Hvad er ethvert tal hævet til nul? Strøm med negativ base

GRAD MED RATIONEL INDIKATOR,

POWER FUNKTION IV

§ 71. Potenser med nul og negative eksponenter

I § ​​69 beviste vi (se Sætning 2), at for t > s

(-en =/= 0)

Det er helt naturligt at ønske at udvide denne formel til tilfældet hvornår T < P . Men så nummeret t - s vil enten være negativ eller lig med nul. A. Vi har hidtil kun talt om grader med naturlige eksponenter. Således står vi over for behovet for at indføre potenser af reelle tal med nul og negative eksponenter i betragtning.

Definition 1. Ethvert nummer EN , Ikke lig med nul, til nul er potens lig med en, altså hvornår EN =/= 0

EN 0 = 1. (1)

For eksempel, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Tallet 0 har ikke en nulgrad, dvs. udtrykket 0 0 er ikke defineret.

Definition 2. Hvis EN=/= 0 og P - naturligt tal, At

EN - n = 1 /-en n (2)

det er potens af ethvert tal, der ikke er lig med nul med et heltal negativ indikator er lig med en brøk, hvis tæller er én, og nævneren er en potens af samme tal a, men med en eksponent modsat den givne potens.

For eksempel,

Efter at have accepteret disse definitioner, kan det bevises, at når -en =/= 0, formel

sandt for alle naturlige tal T Og n , og ikke kun for t > s . For at bevise det er det nok at begrænse os til at overveje to tilfælde: t = n Og T< .п , siden sagen m > n allerede omtalt i § 69.

Lade t = n ; Derefter . Midler, venstre side lighed (3) er lig med 1. Højre side kl t = n bliver til

EN m - n = EN n - n = EN 0 .

Men per definition EN 0 = 1. Højre side af lighed (3) er således også lig med 1. Derfor, når t = n formel (3) er korrekt.

Antag nu det T< п . Divider brøkens tæller og nævner med EN m , vi får:

Fordi n > t , At . Derfor . Ved at bruge definitionen af ​​magt med en negativ eksponent kan vi skrive .

Så når , hvilket var det, der skulle bevises. Formel (3) er nu blevet bevist for alle naturlige tal T Og P .

Kommentar. Negative eksponenter giver dig mulighed for at skrive brøker uden nævnere. For eksempel,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1; overhovedet, -en / b = a b - 1

Du skal dog ikke tro, at med denne notation bliver brøker til hele tal. For eksempel 3 - 1 er den samme brøk som 1/3, 2 5 - 1 er den samme brøk som 2/5 osv.

Øvelser

529. Beregn:

530. Skriv en brøk uden nævnere:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Skriv disse decimalbrøker i form af hele udtryk ved hjælp af negative eksponenter:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Første niveau

Grad og dens egenskaber. Omfattende guide (2019)

Hvorfor er der behov for grader? Hvor skal du bruge dem? Hvorfor skal du tage dig tid til at studere dem?

At lære alt om grader, hvad de er til, hvordan du bruger din viden til Hverdagen læs denne artikel.

Og selvfølgelig vil viden om grader bringe dig tættere på succes passerer OGE eller Unified State-eksamenen og optagelse på dit drømmeuniversitet.

Lad os gå... (Lad os gå!)

Vigtig note! Hvis du ser gobbledygook i stedet for formler, skal du rydde din cache. For at gøre dette skal du trykke på CTRL+F5 (på Windows) eller Cmd+R (på Mac).

FØRSTE NIVEAU

At hæve til en magt er det samme matematisk operation som addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu vil jeg forklare alt menneskeligt sprog meget simple eksempler. Vær forsigtig. Eksemplerne er elementære, men forklarer vigtige ting.

Lad os starte med tilføjelse.

Der er ikke noget at forklare her. Du ved allerede alt: vi er otte. Alle har to flasker cola. Hvor meget cola er der? Det er rigtigt - 16 flasker.

Nu multiplikation.

Det samme eksempel med cola kan skrives anderledes: . Matematikere er snedige og dovne mennesker. De bemærker først nogle mønstre og finder derefter ud af en måde at "tælle" dem hurtigere på. I vores tilfælde bemærkede de, at hver af de otte personer havde det samme antal colaflasker og fandt på en teknik kaldet multiplikation. Enig, det anses for nemmere og hurtigere end.


Så for at tælle hurtigere, nemmere og uden fejl, skal du bare huske multiplikationstabel. Selvfølgelig kan du gøre alt langsommere, sværere og med fejl! Men…

Her er multiplikationstabellen. Gentage.

Og en anden, smukkere en:

Hvilke andre smarte tælletricks har dovne matematikere fundet på? Højre - hæve et tal til en magt.

At hæve et tal til en magt

Hvis du skal gange et tal med sig selv fem gange, så siger matematikere, at du skal hæve det tal til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker, at to til femte potens er... Og de løser sådanne problemer i deres hoveder - hurtigere, nemmere og uden fejl.

Alt du skal gøre er husk, hvad der er fremhævet med farve i tabellen over talmagter. Tro mig, dette vil gøre dit liv meget lettere.

