Største og mindste værdi af en funktion

Den største værdi af en funktion er den største, den mindste værdi er den mindste af alle dens værdier.

En funktion kan kun have én største og kun én mindste værdi, eller den kan slet ikke have nogen. At finde de største og mindste værdier af kontinuerlige funktioner er baseret på følgende egenskaber for disse funktioner:

1) Hvis funktionen y=f(x) i et bestemt interval (endelig eller uendelig) er kontinuert og kun har ét ekstremum, og hvis dette er et maksimum (minimum), så vil det være den største (mindste) værdi af funktionen i dette interval.

2) Hvis funktionen f(x) er kontinuerlig på et bestemt segment, så har den nødvendigvis den største og mindste værdi på dette segment. Disse værdier nås enten ved ekstreme punkter, der ligger inde i segmentet, eller ved grænserne for dette segment.

For at finde de største og mindste værdier på et segment, anbefales det at bruge følgende skema:

1. Find den afledede.

2. Find kritiske punkter for funktionen, hvor =0 eller ikke eksisterer.

3. Find værdierne af funktionen på kritiske punkter og i enderne af segmentet, og vælg blandt dem den største f max og den mindste f max.

Når man beslutter sig anvendte problemer især optimering, vigtig have til opgave at finde de største og mindste værdier (globalt maksimum og globalt minimum) af en funktion på intervallet X. For at løse sådanne problemer bør man ud fra betingelsen vælge en uafhængig variabel og udtrykke den værdi, der undersøges vha. denne variabel. Find derefter den ønskede største eller mindste værdi af den resulterende funktion. I dette tilfælde bestemmes ændringsintervallet for den uafhængige variabel, som kan være endelig eller uendelig, også ud fra problemets betingelser.

Eksempel. Reservoir formet som en åben top rektangulær parallelepipedum med en firkantet bund skal du fortinne indersiden. Hvad skal tankens dimensioner være, hvis dens kapacitet er 108 liter? vand, så udgiften til fortinning er minimal?

Løsning. Omkostningerne ved at belægge en tank med tin vil være minimale, hvis dens overfladeareal er minimal for en given kapacitet. Lad os betegne med a dm siden af ​​basen, b dm højden af ​​tanken. Så er arealet S af dens overflade lig med

OG

Det resulterende forhold etablerer forholdet mellem overfladearealet af reservoiret S (funktion) og siden af ​​basen a (argument). Lad os undersøge funktionen S for et ekstremum. Lad os finde den første afledede, sidestille den med nul og løse den resulterende ligning:

Derfor a = 6. (a) > 0 for a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Eksempel. Find de største og mindste værdier af en funktion på intervallet.

Løsning: Specificeret funktion fortløbende på hele tallinjen. Afledt af en funktion

Afledt for og for . Lad os beregne funktionsværdierne på disse punkter:

.

Værdierne af funktionen i enderne af det givne interval er ens. Derfor er den største værdi af funktionen lig ved , den mindste værdi af funktionen er lig ved .

Selvtest spørgsmål

1. Formuler L'Hopitals regel for afsløring af usikkerheder i formen. Liste Forskellige typer usikkerheder, som L'Hopitals regel kan bruges til.

2. Formuler tegn på stigende og faldende funktion.

3. Definer maksimum og minimum for en funktion.

4. Formuler nødvendig betingelse eksistensen af ​​et ekstremum.

5. Hvilke værdier af argumentet (hvilke punkter) kaldes kritiske? Hvordan finder man disse punkter?

6. Hvad er tilstrækkelige tegn på eksistensen af ​​et ekstremum af en funktion? Skitser et skema til at studere en funktion ved et ekstremum ved hjælp af den første afledede.

7. Skitser et skema til at studere en funktion ved et ekstremum ved hjælp af den anden afledede.

8. Definer konveksitet og konkavitet af en kurve.

9. Hvad kaldes bøjningspunktet for en funktions graf? Angiv en metode til at finde disse punkter.

10. Formuler de nødvendige og tilstrækkelige tegn på konveksitet og konkavitet af en kurve på bag dette segment.

11. Definer asymptoten for en kurve. Sådan finder du lodret, vandret og skrå asymptoter funktionsgrafik?

12. Disposition almindelig ordning undersøge en funktion og konstruere dens graf.

13. Formuler en regel for at finde den største og mindste værdi af en funktion på et givet interval.

Og for at løse det har du brug for minimal viden om emnet. Den næste slutter Akademi år, alle ønsker at tage på ferie, og for at bringe dette øjeblik tættere på, vil jeg komme direkte til sagen:

