Efterfølgende fra i går:
Lad os lege med en mosaik baseret på et geometrisk eventyr:
Der var engang trekanter. Så ens, at de bare er kopier af hinanden.
De stod på en eller anden måde side om side i en lige linje. Og da de alle var lige høje -
så var deres toppe på samme niveau under linealen:
Trekanter elskede at tumle og stå på hovedet. De klatrede op på den øverste række og stod på hjørnet som akrobater.
Og vi ved allerede - når de står med deres toppe nøjagtigt på linje,
så følger deres såler også en lineal - for hvis nogen er lige høje, så er de også lige høje på hovedet!
De var ens i alt - den samme højde og de samme såler,
og gliderne på siderne - den ene stejlere, den anden fladere - har samme længde
og de har samme hældning. Nå, bare tvillinger! (kun i forskelligt tøj, hver med deres egen brik i puslespillet).
- Hvor er trekanter identiske sider? Hvor er hjørnerne ens?
Trekanterne stod på hovedet, stod der og besluttede at glide af og lægge sig i nederste række.
De gled og gled ned ad en bakke; men deres slides er de samme!
Så de passer præcis mellem de nederste trekanter, uden mellemrum, og ingen skubbede nogen til side.
Vi kiggede rundt i trekanterne og bemærkede et interessant træk.
Uanset hvor deres vinkler mødes, vil alle tre vinkler helt sikkert mødes:
den største er "hovedvinklen", den mest spidse vinkel og den tredje mellemstørste vinkel.
De bandt endda farvede bånd, så det med det samme ville være tydeligt, hvilken der var hvilken.
Og det viste sig, at trekantens tre vinkler, hvis du kombinerer dem -
udgør en stor vinkel, et "åbent hjørne" - som omslaget på en åben bog,
__________________O ____________________
det kaldes en drejet vinkel.
Enhver trekant er som et pas: tre vinkler tilsammen er lig med den udfoldede vinkel.
Nogen banker på din dør: - bank-bank, jeg er en trekant, lad mig overnatte!
Og du fortæller ham - Vis mig summen af vinklerne i udvidet form!
Og det er umiddelbart klart, om dette er en rigtig trekant eller en bedrager.
Mislykket bekræftelse - Vend om hundrede og firs grader og gå hjem!
Når de siger "drej 180°" betyder det at vende baglæns og
gå i den modsatte retning.
Det samme i mere velkendte udtryk, uden "der var engang":
Lad os gøre det parallel overførsel trekant ABC langs aksen OX
til vektor AB lig med længde AB baser.
Linje DF går gennem hjørnerne C og C 1 i trekanter
parallelt med OX-aksen, på grund af det faktum, at vinkelret på aksenÅh
segmenter h og h 1 (højder lige store trekanter) er lige.
Basen af trekanten A 2 B 2 C 2 er således parallel med basen AB
og lig med den i længden (da toppunktet C 1 er forskudt i forhold til C med mængden AB).
Trekanter A 2 B 2 C 2 og ABC er lige store på tre sider.
Derfor er vinklerne ∠A 1 ∠B ∠C 2, der danner en ret vinkel, lig med vinklerne i trekanten ABC.
=> Summen af vinklerne i en trekant er 180°
Med bevægelser - "oversættelser", er det såkaldte bevis kortere og klarere,
selv et barn kan forstå stykkerne af mosaikken.
Men traditionel skole:
baseret på ligheden af indre tværliggende vinkler afskåret på parallelle linjer
værdifuldt, fordi det giver en idé om, hvorfor det er sådan,
Hvorfor summen af vinklerne i en trekant er lig med den omvendte vinkel?
For ellers ville parallelle linjer ikke have de egenskaber, som vores verden kender.
Sætningerne virker begge veje. Fra aksiomet for parallelle linjer følger det
ligestilling af på kryds og tværs liggende og lodrette vinkler, og fra dem - summen af trekantens vinkler.
Men det modsatte er også sandt: så længe vinklerne i en trekant er 180°, er der parallelle linjer
(sådan at man gennem et punkt, der ikke ligger på en linje, kan tegne en unik linje || af den givne).
Hvis der en dag dukker en trekant op i verden, hvis vinkelsum ikke er lig med den udfoldede vinkel -
så vil de parallelle ophøre med at være parallelle, hele verden vil være bøjet og skæv.
Hvis striber med trekantmønstre placeres over hinanden -
du kan dække hele feltet med et gentaget mønster, som et gulv med fliser:
du kan spore forskellige former på sådan et gitter - sekskanter, romber,
stjernepolygoner og få en række forskellige parketgulve
At flisebelægge et fly med parket er ikke kun et sjovt spil, men også et relevant spil. matematisk problem:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Da hver firkant er et rektangel, kvadrat, rombe osv.
kan være sammensat af to trekanter,
henholdsvis summen af vinklerne på en firkant: 180° + 180° = 360°
Identiske ligebenede trekanter er foldet til firkanter på forskellige måder.
En lille firkant på 2 dele. Gennemsnit på 4. Og den største af de 8.
Hvor mange figurer er der på tegningen, bestående af 6 trekanter?
Foreløbige oplysninger
Lad os først se direkte på begrebet en trekant.
Definition 1
Vi vil kalde det en trekant geometrisk figur, som består af tre punkter forbundet med segmenter (fig. 1).
Definition 2
Inden for rammerne af definition 1 vil vi kalde punkterne for trekantens hjørner.
Definition 3
Inden for rammerne af definition 1 vil segmenterne blive kaldt sider af trekanten.
Det er klart, at enhver trekant vil have 3 hjørner samt tre sider.
Sætning om summen af vinkler i en trekant
Lad os introducere og bevise en af de vigtigste sætninger relateret til trekanter, nemlig sætningen om summen af vinkler i en trekant.
Sætning 1
Summen af vinklerne i enhver vilkårlig trekant er $180^\cirkel$.
Bevis.
Overvej trekanten $EGF$. Lad os bevise, at summen af vinklerne i denne trekant er lig med $180^\cirkel$. Lad os lave en ekstra konstruktion: Tegn den lige linje $XY||EG$ (fig. 2)
Da linjerne $XY$ og $EG$ er parallelle, ligger $∠E=∠XFE$ på tværs ved sekanten $FE$, og $∠G=∠YFG$ ligger på tværs ved sekanten $FG$
Vinkel $XFY$ vil blive vendt og er derfor lig med $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Derfor
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Sætningen er blevet bevist.
Trekant udvendig vinkelsætning
En anden sætning om summen af vinkler for en trekant kan betragtes som sætningen om den ydre vinkel. Lad os først introducere dette koncept.
Definition 4
En ydre vinkel i en trekant vil blive kaldt en vinkel, der støder op til enhver vinkel i trekanten (fig. 3).
Lad os nu betragte sætningen direkte.
Sætning 2
En udvendig vinkel i en trekant er lig med summen af to vinkler i trekanten, der ikke støder op til den.
Bevis.
Lad os overveje vilkårlig trekant$EFG$. Lad den have en udvendig vinkel af trekanten $FGQ$ (fig. 3).
Ved sætning 1 vil vi have, at $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, derfor,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Da vinklen $FGQ$ er ekstern, støder den op til vinklen $∠G$, så
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Sætningen er blevet bevist.
Eksempel opgaver
Eksempel 1
Find alle vinkler i en trekant, hvis den er ligesidet.
Så hvordan har du det ligesidet trekant alle sider er lige store, så vil vi have, at alle vinklerne i den også er ens med hinanden. Lad os betegne deres gradmål med $α$.
Så får vi ved sætning 1
$α+α+α=180^\circ$
Svar: alle vinkler er lig med $60^\circ$.
Eksempel 2
Find alle vinkler i en ligebenet trekant, hvis en af dens vinkler er lig med $100^\cirkel$.
Lad os introducere følgende notation for vinkler i en ligebenet trekant:
Da vi ikke er givet i betingelsen præcis, hvilken vinkel $100^\circ$ er lig med, så er to tilfælde mulige:
En vinkel lig med $100^\cirkel$ er vinklen ved trekantens basis.
Ved at bruge sætningen om vinkler i bunden af en ligebenet trekant får vi
$∠2=∠3=100^\cirkel$
Men så vil kun deres sum være større end $180^\circ$, hvilket er i modstrid med betingelserne i sætning 1. Det betyder, at dette tilfælde ikke forekommer.
En vinkel lig med $100^\circ$ er vinklen mellem lige sider, det er
Spørgsmål åbnet 04/08/2017 kl. 12:25
Ikke rigtig___
2. I en ligebenet trekant er vinklerne ved bunden stumpe.
Ikke rigtig___
3. Når to parallelle linjer skærer et kryds tværgående, er de liggende vinkler ens
tilsvarende vinkler.
Ikke rigtig___
4. Når to parallelle linjer skærer en transversal, er summen af ensidede vinkler 180°.
Ikke rigtig___
5. En trekants ydre vinkel er lig med forskellen mellem to vinkler i trekanten, der ikke støder op til den.
Ikke rigtig___
6. Diagonalerne i et parallelogram er lige store.
Ikke rigtig___
7. Diagonalerne af et kvadrat er indbyrdes vinkelrette.
Ikke rigtig___
8. Et rektangels diagonaler halverer rektanglets hjørner.
Ikke rigtig___
9. Medianen af en trekant deler trekantens sider i forholdet 2:1, tællet fra toppunktet.
Ikke rigtig___
10. Halveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i et punkt.
Ikke rigtig___
11. Højden af en ligebenet trekant tegnet til basen er medianen og halveringslinjen.
Ikke rigtig___
12. En trekant med en firkant på en af siderne lig med summen firkanter af de to andre sider, rektangulære.
Ikke rigtig___
13. En firkant, hvis to sider er parallelle, er en trapez.
Ikke rigtig___
14. I et parallelogram er summen af kvadraterne på diagonalerne lig med summen af kvadraterne på alle dens sider.
Ikke rigtig___
15. Arealet af en rhombus er lig med produktet af kvadratet på siden og sinus af vinklen på rhombus.
Ikke rigtig___
16. Arealet af et rektangel er lig med halvdelen af produktet af kvadratet på diagonalen og sinus af vinklen mellem diagonalerne.
Ikke rigtig___
17. Tangent af en spids vinkel retvinklet trekant lig med forholdet tilstødende ben til den modsatte.
Ikke rigtig___
18. Radius af en cirkel omskrevet om en retvinklet trekant er lig med forholdet mellem det tilstødende ben og det modsatte.
Ikke rigtig___
19. Midtpunkterne på siderne af enhver firkant er hjørnerne af et parallelogram.
Ikke rigtig___
20.Hvis diagonalerne i et parallelogram er ens, så er dette parallelogram et kvadrat.
Ikke rigtig___
21. Segmentet, der forbinder midtpunkterne af diagonalerne i en trapezoid, er lig med halvdelen af forskellen på dens baser.
Ikke rigtig___
22. Skæringspunktet for fortsættelsen af trapezets laterale sider og midten af dens baser ligger på den samme lige linje.
Ikke rigtig___
23.Hvis vinklerne ved bunden af et trapez er lige store, så er det ligebenet.
Ikke rigtig___
24. Midtlinjen af en trapez er lig med halvdelen af forskellen på dens baser.
Ikke rigtig___
25.Arealforhold lignende tal lig med lighedskoefficienten.
Ikke rigtig___
26. En diameter vinkelret på akkorden deler de buer, der er dæmpet af den, i to.
Ikke rigtig___
27. Af to akkorder er den, der er længere væk fra midten, større.
Ikke rigtig___
28. En cirkels radius er to gange diameteren.
Ikke rigtig___
29. En ret linje, der har to fælles punkter med en cirkel, er en tangent.
Ikke rigtig___
30. Centrum af en cirkel indskrevet i en vinkel ligger på halveringslinjen af denne vinkel.
Ikke rigtig___
31. Toppunktet af en indskrevet vinkel ligger i midten af cirklen.
Ikke rigtig___
32. Centrene for en ligesidet trekants omkreds og omkreds falder sammen.
Ikke rigtig___
33.En cirkel kan indskrives i en firkant, hvis summen modsatte hjørner lig med 180°.
Ikke rigtig___
34.Omkredsen af en cirkel er lig med µd, hvor d er diameteren af cirklen.
Ikke rigtig___
35. Summen af vinklerne i en polygon er 180°:(n-2).
Ikke rigtig___
36. Hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med benet divideret med sinus af vinklen modsat dette ben.
Ikke rigtig___
37. Halveringslinjen i en trekant deler sin side i segmenter, der er proportionale med de to andre sider.
Ikke rigtig___
38. Linjer, der indeholder højderne af en trekant, skærer hinanden i tre punkter.
Ikke rigtig___
39. Skæringspunktet for halveringslinjen i en trekant er midten af cirklen, der er omskrevet om denne trekant.
Ikke rigtig___
40. Vinklen mellem halveringslinjerne af lodrette vinkler er 180°.
Ikke rigtig___
Denne teorem er også formuleret i lærebogen af L.S. Atanasyan. , og i lærebogen af Pogorelov A.V. . Beviserne for dette teorem i disse lærebøger adskiller sig ikke væsentligt, og derfor præsenterer vi dets bevis, for eksempel fra lærebogen af A.V. Pogorelov.