Forresten, hvorfor kaldes det anden grad? firkant tal, og den tredje - terning? Hvad betyder det? Meget godt spørgsmål. Nu vil du have både firkanter og terninger.

Eksempel #1 fra det virkelige liv

Lad os starte med kvadratet eller anden potens af tallet.

Forestil dig et kvadratisk bassin, der måler en meter gange en meter. Poolen er på din dacha. Det er varmt, og jeg vil rigtig gerne svømme. Men... poolen har ingen bund! Du skal dække bunden af ​​poolen med fliser. Hvor mange fliser har du brug for? For at bestemme dette skal du kende poolens bundområde.

Du kan blot ved at pege fingeren beregne, at bunden af ​​bassinet består af meter for meter terninger. Hvis du har fliser en meter gange en meter, skal du bruge brikker. Det er nemt... Men hvor har du set sådanne fliser? Flisen vil højst sandsynligt være cm for cm Og så vil du blive tortureret ved at "tælle med din finger." Så skal du formere dig. Så på den ene side af bunden af ​​poolen vil vi montere fliser (stykker) og på den anden side også fliser. Gang med og du får fliser ().

Har du bemærket, at for at bestemme arealet af poolbunden multiplicerede vi det samme tal med sig selv? Hvad betyder det? Da vi multiplicerer det samme tal, kan vi bruge "eksponentierings"-teknikken. (Selvfølgelig, når du kun har to tal, skal du stadig gange dem eller hæve dem til en potens. Men hvis du har mange af dem, så er det meget nemmere at hæve dem til en potens, og der er også færre fejl i beregningerne For Unified State-eksamenen er dette meget vigtigt).
Så tredive til anden potens vil være (). Eller vi kan sige, at tredive kvadrat vil være. Med andre ord kan anden potens af et tal altid repræsenteres som et kvadrat. Og omvendt, hvis du ser et kvadrat, er det ALTID anden potens af et tal. Et kvadrat er et billede af anden potens af et tal.

Eksempel #2 fra det virkelige liv

Her er en opgave til dig: tæl hvor mange felter der er på skakbrættet ved at bruge kvadratet af tallet... På den ene side af cellerne og også på den anden side. For at beregne deres antal skal du gange otte med otte eller... hvis du bemærker, at et skakbræt er en firkant med en side, så kan du kvadre otte. Du får celler. () Så?

Eksempel #3 fra det virkelige liv

Nu terningen eller tredje potens af et tal. Den samme pool. Men nu skal du finde ud af, hvor meget vand der skal hældes i denne pool. Du skal beregne volumen. (Mængder og væsker er i øvrigt målt i kubikmeter. Uventet, ikke?) Tegn et bassin: en bund, der måler en meter og en dybde på en meter, og prøv at tælle, hvor mange kuber, der måler en meter gange en meter, der passer ind i dit bassin.

Bare peg fingeren og tæl! En, to, tre, fire...toogtyve, treogtyve...Hvor mange fik du? Ikke tabt? Er det svært at tælle med fingeren? Så det! Tag et eksempel fra matematikere. De er dovne, så de bemærkede, at for at beregne poolens volumen skal du gange dens længde, bredde og højde med hinanden. I vores tilfælde vil puljens volumen være lig med terninger... Nemmere, ikke?

Forestil dig nu, hvor dovne og snedige matematikere er, hvis de også forenklede dette. Vi reducerede alt til én handling. De bemærkede, at længden, bredden og højden er ens, og at det samme tal ganges med sig selv... Hvad betyder det? Det betyder, at du kan drage fordel af graden. Så hvad du engang talte med din finger, gør de i én handling: tre terninger er lig. Det er skrevet sådan her:.

Det eneste der er tilbage er husk gradertabellen. Medmindre du selvfølgelig er lige så doven og snedig som matematikere. Hvis du kan lide at arbejde hårdt og lave fejl, kan du fortsætte med at tælle med fingeren.

Nå, for endelig at overbevise dig om, at grader blev opfundet af quittere og snedige mennesker for at løse deres egne livsproblemer, og ikke for at skabe problemer for dig, her er et par flere eksempler fra livet.

Eksempel #4 fra det virkelige liv

Du har en million rubler. I begyndelsen af ​​hvert år, for hver million du tjener, tjener du endnu en million. Det vil sige, at hver million af dine fordobles i begyndelsen af ​​hvert år. Hvor mange penge vil du have om år? Hvis du nu sidder og "tæller med fingeren", betyder det, at du er meget hårdtarbejdende mand og.. dumt. Men højst sandsynligt giver du et svar om et par sekunder, for du er klog! Så i det første år - to ganget med to... i det andet år - hvad skete der, med to mere, i det tredje år... Stop! Du har bemærket, at tallet ganges med sig selv gange. Så to til femte potens er en million! Forestil dig nu, at du har en konkurrence, og den, der kan tælle hurtigst, vil få disse millioner... Det er værd at huske tallenes magt, synes du ikke?

