Trigonometri, som en videnskab, opstod i det antikke østen. Først trigonometriske forhold blev udledt af astronomer til at skabe præcis kalender og navigation ved stjernerne. Disse beregninger vedrørte sfærisk trigonometri, mens du er i skoleforløb studere forholdet mellem sider og vinkler i en plan trekant.

Trigonometri er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med egenskaberne ved trigonometriske funktioner og forholdet mellem siderne og vinklerne i trekanter.

Under kulturens og videnskabens storhedstid i det 1. årtusinde e.Kr. spredte viden sig fra oldtidens øst til Grækenland. Men de vigtigste opdagelser af trigonometri er ægtemænds fortjeneste det arabiske kalifat. Især introducerede den turkmenske videnskabsmand al-Marazwi funktioner som tangent og cotangens og kompilerede de første værditabeller for sinus, tangenter og cotangens. Begreberne sinus og cosinus blev introduceret af indiske videnskabsmænd. Trigonometri fik meget opmærksomhed i værker af så store skikkelser fra antikken som Euklid, Archimedes og Eratosthenes.

Grundlæggende mængder af trigonometri

Grundlæggende trigonometriske funktioner numerisk argument– disse er sinus, cosinus, tangent og cotangens. Hver af dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Formlerne til beregning af værdierne af disse mængder er baseret på Pythagoras sætning. Det er bedre kendt for skolebørn i formuleringen: "Pythagorean-bukser er lige i alle retninger", da beviset er givet ved hjælp af eksemplet med en ligebenet retvinklet trekant.

Sinus, cosinus og andre relationer etablerer forholdet mellem de spidse vinkler og sider af enhver retvinklet trekant. Lad os præsentere formler til beregning af disse størrelser for vinkel A og spore forholdet mellem trigonometriske funktioner:

Som du kan se, er tg og ctg omvendte funktioner. Hvis vi forestiller os ben a som produktet af sin A og hypotenusen c, og ben b in cos form A * c, så får vi følgende formler for tangent og cotangens:

Trigonometrisk cirkel

Grafisk kan forholdet mellem de nævnte mængder repræsenteres som følger:

Omkreds, i I dette tilfælde, repræsenterer alt mulige værdier vinkel α - fra 0° til 360°. Som det kan ses af figuren, tager hver funktion et negativt eller positiv værdi afhængig af vinklens størrelse. For eksempel vil sin α have et "+"-tegn, hvis α hører til 1. og 2. fjerdedel af cirklen, det vil sige, det er i området fra 0° til 180°. For α fra 180° til 360° (III og IV kvarte) kan sin α kun være en negativ værdi.

Lad os prøve at bygge trigonometriske tabeller for specifikke vinkler og find ud af mængdernes værdi.

Værdier af α lig med 30°, 45°, 60°, 90°, 180° og så videre kaldes specielle tilfælde. Værdierne af trigonometriske funktioner for dem beregnes og præsenteres i form af specielle tabeller.

Disse vinkler blev ikke valgt tilfældigt. Betegnelsen π i tabellerne er for radianer. Rad er den vinkel, hvor længden af ​​en cirkels bue svarer til dens radius. denne værdi blev indført for at etablere en universel afhængighed; når man beregner i radianer, er den faktiske længde af radius i cm ligegyldig.

Vinkler i tabeller for trigonometriske funktioner svarer til radianværdier:

Så det er ikke svært at gætte, at 2π er fuld cirkel eller 360°.

Egenskaber for trigonometriske funktioner: sinus og cosinus

For at overveje og sammenligne de grundlæggende egenskaber for sinus og cosinus, tangent og cotangens er det nødvendigt at tegne deres funktioner. Dette kan gøres i form af en kurve placeret ved todimensionelt system koordinater

Overveje sammenligningstabel egenskaber for sinus og cosinus:

Sinusbølge	Cosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, for x = πk, hvor k ϵ Z	cos x = 0, for x = π/2 + πk, hvor k ϵ Z
sin x = 1, for x = π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = 1, ved x = 2πk, hvor k ϵ Z
sin x = - 1, ved x = 3π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = - 1, for x = π + 2πk, hvor k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, dvs. funktionen er ulige	cos (-x) = cos x, dvs. funktionen er lige
	funktionen er periodisk, korteste periode- 2π
sin x › 0, hvor x hører til 1. og 2. kvartal eller fra 0° til 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, hvor x hører til I- og IV-kvartererne eller fra 270° til 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, hvor x hører til tredje og fjerde kvartal eller fra 180° til 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, hvor x hører til 2. og 3. kvartal eller fra 90° til 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
stiger i intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	stiger med intervallet [-π + 2πk, 2πk]
falder med intervaller [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	falder i intervaller
afledt (sin x)' = cos x	afledt (cos x)’ = - sin x

Det er meget enkelt at afgøre, om en funktion er lige eller ej. Det er nok at forestille sig en trigonometrisk cirkel med tegn på trigonometriske mængder og mentalt "folde" grafen i forhold til OX-aksen. Hvis tegnene falder sammen, er funktionen lige, i Ellers- mærkeligt.