Sætning: Summen af vinklerne i en trekant er 180°
Bevis. Lad ABC - givet trekant. Lad os tegne en linje gennem toppunktet B parallelt med linjen AC. Lad os markere punkt D på den, så punkt A og D ligger langs forskellige sider fra den direkte linje BC (fig. 6).
Vinklerne DBC og ACB er lig med indre tværliggende, dannet af sekanten BC med parallelle lige linjer AC og BD. Derfor er summen af vinklerne i en trekant ved hjørnerne B og C lig med vinkel ABD. Og summen af alle tre vinkler i en trekant er lig med summen af vinklerne ABD og BAC. Da disse er ensidige indvendige vinkler for parallelle AC og BD og sekant AB, er deres sum 180°. Sætningen er blevet bevist.
Ideen med dette bevis er at udføre parallel linje og betegnelse af lighed af de ønskede vinkler. Lad os rekonstruere ideen om en sådan yderligere konstruktion ved at bevise denne sætning ved hjælp af konceptet om et tankeeksperiment. Bevis for sætningen ved hjælp af et tankeeksperiment. Så emnet for vores tankeeksperiment er vinklerne i en trekant. Lad os placere ham mentalt i forhold, hvor hans essens kan afsløres med særlig sikkerhed (stadie 1).
Sådanne betingelser vil være et sådant arrangement af trekantens hjørner, hvor alle tre af deres hjørner vil blive kombineret på et punkt. En sådan kombination er mulig, hvis vi tillader muligheden for at "flytte" hjørnerne ved at flytte trekantens sider uden at ændre hældningsvinklen (fig. 1). Sådanne bevægelser er i det væsentlige efterfølgende mentale transformationer (stadie 2).
Ved at udpege vinklerne og siderne i en trekant (fig. 2), de vinkler, der opnås ved at "bevæge sig", danner vi derved mentalt miljøet, det system af forbindelser, som vi placerer vores tankeobjekt i (trin 3).
Linje AB, "bevæger sig" langs linjen BC og uden at ændre hældningsvinklen til den, overfører vinkel 1 til vinkel 5, og "bevæger sig" langs linien AC, overfører vinkel 2 til vinkel 4. Da med en sådan "bevægelse" linje AB ikke ændrer hældningsvinklen til linjerne AC og BC, så er konklusionen indlysende: strålerne a og a1 er parallelle med AB og omdannes til hinanden, og strålerne b og b1 er en fortsættelse af henholdsvis siderne BC og AC. Da vinkel 3 og vinklen mellem strålerne b og b1 er lodrette, er de ens. Summen af disse vinkler er lig med den drejede vinkel aa1 - hvilket betyder 180°.
KONKLUSION
I diplomarbejde udført "konstruerede" beviser af en eller anden skole geometriske sætninger, ved hjælp af strukturen af et tankeeksperiment, som bekræftede den formulerede hypotese.
De fremlagte beviser var baseret på sådanne visuelle og sensoriske idealiseringer: "kompression", "strækning", "glidning", som gjorde det muligt at transformere originalen geometrisk objekt og fremhæve dets væsentlige karakteristika, hvilket er typisk for et tankeeksperiment. Hvori tankeeksperiment fungerer som et vist "kreativt værktøj", der bidrager til fremkomsten af geometrisk viden (f.eks. ca. midtlinje trapez eller omkring vinklerne i en trekant). Sådanne idealiseringer gør det muligt at forstå hele ideen om bevis, ideen om at udføre "yderligere konstruktion", som giver os mulighed for at tale om muligheden for en mere bevidst forståelse af skolebørn af processen med formelt deduktivt bevis for geometriske sætninger.
Et tankeeksperiment er et af grundlæggende metoder indhente og opdage geometriske sætninger. Det er nødvendigt at udvikle en metode til at overføre metoden til den studerende. Rester åbent spørgsmål omkring alderen på en elev, der er acceptabel for at "acceptere" metoden, om " bivirkninger» beviserne fremlagt på denne måde.
Disse spørgsmål kræver yderligere undersøgelse. Men under alle omstændigheder er én ting sikkert: Et tankeeksperiment udvikler sig hos skolebørn teoretisk tænkning, er dens grundlag, og derfor skal evnen til mental eksperimentering udvikles.