1º. Eksponentialligninger kaldes ligninger, der indeholder en variabel i en eksponent.
Løsning af eksponentielle ligninger er baseret på potensers egenskab: to potenser med samme grundtal er lige, hvis og kun hvis deres eksponenter er lige store.
2º. Grundlæggende metoder til løsning af eksponentialligninger:
1) den enkleste ligning har en løsning;
2) en ligning af formen logaritmisk til grundfladen -en reducere til form ;
3) en ligning af formen svarer til ligningen ;
4) formens ligning 
svarer til ligningen.
5) en ligning af formen reduceres gennem substitution til en ligning, og derefter løses et sæt simple eksponentialligninger;
6) ligning med gensidige 
ved substitution reducerer de til en ligning og løser derefter et sæt ligninger;
7) ligninger homogene mhp a g(x) Og b g(x) givet det 
venlig 
gennem udskiftning reduceres de til en ligning, og derefter løses et sæt ligninger.
Klassifikation af eksponentialligninger.
1. Ligninger løses ved at gå til én base.
Eksempel 18. Løs ligningen 
.
Løsning: Lad os udnytte det faktum, at alle potensgrundlag er potenser af tallet 5: .
2. Ligninger løses ved at overføre til én eksponent.
Disse ligninger løses ved at transformere den oprindelige ligning til formen , som reduceres til sin enkleste ved hjælp af egenskaben proportion.
Eksempel 19. Løs ligningen:
3. Ligninger løses ved at tage den fælles faktor ud af parentes.
Hvis hver eksponent i en ligning adskiller sig fra den anden med et vist tal, så løses ligningerne ved at sætte eksponenten med den mindste eksponent ud af parentes.
Eksempel 20. Løs ligningen.
Løsning: Lad os tage graden med den mindste eksponent ud af parentes i venstre side af ligningen:
Eksempel 21. Løs ligningen 
Løsning: Lad os gruppere separat på venstre side af ligningen de led, der indeholder potenser med grundtal 4, på højre side - med grundtal 3, og derefter sætte potenserne med den mindste eksponent ud af parentes:
4. Ligninger, der reducerer til kvadratiske (eller kubiske) ligninger.
Følgende ligninger reduceres til en andengradsligning for den nye variabel y:
a) typen af substitution, i dette tilfælde;
b) typen af substitution og .
Eksempel 22. Løs ligningen 
.
Løsning: Lad os lave en ændring af variabel og løse andengradsligningen:
.
Svar: 0; 1.
5. Ligninger, der er homogene med hensyn til eksponentielle funktioner.
En ligning af formen er en homogen ligning af anden grad med hensyn til de ukendte et x Og b x. Sådanne ligninger reduceres ved først at dividere begge sider med og derefter erstatte dem i andengradsligninger.
Eksempel 23. Løs ligningen.
Løsning: Divider begge sider af ligningen med:
Putting får vi en andengradsligning med rødder.
Nu handler problemet om at løse et sæt ligninger 
. Fra den første ligning finder vi at . Den anden ligning har ingen rødder, siden for enhver værdi x.
Svar: -1/2.
6. Rationelle ligninger med hensyn til eksponentialfunktioner.
Eksempel 24. Løs ligningen.
Løsning: Divider brøkens tæller og nævner med 3 x og i stedet for to får vi en eksponentiel funktion:
7. Formens ligninger 
.
Sådanne ligninger med et sæt af tilladte værdier (APV), bestemt af betingelsen, ved at tage logaritmen af begge sider af ligningen reduceres til en ækvivalent ligning, som igen svarer til et sæt af to ligninger eller.
Eksempel 25. Løs ligningen: .
.
Didaktisk stof.
Løs ligningerne:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Find produktet af ligningens rødder 
.
27. Find summen af ligningens rødder 
.
Find betydningen af udtrykket:
28. , hvor x 0- roden af ligningen;
29. , hvor x 0– hele roden af ligningen 
.
Løs ligningen:
31. 
; 32. .
Svar: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4, 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10,8; 11,5; 12,1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28,11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Emne nr. 8.
Eksponentielle uligheder.
1º. En ulighed, der indeholder en variabel i eksponenten, kaldes eksponentiel ulighed.
2º. Løsningen på formens eksponentielle uligheder er baseret på følgende udsagn:
hvis , så er uligheden ækvivalent med ;
hvis , så er uligheden lig med .
Ved løsning af eksponentielle uligheder bruges de samme teknikker som ved løsning af eksponentielle ligninger.
Eksempel 26. Løs ulighed 
(metode til overgang til én base).
Løsning: Fordi 
, så kan den givne ulighed skrives som: 
. Siden , så er denne ulighed lig med uligheden 
.
Løser vi den sidste ulighed, får vi .
Eksempel 27. Løs uligheden: ( ved at tage den fælles faktor ud af parentes).
Løsning: Lad os tage ud af parenteser på venstre side af uligheden, på højre side af uligheden og dividere begge sider af uligheden med (-2), og ændre tegnet for uligheden til det modsatte:
Siden , så når man flytter til ulighed af indikatorer, skifter tegnet på ulighed igen til det modsatte. Vi får. Således er mængden af alle løsninger på denne ulighed intervallet.
Eksempel 28. Løs ulighed ( ved at indføre en ny variabel).
Løsning: Lad . Så vil denne ulighed antage formen: 
eller 
, hvis løsning er intervallet .
Herfra. Da funktionen øges, så .
Didaktisk stof.
Angiv sæt af løsninger på uligheden:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Til hvilke værdier x Ligger punkterne på funktionsgrafen under den rette linje?
7. Til hvilke værdier x Ligger punkterne på grafen for funktionen mindst lige så langt som til den rette linje?
Løs uligheden:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Angiv den største heltalsløsning til uligheden 
.
14. Find produktet af det største heltal og det mindste heltals løsninger til uligheden 
.
Løs uligheden:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Find funktionens domæne:
27. 
; 28. 
.
29. Find det sæt af argumentværdier, for hvilke værdierne for hver funktion er større end 3:
Og 
.
Svar: 11,3; 12,3; 13. -3; 14,1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2); 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) opnår vi, at \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Dernæst, ved at bruge egenskaben af grad \((a^b)^c=a^(bc)\), opnår vi \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Vi ved også, at \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Ved at anvende dette på venstre side får vi: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Husk nu at: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Denne formel kan også bruges i den modsatte retning: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Derefter \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)
Ved at anvende egenskaben \((a^b)^c=a^(bc)\) til højre får vi: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)
Og nu er vores baser lige store, og der er ingen forstyrrende koefficienter osv. Så vi kan klare overgangen.
Eksempel
. Løs eksponentialligningen \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Løsning:
|
\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) |
Vi bruger igen potensegenskaben \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) i den modsatte retning. |
|
|
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) |
Husk nu at \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Ved hjælp af egenskaberne for grader transformerer vi: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Vi ser nøje på ligningen og ser, at erstatningen \(t=2^x\) foreslår sig selv. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Vi fandt dog værdierne af \(t\), og vi har brug for \(x\). Vi vender tilbage til X'erne og laver en omvendt erstatning. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Lad os transformere den anden ligning ved hjælp af egenskaben for negativ potens... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...og vi bestemmer os indtil svaret. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Svar : \(-1; 1\).
Spørgsmålet står tilbage - hvordan man forstår, hvornår man skal bruge hvilken metode? Dette kommer med erfaring. Indtil du har udviklet det, brug den generelle anbefaling til at løse komplekse problemer - "hvis du ikke ved, hvad du skal gøre, så gør hvad du kan." Det vil sige, se efter, hvordan du i princippet kan transformere ligningen, og prøv at gøre det - hvad nu hvis hvad der sker? Det vigtigste er kun at lave matematisk baserede transformationer.
Eksponentialligninger uden løsninger
Lad os se på yderligere to situationer, der ofte forvirrer eleverne:
- et positivt tal i potensen er lig nul, for eksempel \(2^x=0\);
- et positivt tal er lig med potensen af et negativt tal, for eksempel \(2^x=-4\).
Lad os prøve at løse med rå magt. Hvis x er et positivt tal, vil hele potensen \(2^x\) kun stige, når x vokser:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Også af. Negative X'er forbliver. Ved at huske egenskaben \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), tjekker vi:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
På trods af at tallet bliver mindre for hvert trin, når det aldrig nul. Så den negative grad reddede os ikke. Vi kommer til en logisk konklusion:
Et positivt tal i enhver grad forbliver et positivt tal.
Begge ligninger ovenfor har således ingen løsninger.
Eksponentialligninger med forskellige baser
I praksis støder vi nogle gange på eksponentielle ligninger med forskellige baser, der ikke kan reduceres til hinanden, og samtidig med de samme eksponenter. De ser sådan ud: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), hvor \(a\) og \(b\) er positive tal.
For eksempel:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Sådanne ligninger kan let løses ved at dividere med en hvilken som helst af ligningens sider (normalt divideret med højre side, dvs. med \(b^(f(x))\). Du kan dividere på denne måde, fordi et positivt tal er positiv til enhver potens (det vil sige, vi dividerer ikke med nul) Vi får:
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
Eksempel
. Løs eksponentialligningen \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Løsning:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Her vil vi ikke være i stand til at forvandle en femmer til en treer eller omvendt (i hvert fald uden at bruge ). Det betyder, at vi ikke kan komme til formen \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Indikatorerne er dog de samme. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Husk nu egenskaben \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) og brug den fra venstre i den modsatte retning. Til højre reducerer vi blot fraktionen. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Det ser ud til, at tingene ikke blev bedre. Men husk endnu en egenskab ved magt: \(a^0=1\), med andre ord: "ethvert tal i nulpotensen er lig med \(1\)." Det omvendte er også sandt: "et kan repræsenteres som et hvilket som helst tal til nulpotensen." Lad os udnytte dette ved at gøre basen til højre den samme som til venstre. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Voila! Lad os slippe af med baserne. |
|
|
Vi skriver et svar. |
Svar : \(-7\).
Nogle gange er "ensartetheden" af eksponenter ikke indlysende, men dygtig brug af eksponenternes egenskaber løser dette problem.
Eksempel
. Løs eksponentialligningen \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Løsning:
|
\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Ligningen ser meget trist ud... Ikke alene kan grundlerne ikke reduceres til det samme tal (syv vil på ingen måde være lig med \(\frac(1)(3)\)), men også eksponenterne er forskellige. .. Lad os dog bruge venstre eksponent toer. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Ved at huske egenskaben \((a^b)^c=a^(b·c)\), transformerer vi fra venstre: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Når vi nu husker egenskaben negativ grad \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformerer vi fra højre: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Halleluja! Indikatorerne er de samme! |
Svar : \(2\).