Lad os starte med området. Området, der henvises til i betingelsen, er begrænset lukket sæt punkter på et fly. For eksempel sættet af punkter afgrænset af en trekant, inklusive HELE trekanten (hvis fra grænser"stik ud" mindst et punkt, så vil regionen ikke længere være lukket). I praksis er der også områder, der er rektangulære, cirkulære og lidt større. komplekse former. Det skal bemærkes, at i teorien matematisk analyse der gives strenge definitioner begrænsninger, isolation, grænser mv., men jeg tror, ​​at alle er bevidste om disse begreber på et intuitivt niveau, og nu er der ikke behov for mere.

Et fladt område er standard betegnet med bogstavet , og er som regel specificeret analytisk - ved flere ligninger (ikke nødvendigvis lineær); sjældnere uligheder. Typisk ordsprog: "lukket område, afgrænset af linjer ».

En integreret del Den pågældende opgave er at konstruere et område på tegningen. Hvordan gør man det? Du skal tegne alle de listede linjer (i I dette tilfælde 3 lige) og analysere, hvad der skete. Det søgte område er normalt let skraveret, og dets grænse er markeret med en tyk streg:


Det samme område kan også indstilles lineære uligheder: , som af en eller anden grund ofte skrives som en opregnet liste frem for system.
Da grænsen tilhører regionen, så er alle uligheder selvfølgelig, slap.

Og nu essensen af ​​opgaven. Forestil dig, at aksen kommer lige ud mod dig fra oprindelsen. Overvej en funktion, der sammenhængende i hver område punkt. Grafen for denne funktion repræsenterer nogle overflade, og den lille lykke er, at for at løse dagens problem behøver vi ikke at vide, hvordan denne overflade ser ud. Det kan være placeret højere, lavere, skære flyet - alt dette betyder ikke noget. Og følgende er vigtigt: iflg Weierstrass' sætninger, sammenhængende V begrænset lukket område funktionen når sin største værdi (den højeste") og det mindste (den laveste") værdier, der skal findes. Sådanne værdier opnås eller V stationære punkter, tilhørende regionenD , eller på punkter, der ligger på grænsen til dette område. Dette fører til en enkel og gennemsigtig løsningsalgoritme:

Eksempel 1

I begrænset lukket område

Løsning: Først og fremmest skal du afbilde området på tegningen. Desværre er det teknisk svært for mig at lave en interaktiv model af problemet, og derfor vil jeg straks præsentere den endelige illustration, som viser alle de “mistænkelige” punkter, der er fundet under researchen. De er normalt listet efter hinanden, efterhånden som de opdages:

Baseret på præamblen kan afgørelsen bekvemt opdeles i to punkter:

I) Find stationære punkter. Dette er en standardhandling, som vi udførte gentagne gange i klassen. om ekstrema af flere variable:

Fundet stationært punkt hører til områder: (mærk det på tegningen), hvilket betyder, at vi skal beregne værdien af ​​funktionen på et givet punkt:

- som i artiklen De største og mindste værdier af en funktion på et segment, vigtige resultater Jeg vil fremhæve med fed skrift. Det er praktisk at spore dem i en notesbog med en blyant.

Vær opmærksom på vores anden lykke – det nytter ikke noget at tjekke tilstrækkelig betingelse for et ekstremum. Hvorfor? Selvom funktionen på et tidspunkt når f.eks. lokalt minimum, så BETYDER dette IKKE, at den resulterende værdi bliver minimal i hele regionen (se begyndelsen af ​​lektionen om ubetingede ekstremer) .

Hvad skal man gøre, hvis det stationære punkt IKKE hører til regionen? Næsten ingenting! Det skal bemærkes, og gå videre til næste punkt.

II) Vi udforsker grænsen til regionen.

Da grænsen består af siderne af en trekant, er det praktisk at opdele undersøgelsen i 3 underafsnit. Men det er bedre ikke at gøre det alligevel. Fra mit synspunkt er det mere fordelagtigt først at betragte segmenterne parallelle koordinatakser, og først og fremmest dem, der ligger på selve økserne. For at forstå hele rækkefølgen og logikken af ​​handlinger, prøv at studere slutningen "i ét åndedrag":

1) Lad os beskæftige os med den nederste side af trekanten. For at gøre dette skal du erstatte direkte i funktionen:

Alternativt kan du gøre det sådan her:

Geometrisk betyder det det koordinatplan (som også er givet af ligningen)"skærer" ud af overflader en "rumlig" parabel, hvis top straks kommer under mistanke. Lad os finde ud af det hvor befinder hun sig:

– den resulterende værdi "faldt" ind i området, og det kan det godt vise sig på det tidspunkt (markeret på tegningen) funktionen når sit maksimum eller laveste værdi i hele regionen. Lad os på en eller anden måde lave beregningerne:

De andre "kandidater" er selvfølgelig enderne af segmentet. Lad os beregne værdierne af funktionen i punkter (markeret på tegningen):

Her kan du i øvrigt udføre et mundtligt minitjek ved hjælp af en "strippet" version:

2) Til forskning højre side vi erstatter trekanten i funktionen og "sætter tingene i rækkefølge":

Her vil vi straks udføre en grov kontrol og "ringe" den allerede behandlede ende af segmentet:
, Store.

Den geometriske situation hænger sammen forrige punkt:

- den resulterende værdi "kom også ind i vores interessesfære", hvilket betyder, at vi skal beregne, hvad funktionen på det viste punkt er lig med:

Lad os undersøge den anden ende af segmentet:

Brug af funktionen , lad os udføre et kontroltjek:

3) Sandsynligvis kan alle gætte, hvordan man udforsker den resterende side. Vi erstatter det i funktionen og udfører forenklinger:

Ender af segmentet er allerede blevet undersøgt, men i udkastet tjekker vi stadig, om vi har fundet funktionen korrekt :
– faldt sammen med resultatet af 1. afsnit;
– faldt sammen med resultatet af 2. afsnit.

Det er tilbage at finde ud af, om der er noget interessant inde i segmentet:

- Der er! Ved at erstatte den rette linje i ligningen får vi ordinaten af ​​denne "interessante":

Vi markerer et punkt på tegningen og finder den tilsvarende værdi af funktionen:

Lad os tjekke beregningerne ved hjælp af "budget"-versionen :
, ordre.

Og det sidste skridt: Vi ser omhyggeligt alle de "fed" numre igennem, jeg anbefaler, at begyndere endda laver en enkelt liste:

hvorfra vi vælger de største og mindste værdier. Svar Lad os skrive ned i stil med problemet med at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment:

For en sikkerheds skyld kommenterer jeg igen geometrisk betydning resultat:
- her er det meste højdepunkt overflader i området ;
- her er det meste lavpunkt overflader i området.

I den analyserede opgave identificerede vi 7 "mistænkelige" punkter, men deres antal varierer fra opgave til opgave. For en trekantet region består minimum "forskningssæt" af tre point. Dette sker, når funktionen f.eks. specificerer fly– det er helt klart, at der ikke er nogen stationære punkter, og funktionen kan kun nå sine maksimale/mindste værdier ved trekantens spidser. Men der er kun et eller to lignende eksempler – normalt skal man forholde sig til nogle overflade af 2. orden.

Hvis du prøver at løse sådanne opgaver lidt, så kan trekanter få dit hoved til at snurre, og det er derfor, jeg forberedte dig til dig usædvanlige eksempler så det bliver firkantet :))

Eksempel 2

Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område afgrænset af linjer

Eksempel 3

Find de største og mindste værdier af en funktion i et begrænset lukket område.

Særlig opmærksomhed Vær opmærksom på den rationelle rækkefølge og teknik til at studere grænsen af ​​regionen, samt til kæden af ​​mellemliggende kontroller, som næsten helt vil undgå beregningsfejl. Generelt kan du løse det som du vil, men i nogle problemer, for eksempel i eksempel 2, er der alle muligheder for at gøre dit liv meget sværere. Omtrentlig prøve afslutte opgaver i slutningen af ​​lektionen.

Lad os systematisere løsningsalgoritmen, ellers forsvandt den med min flid som edderkop i den lange tråd af kommentarer i det første eksempel:

– Ved det første trin bygger vi et område, det er tilrådeligt at skygge det og fremhæve grænsen med en fed streg. Under løsningen vil der dukke punkter op, som skal markeres på tegningen.

- Find stationære punkter og beregn værdierne for funktionen kun i dem af dem der hører til regionen. Vi fremhæver de resulterende værdier i teksten (cirkel dem for eksempel med en blyant). Hvis et stationært punkt IKKE hører til regionen, så markerer vi dette faktum med et ikon eller verbalt. Hvis stationære punkter slet ikke, så drager vi en skriftlig konklusion om, at de er fraværende. Under alle omstændigheder kan dette punkt ikke springes over!

- Vi udforsker grænsen til regionen. For det første er det en fordel at forstå de rette linjer, der er parallelle med koordinatakserne (hvis der overhovedet er nogen). Vi fremhæver også funktionsværdierne beregnet på "mistænkelige" punkter. Der er sagt meget ovenfor om løsningsteknikken og noget andet vil blive sagt nedenfor - læs, genlæs, dyk ned i det!

– Fra de valgte tal skal du vælge den største og mindste værdi og give svaret. Nogle gange sker det, at en funktion når sådanne værdier på flere punkter på én gang - i dette tilfælde skal alle disse punkter afspejles i svaret. Lad f.eks. og det viste sig, at dette er den mindste værdi. Så skriver vi det ned

De sidste eksempler er dedikeret til andre nyttige ideer som vil være nyttige i praksis:

Eksempel 4

Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område .

Jeg har bibeholdt forfatterens formulering, hvor området er givet i form af en dobbelt ulighed. Denne betingelse kan skrives af et tilsvarende system eller i en mere traditionel form til dette problem:

Jeg minder dig om, at med ikke-lineær vi stødte på uligheder på, og hvis du ikke forstår den geometriske betydning af notationen, så lad være med at forsinke og afklare situationen lige nu;-)

Løsning, som altid begynder med at konstruere et område, der repræsenterer en slags "sål":

Hmm, nogle gange skal man ikke kun tygge videnskabens granit...

I) Find stationære punkter:

Systemet er en idiots drøm :)

Et stationært punkt hører til regionen, nemlig ligger på dens grænse.

Og så, det er okay... lektionen gik godt - det er, hvad det vil sige at drikke den rigtige te =)

II) Vi udforsker grænsen til regionen. Uden videre, lad os starte med x-aksen:

1) Hvis, så

Lad os finde ud af, hvor parablens toppunkt er:
– værdsæt sådanne øjeblikke – du har "ramt" lige til det punkt, hvorfra alt allerede er klart. Men vi glemmer stadig ikke at tjekke:

Lad os beregne værdierne af funktionen i enderne af segmentet:

2) C bund Lad os finde ud af "bundene" "i ét møde" - vi erstatter dem i funktionen uden nogen komplekser, og vi vil kun være interesserede i segmentet:

Styring:

Dette giver allerede en vis spænding til den monotone kørsel langs den riflede bane. Lad os finde kritiske punkter:

Lad os bestemme andengradsligning, kan du huske noget andet om dette? ...Husk dog selvfølgelig, ellers ville du ikke læse disse linjer =) Hvis i de to foregående eksempler udregninger i decimaler(hvilket i øvrigt er sjældent), så venter de sædvanlige os her almindelige brøker. Vi finder "X"-rødderne og bruger ligningen til at bestemme de tilsvarende "spil"-koordinater for "kandidat"-punkterne:


Lad os beregne værdierne af funktionen ved de fundne punkter:

Tjek selv funktionen.

Nu studerer vi omhyggeligt de vundne trofæer og skriver ned svar:

Det er "kandidater", det er "kandidater"!

For at løse det selv:

Eksempel 5

Find den mindste og højeste værdi funktioner i et lukket område

En post med krøllede seler lyder sådan her: "et sæt punkter sådan."

Nogle gange i lignende eksempler brug Lagrange multiplikator metode, men der er næppe et reelt behov for at bruge det. Så for eksempel, hvis en funktion med det samme område "de" er givet, så efter substitution i det - med afledt fra ingen vanskeligheder; Desuden er alt tegnet i "en linje" (med tegn) uden behov for at overveje de øvre og nedre halvcirkler separat. Men der er selvfølgelig flere komplekse sager, hvor uden Lagrange-funktionen (hvor for eksempel er den samme ligning af en cirkel) Det er svært at klare sig - ligesom det er svært at klare sig uden et godt hvil!