Introduktionen af ​​radianer og oversigten over de grundlæggende egenskaber ved sinus- og cosinusbølger giver os mulighed for at præsentere følgende mønster:

Det er meget nemt at verificere, at formlen er korrekt. For eksempel, for x = π/2, er sinus 1, ligesom cosinus af x = 0. Kontrollen kan udføres ved at konsultere tabeller eller ved at spore funktionskurver for givne værdier.

Egenskaber for tangentsoider og cotangensoider

Graferne for tangent- og cotangensfunktionerne adskiller sig væsentligt fra sinus- og cosinusfunktionerne. Værdierne tg og ctg er gensidige af hinanden.

1. Y = tan x.
2. Tangenten har en tendens til værdierne af y ved x = π/2 + πk, men når dem aldrig.
3. Mindst positiv periode tangenter er lig med π.
4. Tg (- x) = - tg x, dvs. funktionen er ulige.
5. Tg x = 0, for x = πk.
6. Funktionen er stigende.
7. Tg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, for x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Afledt (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Lad os overveje grafisk billede cotangentoider nedenfor i teksten.

De vigtigste egenskaber ved cotangentoider:

1. Y = barneseng x.
2. I modsætning til sinus- og cosinusfunktionerne kan Y i tangentoiden antage værdierne af mængden af ​​alle reelle tal.
3. Cotangentoiden har en tendens til værdierne af y ved x = πk, men når dem aldrig.
4. Den mindste positive periode af en cotangentoid er π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, dvs. funktionen er ulige.
6. Ctg x = 0, for x = π/2 + πk.
7. Funktionen er aftagende.
8. Ctg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, for x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Afledt (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Korrekt

Foredrag: Sinus, cosinus, tangent, cotangens af en vilkårlig vinkel

Sinus, cosinus af en vilkårlig vinkel

For at forstå, hvad trigonometriske funktioner er, lad os se på en cirkel med enhedsradius. Denne cirkel har et centrum ved udspringet på koordinatplan. Til at bestemme specificerede funktioner vi vil bruge radiusvektoren ELLER, som starter i midten af ​​cirklen og punktet R er et punkt på cirklen. Denne radiusvektor danner en vinkel alfa med aksen Åh. Da en cirkel har en radius, lig med én, At ELLER = R = 1.

Hvis fra punktet R sænk vinkelret på aksen Åh, så får vi en retvinklet trekant med en hypotenuse lig med en.

Hvis radiusvektoren bevæger sig med uret, så denne retning hedder negativ, hvis den bevæger sig mod uret - positiv.

Sinus af vinklen ELLER, er punktets ordinat R vektor på en cirkel.

Altså at få sinusværdien givet vinkel alfa er det nødvendigt at bestemme koordinaten U på overfladen.

Hvordan givet værdi blev modtaget? Da vi ved, at sinus af en vilkårlig vinkel i en retvinklet trekant er forholdet modsatte side til hypotenusen, det får vi

Og siden R=1, At sin(α) = y 0 .

I enhedscirkel ordinatværdien må ikke være mindre end -1 og større end 1, hvilket betyder

Sinusen har en positiv værdi i første og anden fjerdedel af enhedscirklen og negativ i tredje og fjerde.

Cosinus af vinklen given cirkel dannet af radiusvektoren ELLER, er punktets abscisse R vektor på en cirkel.

Det vil sige, at for at opnå cosinusværdien af ​​en given vinkel alfa, er det nødvendigt at bestemme koordinaten x på overfladen.

Cosinus for en vilkårlig vinkel i en retvinklet trekant er forholdet tilstødende ben til hypotenusen, det får vi

Og siden R=1, At cos(α) = x 0 .

I enhedscirklen må abscisseværdien ikke være mindre end -1 og større end 1, hvilket betyder

Cosinus har en positiv værdi i første og fjerde kvartal af enhedscirklen og negativ i anden og tredje.

Tangentvilkårlig vinkel Forholdet mellem sinus og cosinus beregnes.

Hvis vi betragter en retvinklet trekant, så er dette forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side. Hvis vi taler om om enhedscirklen, så er dette forholdet mellem ordinaten og abscissen.

At dømme efter disse forhold kan det forstås, at tangenten ikke kan eksistere, hvis abscisseværdien er nul, det vil sige i en vinkel på 90 grader. Tangenten kan tage alle andre værdier.

Tangenten er positiv i første og tredje fjerdedel af enhedscirklen og negativ i anden og fjerde.

Unified State eksamen for 4? Vil du ikke sprænge af lykke?

