Hvad er en nok af tal. Sådan finder du det mindste fælles multiplum af to tal

Lad os overveje at løse følgende problem. Drengens trin er 75 cm, og pigens trin er 60 cm. Det er nødvendigt at finde den mindste afstand, hvor de begge tager et helt antal skridt.

Løsning. Hele stien, som børnene skal igennem, skal være delelig med 60 og 70, da de hver især skal tage et helt antal skridt. Med andre ord skal svaret være et multiplum af både 75 og 60.

Først vil vi nedskrive alle multipla af tallet 75. Vi får:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Lad os nu skrive de tal ned, der vil være multipla af 60. Vi får:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Nu finder vi de tal, der er i begge rækker.

• Fælles multipla af tal ville være 300, 600 osv.

Den mindste af dem er tallet 300. I dette tilfælde vil det blive kaldt det mindste fælles multiplum af tallene 75 og 60.

For at vende tilbage til problemets tilstand, vil den mindste afstand, hvor fyrene vil tage et helt antal skridt, være 300 cm. Drengen vil dække denne sti i 4 trin, og pigen skal tage 5 trin.

Bestemmelse af mindste fælles multiplum

• Det mindste fælles multiplum af to naturlige tal a og b er det mindste naturlige tal, der er et multiplum af både a og b.

For at finde det mindste fælles multiplum af to tal, er det ikke nødvendigt at skrive alle multipla af disse tal ned i en række.

Du kan bruge følgende metode.

Sådan finder du det mindste fælles multiplum

Først skal du indregne disse tal i primfaktorer.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Lad os nu nedskrive alle de faktorer, der er i udvidelsen af ​​det første tal (2,2,3,5) og tilføje alle de manglende faktorer fra udvidelsen af ​​det andet tal (5).

Som et resultat får vi en række primtal: 2,2,3,5,5. Produktet af disse tal vil være den mindst fælles faktor for disse tal. 2*2*3*5*5 = 300.

Generel ordning for at finde det mindste fælles multiplum

• 1. Opdel tal i primfaktorer.
• 2. Skriv de primære faktorer ned, som er en del af en af ​​dem.
• 3. Tilføj til disse faktorer alle dem, der er i udvidelsen af ​​de andre, men ikke i den valgte.
• 4. Find produktet af alle de skriftlige faktorer.

Denne metode er universel. Det kan bruges til at finde det mindste fælles multiplum af ethvert antal naturlige tal.

Et multiplum er et tal, der er deleligt med et givet tal uden en rest. Det mindste fælles multiplum (LCM) af en gruppe af tal er det mindste tal, der er deleligt med hvert tal i gruppen uden at efterlade en rest. For at finde det mindste fælles multiplum skal du finde primfaktorerne for givne tal. LCM kan også beregnes ved hjælp af en række andre metoder, der gælder for grupper på to eller flere tal.

Trin

Serie af multipler

Se på disse tal. Metoden beskrevet her bruges bedst, når der gives to tal, som hver er mindre end 10. Hvis der er givet større tal, skal du bruge en anden metode.

• Find for eksempel det mindste fælles multiplum af 5 og 8. Det er små tal, så du kan bruge denne metode.

1. Et multiplum er et tal, der er deleligt med et givet tal uden en rest. Multipler kan findes i multiplikationstabellen.

   • For eksempel er tal, der er multipla af 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Skriv en række tal ned, der er multipla af det første tal. Gør dette under multipla af det første tal for at sammenligne to sæt tal.

   • For eksempel er tal, der er multipla af 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 og 64.

3. Find det mindste tal, der er til stede i begge sæt af multipla. Du skal muligvis skrive lange serier af multipler for at finde det samlede antal. Det mindste tal, der er til stede i begge sæt af multipler, er det mindste fælles multiplum.

   • For eksempel er det mindste tal, der optræder i rækken af ​​multipla af 5 og 8, tallet 40. Derfor er 40 det mindste fælles multiplum af 5 og 8.

   Primfaktorisering

   1. Se på disse tal. Metoden beskrevet her bruges bedst, når der gives to tal, som hver er større end 10. Hvis der er givet mindre tal, skal du bruge en anden metode.

      • Find for eksempel det mindste fælles multiplum af tallene 20 og 84. Hvert af tallene er større end 10, så du kan bruge denne metode.

   2. Faktor det første tal i primfaktorer. Det vil sige, at du skal finde sådanne primtal, der, når de ganges, vil resultere i et givet tal. Når du har fundet de primære faktorer, så skriv dem som ligheder.

      • For eksempel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gange 10=20) Og 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\time (\mathbf (5) )=10). Primtalsfaktorerne for tallet 20 er altså tallene 2, 2 og 5. Skriv dem som et udtryk:.

   3. Faktor det andet tal i primfaktorer. Gør dette på samme måde, som du faktorerede det første tal, dvs. find sådanne primtal, der, når de ganges, vil give det givne tal.

      • For eksempel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ gange 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\ gange 6=42) Og 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Primfaktorerne for tallet 84 er altså tallene 2, 7, 3 og 2. Skriv dem som et udtryk:.

   4. Skriv ned de faktorer, der er fælles for begge tal. Skriv sådanne faktorer som en multiplikationsoperation. Når du skriver hver faktor, så streg den ud i begge udtryk (udtryk, der beskriver faktoriseringer af tal til primfaktorer).

      • For eksempel har begge tal en fælles faktor på 2, så skriv 2 × (\displaystyle 2\ gange ) og streg 2 ud i begge udtryk.
      • Fælles for begge tal er en anden faktor på 2, så skriv 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) og streg de 2 andet over i begge udtryk.

   5. Tilføj de resterende faktorer til multiplikationsoperationen. Det er faktorer, der ikke er overstreget i begge udtryk, altså faktorer, der ikke er fælles for begge tal.

      • For eksempel i udtrykket 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ gange 2\ gange 5) Begge to (2) er streget over, fordi de er fælles faktorer. Faktoren 5 er ikke overstreget, så skriv multiplikationsoperationen sådan her: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • I udtryk 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\ gange 7\ gange 3\ gange 2) begge to (2) er også streget over. Faktorerne 7 og 3 er ikke overstreget, så skriv multiplikationsoperationen sådan her: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ gange 2\ gange 5\ gange 7\ gange 3).

   6. Beregn det mindste fælles multiplum. For at gøre dette skal du gange tallene i den skriftlige multiplikationsoperation.

      • For eksempel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\ gange 2\ gange 5\ gange 7\ gange 3 = 420). Så det mindste fælles multiplum af 20 og 84 er 420.

   At finde fælles faktorer

   1. Tegn et gitter som til et spil tic-tac-toe. Sådan et gitter består af to parallelle linjer, der skærer (i rette vinkler) med yderligere to parallelle linjer. Dette vil give dig tre rækker og tre kolonner (gitteret ligner #-ikonet meget). Skriv det første tal i første linje og anden kolonne. Skriv det andet tal i første række og tredje kolonne.

      • Find for eksempel det mindste fælles multiplum af tallene 18 og 30. Skriv tallet 18 i første række og anden kolonne, og skriv tallet 30 i første række og tredje kolonne.

   2. Find divisoren fælles for begge tal. Skriv det ned i første række og første kolonne. Det er bedre at kigge efter primære faktorer, men dette er ikke et krav.

      • For eksempel er 18 og 30 lige tal, så deres fælles faktor er 2. Så skriv 2 i første række og første kolonne.

   3. Divider hvert tal med den første divisor. Skriv hver kvotient under det relevante tal. En kvotient er resultatet af at dividere to tal.

      • For eksempel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), så skriv 9 under 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), så skriv 15 under 30 ned.

   4. Find divisoren fælles for begge kvotienter. Hvis der ikke er en sådan divisor, spring de næste to trin over. Ellers skal du skrive divisor i anden række og første kolonne.

      • For eksempel er 9 og 15 delelige med 3, så skriv 3 i anden række og første kolonne.

   5. Divider hver kvotient med dens anden divisor. Skriv hvert divisionsresultat under den tilsvarende kvotient.

      • For eksempel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), så skriv 3 under 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), så skriv 5 under 15.

   6. Tilføj om nødvendigt yderligere celler til gitteret. Gentag de beskrevne trin, indtil kvotienterne har en fælles divisor.

   7. Sæt en cirkel om tallene i den første kolonne og sidste række i gitteret. Skriv derefter de valgte tal som en multiplikationsoperation.

      • For eksempel er tallene 2 og 3 i første kolonne, og tallene 3 og 5 er i sidste række, så skriv multiplikationsoperationen sådan: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ gange 3\ gange 3\ gange 5).

   8. Find resultatet af at gange tal. Dette vil beregne det mindste fælles multiplum af to givne tal.

      • For eksempel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\ gange 3\ gange 3\ gange 5=90). Så det mindste fælles multiplum af 18 og 30 er 90.

   Euklids algoritme

   1. Husk terminologien forbundet med divisionsoperationen. Udbyttet er det antal, der bliver delt. Divisor er det tal, der divideres med. En kvotient er resultatet af at dividere to tal. En rest er det tal, der er tilbage, når to tal deles.

      • For eksempel i udtrykket 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 er udbyttet
        6 er en divisor
        2 er kvotient
        3 er resten.

Største fælles divisor og mindste fælles multiplum er vigtige aritmetiske begreber, der gør arbejdet med brøker ubesværet. LCM og bruges oftest til at finde fællesnævneren for flere brøker.

Basale koncepter

Divisor af et heltal X er et andet heltal Y, som X er divideret med uden at efterlade en rest. For eksempel er divisor af 4 2, og 36 er 4, 6, 9. Et multiplum af et heltal X er et tal Y, der er deleligt med X uden en rest. For eksempel er 3 et multiplum af 15, og 6 er et multiplum af 12.

For ethvert par tal kan vi finde deres fælles divisorer og multipla. For eksempel, for 6 og 9, er det fælles multiplum 18, og den fælles divisor er 3. Det er klart, at par kan have flere divisorer og multipla, så beregningerne bruger den største divisor GCD og den mindste multiplum LCM.

Den mindste divisor er meningsløs, da den for ethvert tal altid er en. Det største multiplum er også meningsløst, eftersom sekvensen af ​​multipler går til uendelig.

Finder gcd

Der er mange metoder til at finde den største fælles divisor, hvoraf de mest berømte er:

• sekventiel søgning af divisorer, udvælgelse af fælles for et par og søg efter den største af dem;
• nedbrydning af tal i udelelige faktorer;
• Euklidisk algoritme;
• binær algoritme.

I dag i uddannelsesinstitutioner er de mest populære metoder nedbrydning i prime faktorer og den euklidiske algoritme. Sidstnævnte bruges til gengæld ved løsning af diophantiske ligninger: søgning efter GCD er påkrævet for at kontrollere ligningen for muligheden for opløsning i heltal.

At finde NOC

Det mindste fælles multiplum bestemmes også ved sekventiel søgning eller dekomponering i udelelige faktorer. Derudover er det nemt at finde LCM, hvis den største divisor allerede er bestemt. For tallene X og Y er LCM og GCD relateret af følgende forhold:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

For eksempel, hvis GCM(15,18) = 3, så er LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Det mest oplagte eksempel på brug af LCM er at finde fællesnævneren, som er det mindste fælles multiplum af givne brøker.

Coprime tal

Hvis et talpar ikke har nogen fælles divisor, så kaldes et sådant par coprime. Gcd'en for sådanne par er altid lig med én, og baseret på forbindelsen mellem divisorer og multipla er gcd'en for coprime-par lig med deres produkt. For eksempel er tallene 25 og 28 relativt primtal, fordi de ikke har nogen fælles divisorer, og LCM(25, 28) = 700, hvilket svarer til deres produkt. Alle to udelelige tal vil altid være relativt primtal.

Fælles divisor og multiple lommeregner

Ved hjælp af vores lommeregner kan du beregne GCD og LCM for et vilkårligt antal tal at vælge imellem. Opgaver om udregning af fælles divisorer og multipla findes i 5. og 6. klasses regning, men GCD og LCM er nøglebegreber i matematik og bruges i talteori, planimetri og kommunikativ algebra.

Eksempler fra det virkelige liv

Fællesnævner for brøker

Mindste fælles multiplum bruges til at finde fællesnævneren for flere brøker. Lad os sige, at du i en regneopgave skal summere 5 brøker:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

For at tilføje brøker skal udtrykket reduceres til en fællesnævner, hvilket reducerer til problemet med at finde LCM. For at gøre dette skal du vælge 5 tal i lommeregneren og indtaste værdierne af nævnerne i de relevante celler. Programmet vil beregne LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nu skal du beregne yderligere faktorer for hver brøk, som er defineret som forholdet mellem LCM og nævneren. Så de ekstra multiplikatorer ville se sådan ud:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Efter dette multiplicerer vi alle brøkerne med den tilsvarende ekstra faktor og får:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Vi kan nemt summere sådanne brøker og få resultatet til 159/360. Vi reducerer brøken med 3 og ser det endelige svar - 53/120.

Løsning af lineære diofantiske ligninger

Lineære diofantiske ligninger er udtryk for formen ax + by = d. Hvis forholdet d / gcd(a, b) er et heltal, så er ligningen opløselig i heltal. Lad os tjekke et par ligninger for at se, om de har en heltalsløsning. Lad os først tjekke ligningen 150x + 8y = 37. Ved hjælp af en lommeregner finder vi GCD (150,8) = 2. Divider 37/2 = 18,5. Tallet er ikke et heltal, derfor har ligningen ikke heltalsrødder.

Lad os tjekke ligningen 1320x + 1760y = 10120. Brug en lommeregner til at finde GCD(1320, 1760) = 440. Divider 10120/440 = 23. Som et resultat får vi et heltal, derfor er den diofantinske koefficient-ligning opløselig i heltal .

Konklusion

GCD og LCM spiller en stor rolle i talteorien, og selve begreberne bruges i vid udstrækning inden for en lang række områder af matematik. Brug vores lommeregner til at beregne de største divisorer og mindste multipla af et vilkårligt antal tal.

Andet nummer: b=

Tusindskiller Uden mellemrumsadskiller "´

Resultat:

Største fælles divisor gcd( -en,b)=6

Mindste fælles multiplum af LCM( -en,b)=468

Det største naturlige tal, der kan divideres uden en rest med tallene a og b, kaldes største fælles divisor(GCD) af disse tal. Betegnes med gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) eller hcf(a,b).

Mindste fælles multiplum LCM af to heltal a og b er det mindste naturlige tal, der er deleligt med a og b uden en rest. Benævnt LCM(a,b) eller lcm(a,b).

Heltallene a og b kaldes gensidigt prime, hvis de ikke har andre fælles divisorer end +1 og −1.

Største fælles divisor

Lad to positive tal gives -en 1 og -en 2 1). Det er påkrævet at finde fælles divisor for disse tal, dvs. finde sådan et nummer λ , som deler tal -en 1 og -en 2 på samme tid. Lad os beskrive algoritmen.

1) I denne artikel vil ordet nummer blive forstået som et heltal.

Lade -en 1 ≥ -en 2 og lad

Hvor m 1 , -en 3 er nogle heltal, -en 3 <-en 2 (resten af ​​divisionen -en 1 pr -en 2 skal være mindre -en 2).

Lad os lade som om λ deler -en 1 og -en 2 derefter λ deler m 1 -en 2 og λ deler -en 1 −m 1 -en 2 =-en 3 (Udtalelse 2 i artiklen "Tals delelighed. Delbarhedstest"). Det følger, at hver fælles divisor -en 1 og -en 2 er fælles divisor -en 2 og -en 3. Det omvendte er også tilfældet, hvis λ fælles divisor -en 2 og -en 3 derefter m 1 -en 2 og -en 1 =m 1 -en 2 +-en 3 er også deleligt med λ . Derfor den fælles divisor -en 2 og -en 3 er også en fælles divisor -en 1 og -en 2. Fordi -en 3 <-en 2 ≤-en 1, så kan vi sige, at løsningen på problemet med at finde den fælles divisor af tal -en 1 og -en 2 reduceret til det simplere problem med at finde den fælles divisor af tal -en 2 og -en 3 .

Hvis -en 3 ≠0, så kan vi dividere -en 2 på -en 3. Derefter

,

Hvor m 1 og -en 4 er nogle heltal, ( -en 4 resterende fra division -en 2 på -en 3 (-en 4 <-en 3)). Ved lignende ræsonnement kommer vi til den konklusion, at fælles divisorer af tal -en 3 og -en 4 falder sammen med fælles divisorer af tal -en 2 og -en 3, og også med fælles divisorer -en 1 og -en 2. Fordi -en 1 , -en 2 , -en 3 , -en 4, ... er tal, der konstant er faldende, og da der er et endeligt antal heltal mellem -en 2 og 0, derefter på et eller andet trin n, resten af ​​divisionen -en ikke -en n+1 vil være lig nul ( -en n+2 = 0).

.

Hver fælles divisor λ tal -en 1 og -en 2 er også en divisor af tal -en 2 og -en 3 , -en 3 og -en 4 , .... -en n og -en n+1. Det omvendte er også sandt, fælles divisorer af tal -en n og -en n+1 er også divisorer af tal -en n−1 og -en n , .... , -en 2 og -en 3 , -en 1 og -en 2. Men den fælles divisor af tal -en n og -en n+1 er et tal -en n+1, fordi -en n og -en n+1 er delelige med -en n+1 (husk det -en n+2=0). Derfor -en n+1 er også en divisor af tal -en 1 og -en 2 .

Bemærk at nummeret -en n+1 er den største divisor af tal -en n og -en n+1, da den største divisor -en n+1 er sig selv -en n+1. Hvis -en n+1 kan repræsenteres som et produkt af heltal, så er disse tal også fælles divisorer af tal -en 1 og -en 2. Nummer -en n+1 kaldes største fælles divisor tal -en 1 og -en 2 .

Tal -en 1 og -en 2 kan være enten positive eller negative tal. Hvis et af tallene er lig med nul, vil den største fælles divisor af disse tal være lig med den absolutte værdi af det andet tal. Den største fælles divisor af nultal er udefineret.

Ovenstående algoritme kaldes Euklidisk algoritme at finde den største fælles divisor af to heltal.

Et eksempel på at finde den største fælles divisor af to tal

Find den største fælles divisor af to tal 630 og 434.

• Trin 1. Divider tallet 630 med 434. Resten er 196.
• Trin 2. Divider tallet 434 med 196. Resten er 42.
• Trin 3. Divider tallet 196 med 42. Resten er 28.
• Trin 4. Divider tallet 42 med 28. Resten er 14.
• Trin 5. Divider tallet 28 med 14. Resten er 0.

I trin 5 er resten af ​​divisionen 0. Derfor er den største fælles divisor af tallene 630 og 434 14. Bemærk, at tallene 2 og 7 også er divisorer af tallene 630 og 434.

Coprime tal

Definition 1. Lad den største fælles divisor af tallene -en 1 og -en 2 er lig med en. Så kaldes disse numre coprimtal uden fælles divisor.

Sætning 1. Hvis -en 1 og -en 2 coprimtal, og λ et eller andet tal, derefter enhver fælles divisor af tal λa 1 og -en 2 er også en fælles divisor af tal λ Og -en 2 .

Bevis. Overvej den euklidiske algoritme til at finde den største fælles divisor af tal -en 1 og -en 2 (se ovenfor).

.

Af sætningens betingelser følger, at den største fælles divisor af tallene -en 1 og -en 2 og derfor -en n og -en n+1 er 1. Det vil sige -en n+1 = 1.

Lad os gange alle disse ligheder med λ , Derefter

.

Lad den fælles divisor -en 1 λ Og -en 2 ja δ . Derefter δ indgår som en multiplikator i -en 1 λ , m 1 -en 2 λ og i -en 1 λ -m 1 -en 2 λ =-en 3 λ (se "Delelighed af tal", Udsagn 2). Yderligere δ indgår som en multiplikator i -en 2 λ Og m 2 -en 3 λ , og er derfor en faktor i -en 2 λ -m 2 -en 3 λ =-en 4 λ .

Når vi ræsonnerer på denne måde, er vi overbeviste om det δ indgår som en multiplikator i -en n−1 λ Og m n−1 -en n λ , og derfor i -en n−1 λ −m n−1 -en n λ =-en n+1 λ . Fordi -en n+1 = 1, så δ indgår som en multiplikator i λ . Derfor nummeret δ er den fælles divisor af tal λ Og -en 2 .

Lad os overveje særlige tilfælde af sætning 1.

Følge 1. Lade -en Og c Primtal er relativt b. Derefter deres produkt ac er et primtal mht b.

Virkelig. Fra sætning 1 ac Og b har samme fælles divisor som c Og b. Men tallene c Og b relativt simpelt, dvs. have en enkelt fælles divisor 1. Så ac Og b har også en enkelt fælles divisor 1. Derfor ac Og b gensidigt enkelt.

Følge 2. Lade -en Og b coprime tal og lad b deler ak. Derefter b deler og k.

Virkelig. Fra godkendelsesbetingelsen ak Og b har en fælles divisor b. I kraft af sætning 1, b skal være en fælles divisor b Og k. Derfor b deler k.

Konsekvens 1 kan generaliseres.

Følge 3. 1. Lad tallene -en 1 , -en 2 , -en 3 , ..., -en m er primtal i forhold til tallet b. Derefter -en 1 -en 2 , -en 1 -en 2 · -en 3 , ..., -en 1 -en 2 -en 3 ··· -en m, produktet af disse tal er primtal i forhold til tallet b.

2. Lad os have to rækker med tal

sådan at hvert tal i den første række er primtal i forholdet mellem hvert tal i den anden række. Derefter produktet

Du skal finde tal, der er delelige med hvert af disse tal.

Hvis et tal er deleligt med -en 1, så har den formen sa 1 hvor s et eller andet nummer. Hvis q er den største fælles divisor af tal -en 1 og -en 2, så

Hvor s 1 er et helt tal. Derefter

er mindste fælles multipla af tal -en 1 og -en 2 .

-en 1 og -en 2 er relativt primtal, derefter det mindste fælles multiplum af tallene -en 1 og -en 2:

Vi skal finde det mindste fælles multiplum af disse tal.

Af ovenstående følger, at ethvert multiplum af tal -en 1 , -en 2 , -en 3 skal være et multiplum af tal ε Og -en 3 og tilbage. Lad det mindste fælles multiplum af tallene ε Og -en 3 ja ε 1 . Dernæst multipla af tal -en 1 , -en 2 , -en 3 , -en 4 skal være et multiplum af tal ε 1 og -en 4 . Lad det mindste fælles multiplum af tallene ε 1 og -en 4 ja ε 2. Således fandt vi ud af, at alle multipla af tal -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m falder sammen med multipla af et bestemt tal ε n, som kaldes det mindste fælles multiplum af de givne tal.

I det særlige tilfælde, når tallene -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m er relativt primtal, så det mindste fælles multiplum af tallene -en 1 , -en 2, som vist ovenfor, har formen (3). Næste, siden -en 3 primtal i forhold til tal -en 1 , -en 2 derefter -en 3 primtal -en 1 · -en 2 (konsekvens 1). Betyder det mindste fælles multiplum af tal -en 1 ,-en 2 ,-en 3 er et tal -en 1 · -en 2 · -en 3. På samme måde kommer vi frem til følgende udsagn.

Udmelding 1. Mindste fælles multiplum af coprimtal -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m er lig med deres produkt -en 1 · -en 2 · -en 3 ··· -en m.

Udmelding 2. Ethvert tal, der er deleligt med hvert af coprimtallene -en 1 , -en 2 , -en 3 ,...,-en m er også deleligt med deres produkt -en 1 · -en 2 · -en 3 ··· -en m.

Online-beregneren giver dig mulighed for hurtigt at finde den største fælles divisor og mindste fælles multiplum for to eller et hvilket som helst andet antal tal.

Lommeregner til at finde GCD og LCM

Find GCD og LOC

Fundet GCD og LOC: 5806

Sådan bruger du lommeregneren

• Indtast tal i indtastningsfeltet
• Hvis du indtaster forkerte tegn, vil indtastningsfeltet blive fremhævet med rødt
• klik på knappen "Find GCD og LOC".

Sådan indtaster du tal

• Tal indtastes adskilt af et mellemrum, punktum eller komma
• Længden af ​​indtastede numre er ikke begrænset, så det er ikke svært at finde GCD og LCM for lange tal

Hvad er GCD og NOC?

Største fælles divisor flere tal er det største naturlige heltal, som alle oprindelige tal er delelige med uden en rest. Den største fælles divisor forkortes som GCD.
Mindste fælles multiplum flere tal er det mindste tal, der er deleligt med hvert af de oprindelige tal uden en rest. Det mindste fælles multiplum forkortes som NOC.

Hvordan kontrollerer man, at et tal er deleligt med et andet tal uden en rest?

For at finde ud af, om et tal er deleligt med et andet uden en rest, kan du bruge nogle egenskaber for tals delelighed. Derefter kan du ved at kombinere dem kontrollere deleligheden af ​​nogle af dem og deres kombinationer.

Nogle tegn på delelighed af tal

1. Delbarhedstest for et tal med 2
For at bestemme, om et tal er deleligt med to (om det er lige), er det nok at se på det sidste ciffer i dette tal: hvis det er lig med 0, 2, 4, 6 eller 8, så er tallet lige, hvilket betyder at det er deleligt med 2.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 2.
Løsning: Vi ser på det sidste ciffer: 8 - det betyder, at tallet er deleligt med to.

2. Delbarhedstest for et tal med 3
Et tal er deleligt med 3, når summen af ​​dets cifre er deleligt med tre. For at afgøre, om et tal er deleligt med 3, skal du altså beregne summen af ​​cifrene og kontrollere, om det er deleligt med 3. Selvom summen af ​​cifrene er meget stort, kan du gentage samme proces igen.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 3.
Løsning: Vi tæller summen af ​​tallene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er deleligt med 3, hvilket betyder at tallet er deleligt med tre.

3. Delbarhedstest for et tal med 5
Et tal er deleligt med 5, når dets sidste ciffer er nul eller fem.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 5.
Løsning: se på det sidste ciffer: 8 betyder, at tallet IKKE er deleligt med fem.

4. Delbarhedstest for et tal med 9
Dette tegn er meget lig tegnet for delelighed med tre: et tal er deleligt med 9, når summen af ​​dets cifre er deleligt med 9.
Eksempel: afgør, om tallet 34938 er deleligt med 9.
Løsning: Vi tæller summen af ​​tallene: 3+4+9+3+8 = 27. 27 er deleligt med 9, hvilket betyder at tallet er deleligt med ni.

Sådan finder du GCD og LCM af to numre

Sådan finder du gcd af to tal

Den nemmeste måde at beregne den største fælles divisor af to tal på er at finde alle mulige divisorer af disse tal og vælge den største.

Lad os overveje denne metode ved at bruge eksemplet med at finde GCD(28, 36):

1. Vi faktoriserer begge tal: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Vi finder fælles faktorer, det vil sige dem, som begge tal har: 1, 2 og 2.
3. Vi beregner produktet af disse faktorer: 1 2 2 = 4 - dette er den største fælles divisor af tallene 28 og 36.

Sådan finder du LCM for to tal

Der er to mest almindelige måder at finde det mindste multiplum af to tal. Den første metode er, at du kan nedskrive de første multipla af to tal, og derefter vælge blandt dem et tal, der vil være fælles for begge tal og samtidig det mindste. Og det andet er at finde gcd for disse tal. Lad os kun overveje det.

For at beregne LCM skal du beregne produktet af de oprindelige tal og derefter dividere det med den tidligere fundne GCD. Lad os finde LCM for de samme tal 28 og 36:

1. Find produktet af tallene 28 og 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), som allerede kendt, er lig med 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finder GCD og LCM for flere numre

Den største fælles divisor kan findes for flere tal, ikke kun to. For at gøre dette opdeles tallene, der skal findes for den største fælles divisor, i primfaktorer, hvorefter produktet af de fælles primfaktorer for disse tal findes. Du kan også bruge følgende relation til at finde gcd'en for flere tal: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Et lignende forhold gælder for det mindste fælles multiplum: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Eksempel: find GCD og LCM for numrene 12, 32 og 36.

1. Lad os først faktorisere tallene: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Lad os finde de fælles faktorer: 1, 2 og 2.
3. Deres produkt vil give GCD: 1·2·2 = 4
4. Lad os nu finde LCM: for at gøre dette, lad os først finde LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. For at finde LCM for alle tre tal skal du finde GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.