God fornøjelse alle sammen og på gensyn i næste sæson!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Lad os afbilde området på tegningen:

Processen med at søge efter de mindste og største værdier af en funktion på et segment minder om en fascinerende flyvning rundt om et objekt (graf af en funktion) i en helikopter, der skyder på bestemte punkter fra en langdistancekanon og vælger meget særlige point fra disse punkter til kontrolskud. Point udvælges på en bestemt måde og iflg visse regler. Efter hvilke regler? Vi vil tale om dette yderligere.

Hvis funktionen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ -en, b] , så når den på dette segment mindst Og højeste værdier . Dette kan ske enten i ekstreme punkter, eller i slutningen af ​​segmentet. Derfor at finde mindst Og de største værdier af funktionen , kontinuerlig i intervallet [ -en, b] , skal du beregne dens værdier i alt kritiske punkter og i enderne af segmentet, og vælg derefter den mindste og største fra dem.

Lad, for eksempel, du ønsker at bestemme den største værdi af funktionen f(x) på segmentet [ -en, b] . For at gøre dette skal du finde alle dets kritiske punkter, der ligger på [ -en, b] .

Kritisk punkt kaldet det punkt, hvor funktion defineret, og hende afledte enten lig med nul eller eksisterer ikke. Derefter skal du beregne værdierne af funktionen på de kritiske punkter. Og endelig bør man sammenligne værdierne af funktionen på kritiske punkter og i enderne af segmentet ( f(-en) Og f(b)). Det største af disse tal vil være den største værdi af funktionen på segmentet [-en, b] .

Problemer med at finde mindste funktionsværdier .

Vi leder efter de mindste og største værdier af funktionen sammen

Eksempel 1. Find de mindste og største værdier af en funktion på segmentet [-1, 2] .

Løsning. Find den afledede af denne funktion. Lad os sidestille den afledede til nul () og få to kritiske punkter: og . For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment er det nok at beregne dens værdier i enderne af segmentet og ved punktet, da punktet ikke hører til segmentet [-1, 2]. Disse funktionsværdier er: , , . Den følger det mindste funktionsværdi(angivet med rødt på grafen nedenfor), lig med -7, opnås i højre ende af segmentet - ved punkt , og størst(også rød på grafen), er lig med 9,- på det kritiske punkt.

Hvis en funktion er kontinuert i et bestemt interval, og dette interval ikke er et segment (men er f.eks. et interval; forskellen mellem et interval og et segment: grænsepunkterne for intervallet er ikke inkluderet i intervallet, men segmentets grænsepunkter er inkluderet i segmentet), så er der blandt funktionens værdier muligvis ikke at være den mindste og den største. Så for eksempel er funktionen vist i figuren nedenfor kontinuerlig på ]-∞, +∞[ og har ikke den største værdi.

Men for ethvert interval (lukket, åbent eller uendeligt) er følgende egenskab for kontinuerlige funktioner sand.

Eksempel 4. Find de mindste og største værdier af en funktion på segmentet [-1, 3] .

Løsning. Vi finder den afledede af denne funktion som den afledede af kvotienten:

.

Vi sidestiller den afledte med nul, hvilket giver os et kritisk punkt: . Det hører til segmentet [-1, 3] . For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment, finder vi dens værdier i enderne af segmentet og på det fundne kritiske punkt:

Lad os sammenligne disse værdier. Konklusion: lig med -5/13, ved punkt og højeste værdi lig med 1 i punktet.

Vi fortsætter med at lede efter de mindste og største værdier af funktionen sammen

Der er lærere, som med hensyn til at finde de mindste og største værdier af en funktion, ikke giver eleverne eksempler at løse, der er mere komplekse end de netop omtalte, dvs. dem, hvor funktionen er et polynomium eller en brøk, hvis tæller og nævner er polynomier. Men vi vil ikke begrænse os til sådanne eksempler, da der blandt lærere er dem, der kan lide at tvinge eleverne til at tænke fuldt ud (tabellen over derivater). Derfor vil logaritmen og den trigonometriske funktion blive brugt.

Eksempel 6. Find de mindste og største værdier af en funktion på segmentet .

Løsning. Vi finder den afledede af denne funktion som afledt af produktet :

Vi sidestiller den afledte med nul, hvilket giver et kritisk punkt:. Det hører til segmentet. For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment, finder vi dens værdier i enderne af segmentet og på det fundne kritiske punkt:

Resultat af alle handlinger: funktionen når sin minimumsværdi, lig med 0, ved punktet og ved punktet og højeste værdi, lige e², ved punktet.

Eksempel 7. Find de mindste og største værdier af en funktion på segmentet .

Løsning. Find den afledede af denne funktion:

Vi sidestiller den afledte med nul:

Det eneste kritiske punkt tilhører segmentet. For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment, finder vi dens værdier i enderne af segmentet og på det fundne kritiske punkt:

Konklusion: funktionen når sin minimumsværdi, lig med , på punktet og højeste værdi, lige , på punktet .

I anvendte ekstreme problemer kommer det at finde de mindste (maksimum) værdier af en funktion som regel ned til at finde minimum (maksimum). Men det er ikke selve minimums- eller maksimumsværdierne, der er af større praktisk interesse, men de værdier af argumentet, hvorved de opnås. Ved løsning af anvendte problemer opstår det yderligere vanskelighed- kompilering af funktioner, der beskriver det pågældende fænomen eller proces.

Eksempel 8. Et reservoir med en kapacitet på 4, der har form som et parallelepipedum med kvadratisk base og åben i toppen, du skal tin den. Hvad skal tankens dimensioner være, så den tager mindste beløb materiale?

Løsning. Lade x- base side, h- tank højde, S- dets overfladeareal uden dækning, V- dens volumen. Tankens overfladeareal er udtrykt ved formlen, dvs. er en funktion af to variable. At udtrykke S som funktion af én variabel bruger vi det faktum, at , hvorfra . Erstatning af det fundne udtryk h ind i formlen for S:

Lad os undersøge denne funktion til sit yderste. Den er defineret og differentierbar overalt i ]0, +∞[ og

.

Vi sætter lighedstegn mellem den afledede og nul () og finder det kritiske punkt. Hertil kommer, at når den afledte ikke eksisterer, men denne værdi ikke er inkluderet i definitionsdomænet og derfor ikke kan være et ekstremumpunkt. Så dette er det eneste kritiske punkt. Lad os tjekke det for tilstedeværelsen af ​​et ekstremum ved at bruge det andet tilstrækkelige tegn. Lad os finde den anden afledede. Når den anden afledede er større end nul (). Det betyder, at når funktionen når et minimum . Siden dette minimum er det eneste ekstremum af denne funktion, det er dens mindste værdi. Så siden af ​​bunden af ​​tanken skal være 2 m, og dens højde skal være .

Eksempel 9. Fra punkt EN placeret på jernbanelinjen, til punktet MED, placeret i en afstand fra den l, gods skal transporteres. Omkostningerne ved at transportere en vægtenhed pr. afstandsenhed med jernbane er lig med , og med motorvej er den lig med . Til hvilket punkt M linjer jernbane der skal bygges en motorvej til at transportere gods fra EN V MED var den mest økonomiske (afsnit AB jernbane antages at være lige)?

Standardalgoritmen til at løse sådanne problemer involverer, efter at have fundet funktionens nuller, at bestemme fortegnene for den afledte på intervallerne. Derefter beregning af værdier ved de fundne maksimum (eller minimum) punkter og ved grænsen af ​​intervallet, afhængigt af hvilket spørgsmål der er i tilstanden.

Jeg råder dig til at gøre tingene lidt anderledes. Hvorfor? Jeg skrev om dette.

Jeg foreslår at løse sådanne problemer på følgende måde:

1. Find den afledede.
2. Find nullerne for den afledte.
3. Bestem, hvilken af ​​dem der tilhører dette interval.
4. Vi beregner værdierne af funktionen ved grænserne for intervallet og punkterne i trin 3.
5. Vi drager en konklusion (besvar det stillede spørgsmål).

Under løsningen af ​​de præsenterede eksempler blev løsningen ikke overvejet i detaljer andengradsligninger, du skal kunne gøre dette. Det burde de også vide.

Lad os se på eksempler:

77422. Find den største værdi af funktionen y=x 3 –3x+4 på segmentet [–2;0].

Lad os finde nullerne af den afledte:

Punktet x = –1 hører til det interval, der er angivet i betingelsen.

Vi beregner værdierne af funktionen i punkterne –2, –1 og 0:

Funktionens største værdi er 6.

Svar: 6

77425. Find den mindste værdi af funktionen y = x 3 – 3x 2 + 2 på segmentet.

Lad os finde den afledede af den givne funktion:

Lad os finde nullerne af den afledte:

Punktet x = 2 hører til det interval, der er angivet i betingelsen.

Vi beregner værdierne af funktionen i punkterne 1, 2 og 4:

Funktionens mindste værdi er –2.

Svar: -2

77426. Find den største værdi af funktionen y = x 3 – 6x 2 på segmentet [–3;3].

Lad os finde den afledede af den givne funktion:

Lad os finde nullerne af den afledte:

Intervallet angivet i betingelsen indeholder punktet x = 0.

Vi beregner værdierne af funktionen i punkterne –3, 0 og 3:

Funktionens mindste værdi er 0.

Svar: 0

77429. Find den mindste værdi af funktionen y = x 3 – 2x 2 + x +3 på segmentet.

Lad os finde den afledede af den givne funktion:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Vi får rødderne: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Intervallet angivet i betingelsen indeholder kun x = 1.

Lad os finde værdierne af funktionen i punkt 1 og 4:

Vi fandt ud af, at den mindste værdi af funktionen er 3.

Svar: 3

77430. Find den største værdi af funktionen y = x 3 + 2x 2 + x + 3 på segmentet [– 4; -1].

Lad os finde den afledede af den givne funktion:

Lad os finde nullerne i den afledede og løse andengradsligningen:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Lad os få rødderne:

Intervallet angivet i betingelsen indeholder roden x = –1.

Vi finder værdierne af funktionen i punkterne –4, –1, –1/3 og 1:

Vi fandt ud af, at den største værdi af funktionen er 3.

Svar: 3

77433. Find den mindste værdi af funktionen y = x 3 – x 2 – 40x +3 på segmentet.

Lad os finde den afledede af den givne funktion:

Lad os finde nullerne i den afledede og løse andengradsligningen:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Lad os få rødderne:

Intervallet angivet i betingelsen indeholder roden x = 4.

Find funktionsværdierne ved punkterne 0 og 4:

Vi fandt ud af, at den mindste værdi af funktionen er –109.

Svar: –109

Lad os overveje en måde at bestemme de største og mindste værdier af funktioner uden en afledt. Denne tilgang kan bruges, hvis du har store problemer. Princippet er enkelt - vi erstatter alle heltalværdier fra intervallet i funktionen (faktum er, at i alle sådanne prototyper er svaret et heltal).

77437. Find den mindste værdi af funktionen y=7+12x–x 3 på segmentet [–2;2].

Erstat punkter fra –2 til 2: Se løsning

77434. Find den største værdi af funktionen y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 på segmentet [–2;0].

Det er alt. Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.

Ofte i fysik og matematik er det nødvendigt at finde den mindste værdi af en funktion. Vi vil nu fortælle dig, hvordan du gør dette.

Sådan finder du den mindste værdi af en funktion: instruktioner

1. For at beregne den mindste værdi kontinuerlig funktion på et givet segment skal du følge følgende algoritme:
2. Find den afledede af funktionen.
3. Find på et givet segment de punkter, hvor den afledede er lig med nul, samt alle kritiske punkter. Find derefter værdierne af funktionen på disse punkter, det vil sige løs ligningen, hvor x er lig med nul. Find ud af, hvilken værdi der er den mindste.
4. Bestem hvilken værdi funktionen har på endepunkter. Bestem den mindste værdi af funktionen på disse punkter.
5. Sammenlign de opnåede data med den laveste værdi. Det mindste af de resulterende tal vil være den mindste værdi af funktionen.

Bemærk, at hvis en funktion på et segment ikke har mindste punkter, betyder det, at det i et givet segment stiger eller falder. Derfor skal den mindste værdi beregnes på de endelige segmenter af funktionen.

I alle andre tilfælde beregnes funktionsværdien efter en given algoritme. På hvert punkt af algoritmen skal du løse en simpel lineær ligning med én rod. Løs ligningen ved hjælp af et billede for at undgå fejl.

Hvordan finder man den mindste værdi af en funktion på et halvåbent segment? På en halvåben eller åben periode af funktionen skal den mindste værdi findes som følger. Ved endepunkterne af funktionsværdien beregnes den ensidige grænse for funktionen. Løs med andre ord en ligning, hvor tendenspunkterne er givet ved værdierne a+0 og b+0, hvor a og b er navnene kritiske punkter.

Nu ved du, hvordan du finder den mindste værdi af en funktion. Det vigtigste er at udføre alle beregninger korrekt, præcist og uden fejl.