Spørgsmålet, som de siger, er interessant... Det er muligt, det er muligt at bestå med en 4! Og samtidig ikke at briste... Hovedbetingelsen er at træne regelmæssigt. Her er den grundlæggende forberedelse til Unified State Examen i matematik. Med alle hemmeligheder og mysterier ved Unified State Exam, som du ikke vil læse om i lærebøger... Studer dette afsnit, beslut dig flere opgaver fra forskellige kilder- og alt ordner sig! Det antages, at grundafsnittet "A C er nok for dig!" det giver dig ingen problemer. Men hvis pludselig... Følg linkene, vær ikke doven!

Og vi starter med et stort og forfærdeligt emne.

Trigonometri

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Dette emne volder mange problemer for eleverne. Det betragtes som en af ​​de mest alvorlige. Hvad er sinus og cosinus? Hvad er tangent og cotangens? Hvad er der sket talcirkel? Så snart du stiller disse harmløse spørgsmål, bliver personen bleg og forsøger at aflede samtalen... Men forgæves. Det her simple koncepter. Og dette emne er ikke sværere end andre. Du skal bare forstå svarene på netop disse spørgsmål helt fra begyndelsen. Det er meget vigtigt. Hvis du forstår, vil du kunne lide trigonometri. Så,

Hvad er sinus og cosinus? Hvad er tangent og cotangens?

Lad os starte med oldtiden. Bare rolig, vi gennemgår alle 20 århundreders trigonometri på cirka 15 minutter. Og uden at bemærke det, gentager vi et stykke geometri fra 8. klasse.

Lad os tegne en retvinklet trekant med sider a, b, c og vinkel x. Her er det.

Lad mig minde dig om, at de sider, der danner en ret vinkel, kaldes ben. a og c– ben. Der er to af dem. Den resterende side kaldes hypotenusen. Med– hypotenusen.

Trekant og trekant, tænk bare! Hvad skal man gøre med ham? Men de gamle mennesker vidste, hvad de skulle gøre! Lad os gentage deres handlinger. Lad os måle siden V. På figuren er cellerne specielt tegnet, som i Unified State Exam-opgaver Det sker. Side V lig med fire celler. OKAY. Lad os måle siden EN. Tre celler.

Lad os nu dividere længden af ​​siden EN per sidelængde V. Eller, som de også siger, lad os tage holdningen EN Til V. a/v= 3/4.

Tværtimod kan man dele V på EN. Vi får 4/3. Kan V dividere med Med. Hypotenuse Med Det er umuligt at tælle efter celler, men det er lig med 5. Vi får høj kvalitet= 4/5. Kort sagt kan man dele længderne af siderne med hinanden og få nogle tal.

Og hvad så? Hvad er meningen med det her interessant aktivitet? Ingen endnu. En meningsløs øvelse, for at sige det lige ud.)

Lad os nu gøre dette. Lad os forstørre trekanten. Lad os forlænge siderne i og med, men så trekanten forbliver rektangulær. Hjørne xændres selvfølgelig ikke. For at se dette skal du holde musen over billedet eller trykke på det (hvis du har en tablet). Fester a, b og c vil blive til m, n, k, og selvfølgelig vil længderne af siderne ændre sig.

Men deres forhold er det ikke!

Holdning a/v var: a/v= 3/4, blev m/n= 6/8 = 3/4. Forholdet mellem andre relevante parter er også vil ikke ændre sig . Du kan ændre længden af ​​siderne i en retvinklet trekant som du vil, øge, mindske, uden at ændre vinklen x – forholdet mellem de relevante parter vil ikke ændre sig . Du kan tjekke det, eller du kan tage de gamle menneskers ord for det.

Men dette er allerede meget vigtigt! Forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant afhænger ikke på nogen måde af længderne af siderne (i samme vinkel). Dette er så vigtigt, at forholdet mellem parterne har fået sit eget særlige navn. Dine navne, så at sige.) Mød mig.

Hvad er sinus af vinkel x ? Dette er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen:

sinx = a/c

Hvad er cosinus af vinklen x ? Dette er forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen:

Medosx= høj kvalitet

Hvad er tangent x ? Dette er forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side:

tgx =a/v

Hvad er cotangensen af ​​vinkel x ? Dette er forholdet mellem den tilstødende side og den modsatte side:

ctgx = v/a

Alt er meget enkelt. Sinus, cosinus, tangent og cotangens er nogle tal. Dimensionsløs. Bare tal. Hver vinkel har sin egen.

Hvorfor gentager jeg alting så kedeligt? Hvad er så dette skal huske. Det er vigtigt at huske. Memorisering kan gøres lettere. Er sætningen "Lad os starte langvejs fra ..." kendt? Så start på afstand.

Bihule vinkel er et forhold fjern fra benvinklen til hypotenusen. Cosinus– forholdet mellem naboen og hypotenusen.

Tangent vinkel er et forhold fjern fra benvinklen til den nærmeste. Cotangens- omvendt.

Det er nemmere, ikke?

Nå, hvis du husker, at der i tangent og cotangens kun er ben, og i sinus og cosinus vises hypotenusen, så bliver alt ret simpelt.

Hele denne herlige familie - sinus, cosinus, tangent og cotangens kaldes også trigonometriske funktioner.

Nu et spørgsmål til overvejelse.

Hvorfor siger vi sinus, cosinus, tangent og cotangens hjørne? Vi taler om forholdet mellem parterne, som... Hvad har det med det at gøre? hjørne?

Lad os se på det andet billede. Præcis det samme som den første.

Hold musen over billedet. Jeg ændrede vinklen x. Øget det fra x til x. Alle forhold har ændret sig! Holdning a/v var 3/4, og det tilsvarende forhold t/v blev 6/4.

Og alle andre forhold blev anderledes!

Derfor afhænger sidernes forhold på ingen måde af deres længder (i en vinkel x), men afhænger skarpt af netop denne vinkel! Og kun fra ham. Derfor refererer begreberne sinus, cosinus, tangent og cotangens til hjørne. Vinklen her er den vigtigste.

Det skal klart forstås, at vinklen er uløseligt forbundet med dens trigonometriske funktioner. Hver vinkel har sin egen sinus og cosinus. Og næsten alle har deres egen tangent og cotangens. Det er vigtigt. Det menes, at hvis vi får en vinkel, så er dens sinus, cosinus, tangent og cotangens vi ved ! Og omvendt. Givet en sinus eller enhver anden trigonometrisk funktion, betyder det, at vi kender vinklen.

Der er specielle tabeller, hvor for hver vinkel dens trigonometriske funktioner er beskrevet. De kaldes Bradis-borde. De er samlet for meget lang tid siden. Da der endnu ikke var nogen lommeregnere eller computere...

Selvfølgelig er det umuligt at huske de trigonometriske funktioner i alle vinkler. Du skal kun kende dem fra nogle få vinkler, mere om dette senere. Men besværgelsen Jeg kender en vinkel, hvilket betyder, at jeg kender dens trigonometriske funktioner" - virker altid!

Så vi gentog et stykke geometri fra 8. klasse. Har vi brug for det til Unified State-eksamenen? Nødvendig. Her er et typisk problem fra Unified State Exam. For at løse dette problem er 8. klasse nok. Givet billede:

Alle. Der er ikke flere data. Vi skal finde længden på siden af ​​flyet.

Cellerne hjælper ikke meget, trekanten er på en eller anden måde forkert placeret... Med vilje, gætter jeg på... Ud fra informationen er der længden af ​​hypotenusen. 8 celler. Af en eller anden grund var vinklen givet.

Det er her, du straks skal huske trigonometri. Der er en vinkel, hvilket betyder, at vi kender alle dens trigonometriske funktioner. Hvilken af ​​de fire funktioner skal vi bruge? Lad os se, hvad ved vi? Vi kender hypotenusen og vinklen, men vi skal finde tilstødende kateter til dette hjørne! Det er klart, cosinusen skal sættes i værk! Nu sker det. Vi skriver simpelthen ved definitionen af ​​cosinus (forholdet tilstødende ben til hypotenuse):

cosC = BC/8

Vores vinkel C er 60 grader, dens cosinus er 1/2. Du skal vide dette, uden nogen tabeller! Det er:

1/2 = BC/8

Elementære lineær ligning. Ukendt - Sol. Dem der har glemt hvordan man løser ligninger, tag et kig på linket, resten løser:

BC = 4

Da oldtidens mennesker indså, at hver vinkel har sit eget sæt trigonometriske funktioner, havde de et rimeligt spørgsmål. Er sinus, cosinus, tangent og cotangens på en eller anden måde relateret til hinanden? Så ved at kende én vinkelfunktion, kan du finde de andre? Uden at beregne selve vinklen?

De var så rastløse...)

Forholdet mellem trigonometriske funktioner i en vinkel.

Selvfølgelig er sinus, cosinus, tangent og cotangens af samme vinkel relateret til hinanden. Enhver sammenhæng mellem udtryk er givet i matematik ved formler. I trigonometri er der et kolossalt antal formler. Men her vil vi se på de mest basale. Disse formler kaldes: grundlæggende trigonometriske identiteter. Her er de:

Du skal kende disse formler grundigt. Uden dem er der generelt ikke noget at gøre i trigonometri. Yderligere tre hjælpeidentiteter følger af disse grundlæggende identiteter:

Jeg advarer dig med det samme om, at de sidste tre formler hurtigt falder ud af din hukommelse. Af en eller anden grund.) Du kan selvfølgelig udlede disse formler fra tre første. Men i Hård tid... Du forstår.)

I standard opgaver, ligesom dem nedenfor, er der en måde at undvære disse forglemmelige formler. OG reducere fejl dramatisk på grund af glemsomhed og i beregninger også. Denne praksis er i afsnit 555, lektion "Relationer mellem trigonometriske funktioner i samme vinkel."

I hvilke opgaver og hvordan bruges de grundlæggende trigonometriske identiteter? Den mest populære opgave er at finde en eller anden vinkelfunktion, hvis en anden er givet. I Unified State Examination er en sådan opgave til stede fra år til år.) For eksempel:

Find sinx værdi, hvis x er en spids vinkel og cosx=0,8.

Opgaven er nærmest elementær. Vi leder efter en formel, der indeholder sinus og cosinus. Her er formlen:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Afløser her kendt mængde, nemlig 0,8 i stedet for cosinus:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Nå, vi tæller som normalt:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Det er praktisk talt alt. Vi har beregnet kvadratet af sinus, det eneste der er tilbage er at udtrække kvadratroden og svaret er klar! Roden af ​​0,36 er 0,6.

Opgaven er nærmest elementær. Men ordet "næsten" er der af en grund... Faktum er, at svaret sinx= - 0,6 også passer... (-0,6) 2 vil også være 0,36.

Der er to forskellige svar. Og du har brug for en. Den anden er forkert. Hvordan skal man være!? Ja, som sædvanlig.) Læs opgaven grundigt. Af en eller anden grund står der:... hvis x er en spids vinkel... Og i opgaver har hvert ord en betydning, ja... Denne sætning er yderligere information til løsningen.

En spids vinkel er en vinkel mindre end 90°. Og i sådanne hjørner Alle trigonometriske funktioner - sinus, cosinus og tangens med cotangens - positiv. De der. Vi forkaster blot det negative svar her. Vi har ret.

Faktisk har ottende klasser ikke brug for sådanne finesser. De arbejder kun med retvinklede trekanter, hvor hjørnerne kun kan være spidse. Og de ved ikke, glade, at der både er negative vinkler og vinkler på 1000°... Og alle disse forfærdelige vinkler har deres egne trigonometriske funktioner, både plus og minus...

Men for gymnasieelever, uden at tage hensyn til skiltet - ingen måde. Meget viden formerer sorger, ja...) Og for den rigtige beslutning Opgaven skal indeholde yderligere information (hvis nødvendigt). For eksempel kan det gives ved følgende indgang:

Eller på en anden måde. Du vil se i eksemplerne nedenfor.) For at løse sådanne eksempler skal du kende Hvilken fjerdedel falder den givne vinkel x ind i, og hvilket fortegn har den ønskede trigonometriske funktion i denne fjerdedel?

Disse grundlæggende principper for trigonometri diskuteres i lektionerne om, hvad en trigonometrisk cirkel er, måling af vinkler på denne cirkel, radianmålet for en vinkel. Nogle gange har du brug for at kende tabellen over sinus, cosinus af tangenter og cotangenter.

Så lad os bemærke det vigtigste:

Praktiske råd:

1. Husk definitionerne af sinus, cosinus, tangent og cotangens. Det vil være meget nyttigt.

2. Vi forstår klart: sinus, cosinus, tangent og cotangens er tæt forbundet med vinkler. Vi ved én ting, hvilket betyder, at vi ved en anden.

3. Vi forstår klart: sinus, cosinus, tangens og cotangens af en vinkel er relateret til hinanden ved grundlæggende trigonometriske identiteter. Vi kender én funktion, hvilket betyder, at vi (hvis vi har de nødvendige yderligere oplysninger) kan beregne alle de andre.

Lad os nu beslutte, som sædvanligt. Først opgaver i omfanget af 8. klasse. Men gymnasieelever kan også gøre det...)

1. Beregn værdien af ​​tgA, hvis ctgA = 0,4.

2. β er en vinkel i en retvinklet trekant. Find værdien af ​​tanβ, hvis sinβ = 12/13.

3. Bestem sinus for den spidse vinkel x, hvis tgх = 4/3.

4. Find betydningen af ​​udtrykket:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Find betydningen af ​​udtrykket:

(1-cosx)(1+cosx), hvis sinx = 0,3

Svar (adskilt af semikolon, i uorden):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

sket? Store! Ottende klasser kan allerede gå og hente deres A'er.)

Gik alting ikke? Opgave 2 og 3 er på en eller anden måde ikke særlig gode...? Intet problem! Der er et smukt trick til lignende opgaver. Alt kan løses praktisk talt uden formler overhovedet! Og derfor uden fejl. Denne teknik er beskrevet i lektionen: "Relationer mellem trigonometriske funktioner i en vinkel" i afsnit 555. Alle andre opgaver løses også der.

Det var problemer Unified State eksamenstype, men i en afklebet version. Unified State Exam - lys). Og nu næsten de samme opgaver, men i et fuldt udbygget format. For videntunge gymnasieelever.)

6. Find værdien af ​​tanβ, hvis sinβ = 12/13, og

7. Bestem sinх hvis tgх = 4/3, og x hører til intervallet (- 540°; - 450°).

8. Find værdien af ​​udtrykket sinβ cosβ, hvis ctgβ = 1.

Svar (i uorden):

0,8; 0,5; -2,4.

Her i opgave 6 er vinklen ikke specificeret særlig tydeligt... Men i opgave 8 er den slet ikke specificeret! Dette er med vilje). Yderligere Information ikke kun taget fra opgaven, men også fra hovedet.) Men hvis du beslutter dig, er én korrekt opgave garanteret!

Hvad hvis du ikke har besluttet dig? Hmm... Nå, sektion 555 vil hjælpe her. Der er løsningerne på alle disse opgaver beskrevet i detaljer, det er svært ikke at forstå.

Denne lektion giver en meget begrænset forståelse af trigonometriske funktioner. Inden for 8. klasse. Og de ældste har stadig spørgsmål...

For eksempel hvis vinklen x(se på det andet billede på denne side) - gør det dumt!? Trekanten vil falde fuldstændig fra hinanden! Så hvad skal vi gøre? Der vil ikke være noget ben, ingen hypotenuse... Sinusen er forsvundet...

Hvis gamle mennesker ikke havde fundet en vej ud af denne situation, ville vi ikke have mobiltelefoner, tv eller elektricitet nu. Ja Ja! Teoretisk grundlag alle disse ting uden trigonometriske funktioner er nul uden en pind. Men de gamle mennesker skuffede ikke. Hvordan de kom ud er i næste lektion.

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Et af matematikkens områder, som eleverne kæmper mest med, er trigonometri. Det er ikke overraskende: For frit at mestre dette vidensområde har du brug for rumlig tænkning, evnen til at finde sinus, cosinus, tangenter, cotangenter ved hjælp af formler, forenkle udtryk og være i stand til at bruge tallet pi i beregninger. Derudover skal du kunne bruge trigonometri, når du skal bevise sætninger, og det kræver enten en udviklet matematisk hukommelse eller evnen til at udlede komplekse logiske kæder.

Trigonometriens oprindelse

At blive bekendt med denne videnskab bør begynde med definitionen af ​​sinus, cosinus og tangens af en vinkel, men først skal du forstå, hvad trigonometri gør generelt.

Historisk set er hovedobjektet for undersøgelsen i dette afsnit matematisk videnskab var retvinklede trekanter. Tilstedeværelsen af ​​en vinkel på 90 grader gør det muligt at udføre forskellige operationer, der gør det muligt at bestemme værdierne af alle parametre i den pågældende figur ved hjælp af to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere bemærkede folk dette mønster og begyndte aktivt at bruge det i opførelsen af ​​bygninger, navigation, astronomi og endda i kunst.

Første etape

Indledningsvis talte folk om forholdet mellem vinkler og sider udelukkende ved at bruge eksemplet med retvinklede trekanter. Så blev der opdaget specielle formler, der gjorde det muligt at udvide grænserne for brug i Hverdagen denne gren af ​​matematikken.

Studiet af trigonometri i skolen i dag begynder med retvinklede trekanter, hvorefter eleverne bruger den tilegnede viden i fysik og løsning af abstrakte problemer. trigonometriske ligninger, arbejde med som begynder i gymnasiet.

Sfærisk trigonometri

Senere, da videnskaben nåede det næste udviklingsniveau, begyndte formler med sinus, cosinus, tangent og cotangens at blive brugt i sfærisk geometri, hvor der gælder forskellige regler, og summen af ​​vinklerne i en trekant er altid mere end 180 grader. Dette afsnit er ikke studeret i skolen, men det er nødvendigt at vide om dets eksistens i det mindste fordi jordens overflade, og overfladen på enhver anden planet er konveks, hvilket betyder, at enhver overflademarkering vil være inde tredimensionelt rum"bueformet".

Tag kloden og tråden. Fastgør tråden til to vilkårlige punkter på kloden, så den er stram. Bemærk venligst - den har fået form som en bue. Sfærisk geometri omhandler sådanne former, som bruges inden for geodæsi, astronomi og andre teoretiske og anvendte områder.

retvinklet trekant

Efter at have lært lidt om måderne at bruge trigonometri på, lad os vende tilbage til grundlæggende trigonometri for yderligere at forstå, hvad sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger der kan udføres med deres hjælp, og hvilke formler der skal bruges.

Det første skridt er at forstå begreberne relateret til en retvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden modsat 90 graders vinkel. Det er den længste. Vi husker, at ifølge Pythagoras sætning er dens numerisk værdi lig med roden af ​​summen af ​​kvadraterne på de to andre sider.

For eksempel, hvis de to sider er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil længden af ​​hypotenusen være 5 centimeter. Forresten vidste de gamle egyptere om dette for omkring fire og et halvt tusind år siden.

De to resterende sider, som danner en ret vinkel, kaldes ben. Derudover skal vi huske, at summen af ​​vinklerne i en trekant er rektangulært system koordinaterne er 180 grader.

Definition

Til sidst, med en fast forståelse af det geometriske grundlag, kan man vende sig til definitionen af ​​sinus, cosinus og tangens af en vinkel.

En vinkels sinus er forholdet mellem det modsatte ben (dvs. siden modsat den ønskede vinkel) og hypotenusen. Cosinus af en vinkel er forholdet mellem den tilstødende side og hypotenusen.

Husk at hverken sinus eller cosinus kan være det mere end en! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den længste. Uanset hvor lang benet er, vil den være kortere end hypotenusen, hvilket betyder, at deres forhold altid vil være mindre end én. Så hvis du i dit svar på en opgave får en sinus eller cosinus med en værdi større end 1, skal du kigge efter en fejl i beregningerne eller ræsonnementet. Dette svar er klart forkert.

Endelig er tangenten af ​​en vinkel forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende side. At dividere sinus med cosinus vil give samme resultat. Se: ifølge formlen dividerer vi længden af ​​siden med hypotenusen, dividerer vi med længden af ​​den anden side og multiplicerer med hypotenusen. Dermed får vi samme forhold som i definitionen af ​​tangent.

Cotangens er derfor forholdet mellem den side, der støder op til hjørnet, og den modsatte side. Vi får det samme resultat ved at dividere en med tangenten.

Så vi har set på definitionerne af, hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er, og vi kan gå videre til formler.

De enkleste formler

I trigonometri kan man ikke undvære formler - hvordan finder man sinus, cosinus, tangent, cotangens uden dem? Men det er præcis, hvad der kræves, når man løser problemer.

Den første formel, du skal kende, når du begynder at studere trigonometri, siger, at summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus i en vinkel er lig med én. Denne formel er en direkte konsekvens af Pythagoras sætning, men det sparer tid, hvis du skal kende størrelsen på vinklen frem for siden.

Mange elever kan ikke huske den anden formel, som også er meget populær ved løsning skoleopgaver: summen af ​​en og kvadratet af vinklens tangens er lig med en divideret med kvadratet af vinklens cosinus. Se nærmere: dette er det samme udsagn som i den første formel, kun begge sider af identiteten blev divideret med kvadratet af cosinus. Det viser sig, at en simpel matematisk operation gør trigonometrisk formel fuldstændig uigenkendelig. Husk: at vide hvad sinus, cosinus, tangent og cotangens er, omregningsregler og flere grundlæggende formler du kan til enhver tid trække det nødvendige mere tilbage komplekse formler på et stykke papir.

Formler for dobbeltvinkler og tilføjelse af argumenter

Yderligere to formler, som du skal lære, er relateret til værdierne af sinus og cosinus for summen og forskellen af ​​vinkler. De er præsenteret i figuren nedenfor. Bemærk venligst, at i det første tilfælde ganges sinus og cosinus begge gange, og i det andet lægges det parvise produkt af sinus og cosinus til.

Der er også formler forbundet med argumenter i formularen dobbelt vinkel. De er helt afledt af de foregående - prøv som træning at få dem selv ved at tage alfa-vinklen lig med vinklen beta.

Bemærk endelig, at dobbeltvinkelformler kan omarrangeres for at reducere styrken af ​​sinus, cosinus, tangent alfa.

Sætninger

De to hovedsætninger i grundlæggende trigonometri er sinussætningen og cosinussætningen. Ved hjælp af disse sætninger kan du nemt forstå, hvordan du finder sinus, cosinus og tangent, og derfor arealet af figuren og størrelsen af ​​hver side osv.

Sinussætningen siger, at ved at dividere længden af ​​hver side af en trekant med den modsatte vinkel, får vi samme nummer. Desuden vil dette tal være lig med to radier af den omskrevne cirkel, det vil sige cirklen, der indeholder alle punkterne i en given trekant.

Cosinussætningen generaliserer Pythagoras sætning og projicerer den på en hvilken som helst trekanter. Det viser sig, at fra summen af ​​kvadraterne på de to sider skal du trække deres produkt ganget med den dobbelte cosinus af den tilstødende vinkel - den resulterende værdi vil være lig med kvadratet på den tredje side. Pythagoras sætning viser sig således at være et specialtilfælde af cosinussætningen.

Skødesløse fejl

Selv ved at vide hvad sinus, cosinus og tangens er, er det nemt at lave en fejl på grund af fravær eller en fejl i de enkleste beregninger. For at undgå sådanne fejl, lad os tage et kig på de mest populære.

For det første bør du ikke konvertere brøker til decimaler, før du får det endelige resultat - du kan lade svaret være som almindelig brøk, medmindre andet fremgår af betingelserne. En sådan transformation kan ikke kaldes en fejl, men det skal huskes, at der på hvert trin af problemet kan opstå nye rødder, som ifølge forfatterens idé bør reduceres. I dette tilfælde vil du spilde din tid på unødvendigt matematiske operationer. Dette gælder især for værdier som roden af ​​tre eller roden af ​​to, fordi de findes i problemer ved hvert trin. Det samme gælder for afrunding af "grimme" tal.

Bemærk endvidere, at cosinussætningen gælder for enhver trekant, men ikke Pythagoras sætning! Hvis du ved en fejl glemmer at trække to gange produktet af siderne ganget med cosinus af vinklen mellem dem, vil du ikke kun få et helt forkert resultat, men du vil også demonstrere en fuldstændig mangel på forståelse af emnet. Dette er værre end en skødesløs fejltagelse.

For det tredje må du ikke forveksle værdierne for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse værdier, fordi sinus er 30 grader lig med cosinus 60 og omvendt. Det er let at forvirre dem, som et resultat af hvilket du uundgåeligt vil få et forkert resultat.

Ansøgning

Mange studerende har ikke travlt med at begynde at studere trigonometri, fordi de ikke forstår dens praktiske betydning. Hvad er sinus, cosinus, tangent for en ingeniør eller astronom? Det er begreber, som du kan beregne afstanden til fjerne stjerner, forudsige faldet af en meteorit, send en forskningssonde til en anden planet. Uden dem er det umuligt at bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på en overflade eller en genstands bane. Og disse er bare de fleste åbenlyse eksempler! Trigonometri i en eller anden form bruges trods alt overalt, lige fra musik til medicin.

Endelig

Så du er sinus, cosinus, tangent. Du kan bruge dem i beregninger og med succes løse skoleproblemer.

Hele pointen med trigonometri kommer ned til det faktum, at du skal bruge de kendte parametre for en trekant til at beregne de ukendte. Der er seks parametre i alt: længde tre sider og størrelser tre hjørner. Den eneste forskel på opgaverne ligger i, at der gives forskellige inputdata.

Du ved nu, hvordan du finder sinus, cosinus, tangent baseret på de kendte længder af benene eller hypotenusen. Da disse udtryk ikke betyder mere end et forhold, og et forhold er en brøk, hovedmål trigonometrisk problem er at finde rødderne til en almindelig ligning eller et ligningssystem. Og her vil almindelig skolematematik hjælpe dig.

Sinus og cosinus opstod oprindeligt fra behovet for at beregne mængder i retvinklede trekanter. Det blev bemærket, at hvis gradmålet for vinklerne i en retvinklet trekant ikke ændres, så forbliver aspektforholdet, uanset hvor meget disse sider ændrer sig i længden, altid det samme.

Sådan blev begreberne sinus og cosinus introduceret. Sinus for en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen, og cosinus er forholdet mellem den side, der støder op til hypotenusen.

Sætning af cosinus og sinus

Men cosinus og sinus kan bruges til mere end bare retvinklede trekanter. For at finde værdien af ​​en stump eller spids vinkel eller side af en hvilken som helst trekant, er det nok at anvende sætningen for cosinus og sinus.

Cosinussætningen er ganske enkel: "Kvadratet på siden af ​​en trekant lig med summen kvadraterne på de to andre sider minus to gange produktet af disse sider med cosinus af vinklen mellem dem."

Der er to fortolkninger af sinussætningen: lille og udvidet. Ifølge den lille: ”I en trekant er vinklerne proportionale modstående partier». Denne teorem ofte udvidet på grund af egenskaben ved den omskrevne cirkel af en trekant: "I en trekant er vinklerne proportionale med de modsatte sider, og deres forhold er lig med diameteren af ​​den omskrevne cirkel."

Derivater

Den afledte er et matematisk værktøj, der viser, hvor hurtigt en funktion ændrer sig i forhold til en ændring i dens argument. Derivater bruges i geometri, og i en række tekniske discipliner.

Når du løser problemer, skal du kende tabelværdierne for afledte trigonometriske funktioner: sinus og cosinus. Den afledte af en sinus er en cosinus, og en cosinus er en sinus, men med et minustegn.

Anvendelse i matematik

Sinus og cosinus bruges især ofte til at løse retvinklede trekanter og problemer relateret til dem.

Bekvemmeligheden ved sinus og cosinus afspejles også i teknologien. Det var let at vurdere vinkler og sider ved at bruge sætningerne for cosinus og sinus, nedbrydning komplekse figurer og objekter i "enkle" trekanter. Ingeniører beskæftiger sig ofte med størrelsesforholdsberegninger og gradsmål, brugte en masse tid og kræfter på at beregne cosinus og sinus for ikke-tabelvinkler.

Så kom Bradis-tabeller til undsætning, der indeholdt tusindvis af værdier af sinus, cosinus, tangenter og cotangenter forskellige vinkler. I sovjetisk tid nogle lærere tvang deres elever til at huske sider med Bradis-tabeller.

Radian - vinkelstørrelse buer, længde lig med radius eller 57,295779513° grader.

Grad (i geometri) - 1/360. del af en cirkel eller 1/90. del ret vinkel.

π = 3,141592653589793238462… ( omtrentlige værdi Pi-tal).

Cosinus bord til vinkler: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Vinkel x (i grader)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Vinkel x (i radianer)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
fordi x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1