Vektorer kan repræsenteres grafisk ved rettede segmenter. Længden er valgt på en bestemt skala for at angive vektor størrelse , og segmentets retning repræsenterer vektor retning . For eksempel, hvis vi antager, at 1 cm repræsenterer 5 km/t, så vil en nordøstlig vind med en hastighed på 15 km/t være repræsenteret af et retningssegment med en længde på 3 cm, som vist på figuren.
Vektor på et plan er det et rettet segment. To vektorer lige hvis de har det samme størrelse Og retning.
Betragt en vektor tegnet fra punkt A til punkt B. Punktet kaldes Udgangspunktet vektor, og punkt B kaldes slutpunkt. Den symbolske notation for denne vektor er (læses som "vektor AB"). Vektorer er også repræsenteret med fede bogstaver som U, V og W. De fire vektorer i figuren til venstre har samme længde og retning. Derfor repræsenterer de lige vinde; det er, 
I forbindelse med vektorer bruger vi = til at angive, at de er ens.
Længde, eller størrelse er udtrykt som ||. For at afgøre, om vektorerne er ens, finder vi deres størrelser og retninger.
Eksempel 1 Vektorerne u, , w er vist i figuren nedenfor. Bevis at u = = w. 
Løsning Først finder vi længden af hver vektor ved hjælp af afstandsformlen:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2
= √9 + 1
= √10
,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Herfra
|u| = | = |w|.
Vektorerne u, , og w, som det kan ses af figuren, ser ud til at have samme retning, men vi vil kontrollere deres hældning. Hvis linjerne, som de er placeret på, har de samme hældninger, så har vektorerne samme retning. Vi beregner hældningerne: 
Da u, , og w har samme størrelse og samme retning,
u = = w.
Husk, at lige vektorer kun kræver samme størrelse og samme retning, ikke den samme placering. Den øverste figur viser et eksempel på vektorlighed.
Antag, at en person tager 4 skridt mod øst og derefter 3 skridt mod nord. Personen vil så være 5 skridt fra udgangspunktet i retningen vist til venstre. En vektor på 4 enheder lang med en retning mod højre repræsenterer 4 trin øst og en vektor på 3 enheder lang med en retning op, der repræsenterer 3 trin nord. Sum af disse to vektorer er der en vektor med 5 størrelsestrin og i den viste retning. Beløbet kaldes også resulterer to vektorer.
Generelt kan to ikke-nul-vektorer u og v tilføjes geometrisk ved at placere startpunktet for vektoren v til endepunktet for vektoren u, og derefter finde en vektor, der har samme startpunkt som vektoren u og samme slutning. punkt som vektoren v som vist i figuren nedenfor. 
Summen er en vektor repræsenteret af et rettet segment fra punkt A af vektor u til slutpunkt C af vektor v. Således, hvis u = og v =, så
u + v = + =
Vi kan også beskrive vektoraddition som at placere vektorernes startpunkter sammen, konstruere et parallelogram og finde parallelogrammets diagonal. (i figuren nedenfor.) Denne tilføjelse kaldes nogle gange som parallelogram regel
tilføjelse af vektorer. Vektortilsætning er kommutativ. Som vist på figuren er begge vektorer u + v og v + u repræsenteret af det samme retningslinjesegment. 
Hvis to kræfter F 1 og F 2 virker på en genstand, resulterer kraft er summen af F 1 + F 2 af disse to separate kræfter. 
Eksempel To kræfter på 15 newton og 25 newton virker på et objekt vinkelret på hinanden. Find deres sum, eller den resulterende kraft, og den vinkel den danner med den største kraft.
Løsning Lad os tegne problemets tilstand, i dette tilfælde et rektangel, ved at bruge v eller til at repræsentere resultanten. For at finde dens værdi bruger vi Pythagoras sætning:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Her |v| angiver længden eller størrelsen af v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
For at finde retningen skal du bemærke, at da OAB er en ret vinkel,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Ved hjælp af en lommeregner finder vi θ, den vinkel, som den større kraft laver med nettokraften:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Resultatet har en størrelse på 29,2 og en vinkel på 31° med større kraft.
Piloter kan justere deres flyveretning, hvis der er sidevind. Vinden og hastigheden af et fly kan repræsenteres som vind.
Eksempel 3. Flyvemaskines hastighed og retning. Flyet bevæger sig langs en azimut på 100° med en hastighed på 190 km/t, mens vindhastigheden er 48 km/t og dens azimut er 220°. Find flyets absolutte hastighed og bevægelsesretningen under hensyntagen til vinden.
Løsning Lad os lave en tegning først. Vinden er repræsenteret, og flyets hastighedsvektor er . Den resulterende hastighedsvektor er v, summen af de to vektorer. Vinklen θ mellem v og kaldes afdriftsvinkel
.
