Først og fremmest skal vi forstå begrebet en vektor selv. For at introducere definitionen geometrisk vektor Lad os huske, hvad et segment er. Lad os introducere følgende definition.

Definition 1

Et segment er en del af en linje, der har to grænser i form af punkter.

Et segment kan have 2 retninger. For at betegne retningen vil vi kalde en af ​​segmentets grænser for sin begyndelse, og den anden grænse for sin slutning. Retningen er angivet fra dens begyndelse til slutningen af ​​segmentet.

Definition 2

En vektor eller et rettet segment vil være et segment, for hvilket det er kendt, hvilken af ​​segmentets grænser, der betragtes som begyndelsen, og hvilken er dens slutning.

Betegnelse: Med to bogstaver: $\overline(AB)$ – (hvor $A$ er dens begyndelse, og $B$ er dens slutning).

Med et lille bogstav: $\overline(a)$ (fig. 1).

Lad os nu introducere begrebet vektorlængder direkte.

Definition 3

Længden af ​​vektoren $\overline(a)$ vil være længden af ​​segmentet $a$.

Notation: $|\overline(a)|$

Begrebet vektorlængde er f.eks. forbundet med et sådant begreb som ligheden mellem to vektorer.

Definition 4

Vi vil kalde to vektorer lige, hvis de opfylder to betingelser: 1. De er kodirektionelle; 1. Deres længder er lige store (fig. 2).

For at definere vektorer skal du indtaste et koordinatsystem og bestemme koordinaterne for vektoren i det indtastede system. Som vi ved, kan enhver vektor dekomponeres i formen $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, hvor $m$ og $n$ er reelle tal, og $\overline (i )$ og $\overline(j)$ er enhedsvektorer på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ aksen.

Definition 5

Vi vil kalde ekspansionskoefficienterne for vektoren $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinaterne for denne vektor i det indførte koordinatsystem. Matematisk:

$\overline(c)=(m,n)$

Hvordan finder man længden af ​​en vektor?

For at udlede en formel til beregning af længden af ​​en vilkårlig vektor givet dens koordinater, overveje følgende problem:

Eksempel 1

Givet: vektor $\overline(α)$ med koordinaterne $(x,y)$. Find: længden af ​​denne vektor.

Lad os introducere et kartesisk koordinatsystem $xOy$ på flyet. Lad os afsætte $\overline(OA)=\overline(a)$ fra oprindelsen af ​​det introducerede koordinatsystem. Lad os konstruere projektioner $OA_1$ og $OA_2$ af den konstruerede vektor på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ akserne (fig. 3).

Vektoren $\overline(OA)$ vi har konstrueret vil være radiusvektoren for punktet $A$, derfor vil den have koordinater $(x,y)$, hvilket betyder

$=x$, $[OA_2]=y$

Nu kan vi nemt finde den nødvendige længde ved hjælp af Pythagoras sætning, får vi

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Svar: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Konklusion: For at finde længden af ​​en vektor, hvis koordinater er givet, er det nødvendigt at finde roden af ​​kvadratet af summen af ​​disse koordinater.

Eksempel opgaver

Eksempel 2

Find afstanden mellem punkterne $X$ og $Y$, som har følgende koordinater: henholdsvis $(-1,5)$ og $(7,3)$.

Hvilke som helst to punkter kan let forbindes med begrebet en vektor. Overvej for eksempel vektoren $\overline(XY)$. Som vi allerede ved, kan koordinaterne for en sådan vektor findes ved at trække de tilsvarende koordinater for startpunktet ($X$) fra koordinaterne for slutpunktet ($Y$). Det forstår vi

Yandex.RTB R-A-339285-1

Længden af ​​vektoren a → vil blive betegnet med a → . Denne notation ligner modulet af et tal, så længden af ​​en vektor kaldes også for en vektors modul.

For at finde længden af ​​en vektor på et plan ud fra dens koordinater er det nødvendigt at overveje et rektangulært kartesisk koordinatsystem O x y. Lad en vektor a → med koordinaterne a x angives i den; ay. Lad os introducere en formel til at finde længden (modulet) af vektoren a → gennem koordinaterne a x og a y.

Lad os plotte vektoren OA → = a → fra oprindelsen. Lad os definere de tilsvarende projektioner af punkt A på koordinatakserne som A x og A y. Overvej nu et rektangel O A x A A y med diagonal OA.

Fra Pythagoras sætning følger ligheden O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , hvorfra O A = O A x 2 + O A y 2 . Fra allerede kendt definition vektorkoordinater i rektangulære Kartesisk system koordinater finder vi, at O ​​A x 2 = a x 2 og O A y 2 = a y 2, og ved konstruktion er længden af ​​OA lig med længden af ​​vektoren OA →, hvilket betyder OA → = O A x 2 + O A y 2.

Heraf viser det sig formel til at finde længden af ​​en vektor a → = a x; a y har den tilsvarende form: a → = a x 2 + a y 2 .

Hvis vektoren a → er givet i form af en udvidelse i koordinatvektorer a → = a x i → + a y j →, så kan dens længde beregnes ved hjælp af samme formel a → = a x 2 + a y 2, i dette tilfælde koefficienterne a x og a y er som koordinaterne for vektoren a → in givet system koordinater

Eksempel 1

Beregn længden af ​​vektoren a → = 7 ; e, angivet i et rektangulært koordinatsystem.

Løsning

For at finde længden af ​​en vektor, vil vi bruge formlen til at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinaterne a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Svar: a → = 49 + e.

Formel til at finde længden af ​​en vektor a → = a x ; et y; a z fra dets koordinater i det kartesiske koordinatsystem Oxyz i rummet, er afledt på samme måde som formlen for tilfældet på et plan (se figuren nedenfor)

I dette tilfælde er OA 2 = OA x 2 + O A y 2 + OA z 2 (da OA er diagonalen af ​​et rektangulært parallelepipedum), derfor OA = OA x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Ud fra definitionen af ​​vektorkoordinater kan vi skrive følgende ligheder O A x = a x ; O A y = a y; OAz = az; , og længden OA er lig med længden af ​​vektoren, som vi leder efter, derfor OA → = OA x 2 + O A y 2 + O A z 2.

Det følger heraf, at længden af ​​vektoren a → = a x ; et y; a z er lig med a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Eksempel 2

Beregn længden af ​​vektoren a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , hvor i → , j → , k → er enhedsvektorerne for det rektangulære koordinatsystem.

Løsning

Vektornedbrydningen a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → er givet, dens koordinater er a → = 4, - 3, 5. Ved at bruge ovenstående formel får vi a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Svar: a → = 5 2 .

Længden af ​​en vektor gennem koordinaterne for dens start- og slutpunkter

Formler blev afledt ovenfor, der giver dig mulighed for at finde længden af ​​en vektor ud fra dens koordinater. Vi betragtede sager på et plan og i tredimensionelt rum. Lad os bruge dem til at finde koordinaterne for en vektor ud fra koordinaterne for dens start- og slutpunkter.

Så punkter med givne koordinater A (a x ; a y) og B (b x ; b y) er givet, derfor har vektoren A B → koordinater (b x - a x ; b y - a y), hvilket betyder, at dens længde kan bestemmes med formlen: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Og hvis punkter med givne koordinater A (a x ; a y ; a z) og B (b x ; b y ; b z) er givet i tredimensionelt rum, så kan længden af ​​vektoren A B → beregnes ved hjælp af formlen

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Eksempel 3

Find længden af ​​vektoren A B → hvis i det rektangulære koordinatsystem A 1, 3, B - 3, 1.

Løsning

Ved at bruge formlen til at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinaterne for start- og slutpunkterne på planet får vi A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Den anden løsning involverer at anvende disse formler efter tur: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3); A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Svar: A B → = 20 - 2 3 .

Eksempel 4

Bestem ved hvilke værdier længden af ​​vektoren AB → er lig med 30 hvis A (0, 1, 2); B (5, 2, A2).

Løsning

Lad os først nedskrive længden af ​​vektoren A B → ved hjælp af formlen: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Derefter sidestiller vi det resulterende udtryk til 30, herfra finder vi det nødvendige λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 og λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ2 = 2, λ3 = 0.

Svar: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Find længden af ​​en vektor ved hjælp af cosinussætningen

Ak, i problemer er vektorens koordinater ikke altid kendt, så vi vil overveje andre måder at finde vektorens længde på.

Lad længden af ​​to vektorer A B → , A C → og vinklen mellem dem (eller cosinus af vinklen) være givet, og du skal finde længden af ​​vektoren B C → eller C B → . I dette tilfælde skal du bruge cosinussætningen i trekanten △ A B C og beregne længden af ​​siden B C, som er lig med den ønskede længde af vektoren.

Lad os overveje denne sag ved at bruge følgende eksempel.

Eksempel 5

Længderne af vektorerne A B → og A C → er henholdsvis 3 og 7, og vinklen mellem dem er π 3. Beregn længden af ​​vektoren B C → .

Løsning

Længden af ​​vektoren B C → er i dette tilfælde lig med længden af ​​siden B C i trekanten △ A B C . Længderne af siderne A B og A C i trekanten kendes fra betingelsen (de er lig med længderne af de tilsvarende vektorer), vinklen mellem dem kendes også, så vi kan bruge cosinussætningen: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Således B C → = 37 .

Svar: B C → = 37.

Så for at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinater er der følgende formler a → = a x 2 + a y 2 eller a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , ifølge koordinaterne for start- og slutpunkterne for vektoren A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 eller A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, i nogle tilfælde skal cosinussætningen bruges.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Endelig fik jeg fingrene i dette store og længe ventede emne. analytisk geometri . Først lidt om dette afsnit højere matematik... Sikkert husker du nu et skolegeometrikursus med talrige teoremer, deres beviser, tegninger osv. Hvad skal man skjule, et uelsket og ofte obskurt emne for en betydelig del af eleverne. Analytisk geometri kan mærkeligt nok virke mere interessant og tilgængelig. Hvad betyder adjektivet "analytisk"? To klichéagtige matematiske sætninger dukker straks op: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode er naturligvis forbundet med konstruktion af grafer og tegninger. Analytisk samme metode involverer løsning af problemer hovedsagelig igennem algebraiske operationer. I denne henseende er algoritmen til at løse næsten alle problemer med analytisk geometri enkel og gennemsigtig; ofte er det nok at omhyggeligt anvende de nødvendige formler - og svaret er klar! Nej, selvfølgelig vil vi slet ikke være i stand til at gøre dette uden tegninger, og udover det, for en bedre forståelse af materialet, vil jeg forsøge at citere dem ud over nødvendigheden.

Det nyåbnede undervisningsforløb om geometri foregiver ikke at være teoretisk komplet, det er fokuseret på at løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelæsninger kun inddrage det, der fra mit synspunkt er vigtigt i praksis. Hvis du har brug for mere komplet hjælp til et underafsnit, anbefaler jeg følgende ganske tilgængelige litteratur:

1) En ting, som flere generationer uden spøg er bekendt med: Skole lærebog i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skole-omklædningsbøjle har allerede gennemgået 20 (!) genoptryk, hvilket selvfølgelig ikke er grænsen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur til gymnasiet, du skal bruge første bind. Sjældent stødte opgaver kan falde ud af mit syn, og tutorial vil yde uvurderlig hjælp.

Begge bøger kan downloades gratis online. Derudover kan du bruge mit arkiv med færdige løsninger, som kan findes på siden Download eksempler i højere matematik.

Blandt værktøjerne foreslår jeg igen min egen udvikling - softwarepakke i analytisk geometri, hvilket i høj grad vil forenkle livet og spare en masse tid.

Det forudsættes, at læseren er fortrolig med det grundlæggende geometriske begreber og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallelogram, parallelepipedum, terning osv. Det er tilrådeligt at huske nogle sætninger, i det mindste Pythagoras sætning, hej til gengangere)

Og nu vil vi overveje sekventielt: konceptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler at læse videre den vigtigste artikel Punktprodukt af vektorer, og også Vektor og blandet produkt af vektorer. Det vil ikke være overflødigt lokalt problem– Opdeling af et segment i et givet forhold. Baseret på ovenstående information kan du mestre ligning af en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, hvilket vil tillade lære at løse geometriske problemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning af et plan i rummet, Ligninger af en linje i rummet, Grundlæggende problemer på en ret linje og et plan, andre sektioner af analytisk geometri. Standardopgaver vil naturligvis blive overvejet undervejs.

Vektor koncept. Gratis vektor

Lad os først gentage skolens definition af en vektor. Vektor hedder instrueret et segment, for hvilket dets begyndelse og slutning er angivet:

I dette tilfælde er begyndelsen af ​​segmentet punktet, slutningen af ​​segmentet er punktet. Selve vektoren er angivet med . Retning er afgørende, hvis du flytter pilen til den anden ende af segmentet, får du en vektor, og det er det allerede helt anden vektor. Begrebet vektor er bekvemt identificeret med bevægelse fysisk krop: Enig, at gå ind af instituttets døre eller at forlade instituttets døre er helt andre ting.

Det er praktisk at overveje individuelle punkter i et fly eller rum som den såkaldte nul vektor. For en sådan vektor falder slutningen og begyndelsen sammen.

!!! Bemærk: Her og videre kan man antage, at vektorerne ligger i samme plan, eller man kan antage, at de er placeret i rummet - essensen af ​​det præsenterede materiale er gældende for både planet og rummet.

Betegnelser: Mange lagde straks mærke til pinden uden en pil i betegnelsen og sagde, der er også en pil øverst! Sandt nok kan du skrive det med en pil: , men det er også muligt den post, som jeg vil bruge i fremtiden. Hvorfor? Tilsyneladende udviklede denne vane sig af praktiske årsager; mine skytter på skolen og universitetet viste sig at være for forskellige i størrelse og pjuskede. I pædagogisk litteratur nogle gange gider de slet ikke kileskrift, men fremhæver bogstaverne med fed skrift: , og antyder derved, at dette er en vektor.