Eksempel #5 fra det virkelige liv

Du har en million. I begyndelsen af ​​hvert år tjener du to mere for hver million. Fantastisk er det ikke? Hver million tredobles. Hvor mange penge vil du have om et år? Lad os tælle. Det første år - gange med, derefter resultatet med et andet... Det er allerede kedeligt, fordi du allerede har forstået alt: tre ganges med sig selv gange. Så i fjerde potens er det lig med en million. Du skal bare huske, at tre til fjerde potens er eller.

Nu ved du, at ved at hæve et tal til en magt, vil du gøre dit liv meget lettere. Lad os se nærmere på, hvad du kan gøre med grader, og hvad du har brug for at vide om dem.

Begreber og begreber... for ikke at blive forvirrede

Så lad os først definere begreberne. Hvad synes du, hvad er en eksponent? Det er meget enkelt - det er tallet, der er "øverst" af tallets potens. Ikke videnskabeligt, men klart og let at huske...

Nå, på samme tid, hvad sådan et gradsgrundlag? Endnu enklere - dette er nummeret, der er placeret nedenfor, i bunden.

Her er en tegning for god ordens skyld.

Vel inde generel opfattelse, for at generalisere og bedre huske... En grad med en base " " og en eksponent " " læses som "til den grad" og skrives som følger:

Talmagt c naturlig indikator

Du har sikkert allerede gættet: fordi eksponenten er et naturligt tal. Ja, men hvad er det naturligt tal? Elementære! Naturlige tal er de tal, der bruges til at tælle, når man opregner objekter: en, to, tre... Når vi tæller objekter, siger vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv." Vi siger heller ikke: "en tredjedel" eller "nul komma fem". Det er ikke naturlige tal. Hvilke tal tror du, det er?

Tal som "minus fem", "minus seks", "minus syv" henviser til hele tal. Generelt omfatter heltal alle naturlige tal, tal modsat naturlige tal (det vil sige taget med et minustegn) og tal. Nul er let at forstå – det er, når der ikke er noget. Hvad betyder negative (“minus”) tal? Men de blev først og fremmest opfundet for at angive gæld: Hvis du har en saldo på din telefon i rubler, betyder det, at du skylder operatøren rubler.

Alle fraktioner er rationelle tal. Hvordan er de opstået, tror du? Meget simpelt. For flere tusinde år siden opdagede vores forfædre, at de manglede naturlige tal til at måle længde, vægt, areal osv. Og de fandt på rationelle tal... Interessant, ikke?

Er der nogle flere irrationelle tal. Hvad er disse tal? Kort sagt uendelig decimal. For eksempel, hvis du dividerer omkredsen af ​​en cirkel med dens diameter, får du et irrationelt tal.

Resumé:

Lad os definere begrebet en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

  1. Ethvert tal i første potens er lig med sig selv:
  2. At kvadrere et tal betyder at gange det med sig selv:
  3. At kubere et tal betyder at gange det med sig selv tre gange:

Definition. At hæve et tal til en naturlig potens betyder at gange tallet med sig selv gange:
.

Egenskaber for grader

Hvor kom disse egenskaber fra? Jeg vil vise dig nu.

Lad os se: hvad er det Og ?

A-priory:

Hvor mange multiplikatorer er der i alt?

Det er meget enkelt: Vi tilføjede multiplikatorer til faktorerne, og resultatet er multiplikatorer.

Men per definition er dette en potens af et tal med en eksponent, det vil sige: , hvilket er det, der skulle bevises.

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning: Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde!
Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

kun for kræfternes produkt!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

2. det er det potens af et tal

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt:

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive?

Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvad eksponenten skal være.

Men hvad skal grundlaget være?

I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer. Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige.

Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den simple regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Altså eller. Men hvis vi ganger med, virker det.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1) 2) 3)
4) 5) 6)

Klarede du dig?

Her er svarene: I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: Det er trods alt ligegyldigt, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt.

Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt!

6 eksempler til praksis

Analyse af løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er den forkortede multiplikationsformel, nemlig forskellen på kvadrater! Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne reglen gælde.

Men hvordan gør man det? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændres på samme tid!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Hel vi kalder de naturlige tal, deres modsætninger (det vil sige taget med tegnet " ") og tallet.

hel positivt tal , og det er ikke anderledes end naturligt, så ser alt ud nøjagtigt som i forrige afsnit.

Lad os nu se på nye sager. Lad os starte med en indikator lig med.

Ethvert tal i nulpotensen er lig med én:

Lad os som altid spørge os selv: hvorfor er det sådan?

Lad os overveje en vis grad med en base. Tag for eksempel og gang med:

Så vi gangede tallet med, og vi fik det samme som det var - . Hvilket tal skal du gange med, så intet ændrer sig? Det er rigtigt, på. Midler.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt tal:

Lad os gentage reglen:

Ethvert tal i nulpotensen er lig med en.

Men der er undtagelser fra mange regler. Og her er det der også - dette er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig i en hvilken som helst grad - uanset hvor meget du gange nul med sig selv, vil du stadig få nul, det er klart. Men på den anden side, ligesom ethvert tal i nulpotensen, skal det være ens. Så hvor meget af dette er sandt? Matematikerne besluttede ikke at blive involveret og nægtede at hæve nul til nul grader. Det vil sige, at nu kan vi ikke kun dividere med nul, men også hæve det til nul-potensen.

Lad os gå videre. Ud over naturlige tal og tal omfatter heltal også negative tal. For at forstå, hvad en negativ grad er, lad os gøre som i sidste gang: gange nogle normalt antal i samme grad i negativ grad:

Herfra er det nemt at udtrykke, hvad du leder efter:

Lad os nu udvide den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så lad os formulere en regel:

Et tal med en negativ potens er det gensidige af det samme tal med en positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dividere med).

Lad os opsummere:

I. Udtrykket er ikke defineret i sagen. Hvis så.

II. Ethvert tal i nulpotensen er lig med en:.

III. Et tal, der ikke er lig med nul til en negativ potens, er det omvendte af det samme tal til en positiv potens:.

Opgaver til selvstændig løsning:

Nå, som sædvanlig, eksempler på uafhængige løsninger:

Analyse af problemer til uafhængig løsning:

Jeg ved, jeg ved, tallene er skræmmende, men på Unified State Exam skal du være forberedt på hvad som helst! Løs disse eksempler eller analyser deres løsninger, hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære at håndtere dem nemt i eksamen!

Lad os fortsætte med at udvide rækken af ​​tal "egnede" som eksponent.

Lad os nu overveje rationelle tal. Hvilke tal kaldes rationelle?

Svar: alt, der kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal, og.

For at forstå hvad det er "brøkdel grad", overvej brøken:

Lad os hæve begge sider af ligningen til en potens:

Lad os nu huske reglen om "grad til grad":

Hvilket tal skal hæves til en magt for at få?

Denne formulering er definitionen af ​​roden af ​​th grad.

Lad mig minde dig om: roden af ​​den th potens af et tal () er et tal, der, når det hæves til en potens, er lig med.

Det vil sige, at roden af ​​th potens er den omvendte operation af at hæve til en potens:.

Det viser sig at. Det er klart dette særlig situation kan udvides: .

Nu tilføjer vi tælleren: hvad er det? Svaret er nemt at få ved hjælp af magt-til-kraft-reglen:

Men kan basen være et hvilket som helst tal? Roden kan jo ikke udtrækkes fra alle tal.

Ingen!

Lad os huske reglen: ethvert tal hævet til en lige potens er et positivt tal. Det vil sige, at det er umuligt at udtrække lige rødder fra negative tal!

Det betyder, at sådanne tal ikke kan hæves til en brøkpotens med en lige nævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtrykket?

Men her opstår et problem.

Tallet kan repræsenteres i form af andre, reducerbare brøker, for eksempel eller.

Og det viser sig, at det findes, men ikke eksisterer, men det er kun to forskellige poster samme antal.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver indikatoren anderledes ned, kommer vi i problemer igen: (det vil sige, vi fik et helt andet resultat!).

For at undgå sådanne paradokser overvejer vi kun positiv baseeksponent med fraktioneret eksponent.

Så hvis:

  • - naturligt tal;
  • - heltal;

Eksempler:

Grader med rationel indikator meget nyttigt til at konvertere udtryk med rødder, for eksempel:

5 eksempler til praksis

Analyse af 5 eksempler til træning

Nå, nu kommer den sværeste del. Nu finder vi ud af det grad med irrationel eksponent.

Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelse

Irrationelle tal er jo per definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (det vil sige, at irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange;

...tal til nul potens- det er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, de er endnu ikke begyndt at gange det, hvilket betyder, at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et vist "tomt tal" , nemlig et nummer;

...negativ heltalsgrad- det er som om der er sket noget" omvendt proces", det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Af den måde, i naturvidenskab en grad med kompleks indikator, det vil sige, at indikatoren ikke er jævn reelle tal.

Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

HVOR ER VI SIKKERE, AT DU GÅR! (hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse af løsninger:

1. Lad os starte med den sædvanlige regel for at hæve en magt til en magt:

Se nu på indikatoren. Minder han dig ikke om noget? Lad os huske formlen for forkortet multiplikation af forskellen mellem kvadrater:

I dette tilfælde,

Det viser sig at:

Svar: .

2. Vi reducerer brøker i eksponenter til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får fx:

Svar: 16

3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

AVANCERET NIVEAU

Gradsbestemmelse

En grad er et udtryk for formen: , hvor:

  • — gradsgrundlag;
  • - eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

At hæve et tal til den naturlige potens n betyder at gange tallet med sig selv gange:

Grad med en heltalseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltal nummer:

Konstruktion til nulgraden:

Udtrykket er ubestemt, fordi på den ene side i enhver grad er dette, og på den anden side er ethvert tal i th grad dette.

Hvis eksponenten er negativt heltal nummer:

(fordi du ikke kan dividere med).

Endnu en gang om nuller: udtrykket er ikke defineret i casen. Hvis så.

Eksempler:

Magt med rationel eksponent

  • - naturligt tal;
  • - heltal;

Eksempler:

Egenskaber for grader

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: hvor kom disse egenskaber fra? Lad os bevise dem.

Lad os se: hvad er og?

A-priory:

Så på højre side af dette udtryk får vi følgende produkt:

Men per definition er det en potens af et tal med en eksponent, det vil sige:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel Nødvendigvis der må være de samme grunde. Derfor kombinerer vi kræfterne med basen, men det forbliver en separat faktor:

En anden vigtig bemærkning: denne regel - kun for produkt af beføjelser!

Det kan du under ingen omstændigheder skrive.

Ligesom med den tidligere egenskab, lad os vende os til definitionen af ​​grad:

Lad os omgruppere dette arbejde sådan her:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv gange, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "at tage indikatoren ud af parentes." Men du kan aldrig gøre dette i alt: !

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive? Men det er trods alt ikke sandt.

Strøm med negativ base.

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvordan det skulle være indeks grader. Men hvad skal grundlaget være? I beføjelser af naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer .

Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige. Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have grader af positive og negative tal?

Er tallet for eksempel positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men de negative er lidt mere interessante. Vi husker den enkle regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med (), får vi - .

Og så videre ad infinitum: For hver efterfølgende multiplikation vil tegnet ændre sig. Vi kan formulere følgende simple regler:

  1. også selvom grad, - antal positiv.
  2. Et negativt tal, indbygget ulige grad, - antal negativ.
  3. Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
  4. Nul til enhver potens er lig med nul.

Bestem selv, hvilket tegn følgende udtryk vil have:

1. 2. 3.
4. 5. 6.

Klarede du dig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser blot på basis og eksponent og anvender den passende regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud: det er trods alt ligegyldigt, hvad basen er lig med - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Nå, undtagen når basen er nul. Grundlaget er ikke ens, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du finde ud af, hvad der er mindre: eller? Hvis vi husker det, bliver det klart, hvilket betyder, at basen er mindre end nul. Det vil sige, at vi anvender regel 2: resultatet bliver negativt.

Og igen bruger vi definitionen af ​​grad:

Alt er som det plejer - vi skriver definitionen af ​​grader ned og deler dem med hinanden, deler dem i par og får:

Før du skiller det ad sidste regel, lad os løse et par eksempler.

Beregn udtrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer den ottende potens, hvad ser vi så her? Lad os huske 7. klasses programmet. Kan du huske det? Dette er den forkortede multiplikationsformel, nemlig forskellen på kvadrater!

Vi får:

Lad os se nøje på nævneren. Det ligner meget en af ​​tællerfaktorerne, men hvad er der galt? Rækkefølgen af ​​vilkårene er forkert. Hvis de blev omvendt, kunne regel 3 finde anvendelse. Men hvordan? Det viser sig, at det er meget nemt: den lige grad af nævneren hjælper os her.

Hvis du ganger det med, ændres intet, vel? Men nu bliver det sådan her:

På magisk vis skiftede vilkårene plads. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan nemt ændre fortegnene i parentes. Men det er vigtigt at huske: Alle tegn ændrer sig på samme tid! Du kan ikke erstatte det med ved kun at ændre én ulempe, vi ikke kan lide!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan vil vi bevise det? Selvfølgelig, som sædvanlig: lad os udvide begrebet grad og forenkle det:

Nå, lad os nu åbne parenteserne. Hvor mange bogstaver er der i alt? gange med multiplikatorer - hvad minder det dig om? Dette er intet andet end en definition af en operation multiplikation: Der var kun multiplikatorer der. Det vil sige, at dette per definition er en potens af et tal med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrationel eksponent

Udover information om grader for gennemsnitsniveauet vil vi analysere graden med en irrationel eksponent. Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelsen - trods alt er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er heltal (dvs. , irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationale tal).

Når vi studerede grader med naturlige, heltal og rationelle eksponenter, skabte vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange; et tal til nulpotensen er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, at de endnu ikke er begyndt at gange det, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op endnu - derfor er resultatet kun et sikkert tal "blankt nummer", nemlig et tal; en grad med en heltal negativ eksponent - det er som om en "omvendt proces" havde fundet sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Det er ekstremt svært at forestille sig en grad med en irrationel eksponent (ligesom det er svært at forestille sig et 4-dimensionelt rum). Det er ret rent matematisk objekt, som matematikere skabte for at udvide begrebet grad til hele rummet af tal.

Forresten, i videnskab bruges ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil sige, at eksponenten ikke engang er et reelt tal. Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Så hvad gør vi, hvis vi ser irrationel indikator grader? Vi gør vores bedste for at slippe af med det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

1) 2) 3)

Svar:

  1. Lad os huske forskellen mellem kvadraters formel. Svar: .
  2. Vi reducerer brøkerne til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får for eksempel: .
  3. Ikke noget særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber for grader:

RESUMÉ AF AFSNIT OG GRUNDFORMLER

Grad kaldet et udtryk for formen: , hvor:

Grad med en heltalseksponent

en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. heltal og positivt).

Magt med rationel eksponent

grad, hvis eksponent er negative tal og brøktal.

Grad med irrationel eksponent

en grad, hvis eksponent er en uendelig decimalbrøk eller rod.

Egenskaber for grader

Funktioner af grader.

  • Negativt tal hævet til også selvom grad, - antal positiv.
  • Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
  • Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
  • Nul er lig med enhver magt.
  • Ethvert tal i nulpotensen er lig.

NU HAR DU ORDET...

Hvordan kan du lide artiklen? Skriv nedenfor i kommentarerne, om du kunne lide det eller ej.

Fortæl os om din erfaring med at bruge gradsegenskaber.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke med dine eksamener!

Der er en regel om, at ethvert andet tal end nul hævet til nulpotensen vil være lig med én:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Men hvorfor er det sådan?

Når et tal hæves til en potens med en naturlig eksponent, betyder det, at det ganges med sig selv lige så mange gange som eksponenten:
43 = 4...

0 0

I algebra er det almindeligt at hæve til nul-potensen. Hvad er grad 0? Hvilke tal kan hæves til nul potens, og hvilke kan ikke?

Definition.

Ethvert tal med nul potens, undtagen nul, er lig med en:

Uanset hvilket tal der hæves til 0, vil resultatet altid være det samme - en.

Og 1 i 0-potensen og 2 i 0-potensen, og et hvilket som helst andet tal - heltal, brøk, positivt, negativt, rationelt, irrationelt - giver et, når det hæves til nulpotensen.

Den eneste undtagelse er nul.

Nul til nul potens er ikke defineret, et sådant udtryk har ingen betydning.

Det vil sige, at ethvert tal undtagen nul kan hæves til nulpotensen.

Hvis resultatet, når man simplificerer et udtryk med potenser, er et tal til nulpotensen, kan det erstattes af én:

Hvis...

0 0

Inden for skolepensum Udtrykket $%0^0$% anses for at være udefineret.

Fra synspunkt moderne matematik, er det praktisk at antage, at $%0^0=1$%. Ideen her er følgende. Lad der være et produkt af $%n$% tal af formen $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. For alle $%n\ge2$% gælder ligheden $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$%. Det er praktisk at betragte denne lighed som meningsfuld også for $%n=1$%, forudsat at $%p_0=1$%. Logikken her er denne: Når vi beregner produkter, tager vi først 1 og multiplicerer derefter sekventielt med $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Dette er den algoritme, der bruges til at finde produkter, når programmer skrives. Hvis multiplikationerne af en eller anden grund ikke fandt sted, forbliver produktet lig med en.

Med andre ord er det praktisk at betragte et sådant begreb som "produktet af 0-faktorer" for at have betydning, idet det betragtes som lig med 1 per definition. I dette tilfælde kan vi også tale om det "tomme produkt". Hvis vi gange et tal med dette...

0 0

Nul - det er nul. Groft sagt er enhver potens af et tal produktet af en og eksponenten gange dette tal. To i den tredje, lad os sige, er 1*2*2*2, to i minus af den første er 1/2. Og så er det nødvendigt, at der ikke er hul under overgangen fra positive grader til negativ og omvendt.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

det er hele pointen.

enkelt og overskueligt, tak

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

For eksempel skal du blot have bestemte formler, der er gyldige for positive indikatorer- for eksempel x^n*x^m=x^(m+n) - var stadig gyldige.
Det samme gælder i øvrigt for definitionen af ​​en negativ grad såvel som en rationel (det vil sige f.eks. 5 i potensen 3/4)

> og hvorfor er det overhovedet nødvendigt?
For eksempel spiller de i statistik og teori ofte med nul grader.

EN negative kræfter generer de dig?
...

0 0

Vi fortsætter med at overveje egenskaberne ved grader, tag for eksempel 16:8 = 2. Da 16=24 og 8=23 derfor kan division skrives i eksponentiel form som 24:23=2, men hvis vi trækker eksponenterne fra, så er 24:23=21. Derfor må vi indrømme, at 2 og 21 er det samme, derfor er 21 = 2.

Den samme regel gælder for enhver anden eksponentielt tal, således kan reglen formuleres i generel form:

ethvert tal hævet til første potens forbliver uændret

Denne konklusion kan have efterladt dig forbløffet. Du kan stadig på en eller anden måde forstå betydningen af ​​udtrykket 21 = 2, selvom udtrykket "et tal to ganget med sig selv" lyder ret mærkeligt. Men udtrykket 20 betyder "ikke et eneste nummer to,...

0 0

Grad definitioner:

1. nul grader

Ethvert andet tal end nul hævet til nulpotensen er lig med én. Nul til nul potens er udefineret

2. anden naturlig grad end nul

Ethvert tal x hævet til en naturlig potens n bortset fra nul er lig med at gange n tal x sammen

3.1 jævn rod naturlig grad, forskellig fra nul

Roden af ​​en lige naturlig potens n, bortset fra nul, af ethvert positivt tal x er et positivt tal y, der, når det hæves til potensen n, giver det oprindelige tal x

3,2 rod af ulige naturlig grad

Roden af ​​en ulige naturlig potens n af ethvert tal x er et tal y, der, når det hæves til potensen n, giver det oprindelige tal x

3.3 roden af ​​enhver naturlig magt som en brøkkraft

At udtrække roden af ​​enhver naturlig potens n, bortset fra nul, fra ethvert tal x er det samme som at hæve dette tal x til brøkpotensen 1/n

0 0

Hej, kære RUSSEL!

Når man introducerer begrebet grad, er der følgende indgang: "Værdien af ​​udtrykket a^0 =1" ! Dette træder i kraft logisk koncept grader og intet andet!
Det er prisværdigt, når en ung mand forsøger at komme til bunds i tingene! Men der er nogle ting, der simpelthen skal tages for givet!
Du kan kun konstruere ny matematik, når du allerede har studeret åben i århundreder tilbage!
Selvfølgelig, hvis vi udelukker, at du "ikke er af denne verden", og du har fået meget mere end os andre syndere!

Bemærk: Anna Misheva gjorde et forsøg på at bevise det ubeviselige! Også prisværdigt!
Men der er et stort "MEN" - det mangler i hendes bevis væsentligt element: Tilfælde af division med NUL!

Se selv, hvad der kan ske: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Men du KAN IKKE DIVE MED NUL!

Vær venligst mere forsigtig!

Med masse Bedste ønsker og lykke i dit personlige liv...

0 0

Svar:

Intet navn

hvis vi tager højde for, at a^x=e^x*ln(a), så viser det sig, at 0^0=1 (grænse, for x->0)
selvom svaret "usikkerhed" også er acceptabelt

Nul i matematik er ikke tomhed, det er et tal meget tæt på "intet", ligesom uendelighed kun omvendt

Skriv ned:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Det viser sig, at vi i dette tilfælde dividerer med nul, og denne operation på feltet med reelle tal er ikke defineret.

6 år siden

RPI.su er den største russisksprogede database med spørgsmål og svar. Vores projekt blev implementeret som en fortsættelse af den populære tjeneste otvety.google.ru, som blev lukket og slettet den 30. april 2015. Vi besluttede at genoplive den nyttige Google Answers-tjeneste, så alle offentligt kan finde ud af svaret på deres spørgsmål fra internetfællesskabet.

Alle spørgsmål, der er tilføjet til Google Answers-siden, er blevet kopieret og gemt her. Gamle brugernavne vises også, som de tidligere eksisterede. Du skal blot tilmelde dig igen for at kunne stille spørgsmål eller svare på andre.

For at kontakte os med spørgsmål OM SIDE (annoncering, samarbejde, feedback om tjenesten), skriv til [e-mail beskyttet]. Kun alt generelle spørgsmål post på hjemmesiden, vil de ikke modtage svar på mail.

Hvad vil nul være lig, hvis det hæves til nul-potensen?

Hvorfor er et tal i 0 potens lig med 1? Der er en regel om, at ethvert andet tal end nul hævet til nulpotensen vil være lig med én: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Men hvorfor er det sådan? Når et tal hæves til en potens med en naturlig eksponent, betyder det, at det ganges med sig selv lige så mange gange som eksponenten: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Når eksponenten er lig med 1, så er der under konstruktionen kun én faktor (hvis vi overhovedet kan tale om faktorer), og derfor resultatet af konstruktionen lig med basen grader: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Men hvad med nulindikatoren i dette tilfælde? Hvad ganges med hvad? Lad os prøve at gå en anden vej. Det er kendt, at hvis to grader har de samme baser, men forskellige indikatorer, så kan grundtallet efterlades det samme, og eksponenterne kan enten lægges til hinanden (hvis potenserne ganges), eller eksponenten for divisoren kan trækkes fra udbyttets eksponent (hvis potenserne divideres) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Og overvej nu dette eksempel: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Hvad hvis vi ikke bruger magtens ejendom med samme grundlag og lad os udføre beregningerne i den rækkefølge, de vises i: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Så vi fik den skattede enhed. Således synes nuleksponenten at indikere, at tallet ikke ganges med sig selv, men divideres med sig selv. Og herfra bliver det tydeligt, hvorfor udtrykket 00 ikke giver mening. Du kan jo ikke dividere med 0. Du kan ræsonnere anderledes. Hvis der for eksempel er en multiplikation af potenser på 52 × 50 = 52+0 = 52, så følger det, at 52 blev ganget med 1. Derfor er 50 = 1.

Ud fra egenskaberne for potenser: a^n / a^m = a^(n-m) hvis n=m, vil resultatet være én undtagen naturligt a=0, i dette tilfælde (da nul til enhver potens vil være nul) division med nul ville finde sted, så 0^0 eksisterer ikke

Regnskab på forskellige sprog

Navne på tal fra 0 til 9 på populære sprog fred.

Sprog 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
engelsk nul en to tre fire fem seks syv otte ni
bulgarsk nul en ting to tre fire kæledyr pol vi gør os klar akser devet
ungarsk nulla f.eks kettõ harom négy ot hat het nyolc kilenc
hollandsk nul en twee tørre vier fem zes zeven acht negen
dansk nul da til tre brand fem seks syv otte ni
spansk cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve
italiensk nul uno på grund tre quattro cinque sei sette otto nove
litauisk nullis vienas du prøver keturi penki ðeði septyni aðtuoni devyni
tysk nul ein zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun
Russisk nul en to tre fire fem seks syv otte ni
Polere nul jeden dwa trzy cztery piêæ sze¶æ siedem osem dziewiêæ
portugisisk um dois três quatro cinco seis sete oito nove
fransk nul un deux trois quatre cinq seks sept huit neuf
tjekkisk nula jedna dva toi ètyøi grube ¹est sedm osm devìt
svensk noll ett tva tre fyra fem køn sju atta nio
estisk nul üks kaks kolm neli viis kuus seitse kaheksa üheksa

Negativ og nul potens af et tal

Nul-, negativ- og brøkpotenser

Nul indikator

Opføre givet nummer til en vis grad betyder at gentage det med en faktor lige så mange gange, som der er enheder i eksponenten.

Ifølge denne definition er udtrykket: -en 0 giver ikke mening. Men for at reglen om at dividere potenser af samme tal skal være gyldig, selv i det tilfælde, hvor eksponenten for divisor lig med indikatoren af udbyttet er der indført en definition:

Nulpotensen af ​​ethvert tal vil være lig med én.

Negativ indikator

Udtryk a -m, har i sig selv ingen betydning. Men for at reglen om at dividere potenser af samme tal er gyldig selv i det tilfælde, hvor divisors eksponent er større end eksponenten for dividenden, er der indført en definition:

Eksempel 1. Hvis et givet tal består af 5 hundrede, 7 tiere, 2 enheder og 9 hundrededele, så kan det afbildes som følger:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Eksempel 2. Hvis et givet tal består af a tiere, b enheder, c tiendedele og d tusindedele, så kan det repræsenteres som følger:

-en× 101+ b× 10 0 + c× 10-1+ d x 10-3

Handlinger på potenser med negative eksponenter

Når potenser af samme tal ganges, lægges eksponenterne sammen.

Når potenser af samme tal divideres, trækkes divisors eksponent fra udbyttets eksponent.

For at hæve et produkt til en magt, er det nok at hæve hver faktor separat til denne magt:

For at hæve en brøk til en potens er det nok at hæve begge led af brøken separat til denne potens:

Når en potens hæves til en anden potens, ganges eksponenterne.


Brøkindikator

Hvis k er ikke et multiplum af n, så giver udtrykket: ingen mening. Men for at reglen for at udtrække roden af ​​en grad kan finde sted for en hvilken som helst værdi af eksponenten, er der blevet indført en definition:

Takket være introduktionen af ​​et nyt symbol kan rodudvinding altid erstattes af eksponentiering.

Handlinger på potenser med brøkeksponenter

Handlinger på potenser med brøkeksponenter udføres efter de samme regler, som er etableret for heltalseksponenter.

Når vi beviser denne påstand, vil vi først antage, at vilkårene for brøkerne: og , der tjener som eksponenter, er positive.

I et særligt tilfælde n eller q kan være lig med én.

Når potenser af samme tal ganges, tilføjes brøkeksponenter:


Når potenser af samme tal divideres med brøkeksponenter, trækkes divisoreksponenten fra udbytteeksponenten:

For at hæve en potens til en anden potens i tilfælde af brøkeksponenter er det nok at gange eksponenterne:

For at udtrække roden af ​​en brøkpotens er det nok at dividere eksponenten med rodens eksponent:

Handlereglerne gælder ikke kun for positiv fraktionelle indikatorer, men også til negativ.

Der er en regel om, at ethvert andet tal end nul hævet til nulpotensen vil være lig med én:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Men hvorfor er det sådan?
Når et tal hæves til en potens med en naturlig eksponent, betyder det, at det ganges med sig selv lige så mange gange som eksponenten:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Når eksponenten er lig med 1, så er der under konstruktionen kun én faktor (hvis vi overhovedet kan tale om faktorer her), og derfor er resultatet af konstruktionen lig med gradens basis:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Men hvad med nulindikatoren i dette tilfælde? Hvad ganges med hvad?
Lad os prøve at gå en anden vej.

Hvorfor er et tal i 0 potens lig med 1?

Det er kendt, at hvis to potenser har samme grundtal, men forskellige eksponenter, så kan grundtallet efterlades det samme, og eksponenterne kan enten lægges til hinanden (hvis potenserne ganges), eller divisors eksponent kan trækkes fra eksponenten for udbyttet (hvis potenserne er delelige):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Lad os nu se på dette eksempel:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Hvad hvis vi ikke bruger egenskaben af ​​potenser med samme basis og udfører beregninger i den rækkefølge, de vises:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Så vi modtog den eftertragtede enhed. Således synes nuleksponenten at indikere, at tallet ikke ganges med sig selv, men divideres med sig selv.
Og herfra bliver det klart, hvorfor udtrykket 0 0 ikke giver mening. Du kan ikke dividere med 0.