En potensfunktion kaldes en funktion af formen y=x n (læses som y er lig med x til n potens), hvor n er et givet tal. Særlige tilfælde af potensfunktioner er funktioner af formen y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x og mange andre. Lad os fortælle dig mere om hver af dem.
Lineær funktion y=x 1 (y=x)
Grafen er en ret linje, der går gennem punktet (0;0) i en vinkel på 45 grader i forhold til den positive retning af Ox-aksen.
Grafen er præsenteret nedenfor.
Grundlæggende egenskaber for en lineær funktion:
- Funktionen er stigende og defineret på hele tallinjen.
- Den har ingen maksimum- eller minimumværdier.
Kvadratisk funktion y=x 2
Grafen for en kvadratisk funktion er en parabel.
Grundlæggende egenskaber for en kvadratisk funktion:
- 1. Ved x =0, y=0 og y>0 ved x0
- 2. Den kvadratiske funktion når sin minimumsværdi ved sit toppunkt. Ymin ved x=0; Det skal også bemærkes, at funktionen ikke har en maksimal værdi.
- 3. Funktionen falder i intervallet (-∞;0] og øges med intervallet \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Graf (fig. 2).
Figur 2. Graf over funktionen $f\left(x\right)=x^(2n)$
Egenskaber for en potensfunktion med en naturlig ulige eksponent
Definitionsdomænet er alle reelle tal.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funktionen er ulige.
$f(x)$ er kontinuerlig over hele definitionsdomænet.
Området er alle reelle tal.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funktionen øges over hele definitionsdomænet.
$f\left(x\right)0$, for $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \venstre(2n-1\højre)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funktionen er konkav for $x\in (-\infty ,0)$ og konveks for $x\in (0,+\infty)$.
Graf (fig. 3).
Figur 3. Graf over funktionen $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Potensfunktion med heltalseksponent
Lad os først introducere begrebet en grad med en heltalseksponent.
Definition 3
Potensen af et reelt tal $a$ med heltalseksponent $n$ bestemmes af formlen:
Figur 4.
Lad os nu betragte en potensfunktion med en heltalseksponent, dens egenskaber og graf.
Definition 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\i Z)$ kaldes en potensfunktion med en heltalseksponent.
Hvis graden er større end nul, kommer vi til tilfældet med en potensfunktion med en naturlig eksponent. Vi har allerede diskuteret det ovenfor. For $n=0$ får vi en lineær funktion $y=1$. Vi vil overlade dens betragtning til læseren. Det er tilbage at overveje egenskaberne af en potensfunktion med en negativ heltalseksponent
Egenskaber for en potensfunktion med en negativ heltalseksponent
Definitionsdomænet er $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Hvis eksponenten er lige, så er funktionen lige; hvis den er ulige, så er funktionen ulige.
$f(x)$ er kontinuerlig over hele definitionsdomænet.
Omfang:
Hvis eksponenten er lige, så $(0,+\infty)$; hvis den er ulige, så $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
For en ulige eksponent falder funktionen som $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Hvis eksponenten er lige, falder funktionen som $x\in (0,+\infty)$. og stiger som $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ over hele definitionsdomænet
Lad os huske egenskaberne og graferne for potensfunktioner med en negativ heltalseksponent.
For selv n, :
Eksempel funktion:
Alle grafer for sådanne funktioner passerer gennem to faste punkter: (1;1), (-1;1). Det særlige ved funktioner af denne type er deres paritet; graferne er symmetriske i forhold til op-amp-aksen.
Ris. 1. Graf over en funktion
For ulige n, :
Eksempel funktion:
Alle grafer for sådanne funktioner passerer gennem to faste punkter: (1;1), (-1;-1). Det særlige ved funktioner af denne type er, at de er ulige; graferne er symmetriske i forhold til oprindelsen.
Ris. 2. Graf over en funktion
Lad os huske den grundlæggende definition.
Potensen af et ikke-negativt tal a med en rationel positiv eksponent kaldes et tal.
Styrken af et positivt tal a med en rationel negativ eksponent kaldes et tal.
For ligestillingen:
For eksempel:
; - udtrykket eksisterer ikke pr. definition af en grad med en negativ rationel eksponent; eksisterer fordi eksponenten er heltal, 
Lad os gå videre til at betragte potensfunktioner med en rationel negativ eksponent.
For eksempel:
For at plotte en graf over denne funktion kan du oprette en tabel. Vi vil gøre det anderledes: først vil vi bygge og studere grafen for nævneren - den er kendt af os (Figur 3).
Ris. 3. Graf over en funktion
Grafen for nævnerfunktionen går gennem et fast punkt (1;1). Når man plotter grafen for den oprindelige funktion, forbliver dette punkt, mens roden også har en tendens til nul, funktionen har en tendens til uendelig. Og omvendt, da x har en tendens til uendelig, har funktionen en tendens til nul (figur 4).
Ris. 4. Funktionsgraf
Lad os overveje en anden funktion fra den familie af funktioner, der undersøges.
Det er vigtigt, at per definition
Lad os betragte grafen for funktionen i nævneren: , grafen for denne funktion er kendt af os, den øges i sit definitionsdomæne og passerer gennem punktet (1;1) (figur 5).
Ris. 5. Graf over en funktion
Når man plotter grafen for den oprindelige funktion, forbliver punktet (1;1), mens roden også har en tendens til nul, funktionen har en tendens til det uendelige. Og omvendt, da x har en tendens til uendelig, har funktionen en tendens til nul (figur 6).
Ris. 6. Graf over en funktion
De betragtede eksempler hjælper med at forstå, hvordan grafen flyder, og hvad er egenskaberne ved den funktion, der undersøges - en funktion med en negativ rationel eksponent.
Graferne for funktioner i denne familie passerer gennem punktet (1;1), funktionen falder over hele definitionsdomænet.
Funktionsomfang:
Funktionen er ikke begrænset ovenfra, men begrænset nedefra. Funktionen har hverken den største eller den mindste værdi.
Funktionen er kontinuerlig og tager alle positive værdier fra nul til plus uendeligt.
Funktionen er konveks nedad (Figur 15.7)
Punkt A og B tages på kurven, et segment trækkes gennem dem, hele kurven er under segmentet, denne betingelse er opfyldt for vilkårlige to punkter på kurven, derfor er funktionen konveks nedad. Ris. 7.
Ris. 7. Konveksitet af funktion
Det er vigtigt at forstå, at funktionerne i denne familie er afgrænset nedefra af nul, men ikke har den mindste værdi.
Eksempel 1 - find maksimum og minimum af en funktion på intervallet)