Bemærk at COA-værdien = 100° - 40° = 60°. Så er værdien af CBA også lig med 60° (modsatte vinkler på parallelogrammet er ens). Da summen af alle vinklerne i et parallelogram er 360° og COB og OAB har samme størrelse, skal hver være 120°. Ved cosinus regel
i OAB har vi
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Derefter |v| svarer til 218 km/t. Ifølge sines regel
, i samme trekant,
48
/sinθ = 218
/synd 120°,
eller
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Derefter er θ = 11° til nærmeste heltalsvinkel. Den absolutte hastighed er 218 km/t, og dens bevægelsesretning under hensyntagen til vinden: 100° - 11° eller 89°.
Givet en vektor w, kan vi finde to andre vektorer u og v, hvis sum er w. Vektorerne u og v kaldes komponenter w og processen med at finde dem kaldes nedbrydning , eller repræsentationen af en vektor ved dens vektorkomponenter.
Når vi udvider en vektor, leder vi normalt efter vinkelrette komponenter. Meget ofte vil den ene komponent dog være parallel med x-aksen, og den anden vil være parallel med y-aksen. Derfor kaldes de ofte vandret
Og lodret
vektor komponenter. I figuren nedenfor er vektoren w = dekomponeret som summen af u = og v =. 
Den vandrette komponent af w er u, og den lodrette komponent er v.
Eksempel 4 Vektoren w har en størrelse på 130 og en hældning på 40° i forhold til vandret. Dekomponér vektoren i vandrette og lodrette komponenter.
Løsning Først vil vi tegne et billede med vandrette og lodrette vektorer u og v, hvis sum er w. 
Fra ABC finder vi |u| og |v|, ved hjælp af definitionerne af cosinus og sinus:
cos40° = |u|/130 eller |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 eller |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Derefter er den vandrette komponent af w 100 til højre, og den lodrette komponent af w er 84 opad.
Grundlaget for rummet de kalder et sådant system af vektorer, hvor alle andre vektorer i rummet kan repræsenteres som en lineær kombination af vektorer, der indgår i basis.
I praksis er det hele gennemført ganske enkelt. Grundlaget kontrolleres som regel på et plan eller i rummet, og for dette skal du finde determinanten for en anden, tredje ordensmatrix sammensat af vektorkoordinater. Nedenfor er skrevet skematisk forhold, under hvilke vektorer danner grundlag
Til udvide vektor b til basisvektorer
e,e...,e[n] det er nødvendigt at finde koefficienterne x, ..., x[n], for hvilke den lineære kombination af vektorer e,e...,e[n] er lig med vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
For at gøre dette skal vektorligningen konverteres til et system af lineære ligninger, og der skal findes løsninger. Dette er også ret simpelt at implementere.
De fundne koefficienter x, ..., x[n] kaldes koordinater af vektor b i basis e,e...,e[n].
Lad os gå videre til den praktiske side af emnet.
Dekomponering af en vektor til basisvektorer
Opgave 1. Tjek om vektorerne a1, a2 danner basis på planet
1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Løsning: Vi sammensætter en determinant ud fra vektorernes koordinater og beregner den
Determinant er ikke nul, derfor vektorerne er lineært uafhængige, hvilket betyder, at de danner en basis.
2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Løsning: Vi beregner determinanten, der består af vektorer 
Determinanten er lig med 13 (ikke lig med nul) - heraf følger, at vektorerne a1, a2 er en basis på planet.
---=================---
Lad os se på typiske eksempler fra MAUP-programmet i disciplinen "Højere matematik".
Opgave 2. Vis, at vektorerne a1, a2, a3 danner grundlag for et tredimensionelt vektorrum, og udvid vektoren b efter dette grundlag (brug Cramers metode, når du løser et system af lineære algebraiske ligninger).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Løsning: Overvej først systemet af vektorer a1, a2, a3 og kontroller determinanten af matrix A
bygget på ikke-nul vektorer. Matrixen indeholder et nul-element, så det er mere hensigtsmæssigt at beregne determinanten som et skema i første kolonne eller tredje række. 
Som et resultat af beregningerne fandt vi, at determinanten er forskellig fra nul, derfor vektorer a1, a2, a3 er lineært uafhængige.
Per definition danner vektorer et grundlag i R3. Lad os nedskrive skemaet for vektor b baseret på 
Vektorer er ens, når deres tilsvarende koordinater er ens.
Derfor får vi fra vektorligningen et system af lineære ligninger 
Lad os løse SLAE Cramers metode. For at gøre dette skriver vi ligningssystemet i formen
Hoveddeterminanten for en SLAE er altid lig med determinanten sammensat af basisvektorer
Derfor tælles det i praksis ikke to gange. For at finde hjælpedeterminanter sætter vi en kolonne med frie termer i stedet for hver kolonne af hoveddeterminanten. Determinanter beregnes ved hjælp af trekantsreglen 
Lad os erstatte de fundne determinanter i Cramers formel 
Så udvidelsen af vektoren b i form af basis har formen b=-4a1+3a2-a3. Koordinaterne for vektor b i basis a1, a2, a3 vil være (-4,3, 1).
2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Løsning: Vi kontrollerer vektorerne for et grundlag - vi sammensætter en determinant ud fra vektorernes koordinater og beregner den 
Determinanten er derfor ikke lig med nul vektorer danner grundlag i rummet. Det er tilbage at finde skemaet for vektor b gennem dette grundlag. For at gøre dette skriver vi vektorligningen 
og transformere til et system af lineære ligninger 
Vi skriver matrixligningen
Dernæst finder vi hjælpedeterminanter for Cramers formler 
Vi anvender Cramers formler 
Så en given vektor b har et skema gennem to basisvektorer b=-2a1+5a3, og dens koordinater i basis er lig med b(-2,0, 5).
Testopgaver
Opgave 1 - 10. Vektorer er givet. Vis, at vektorer danner grundlag for tredimensionelt rum og find vektorens koordinater i dette grundlag:
Givet vektorer e1 (3;1;6), e2 (-2;2;-3), e3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Vis, at vektorerne danner grundlag for det tredimensionelle rum og find koordinaterne til vektoren X i dette grundlag.
Denne opgave består af to dele. Først skal du kontrollere, om vektorerne danner et grundlag. Vektorer danner et grundlag, hvis determinanten, der er sammensat af koordinaterne for disse vektorer, ikke er nul, ellers er vektorerne ikke basiske, og vektoren X kan ikke udvides over dette grundlag.
Lad os beregne determinanten af matricen:
∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37
Matrixens determinant er ∆ =37
Da determinanten ikke er nul, danner vektorerne en basis, derfor kan vektoren X udvides over denne basis. De der. der er tal α 1, α 2, α 3, således at ligheden gælder:
X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3
Lad os skrive denne lighed i koordinatform:
(3;0;1) = a(3;1;6) + a(-2;2;-3) + a(-4;5;-1)
Ved hjælp af egenskaberne for vektorer opnår vi følgende lighed:
(3;0;1) = (3a1;1a1;6a1 ;)+ (-2a2;2a2;-3a2 ;) + (-4a3;5a3;-1a3 ;)
(3;0;1) = (3a1-2a2-4a3;1a1 + 2a2 + 5a3;6a1-3a2-1a3)
Ved egenskaben af lighed af vektorer har vi:
3a1-2a2-4a3 = 3
1α1 + 2α2 + 5α3 = 0
6a1-3a2-1a3 = 1
Vi løser det resulterende ligningssystem Gaussisk metode eller Cramers metode.
X = ε 1 + 2 ε 2 - ε 3
Løsningen blev modtaget og behandlet ved hjælp af tjenesten:
Vektorkoordinater i basis
Sammen med dette problem løser de også:
Løsning af matrixligninger
Cramer metode
Gauss metode
Invers matrix ved hjælp af Jordano-Gauss-metoden
Invers matrix via algebraiske komplementer
Online matrix multiplikation
Standard definition: "En vektor er et rettet segment." Dette er normalt omfanget af en kandidats viden om vektorer. Hvem har brug for "retningsbestemte segmenter"?
Men hvad er vektorer egentlig, og hvad er de til?
Vejrudsigt. "Vind nordvest, hastighed 18 meter i sekundet." Enig, både vindens retning (hvor den blæser fra) og størrelsen (det vil sige den absolutte værdi) af dens hastighed har betydning.
Mængder, der ikke har nogen retning, kaldes skalære. Masse, arbejde, elektrisk ladning er ikke rettet nogen steder. De er kun kendetegnet ved en numerisk værdi - "hvor mange kilogram" eller "hvor mange joule".
Fysiske størrelser, der ikke kun har en absolut værdi, men også en retning, kaldes vektorstørrelser.
Hastighed, kraft, acceleration - vektorer. For dem er "hvor meget" vigtigt, og "hvor" er vigtigt. For eksempel acceleration på grund af tyngdekraften 
rettet mod jordens overflade, og dens størrelse er 9,8 m/s 2. Impuls, elektrisk feltstyrke, magnetfeltinduktion er også vektorstørrelser.
Du husker, at fysiske mængder er angivet med bogstaver, latin eller græsk. Pilen over bogstavet angiver, at mængden er vektor:
Her er endnu et eksempel.
En bil kører fra A til B. Slutresultatet er dens bevægelse fra punkt A til punkt B, det vil sige bevægelse af en vektor.
Nu er det klart, hvorfor en vektor er et rettet segment. Bemærk venligst, at enden af vektoren er der, hvor pilen er. Vektor længde kaldes længden af dette segment. Angivet med: eller
Indtil nu har vi arbejdet med skalære størrelser, efter regnereglerne og elementær algebra. Vektorer er et nyt koncept. Dette er en anden klasse af matematiske objekter. De har deres egne regler.
Engang vidste vi ikke engang noget om tal. Mit bekendtskab med dem begyndte i folkeskolen. Det viste sig, at tal kan sammenlignes med hinanden, adderes, trækkes fra, ganges og divideres. Vi lærte, at der er et tal et og et tal nul.
Nu er vi introduceret til vektorer.
Begreberne "mere" og "mindre" for vektorer eksisterer ikke - deres retninger kan trods alt være forskellige. Kun vektorlængder kan sammenlignes.
Men der er et begreb om lighed for vektorer.
Lige vektorer der har samme længde og samme retning kaldes. Det betyder, at vektoren kan overføres parallelt med sig selv til ethvert punkt i planet.
Enkelt er en vektor, hvis længde er 1. Nul er en vektor, hvis længde er nul, det vil sige, at dens begyndelse falder sammen med enden.
Det er mest bekvemt at arbejde med vektorer i et rektangulært koordinatsystem - det samme som vi tegner grafer for funktioner i. Hvert punkt i koordinatsystemet svarer til to tal - dets x- og y-koordinater, abscisse og ordinat.
Vektoren er også specificeret af to koordinater:
Her er vektorens koordinater skrevet i parentes - i x og y.
De findes ganske enkelt: koordinaten for enden af vektoren minus koordinaten for dens begyndelse.
Hvis vektorkoordinaterne er angivet, findes dens længde af formlen
Vektor tilføjelse
Der er to måder at tilføje vektorer på.
1 . Parallelogram regel. For at tilføje vektorerne og placerer vi oprindelsen af begge på samme punkt. Vi bygger op til et parallelogram og fra samme punkt tegner vi en diagonal af parallelogrammet. Dette vil være summen af vektorerne og .
Kan du huske fablen om svanen, krebs og gedder? De prøvede meget, men de flyttede aldrig vognen. Vektorsummen af de kræfter, de påførte vognen, var jo lig nul.
2. Den anden måde at tilføje vektorer på er trekantsreglen. Lad os tage de samme vektorer og . Vi tilføjer begyndelsen af den anden til slutningen af den første vektor. Lad os nu forbinde begyndelsen af den første og slutningen af den anden. Dette er summen af vektorerne og .
Ved at bruge den samme regel kan du tilføje flere vektorer. Vi arrangerer dem efter hinanden, og forbinder derefter begyndelsen af den første til slutningen af den sidste.
Forestil dig, at du går fra punkt A til punkt B, fra B til C, fra C til D, derefter til E og til F. Slutresultatet af disse handlinger er bevægelse fra A til F.
Når vi tilføjer vektorer, får vi:
Vektor subtraktion
Vektoren er rettet modsat vektoren. Længderne af vektorerne og er ens.
Nu er det klart, hvad vektorsubtraktion er. Vektorforskellen og er summen af vektoren og vektoren.
Multiplicer en vektor med et tal
Når en vektor ganges med tallet k, fås en vektor, hvis længde er k gange forskellig fra længden . Det er codirectional med vektoren, hvis k er større end nul, og modsat, hvis k er mindre end nul.
Punktprodukt af vektorer
Vektorer kan multipliceres ikke kun med tal, men også med hinanden.
Det skalære produkt af vektorer er produktet af vektorernes længder og cosinus af vinklen mellem dem.
Bemærk venligst, at vi gangede to vektorer, og resultatet var en skalar, det vil sige et tal. For eksempel i fysik er mekanisk arbejde lig med skalarproduktet af to vektorer - kraft og forskydning:
Hvis vektorerne er vinkelrette, er deres skalarprodukt nul.
Og det er sådan, skalarproduktet udtrykkes gennem vektorernes koordinater og:
Fra formlen for skalarproduktet kan du finde vinklen mellem vektorerne:
Denne formel er især praktisk i stereometri. For eksempel skal du i opgave 14 af Profile Unified State-eksamen i matematik finde vinklen mellem skærende linjer eller mellem en ret linje og et plan. Tit vektor metode opgave 14 løses flere gange hurtigere end den klassiske.
I skolens matematikpensum undervises der kun i skalarproduktet af vektorer.
Det viser sig, at der udover skalarproduktet også er et vektorprodukt, når resultatet af at gange to vektorer er en vektor. Hvem lejer Unified State eksamen i fysik, ved hvad Lorentz-styrken og Ampere-styrken er. Formlerne til at finde disse kræfter inkluderer vektorprodukter.
Vektorer er et meget nyttigt matematisk værktøj. Du vil se dette i dit første år.
