Definition. Punkternes locus er en figur, der består af alle punkter på planet, der har en bestemt egenskab.

Sætning. Lokuset for punkter, der er lige langt fra to givne punkter, er den vinkelrette halveringslinje til det segment, der forbinder disse punkter, det vil sige en ret linje vinkelret på dette segment og passerer gennem dets midtpunkt.

Bevis.

Lad punkt C være lige langt fra A og B. Lad os markere punkt M – midtpunktet af segment AB. Trekanter ACM og BCM er lige store på tre sider. Vinkler AMC og BMC er ens og summerer op til en lige vinkel. Så de er begge lig med 90°.
Vi har bevist, at alle punkter, der er lige langt fra to givne punkter, ligger på den vinkelrette halveringslinje.

2) Lad punktet C ligge på halveringslinjen vinkelret på AB. Trekanter AMC og BMC er lig med to sider, hvilket betyder AC=BC.
Vi har bevist, at alle punkter i den vinkelrette halveringslinje til et segment er lige langt fra dets ender.

Lokuset for punkter, der er lige langt fra to givne punkter, og den vinkelrette halveringslinje til det segment, der forbinder disse punkter, falder således sammen.

Sætningen er blevet bevist.

A (0; 0), B (a; 0), C (x; y). AC=CB.

2) Cirkel (definition). Formel til beregning af arealet af en cirkel (uden output). Afledning af formlen for arealet af en cirkulær sektor.

Definition. En cirkel er et sæt af punkter på et plan placeret i en afstand på ikke mere end et givet punkt fra et givet punkt.

BILLET 8

1) Trekant (definition). Sætning om summen af ​​vinkler i en trekant, Eulers rette linje (uden bevis).

Definition. En trekant er en figur, der består af 3 punkter, der ikke ligger på samme linje, og 3 segmenter, der forbinder dem i par.

Sætning. Summen af ​​vinklerne i en trekant er 180°.

Bevis.

Lad os tegne en ret linje a gennem toppunktet B, parallelt med siden AC.
ligger som kors.
. Derefter .

Sætningen er blevet bevist.

Sætning. Omkredsen af ​​en trekant, dens ortocenter, tyngdepunktet og midten af ​​cirklen med ni punkter ligger på en lige linje, kaldet Eulers rette linje.

Afstande mellem to punkter gennem koordinaterne for disse punkter (overvej alle tilfælde).

Lad os udføre a og b, .

Fordi retvinklet trekant,

BILLET 9

Tegn på lighed af retvinklede trekanter

Da vinklen mellem to ben i en retvinklet trekant er lige, og alle to rette vinkler er lige store, så følger det fra det første tegn på trekanters lighed:

1) På to ben (fra det første tegn)

2) Langs benet og spids vinkel (fra det andet første tegn)

(da den tilstødende vinkel klart bestemmes af den modsatte vinkel)

3) Ved hypotenusen og spids vinkel

Bevis.

I sådanne trekanter er de to andre spidse vinkler også ens, derfor er trekanter ens i henhold til det andet tegn på lighed af trekanter, dvs. langs siden (hypotenusen) og to tilstødende

hendes hjørner.

Sætningen er bevist.

4) Ved hypotenuse og ben

Bevis.

Betragt trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 , hvis vinkler C og C 1 er rette vinkler, AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 .

Da ∠C=∠C 1, så kan trekant ABC overlejres på trekanten A 1 B 1 C 1, således at toppunktet C er på linje med toppunktet C 1, og siderne CA og CB er henholdsvis overlejret på strålerne C 1 A 1 og C 1 B 1 . Da CB=C 1 B 1, vil toppunkt B flugte med toppunkt B 1.
Men så vil toppunkterne A og A 1 også falde sammen.

Faktisk, hvis vi antager, at punkt A falder sammen med et andet punkt A 2 på strålen C 1 A 1, så får vi en ligebenet trekant A 1 B 1 A 2, hvor vinklerne ved grundfladen A 1 A 2 ikke er ens. (∠A 2 - spids, en ∠A 1 stump som støder op til en spids vinkel B 1 A 1 C 1). Men dette er umuligt, så toppunkter A og A 1 vil falde sammen.

Følgelig er trekanter ABC og A l B l C l fuldstændig kompatible, dvs. de er lige store.

Sætningen er blevet bevist.

Cirkel

Definition. En cirkel er stedet for punkter, der er lige langt fra en given.

Da længden af ​​hele cirklen er 2πR, er længden af ​​en bue på 1° lig med 2πR/360° = πR/180°.
Derfor er længden l udtrykt med formlen:

BILLET 10

1) Tegn på et parallelogram:

1. Hvis to sider af en firkant er lige store og parallelle, så er denne firkant et parallelogram.

Problemer med 2. ordens linjer.
Hvordan finder man punkternes sted?

Denne workshop er en logisk fortsættelse af foredraget vedr anden ordens linjer og dets populære repræsentanter - ellipse, hyperbel og parabel. I dag vil vi konsolidere materialet dækket af adskillige opgaver, og derudover vil vi supplere den teoretiske viden med viden, som jeg bevidst gemte i de første lektioner, for ikke at overbelaste "dummierne" med ny information. For at være ærlig hader jeg at prøve de første afsnit af mine artikler (især når en klar lektionsplan er klar), så lad os hælde kaffe i kopper, sidde i en rundkreds og gå videre til at diskutere spørgsmålene om fordelene.

Følgende opgaver opstår oftest i selvstændigt og testarbejde:

– Find stedet for punkter(eller skriv en ligning for et sæt punkter), som hver især opfylder visse analytiske betingelser. Selvfølgelig er denne formulering generel, og det er ikke et faktum, at resultatet nødvendigvis skal være en linje, og nødvendigvis af anden orden. Men i forbindelse med det undersøgte emne bringer disse magiske ord næsten altid ligningen til live ellipse, cirkel, hyperboler eller parabler.

Svar: den nødvendige linje er en cirkel med et centrum i radiuspunktet. Kanonisk ligning: (eller afhængig af reduktionsmetoden).

Et lignende eksempel på en uafhængig løsning:

Opgave 2

Skriv en ligning for et sæt punkter, for hver af dem summen af ​​de kvadrerede afstande fra punkterne er lig med 20. Bestem typen af ​​linje, lav en tegning og bring ligningen til kanonisk form. Angiv brændpunkternes koordinater, skriv evt. asymptoternes ligning ned. Beregn kurvens excentricitet.

Kort design og tegning i slutningen af ​​lektionen.

Lad os systematisere proceduren for at løse dette problem:

På det første skridt det er nødvendigt at overveje et punkt med ukendte koordinater, der hører til det ønskede sæt af punkter, og forstå problemforholdene. Som regel taler den om afstandene fra punktet "um" til andre punkter og/eller andre linjer, samt forholdet mellem disse længder.

På andet trin du bør finde længderne af de nødvendige segmenter og, i overensstemmelse med problemets analytiske tilstand, oprette en ligning.

På tredje trin Vi forenkler den resulterende ligning. Først bringer vi den til sin generelle form, og derefter til en form, der er tæt på den kanoniske. I nogle problemer opnås straks en kanonisk ligning.

På det fjerde trin- tegning.

På den femte– reduktion til kanonisk form.

Den sjette– foci, asymptoter, excentricitet. Lad mig minde dig om, at det er meget mere bekvemt at finde dem fra den kanoniske optegnelse.

I praksis er der oftest færre opgaver, så i nogle tilfælde er der ikke behov for at reducere ligningen til kanonisk form, og i den mest kompakte version kræves der ingen tegning - du skal blot forenkle ligningen og navngive linjen. Jeg "indlæser" specifikt betingelserne for problemerne, så prøveløsningerne er egnede "til alle lejligheder." Men ikke desto mindre bliver vi ikke for ophidsede, og vi vil varme op med et par nye cocktails:

Opgave 3

Skriv en ligning for et sæt punkter, for hver af dem kvadratet af afstanden til punktet er 16 større end kvadratet af afstanden til ordinataksen.

Løsning: Lad punktet høre til det ønskede sæt. Derefter:

Bemærk : strengt taget, i overensstemmelse med formuleringen af ​​betingelsen, skal vi overveje (samme længde), men i dette og andre problemer vil vi forsømme denne logiske unøjagtighed.

Hvad er afstanden fra et punkt til ordinataksen? Man kan bruge standardformlen for afstanden fra et punkt til en linje, men bruger man fantasien lidt, kan man sagtens forstå, at afstanden fra ethvert punkt til aksen er modul dens "X" koordinater:

Efter betingelse 16 mere, er derfor følgende lighed gældende:

(eller )

Dermed:

Skru møtrikkerne af:

"X kvadrat" er reduceret, og ligningen skal naturligvis bringes så tæt som muligt på den kanoniske form:

– parabel med toppunkt ved punkt, fokal parameter.

Svar: det nødvendige sæt af punkter er en parabel

Hvis der er behov for yderligere bringe linjeligningen til kanonisk form, så i dette eksempel gøres dette ganske enkelt:

1) Lad os bringe parablens ligning til kanonisk form ved at parallelisere dens overførsel fra midten til koordinaternes oprindelse:

2) Lad os gå videre til et nyt rektangulært koordinatsystem med et centrum i punktet , så vil parablens ligning have formen: .

Jeg vil ikke give en tegning, pga parabel Vi har allerede vendt det, som vi ville.

Opgave 4

Skriv en ligning for et sæt punkter, for hver af dem er afstanden til punktet lig med afstanden til abscissen. Udfør tegningen. Bring ligningen til kanonisk form.

I prøveløsningen er det sidste punkt implementeret på begge måder.

Problemer med cirkler (især ofte) og parabler findes også i skolens læseplan. Nå, vores 18+-fest bliver varmere - tag dine sweatre og jakker af:

Opgave 5

Find stedsligningen for punkter, for hver af disse forholdet mellem afstanden til punktet og afstanden til linjen er konstant og lig med . Lav en tegning. Bring linjens ligning til kanonisk form, find foci, excentricitet, asymptoter og dirigerer (hvis de findes).

Løsning: lad punktet høre til det ønskede sæt af punkter. Problemet taler om afstand:
,

Som resultat:
– ellipse centreret ved oprindelsen, halvakser .

Bemærk venligst, at denne formulering klart definerer en ellipse, og at tilføje noget er unødvendigt.

Lad os på tegningen afbilde den fundne ellipse, et punkt og en lige linje :


Geometrisk verifikation her er vanskelig, men på den anden side er det ikke overnaturligt. Lad os tage et punkt af ellipsen, den nemmeste måde er at overveje .
For hende: .
Ved betingelse skal forholdet være lig med .
Vi tjekker:
, hvilket var det, der skulle tjekkes.

I praksis kan du vælge et hvilket som helst punkt på ellipsen, måle afstandene med en lineal, dividere ved hjælp af en lommeregner og sikre dig, at resultatet er cirka .

I denne opgave blev linjens ligning tegnet med det samme i kanonisk form, hvilket gør løsningen lettere. Det er tilbage at beskæftige sig med fokus, excentricitet, asymptoter og forstanderinder.

Det er tydeligt, at ellipsen ikke har nogen asymptoter.

Lad os regne og skrive ellipse foci:

.

Det første fokus faldt sammen med punktet.

Lad os finde excentriciteten: . Ved et andet mærkeligt tilfælde viste excentriciteten sig at være lig med forholdet .

...men er dette en tilfældighed?

Forstanderinde, som du husker fra materialerne om parabel, - Det her lige. Og direkte med en hær af ivrige fans. Nu studerede jeg statistikken for Yandex-forespørgsler - på en måned ledte omkring 1000 mennesker efter porno med rektor og omkring 600 geometrielskere udtrykte et ønske om at kneppe hende (intet =) Nå, frække mennesker, vær jaloux på ellipsen to forstanderinder!

En kanonisk placeret ellipse har to retningslinjer, som er givet af ligningerne , hvor "epsilon" er denne ellipses excentricitet.

Til vores helt:

Det er rigtigt, den første instruktør faldt fuldstændig sammen med det direkte "de". Desuden angiver problemformuleringen faktisk følgende teorem om analytisk geometri:

Ellipse holdning


Det er, for enhver af et punkt på en ellipse, er forholdet mellem dets afstand fra fokus og afstanden fra det til nærmeste retningslinje nøjagtigt lig med excentriciteten: .

Med det andet fokus og det andet retningslinje er historien ens, uanset hvilket punkt af ellipsen vi tager, vil følgende forhold være sandt:

Svar: det påkrævede sted for punkter er en ellipse med foci og excentricitet. Direkte ligninger:.

Et lignende eksempel på en gør-det-selv-løsning:

Opgave 6

Find stedsligningen for punkter, for hver af disse forholdet mellem afstanden til punktet og afstanden til linjen er konstant og lig med . Fuldfør tegningen. Bring linjens ligning til kanonisk form, find foci, excentricitet, asymptoter og dirigerer, hvis de findes.

I prøveløsningen er slutningen implementeret på begge måder; vælg den version, der er mere passende i dit højere matematikkursus.

Vores fest er i fuld gang, og der sker så mange interessante ting omkring os, at det nogle gange er pinligt overhovedet at tale om det =) Lad os blive ved med at rocke!

Opgave 7

Lav en ligning af en linje, for hver af dem er forskellen i afstandene til punkterne og i absolut værdi 8. Bring ligningen til kanonisk form og lav en tegning. Find asymptoter, foci, excentriciteter og dirigerer, hvis de findes.

Løsning: lad punktet høre til den ønskede linje. Derefter:

Efter betingelse:

Forresten, minder det dig om noget? Opmærksomme læsere har allerede bestemt linjen ;-)

Rødder? modul? Skyd dig selv! Nonsens!

Først skal du slippe af med radikaler. Da det er en dårlig idé at kvadrere med det samme (eksperimentører kan prøve), lad os sprede rødderne i ringens hjørner:

Nå, nu er det en helt anden sag:

Der har været succeser, men én rod er tilbage. Lad os lade vores malware være i fred og forenkle venstre side af ligningen så meget som muligt:

Vi firer begge dele igen, læg mærke til, hvordan repressalien mod modulet afsluttes samtidigt og helt roligt:

Lad os smide alt til højre og "udvide" ligningen:

Modtaget 2. ordens linjeligning i generel form. Vi vælger den komplette firkant for variablen "y" for at gøre dette, tager vi "minus ni" ud af parentesen:

Tænk grundigt over den udførte handling - et almindeligt trick.

Vi samler kvadratet af forskellen og tilføjer konstanterne:

Så meget for dig. Efter alt at dømme skulle sæbeoperaen være afsluttet hyperbole, men vi har et "ekstra" minus. Lad os tjekke og åbne parenteserne (hvilket er tilrådeligt at gøre under alle omstændigheder)... nej, alt er korrekt - vi får den oprindelige generelle ligning.

Lad os ændre tegnene for begge dele:

Allerede tættere på sandheden, men "minus" viste sig at være "malplaceret." I kapitlet om rotation og parallel translation af en hyperbel Jeg sagde, at dette er et tegn på en rotation af denne kurve med 90 grader i forhold til dens kanoniske position.

Men lad os først færdiggøre ligningen. Divider begge sider med 144:

Og den sidste finjustering:

- her er det, den længe ventede hyperbel, der opfylder betingelserne for problemet ... som faktisk er definitionen af ​​en hyperbel =)

Påkrævet af tilstand i første omgang bringe ligningen til kanonisk form, og først derefter færdiggør tegningen. For ikke at overskride kogepunktet for gråt stof, vil vi bruge et forenklet skema. Sagen er dog stadig ikke den enkleste. Symmetricentret i vores afdeling er ved punktet, og desuden drejes det 90 grader omkring dette punkt

I det første trin udfører vi en parallel oversættelse af hyperbelen SO – så dets centrum er i koordinaternes oprindelse. Resultatet bliver ligningen:.

Den anden handling er at rotere hyperbelen omkring oprindelsen med 90 grader, mens skift værdierne af halvakserne og overfør "minus" til "y" variablen:

I princippet er operationerne kommutative, dvs. først var det muligt at rotere rundt om punktet og derefter flytte midten til oprindelsen.

Ikke at glemme asymptoter , lad os tegne:


Endnu en gang: hvordan den oprindelige hyperbel er placeret ? Den opnås ved at dreje den kanoniske hyperbel 90 grader rundt om origo og derefter flytte den langs aksen 5 enheder opad med symmetriens centrum til punktet.

Men det er meget mere bekvemt at arbejde med den givne ligning. Lad os finde trickene:

I tilfælde af de transformationer, der er anført ovenfor, "flytter" de bare til punkterne betingelserne for problemet.

Lad os beregne excentriciteten:

En hyperbel, ligesom en ellipse, to forstanderinder. I det kanoniske tilfælde er de placeret mellem grenene af hyperbelen og er givet af de samme ligninger , hvor "epsilon" er denne hyperbels excentricitet.

I dette eksempel:

Desuden gælder absolut samme sætning for en hyperbel:

Hyperbel– er mængden af ​​alle punkter i planet sådan, at holdning afstanden til hvert punkt fra fokus til afstanden fra det til den tilsvarende (nærmeste) retningslinje er lig med excentriciteten:


Det er, for enhver punkt i en hyperbel, forholdet mellem dets afstand fra fokus og afstanden fra det til nærmeste retningslinje er lig med excentriciteten: .

For par og nogen punkter i en hyperbel (for variationens skyld valgte jeg et demonstrationspunkt for den fjerne gren) forholdet er det samme:

I øvrigt, parabler med dets eneste fokus og eneste retningslinje er disse længder per definition relateret "en til en", derfor er excentriciteten af ​​enhver parabel lig med en.

Svar: den ønskede linje er en hyperbel med symmetriens centrum i et punkt og roteret 90 grader i forhold til dets kanoniske position. Kanonisk form af ligningen: , fokuserer: , excentricitet: , asymptoter: , forstanderinder:.

Jeg ville virkelig gerne simplificere eksemplet, men det var taget fra et specifikt værk, så jeg var nødt til at gennemgå alle finesser og teknikker med stædig træthed. Jeg skænker alle et glas mælk for at være skadeligt og giver dem en opgave, som de skal løse på egen hånd:

Opgave 8

Find stedsligningen for punkter, for hver af disse forholdet mellem afstanden til punktet og afstanden til linjen er konstant og lig med . Lav en nøjagtig tegning.

Tænk over, hvad det her er, og hvilken linje tilstanden hvisker om ;-)

Vi finder heroisk ud af løsningen og tegningen, hvorefter vi med ren sjæl og let hjerte falder i søvn på klapsenge nær monitorerne for at vågne op til næste lektion med friske hoveder og rosenrøde ansigter.

Godnat!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Lad punktet høre til det nødvendige sæt af punkter. Derefter:


Efter betingelse:

Eller:

Lad os forenkle ligningen:

Lad os vælge komplette firkanter:

– cirkel med centrum i radiuspunktet
Lad os lave tegningen:

Lad os bringe ligningen til kanonisk form.
1) Metode 1 . Lad os udføre en parallel oversættelse af cirklen med centrum til koordinaternes oprindelse: .
2) Metode to . Ved hjælp af parallel oversættelse flytter vi fra originalen til et nyt rektangulært koordinatsystem med oprindelsen ved punktet . Således vil ligningen for en cirkel blive skrevet i kanonisk form: .
Svar : ligningen for det nødvendige sæt af punkter angiver en cirkel med et centrum i et radiuspunkt. Kanonisk form af ligningen: (eller afhængig af metoden). Cirklens brændpunkter falder sammen og er placeret i dens centrum. En cirkel har ingen asymptoter. Excentriciteten af ​​enhver cirkel er nul.

Slide billedtekster:

Lektionens emne:
"Geometrisk lokus af punkter." 9. klasses lærer Gordeeva N.M.
Fortæl mig, og jeg vil glemme, Vis mig, og jeg vil huske, Involver mig, og jeg vil forstå. (gammel kinesisk visdom)
Formålet med lektionen:
systematisere og uddybe viden om emnet "Koordinatmetode".
"En stor videnskabelig opdagelse giver en løsning på et stort problem, men i løsningen af ​​ethvert problem er der et gran af opdagelse." (Dyorgier Poyat)
Opgave:
find stedet for punkter, der har en bestemt egenskab (gør en opdagelse).
Definition:
Punkternes locus er en figur, der består af alle punkter i planet, der har en bestemt egenskab.
Geometrisk lokus af punkter,
lige langt fra et givet punkt, er der
cirkel.
Geometrisk lokus af punkter,
lige langt fra enderne af et givet segment, er der
halveringslinje vinkelret på dette segment.
Geometrisk lokus af punkter,
lige langt fra siderne af en given vinkel, er der
halveringslinje for denne vinkel.
Geometrisk lokus af punkter,
lige langt fra to parallelle linjer, er der
en linje parallel med dem, der går gennem midten af ​​deres fælles vinkelret (centrene af cirklerne, der tangerer disse linjer, ligger på den).
Geometrisk lokus af punkter,
som er hjørnerne af retvinklede trekanter med en given hypotenusa, der er
en cirkel bygget på hypotenusen som en diameter (eksklusive enderne af hypotenusen).
Geometrisk lokus af punkter,
forholdet mellem afstandene, hvorfra til to givne punkter er en konstant værdi, er
cirkel
(som kaldes Apollonius' kreds).
Øvelse 1
På figuren AD=DB=2 cm Hvad er det geometriske sted for punkter, der hører til en given linje, der fjernes fra punkt D i en afstand: a) lig med 2 cm. b) mere end 2 cm; c) ikke mere end 2 cm.
-en
b
EN
D
B
Løsning:

EN
D
B
-en
b
EN
D
B
-en
b
EN
D
B
-en
b
Opgave 2
Brug den samme figur til at bestemme, hvad der er det geometriske sted for punkter på planet, der er fjernt fra punkt D i en afstand svarende til 2 cm; b) mere end 2 cm; c) ikke mere end 2 cm.
EN
D
B
-en
b
Løsning:
a) Afstanden fra D er 2 cm:
EN
D
B
-en
b
Løsning:
b) Afstand fra D mere end 2 cm:
EN
D
B
-en
b
Løsning:
c) Afstand fra D ikke mere end 2 cm:
EN
D
B
-en
b
Opgave 3
Brug koordinatmetoden til at finde et par tal, der opfylder betingelsen
Opgave 4
Brug koordinatmetoden til at bevise, at ligningssystemet har en unik løsning:
Opgave 5
Bestem de GMT'er, der opfylder ligningen: a)
Opgave 5
Bestem de GMT'er, der opfylder ligningen: b)
Opgave 5
Bestem de GMT'er, der opfylder ligningen: c)
Opgave 5
Bestem de GMT'er, der opfylder ligningen: d)
Opgave 5
Bestem de GMT'er, der opfylder ligningen: e)
Parabel som et sted for punkter.
En parabel er stedet for punkter, der er lige langt fra et givet punkt og fra en given ret linje.
Konstruktion af en parabel.
Hvordan planter man et blomsterbed?
Geometrisk lokus af punkter,
summen af ​​afstandene, hvorfra til to givne punkter F1, F2 er en konstant værdi; større end F1F2.
GMT byggeplan.
Fastgør enderne af tråden ved hjælp af knapperne til punkterne F1 og F2. Brug en blyant til at strække tråden, så dens spids rører papiret. Vi flytter blyanten langs papiret, så tråden forbliver stram. Tegn en linje med en blyant.
Opbygning af GMT
Hvad vil der ske med ellipsen, hvis brændpunkterne: a) nærmer sig hinanden; b) bevæge sig væk fra hinanden.
Find stedet for punkter, for hvilke summen af ​​afstandene til to givne punkter F1 og F2: a) er mindre end en given værdi 2a; b) mere end en given værdi 2a.
HMT-ligning
Bestem de GMT'er, der opfylder ligningen:
HMT-ligning
, Derefter
- ellipse ligning
Svar: F1, F2
Keglesnit
Keglesnit
Apollonius af Perga (II-III århundreder f.Kr.) - oldgræsk matematiker. Det vigtigste arbejde er "Conic Sections"
Keglesnit
De blev studeret af antikke græske geometre. Teorien om keglesnit var en af ​​højdepunkterne i oldtidens geometri. Ligningerne for disse linjer blev udledt meget senere, da koordinatmetoden begyndte at blive brugt.
Anden ordens kurver
y
0
x
Koordinatmetoden, kombineret med algebra, udgør en gren af ​​geometrien kaldet analytisk geometri.
Ellipse excentricitet
karakteriserer graden af ​​dens forlængelse.
Selv Johannes Kepler (1571 - 1630), en tysk astronom, opdagede, at solsystemets planeter bevæger sig rundt om Solen ikke i cirkler, som tidligere antaget, men i ellipser, og Solen er placeret i en af ​​brændpunkterne for disse ellipser .
Baner af himmellegemer
Venus NeptuneEarthPlutoHalleys komet
0,0068 0,0086 0,0167 0,253 0,967
Vi løste et problem om et sæt punkter, og denne GMT er relateret til universet (og dette var bare et problem!).
Lektier
Opret en ligning for punkternes locus, produktet af afstandene, hvorfra til to givne punkter F1(-c; 0), F2(c; 0) er en konstant værdi a2. Dette punktsted kaldes Cassini-ovalen.
Lektier
Opret en ligning for punkternes locus, produktet af afstandene, hvorfra til to givne punkter F1(-a; 0), F2(a; 0) er en konstant værdi a2. Et sådant punktsted kaldes et lemniscat (se figur). (Find først ligningen for lemniscaten direkte, og overvej det derefter som en speciel type Cassini-oval).
Opsummering af lektionen

Punkternes geometriske lokus (herefter GMT) er en figur af et plan, der består af punkter, der har en bestemt egenskab, og som ikke indeholder et enkelt punkt, der ikke har denne egenskab.

Vi vil kun overveje de HMT'er, der kan konstrueres ved hjælp af et kompas og lineal.

Lad os overveje HMT'er på et fly, som har de enkleste og hyppigst udtrykte egenskaber:

1) GMT'er placeret i en given afstand r fra et givet punkt O er en cirkel med et centrum i punktet O med radius r.

2) GMT lige langt fra to givne punkter A og B er en ret linje vinkelret på segmentet AB og går gennem dets midte.

3) GMT lige langt fra to givne skærende linjer, er der et par indbyrdes vinkelrette linjer, der passerer gennem skæringspunktet og deler vinklerne mellem de givne linjer i to.

4) GMT'er placeret i samme afstand h fra en ret linje er to lige linjer parallelt med denne rette linje og placeret på modsatte sider af den i en given afstand h.

5) Det geometriske sted for cirklernes centre, der tangerer en given linje m i et givet punkt M på den, er vinkelret på AB i punktet M (undtagen punktet M).

6) Det geometriske sted for cirklernes centre, der tangerer en given cirkel i et givet punkt M på den, er en ret linje, der går gennem punktet M og midten af ​​den givne cirkel (undtagen punkterne M og O).

7) GMT, hvoraf et givent segment er synligt i en given vinkel, udgør to cirkler, der er beskrevet på et givet segment, og som indeholder en given vinkel.

8) GMT, afstandene fra hvilke til to givne punkter A og B er i forholdet m:n, er en cirkel (kaldet Apollonius-cirklen).

9) Det geometriske sted for midtpunkterne af akkorder tegnet fra et punkt i en cirkel er en cirkel konstrueret på et segment, der forbinder et givet punkt med midten af ​​en given cirkel, som på en diameter.

10) Den geometriske placering af hjørnerne af trekanter, der er lige store med den givne og har en fælles base, er to rette linjer, parallelle med bunden og passerer gennem toppunktet af den givne trekant og symmetriske med den i forhold til den rette linje, der indeholder basen.

Lad os give eksempler på at finde GMT.

EKSEMPEL 2.Find de GMT'er, der er midtpunkterne i akkorderne,tegnet fra et punkt i en given cirkel(GMT nr. 9).

Løsning . Lad en cirkel med centrum O være givet og punkt A vælges på denne cirkel, hvorfra der tegnes akkorder. Lad os vise, at den ønskede GMT er en cirkel konstrueret på AO som en diameter (undtagen punkt A) (fig. 3).

Lad AB være en akkord og M dens midtpunkt. Lad os forbinde M og O. Derefter MO ^ AB (radius, der deler akkorden i to, er vinkelret på denne akkord). Men så er RAMO = 90 0. Det betyder, at M tilhører en cirkel med diameter AO (GMT nr. 7). Fordi denne cirkel går gennem punktet O, så hører O til vores GMT.

Lad omvendt M tilhøre vores GMT. Når vi derefter trækker akkorden AB gennem M og forbinder M og O, opnår vi, at RAMO = 90 0, dvs. MO ^ AB, og derfor er M midten af ​​akkorden AB. Hvis M falder sammen med O, så er O midten af ​​AC.

Ofte giver koordinatmetoden mulighed for at finde GMT.

EKSEMPEL 3.Find GMT'erne, afstanden fra hvilken til to givne punkter A og B er i det givne forhold m: n (m ≠ n).

Løsning . Lad os vælge et rektangulært koordinatsystem, så punkterne A og B er placeret på Ox-aksen symmetrisk i forhold til origo, og Oy-aksen går gennem den midterste AB (fig. 4). Lad AB = 2a. Så har punkt A koordinaterne A (a, 0), punkt B har koordinaterne B (-a, 0). Lad C høre til vores HMT, koordinaterne C(x, y) og CB/CA = m/n. Men Midler

(*)

Lad os forvandle vores ligestilling. Vi har

Lektionens mål:

• Pædagogisk: vis en ny metode til at løse problemer med at konstruere en geometrisk placering af punkter; Lær at bruge det til at løse problemer.
• Udviklingsmæssig: udvikling af visuel og figurativ tænkning; kognitiv interesse.
• Uddannelsesmæssigt: udvikling af evnen til at planlægge arbejde, se efter rationelle måder at udføre det på, evnen til at forsvare sin mening med fornuft og kritisk vurdere resultatet.

Lektionens mål:

• Studerer nyt materiale.
• Test elevernes problemløsningsevner.

Lektionsplan:

1. Definitioner.
2. Eksempel 1.
3. Eksempel 2.
4. Eksempel 3.
5. Teoretisk del.
6. Generelle begreber.

Introduktion.

Den gamle egyptiske og babyloniske kultur inden for matematik blev videreført af grækerne. De lærte ikke kun alle erfaringerne med deres geometri, men gik også meget længere. Forskere fra det antikke Grækenland var i stand til at systematisere den akkumulerede geometriske viden og dermed lægge grundlaget for geometri som en deduktiv videnskab.

Græske købmænd stiftede bekendtskab med østlig matematik, mens de etablerede handelsruter. Men østens folk engagerede sig næsten ikke i teori, og det opdagede grækerne hurtigt. De stillede spørgsmål: hvorfor i en ligebenet trekant er to vinkler ved bunden lige store; Hvorfor er arealet af en trekant lig med halvdelen af ​​arealet af et rektangel med lige baser og højder?

Desværre er der ingen overlevende primære kilder, der beskriver den tidlige udviklingsperiode for græsk matematik. Kun takket være de restaurerede tekster fra det fjerde århundrede f.Kr. og værker af arabiske lærde, som var rige på oversættelser af værker fra forfatterne af det antikke Grækenland, har vi udgaver af Euklid, Archimedes, Apollonius og andre store mennesker. Men i disse værker præsenteres allerede en fuldt udviklet matematisk videnskab.

Matematikken i det antikke Grækenland gik gennem en lang og kompleks udviklingsvej, startende fra det 6. århundrede f.Kr. og til det 6. århundrede. Videnskabshistorikere skelner mellem tre perioder af dens udvikling i overensstemmelse med videns natur:

1. Akkumulering af individuelle matematiske fakta og problemer (6 - 5B.B. f.Kr.).
2. Systematisering af erhvervet viden (4. - 3. århundrede f.Kr.).
3. Perioden for beregningsmatematik (3. århundrede f.Kr. - 6. århundrede).

Geometrisk lokus af punkter (GLP).

Definitioner.

Geometrisk sted- et udtryk brugt i den gamle litteratur om geometri og stadig bruges i undervisningslitteraturen til at betyde sæt punkter, der opfylder en eller anden betingelse, som regel af geometrisk karakter. For eksempel: lokuset for punkter med lige stor afstand fra to givne punkter A og B er den vinkelrette halveringslinje til segmentet AB. Nogle gange taler de om den geometriske placering af lige linjer og andre figurer.

Navnet er forbundet med ideen om en linje som et "sted", hvor punkter er placeret.

I geometri, banen for et punkt, der bevæger sig i overensstemmelse med en given formel eller betingelse. For eksempel er en cirkel stedet for et punkt, der bevæger sig på et plan, så afstanden fra dets placering til centrum forbliver uændret.

Geometrisk lokus af punkter (GMT) er et sæt punkter, der omfatter alle punkter, der opfylder en bestemt betingelse, og kun dem.

Geometrisk lokus af punkter (GMT)- en talefigur i matematik, brugt til at definere en geometrisk figur som et sæt punkter, der har en bestemt egenskab.

Eksempler.

• Den vinkelrette halveringslinje af et segment er stedet for punkter, der er lige langt fra enderne af segmentet.
• En cirkel er stedet for punkter, der er lige langt fra et givet punkt, kaldet cirklens centrum.
• En parabel er stedet for punkter, der er lige langt fra et punkt (kaldet fokus) og en linje (kaldet direkte).

Eksempel 1.

Den vinkelrette median af ethvert segment er stedet for punkter (dvs. sættet af alle punkter), der er lige langt fra enderne af dette segment. Lad PO være vinkelret på AB og AO = OB:

Derefter er afstandene fra ethvert punkt P, der ligger på medianen vinkelret PO til enderne A og B af segmentet AB, de samme og lig med d.

Således har hvert punkt på den vinkelrette median af et segment følgende egenskab: det er lige langt fra enderne af segmentet.

Eksempel 2.

En vinkels halveringslinje er stedet for punkter, der er lige langt fra dens sider.

Eksempel 3.

En cirkel er stedet for punkter (dvs. mængden af ​​alle punkter), der er lige langt fra dets centrum (figuren viser et af disse punkter - A).

Akkord, der passerer gennem midten af ​​cirklen (f.eks. BC, Fig. 1) kaldes en diameter og betegnes d eller D. Diameter er den største akkord lig med to radier (d = 2 r).

Tangent. Antag, at sekanten PQ (fig. 2) passerer gennem punkterne K og M i cirklen. Lad os også antage, at punktet M bevæger sig langs en cirkel, og nærmer sig punktet K. Så vil sekanten PQ ændre sin position og rotere rundt om punktet K. Når punktet M nærmer sig punktet K, vil sekanten PQ tendere til en vis grænseposition AB. Linje AB kaldes tangent til cirklen i punktet K. Punkt K kaldes tangenspunktet. Tangenten og cirklen har kun ét fælles punkt - kontaktpunktet.

Egenskaber for en tangent.

1. Tangenten til cirklen er vinkelret på radius tegnet til kontaktpunktet (AB er vinkelret på OK, fig. 2).
2. Fra et punkt uden for cirklen kan der tegnes to tangenter til den samme cirkel; deres segmenter er lig med AB=AC (fig. 3).

Segment– dette er den del af cirklen, der er afgrænset af buen ACB og den tilsvarende korde AB (fig. 4). Længden af ​​den vinkelrette CD trukket fra midten af ​​akkorden AB til skæringspunktet med buen ACB kaldes segmentets højde.

Vinkler i en cirkel.

Den centrale vinkel er den vinkel, der dannes af to radier (∠AOB, fig. 5). En indskrevet vinkel er en vinkel dannet af to akkorder AB og AC tegnet fra deres fælles punkt (∠BAC, fig. 4). En omskrevet vinkel er en vinkel dannet af to tangenter AB og AC trukket fra ét fælles punkt (∠BAC, fig. 3).

Relationer mellem elementerne i en cirkel.

Indskrevet vinkel(∠ABC, Fig.7) er lig med halvdelen af ​​den centrale vinkel baseret på den samme bue AmC (∠AOC, Fig.7). Derfor er alle indskrevne vinkler (fig. 7) baseret på den samme bue (AmC, fig. 7) ens. Og da midtervinklen indeholder det samme antal grader som dens bue (AmC, fig. 7), så måles enhver indskrevet vinkel med halvdelen af ​​den bue, den hviler på (i vores tilfælde AmC).

Alle indskrevne vinkler baseret på en halvcirkel (∠APB, ∠AQB, ..., Fig. 8) er rette vinkler.

Hjørne(∠AOD, Fig.9), dannet af to akkorder (AB og CD), måles ved halvsummen af ​​buer indesluttet mellem siderne: (And + CmB) / 2.

Vinklen (∠AOD, Fig. 10) dannet af to sekanter (AO og OD) måles ved den halve forskel af de buer, der er indesluttet mellem dens sider: (And – BmC) / 2.

Vinklen (∠DCB, Fig. 11) dannet af tangenten og korden (AB og CD) måles med halvdelen af ​​den bue, der er indeholdt i den: CmD / 2.

Vinklen (∠BOC, Fig. 12) dannet af tangenten og sekanten (CO og BO) måles ved den halve forskel af buerne mellem dens sider: (BmC – CnD) / 2.

Den omskrevne vinkel (∠AOC, Fig. 12), dannet af to tangenter (CO og AO), måles ved den halve forskel af buer mellem dens sider: (ABC – CDA) / 2.

Produkterne af segmenter af akkorder (AB og CD, Fig. 13 eller Fig. 14), som de er opdelt i ved skæringspunktet, er lig med: AO · BO = CO · DO.

Tangentens kvadrat er lig med produktet af sekanten og dens ydre del (fig. 12): OA 2 = OB · OD. Denne egenskab kan betragtes som et særligt tilfælde af fig. 14.

Akkord(AB , Fig. 15) , vinkelret på diameteren( CD) , O i halv: AO = OB.

Ris. 15

Interessant fakta:

Tillykke med Pi-ferien.

I videnskabelige termer er tallet "Pi" forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Det virker som en simpel ting, men det har bekymret matematikeres sind siden oldtiden. Og det bliver ved med at bekymre sig. I en sådan grad, at videnskabsmænd - for omkring 20 år siden - blev enige om at fejre denne dato. Og de opfordrede hele det progressive samfund til at deltage i festlighederne. Hun er med: hun spiser runde Pi-rogs, du tisser, altid Pi-vo, og laver Pi-lyde, når de mødes.

Fans vil konkurrere om at huske Pi-tegnene. Og de vil forsøge at overgå rekorden for den 24-årige kinesiske studerende Liu Chao, som navngav 68.890 tegn fra hukommelsen uden fejl. Det tog ham 24 timer og 4 minutter.

Fejringens afgang er planlagt til den 14. marts – en dato, der i amerikansk skrift ligner 3.14 – altså de første tre cifre i Pi.
Ifølge legenden kendte de babylonske præster til tallet "Pi". Brugt ved opførelsen af ​​Babelstårnet. Men de var ikke i stand til nøjagtigt at beregne værdien og kunne derfor ikke gennemføre projektet. Symbolet for tallet "Pi" blev første gang brugt i hans skrifter i 1706 af matematikeren William Jones. Men det slog virkelig rod efter 1737 takket være den svenske matematiker Leonhard Eulers indsats.

Den amerikanske fysiker Larry Shaw kom op med ideen om at fejre ferien.
Der er ikke noget nøjagtigt svar på spørgsmålet om, hvor mange decimaler der er i tallet "Pi". Der er højst sandsynligt et uendeligt antal af dem. Og hovedtræk er, at sekvensen af ​​disse tegn ikke gentages. I dag er der 12.411 billioner kendt. 500 milliarder undersøgt. Og ingen gentagelser blev fundet.

Ifølge nogle fremtrædende fysikere og matematikere, for eksempel David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe, vil ingen nogensinde finde dem – gentagelser. Skriv i det mindste hele universet med tegn. Ja, i hvert fald hvor mange universer... Og videnskabsmænd ser en form for skjult mystik i dette. Det menes, at tallet "Pi" koder for endeløst primordialt kaos, som senere blev til harmoni. Eller nogle mystiske oplysninger.

Spørgsmål:

1. Formulere definitionen af ​​cirkel og cirkel?
2. Hvilke nye begreber blev du fortrolig med?
3. Hvad kaldes punkternes sted?
4. Hvad er forskellen mellem diameter og radius?
5. Hvordan finder man radius af cirklen omgivet af en trekant?

Liste over anvendte kilder:

1. Lektion om emnet "visuel geometri"
2. Savin A.P. Metode til geometriske steder /Valgfrit kursus i matematik: Lærebog for 7.-9. klassetrin i gymnasiet. Comp. I.L. Nikolskaya. – M.: Oplysning, s. 74.
3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometri: Lærebog for 7-9 klassetrin på almene uddannelsesinstitutioner. – M.: Mnemosyne, 2005, s. 84.
4. Sharygin I.F. Geometri. 7-9 klassetrin: Lærebog for almene uddannelsesinstitutioner. – M.: Trappe, s. 76.
5. Mazur K. I. "Løsning af de vigtigste konkurrenceproblemer i matematik i samlingen redigeret af M. I. Skanavi"

Arbejdede på lektionen:

Samylina M.V.

Poturnak S.A.

Vladimir LAGOVSKY

Du kan stille et spørgsmål om moderne uddannelse, give udtryk for en idé eller løse et presserende problem på Pædagogisk forum, hvor et pædagogisk råd af frisk eftertanke og handling mødes internationalt. At have skabt blog, Du vil ikke kun forbedre din status som kompetent lærer, men også yde et væsentligt bidrag til udviklingen af ​​fremtidens skole. Lauget af pædagogiske ledereåbner døre for top-rangerede specialister og inviterer dem til at samarbejde om at skabe de bedste skoler i verden.