I tørt matematisk sprog er en brøk et tal, der er repræsenteret som en del af et. Brøker er meget brugt i menneskers liv: vi bruger brøker til at angive proportioner i kulinariske opskrifter, give decimalscore i konkurrencer eller bruge dem til at beregne rabatter i butikker.
Repræsentation af fraktioner
Der er mindst to former for skrivning af et brøktal: i decimalform eller i form af en almindelig brøk. I decimalform ser tallene ud som 0,5; 0,25 eller 1,375. Vi kan repræsentere enhver af disse værdier som en almindelig brøk:
- 0,5 = 1/2;
- 0,25 = 1/4;
- 1,375 = 11/8.
Og hvis vi let konverterer 0,5 og 0,25 fra en almindelig brøk til en decimal og tilbage, så er alt i tilfælde af tallet 1,375 ikke indlysende. Hvordan konverterer man hurtigt et decimaltal til en brøk? Der er tre enkle måder.
At slippe af med kommaet
Den enkleste algoritme går ud på at gange et tal med 10, indtil kommaet forsvinder fra tælleren. Denne transformation udføres i tre trin:
Trin 1: Til at begynde med skriver vi decimaltallet som en brøk "tal/1", det vil sige, vi får 0,5/1; 0,25/1 og 1,375/1.
Trin 2: Herefter ganges tælleren og nævneren for de nye brøker, indtil kommaet forsvinder fra tællerne:
- 0,5/1 = 5/10;
- 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
- 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.
Trin 3: Vi reducerer de resulterende fraktioner til en fordøjelig form:
- 5/10 = 1 x 5 / 2 x 5 = 1/2;
- 25/100 = 1 x 25 / 4 x 25 = 1/4;
- 1375/1000 = 11 × 125 / 8 × 125 = 11/8.
Tallet 1,375 skulle ganges med 10 tre gange, hvilket ikke længere er særlig praktisk, men hvad skal vi gøre, hvis vi skal omregne tallet 0,000625? I denne situation bruger vi følgende metode til omregning af brøker.
Endnu nemmere at slippe af med kommaer
Den første metode beskriver detaljeret algoritmen til at "fjerne" et komma fra en decimal, men vi kan forenkle denne proces. Igen følger vi tre trin.
Trin 1: Vi tæller, hvor mange cifre der er efter decimaltegnet. For eksempel har tallet 1,375 tre sådanne cifre, og 0,000625 har seks. Vi vil betegne denne mængde med bogstavet n.
Trin 2: Nu mangler vi blot at repræsentere brøken på formen C/10 n, hvor C er brøkens signifikante cifre (uden eventuelt nuller), og n er antallet af cifre efter decimalkommaet. F.eks:
- for tallet 1,375 C = 1375, n = 3, den endelige fraktion ifølge formlen 1375/10 3 = 1375/1000;
- for tallet 0,000625 C = 625, n = 6, den endelige fraktion ifølge formlen 625/10 6 = 625/1000000.
Grundlæggende er 10n en 1 med n nuller, så du behøver ikke at besvære at hæve de ti til potensen - kun 1 med n nuller. Herefter er det tilrådeligt at reducere en fraktion så rig på nuller.
Trin 3: Vi reducerer nullerne og får det endelige resultat:
- 1375/1000 = 11 x 125 / 8 x 125 = 11/8;
- 625/1000000 = 1 × 625/ 1600 × 625 = 1/1600.
Brøken 11/8 er en uægte brøk, fordi dens tæller er større end dens nævner, hvilket betyder, at vi kan isolere hele delen. I denne situation trækker vi hele delen af 8/8 fra 11/8 og får resten 3/8, derfor ser brøken ud som 1 og 3/8.
Konvertering ved gehør
For dem, der kan læse decimaler korrekt, er den nemmeste måde at konvertere dem på ved at høre. Hvis du læser 0,025 ikke som "nul, nul, femogtyve", men som "25 tusindedele", så vil du ikke have noget problem med at konvertere decimaler til brøker.
0,025 = 25/1000 = 1/40
At læse et decimaltal korrekt giver dig således mulighed for straks at skrive det ned som en brøk og reducere det om nødvendigt.
Eksempler på brug af brøker i hverdagen
Ved første øjekast bruges almindelige brøker praktisk talt ikke i hverdagen eller på arbejdet, og det er svært at forestille sig en situation, hvor man uden for skoleopgaver skal omregne en decimalbrøk til en almindelig brøk. Lad os se på et par eksempler.
Job
Så du arbejder i en slikbutik og sælger halva efter vægt. For at gøre produktet nemmere at sælge, deler du halvaen i kilogram briketter, men få købere er villige til at købe et helt kilo. Derfor skal du dele godbidden i stykker hver gang. Og hvis den næste køber beder dig om 0,4 kg halva, sælger du ham den nødvendige portion uden problemer.
0,4 = 4/10 = 2/5
Liv
For eksempel skal du lave en 12% opløsning for at male modellen i den nuance, du ønsker. For at gøre dette skal du blande maling og opløsningsmiddel, men hvordan gør man det korrekt? 12 % er en decimalbrøk på 0,12. Konverter tallet til en almindelig brøk og få:
0,12 = 12/100 = 3/25
At kende fraktionerne vil hjælpe dig med at blande ingredienserne korrekt og få den farve, du ønsker.
Konklusion
Brøker er almindeligt anvendt i hverdagen, så hvis du ofte har brug for at konvertere decimaler til brøker, vil du gerne bruge en online lommeregner, der øjeblikkeligt kan få resultatet som en reduceret brøk.
Vi har allerede sagt, at der er fraktioner almindelig Og decimal. På dette tidspunkt har vi lært lidt om brøker. Vi lærte, at der er regelmæssige og uægte brøker. Vi lærte også, at almindelige brøker kan reduceres, adderes, trækkes fra, ganges og divideres. Og vi lærte også, at der findes såkaldte blandede tal, som består af et heltal og en brøkdel.
Vi har ikke helt udforsket almindelige brøker endnu. Der er mange finesser og detaljer, der bør tales om, men i dag vil vi begynde at studere decimal brøker, da almindelige og decimale brøker ofte skal kombineres. Det vil sige, at når man løser opgaver, skal man bruge begge typer brøker.
Denne lektion kan virke kompliceret og forvirrende. Det er ganske normalt. Den slags lektioner kræver, at de studeres og ikke skummes overfladisk.
Lektionens indholdUdtryk af mængder i brøkform
Nogle gange er det praktisk at vise noget i brøkform. For eksempel er en tiendedel af en decimeter skrevet sådan:
Dette udtryk betyder, at en decimeter blev opdelt i ti dele, og fra disse ti dele blev der taget en del:
Som du kan se på figuren, er en tiendedel af en decimeter en centimeter.
Overvej følgende eksempel. Vis 6 cm og yderligere 3 mm i centimeter i brøkform.
Så du skal udtrykke 6 cm og 3 mm i centimeter, men i brøkform. Vi har allerede 6 hele centimeter:
men der er stadig 3 millimeter tilbage. Hvordan viser man disse 3 millimeter og i centimeter? Fraktioner kommer til undsætning. 3 millimeter er den tredje del af en centimeter. Og den tredje del af en centimeter skrives som cm
En brøk betyder, at en centimeter blev delt i ti lige store dele, og fra disse ti dele blev der taget tre dele (tre ud af ti).
Som et resultat har vi seks hele centimeter og tre tiendedele af en centimeter:
I dette tilfælde viser 6 antallet af hele centimeter, og brøken viser antallet af brøkcentimeter. Denne fraktion læses som "seks komma tre centimeter".
Brøker, hvis nævner indeholder tallene 10, 100, 1000, kan skrives uden nævner. Skriv først hele delen, og derefter tælleren for brøkdelen. Heltalsdelen er adskilt fra tælleren for brøkdelen med et komma.
Lad os for eksempel skrive det uden en nævner. For at gøre dette, lad os først skrive hele delen ned. Heltalsdelen er tallet 6. Først skriver vi dette tal ned:
Hele delen er optaget. Umiddelbart efter at have skrevet hele delen sætter vi et komma:
Og nu skriver vi ned tælleren for brøkdelen. I et blandet tal er tælleren for brøkdelen tallet 3. Vi skriver en treer efter decimaltegnet:
Ethvert tal, der er repræsenteret i denne form, kaldes decimal.
Derfor kan du vise 6 cm og yderligere 3 mm i centimeter ved hjælp af en decimalbrøk:
6,3 cm
Det vil se sådan ud:
Faktisk er decimaler det samme som almindelige brøker og blandede tal. Det særlige ved sådanne brøker er, at nævneren af deres brøkdel indeholder tallene 10, 100, 1000 eller 10000.
Ligesom et blandet tal har en decimalbrøk en heltalsdel og en brøkdel. For eksempel i et blandet tal er heltalsdelen 6, og brøkdelen er .
I decimalbrøken 6.3 er heltalsdelen tallet 6, og brøkdelen er brøkens tæller, det vil sige tallet 3.
Det sker også, at almindelige brøker, i hvis nævner tallene 10, 100, 1000 er givet uden en heltalsdel. For eksempel er en brøk givet uden en hel del. For at skrive en sådan brøk som en decimal skal du først skrive 0, derefter sætte et komma og skrive brøkens tæller. En brøk uden nævner skrives som følger:
Læser som "nul komma fem".
Konvertering af blandede tal til decimaler
Når vi skriver blandede tal uden nævner, konverterer vi dem derved til decimalbrøker. Når du konverterer brøker til decimaler, er der et par ting, du skal vide, som vi vil tale om nu.
Efter at hele delen er skrevet ned, er det nødvendigt at tælle antallet af nuller i nævneren af brøkdelen, da antallet af nuller i brøkdelen og antallet af cifre efter decimalpunktet i decimaldelen skal være samme. Hvad betyder det? Overvej følgende eksempel:
Først
Og du kan straks skrive tælleren ned for brøkdelen, og decimalbrøken er klar, men du skal helt sikkert tælle antallet af nuller i nævneren af brøkdelen.
Så vi tæller antallet af nuller i brøkdelen af et blandet tal. Nævneren af brøkdelen har et nul. Det betyder, at der i en decimalbrøk vil være et ciffer efter decimaltegnet, og dette ciffer vil være tælleren for brøkdelen af det blandede tal, det vil sige tallet 2
Når det konverteres til en decimalbrøk, bliver et blandet tal 3,2.
Denne decimalbrøk lyder således:
"Tre point to"
"Tiendedele", fordi tallet 10 er i brøkdelen af et blandet tal.
Eksempel 2. Konverter et blandet tal til en decimal.
Skriv hele delen ned og sæt et komma:
Og man kunne med det samme skrive brøkdelens tæller ned og få decimalbrøken 5,3, men reglen siger, at der efter decimalkommaet skal være lige så mange cifre, som der er nuller i nævneren af brøkdelen af det blandede tal. Og vi ser, at nævneren af brøkdelen har to nuller. Det betyder, at vores decimalbrøk skal have to cifre efter decimalkommaet, ikke ét.
I sådanne tilfælde skal tælleren for brøkdelen ændres lidt: tilføj et nul før tælleren, det vil sige før tallet 3
Nu kan du konvertere dette blandede tal til en decimalbrøk. Skriv hele delen ned og sæt et komma:
Og skriv ned tælleren for brøkdelen:
Decimalbrøken 5,03 læses som følger:
"Fem point tre"
"Hundrede", fordi nævneren af brøkdelen af et blandet tal indeholder tallet 100.
Eksempel 3. Konverter et blandet tal til en decimal.
Fra tidligere eksempler lærte vi, at for at kunne konvertere et blandet tal til en decimal, skal antallet af cifre i brøkens tæller og antallet af nuller i nævneren af brøken være det samme.
Før du konverterer et blandet tal til en decimalbrøk, skal dets brøkdel modificeres en smule, nemlig for at sikre, at antallet af cifre i tælleren for brøkdelen og antallet af nuller i nævneren af brøkdelen er samme.
Først og fremmest ser vi på antallet af nuller i nævneren af brøkdelen. Vi ser, at der er tre nuller:
Vores opgave er at organisere tre cifre i tælleren for brøkdelen. Vi har allerede et ciffer - dette er tallet 2. Det er tilbage at tilføje yderligere to cifre. De vil være to nuller. Tilføj dem før tallet 2. Som et resultat vil antallet af nuller i nævneren og antallet af cifre i tælleren være det samme:
Nu kan du begynde at konvertere dette blandede tal til en decimalbrøk. Først skriver vi hele delen ned og sætter et komma:
og skriv straks tælleren for brøkdelen ned
3,002
Vi ser, at antallet af cifre efter decimaltegnet og antallet af nuller i nævneren af brøkdelen af det blandede tal er det samme.
Decimalbrøken 3,002 læses som følger:
"Tre komma to tusindedele"
"Tusindedele", fordi nævneren af brøkdelen af det blandede tal indeholder tallet 1000.
Konvertering af brøker til decimaler
Fællesbrøker med nævnere på 10, 100, 1000 eller 10000 kan også konverteres til decimaler. Da en almindelig brøk ikke har en heltalsdel, skal du først skrive 0 ned, derefter sætte et komma og nedskrive tælleren for brøkdelen.
Også her skal antallet af nuller i nævneren og antallet af cifre i tælleren være det samme. Derfor bør du være forsigtig.
Eksempel 1.
Hele delen mangler, så først skriver vi 0 og sætter et komma:
Nu ser vi på antallet af nuller i nævneren. Vi ser, at der er et nul. Og tælleren har et ciffer. Det betyder, at du trygt kan fortsætte decimalbrøken ved at skrive tallet 5 efter decimalkommaet
I den resulterende decimalbrøk 0,5 er antallet af cifre efter decimaltegnet og antallet af nuller i brøkens nævner det samme. Det betyder, at brøken er oversat korrekt.
Decimalbrøken 0,5 læses som følger:
"Nul komma fem"
Eksempel 2. Konverter en brøk til en decimal.
Der mangler en hel del. Først skriver vi 0 og sætter et komma:
Nu ser vi på antallet af nuller i nævneren. Vi ser, at der er to nuller. Og tælleren har kun ét ciffer. For at gøre antallet af cifre og antallet af nuller ens, skal du tilføje et nul i tælleren før tallet 2. Så vil brøken tage formen . Nu er antallet af nuller i nævneren og antallet af cifre i tælleren det samme. Så du kan fortsætte decimalbrøken:
I den resulterende decimalbrøk 0,02 er antallet af cifre efter decimaltegnet og antallet af nuller i brøkens nævner det samme. Det betyder, at brøken er oversat korrekt.
Decimalbrøken 0,02 læses som følger:
"Nul point to."
Eksempel 3. Konverter en brøk til en decimal.
Skriv 0 og sæt et komma:
Nu tæller vi antallet af nuller i brøkens nævner. Vi ser, at der er fem nuller, og der er kun et ciffer i tælleren. For at gøre antallet af nuller i nævneren og antallet af cifre i tælleren ens, skal du tilføje fire nuller i tælleren før tallet 5:
Nu er antallet af nuller i nævneren og antallet af cifre i tælleren det samme. Så vi kan fortsætte med decimalbrøken. Skriv brøkens tæller efter decimalkommaet
I den resulterende decimalbrøk 0,00005 er antallet af cifre efter decimaltegnet og antallet af nuller i brøkens nævner det samme. Det betyder, at brøken er oversat korrekt.
Decimalbrøken 0,00005 læses som følger:
"Nul komma fem hundrede tusindedele."
Konvertering af uægte brøker til decimaler
En uægte brøk er en brøk, hvor tælleren er større end nævneren. Der er uægte brøker, hvori nævneren indeholder tallene 10, 100, 1000 eller 10000. Sådanne brøker kan konverteres til decimaler. Men før konvertering til en decimalbrøk, skal sådanne brøker adskilles i hele delen.
Eksempel 1.
Brøken er en uægte brøk. For at konvertere en sådan brøk til en decimalbrøk skal du først markere hele delen af den. Lad os huske, hvordan man isolerer hele delen af ukorrekte fraktioner. Hvis du har glemt det, råder vi dig til at vende tilbage til og studere det.
Så lad os fremhæve hele delen i den ukorrekte fraktion. Husk på, at en brøk betyder division - i dette tilfælde divider tallet 112 med tallet 10
Lad os se på dette billede og samle et nyt blandet nummer, som et børnebyggesæt. Tallet 11 vil være heltalsdelen, tallet 2 vil være tælleren for brøkdelen, og tallet 10 vil være nævneren for brøkdelen.
Vi fik et blandet nummer. Lad os konvertere det til en decimalbrøk. Og vi ved allerede, hvordan man konverterer sådanne tal til decimalbrøker. Skriv først hele delen ned og sæt et komma:
Nu tæller vi antallet af nuller i nævneren af brøkdelen. Vi ser, at der er et nul. Og tælleren for brøkdelen har et ciffer. Det betyder, at antallet af nuller i brøkdelens nævner og antallet af cifre i brøkdelens tæller er det samme. Dette giver os mulighed for straks at nedskrive tælleren for brøkdelen efter decimaltegnet:
I den resulterende decimalbrøk 11.2 er antallet af cifre efter decimaltegnet og antallet af nuller i brøkens nævner det samme. Det betyder, at brøken er oversat korrekt.
Det betyder, at en uægte brøk bliver 11,2, når den konverteres til en decimal.
Decimalbrøken 11.2 læses som følger:
"Elleve point to."
Eksempel 2. Konverter uægte brøk til decimal.
Det er en uægte brøk, fordi tælleren er større end nævneren. Men det kan konverteres til en decimalbrøk, da nævneren indeholder tallet 100.
Lad os først og fremmest vælge hele delen af denne fraktion. For at gøre dette skal du dividere 450 med 100 med et hjørne:
Lad os samle et nyt blandet nummer - vi får . Og vi ved allerede, hvordan man konverterer blandede tal til decimalbrøker.
Skriv hele delen ned og sæt et komma:
Nu tæller vi antallet af nuller i brøkdelens nævner og antallet af cifre i brøkdelens tæller. Vi ser, at antallet af nuller i nævneren og antallet af cifre i tælleren er det samme. Dette giver os mulighed for straks at nedskrive tælleren for brøkdelen efter decimaltegnet:
I den resulterende decimalbrøk 4,50 er antallet af cifre efter decimaltegnet og antallet af nuller i brøkens nævner det samme. Det betyder, at brøken er oversat korrekt.
Det betyder, at en uægte brøk bliver 4,50, når den konverteres til en decimal.
Ved løsning af problemer kan de kasseres, hvis der er nuller i slutningen af decimalbrøken. Lad os også slippe nullet i vores svar. Så får vi 4,5
Dette er en af de interessante ting ved decimaler. Det ligger i, at de nuller, der optræder i slutningen af en brøk, ikke giver denne brøk nogen vægt. Med andre ord er decimalerne 4,50 og 4,5 ens. Lad os sætte et lighedstegn mellem dem:
4,50 = 4,5
Spørgsmålet opstår: hvorfor sker det? 4,50 og 4,5 ligner jo forskellige brøker. Hele hemmeligheden ligger i brøkernes grundlæggende egenskab, som vi studerede tidligere. Vi vil forsøge at bevise, hvorfor decimalbrøkerne 4,50 og 4,5 er ens, men efter at have studeret det næste emne, som kaldes "konvertering af en decimalbrøk til et blandet tal."
Konvertering af en decimal til et blandet tal
Enhver decimalbrøk kan konverteres tilbage til et blandet tal. For at gøre dette er det nok at kunne læse decimalbrøker. Lad os for eksempel konvertere 6,3 til et blandet tal. 6,3 er seks komma tre. Først skriver vi seks heltal ned:
og ved siden af tre tiendedele:
Eksempel 2. Konverter decimal 3.002 til blandet tal
3.002 er hele tre og to tusindedele. Først skriver vi tre heltal ned
og ved siden af skriver vi to tusindedele:
Eksempel 3. Konverter decimal 4,50 til blandet tal
4.50 er fire komma halvtreds. Skriv fire heltal ned
og næste halvtreds hundrededele:
Lad os i øvrigt huske det sidste eksempel fra det forrige emne. Vi sagde, at decimalerne 4,50 og 4,5 er lige store. Vi sagde også, at nullet kan kasseres. Lad os prøve at bevise, at decimalerne 4,50 og 4,5 er lige store. For at gøre dette konverterer vi begge decimalbrøker til blandede tal.
Når det konverteres til et blandet tal, bliver decimaltallet 4,50 til , og decimaltallet 4,5 bliver til
Vi har to blandede numre og . Lad os konvertere disse blandede tal til uægte brøker:
Nu har vi to brøker og . Det er tid til at huske den grundlæggende egenskab ved en brøk, som siger, at når du multiplicerer (eller dividerer) tælleren og nævneren af en brøk med det samme tal, ændres brøkens værdi ikke.
Lad os dividere den første brøk med 10
Vi fik , og dette er den anden fraktion. Det betyder, at begge er lig med hinanden og lig med samme værdi:
Prøv at bruge en lommeregner til først at dividere 450 med 100 og derefter 45 med 10. Det vil være en sjov ting.
Konvertering af en decimalbrøk til en brøk
Enhver decimalbrøk kan konverteres tilbage til en brøk. For at gøre dette er det igen nok at kunne læse decimalbrøker. Lad os for eksempel konvertere 0,3 til en fælles brøk. 0,3 er nul komma tre. Først skriver vi nul heltal:
og ved siden af tre tiendedele 0. Nul skrives traditionelt ikke ned, så det endelige svar bliver ikke 0, men blot .
Eksempel 2. Konverter decimalbrøken 0,02 til en brøk.
0,02 er nul komma to. Vi skriver ikke nul, så vi skriver straks to hundrededele ned
Eksempel 3. Konverter 0,00005 til brøk
0,00005 er nul komma fem. Vi skriver ikke nul, så vi skriver straks fem hundrede tusindedele ned
Kunne du lide lektionen?
Tilmeld dig vores nye VKontakte-gruppe og begynd at modtage meddelelser om nye lektioner
Konvertering af en brøk til en decimal
Lad os sige, at vi vil konvertere brøken 11/4 til en decimal. Den nemmeste måde at gøre det på er denne:
|
2∙2∙5∙5 |
Det lykkedes, fordi dekomponeringen af nævneren i primfaktorer i dette tilfælde kun består af toere. Vi supplerede denne udvidelse med yderligere to femmere, udnyttede, at 10 = 2∙5, og fik en decimalbrøk. En sådan procedure er åbenbart mulig, hvis og kun hvis dekomponeringen af nævneren i primfaktorer ikke indeholder andet end toere og femmere. Hvis et andet primtal er til stede i udvidelsen af nævneren, kan en sådan brøk ikke konverteres til en decimal. Ikke desto mindre vil vi forsøge at gøre dette, men kun på en anden måde, som vi vil stifte bekendtskab med ved at bruge eksemplet med den samme brøk 11/4. Lad os dividere 11 med 4 ved at bruge "hjørnet":
I svarlinjen modtog vi hele delen (2), og vi har også resten (3). Tidligere afsluttede vi opdelingen her, men nu ved vi, at vi kan tilføje et komma og flere nuller til højre for udbyttet (11), hvilket vi nu mentalt vil gøre. Efter decimaltegnet kommer tiendedelene. Det nul, der vises ved udbyttet i dette ciffer, vil blive tilføjet til den resulterende rest (3):
Nu kan opdelingen fortsætte, som om intet var hændt. Du skal blot huske at sætte et komma efter hele delen i svarlinjen:
Nu tilføjer vi et nul til resten (2), som er på hundrededele af udbyttet, og fuldfører divisionen:
Som et resultat får vi, som før,
Lad os nu prøve at beregne på nøjagtig samme måde, hvad brøken 27/11 er lig med:
Vi fik tallet 2,45 i svarlinjen og tallet 5 i den resterende linje. Men vi har allerede stødt på sådan en rest før. Derfor kan vi med det samme sige, at hvis vi fortsætter vores division med et “hjørne”, så vil det næste tal i svarlinjen være 4, så kommer tallet 5, så igen 4 og igen 5, og så videre, ad infinitum :
27 / 11 = 2,454545454545...
Vi fik den såkaldte periodisk en decimalbrøk med en periode på 45. For sådanne brøker bruges en mere kompakt notation, hvor punktum kun skrives én gang, men det er sat i parentes:
2,454545454545... = 2,(45).
Generelt set, hvis vi dividerer et naturligt tal med et andet med et "hjørne" og skriver svaret i form af en decimalbrøk, så er kun to udfald mulige: (1) enten før eller senere vil vi få nul i den resterende linje , (2) eller der vil være en sådan rest der, som vi allerede har stødt på før (sættet af mulige rester er begrænset, da de alle åbenlyst er mindre end divisoren). I det første tilfælde er resultatet af division en endelig decimalbrøk, i det andet tilfælde - en periodisk.
Konverter periodisk decimal til brøk
Lad os få en positiv periodisk decimalbrøk med et heltal på nul, for eksempel:
-en = 0,2(45).
Hvordan kan jeg konvertere denne brøk tilbage til en almindelig brøk?
Lad os gange det med 10 k, Hvor k er antallet af cifre mellem decimaltegnet og den indledende parentes, der angiver begyndelsen af perioden. I dette tilfælde k= 1 og 10 k = 10:
-en∙ 10 k = 2,(45).
Gang resultatet med 10 n, Hvor n- "længden" af perioden, det vil sige antallet af cifre i parentes. I dette tilfælde n= 2 og 10 n = 100:
-en∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).
Lad os nu beregne forskellen
-en∙ 10 k ∙ 10 n − -en∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).
Da brøkdelene af minuenden og subtrahenden er ens, så er brøkdelen af forskellen lig nul, og vi kommer frem til en simpel ligning for -en:
-en∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.
Denne ligning løses ved hjælp af følgende transformationer:
-en∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.
-en∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.
|
245 − 2 |
||
|
10 ∙ 99 |
Vi er bevidst ikke færdige med beregningerne endnu, så det er tydeligt synligt, hvordan dette resultat umiddelbart kan nedskrives, uden mellemliggende argumenter. Minuenden i tælleren (245) er brøkdelen af tallet
-en = 0,2(45)
hvis du sletter parenteserne i hendes indtastning. Subtrahenden i tælleren (2) er den ikke-periodiske del af tallet EN, placeret mellem kommaet og den indledende parentes. Den første faktor i nævneren (10) er en enhed, hvortil der er tildelt lige så mange nuller, som der er cifre i den ikke-periodiske del ( k). Den anden faktor i nævneren (99) er lige så mange ni, som der er cifre i perioden ( n).
Nu kan vores beregninger afsluttes:
Her indeholder tælleren perioden, og nævneren indeholder lige så mange niere, som der er cifre i perioden. Efter reduktion med 9 er den resulterende fraktion lig med
På samme måde,
Det ser ud til, at konvertering af en decimalbrøk til en almindelig brøk er et elementært emne, men mange elever forstår det ikke! Derfor vil vi i dag tage et detaljeret kig på flere algoritmer på én gang, ved hjælp af hvilke du vil forstå eventuelle brøker på blot et sekund.
Lad mig minde dig om, at der er mindst to former for at skrive den samme brøk: almindelig og decimal. Decimalbrøker er alle slags konstruktioner af formen 0,75; 1,33; og endda -7,41. Her er eksempler på almindelige brøker, der udtrykker de samme tal:
Lad os nu finde ud af det: hvordan går man fra decimalnotation til almindelig notation? Og vigtigst af alt: hvordan gør man dette så hurtigt som muligt?
Grundlæggende algoritme
Faktisk er der mindst to algoritmer. Og vi vil se på begge dele nu. Lad os starte med den første - den enkleste og mest forståelige.
For at konvertere en decimal til en brøk, skal du følge tre trin:
En vigtig bemærkning om negative tal. Hvis der i det originale eksempel er et minustegn foran decimalbrøken, så skal der i outputtet også være et minustegn foran fællesbrøken. Her er nogle flere eksempler:
Eksempler på overgang fra decimalnotation af brøker til almindelige Jeg vil gerne være særlig opmærksom på det sidste eksempel. Som du kan se, indeholder brøken 0,0025 mange nuller efter decimaltegnet. På grund af dette skal du gange tælleren og nævneren med 10 så mange som fire gange. Er det muligt på en eller anden måde at forenkle algoritmen i dette tilfælde?
Selvfølgelig kan du. Og nu vil vi se på en alternativ algoritme - den er lidt sværere at forstå, men efter lidt øvelse virker den meget hurtigere end standarden.
Hurtigere måde
Denne algoritme har også 3 trin. For at få en brøk fra en decimal skal du gøre følgende:
- Tæl hvor mange cifre der er efter decimalkommaet. For eksempel har brøken 1,75 to sådanne cifre, og 0,0025 har fire. Lad os betegne denne mængde med bogstavet $n$.
- Omskriv det oprindelige tal som en brøkdel af formen $\frac(a)(((10)^(n)))$, hvor $a$ er alle cifrene i den oprindelige brøk (uden de "startende" nuller på venstre, hvis nogen), og $n$ er det samme antal cifre efter decimalkommaet, som vi beregnede i det første trin. Med andre ord skal du dividere cifrene i den oprindelige brøk med et efterfulgt af $n$ nuller.
- Hvis det er muligt, reducere den resulterende fraktion.
Det er alt! Ved første øjekast er denne ordning mere kompliceret end den forrige. Men faktisk er det både enklere og hurtigere. Bedøm selv:
Som du kan se, er der i brøken 0,64 to cifre efter decimaltegnet - 6 og 4. Derfor er $n=2$. Hvis vi fjerner kommaet og nullerne til venstre (i dette tilfælde kun et nul), får vi tallet 64. Lad os gå videre til det andet trin: $((10)^(n))=((10)^ (2))=100$, Derfor er nævneren nøjagtigt hundrede. Nå, så er der kun tilbage at reducere tælleren og nævneren. :)
Endnu et eksempel:
Her er alt lidt mere kompliceret. For det første er der allerede 3 tal efter decimalkommaet, dvs. $n=3$, så du skal dividere med $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. For det andet, hvis vi fjerner kommaet fra decimalnotationen, får vi dette: 0,004 → 0004. Husk at nullerne til venstre skal fjernes, så faktisk har vi tallet 4. Så er alt simpelt: divider, reducer og få svaret.
Til sidst det sidste eksempel:
Det særlige ved denne fraktion er tilstedeværelsen af en hel del. Derfor er det output, vi får, en ukorrekt brøkdel af 47/25. Du kan selvfølgelig prøve at dividere 47 med 25 med en rest og dermed igen isolere hele delen. Men hvorfor komplicere dit liv, hvis dette kan gøres på transformationsstadiet? Nå, lad os finde ud af det.
Hvad skal man gøre med hele delen
Faktisk er alt meget simpelt: Hvis vi vil have en ordentlig brøk, skal vi fjerne hele delen fra den under transformationen, og derefter, når vi får resultatet, tilføje den igen til højre før brøklinjen .
Overvej for eksempel det samme tal: 1,88. Lad os score med én (hele delen) og se på brøken 0,88. Det kan nemt konverteres:
Så husker vi om den "tabte" enhed og tilføjer den til forsiden:
\[\frac(22)(25)\til 1\frac(22)(25)\]
Det er alt! Svaret viste sig at være det samme som efter at have valgt hele delen sidste gang. Et par eksempler mere:
\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\til 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\til 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]
Dette er skønheden ved matematik: uanset hvilken vej du går, hvis alle beregningerne er udført korrekt, vil svaret altid være det samme. :)
Afslutningsvis vil jeg gerne overveje en teknik mere, der hjælper mange.
Transformationer "efter øret"
Lad os tænke over, hvad en decimal endda er. Mere præcist, hvordan vi læser det. For eksempel tallet 0,64 - vi læser det som "nulpunkt 64 hundrededele", ikke? Nå, eller bare "64 hundrededele". Nøgleordet her er "hundrededele", dvs. nummer 100.
Hvad med 0,004? Dette er "nul komma 4 tusindedele" eller blot "fire tusindedele". På den ene eller anden måde er nøgleordet "tusinder", dvs. 1000.
Så hvad er den store sag? Og faktum er, at det er disse tal, der i sidste ende "dukker op" i nævnerne i anden fase af algoritmen. De der. 0,004 er "fire tusindedele" eller "4 divideret med 1000":
Prøv at øve dig selv – det er meget enkelt. Det vigtigste er at læse den oprindelige brøk korrekt. For eksempel er 2,5 "2 hele, 5 tiendedele", så
Og nogle 1.125 er "1 hel, 125 tusindedele", altså
I det sidste eksempel vil nogen selvfølgelig indvende, at det ikke er indlysende for enhver elev, at 1000 er deleligt med 125. Men her skal du huske, at 1000 = 10 3, og 10 = 2 ∙ 5, derfor
\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]
Således dekomponeres enhver potens af ti kun i faktorer 2 og 5 - det er disse faktorer, der skal kigges efter i tælleren, så alt i sidste ende reduceres.
Dette afslutter lektionen. Lad os gå videre til en mere kompleks omvendt operation - se "
En brøk er et tal, der består af en eller flere enheder. Der er tre typer brøker i matematik: almindelig, blandet og decimal.
Almindelige brøker
En almindelig brøk skrives som et forhold, hvor tælleren afspejler, hvor mange dele der er taget fra tallet, og nævneren viser, hvor mange dele enheden er opdelt i. Hvis tælleren er mindre end nævneren, har vi en egen brøk, for eksempel: ½, 3/5, 8/9.
Hvis tælleren er lig med eller større end nævneren, så har vi at gøre med en uægte brøk. For eksempel: 5/5, 9/4, 5/2 At dividere tælleren kan resultere i et endeligt tal. For eksempel, 40/8 = 5. Derfor kan ethvert helt tal skrives som en almindelig uægte brøk eller en række af sådanne brøker. Lad os overveje indtastningerne af det samme nummer i form af et antal forskellige.
- Blandede fraktioner
Generelt kan en blandet fraktion repræsenteres ved formlen: 
Således skrives en blandet brøk som et heltal og en almindelig egenbrøk, og en sådan notation forstås som summen af helheden og dens brøkdel.
- Decimaler
En decimal er en særlig type brøk, hvor nævneren kan repræsenteres som en potens af 10. Der er uendelige og endelige decimaler. Når du skriver denne type brøk, angives først hele delen, derefter registreres brøkdelen gennem en separator (punktum eller komma).
Notationen af en brøkdel er altid bestemt af dens dimension. Decimalnotationen ser sådan ud: 
Regler for omregning mellem forskellige typer brøker
- Konvertering af en blandet brøk til en almindelig brøk
En blandet fraktion kan kun omdannes til en ukorrekt fraktion. For at oversætte er det nødvendigt at bringe hele delen til samme nævner som brøkdelen. Generelt vil det se sådan ud: 
Lad os se på brugen af denne regel ved hjælp af specifikke eksempler:
- Konvertering af en almindelig brøk til en blandet brøk
En uægte fraktion kan omdannes til en blandet fraktion ved simpel division, hvilket resulterer i hele delen og resten (brøkdelen).
Lad os for eksempel konvertere brøken 439/31 til blandet: 
- Omregning af brøker
I nogle tilfælde er det ret simpelt at konvertere en brøk til en decimal. I dette tilfælde anvendes den grundlæggende egenskab for en brøk: tælleren og nævneren ganges med det samme tal for at bringe divisoren til en potens af 10.
For eksempel:
I nogle tilfælde skal du muligvis finde kvotienten ved at dividere med hjørner eller bruge en lommeregner. Og nogle brøker kan ikke reduceres til en sidste decimal. For eksempel vil brøkdelen 1/3, når den deles, aldrig give det endelige resultat.