De vigtigste metoder til at løse trigonometriske ligninger er: reduktion af ligningerne til de enkleste (ved hjælp af trigonometriske formler), indførelse af nye variable og faktorisering. Lad os se på deres brug med eksempler. Vær opmærksom på formatet for at skrive løsninger til trigonometriske ligninger.
En nødvendig betingelse for succesfuld løsning af trigonometriske ligninger er kendskab til trigonometriske formler (emne 13 i arbejde 6).
Eksempler.
1. Ligninger reduceret til de enkleste.
1) Løs ligningen
Løsning:
Svar:
2) Find rødderne til ligningen
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, tilhørende segmentet.
Løsning:
Svar:
2. Ligninger, der reducerer til andengrad.
1) Løs ligningen 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Løsning: Ved at bruge formlen sin 2 x = 1 – cos 2 x, får vi
Svar:
2) Løs ligningen cos 2x = 1 + 4 cosx.
Løsning: Ved at bruge formlen cos 2x = 2 cos 2 x – 1 får vi
Svar:
3) Løs ligningen tgx – 2ctgx + 1 = 0
Løsning:
Svar:
3. Homogene ligninger
1) Løs ligningen 2sinx – 3cosx = 0
Løsning: Lad cosx = 0, så 2sinx = 0 og sinx = 0 – en modsigelse med, at sin 2 x + cos 2 x = 1. Det betyder cosx ≠ 0, og vi kan dividere ligningen med cosx. Vi får
Svar:
2) Løs ligningen 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Løsning:
Vi bruger formlerne 1 = sin 2 x + cos 2 x og sin 2x = 2 sinxcosx, får vi
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Lad cosx = 0, så sin 2 x = 0 og sinx = 0 – en modsigelse med, at sin 2 x + cos 2 x = 1.
Det betyder cosx ≠ 0, og vi kan dividere ligningen med cos 2 x .
Vi får
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Lad os betegne tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Svar: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Formens ligninger -en sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Løs ligningen.
Løsning:
Svar:
5. Ligninger løst ved faktorisering.
1) Løs ligningen sin2x – sinx = 0.
Roden til ligningen f (x) = φ ( x) kan kun tjene som tallet 0. Lad os tjekke dette:
cos 0 = 0 + 1 – ligheden er sand.
Tallet 0 er den eneste rod i denne ligning.
Svar: 0.
Metoder til løsning af trigonometriske ligninger.Løsning af en trigonometrisk ligning består af to trin: ligningstransformation for at få det nemmest type (se ovenfor) og løsningden resulterende enkleste trigonometrisk ligning. Der er syv grundlæggende metoder til løsning af trigonometriske ligninger.
1. Algebraisk metode.
(variabel erstatnings- og substitutionsmetode).
2. Faktorisering.
Eksempel 1. