Det samlede antal af forskellige permutationer af bogstaverne i ordet "kegle", hvori bogstaverne. a) Begivenheden er pålidelig, da der i det russiske sprog ikke er nogen navneord, der kun består af konsonanter

I kombinatorik studerer de spørgsmål om, hvor mange kombinationer af en bestemt type, der kan laves ud fra givne objekter (elementer).

Fødslen af ​​kombinatorik som en gren er forbundet med værker af B. Pascal og P. Fermat om teorien gambling. Et stort bidrag til udviklingen af ​​kombinatoriske metoder blev ydet af G.V. Leibniz, J. Bernoulli og L. Euler.

Den franske filosof, forfatter, matematiker og fysiker Blaise Pascal (1623-1662) viste sin fremragende matematiske færdigheder. Pascals række af matematiske interesser var meget forskelligartet. Pascal beviste én ting
fra de grundlæggende sætninger i projektiv geometri (Pascals sætning), designet en summeringsmaskine (Pascals adderingsmaskine), gav en metode til beregning af binomiale koefficienter (Pascals trekant), var den første til præcist at definere og anvende metoden til bevis. matematisk induktion, lavet et væsentligt skridt i udviklingen af ​​infinitesimal analyse, spillede vigtig rolle i sandsynlighedsteoriens oprindelse. I hydrostatikken etablerede Pascal sin grundlæggende lov (Pascals lov). Pascals "Letters to a Provincial" var et mesterværk af fransk klassisk prosa.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) var en tysk filosof, matematiker, fysiker og opfinder, jurist, historiker og sprogforsker. I matematik udviklede han sammen med I. Newton differential- og integralregning. Vigtigt bidrag bidraget til kombinatorik. Især hans navn er forbundet med talteoretiske problemer.

Gottfried Wilhelm Leibniz havde et lidt imponerende udseende og gav derfor indtryk af en ret almindelig person. En dag i Paris gik han ind boghandel i håbet om at købe en bog af en filosof, ven af ​​ham. Da en besøgende spurgte om denne bog, sagde boghandleren, efter at have undersøgt ham fra top til tå, hånende: "Hvorfor har du brug for den? Er du virkelig i stand til at læse sådanne bøger?” Før videnskabsmanden nåede at svare, gik forfatteren af ​​bogen selv ind i butikken med ordene: "Hilsen og respekt til den store Leibniz!" Sælgeren kunne ikke forstå, at dette virkelig var den berømte Leibniz, hvis bøger var meget efterspurgte blandt videnskabsmænd.

I fremtiden vil følgende spille en vigtig rolle

Lemma. Slip et sæt elementer ind, og i et sæt - elementer. Så vil antallet af alle adskilte par hvor være lig med .

Bevis. Med et element fra et sæt kan vi faktisk lave så forskellige par, og i alt i et sæt af elementer.

Placeringer, permutationer, kombinationer

Lad os have et sæt af tre elementer. På hvilke måder kan vi vælge to af disse elementer? .

Definition. Placeringer af mange af forskellige elementer Ved elementer er kombinationer, der er opbygget af givne elementer ved > elementer og adskiller sig enten i selve elementerne eller i rækkefølgen af ​​elementerne.

Antallet af alle placeringer af et sæt elementer efter elementer er angivet med (fra forbogstav fransk ord"arrangement", hvilket betyder anbringelse), hvor og .

Sætning. Antallet af placeringer af et sæt elementer efter elementer er lig med

Bevis. Lad os sige, at vi har elementer. Lad være mulige placeringer. Vi vil bygge disse placeringer sekventielt. Lad os først definere det første placeringselement. Fra et givet sæt af elementer kan det vælges forskellige veje. Efter at have valgt det første element, er der stadig måder at vælge det andet element på osv. Da hvert sådant valg giver en ny placering, kan alle disse valg frit kombineres med hinanden. Derfor har vi:

Eksempel. På hvor mange måder kan et flag være sammensat af tre vandrette striber? forskellige farver, hvis der er materiale i fem farver?

Løsning. Det nødvendige antal tre-bånds flag:

Definition. En permutation af et sæt af elementer er arrangementet af elementer i i en bestemt rækkefølge.

Således er alle forskellige permutationer af et sæt af tre elementer

Antallet af alle permutationer af elementer er angivet (fra det første bogstav i det franske ord "permutation", som betyder "permutation", "bevægelse"). Derfor er antallet af alle forskellige permutationer beregnet med formlen

Eksempel. På hvor mange måder kan tårnene placeres på skakbrættet, så de ikke angriber hinanden?

Løsning. Det nødvendige antal tårne

A-priory!

Definition. Kombinationer af forskellige elementer efter elementer er kombinationer, der er opbygget af givne elementer for elementer og adskiller sig i mindst ét ​​element (med andre ord -element-delmængder af et givet sæt af elementer).

Som du kan se, i kombinationer, i modsætning til placeringer, tages der ikke hensyn til rækkefølgen af ​​elementer. Antallet af alle kombinationer af elementer, elementer i hver, er angivet (fra startbogstavet i det franske ord "kombination", som betyder "kombination").

Tal

Alle kombinationer fra et sæt af to er .

Egenskaber for tal (\sf C)_n^k

Faktisk svarer hvert -element-undersæt af et givet -elementsæt til en og kun en -element-undermængde af det samme sæt.

Faktisk kan vi vælge delmængder af elementerne på følgende måde: fix et element; antallet af -element-undersæt, der indeholder dette element, er lig med ; antallet af -element-undersæt, der ikke indeholder dette element, er lig med .

Pascals trekant

I denne trekant er de ekstreme tal i hver række lig med 1, og hvert ikke-ekstremt tal er lig med summen af ​​de to tal over det fra den foregående række. Således giver denne trekant dig mulighed for at beregne tal.

Sætning.

Bevis. Lad os overveje et sæt af elementer og løse følgende problem på to måder: hvor mange sekvenser kan laves ud fra elementerne i en given
sæt i hver af hvilke intet element optræder to gange?

1 vej. Vi vælger det første medlem af sekvensen, derefter det andet, tredje osv. medlem

Metode 2. Lad os først vælge elementer fra et givet sæt og derefter arrangere dem i en eller anden rækkefølge

Gang tælleren og nævneren af ​​denne brøk med:

Eksempel. På hvor mange måder kan du vælge 5 numre ud af 36 i spillet "Sportloto"?

Nødvendigt antal måder

Opgaver.

1. Bilens nummerplader består af 3 bogstaver i det russiske alfabet (33 bogstaver) og 4 tal. Hvor mange forskellige nummerpladenumre er der?
2. Der er 88 tangenter på klaveret. På hvor mange måder kan du producere 6 lyde efter hinanden?
3. Hvor mange sekscifrede tal er der, der er delelige med 5?
4. På hvor mange måder kan 7 forskellige mønter placeres i tre lommer?
5. Hvor mange femcifrede tal kan du lave i decimalnotation hvilket nummer 5 optræder mindst én gang?
6. På hvor mange måder kan 20 personer sidde? rundt bord, overvejer metoderne ens, hvis de kan opnås fra hinanden ved at bevæge sig i en cirkel?
7. Hvor mange femcifrede tal er der delelige med 5, som ikke er skrevet ned? identiske tal?
8. På ternet papir med en celleside på 1 cm tegnes en cirkel med radius 100 cm, som ikke går gennem toppen af ​​cellerne og ikke rører siderne af cellerne. Hvor mange celler kan denne cirkel skære?
9. På hvor mange måder kan tal arrangeres i en række, så tallene er tilstødende og i stigende rækkefølge?
10. Hvor mange femcifrede tal kan der laves af cifre, hvis hvert ciffer kun kan bruges én gang?
11. Fra ordet ROT kan du ved at omarrangere bogstaverne få følgende ord: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. De kaldes anagrammer. Hvor mange anagrammer kan du lave ud fra ordet LOGARITM?
12. Lad os ringe opsplitning naturlig talrepræsentation som en sum naturlige tal. Her er for eksempel alle partitionerne af et tal:

Partitioner betragtes som forskellige, hvis de adskiller sig enten i antal eller i rækkefølgen af ​​deres vilkår.

Hvor mange forskellige partitioner af et tal i termer er der?
13. Hvor mange findes der trecifrede tal med ikke-stigende rækkefølge af cifre?
14. Hvor mange firecifrede tal er der med ikke-stigende cifferrækkefølge?
15. På hvor mange måder kan 17 personer sidde på række, så de ender side om side?
16. piger og drenge sidder tilfældigt på en række pladser. På hvor mange måder kan de sidde, så der ikke sidder to piger ved siden af ​​hinanden?
17. piger og drenge sidder tilfældigt på en række pladser. På hvor mange måder kan de sidde, så alle pigerne sidder ved siden af ​​hinanden?

Eksempel. k, o, n står de ved siden af ​​hinanden?

• Eksempel. Hvor mange permutationer af bogstaverne i ordet "kegle" er der, hvor bogstaverne k, o, n står de ved siden af ​​hinanden?

• Løsning.

• Givet 5 bogstaver, hvoraf tre skal være ved siden af ​​hinanden.

• Tre bogstaver k, o, n kan stå ved siden af ​​en af ​​= 3! = 6 måder.

• For hver metode til at "lime" bogstaver k, o, n vi får = 3! = 6 måder

• Omarrangering af bogstaver, "limning" u, s.

• Det samlede antal forskellige permutationer af bogstaverne i ordet "kegle", hvor bogstaverne

• k, o, n stå ved siden af ​​hinanden er lig med 6 · 6 = 36 permutationer - anagrammer.

• Svar: 36 anagrammer.

Eksempel.

• Eksempel. Tæl hvor mange af billederne af bogstaverne A, B, C, D, D, E, F, Z, I, K der er bogstaver, der har: 1) en lodret symmetriakse; 2) vandret symmetriakse.

• Løsning.

• 1) Bogstaver med en lodret symmetriakse: A, D, F – 3 bogstaver (vi tager ikke højde for fortykkelsen af ​​nogle elementer i bogstaverne A, D til højre).

• 2) Bogstaver med vandret symmetriakse: V, E, ZH, Z, K – 5 bogstaver.

• Svar: 1) 3 bogstaver, 2) 5 bogstaver.

Eksempel.

• Eksempel. Indbyggerne på planeten XO har tre bogstaver i deres alfabet: A, O, X. Ord i sproget består ikke af mere end tre bogstaver (et bogstav i et ord kan gentages). Hvad er det største antal ord, der kan være i ordforrådet for indbyggerne på denne planet?

• Løsning. Ord kan være et bogstav, to bogstaver eller tre bogstaver.

• Enkeltbogstavsord: A, O, X – 3 ord.

• Ord på to bogstaver: AO, AH, AA, OO, OA, OX, XX, HA, XO – 9 ord (3·3=9, valg af to bogstaver med gentagelser).

• Ord på tre bogstaver: 3·9=27 ord (valg af tre ud af tre med gentagelser, valg af det første bogstav - tre måder; tilføj hvert af de 9 mulige ord på to bogstaver til hvert første bogstav).

• Således kan der i ordbogen over indbyggerne på planeten XO være maksimalt 3 + 9 + +27 = 39 ord.

• Svar: 39 ord.

Eksempel nr. 1.

• Eksempel nr. 1. Alle billetter til litteraturprøven skrives på kort med tocifrede tal. Petya valgte tilfældigt ét kort. Beskriv følgende hændelser som sikre, umulige eller tilfældige:

• Hændelse A - der er et primtal på det valgte kort;

• Hændelse B – der er et sammensat nummer på kortet;

• Hændelse C – der er et tal på kortet, der hverken er prime eller sammensat;

• Hændelse D – der er et lige eller ulige tal på kortet.

• Løsning.

• Begivenheder A og B er tilfældige, fordi de måske eller måske ikke sker.

• Hændelse C er umulig: husk definitionen af ​​primtal og sammensatte tal.

• Hændelse D er pålidelig, da ethvert tocifret tal er enten lige eller ulige.

• Du åbnede bogen på en hvilken som helst side og læste det første navneord, du stødte på. Det viste sig, at: a) stavemåden af ​​det valgte ord indeholder en vokal; b) stavningen af ​​det valgte ord indeholder bogstavet "o"; c) der er ingen vokaler i stavningen af ​​det valgte ord; d) der er et blødt tegn i stavningen af ​​det valgte ord.

• Løsning.

• a) Begivenheden er pålidelig, da der i det russiske sprog ikke er nogen navneord, der kun består af konsonanter.

• b) Begivenheden er tilfældig.

• c) En umulig begivenhed (se punkt a)).

• d) Begivenheden er tilfældig.

Eksempel.

• Eksempel. Beskriv summen af ​​følgende uforenelige hændelser.

• "Dronningen fødte om natten, enten en søn (begivenhed A) eller en datter (begivenhed B) ..."

• Løsning.

• Dronningen fødte en søn eller datter (A B).

• Svar: 4 komplekse hændelser, som er summen af ​​to uforenelige hændelser.

Eksempel. o, t, k, r.

• Eksempel. Der skrives bogstaver på fire kort o, t, k, r. Kortene blev vendt og blandet. Så åbnede de disse kort tilfældigt, det ene efter det andet, og lagde dem på række. Hvad er sandsynligheden for, at ordet "muldvarp" kommer ud?

• Løsning. Udfald er alle mulige permutationer af fire elementer ( o, t, k, r); det samlede antal udfald er n = = 4! = 24.

• Begivenhed A - "efter åbning af kortene, vil ordet "muldvarp" blive opnået"; = 1 (kun én mulighed for arrangement af bogstaver - "mol"; = .

• Svar:

Eksempel O, På den anden T, på tredje Med, på den fjerde P.

• Eksempel. Vi tog fire kort. De skrev et brev på den første O, På den anden T, på tredje Med, på den fjerde P. Kortene blev vendt og blandet. Så åbnede de det ene kort efter det andet tilfældigt og lagde det ved siden af. Hvad er sandsynligheden for, at resultatet blev ordet "stop" eller ordet "post"?

• Løsning. Udfald – alle mulige permutationer af 4 bogstaver; samlede antal udfald

• n = = 4! = 24.

• Begivenhed A - "ordet "stop" eller "post" kom ud; antal gunstige udfald = 1 (“stop”) + 1 (“post”) = 2 (ifølge reglen om summen af ​​gensidigt udelukkende udfald).

• Sandsynlighed =.

• Svar: 1/12.

• Eksempel nr. 1. Vi målte længden af ​​ord (antal bogstaver) i uddraget nedenfor fra A.S. Pushkins digt "The Bronze Horseman". Det er nødvendigt at konstruere histogrammer af fordelingen af ​​multipliciteter og frekvenser ved at vælge intervaller 1-3, 4-6, 7-9 for samplingsmuligheden.

• “...Han er forfærdelig i det omgivende mørke! 6, 2, 1, 9, 4

• Hvilken tanke om panden! 5, 4, 2, 4

• Hvilken kraft er der skjult i ham, og hvilken ild er der i denne hest! 5, 4, 1, 3, 7

• Hvor rider du, stolt hest, 1, 1, 3, 4, 5, 5

• Og hvor vil du sætte dine hove?..." 1, 3, 8, 2, 6

• Til højre for teksten, i stedet for ord, er deres længder skrevet ned linje for linje. Efter beregningerne laver vi en tabel.

Eksempel.

• Eksempel. Ved kontrol af 70 værker på det russiske sprog blev antallet af stavefejl lavet af elever noteret. Den resulterende dataserie blev præsenteret i form af en frekvenstabel:

• Hvad er den største forskel i antallet af begåede fejl? Hvor mange fejl er typiske for denne gruppe elever? Angiv hvilke statistiske karakteristika der blev brugt til at besvare de stillede spørgsmål.

• Løsning.

• Den største forskel i antallet af fejl: 6 – 0 = 6.

• Typisk antal fejl: 3 (forekommer 26 gange ud af 70).

• Der bruges skala og mode.

• Svar: 6; 3.

Statistisk forskning frekvenstabeller Sprog.

• Statistisk forskning over et stort antal litterære tekster viste de, at frekvenserne af udseendet af et bestemt bogstav (eller mellemrum mellem ord) har en tendens til visse bestemte konstanter, efterhånden som tekstens volumen øges. Tabeller, der indeholder bogstaverne i et bestemt sprog og de tilsvarende konstanter kaldes frekvenstabeller Sprog.

• Hver forfatter har sin egen frekvenstabel over brugen af ​​bogstaver, ord, specifikke litterære udtryk mv. Ved hjælp af denne frekvenstabel kan du bestemme forfatteren omtrent lige så præcist som ved at bruge fingeraftryk.

For eksempel, Før i dag Tvister om forfatterskab fortsætter " Stille Don" En hel del mennesker tror, ​​at M.A. Sholokhov som 23-årig er så dyb og virkelig stor bog Jeg kunne bare ikke skrive. Forskellige argumenter og forskellige forfatterkandidater er blevet fremført. Debatterne var især ophedede på tidspunktet for tildelingen af ​​M.A. Sholokhov Nobel pris i litteratur (1965). Statistisk analyse romanen og dens sammenligning med tekster, hvis forfatterskab var uden tvivl af M.A. Sholokhov, bekræftede ikke desto mindre hypotesen om M.A. Sholokhov som den sande forfatter til "The Quiet Don".

Eksempel nr. 1.

• Eksempel nr. 1. Prøven består af alle bogstaver inkluderet i kupletten

• "...Dette træ er en fyr,

• Og fyrretræets skæbne er klar..."

• Skriv en række eksempeldata ned.

• Find prøvestørrelsen.

• Bestem multipliciteten og hyppigheden af ​​"o"-mulighederne.

• Hvad er den højeste procentvise frekvens af prøvemuligheden?

• Løsning

• 1). Eksempeldataserie (værdivalg):

• a, b, c, d, f, i, n, o, r, s, t, y, b, s, e, i.

• 2). Prøvestørrelsen er det samlede antal bogstaver i koblingen: n = 30.

• 3). Mængden af ​​muligheder "o" er 4, frekvensen af ​​muligheder er ens.

• 4). Mulighed "c" har den højeste procentvise frekvens: dens multiplicitet er 6, frekvens

• , procentfrekvens 20%.

• Svar: 1). 16 bogstaver; 2). tredive; 3). 4 og 0,133; 4). 20 %.

Eksempel nr. 1 (fortsat). Prøven består af alle bogstaver inkluderet i kupletten

• Eksempel nr. 1 (fortsat). Prøven består af alle bogstaver inkluderet i kupletten

• "...Dette træ er en fyr,

• Og fyrretræets skæbne er klar..."

• Alfabetet er opdelt i tre identiske sektioner: nr. 1 fra "a" til "th", nr. 2 fra "k" til "u", nr. 3 fra "f" til "z".

• 1).Find multipliciteten og (procent)hyppigheden af ​​afsnit nr. 3.

• 2). Lav en tabel over frekvensfordelingen af ​​sektioner.

• 3). Angiv området med den højeste frekvens.

• 4). Konstruer et frekvenshistogram med den valgte fordeling i sektioner.

• Løsning. Først og fremmest bemærker vi, at hvis det russiske alfabet har 33 bogstaver, så er tre identiske sektioner sektioner med 11 bogstaver. Antal bogstaver i en kuplet: n = 30.

• Frekvens- og multiplicitetsfordelingstabel:

Eksempel.

Eksempel. 60 niende-klasser blev testet for læsehastighed (antal ord pr. minut af læsning). De opnåede data blev grupperet i fem områder: nr. 1- (91;100); nr. 2 (101; 110); nr. 3 (111; 120); nr. 4 (121; 130); nr. 5 (131;140). Resultatet er et histogram over multipliciteter (se figur). Tilnærmelsesvis estimeret: rækkevidde, tilstand, aritmetisk gennemsnit af prøven, forklar hvorfor svarene kun er omtrentlige.

Område A = 140-91 = 49

• Område A = 140-91 = 49

• Mode.

• Gennemsnits værdi.

• De opnåede værdier er kun omtrentlige, fordi beregningerne i stedet for faktiske værdier brugte betingede værdier - grænserne og midtpunkterne for delintervaller, det vil sige værdier, der ikke blev observeret eksperimentelt, men blev accepteret af os for nemheds skyld at præsentere data.

• Svar: 49; 125,5; 117,17.

• A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. Begivenheder. Sandsynligheder. Statistisk databehandling: Yderligere. Afsnit til algebrakurset 7 – 9 karakterer. almen uddannelse institutioner / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. 4. udg. – M.: Mnemosyne, 2006.-112 s.

• Makarychev Yu.N. Algebra: elementer af statistik og kombinatorik og sandsynlighedsteori: lærebog. En manual for elever i 7-9 klassetrin. almen uddannelse institutioner / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 2. udg. – M.: Uddannelse, 2004.-78 s.

• M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova. Elementer af statistik og sandsynlighed: En lærebog for almen uddannelse 7.-9. institutioner. – M.: Uddannelse, 2004.-112 s.

Omarrangeringer. Formel for antallet af permutationer

Permutationer fra n elementer

Lad sættet x omfatter n elementer.

Definition. Placering uden gentagelse fran elementer i sættetx Ved n hedder permutation fra n elementer.

Bemærk, at enhver permutation inkluderer alle elementer i sættetx , og præcis én gang. Det vil sige, at permutationer kun adskiller sig fra hinanden i rækkefølgen af ​​elementerne og kan opnås fra hinanden ved permutation af elementer (deraf navnet).

Antal af alle permutationer fran elementer er angivet med symbolet .

Da permutationer er særlig situation placeringer uden gentagelser kl , derefter formlen for at finde tallet vi får fra formel (2), substituerer ind i den :

Dermed,

(3)

Eksempel. På hvor mange måder kan 5 bøger placeres på en hylde?

Løsning. Der er lige så mange måder at placere bøger på en hylde, som der er forskellige permutationer af de fem elementer: måder.

Kommentar. Formler (1)-(3) behøver ikke at blive husket: problemer, der involverer deres anvendelse, kan altid løses ved hjælp af produktreglen. Hvis eleverne har problemer med at skabe kombinatoriske problemmodeller, så er det bedre at indsnævre det anvendte sæt af formler og regler (så der er mindre mulighed for fejl). Sandt nok løses problemer, hvor der anvendes permutationer og formel (3), normalt uden problemer.

Opgaver

1. F. På hvor mange måder kan de stå i kø ved billetkontoret: 1) 3 personer; 2) 5 personer?

Løsning.

Forskellige muligheder Arrangementerne af n personer i en kø adskiller sig kun fra hinanden i den rækkefølge, som personerne er arrangeret i, dvs. de er forskellige permutationer af n elementer.

Tre personer kan stå i kø P3 = 3! = 6 forskellige måder.

Svar: 1) 6 måder; 2) 120 måder.

2. T. På hvor mange måder kan 4 personer passe på en 4-personers bænk?

Løsning.

Antallet af personer er lig med antallet af pladser på bænken, så antallet af placeringsmuligheder er lig med antallet af permutationer af 4 elementer: P4 = 4! = 24.

Du kan ræsonnere i henhold til produktreglen: for den første person kan du vælge en af ​​de 4 pladser, for den anden - enhver af de 3 tilbageværende, for den tredje - enhver af de 2 tilbageværende, den sidste vil tage 1 resterende plads ; der er alt = 24 forskellige måder at give plads til 4 personer på en fire-personers bænk.

Svar: 24 måder.

3. M. Hos Vova til frokost - første, anden, tredje ret og kage. Han vil helt sikkert starte med kagen og spise resten i tilfældig rækkefølge. Find nummeret mulige muligheder frokost.

M-problemer fra lærebogen. manualer af A.G. Mordkovich

T - udg. S.A. Telyakovsky

F- M.V. Tkacheva

Løsning.

Efter kagen kan Vova vælge en af ​​tre retter, derefter to, og afslutte med resten. Samlet antal mulige frokostmuligheder: =6.

Svar: 6.

4. F. Hvor mange forskellige korrekte (fra det russiske sprogs synspunkt) sætninger kan laves ved at ændre rækkefølgen af ​​ord i en sætning: 1) "Jeg gik en tur"; 2) "En kat går i gården"?

Løsning.

I anden sætning skal præpositionen "in" altid stå foran substantivet "yard", som den henviser til. Derfor, hvis du tæller parret "i gården" som ét ord, kan du finde antallet af forskellige permutationer af de tre betingede ord: P3 = 3! = 6. I dette tilfælde kan du altså lave 6 rigtige sætninger.

Svar: 1) 6; 2) 6.

5. På hvor mange måder kan du bruge bogstaverne K, L, M, H til at betegne hjørnerne af en firkant?

Løsning.

Vi vil antage, at hjørnerne af firkanten er nummererede, hver med et konstant tal. Så handler problemet om at tælle antallet af forskellige måder at arrangere 4 bogstaver på 4 steder (hjørnepunkter), altså at tælle antallet af forskellige permutationer: P4 = 4! =24 måder.

Svar: 24 måder.

6. F. Fire venner købte biografbilletter: til 1. og 2. plads på første række og til 1. og 2. plads på anden række. På hvor mange måder kan venner tage disse 4 pladser i biografen?

Løsning.

Fire venner kan tage 4 forskellige steder P4 = 4! = 24 forskellige måder.

Svar: 24 måder.

7. T. Kureren skal levere pakker til 7 forskellige institutioner. Hvor mange ruter kan han vælge?

Løsning.

Ruten skal forstås som den rækkefølge, hvori kureren besøger institutioner. Lad os nummerere institutionerne fra 1 til 7, så vil ruten blive repræsenteret som en sekvens af 7 numre, hvis rækkefølge kan ændre sig. Antallet af ruter er lig med antallet af permutationer af 7 elementer: P7= 7! = 5.040.

Svar: 5.040 ruter.

8. T. Hvor mange udtryk der findes er identiske lig med produktet abcde, som fås fra det ved at omarrangere faktorerne?

Løsning.

Givet er produktet af fem forskellige faktorer abcde, hvis rækkefølge kan ændres (når faktorerne omarrangeres, ændres produktet ikke).

Der er i alt P5 = 5! = 120 forskellige måder at arrangere de fem multiplikatorer på; Vi anser et af dem (abcde) for at være det originale, de resterende 119 udtryk er identisk med dette.

Svar: 119 udtryk.

9. T. Olga husker, at hendes venindes telefonnummer slutter med tallene 5, 7, 8, men hun glemte i hvilken rækkefølge disse tal vises. Angiv det største antal muligheder, som hun skal igennem for at komme igennem til sin ven.

Løsning.

De sidste tre cifre telefon nummer kan placeres i en af ​​P3 =3! =6 mulige ordrer, hvoraf kun én er korrekt. Olga kan straks skrive den rigtige indstilling, hun kan skrive den tredje osv. Største antal muligheder hun bliver nødt til at ringe op hvis korrekte mulighed vil være den sidste, altså sjette.

Svar: 6 muligheder.

10. T. Hvor mange sekscifrede tal (uden gentagelse af tal) kan der laves af tallene: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? Løsning.

a) Givet 6 cifre: 1, 2, 5, 6, 7, 8, ud fra dem kan du kun danne forskellige sekscifrede tal ved at omarrangere disse cifre. Antallet af forskellige sekscifrede tal er lig med P6 = 6! = 720.

b) Givet 6 cifre: 0, 2, 5, 6, 7, 8, ud fra dem skal du lave forskellige sekscifrede tal. I modsætning til tidligere opgave er, at nul ikke kan komme først.

Du kan anvende produktreglen direkte: du kan vælge et hvilket som helst af de 5 cifre (undtagen nul) for det første sted; på andenpladsen - ethvert af de 5 resterende cifre (4 er "ikke-nul", og nu tæller vi nul); til tredjepladsen - et hvilket som helst af de 4 cifre, der er tilbage efter de første to valg, osv. Det samlede antal valgmuligheder er: = 600.

Du kan bruge metoden til at eliminere unødvendige muligheder. 6 cifre kan omarrangeres P6 = 6! = 720 forskellige måder. Blandt disse metoder vil der være dem, hvor førstepladsen er nul, hvilket er uacceptabelt. Lad os tælle antallet af disse ugyldige muligheder. Hvis der er et nul i første omgang (det er fast), så kan de næste fem steder indeholde "ikke-nul" numre 2, 5, 6, 7, 8 i vilkårlig rækkefølge. Antallet af forskellige måder, hvorpå 5 numre kan placeres 5 steder er lig med P5 = 5! = 120, dvs. antallet af permutationer af tal, der starter fra nul, er 120. Det nødvendige antal forskellige sekscifrede tal er i dette tilfælde lig med: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.

Svar: a) 720; b) 600 numre.

11. T. Hvor mange af de fire-cifrede tal (uden gentagelse af tal), der består af tallene 3, 5, 7, 9 er dem, der: a) begynder med tallet 3;

b) er multipla af 15?

Løsning.

a) Ud fra tallene 3, 5, 7, 9 laver vi firecifrede tal, der starter med tallet 3.

Vi fikser tallet 3 på førstepladsen; derefter på de resterende trenumrene 5, 7 9 kan placeres i enhver rækkefølge i enhver rækkefølge. Det samlede antal muligheder for deres placering er lig med P 3 = 3!=6. Der vil være så mange forskellige firecifrede tal, der består afgivne tal og begyndende med tallet 3.

b) Bemærk, at summen af ​​disse cifre 3 + 5 + 7 + 9 = 24 er delelig med 3, derfor er ethvert firecifret tal, der består af disse cifre, deleligt med 3. For at nogle af disse tal skal være delelige ved 15 er det nødvendigt, så de ender med tallet 5.

Vi fikser nummer 5 på sidste plads; de resterende 3 cifre kan placeres tre steder foran 5 Рз = 3! = 6 forskellige måder. Der vil være så mange forskellige firecifrede tal, der består af disse tal, som er delelige med 15.

Svar: a) 6 tal; b) 6 numre.

12. T. Find summen af ​​cifrene for alle firecifrede tal, der kan laves ud fra tallene 1, 3, 5, 7 (uden at gentage dem).

Løsning.

Hvert firecifret tal, der består af cifrene 1, 3, 5, 7 (uden gentagelse) har en sum af cifre svarende til 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Ud fra disse tal kan du lave P4 = 4! = 24 forskellige tal, der kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​cifrene. Summen af ​​cifrene for alle disse tal vil være lig med

16 = 384.

Svar: 384.

13. T. Syv drenge, som omfatter Oleg og Igor, står på række. Find nummeret mulige kombinationer, hvis:

a) Oleg skal være i slutningen af ​​rækken;

b) Oleg skal være i begyndelsen af ​​rækken, og Igor skal være i slutningen af ​​rækken;

c) Oleg og Igor skal stå ved siden af ​​hinanden.
Løsning.

a) Der er kun 7 drenge på 7 steder, men et element er fast og kan ikke omarrangeres (Oleg er i slutningen af ​​rækken). Antallet af mulige kombinationer er lig med antallet af permutationer af de 6 drenge, der står foran Oleg: P6=6!=720.

et par kan lide enkelt element, omarrangeret med de andre fem elementer. Antallet af mulige kombinationer vil da være P6 = 6! = 720.

Lad Oleg og Igor nu stå side om side i IO rækkefølge. Så får vi endnu en P6 = 6! = 720 andre kombinationer.

Det samlede antal kombinationer, hvor Oleg og Igor er ved siden af ​​hinanden (i vilkårlig rækkefølge) er 720 + 720 = 1.440.

Svar: a) 720; b) 120; c) 1.440 kombinationer.

14. M. Elleve fodboldspillere stiller op inden kampstart. Den første er anføreren, den anden er målmanden, og resten er tilfældigt. Hvor mange byggemetoder er der?

Løsning.

Efter kaptajnen og målmanden kan den tredje spiller vælge en af ​​de 9 resterende pladser, den næste fra 8 osv. Det samlede antal konstruktionsmetoder, der anvender produktreglen, er lig med:

1 = 362.880 eller P 9 = 9! = 362.880.

Svar: 362.880.

15. M. På hvor mange måder kan hjørnerne af en terning betegnes med bogstaverne A, B, C, D, E, F, G, K?

Løsning.

For det første toppunkt kan du vælge et hvilket som helst af de 8 bogstaver, for det andet - et hvilket som helst af de resterende 7 osv. Det samlede antal veje ifølge produktreglen er=40 320, eller P8 = 8!

Svar: 40.320.

16. T. Skemaet for mandag har seks lektioner: algebra, geometri, biologi, historie, idræt, kemi. På hvor mange måder kan du lave en lektionsplan for denne dag, så to matematiklektioner ligger ved siden af ​​hinanden?

Løsning.

Der er 6 lektioner i alt, hvoraf to matematiktimer skal ligge ved siden af ​​hinanden.

Vi "limer" to elementer (algebra og geometri) først i rækkefølgen AG, derefter i rækkefølgen GA. For hver "limning" mulighed får vi P5 = 5! = 120 skemaindstillinger. Det samlede antal måder at oprette en tidsplan på er 120 (AG) +120 (GA) = 240.

Svar: 240 måder.

17. T. Hvor mange permutationer af bogstaverne i ordet "kegle" er der, hvor bogstaverne K, O, N står ved siden af ​​hinanden?

Løsning.

Givet 5 bogstaver, hvoraf tre skal være ved siden af ​​hinanden. Tre bogstaver K, O, N kan stå ved siden af ​​en af ​​P3 = 3! = 6 måder. For hver metode til at "lime" bogstaverne K, O, N får vi P3 = 3! = 6 måder at permutere bogstaver på, "limning", U, S. Det samlede antal forskellige permutationer af bogstaver i ordet "kegle", hvor bogstaverne K, O, N er ved siden af ​​hinanden, er 6 6 = 36 permutationer - anagrammer.

Svar: 36 anagram.

18. T. På hvor mange måder kan 5 drenge og 5 piger optage pladser fra 1 til 10 på samme række i teatret? På hvor mange måder kan de gøre dette, hvis drengene sidder på ulige pladser og piger på lige pladser?

Løsning.

Hvert arrangement af drenge kan kombineres med hvert af pigearrangementerne, derfor i henhold til produktreglen samlet antal Der er 120 måder at sidde børn på i dette tilfælde. 20= 14400.

Svar: 3.628.800 måder; 14.400 måder.

19. T. Fem drenge og fire piger vil sidde på en ni-personers bænk, så hver pige sidder mellem to drenge. På hvor mange måder kan de gøre dette?

Løsning.

I henhold til opgavens betingelser skal drenge og piger skiftes, det vil sige, at piger kun kan sidde på lige pladser, og drenge kan kun sidde på ulige pladser. Derfor kan piger kun skifte plads med piger, og drenge kan kun skifte plads med drenge. Fire piger kan sidde på fire lige steder P4 = 4! = 24 måder, og fem drenge på fem ulige pladser P5 = 5! = 120 måder.

Hver måde at placere piger på kan kombineres med hver måde at placere drenge på, derfor er det samlede antal måder ifølge produktreglen lig med: P420 = 2.880 måder.

Svar: 2.880 måder.

20. F. Faktorer tallene 30 og 210 i primfaktorer På hvor mange måder kan tallet skrives som et produkt af simple faktorer: 1) 30; 2) 210?

Løsning.

Lad os indregne disse tal i primfaktorer:

30 = 2 ; 210 = 2 .

Tallet 30 kan skrives som et produkt af primfaktorer

R 3 = 3! = 6 forskellige veje(omarrangerer faktorerne).

Tallet 210 kan skrives som et produkt af primtal
multiplikatorerR 4 = 4! = 24 forskellige måder.

Svar: 1) 6 måder; 2) 24 måder.

21. F. Hvor mange forskellige lige fircifrede tal med ikke-gentagende cifre kan skrives med tallene 1, 2, 3, 5?

Løsning.

For at et tal skal være lige, skal det ende med et lige ciffer, dvs. 2. Lad os rette de to på den sidste plads, de resterende tre cifre skal stå foran det i vilkårlig rækkefølge. Antallet af forskellige permutationer af 3 cifre er P3 = 3! = 6; derfor vil der også være 6 forskellige lige fire-cifrede tal (tallet 2 tilføjes til hver permutation på tre cifre).

Svar: 6 tal.

22. F. Hvor mange forskellige ulige femcifrede tal, der ikke har identiske cifre, kan skrives med ciffer 1,2, 4, 6, 8?

Løsning.

For at et sammensat tal skal være ulige, skal det ende med et ulige ciffer, altså et. De resterende 4 cifre kan omarrangeres, idet hver omarrangering placeres før enheden.

Det samlede antal ulige femcifrede tal er lig med antallet af permutationer: P4 = 4! =24.

23. F. Hvor mange forskellige sekscifrede tal med ikke-gentagende cifre kan skrives ved hjælp af cifrene 1; 2 3, 4, 5, 6, hvis: 1) tallet skal starte med 56; 2) skal tallene 5 og 6 stå ved siden af ​​hinanden?

Løsning.

Vi fikserer to cifre 5 og 6 i begyndelsen af ​​nummeret og tilføjer til dem forskellige permutationer fra de 4 resterende cifre; antallet af forskellige sekscifrede tal er lig med: P4 = 4! = 24.

Det samlede antal forskellige sekscifrede tal, hvor tallene 5 og 6 står ved siden af ​​hinanden (i vilkårlig rækkefølge) er 120 + 120 = 240 tal. (Valgmulighed 56 og 65 er inkompatible og kan ikke realiseres samtidigt; vi anvender den kombinatoriske sumreglen.)

Svar: 1) 24.; 2) 240 numre.

24. F. Hvor mange forskellige lige firecifrede tal, der ikke har identiske cifre, kan der laves ud fra tallene 1,2,3,4?

Løsning.

Lige tal skal slutte med et lige tal. Vi fikser tallet 2 på det sidste sted, så kan de 3 foregående cifre omarrangeres P3 = 3! = 6 forskellige måder; vi får 6 tal med en toer til sidst. Vi fikser tallet 4 på den sidste plads, vi får P3 = 3! = 6 forskellige permutationer af de tre foregående cifre og 6 tal, der ender på 4.

Det samlede antal lige firecifrede tal vil være 6 + 6 = 12 forskellige tal.

Svar: 12 tal.

Kommentar. Vi finder det samlede antal muligheder ved hjælp af den kombinatoriske sum-reglen (6 muligheder for tal, der ender på to, 6 muligheder for tal, der ender på fire; metoderne til at konstruere tal med en to og med en fire i slutningen er gensidigt udelukkende, inkompatible, derfor er det samlede antal optioner lig med summen af ​​antallet af optioner med to i slutningen og antallet af optioner med 4 til sidst). Indtastningen 6 + 6 = 12 afspejler bedre årsagerne til vores handlinger end indgangen P.

25. F. På hvor mange måder kan tallet 1) 12 skrives som et produkt af primfaktorer? 2) 24; 3) 120?

Løsning.

Det særlige ved dette problem er, at der i udvidelsen af ​​hvert af disse tal er identiske, gentagne faktorer. Når vi danner forskellige permutationer ud fra faktorer, vil vi ikke få en ny permutation, hvis vi bytter to identiske faktorer.

1) Tallet 12 er opdelt i tre primære faktorer, hvoraf to er ens: 12 = .

Hvis alle faktorerne var forskellige, så kunne de omarrangeres i produktet P3 = 3! = 6 forskellige måder. For at liste disse metoder vil vi betinget "skelne" to toere og understrege en af ​​dem: 12 = 2.

Så er følgende 6 varianter af nedbrydning til indbyggere mulige:

Men faktisk har understregning af tal ingen betydning i matematik, så de resulterende 6 permutationer i almindelig notation ser ud som:

dvs. faktisk fik vi ikke 6, men 3 forskellige permutationer Antallet af permutationer blev halveret på grund af, at vi ikke skal tage hensyn til to toers permutationer med hinanden.

Lad os betegne P x det nødvendige antal permutationer af tre elementer, herunder to identiske; så kan resultatet, vi opnåede, skrives som følger: Рз = Р x Men 2 er antallet af forskellige permutationer af to elementer, dvs. 2 == 2! = P 2, derfor P3, = P x P 2, derfor P x ​​= . (dette er formlen for antallet af permutationer med gentagelser).

Man kan ræsonnere anderledes, kun baseret på den kombinatoriske produktregel.

For at skabe et produkt af tre faktorer skal du først vælge et sted for faktor 3; dette kan gøres på en af ​​tre måder. Herefter udfylder vi begge resterende pladser med toere; dette kan gøres på 1 måde. Ifølge produktreglen er det samlede antal måder: 3-1 =3., R x =20.

Anden vej. Når vi sammensætter et produkt af fem faktorer, vælger vi først en plads for de fem (5 måder), derefter for de tre (4 måder), og udfylder de resterende 3 pladser med toere (1 vej); efter produktreglen 5 4 1 = 20.

Svar: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. F. På hvor mange måder kan 6 celler farves, så 3 celler er røde, og de resterende 3 males (hver med sin egen farve) hvide, sorte eller grønne?

Løsning.

Permutationer af 6 elementer, blandt hvilke tre er identiske:

Ellers: at male med hvidt, kan du vælge en af ​​6 celler, sort - fra 5, grøn - fra 4; De tre resterende celler er malet røde. Samlet antal måder: 6 5 4 1 = 120.

Svar: 120 måder.

27.T. En fodgænger skal gå en blok mod nord og tre blokke mod vest. Skriv alle mulige fodgængerruter ned.= 4.

Svar: 4 ruter.

28. M. a) På dørene til fire identiske kontorer er det nødvendigt at hænge skilte med navnene på fire vicedirektører. På hvor mange måder kan dette gøres?

b) I 9 "A" klasse om onsdagen er der 5 lektioner: algebra, geometri, fysisk uddannelse, russisk sprog, engelsk sprog. Hvor mange skemaindstillinger kan du oprette for denne dag?

c) På hvor mange måder kan fire tyve sprede sig, én ad gangen, i alle fire retninger?

d) Adjudanten skal aflevere fem eksemplarer af generalens ordre til fem regimenter. På hvor mange måder kan han vælge leveringsvej for kopier af ordren?

Løsning.

a) Til den første plade kan du vælge et hvilket som helst af 4 skabe,
For den anden - enhver af de tre tilbageværende, for den tredje - enhver af de to tilbageværende, for den fjerde - en tilbage; efter reglen
produkt, det samlede antal måder er: 4 3 2 1 = 24, eller P4 = 4! = 24.= 120, eller P5 = 5! = 120.

Svar: a) 24; b) 120; c) 24; d) 120.

Litteratur

Afanasyev V.V. Sandsynlighedsteori i eksempler og problemer, Yaroslavl: Yaroslavl State Pedagogical University, 1994.

Bavrin I. I. Højere matematik: Lærebog for studerende på pædagogiske universiteters kemiske og matematiske specialer - 2. udgave, revideret. - M.: Uddannelse, 1993.

Bunimovich E. A., Bulychev V. A. Sandsynlighed og statistik. 5-9 klassetrin: Manual for almen uddannelse uddannelsesinstitutioner, - M.: Bustard, 2005.

Vilenkin N. Ya. og andre. Algebra og matematisk analyse for 10. klasse: Tutorial for elever på skoler og klasser med dybdegående undersøgelse matematik. - M.: Uddannelse, 1992.

Vilenkin N. Ya. og andre. Algebra og matematisk analyse for klasse 11: En lærebog for elever i skoler og klasser med dybdegående studier af matematik - M.: Prosveshchenie, 1990.

Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen: 9.-10. Manual til lærere. - M.: Uddannelse 1983.

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Matematik 9: Algebra. Funktioner. Dataanalyse - M.: Bustard, 2000.

Kolyagin og andre. Algebra og begyndelsen af ​​analyse klasse 11. Matematik i skolen - 2002 - nr. 4 - s. 43,44,46.

Lyupshkas V.S. Valgfag i matematik: sandsynlighedsteori: Lærebog for klassetrin 9-11. - M., 1991.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Elementer af statistik og sandsynlighedsteori: En lærebog for elever i klasse 7-9. - M.: Prosveshchenie, 2005.

Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra og begyndelse af analyse klasse 10: Lærebog for uddannelsesinstitutioner (profilniveau) – M.: Mnemosyne, 2005.

Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Elementer af statistik og sandsynlighed: En lærebog for elever i klasse 7-9. - M.: Prosveshchenie, 2005.