udtrykket 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Forenkle dette udtryk. For at gøre dette skal du bruge formlen tg α∙ctg α=1. Få: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Det er kendt, at synd 30º=1/2 og cos 30º=√3/2. Derfor er 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Du har fundet betydningen af dette udtryk.

Værdien af det algebraiske udtryk fra . For at finde værdien af et algebraisk udtryk givet variablerne, forenkle udtrykket. Erstatning for variabler visse værdier. Gennemfør de nødvendige trin. Som et resultat vil du modtage et tal, som vil være værdien af det algebraiske udtryk for de givne variable.

Eksempel. Find værdien af udtrykket 7(a+y)–3(2a+3y) med a=21 og y=10. Forenkle dette udtryk og få: a–2y. Erstat de tilsvarende værdier af variablerne og beregn: a–2y=21–2∙10=1. Dette er værdien af udtrykket 7(a+y)–3(2a+3y) med a=21 og y=10.

Bemærk

Eksisterer algebraiske udtryk, som ikke giver mening for nogle værdier af variablerne. For eksempel giver udtrykket x/(7–a) ikke mening, hvis a=7, fordi i dette tilfælde bliver brøkens nævner nul.

Kilder:

Find mindste værdi udtryk
Find betydningen af udtrykkene for c 14

At lære at forenkle udtryk i matematik er simpelthen nødvendigt for at løse problemer korrekt og hurtigt, forskellige ligninger. Forenkling af et udtryk indebærer at reducere antallet af trin, hvilket gør beregningerne nemmere og sparer tid.

Instruktioner

Lær at beregne potenser af c. Når potenser c ganges, fås et tal, hvis grundtal er det samme, og eksponenterne lægges til b^m+b^n=b^(m+n). Når man deler grader med på samme grundlag de opnår potensen af et tal, hvis grundtal forbliver den samme, og eksponenterne trækkes fra, og divisorens eksponent b^m trækkes fra udbyttets eksponent: b^n=b^(m-n). Når man hæver en potens til en potens, opnås potensen af et tal, hvis grundtal forbliver den samme, og eksponenterne ganges (b^m)^n=b^(mn) Når man hæver til en potens, hver faktor er hævet til denne magt (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktorpolynomier, dvs. forestille sig dem som et produkt af flere faktorer - og monomialer. Tag den fælles faktor ud af parentes. Lær de grundlæggende formler for forkortet multiplikation: forskel af kvadrater, kvadratforskel, sum, forskel af terninger, terning af sum og forskel. For eksempel m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Disse formler er de vigtigste i forenklingen. Brug udvælgelsesmetoden fuld firkant i et trinomium af formen ax^2+bx+c.

Forkort brøker så ofte som muligt. For eksempel (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Men husk, at du kun kan reducere multiplikatorer. Hvis tælleren og nævneren algebraisk brøk ganget med det samme tal bortset fra nul, ændres brøkens værdi ikke. Du kan konvertere udtryk på to måder: lænket og ved handlinger. Den anden metode er at foretrække, fordi det er lettere at kontrollere resultaterne af mellemhandlinger.

Det er ofte nødvendigt at udtrække rødder i udtryk. Selv rødder udvindes kun fra ikke-negative udtryk eller tal. Ulige rødder kan udvindes fra ethvert udtryk.

Kilder:

forenkling af udtryk med beføjelser

Trigonometriske funktioner opstod først som abstrakte værktøjer. matematiske beregninger afhængighed af mængder skarpe hjørner V retvinklet trekant fra længden af dens sider. Nu er de meget udbredt inden for både videnskabelige og tekniske områder. menneskelig aktivitet. Til praktiske beregninger trigonometriske funktioner Afhængig af de givne argumenter kan du bruge forskellige værktøjer - flere af de mest tilgængelige er beskrevet nedenfor.

Instruktioner

Brug for eksempel den, der er installeret som standard med operativ system regneprogram. Den åbnes ved at vælge punktet "Lommeregner" i mappen "Hjælpeprogrammer" fra undersektionen "Standard", placeret i sektionen "Alle programmer". Denne sektion kan åbnes ved at klikke på "Start"-knappen til hovedmenuen. Hvis du bruger Windows version 7, så kan du blot indtaste "Lommeregner" i feltet "Find programmer og filer" i hovedmenuen og derefter klikke på det tilsvarende link i søgeresultaterne.

Tæl mængden nødvendige handlinger og tænk over den rækkefølge, de skal gøres i. Hvis du synes det er svært dette spørgsmål, bemærk venligst, at operationerne i parentes udføres først, derefter division og multiplikation; og subtraktion udføres i sidste udvej. For at gøre det nemmere at huske algoritmen for de udførte handlinger, skal du i udtrykket over hvert handlingsoperatortegn (+,-,*,:) med en tynd blyant nedskrive de tal, der svarer til udførelsen af handlingerne.

Fortsæt med det første trin, følg den fastsatte rækkefølge. Tæl i dit hoved, om handlingerne er nemme at udføre verbalt. Hvis der kræves beregninger (i en kolonne), skriv dem under udtrykket, med angivelse af serienummer handlinger.

Spor tydeligt rækkefølgen af udførte handlinger, vurder, hvad der skal trækkes fra hvad, opdeles i hvad osv. Meget ofte er svaret i udtrykket forkert på grund af fejl begået på dette stadium.

Særpræg udtryk er tilstedeværelsen af matematiske operationer. Det er angivet med visse tegn (multiplikation, division, subtraktion eller addition). Sekvensen for at udføre matematiske operationer korrigeres med parenteser, hvis det er nødvendigt. At udføre matematiske operationer betyder at finde .

Hvad er ikke et udtryk

Ikke enhver matematisk notation kan klassificeres som et udtryk.

Ligestillinger er ikke udtryk. Hvorvidt matematiske operationer er til stede i ligheden eller ej, er ligegyldigt. For eksempel er a=5 en lighed, ikke et udtryk, men 8+6*2=20 kan heller ikke betragtes som et udtryk, selvom det indeholder multiplikation. Dette eksempel hører også til kategorien ligestilling.

Begreberne udtryk og lighed udelukker ikke hinanden, det første er inkluderet i det sidste. Lighedstegnet forbinder to udtryk:
5+7=24:2

Denne ligning kan forenkles:
5+7=12

Et udtryk forudsætter altid, at de matematiske operationer, det repræsenterer, kan udføres. 9+:-7 er ikke et udtryk, selvom der er tegn på matematiske operationer her, fordi det er umuligt at udføre disse handlinger.

Der er også matematiske, der er formelle udtryk, men som ikke har nogen betydning. Et eksempel på et sådant udtryk:
46:(5-2-3)

Tallet 46 skal divideres med resultatet af handlingerne i parentes, og det lig med nul. Du kan ikke dividere med nul; handlingen betragtes som forbudt.

Numeriske og algebraiske udtryk

Der er to typer matematiske udtryk.

Hvis et udtryk kun indeholder tal og symboler for matematiske operationer, kaldes et sådant udtryk numerisk. Hvis der i et udtryk sammen med tal er variabler angivet med bogstaver, eller der slet ikke er tal, består udtrykket kun af variabler og symboler for matematiske operationer, det kaldes algebraisk.

Den grundlæggende forskel mellem en numerisk værdi og en algebraisk værdi er, at et numerisk udtryk kun har én værdi. For eksempel vil værdien af det numeriske udtryk 56–2*3 altid være lig med 50; intet kan ændres. Et algebraisk udtryk kan have mange værdier, fordi ethvert tal kan erstattes. Så hvis vi i udtrykket b–7 erstatter b med 9, vil værdien af udtrykket være 2, og hvis 200, vil det være 193.

Kilder:

Numeriske og algebraiske udtryk