Det var stilistik, og nu om måder at skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bogstaver:
og så videre. I dette tilfælde det første bogstav Nødvendigvis angiver vektorens begyndelsespunkt, og det andet bogstav angiver vektorens slutpunkt.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bogstaver:
Især for kortheds skyld kan vores vektor omdesignes til lille latinsk bogstav.

Længde eller modul en ikke-nul vektor kaldes længden af ​​segmentet. Længden af ​​nulvektoren er nul. Logisk.

Længden af ​​vektoren er angivet med modultegnet: ,

Vi lærer, hvordan man finder længden af ​​en vektor (eller vi gentager den, afhængigt af hvem) lidt senere.

De var grundlæggende oplysninger om vektor, velkendt for alle skolebørn. I analytisk geometri, den såkaldte gratis vektor.

For at sige det enkelt - vektoren kan plottes fra ethvert punkt:

Vi er vant til at kalde sådanne vektorer lige (definitionen af ​​lige vektorer vil blive givet nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de den SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løbet af at løse problemer, kan du "vedhæfte" denne eller den vektor til ethvert punkt i det fly eller det rum, du har brug for. Dette er en meget fed funktion! Forestil dig en vektor med vilkårlig længde og retning - den kan "klones" uendeligt antal tider og på et hvilket som helst tidspunkt i rummet, faktisk eksisterer det OVERALT. Der er sådan en studerende, der siger: Enhver underviser giver en helvede til vektoren. Det er trods alt ikke bare et vittigt rim, alt er matematisk korrekt - vektoren kan også vedhæftes der. Men skynd dig ikke at glæde dig, det er eleverne selv, der ofte lider =)

Så, gratis vektor- Det her en masse identiske rettede segmenter. Skole definition vektor angivet i begyndelsen af ​​afsnittet: "Et rettet segment kaldes en vektor..." indebærer bestemt et rettet segment taget fra et givet sæt, som er bundet til et bestemt punkt i planet eller rummet.

Det skal bemærkes, at fra et fysiks synspunkt er begrebet en fri vektor i almindelig sag er forkert, og vektorens anvendelsespunkt har betydning. Faktisk medfører et direkte slag af samme kraft på næsen eller panden, nok til at udvikle mit dumme eksempel, forskellige konsekvenser. Imidlertid, ufri vektorer findes også i løbet af vyshmat (gå ikke derhen :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet af vektorer

I skoleforløb geometri, overvejes en række handlinger og regler med vektorer: addition efter trekantsreglen, addition efter parallelogramreglen, vektordifferensregel, multiplikation af en vektor med et tal, skalarprodukt af vektorer osv. Lad os som udgangspunkt gentage to regler, der er særligt relevante for at løse problemer med analytisk geometri.

Reglen for at tilføje vektorer ved hjælp af trekantsreglen

Overvej to vilkårlige ikke-nul vektorer og:

Du skal finde summen af ​​disse vektorer. På grund af det faktum, at alle vektorer betragtes som frie, vil vi afsætte vektoren fra ende vektor:

Summen af ​​vektorer er vektoren. For en bedre forståelse af reglen er det tilrådeligt at inkludere fysisk betydning: lad noget legeme rejse langs en vektor og derefter langs en vektor. Så er summen af ​​vektorer vektoren af ​​den resulterende sti med begyndelsen ved afgangspunktet og slutningen ved ankomstpunktet. En lignende regel er formuleret for summen af ​​et hvilket som helst antal vektorer. Som de siger, kan kroppen gå sin vej meget magert langs en zigzag, eller måske på autopilot - langs den resulterende vektor af summen.

Forresten, hvis vektoren er udskudt fra startede vektor, så får vi det tilsvarende parallelogram regel tilføjelse af vektorer.

Først om vektorers kollinearitet. De to vektorer kaldes collineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Groft sagt taler vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem bruges adjektivet "collinear" altid.

Forestil dig to kollineære vektorer. Hvis pilene på disse vektorer er rettet i samme retning, kaldes sådanne vektorer co-instrueret. Hvis pilene peger mod forskellige sider, så vil vektorerne være modsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet af vektorer skrives med det sædvanlige parallelitetssymbol: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-dirigeret) eller (vektorer er modsat rettet).

Arbejdet en ikke-nul vektor på et tal er en vektor, hvis længde er lig med , og vektorerne og er co-rettet mod og modsat rettet mod.

Reglen for at gange en vektor med et tal er lettere at forstå ved hjælp af et billede:

Lad os se på det mere detaljeret:

1) Retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så er vektoren skifter retning til det modsatte.

2) Længde. Hvis multiplikatoren er indeholdt i eller , så længden af ​​vektoren falder. Så længden af ​​vektoren er halvdelen af ​​længden af ​​vektoren. Hvis modulo multiplikatoren mere end en, derefter vektorlængden stiger i tide.

3) Bemærk venligst at alle vektorer er kollineære, mens en vektor udtrykkes gennem en anden, f.eks. Det omvendte er også sandt: hvis en vektor kan udtrykkes gennem en anden, så er sådanne vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi gange en vektor med et tal, får vi collinear(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorerne er co-dirigeret. Vektorer og er også co-directed. Enhver vektor i den første gruppe er modsat rettet i forhold til enhver vektor i den anden gruppe.

Hvilke vektorer er lige store?

To vektorer er ens, hvis de er i samme retning og har samme længde . Bemærk, at codirectionality indebærer collinearitet af vektorer. Definitionen ville være unøjagtig (overflødig), hvis vi sagde: "To vektorer er ens, hvis de er collineære, codirectional og har samme længde."

Fra synspunktet om begrebet en fri vektor, lige store vektorer– dette er den samme vektor, som allerede blev diskuteret i det foregående afsnit.

Vektorkoordinater på flyet og i rummet

Det første punkt er at overveje vektorer på planet. Lad os afbilde et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra koordinaternes oprindelse enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelret. Jeg anbefaler, at du langsomt vænner dig til begreberne: i stedet for parallelitet og vinkelrethed bruger vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten af ​​vektorer skrives med det sædvanlige vinkelret symbol, for eksempel: .

De betragtede vektorer kaldes koordinatvektorer eller orts. Disse vektorer dannes basis på overfladen. Hvad et grundlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange, flere detaljeret information kan findes i artiklen Lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer Med enkle ord definerer grundlaget og oprindelsen af ​​koordinater hele systemet - dette er en slags fundament, hvorpå et fuldt og rigt geometrisk liv koger.

Nogle gange kaldes det konstruerede grundlag ortonormale basis af planet: "ortho" - fordi koordinatvektorerne er ortogonale, betyder adjektivet "normaliseret" enhed, dvs. længderne af basisvektorerne er lig med én.

Betegnelse: grundlaget er normalt skrevet i parentes, inden for hvilke i streng rækkefølge basisvektorer er angivet, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omarrangere.

Nogen plan vektor den eneste måde udtrykt som:
, Hvor - tal som kaldes vektor koordinater V På dette grundlag. Og selve udtrykket hedder vektor nedbrydningpå grundlag .

Middag serveret:

Lad os starte med det første bogstav i alfabetet: . Tegningen viser tydeligt, at når en vektor dekomponeres til en basis, bruges de netop omtalte:
1) reglen for at gange en vektor med et tal: og ;
2) addition af vektorer efter trekantsreglen:.

Plot nu vektoren mentalt fra et hvilket som helst andet punkt på flyet. Det er helt indlysende, at hans forfald vil "følge ham ubønhørligt." Her er det, vektorens frihed - vektoren "bærer alt med sig selv." Denne egenskab er selvfølgelig sand for enhver vektor. Det er sjovt, at selve basisvektorerne (frie) ikke skal plottes fra oprindelsen; den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre og den anden øverst til højre, og intet vil ændre sig! Sandt nok, du behøver ikke at gøre dette, da læreren også vil vise originalitet og trække dig en "kredit" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøjagtigt reglen for at gange en vektor med et tal, vektoren er codirectional med basisvektoren, vektoren er rettet modsat grundvektoren. For disse vektorer er en af ​​koordinaterne lig nul; du kan omhyggeligt skrive det sådan her:


Og basisvektorerne er i øvrigt sådan her: (faktisk udtrykkes de gennem sig selv).

Og endelig: , . Forresten, hvad er vektorsubtraktion, og hvorfor talte jeg ikke om subtraktionsreglen? Et sted i lineær algebra, jeg kan ikke huske hvor, jeg bemærkede, at subtraktion er særlig situation tilføjelse. Udvidelserne af vektorerne "de" og "e" skrives således let som en sum: , . Omarranger vilkårene og se på tegningen, hvor godt den gode gamle addition af vektorer efter trekantsreglen fungerer i disse situationer.

Den overvejede nedbrydning af formen nogle gange kaldet vektornedbrydning i ort-systemet(dvs. i et system af enhedsvektorer). Men dette er ikke den eneste måde at skrive en vektor på; følgende mulighed er almindelig:

Eller med et lighedstegn:

Selve basisvektorerne er skrevet som følger: og

Det vil sige, at vektorens koordinater er angivet i parentes. I praktiske problemer Alle tre optagemuligheder bruges.

Jeg tvivlede på, om jeg skulle tale, men jeg siger det alligevel: vektorkoordinater kan ikke omarrangeres. Strengt på førstepladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren, strengt taget på andenpladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren. Faktisk, og er to forskellige vektorer.

Vi fandt ud af koordinaterne på flyet. Lad os nu se på vektorer i tredimensionelt rum, næsten alt er det samme her! Det vil blot tilføje en koordinat mere. Det er svært at lave tredimensionelle tegninger, så jeg begrænser mig til én vektor, som jeg for nemheds skyld sætter til side fra oprindelsen:

Nogen vektor tredimensionelt rum Kan den eneste måde ekspandere på ortonormal basis:
, hvor er koordinaterne for vektoren (tallet) i denne basis.

Eksempel fra billedet: . Lad os se, hvordan vektorreglerne fungerer her. Først skal du gange vektoren med et tal: (rød pil), (grøn pil) og (hindbærpil). For det andet er her et eksempel på tilføjelse af flere, i dette tilfælde tre, vektorer: . Sumvektoren starter kl Udgangspunktet afgang (begyndelsen af ​​vektoren) og ender ved det endelige ankomststed (enden af ​​vektoren).

Alle vektorer af tredimensionelt rum er naturligvis også frie; prøv mentalt at tilsidesætte vektoren fra ethvert andet punkt, og du vil forstå, at dens nedbrydning "vil forblive med den."

Svarende til den flade sag, foruden at skrive versioner med beslag er meget brugt: enten .

Hvis der mangler en (eller to) koordinatvektorer i udvidelsen, sættes nuller i stedet for. Eksempler:
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive .

Basisvektorerne er skrevet som følger:

Det er nok alt minimum teoretisk viden, nødvendig for at løse problemer med analytisk geometri. Der kan være mange udtryk og definitioner, så jeg anbefaler, at tekander genlæser og forstår denne information igen. Og det vil være nyttigt for enhver læser at henvise til grundlæggende lektion Til bedre absorption materiale. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrydning - disse og andre begreber vil ofte blive brugt i fremtiden. Jeg vil gerne bemærke, at webstedets materialer ikke er nok til at bestå en teoretisk test eller kollokvium i geometri, da jeg omhyggeligt krypterer alle teoremer (og uden beviser) - til skade for videnskabelig stil præsentation, men et plus for din forståelse af emnet. For at modtage detaljeret teoretisk information, skal du bøje dig for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske del:

De simpleste problemer med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er stærkt tilrådeligt at lære at løse de opgaver, der vil blive overvejet fuldautomatisk, og formlerne lære udenad, ikke engang specifikt huske, de vil huske sig selv =) Dette er meget vigtigt, fordi i det enkleste elementære eksempler andre analytiske geometriproblemer er baseret, og det ville være en skam at bruge ekstra tid på at spise bønder. Der er ingen grund til at fastgøre de øverste knapper på din skjorte; mange ting kender du fra skolen.

Præsentationen af ​​materialet vil følge et parallelt forløb - både for flyet og for rummet. Af den grund, at alle formlerne... vil du selv se.

Hvordan finder man en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter i planet og er givet, så har vektoren følgende koordinater:

Hvis der er givet to punkter i rummet, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinaterne for enden af ​​vektoren du skal trække de tilsvarende koordinater fra begyndelsen af ​​vektoren.

Dyrke motion: For de samme punkter skal du nedskrive formlerne for at finde vektorens koordinater. Formler i slutningen af ​​lektionen.

Eksempel 1

Givet to punkter af flyet og . Find vektorkoordinater

Løsning: efter den tilsvarende formel:

Alternativt kan følgende indgang bruges:

Æsteter vil afgøre dette:

Personligt er jeg vant til den første version af optagelsen.

Svar:

Ifølge betingelsen var det ikke nødvendigt at konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for at præcisere nogle punkter for dummies, vil jeg ikke være doven:

Du skal helt sikkert forstå forskel mellem punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– det er almindelige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Sæt point på koordinatplan Jeg tror, ​​at alle kan gøre det fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plads på flyet, og de kan ikke flyttes nogen steder.

Koordinaterne for vektoren– dette er dens udvidelse i henhold til grundlaget, i dette tilfælde. Enhver vektor er gratis, så hvis det er nødvendigt, kan vi nemt flytte den væk fra et andet punkt i planet. Det er interessant, at du for vektorer slet ikke behøver at bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem; du behøver kun en basis, i dette tilfælde en ortonormal basis af planet.

Registreringerne af koordinater for punkter og koordinater af vektorer ser ud til at være ens: , og betydning af koordinater absolut forskellige, og du bør være udmærket klar over denne forskel. Denne forskel gælder naturligvis også for rummet.

Mine damer og herrer, lad os fylde vores hænder:

Eksempel 2

a) Point og gives. Find vektorer og .
b) Der gives point Og . Find vektorer og .
c) Point og gives. Find vektorer og .
d) Der gives point. Find vektorer .

Måske er det nok. Dette er eksempler på selvstændig beslutning, prøv ikke at forsømme dem, det vil betale sig ;-). Der er ingen grund til at lave tegninger. Løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad er vigtigt ved løsning af analytiske geometriproblemer? Det er vigtigt at være EKSTREMT FORSIGTIG for at undgå at begå den mesterlige "to plus to er lig nul" fejl. Jeg undskylder med det samme, hvis jeg har lavet en fejl et sted =)

Hvordan finder man længden af ​​et segment?

Længden, som allerede nævnt, er angivet med modultegnet.

Hvis to punkter i flyet er givet og , så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Hvis der er givet to punkter i rummet, så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Bemærk: Formlerne forbliver korrekte, hvis de tilsvarende koordinater byttes om: og , men den første mulighed er mere standard

Eksempel 3

Løsning: efter den tilsvarende formel:

Svar:

For klarhedens skyld vil jeg lave en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den nogen steder. Hvis du derudover tegner i målestok: 1 enhed. = 1 cm (to notesbogceller), så kan det resulterende svar kontrolleres med en almindelig lineal ved direkte at måle længden af ​​segmentet.

Ja, løsningen er kort, men der er et par vigtigere punkter i den, som jeg gerne vil præcisere:

For det første sætter vi i svaret dimensionen: "enheder". Tilstanden siger ikke HVAD det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor ville en matematisk korrekt løsning være den generelle formulering: "enheder" - forkortet som "enheder."

For det andet, lad os gentage skolemateriale, hvilket ikke kun er nyttigt for det betragtede problem:

Vær opmærksom på vigtig teknisk teknik – fjerner multiplikatoren fra under roden. Som et resultat af beregningerne har vi et resultat, og god matematisk stil involverer at fjerne faktoren fra under roden (hvis det er muligt). Mere detaljeret ser processen sådan ud: . Det ville selvfølgelig ikke være en fejl at lade svaret være som det er – men det ville bestemt være en mangel og et tungtvejende argument for at skændes fra lærerens side.

Her er andre almindelige tilfælde:

Ofte er der nok ved roden stort antal, For eksempel . Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Ved hjælp af lommeregneren tjekker vi, om tallet er deleligt med 4: . Ja, det var helt opdelt, således: . Eller måske kan tallet divideres med 4 igen? . Dermed: . Det sidste ciffer i tallet er ulige, så at dividere med 4 for tredje gang vil naturligvis ikke fungere. Lad os prøve at dividere med ni: . Som resultat:
Parat.

Konklusion: hvis vi under roden får et tal, der ikke kan udtrækkes som en helhed, så forsøger vi at fjerne faktoren fra under roden - ved hjælp af en lommeregner tjekker vi om tallet er deleligt med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når man løser forskellige problemer, støder man ofte på rødder; prøv altid at trække faktorer ud under roden for at undgå en lavere karakter og unødvendige problemer med at færdiggøre dine løsninger baseret på lærerens kommentarer.

Lad os også gentage kvadratrødder og andre kræfter:

Regler for handlinger med grader i generel opfattelse kan findes i en skolebog om algebra, men jeg tror, ​​ud fra de angivne eksempler, alt eller næsten alt allerede er klart.

Opgave til selvstændig løsning med et segment i rummet:

Eksempel 4

Point og gives. Find længden af ​​segmentet.

Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen.

Hvordan finder man længden af ​​en vektor?

Hvis en plan vektor er givet, beregnes dens længde ved formlen.

Hvis der er givet en rumvektor, beregnes dens længde ved formlen .

Oxy

OM EN OA.

, hvor OA .

Dermed, .

Lad os se på et eksempel.

Eksempel.

Løsning.

:

Svar:

Oxyz i rummet.

EN OA vil være en diagonal.

I dette tilfælde (siden OA OA .

Dermed, vektor længde .

Eksempel.

Beregn vektorlængde

Løsning.

, derfor,

Svar:

Lige linje på et fly

Generel ligning

Axe + By + C ( > 0).

Vektor = (A; B) er en normal vektor.

I vektorform: + C = 0, hvor er radiusvektoren vilkårligt punkt på en lige linje (fig. 4.11).

Særlige tilfælde:

1) Ved + C = 0- lige linje parallelt med aksen Okse;

2) Axe + C = 0- lige linje parallelt med aksen Åh;

3) Axe + By = 0- den rette linje går gennem oprindelsen;

4) y = 0- akse Okse;

5) x = 0- akse Åh.

Ligning af en linje i segmenter

Hvor a, b- værdierne af segmenterne afskåret af den lige linje på koordinatakserne.

Normal ligning lige(Fig. 4.11)

hvor er vinklen dannet vinkelret på linjen og aksen Okse; s- afstanden fra udgangspunktet til den rette linje.

Medbringer generel ligning lige til normal form:

Her er den normaliserede faktor for linjen; tegnet er valgt modsat fortegn C, hvis og vilkårligt, hvis C=0.

Finde længden af ​​en vektor ud fra koordinater.

Vi vil betegne længden af ​​vektoren med . På grund af denne notation kaldes længden af ​​en vektor ofte for vektorens modul.

Lad os starte med at finde længden af ​​en vektor på et plan ved hjælp af koordinater.

Lad os introducere et rektangulært kartesisk koordinatsystem på planet Oxy. Lad en vektor angives i den og have koordinater. Vi får en formel, der giver os mulighed for at finde længden af ​​en vektor gennem koordinaterne og .

Lad os udskyde fra oprindelsen af ​​koordinater (fra punktet OM) vektor. Lad os betegne punktets projektioner EN på koordinatakserne som og henholdsvis og betragte et rektangel med en diagonal OA.

I kraft af Pythagoras sætning er ligheden , hvor . Ud fra definitionen af ​​vektorkoordinater i et rektangulært koordinatsystem kan vi angive, at og , og ved konstruktion længden OA lig med længden af ​​vektoren, derfor, .

Dermed, formel til at finde længden af ​​en vektor ifølge sine koordinater på flyet har formen .

Hvis vektoren er repræsenteret som en dekomponering i koordinatvektorer , så beregnes dens længde ved hjælp af den samme formel , da koefficienterne og i dette tilfælde er vektorens koordinater i et givet koordinatsystem.

Lad os se på et eksempel.

Eksempel.

Find længden af ​​vektoren givet i det kartesiske koordinatsystem.

Løsning.

Vi anvender straks formlen for at finde vektorens længde ud fra koordinaterne :

Svar:

Nu får vi formlen til at finde længden af ​​vektoren ved sine koordinater i et rektangulært koordinatsystem Oxyz i rummet.

Lad os plotte vektoren fra origo og betegne punktets projektioner EN på koordinatakserne som og . Så kan vi bygge på siderne og cuboid, hvori OA vil være en diagonal.

I dette tilfælde (siden OA– diagonal af et rektangulært parallelepipedum), hvorfra . At bestemme koordinaterne for en vektor giver os mulighed for at skrive ligheder og længden OA lig med den ønskede vektorlængde, derfor, .

Dermed, vektor længde i rummet er lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dets koordinater, altså fundet af formlen .

Eksempel.

Beregn vektorlængde , hvor er enhedsvektorerne for det rektangulære koordinatsystem.

Løsning.

Vi får en vektornedbrydning til koordinatvektorer af formen , derfor, . Så ved at bruge formlen til at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinater, har vi .

Første niveau

Koordinater og vektorer. Omfattende guide (2019)

I denne artikel vil vi begynde at diskutere en "tryllestav", der giver dig mulighed for at reducere mange geometriproblemer til simpel aritmetik. Denne "pind" kan gøre dit liv meget lettere, især når du føler dig usikker på at konstruere rumlige figurer, snit osv. Alt dette kræver en vis fantasi og praktiske færdigheder. Metoden, som vi vil begynde at overveje her, giver dig mulighed for næsten fuldstændig at abstrahere fra enhver form for geometriske konstruktioner og ræsonnement. Metoden kaldes "koordinatmetode". I denne artikel vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Koordinat fly
2. Punkter og vektorer på planet
3. Konstruktion af en vektor ud fra to punkter
4. Vektorlængde (afstand mellem to punkter).
5. Koordinater for midten af ​​segmentet
6. Punktprodukt af vektorer
7. Vinkel mellem to vektorer

Jeg tror, ​​du allerede har gættet, hvorfor koordinatmetoden hedder det? Det er rigtigt, det fik det navn, fordi det ikke opererer med geometriske objekter, men med deres numeriske karakteristika(koordinater). Og selve transformationen, som giver os mulighed for at bevæge os fra geometri til algebra, består i at indføre et koordinatsystem. Hvis den oprindelige figur var flad, så er koordinaterne todimensionelle, og hvis figuren er tredimensionelle, så er koordinaterne tredimensionelle. I denne artikel vil vi kun overveje det todimensionelle tilfælde. Og hovedmålet med artiklen er at lære dig, hvordan du bruger nogle grundlæggende teknikker koordinatmetode (de viser sig nogle gange at være nyttige, når de løser problemer med planimetri i del B af Unified State Examination). De næste to afsnit om dette emne er afsat til en diskussion af metoder til at løse problemer C2 (problemet med stereometri).

Hvor ville det være logisk at begynde at diskutere koordinatmetoden? Sandsynligvis ud fra begrebet et koordinatsystem. Husk da du først stødte på hende. Det forekommer mig, at i 7. klasse, da man lærte om eksistensen lineær funktion, For eksempel. Lad mig minde dig om, at du byggede det punkt for punkt. Kan du huske? Du valgte vilkårligt antal, erstattede det i formlen og beregnede det på denne måde. For eksempel hvis, så, hvis, så osv. Hvad fik du til sidst? Og du modtog point med koordinater: og. Dernæst tegnede du et "kryds" (koordinatsystem), valgte en skala på det (hvor mange celler du vil have som et enhedssegment) og markerede de punkter, du opnåede på det, som du derefter forbinder med en ret linje; det resulterende linje er grafen for funktionen.

Der er et par punkter her, som bør forklares dig lidt mere detaljeret:

1. Du vælger et enkelt segment af bekvemmelighedsgrunde, så det hele passer smukt og kompakt ind på tegningen.

2. Det accepteres, at aksen går fra venstre mod højre, og aksen går fra bund til top

3. De skærer hinanden i rette vinkler, og punktet for deres skæringspunkt kaldes oprindelsen. Det er angivet med et bogstav.

4. Når man skriver koordinaterne for et punkt, for eksempel til venstre i parentes er der koordinaterne for punktet langs aksen og til højre langs aksen. Især betyder det blot, at på det tidspunkt

5. For at angive ethvert punkt på koordinataksen skal du angive dets koordinater (2 tal)

6. For ethvert punkt, der ligger på aksen,

7. For ethvert punkt, der ligger på aksen,

8. Aksen kaldes x-aksen

9. Aksen kaldes y-aksen

Lad os nu tage det næste skridt: Marker to punkter. Lad os forbinde disse to punkter med et segment. Og vi sætter pilen, som om vi tegnede et segment fra punkt til punkt: det vil sige, vi vil gøre vores segment rettet!

Kan du huske, hvad et andet retningsbestemt segment kaldes? Det er rigtigt, det kaldes en vektor!

Så hvis vi forbinder prik til prik, og begyndelsen vil være punkt A, og slutningen vil være punkt B, så får vi en vektor. Du lavede også denne konstruktion i 8. klasse, husker du?

Det viser sig, at vektorer, ligesom punkter, kan betegnes med to tal: disse tal kaldes vektorkoordinater. Spørgsmål: Tror du, det er nok for os at kende koordinaterne for begyndelsen og slutningen af ​​en vektor for at finde dens koordinater? Det viser sig, at ja! Og dette gøres meget enkelt:

Da punktet i en vektor er begyndelsen og punktet er slutningen, har vektoren følgende koordinater:

For eksempel hvis, så er vektorens koordinater

Lad os nu gøre det modsatte, find vektorens koordinater. Hvad skal vi ændre for dette? Ja, du skal bytte begyndelsen og slutningen: nu vil begyndelsen af ​​vektoren være på punktet, og slutningen vil være på punktet. Derefter:

Se omhyggeligt, hvad er forskellen mellem vektorer og? Deres eneste forskel er tegnene i koordinaterne. De er modsætninger. Dette faktum er normalt skrevet sådan:

Nogle gange, hvis det ikke specifikt er angivet, hvilket punkt der er begyndelsen af ​​vektoren, og hvilket er slutningen, så er vektorer angivet med mere end to med store bogstaver, og en lille bogstav, for eksempel: osv.

Nu lidt øve sig selv og find koordinaterne for følgende vektorer:

Undersøgelse:

Løs nu et lidt sværere problem:

En vektor med en begyndelse i et punkt har en co-eller-di-na-du. Find abs-cis-su-punkterne.

Alligevel er det ret prosaisk: Lad være koordinaterne for punktet. Derefter

Jeg kompilerede systemet ud fra definitionen af, hvad vektorkoordinater er. Så har punktet koordinater. Vi er interesserede i abscissen. Derefter

Svar:

Hvad kan du ellers gøre med vektorer? Ja, næsten alt er det samme som med almindelige tal(bortset fra at du ikke kan dividere, men du kan gange på to måder, hvoraf den ene vil diskutere her lidt senere)

1. Vektorer kan tilføjes til hinanden
2. Vektorer kan trækkes fra hinanden
3. Vektorer kan multipliceres (eller divideres) med et vilkårligt tal, der ikke er nul
4. Vektorer kan ganges med hinanden

Alle disse operationer har en meget klar geometrisk repræsentation. For eksempel, trekanten (eller parallelogram) reglen for addition og subtraktion:

En vektor strækker sig eller trækker sig sammen eller ændrer retning, når den ganges eller divideres med et tal:

Men her vil vi være interesserede i spørgsmålet om, hvad der sker med koordinaterne.

1. Når vi adderer (fratrækker) to vektorer, adderer (fratrækker) vi deres koordinater element for element. Det er:

2. Når man multiplicerer (dividerer) en vektor med et tal, ganges (divideres) alle dens koordinater med dette tal:

For eksempel:

· Find mængden af ​​co-or-di-nat århundrede-til-ra.

Lad os først finde koordinaterne for hver af vektorerne. De har begge samme oprindelse - oprindelsespunktet. Deres ender er anderledes. Derefter, . Lad os nu beregne koordinaterne for vektoren. Så er summen af ​​koordinaterne for den resulterende vektor lig.

Svar:

Løs nu selv følgende problem:

· Find summen af ​​vektorkoordinater

Vi tjekker:

Lad os nu overveje følgende problem: vi har to punkter på koordinatplanet. Hvordan finder man afstanden mellem dem? Lad det første punkt være, og det andet. Lad os betegne afstanden mellem dem ved. Lad os lave følgende tegning for klarhedens skyld:

Hvad jeg har gjort? Først forbandt jeg prikkerne og tegnede også en linje fra punktet, parallelt med aksen, og fra punktet tegnede jeg en linje parallelt med aksen. Skærede de hinanden på et tidspunkt og dannede en bemærkelsesværdig figur? Hvad er så specielt ved hende? Ja, du og jeg ved næsten alt om retvinklet trekant. Nå, Pythagoras sætning helt sikkert. Det nødvendige segment er hypotenusen af ​​denne trekant, og segmenterne er benene. Hvad er koordinaterne for punktet? Ja, de er nemme at finde ud fra billedet: Da segmenterne er parallelle med akserne og henholdsvis deres længder er nemme at finde: hvis vi betegner segmenternes længder med hhv.

Lad os nu bruge Pythagoras sætning. Vi kender længden af ​​benene, vi finder hypotenusen:

Således er afstanden mellem to punkter roden af ​​summen af ​​de kvadrerede forskelle fra koordinaterne. Eller - afstanden mellem to punkter er længden af ​​det segment, der forbinder dem. Det er let at se, at afstanden mellem punkter ikke afhænger af retningen. Derefter:

Herfra drager vi tre konklusioner:

Lad os øve os lidt i at beregne afstanden mellem to punkter:

For eksempel, hvis, så er afstanden mellem og lig med

Eller lad os gå en anden vej: find vektorens koordinater

Og find længden af ​​vektoren:

Som du kan se, er det det samme!

Træn nu lidt selv:

Opgave: find afstanden mellem de angivne punkter:

Vi tjekker:

Her er et par problemer mere med den samme formel, selvom de lyder lidt anderledes:

1. Find kvadratet af længden af ​​øjenlåget.

2. Find kvadratet af øjenlågets længde

Jeg tror, ​​du har håndteret dem uden problemer? Vi tjekker:

1. Og dette er for opmærksomhed) Vi har allerede fundet vektorernes koordinater tidligere: . Så har vektoren koordinater. Kvadraten af ​​dens længde vil være lig med:

2. Find vektorens koordinater

Så er kvadratet af dens længde

Intet kompliceret, vel? Simpel aritmetik, intet mere.

Følgende problemer kan ikke klassificeres entydigt; de handler mere om generel lærdom og evnen til at tegne enkle billeder.

1. Find vinklens sinus fra snittet, der forbinder punktet med abscisseaksen.

Og

Hvordan kommer vi videre her? Vi skal finde sinus for vinklen mellem og aksen. Hvor kan vi lede efter sinus? Det er rigtigt, i en retvinklet trekant. Så hvad skal vi gøre? Byg denne trekant!

Da koordinaterne for punktet er og, så er segmentet lig med, og segmentet. Vi skal finde vinklens sinus. Lad mig minde dig om, at sinus er et forhold modsatte side til hypotenusen altså

Hvad er der tilbage for os at gøre? Find hypotenusen. Du kan gøre dette på to måder: ved at bruge Pythagoras sætning (benene er kendt!) eller ved at bruge formlen for afstanden mellem to punkter (faktisk det samme som den første metode!). Jeg går den anden vej:

Svar:

Den næste opgave vil virke endnu lettere for dig. Hun er på punktets koordinater.

Opgave 2. Fra punktet sænkes per-pen-di-ku-lyaren ned på ab-ciss-aksen. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Lad os lave en tegning:

Basen af ​​en vinkelret er det punkt, hvor den skærer x-aksen (aksen), for mig er dette et punkt. Figuren viser, at den har koordinater:. Vi er interesserede i abscissen - det vil sige "x" -komponenten. Hun er ligeværdig.

Svar: .

Opgave 3. I betingelserne for den foregående opgave, find summen af ​​afstandene fra punktet til koordinatakserne.

Opgaven er generelt elementær, hvis du ved, hvad afstanden fra et punkt til akserne er. Du ved? Jeg håber, men alligevel vil jeg minde dig om:

Så i min tegning lige ovenfor, har jeg allerede tegnet en sådan vinkelret? Hvilken akse er det på? Til aksen. Og hvad er dens længde så? Hun er ligeværdig. Tegn nu selv en vinkelret på aksen og find dens længde. Det bliver lige, ikke? Så er deres sum lig.

Svar: .

Opgave 4. I betingelserne for opgave 2, find ordinaten for punktet, symmetrisk punkt i forhold til abscisseaksen.

Jeg tror, ​​det er intuitivt klart for dig, hvad symmetri er? Mange genstande har det: mange bygninger, borde, flyvemaskiner, mange geometriske former: kugle, cylinder, firkant, rombe osv. Groft sagt kan symmetri forstås som følger: en figur består af to (eller flere) identiske halvdele. Denne symmetri kaldes aksial symmetri. Hvad er så en akse? Dette er præcis den linje, langs hvilken figuren relativt set kan "skæres" i lige halvdele (på dette billede er symmetriaksen lige):

Lad os nu vende tilbage til vores opgave. Vi ved, at vi leder efter et punkt, der er symmetrisk om aksen. Så er denne akse symmetriaksen. Det betyder, at vi skal markere et punkt, således at aksen skærer segmentet i to lige store dele. Prøv selv at markere et sådant punkt. Sammenlign nu med min løsning:

Gik det på samme måde for dig? Bøde! Vi er interesserede i ordinaten af ​​det fundne punkt. Det er ligeværdigt

Svar:

Fortæl mig nu, efter at have tænkt et par sekunder, hvad vil abscissen være af et punkt, der er symmetrisk til punkt A i forhold til ordinaten? Hvad er dit svar? Rigtigt svar: .

Generelt kan reglen skrives sådan:

Et punkt, der er symmetrisk til et punkt i forhold til abscisseaksen, har koordinaterne:

Et punkt, der er symmetrisk til et punkt i forhold til ordinataksen, har koordinater:

Nå, nu er det fuldstændig skræmmende opgave: find koordinaterne for et punkt, der er symmetrisk med punktet i forhold til origo. Du tænker først selv, og ser så på min tegning!

Svar:

Nu parallelogram problem:

Opgave 5: Punkterne vises ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find eller-di-på-det punkt.

Du kan løse dette problem på to måder: logik og koordinatmetoden. Jeg bruger først koordinatmetoden, og så fortæller jeg dig, hvordan du kan løse det anderledes.

Det er helt klart, at punktets abscisse er ens. (den ligger på vinkelret tegnet fra punktet til abscisseaksen). Vi skal finde ordinaten. Lad os udnytte det faktum, at vores figur er et parallelogram, det betyder det. Lad os finde længden af ​​segmentet ved hjælp af formlen for afstanden mellem to punkter:

Vi sænker den vinkelrette, der forbinder punktet med aksen. Jeg vil betegne skæringspunktet med et bogstav.

Længden af ​​segmentet er ens. (find selv problemet, hvor vi diskuterede dette punkt), så finder vi længden af ​​segmentet ved hjælp af Pythagoras sætning:

Længden af ​​et segment falder nøjagtigt sammen med dets ordinat.

Svar: .

En anden løsning (jeg giver lige et billede, der illustrerer det)

Løsningsfremskridt:

1. Opførsel

2. Find koordinaterne for punktet og længden

3. Bevis det.

Endnu en segmentlængdeproblem:

Punkterne vises på toppen af ​​trekanten. Find længden af ​​dens midterlinje, parallel.

Kan du huske hvad det er midterste linje trekant? Så er denne opgave elementær for dig. Hvis du ikke kan huske det, så vil jeg minde dig om: midterlinjen i en trekant er den linje, der forbinder midtpunkterne modsatte sider. Den er parallel med basen og lig med halvdelen af ​​den.

Basen er et segment. Vi var nødt til at lede efter dens længde tidligere, den er ens. Så er længden af ​​midterlinjen halvt så stor og ens.

Svar: .

Kommentar: dette problem kan løses på en anden måde, som vi vender tilbage til lidt senere.

I mellemtiden er her et par problemer til dig, øv dig på dem, de er meget enkle, men de hjælper dig med at blive bedre til at bruge koordinatmetoden!

1. Punkterne er toppen af ​​tra-pe-tionerne. Find længden af ​​dens midterlinje.

2. Punkter og udseende ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find eller-di-på-det punkt.

3. Find længden fra snittet, forbind spidsen og

4. Find området bag den farvede figur på koordinatplanet.

5. En cirkel med centrum i na-cha-le ko-or-di-nat passerer gennem punktet. Find hendes ra-di-us.

6. Find-di-te ra-di-us af cirklen, beskriv-san-noy om den retvinklede-no-ka, toppen af ​​noget har en med-eller -di-na-du er så ansvarlig

Løsninger:

1. Det er kendt, at midtlinjen af ​​en trapez er lig med halvdelen af ​​summen af ​​dens baser. Basen er lig, og basen. Derefter

Svar:

2. Den nemmeste måde at løse dette problem på er at bemærke det (parallelogramreglen). At beregne koordinaterne for vektorer er ikke svært: . Ved tilføjelse af vektorer tilføjes koordinaterne. Så har koordinater. Punktet har også disse koordinater, da vektorens oprindelse er punktet med koordinaterne. Vi er interesserede i ordinaten. Hun er ligeværdig.

Svar:

3. Vi handler straks efter formlen for afstanden mellem to punkter:

Svar:

4. Se på billedet, og fortæl mig, hvilke to figurer det skraverede område er "klemt" imellem? Det er klemt mellem to firkanter. Så er arealet af den ønskede figur lig med arealet af den store firkant minus arealet af den lille. Side lille firkant er et segment, der forbinder punkter og dets længde er

Så er arealet af den lille firkant

Vi gør det samme med en stor firkant: dens side er et segment, der forbinder punkterne, og dens længde er

Så er arealet af den store plads

Vi finder arealet af den ønskede figur ved hjælp af formlen:

Svar:

5. Hvis en cirkel har origo som centrum og går gennem et punkt, så vil dens radius være nøjagtig lig med længde segment (lav en tegning, og du vil forstå, hvorfor dette er indlysende). Lad os finde længden af ​​dette segment:

Svar:

6. Det er kendt, at radius af en cirkel afgrænset om et rektangel lig med halvdelen dens diagonaler. Lad os finde længden af ​​en af ​​de to diagonaler (i et rektangel er de trods alt lige store!)

Svar:

Nå, klarede du alt? Det var ikke særlig svært at finde ud af det, vel? Der er kun én regel her - være i stand til at lave et visuelt billede og simpelthen "læse" alle data fra det.

Vi har meget lidt tilbage. Der er bogstaveligt talt to punkter mere, som jeg gerne vil diskutere.

Lad os prøve at løse dette simple problem. Lad to point og få. Find koordinaterne for segmentets midtpunkt. Løsningen på dette problem er som følger: lad punktet være det ønskede midtpunkt, så har det koordinater:

Det er: koordinater for midten af ​​segmentet = det aritmetiske middelværdi af de tilsvarende koordinater for enderne af segmentet.

Denne regel er meget enkel og forårsager normalt ikke vanskeligheder for eleverne. Lad os se i hvilke problemer og hvordan det bruges:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Punkterne ser ud til at være toppen af ​​verden. Find-di-te eller-di-na-tu point per-re-se-che-niya af hans dia-go-na-ley.

3. Find-di-te abs-cis-su midten af ​​cirklen, beskriv-san-noy om den rektangulære-no-ka, toppen af ​​noget har co-eller-di-na-du så-ansvarligt-men.

Løsninger:

1. Det første problem er simpelthen en klassiker. Vi fortsætter straks for at bestemme midten af ​​segmentet. Den har koordinater. Ordinaten er ens.

Svar:

2. Det er let at se, at denne firkant er et parallelogram (selv en rombe!). Det kan du selv bevise ved at beregne længderne af siderne og sammenligne dem med hinanden. Hvad ved jeg om parallelogrammer? Dens diagonaler er delt i to af skæringspunktet! Ja! Så hvad er skæringspunktet mellem diagonalerne? Dette er midten af ​​enhver af diagonalerne! Jeg vil især vælge diagonalen. Så har punktet koordinater Punktets ordinat er lig med.

Svar:

3. Hvad falder midten af ​​cirklen afgrænset om rektanglet sammen med? Det falder sammen med skæringspunktet for dets diagonaler. Hvad ved du om diagonalerne i et rektangel? De er lige store, og skæringspunktet deler dem i to. Opgaven blev reduceret til den forrige. Lad os for eksempel tage diagonalen. Så hvis er midten af ​​den omskrevne cirkel, så er midtpunktet. Jeg leder efter koordinater: Abscissen er ens.

Svar:

Øv dig nu lidt på egen hånd, jeg vil lige give svarene på hvert problem, så du kan teste dig selv.

1. Find-di-te ra-di-us af cirklen, beskriv-san-noy om trekanten-no-ka, toppen af ​​noget har en co-eller-di -no misters

2. Find-di-te eller-di-på-det centrum af cirklen, beskriv-san-noy omkring trekanten-no-ka, hvis toppe har koordinater

3. Hvilken slags ra-di-u-sa skal der være en cirkel med et centrum i et punkt, så den rører ab-ciss-aksen?

4. Find-di-disse eller-di-på-det punkt for genudskæring af aksen og fra-skæring, forbind-punktet og

Svar:

Var alt vellykket? Jeg håber virkelig på det! Nu - det sidste skub. Vær nu særligt forsigtig. Det materiale, som jeg nu vil forklare, er ikke kun direkte relateret til simple opgaver til koordinatmetoden fra del B, men findes også overalt i opgave C2.

Hvilke af mine løfter har jeg endnu ikke holdt? Husk, hvilke operationer på vektorer jeg lovede at introducere, og hvilke jeg i sidste ende introducerede? Er du sikker på, at jeg ikke har glemt noget? Glemte! Jeg glemte at forklare, hvad vektormultiplikation betyder.

Der er to måder at gange en vektor med en vektor. Afhængigt af den valgte metode vil vi få genstande af forskellig karakter:

Krydsproduktet er lavet ganske smart. Vi vil diskutere, hvordan man gør det, og hvorfor det er nødvendigt i den næste artikel. Og i denne vil vi fokusere på det skalære produkt.

Der er to måder, hvorpå vi kan beregne det:

Som du gættede, skulle resultatet være det samme! Så lad os først se på den første metode:

Prik produkt via koordinater

Find: - almindeligt accepteret betegnelse prik produkt

Formlen for beregning er som følger:

Det vil sige, skalarproduktet = summen af ​​produkterne af vektorkoordinater!

Eksempel:

Find-di-te

Løsning:

Lad os finde koordinaterne for hver af vektorerne:

Vi beregner skalarproduktet ved hjælp af formlen:

Svar:

Se, absolut intet kompliceret!

Nå, prøv det selv:

· Find en skalar pro-iz-ve-de-nie af århundreder og

Klarede du dig? Måske har du bemærket en lille fangst? Lad os tjekke:

Vektorkoordinater som i sidste opgave! Svar: .

Ud over koordinatet er der en anden måde at beregne skalarproduktet på, nemlig gennem længderne af vektorerne og cosinus af vinklen mellem dem:

Betegner vinklen mellem vektorerne og.

Det vil sige, at skalarproduktet er lig med produktet af vektorernes længder og cosinus af vinklen mellem dem.

Hvorfor har vi brug for denne anden formel, hvis vi har den første, som er meget enklere, i det mindste er der ingen cosinus i den. Og det er nødvendigt, så du og jeg ud fra den første og anden formel kan udlede, hvordan man finder vinklen mellem vektorer!

Lad Derefter huske formlen for længden af ​​vektoren!

Så hvis jeg erstatter disse data i den skalære produktformel, får jeg:

Men på en anden måde:

Så hvad fik du og jeg? Vi har nu en formel, der giver os mulighed for at beregne vinklen mellem to vektorer! Nogle gange er det også skrevet sådan for kortheds skyld:

Det vil sige, at algoritmen til at beregne vinklen mellem vektorer er som følger:

1. Beregn skalarproduktet gennem koordinater
2. Find længderne af vektorerne og gang dem
3. Divider resultatet af punkt 1 med resultatet af punkt 2

Lad os øve os med eksempler:

1. Find vinklen mellem øjenlågene og. Giv svaret i grad-du-sah.

2. Find cosinus mellem vektorerne i betingelserne i den foregående opgave

Lad os gøre dette: Jeg hjælper dig med at løse det første problem, og prøv at gøre det andet selv! Enig? Så lad os begynde!

1. Disse vektorer er vores gamle venner. Vi har allerede beregnet deres skalarprodukt, og det var lige meget. Deres koordinater er: , . Så finder vi deres længder:

Så ser vi efter cosinus mellem vektorerne:

Hvad er cosinus af vinklen? Dette er hjørnet.

Svar:

Nå, løs nu det andet problem selv, og sammenlign så! Jeg vil give en meget kort løsning:

2. har koordinater, har koordinater.

Lad være vinklen mellem vektorerne og så

Svar:

Det skal bemærkes, at problemerne direkte på vektorer og koordinatmetoden i del B eksamensopgave ret sjældent. Langt de fleste C2-problemer kan dog nemt løses ved at indføre et koordinatsystem. Så du kan betragte denne artikel som grundlaget for, at vi vil lave ret smarte konstruktioner, som vi skal bruge til at løse komplekse problemer.

KOORDINATER OG VEKTORER. GENNEMSNIVEAU

Du og jeg fortsætter med at studere koordinatmetoden. I den sidste del udledte vi en række vigtige formler, der giver dig mulighed for at:

1. Find vektorkoordinater
2. Find længden af ​​en vektor (alternativt: afstanden mellem to punkter)
3. Tilføj og subtraher vektorer. Gang dem med et reelt tal
4. Find midtpunktet af et segment
5. Beregn prikprodukt af vektorer
6. Find vinklen mellem vektorer

Hele koordinatmetoden passer naturligvis ikke ind i disse 6 punkter. Det ligger til grund for sådan en videnskab som analytisk geometri, som du vil blive fortrolig med på universitetet. Jeg vil bare bygge et fundament, der giver dig mulighed for at løse problemer i en enkelt stat. eksamen. Vi har beskæftiget os med opgaverne i del B. Nu er det tid til at gå videre til høj kvalitet nyt niveau! Denne artikel vil blive afsat til en metode til at løse de C2-problemer, hvor det ville være rimeligt at skifte til koordinatmetoden. Denne rimelighed bestemmes af, hvad der kræves for at findes i problemet, og hvilket tal der er angivet. Så jeg ville bruge koordinatmetoden, hvis spørgsmålene er:

1. Find vinklen mellem to planer
2. Find vinklen mellem en ret linje og et plan
3. Find vinklen mellem to lige linjer
4. Find afstanden fra et punkt til et fly
5. Find afstanden fra et punkt til en linje
6. Find afstanden fra en lige linje til et fly
7. Find afstanden mellem to linjer

Hvis tallet i problemformuleringen er et rotationslegeme (kugle, cylinder, kegle...)

Egnede tal for koordinatmetoden er:

1. Rektangulær parallelepipedum
2. Pyramide (trekantet, firkantet, sekskantet)

Også ud fra min erfaring det er uhensigtsmæssigt at bruge koordinatmetoden til:

1. Finde tværsnitsarealer
2. Beregning af volumener af legemer

Det skal dog umiddelbart bemærkes, at de tre "ugunstige" situationer for koordinatmetoden er ret sjældne i praksis. I de fleste opgaver kan det blive din redningsmand, især hvis du ikke er særlig god til tredimensionelle konstruktioner (som nogle gange kan være ret indviklede).

Hvad er alle de tal, jeg har nævnt ovenfor? De er ikke længere flade, som for eksempel en firkant, en trekant, en cirkel, men voluminøse! Derfor skal vi ikke overveje et todimensionalt, men et tredimensionelt koordinatsystem. Det er ret nemt at konstruere: Lige ud over abscissen og ordinataksen vil vi introducere en anden akse, applikataksen. Figuren viser skematisk deres relative position:

Alle er indbyrdes vinkelrette og skærer hinanden på et punkt, som vi vil kalde koordinaternes oprindelse. Som før vil vi betegne abscisseaksen, ordinataksen - og den indførte applikatakse - .

Hvis hvert punkt på planet tidligere var karakteriseret ved to tal - abscissen og ordinaten, så er hvert punkt i rummet allerede beskrevet af tre numre - abscissen, ordinaten og applikationen. For eksempel:

Følgelig er abscissen af ​​et punkt lig, ordinaten er , og applikatet er .

Nogle gange kaldes et punkts abscisse også for projektionen af ​​et punkt på abscisseaksen, ordinaten - projektionen af ​​et punkt på ordinataksen, og applikatet - projektionen af ​​et punkt på applikationsaksen. Følgelig, hvis et punkt er givet, så et punkt med koordinater:

kaldet projektion af et punkt på et plan

kaldet projektion af et punkt på et plan

Et naturligt spørgsmål opstår: er alle formlerne afledt for det todimensionelle tilfælde gyldige i rummet? Svaret er ja, de er fair og har samme udseende. For en lille detalje. Jeg tror, ​​du allerede har gættet, hvilken det er. I alle formler bliver vi nødt til at tilføje endnu et led, der er ansvarligt for den anvendte akse. Nemlig.

1. Hvis der gives to point: , så:

• Vektorkoordinater:
• Afstand mellem to punkter (eller vektorlængde)
• Midtpunktet af segmentet har koordinater

2. Hvis der er givet to vektorer: og, så:

• Deres skalarprodukt er lig med:
• Cosinus for vinklen mellem vektorerne er lig med:

Pladsen er dog ikke så enkel. Som du forstår, introducerer tilføjelse af endnu en koordinat betydelig mangfoldighed i spektret af figurer, der "lever" i dette rum. Og for yderligere fortælling bliver jeg nødt til at introducere nogle, groft sagt, "generalisering" af den lige linje. Denne "generalisering" vil være et fly. Hvad ved du om fly? Prøv at besvare spørgsmålet, hvad er et fly? Det er meget svært at sige. Men vi forestiller os alle intuitivt, hvordan det ser ud:

Groft sagt er dette en slags endeløst "ark", der sidder fast i rummet. "Uendelig" skal forstås, at planet strækker sig i alle retninger, det vil sige, at dets areal er lig med uendeligt. Denne "hands-on" forklaring giver dog ikke den mindste idé om flyets struktur. Og det er hende, der vil være interesseret i os.

Lad os huske et af geometriens grundlæggende aksiomer:

• i to forskellige punkter der er en lige linje på flyet, og kun én:

Eller dens analog i rummet:

Selvfølgelig husker du, hvordan man udleder ligningen for en linje fra to givne punkter; det er slet ikke svært: hvis det første punkt har koordinater: og det andet, så vil linjens ligning være som følger:

Du tog det i 7. klasse. I rummet ser ligningen for en linje sådan ud: lad os få to punkter med koordinater: , så har ligningen for linjen, der går gennem dem, formen:

For eksempel går en linje gennem punkter:

Hvordan skal dette forstås? Dette skal forstås som følger: et punkt ligger på en linje, hvis dets koordinater opfylder følgende system:

Vi vil ikke være særlig interesserede i linjens ligning, men vi skal være opmærksomme på selve vigtigt koncept dirigerende vektor lige linje. - enhver ikke-nul vektor, der ligger på en given linje eller parallelt med den.

For eksempel er begge vektorer retningsvektorer af en ret linje. Lad være et punkt, der ligger på en linje og lad være dets retningsvektor. Så kan linjens ligning skrives i følgende form:

Endnu en gang vil jeg ikke være særlig interesseret i ligningen for en lige linje, men jeg har virkelig brug for, at du husker, hvad en retningsvektor er! En gang til: dette er ENHVER ikke-nul vektor, der ligger på en linje eller parallelt med den.

Træk tilbage en plans ligning baseret på tre givne punkter er ikke længere så trivielt, og normalt behandles dette problem ikke i kurset Gymnasium. Men forgæves! Denne teknik er afgørende, når vi tyr til koordinatmetoden for at løse komplekse problemer. Jeg går dog ud fra, at du er ivrig efter at lære noget nyt? Desuden vil du være i stand til at imponere din lærer på universitetet, når det viser sig, at du allerede ved, hvordan du bruger en teknik, som normalt studeres i et analytisk geometrikursus. Så lad os komme i gang.

Et plans ligning er ikke for forskellig fra ligningen for en ret linje på et plan, den har nemlig formen:

nogle tal (ikke alle lig med nul), og variabler, for eksempel: osv. Som du kan se, er ligningen for en plan ikke meget forskellig fra ligningen for en ret linje (lineær funktion). Men kan du huske, hvad du og jeg diskuterede? Vi sagde, at hvis vi har tre punkter, der ikke ligger på samme linje, så kan flyets ligning rekonstrueres entydigt ud fra dem. Men hvordan? Jeg vil prøve at forklare dig det.

Da flyets ligning er:

Og punkterne hører til dette plan, så når vi erstatter koordinaterne for hvert punkt i planets ligning, skulle vi opnå den korrekte identitet:

Der er således behov for at løse tre ligninger med ukendte! Dilemma! Det kan du dog altid gå ud fra (for at gøre dette skal du dividere med). Således får vi tre ligninger med tre ubekendte:

Vi vil dog ikke løse et sådant system, men vil skrive det mystiske udtryk, der følger af det:

Ligning for et plan, der passerer gennem tre givne punkter

\[\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Hold op! Hvad er dette? Et meget usædvanligt modul! Det objekt, du ser foran dig, har dog intet at gøre med modulet. Dette objekt kaldes en tredjeordens determinant. Fra nu af, når du beskæftiger dig med koordinatmetoden på et plan, vil du meget ofte støde på de samme determinanter. Hvad er en tredjeordens determinant? Mærkeligt nok er det bare et tal. Det er tilbage at forstå, hvilket specifikt tal vi vil sammenligne med determinanten.

Lad os først skrive tredjeordens determinant i en mere generel form:

Hvor er nogle tal. Desuden mener vi med det første indeks rækkenummeret, og med indekset mener vi kolonnenummeret. For eksempel betyder det, at dette tal er i skæringspunktet mellem anden række og tredje kolonne. Lad os tage den på næste spørgsmål: Hvordan vil vi præcist beregne en sådan determinant? Det vil sige, hvilket specifikt tal vil vi sammenligne med det? For tredjeordens determinant er der en heuristisk (visuel) trekantregel, den ser sådan ud:

1. Produktet af elementerne i hoveddiagonalen (fra øverste venstre hjørne til nederste højre) produktet af elementerne, der danner den første trekant "vinkelret" på hoveddiagonalen produktet af elementerne, der danner den anden trekant "vinkelret" på hoveddiagonal
2. Produktet af elementerne i den sekundære diagonal (fra øverste højre hjørne til nederste venstre) produktet af elementerne, der danner den første trekant "vinkelret" på den sekundære diagonal produktet af elementerne, der danner den anden trekant "vinkelret" på sekundær diagonal
3. Så er determinanten lig med forskellen mellem værdierne opnået ved trin og

Hvis vi skriver alt dette ned i tal, får vi følgende udtryk:

Du behøver dog ikke at huske beregningsmetoden i denne form; det er nok bare at have trekanterne i hovedet og selve ideen om, hvad der lægger op til hvad, og hvad der så trækkes fra hvad).

Lad os illustrere trekantmetoden med et eksempel:

1. Beregn determinanten:

Lad os finde ud af, hvad vi tilføjer, og hvad vi trækker fra:

Vilkår, der kommer med et plus:

Dette er hoveddiagonalen: produktet af elementerne er lig med

Den første trekant, "vinkelret på hoveddiagonalen: produktet af elementerne er lig med

Anden trekant, "vinkelret på hoveddiagonalen: produktet af elementerne er lig med

Læg tre tal sammen:

Begreber, der kommer med et minus

Dette er en sidediagonal: produktet af elementerne er lig med

Den første trekant, "vinkelret på den sekundære diagonal: produktet af elementerne er lig med

Den anden trekant, "vinkelret på den sekundære diagonal: produktet af elementerne er lig med

Læg tre tal sammen:

Det eneste, der skal gøres, er at trække summen af ​​"plus"-leddene fra summen af ​​"minus"-leddene:

Dermed,

Som du kan se, er der intet kompliceret eller overnaturligt i at beregne tredjeordens determinanter. Det er bare vigtigt at huske på trekanter og ikke lave regnefejl. Prøv nu at beregne det selv:

Vi tjekker:

1. Den første trekant vinkelret på hoveddiagonalen:
2. Anden trekant vinkelret på hoveddiagonalen:
3. Summen af ​​udtryk med plus:
4. Den første trekant vinkelret på den sekundære diagonal:
5. Anden trekant vinkelret på sidediagonalen:
6. Summen af ​​led med minus:
7. Summen af ​​vilkårene med et plus minus summen af ​​vilkårene med et minus:

Her er et par determinanter mere, beregn deres værdier selv og sammenlign dem med svarene:

Svar:

Tja, faldt alt sammen? Super, så kan du komme videre! Hvis der er vanskeligheder, så er mit råd dette: På internettet er der en masse programmer til at beregne determinanten online. Det eneste, du skal bruge, er at komme med din egen determinant, beregne den selv og derefter sammenligne den med, hvad programmet beregner. Og så videre, indtil resultaterne begynder at falde sammen. Jeg er sikker på, at dette øjeblik ikke vil tage lang tid at ankomme!

Lad os nu gå tilbage til den determinant, som jeg skrev ud, da jeg talte om ligningen for et fly, der passerer gennem tre givne punkter:

Alt du behøver er at beregne dens værdi direkte (ved hjælp af trekantmetoden) og sætte resultatet til nul. Da disse er variable, vil du naturligvis få nogle udtryk, der afhænger af dem. Det er dette udtryk, der vil være ligningen for et plan, der går gennem tre givne punkter, der ikke ligger på den samme rette linje!

Lad os illustrere dette med et simpelt eksempel:

1. Konstruer ligningen for et plan, der går gennem punkterne

Vi sammensætter en determinant for disse tre punkter:

Lad os forenkle:

Nu beregner vi det direkte ved hjælp af trekantsreglen:

\[(\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ højre| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Således er ligningen for planet, der passerer gennem punkterne:

Prøv nu at løse et problem selv, og så vil vi diskutere det:

2. Find ligningen for det plan, der går gennem punkterne

Nå, lad os nu diskutere løsningen:

Lad os skabe en determinant:

Og beregn dens værdi:

Så har planens ligning formen:

Eller, reduceret med, får vi:

Nu to opgaver til selvkontrol:

1. Konstruer ligningen for et plan, der går gennem tre punkter:

Svar:

Var alt sammenfaldende? Igen, hvis der er visse vanskeligheder, så er mit råd dette: tag tre point fra dit hoved (med i høj grad chancerne er, at de ikke vil ligge på den samme lige linje), bygger du et fly baseret på dem. Og så tjekker du dig selv online. For eksempel på webstedet:

Men ved hjælp af determinanter konstruerer vi ikke kun flyets ligning. Husk, jeg fortalte dig, at ikke kun prikprodukt er defineret for vektorer. Der er også et vektorprodukt, samt et blandet produkt. Og hvis skalarproduktet af to vektorer er et tal, så vil vektorproduktet af to vektorer være en vektor, og denne vektor vil være vinkelret på de givne:

Desuden vil dets modul være lig med areal parallelogram konstrueret på vektorer og. Denne vektor Vi skal bruge det til at beregne afstanden fra et punkt til en linje. Hvordan kan vi beregne vektorproduktet af vektorer, og hvis deres koordinater er givet? Den tredje ordens determinant kommer os til hjælp igen. Inden jeg går videre til algoritmen til beregning af vektorproduktet, skal jeg dog lave en lille digression.

Denne digression vedrører basisvektorer.

De er vist skematisk i figuren:

Hvorfor tror du, de kaldes basic? Faktum er, at:

Eller på billedet:

Gyldigheden af ​​denne formel er indlysende, fordi:

Vektor kunstværk

Nu kan jeg begynde at introducere krydsproduktet:

Vektorproduktet af to vektorer er en vektor, som beregnes efter følgende regel:

Lad os nu give nogle eksempler på beregning af krydsproduktet:

Eksempel 1: Find krydsproduktet af vektorer:

Løsning: Jeg laver en determinant:

Og jeg regner det ud:

Nu fra at skrive gennem basisvektorer, vil jeg vende tilbage til den sædvanlige vektornotation:

Dermed:

Prøv det nu.

Parat? Vi tjekker:

Og traditionelt to opgaver til kontrol:

1. Find vektorproduktet af følgende vektorer:
2. Find vektorproduktet af følgende vektorer:

Svar:

Blandet produkt af tre vektorer

Den sidste konstruktion, jeg skal bruge, er det blandede produkt af tre vektorer. Det er ligesom en skalar et tal. Der er to måder at beregne det på. - gennem en determinant - gennem et blandet produkt.

Lad os nemlig få tre vektorer:

Derefter kan det blandede produkt af tre vektorer, betegnet med, beregnes som:

1. - det vil sige, at det blandede produkt er skalarproduktet af en vektor og vektorproduktet af to andre vektorer

For eksempel er det blandede produkt af tre vektorer:

Prøv selv at beregne det ved hjælp af vektorproduktet og sørg for, at resultaterne stemmer overens!

Og igen to eksempler på uafhængige løsninger:

Svar:

Valg af koordinatsystem

Nå, nu har vi alt det nødvendige videngrundlag til at løse komplekse stereometriske geometriproblemer. Men før jeg går direkte videre til eksempler og algoritmer til at løse dem, tror jeg, at det vil være nyttigt at dvæle ved følgende spørgsmål: hvordan præcist vælge et koordinatsystem for en bestemt figur. Det er jo valget relativ position koordinatsystemer og former i rummet vil i sidste ende afgøre, hvor besværlige beregningerne bliver.

Lad mig minde dig om, at vi i dette afsnit betragter følgende tal:

1. Rektangulær parallelepipedum
2. Lige prisme (trekantet, sekskantet...)
3. Pyramide (trekantet, firkantet)
4. Tetraeder (samme som trekantet pyramide)

For en rektangulær parallelepipedum eller terning anbefaler jeg dig følgende konstruktion:

Det vil sige, jeg vil placere figuren "i hjørnet". Terningen og parallelepipedummet er meget gode figurer. For dem kan du altid nemt finde koordinaterne for dets hjørner. For eksempel, hvis (som vist på billedet)

så er koordinaterne for hjørnerne som følger:

Selvfølgelig behøver du ikke at huske dette, men det er tilrådeligt at huske, hvordan du bedst placerer en terning eller et rektangulært parallelepipedum.

Lige prisme

Prismet er en mere skadelig figur. Den kan placeres i rummet på forskellige måder. Imidlertid forekommer følgende mulighed for mig at være den mest acceptable:

Trekantet prisme:

Det vil sige, at vi placerer en af ​​trekantens sider helt på aksen, og en af ​​hjørnerne falder sammen med koordinaternes oprindelse.

Sekskantet prisme:

Det vil sige, at et af hjørnerne falder sammen med oprindelsen, og en af ​​siderne ligger på aksen.

Firkantet og sekskantet pyramide:

Situationen ligner en terning: vi justerer to sider af basen med koordinatakserne og justerer en af ​​hjørnerne med koordinaternes oprindelse. Den eneste lille vanskelighed vil være at beregne koordinaterne for punktet.

For en sekskantet pyramide - på samme måde som for sekskantet prisme. Hovedopgaven bliver igen at finde toppunktets koordinater.

Tetrahedron (trekantet pyramide)

Situationen er meget lig den, jeg gav for et trekantet prisme: et toppunkt falder sammen med oprindelsen, den ene side ligger på koordinataksen.

Nå, nu er du og jeg endelig tæt på at begynde at løse problemer. Ud fra det, jeg sagde i begyndelsen af ​​artiklen, kunne du drage følgende konklusion: De fleste C2-problemer er opdelt i 2 kategorier: vinkelproblemer og afstandsproblemer. Først vil vi se på problemerne med at finde en vinkel. De er igen opdelt i følgende kategorier (i takt med at kompleksiteten øges):

Problemer med at finde vinkler

1. Find vinklen mellem to lige linjer
2. Finde vinklen mellem to planer

Lad os se på disse problemer sekventielt: Lad os starte med at finde vinklen mellem to lige linjer. Nå, husk, besluttede du og jeg ikke? lignende eksempler tidligere? Kan du huske, vi havde allerede noget lignende... Vi ledte efter vinklen mellem to vektorer. Lad mig minde dig om, hvis to vektorer er givet: og så er vinklen mellem dem fundet ud fra relationen:

Nu er vores mål at finde vinklen mellem to lige linjer. Lad os se på det "flade billede":

Hvor mange vinkler fik vi, da to lige linjer krydsede hinanden? Bare et par ting. Sandt nok er kun to af dem ikke lige, mens de andre er lodrette i forhold til dem (og derfor falder sammen med dem). Så hvilken vinkel skal vi overveje vinklen mellem to rette linjer: eller? Her er reglen: vinklen mellem to rette linjer er altid ikke mere end grader. Det vil sige, at vi fra to vinkler altid vil vælge den vinkel med det mindste gradmål. Det vil sige, på dette billede er vinklen mellem to rette linjer ens. For ikke at genere hver gang med at finde den mindste af to vinkler, foreslog snedige matematikere at bruge et modul. Vinklen mellem to rette linjer bestemmes således af formlen:

Du, som en opmærksom læser, skulle have haft et spørgsmål: hvor får vi præcis disse tal, som vi skal bruge for at beregne cosinus af en vinkel? Svar: vi tager dem fra linjernes retningsvektorer! Algoritmen til at finde vinklen mellem to rette linjer er således som følger:

1. Vi anvender formel 1.

Eller mere detaljeret:

1. Vi leder efter koordinaterne for retningsvektoren for den første rette linje
2. Vi leder efter koordinaterne for retningsvektoren for den anden rette linje
3. Vi beregner modulet af deres skalarprodukt
4. Vi leder efter længden af ​​den første vektor
5. Vi leder efter længden af ​​den anden vektor
6. Multiplicer resultaterne af punkt 4 med resultaterne af punkt 5
7. Vi dividerer resultatet af punkt 3 med resultatet af punkt 6. Vi får cosinus af vinklen mellem linjerne
8. Hvis dette resultat giver dig mulighed for nøjagtigt at beregne vinklen, se efter den
9. Ellers skriver vi gennem arc cosinus

Nå, nu er det tid til at gå videre til problemerne: Jeg vil demonstrere løsningen på de to første i detaljer, jeg vil præsentere løsningen for en anden i Kort om, og til de sidste to problemer vil jeg kun give svar, du skal selv udføre alle beregningerne for dem.

Opgaver:

1. I højre tet-ra-ed-re finder du vinklen mellem højden af ​​tet-ra-ed-ra og midtersiden.

2. I højre seks-hjørne pi-ra-mi-de er de hundrede os-no-va-niyaer lige store, og sidekanterne er lige, find vinklen mellem linjerne og.

3. Længderne af alle kanterne af den højre firekul pi-ra-mi-dy er lig med hinanden. Find vinklen mellem de lige linjer, og hvis du fra snittet er med den givne pi-ra-mi-dy, er punktet se-re-di-på dens bo-co-second ribben

4. På kanten af ​​terningen er der et punkt, så Find vinklen mellem de rette linjer og

5. Peg - på terningens kanter Find vinklen mellem de lige linjer og.

Det er ikke tilfældigt, at jeg ordnede opgaverne i denne rækkefølge. Mens du endnu ikke er begyndt at navigere i koordinatmetoden, vil jeg selv analysere de mest "problematiske" figurer, og jeg vil lade dig beskæftige dig med den enkleste terning! Efterhånden skal du lære at arbejde med alle figurerne, jeg vil øge kompleksiteten af ​​opgaverne fra emne til emne.

Lad os begynde at løse problemer:

1. Tegn et tetraeder, placer det i koordinatsystemet som jeg foreslog tidligere. Da tetraederet er regelmæssigt, så er alle dets ansigter (inklusive basen). almindelige trekanter. Da vi ikke får opgivet længden af ​​siden, kan jeg tage det til at være ens. Jeg tror, ​​du forstår, at vinklen faktisk ikke vil afhænge af, hvor meget vores tetraeder er "strakt"?. Jeg vil også tegne højden og medianen i tetraederet. Undervejs vil jeg tegne dens base (det vil også være nyttigt for os).

Jeg skal finde vinklen mellem og. Hvad ved vi? Vi kender kun punktets koordinat. Det betyder, at vi skal finde punkternes koordinater. Nu tænker vi: et punkt er skæringspunktet for trekantens højder (eller halveringslinjer eller medianer). Og et punkt er et rejst punkt. Punktet er midten af ​​segmentet. Så skal vi endelig finde: punkternes koordinater:.

Lad os starte med det enkleste: koordinaterne til et punkt. Se på figuren: Det er tydeligt, at anvendelsen af ​​et punkt er lig med nul (punktet ligger på planet). Dens ordinat er lig (da det er medianen). Det er sværere at finde sin abscisse. Dette gøres dog nemt ud fra Pythagoras sætning: Overvej en trekant. Dens hypotenus er ens, og et af dens ben er ens. Så:

Endelig har vi:.

Lad os nu finde koordinaterne for punktet. Det er klart, at dens anvendelse igen er lig med nul, og dens ordinat er den samme som punktets, dvs. Lad os finde dens abscisse. Dette gøres ganske trivielt, hvis du husker det højder ligesidet trekant skæringspunktet er opdelt i forhold, tæller fra toppen. Da: , så er den nødvendige abscisse af punktet, lig med længden af ​​segmentet, lig med: . Koordinaterne for punktet er således:

Lad os finde koordinaterne for punktet. Det er klart, at dens abscisse og ordinat falder sammen med punktets abscisse og ordinat. Og ansøgningen er lig med længden af ​​segmentet. - dette er et af trekantens ben. Hypotenusen af ​​en trekant er et segment - et ben. Den søges af grunde, som jeg har fremhævet med fed skrift:

Punktet er midten af ​​segmentet. Så skal vi huske formlen for koordinaterne for segmentets midtpunkt:

Det er det, nu kan vi lede efter koordinaterne for retningsvektorerne:

Nå, alt er klar: vi erstatter alle data i formlen:

Dermed,

Svar:

Du bør ikke være bange for sådanne "skræmmende" svar: For C2-problemer er dette almindelig praksis. Jeg vil hellere blive overrasket over det "smukke" svar i denne del. Også, som du har bemærket, har jeg praktisk talt ikke ty til andet end Pythagoras sætning og egenskaben for højder i en ligesidet trekant. Det vil sige, for at løse det stereometriske problem brugte jeg det allermindste af stereometri. Gevinsten heri er delvist "slukket" af ret besværlige beregninger. Men de er ret algoritmiske!

2. Lad os skildre en regulær sekskantet pyramide sammen med koordinatsystemet, såvel som dets base:

Vi skal finde vinklen mellem linjerne og. Vores opgave går således ud på at finde punkternes koordinater:. Vi finder koordinaterne for de sidste tre ved hjælp af en lille tegning, og vi finder toppunktets koordinat gennem punktets koordinat. Der er meget arbejde at gøre, men vi skal i gang!

a) Koordinat: det er klart, at dets applikat og ordinat er lig med nul. Lad os finde abscissen. For at gøre dette skal du overveje en retvinklet trekant. Ak, i den kender vi kun hypotenusen, som er lige. Vi vil forsøge at finde benet (for det er klart, at dobbelt længde af benet vil give os abscissen af ​​spidsen). Hvordan kan vi lede efter det? Lad os huske, hvilken slags figur vi har i bunden af ​​pyramiden? Dette er en regulær sekskant. Hvad betyder det? Det betyder, at alle sider og alle vinkler er lige store. Vi skal finde en sådan vinkel. Nogle ideer? Der er mange ideer, men der er en formel:

Summen af ​​vinkler almindelig n-gon svarende til .

Altså summen af ​​vinklerne regulær sekskant lig med grader. Så er hver af vinklerne lig med:

Lad os se på billedet igen. Det er tydeligt, at segmentet er halveringslinjen af ​​vinklen. Så vinklen lig med grader. Derefter:

Så hvor fra.

Har således koordinater

b) Nu kan vi nemt finde punktets koordinat:.

c) Find punktets koordinater. Da dens abscisse falder sammen med længden af ​​segmentet, er den ens. At finde ordinaten er heller ikke særlig svært: hvis vi forbinder prikkerne og udpeger skæringspunktet for den lige linje som f.eks. (gør det selv enkel konstruktion). Så Ordinaten af ​​punkt B er lig med summen af ​​længderne af segmenterne. Lad os se på trekanten igen. Derefter

Så siden Så har punktet koordinater

d) Lad os nu finde koordinaterne for punktet. Overvej rektanglet og bevis, at punktets koordinater er:

e) Tilbage er at finde toppunktets koordinater. Det er klart, at dens abscisse og ordinat falder sammen med punktets abscisse og ordinat. Lad os finde applikationen. Siden da. Overvej en retvinklet trekant. Ifølge betingelserne for problemet, en sidekant. Dette er hypotenusen i min trekant. Så er pyramidens højde et ben.

Så har punktet koordinater:

Nå, det er det, jeg har koordinaterne til alle de punkter, der interesserer mig. Jeg leder efter koordinaterne for retningsvektorerne for rette linjer:

Vi leder efter vinklen mellem disse vektorer:

Svar:

Igen, ved at løse dette problem brugte jeg ikke andre sofistikerede teknikker end formlen for summen af ​​vinklerne af en regulær n-gon, samt definitionen af ​​cosinus og sinus i en retvinklet trekant.

3. Da vi igen ikke får oplyst længderne af kanterne i pyramiden, vil jeg tælle dem lig med én. Da ALLE kanter, og ikke kun sidekanterne, er ens med hinanden, så er der ved bunden af ​​pyramiden og mig en firkant, og sidefladerne er regulære trekanter. Lad os tegne en sådan pyramide såvel som dens base på et plan, idet vi noterer alle de data, der er givet i teksten til problemet:

Vi leder efter vinklen mellem og. Jeg vil lave meget korte beregninger, når jeg søger efter punkternes koordinater. Du skal "dechifrere" dem:

b) - midten af ​​segmentet. Dens koordinater:

c) Jeg vil finde længden af ​​segmentet ved hjælp af Pythagoras sætning i en trekant. Jeg kan finde det ved hjælp af Pythagoras sætning i en trekant.

Koordinater:

d) - midten af ​​segmentet. Dens koordinater er

e) Vektorkoordinater

f) Vektorkoordinater

g) Leder efter vinklen:

terning - enkleste figur. Jeg er sikker på, at du vil finde ud af det på egen hånd. Svarene på opgave 4 og 5 er som følger:

At finde vinklen mellem en ret linje og et plan

Nå, tiden for simple gåder er forbi! Nu bliver eksemplerne endnu mere komplicerede. For at finde vinklen mellem en ret linje og et plan, går vi frem som følger:

1. Ved hjælp af tre punkter konstruerer vi en ligning af planet
   ,
   ved at bruge en tredjeordens determinant.
2. Ved hjælp af to punkter leder vi efter koordinaterne for den rette linjes retningsvektor:
3. Vi anvender formlen til at beregne vinklen mellem en ret linje og en plan:

Som du kan se, ligner denne formel meget den, vi brugte til at finde vinkler mellem to lige linjer. Strukturen i højre side er ganske enkelt den samme, og til venstre leder vi nu efter sinus, ikke cosinus som før. Nå, en grim handling blev tilføjet - at søge efter flyets ligning.

Lad os ikke udskyde eksempler på løsninger:

1. Hoved-men-va-ni-em direkte prisme-vi er en lig-til-fattig trekant. Find vinklen mellem den rette linje og planet

2. I en rektangulær par-ral-le-le-pi-pe-de fra vest Find vinklen mellem den rette linje og planet

3. I et ret seks-hjørnet prisme er alle kanter ens. Find vinklen mellem den rette linje og planet.

4. I den højre trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em af de kendte ribben Find et hjørne, ob-ra-zo-van -fladt i bunden og lige, der går gennem den grå ribben og

5. Længderne af alle kanterne af en ret firkantet pi-ra-mi-dy med et toppunkt er lig med hinanden. Find vinklen mellem den rette linje og planet, hvis punktet er på siden af ​​pi-ra-mi-dys kant.

Igen vil jeg løse de to første problemer i detaljer, det tredje kort, og overlade de to sidste til dig at løse på egen hånd. Desuden har du allerede skulle beskæftige dig med den trekantede og firkantede pyramider, men med prismer - ikke endnu.

Løsninger:

1. Lad os skildre et prisme, såvel som dets base. Lad os kombinere det med koordinatsystemet og notere alle de data, der er givet i problemformuleringen:

Jeg undskylder for en vis manglende overholdelse af proportionerne, men for at løse problemet er dette faktisk ikke så vigtigt. Flyet er simpelthen "bagvæggen" af mit prisme. Det er nok blot at gætte, at ligningen for et sådant plan har formen:

Dette kan dog vises direkte:

Lad os vælge vilkårlige tre punkter på dette plan: for eksempel .

Lad os lave flyets ligning:

Øvelse for dig: beregn selv denne determinant. Lykkedes det? Så ser flyets ligning sådan ud:

Eller simpelthen

Dermed,

For at løse eksemplet skal jeg finde koordinaterne for retningsvektoren for den rette linje. Da punktet falder sammen med koordinaternes oprindelse, vil vektorens koordinater blot falde sammen med punktets koordinater. For at gøre dette finder vi først punktets koordinater.

For at gøre dette skal du overveje en trekant. Lad os tegne højden (også kendt som medianen og halveringslinjen) fra toppunktet. Da punktets ordinat er lig med. For at finde abscissen af ​​dette punkt, skal vi beregne længden af ​​segmentet. Ifølge Pythagoras sætning har vi:

Så har punktet koordinater:

En prik er en "hævet" prik:

Så er vektorkoordinaterne:

Svar:

Som du kan se, er der ikke noget grundlæggende svært, når man løser sådanne problemer. Faktisk forenkles processen lidt mere af "lige" af en figur, såsom et prisme. Lad os nu gå videre til det næste eksempel:

2. Tegn et parallelepipedum, tegn et plan og en lige linje i det, og tegn også separat dens nederste base:

Først finder vi flyets ligning: Koordinaterne for de tre punkter, der ligger i det:

(de to første koordinater fås på en indlysende måde, og du kan nemt finde den sidste koordinat fra billedet fra punktet). Så komponerer vi flyets ligning:

Vi beregner:

Vi leder efter koordinaterne for den styrende vektor: Det er tydeligt, at dens koordinater falder sammen med punktets koordinater, er det ikke? Hvordan finder man koordinater? Dette er punktets koordinater, hævet langs den anvendte akse med én! . Så leder vi efter den ønskede vinkel:

Svar:

3. Tegn en regulær sekskantet pyramide, og tegn derefter et plan og en ret linje i den.

Her er det endda problematisk at tegne et fly, for ikke at tale om at løse dette problem, men koordinatmetoden er ligeglad! Dens alsidighed er dens største fordel!

Flyet passerer gennem tre punkter:. Vi leder efter deres koordinater:

1). Find selv koordinaterne for de sidste to punkter. Du bliver nødt til at løse det sekskantede pyramideproblem for dette!

2) Vi konstruerer planens ligning:

Vi leder efter vektorens koordinater: . (Se problemet med trekantet pyramide igen!)

3) Leder du efter en vinkel:

Svar:

Som du kan se, er der ikke noget overnaturligt svært i disse opgaver. Du skal bare være meget forsigtig med rødderne. Jeg vil kun give svar på de sidste to problemer:

Som du kan se, er teknikken til at løse problemer den samme overalt: Hovedopgaven er at finde koordinaterne for hjørnerne og erstatte dem med bestemte formler. Vi skal stadig overveje endnu en klasse af problemer til beregning af vinkler, nemlig:

Beregning af vinkler mellem to planer

Løsningsalgoritmen vil være som følger:

1. Ved hjælp af tre punkter ser vi efter ligningen for det første plan:
2. Ved at bruge de tre andre punkter ser vi efter ligningen for det andet plan:
3. Vi anvender formlen:

Som du kan se, ligner formlen meget de to foregående, ved hjælp af hvilke vi ledte efter vinkler mellem lige linjer og mellem en ret linje og et plan. Så det vil ikke være svært for dig at huske denne. Lad os gå videre til analysen af ​​opgaverne:

1. Siden af ​​bunden af ​​det højre trekantede prisme er ens, og diagonalen af ​​sidefladen er ens. Find vinklen mellem planet og planet for prismets akse.

2. I den højre fire-hjørne pi-ra-mi-de, hvis kanter er lige store, find sinusen af ​​vinklen mellem planet og den plane knogle, der går gennem punktet per-pen-di-ku- lyar-men lige.

3. I et regulært fire-hjørnet prisme er siderne af basen ens, og sidekanterne ens. Der er et punkt på kanten fra-mig-che-on så det. Find vinklen mellem planerne og

4. I et ret firkantet prisme er siderne af basen ens, og sidekanterne er ens. Der er et punkt på kanten fra punktet, så Find vinklen mellem planerne og.

5. I en terning skal du finde co-sinus af vinklen mellem planerne og

Problemløsninger:

1. Jeg tegner den rigtige (ved bunden er der en ligesidet trekant) trekantet prisme og marker på den de planer, der vises i problemformuleringen:

Vi skal finde ligningerne for to planer: Grundens ligning er triviel: du kan sammensætte den tilsvarende determinant ved hjælp af tre punkter, men jeg vil sammensætte ligningen med det samme:

Lad os nu finde ligningen Punkt har koordinater Punkt - Da er medianen og højden af ​​trekanten, er den let at finde ved hjælp af Pythagoras sætning i trekanten. Så har punktet koordinater: Lad os finde anvendelsen af ​​punktet. For at gøre dette skal du overveje en retvinklet trekant

Så får vi følgende koordinater: Vi sammensætter planens ligning.

Vi beregner vinklen mellem planerne:

Svar:

2. Lav en tegning:

Det sværeste er at forstå, hvilken slags mystisk fly dette er, der passerer vinkelret gennem punktet. Nå, det vigtigste er, hvad er det? Det vigtigste er opmærksomhed! Faktisk er linjen vinkelret. Den lige linje er også vinkelret. Så vil flyet, der passerer gennem disse to linjer, være vinkelret på linjen, og i øvrigt passere gennem punktet. Dette plan passerer også gennem toppen af ​​pyramiden. Så det ønskede fly - Og flyet er allerede givet til os. Vi leder efter punkternes koordinater.

Vi finder punktets koordinat gennem punktet. Ud fra det lille billede er det let at udlede, at punktets koordinater bliver som følger: Hvad mangler der nu at finde koordinaterne til toppen af ​​pyramiden? Du skal også beregne dens højde. Dette gøres ved hjælp af den samme Pythagoras sætning: Bevis først det (trivielt fra små trekanter, der danner en firkant ved bunden). Da vi efter betingelse har:

Nu er alt klar: toppunktskoordinater:

Vi sammensætter flyets ligning:

Du er allerede ekspert i at beregne determinanter. Uden besvær vil du modtage:

Eller på anden måde (hvis vi gange begge sider med roden af ​​to)

Lad os nu finde flyets ligning:

(Du har ikke glemt, hvordan vi får ligningen for et fly, vel? Hvis du ikke forstår, hvor denne minus ene kom fra, så gå tilbage til definitionen af ​​​​et flys ligning! Det viste sig bare altid før det mit fly tilhørte oprindelsen af ​​koordinater!)

Vi beregner determinanten:

(Du bemærker måske, at flyets ligning falder sammen med ligningen for linjen, der går gennem punkterne og! Tænk over hvorfor!)

Lad os nu beregne vinklen:

Vi skal finde sinus:

Svar:

3. Tricky spørgsmål: hvad er det? rektangulær prisme, Hvad tænker du? Dette er bare et parallelepipedum, som du godt kender! Lad os lave en tegning med det samme! Du behøver ikke engang at afbilde basen separat; det nytter ikke meget her:

Flyet, som vi bemærkede tidligere, er skrevet i form af en ligning:

Lad os nu skabe et fly

Vi laver straks flyets ligning:

Leder efter en vinkel:

Nu svarene på de sidste to problemer:

Nå, nu er det tid til at holde en lille pause, for du og jeg er fantastiske og har gjort et godt stykke arbejde!

Koordinater og vektorer. Avanceret niveau

I denne artikel vil vi diskutere med dig en anden klasse af problemer, der kan løses ved hjælp af koordinatmetoden: problemer med afstandsberegning. Vi vil nemlig overveje følgende tilfælde:

1. Beregning af afstanden mellem skærende linjer.

Jeg har bestilt disse opgaver i rækkefølge efter stigende sværhedsgrad. Det viser sig at være nemmest at finde afstand fra punkt til plan, og det sværeste er at finde afstand mellem krydsende linjer. Selvom, selvfølgelig, intet er umuligt! Lad os ikke udsætte og straks fortsætte med at overveje den første klasse af problemer:

Beregning af afstanden fra et punkt til et plan

Hvad har vi brug for for at løse dette problem?

1. Punktkoordinater

Så så snart vi modtager alle de nødvendige data, anvender vi formlen:

Du burde allerede vide, hvordan vi konstruerer ligningen for et plan ud fra de tidligere problemer, som jeg diskuterede i sidste del. Lad os gå direkte til opgaverne. Skemaet er som følger: 1, 2 - Jeg hjælper dig med at bestemme, og i nogle detaljer, 3, 4 - kun svaret, du udfører selv løsningen og sammenligner. Lad os begynde!

Opgaver:

1. Givet en terning. Længden af ​​kanten af ​​terningen er lige stor. Find afstanden fra se-re-di-na fra snittet til flyet

2. Givet den rigtige fire-kul pi-ra-mi-ja, siden af ​​siden er lig med basen. Find afstanden fra det punkt til det fly, hvor - se-re-di-på kanterne.

3. I den højre trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em er sidekanten lig, og hundrede-ro-på os-no-vania er lig. Find afstanden fra toppen til flyet.

4. I et ret sekskantet prisme er alle kanter ens. Find afstanden fra et punkt til et fly.

Løsninger:

1. Tegn en terning med enkelte kanter, konstruer et segment og et plan, mærk midten af ​​segmentet med et bogstav

.

Lad os først starte med den nemme: find punktets koordinater. Siden da (husk koordinaterne for midten af ​​segmentet!)

Nu komponerer vi flyets ligning ved hjælp af tre punkter

\[\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nu kan jeg begynde at finde afstanden:

2. Vi starter igen med en tegning, hvorpå vi markerer alle data!

For en pyramide ville det være nyttigt at tegne sin base separat.

Selv det faktum, at jeg tegner som en kylling med poten, vil ikke forhindre os i at løse dette problem med lethed!

Nu er det nemt at finde koordinaterne for et punkt

Siden koordinaterne for punktet, altså

2. Da koordinaterne for punkt a er midten af ​​segmentet, så

Uden problemer kan vi finde koordinaterne for yderligere to punkter på planet. Vi laver en ligning for planet og forenkler den:

\[\venstre| (\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Da punktet har koordinater: , beregner vi afstanden:

Svar (meget sjældent!):

Nå, fandt du ud af det? Det forekommer mig, at alt her er lige så teknisk som i de eksempler, vi så på i forrige del. Så jeg er sikker på, at hvis du mestrer det materiale, så vil det ikke være svært for dig at løse de resterende to problemer. Jeg vil lige give dig svarene:

Beregning af afstanden fra en lige linje til et plan

Faktisk er der ikke noget nyt her. Hvordan kan en ret linje og et plan placeres i forhold til hinanden? De har kun én mulighed: at skære hinanden, eller en lige linje er parallel med planet. Hvad tror du er afstanden fra en ret linje til det plan, som denne rette linje skærer? Det forekommer mig, at det her er klart, at en sådan afstand er lig med nul. Ikke en interessant sag.

Det andet tilfælde er mere vanskeligt: ​​her er afstanden allerede ikke-nul. Men da linjen er parallel med planet, så er hvert punkt på linjen lige langt fra dette plan:

Dermed:

Det betyder, at min opgave er blevet reduceret til den forrige: vi leder efter koordinaterne for ethvert punkt på en lige linje, leder efter planens ligning og beregner afstanden fra punktet til planet. Faktisk er sådanne opgaver ekstremt sjældne i Unified State Examination. Det lykkedes mig kun at finde ét problem, og dataene i det var sådan, at koordinatmetoden ikke var særlig anvendelig til det!

Lad os nu gå videre til en anden, meget vigtigere klasse af problemer:

Beregning af afstanden mellem et punkt og en linje

Hvad har vi brug for?

1. Koordinater for det punkt, hvorfra vi leder efter afstanden:

2. Koordinater for ethvert punkt, der ligger på en linje

3. Koordinater for den rette linjes retningsvektor

Hvilken formel bruger vi?

Hvad nævneren af ​​denne brøk betyder, burde være klart for dig: dette er længden af ​​den rette linjes retningsvektor. Dette er en meget vanskelig tæller! Udtrykket betyder modulet (længden) af vektorproduktet af vektorer og Hvordan man beregner vektorproduktet, studerede vi i den foregående del af arbejdet. Opfrisk din viden, vi får meget brug for det nu!

Algoritmen til løsning af problemer vil således være som følger:

1. Vi leder efter koordinaterne for det punkt, hvorfra vi leder efter afstanden:

2. Vi leder efter koordinaterne for ethvert punkt på linjen, som vi leder efter afstanden til:

3. Konstruer en vektor

4. Konstruer en retningsvektor af en ret linje

5. Beregn vektorproduktet

6. Vi ser efter længden af ​​den resulterende vektor:

7. Beregn afstanden:

Vi har meget arbejde at gøre, og eksemplerne vil være ret komplekse! Så fokuser nu hele din opmærksomhed!

1. Givet en retvinklet trekantet pi-ra-mi-da med en top. Hundrede-ro-på grundlag af pi-ra-mi-dy er lige, du er lige. Find afstanden fra den grå kant til den lige linje, hvor punkterne og er de grå kanter og fra veterinær.

2. Længderne af ribbenene og den lige vinkel-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da er tilsvarende ens og find afstanden fra toppen til den lige linje

3. I et ret sekskantet prisme er alle kanter ens, find afstanden fra et punkt til en ret linje

Løsninger:

1. Vi laver en pæn tegning, hvorpå vi markerer alle data:

Vi har meget arbejde at gøre! Først vil jeg gerne beskrive med ord, hvad vi vil se efter og i hvilken rækkefølge:

1. Koordinater af punkter og

2. Punktkoordinater

3. Koordinater af punkter og

4. Koordinater af vektorer og

5. Deres krydsprodukt

6. Vektorlængde

7. Længde af vektorproduktet

8. Afstand fra til

Nå, vi har en masse arbejde foran os! Lad os komme til det med opsmøgede ærmer!

1. For at finde koordinaterne for pyramidens højde skal vi kende koordinaterne for punktet. Dets anvendelse er nul, og dens ordinat er lig med abscissen er lig med længden af ​​segmentet. Da er højden af en ligesidet trekant, opdeles den i forholdet, regnet fra toppunktet, herfra. Til sidst fik vi koordinaterne:

Punktkoordinater

2. - midten af ​​segmentet

3. - midten af ​​segmentet

Midtpunktet af segmentet

4.Koordinater

Vektorkoordinater

5. Beregn vektorproduktet:

6. Vektorlængde: den nemmeste måde at erstatte på er, at segmentet er trekantens midtlinje, hvilket betyder, at det er lig med halvdelen af ​​grundfladen. Så.

7. Beregn længden af ​​vektorproduktet:

8. Til sidst finder vi afstanden:

Uh, det er det! Jeg vil sige dig ærligt: ​​løsningen på dette problem er traditionelle metoder(via konstruktion), ville det være meget hurtigere. Men her reducerede jeg alt til en færdiglavet algoritme! Jeg tror, ​​at løsningsalgoritmen er klar for dig? Derfor vil jeg bede dig om at løse de resterende to problemer selv. Lad os sammenligne svarene?

Igen, jeg gentager: det er nemmere (hurtigere) at løse disse problemer gennem konstruktioner, frem for at ty til koordinere metode. Jeg demonstrerede denne løsning kun for at vise dig universel metode, som giver dig mulighed for at "ikke færdigbygge noget."

Overvej endelig den sidste klasse af problemer:

Beregning af afstanden mellem skærende linjer

Her vil algoritmen til løsning af problemer ligne den forrige. Hvad vi har:

3. Enhver vektor, der forbinder punkterne på den første og anden linje:

Hvordan finder vi afstanden mellem linjer?

Formlen er som følger:

Tælleren er modulet blandet produkt(vi introducerede det i den foregående del), og nævneren er som i den foregående formel (modulet af vektorproduktet af de rettede vektorer af de rette linjer, afstanden mellem hvilke vi leder efter).

Det vil jeg minde dig om

Derefter formlen for afstanden kan omskrives som:

Dette er en determinant divideret med en determinant! Selvom jeg for at være ærlig ikke har tid til vittigheder her! Denne formel, faktisk er meget besværligt og fører til ganske komplekse beregninger. Hvis jeg var dig, ville jeg kun ty til det som en sidste udvej!

Lad os prøve at løse et par problemer ved hjælp af ovenstående metode:

1. I den rigtige retning trekantet prisme, hvis kanter er lige store, find afstanden mellem de rette linjer og.

2. Givet et retvinklet trekantet prisme er alle kanterne af basen lig med den sektion, der går gennem kropsribben, og se-re-di-brønds ribben er en firkant. Find afstanden mellem de lige linjer og

Jeg bestemmer det første, og ud fra det bestemmer du det andet!

1. Jeg tegner et prisme og markerer lige linjer og

Koordinater for punkt C: derefter

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Vektorkoordinater

\[\left((B,\overhøjrepil (A(A_1)) \overhøjrepil (B(C_1)) ) \højre) = \venstre| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vi beregner vektorproduktet mellem vektorer og

\[\overhøjrepil (A(A_1)) \cdot \overhøjrepil (B(C_1)) = \venstre| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overhøjrepil k + \frac(1)(2)\overhøjrepil i \]

Nu beregner vi dens længde:

Svar:

Prøv nu at fuldføre den anden opgave omhyggeligt. Svaret på det bliver: .

Koordinater og vektorer. Kort beskrivelse og grundlæggende formler

En vektor er et rettet segment. - begyndelsen af ​​vektoren, - slutningen af ​​vektoren.
En vektor er betegnet med eller.

Absolut værdi vektor - længden af ​​det segment, der repræsenterer vektoren. Benævnt som.

Vektorkoordinater:

,
hvor er enderne af vektoren \displaystyle a .

Summen af ​​vektorer:.

Produkt af vektorer:

Punktprodukt af vektorer: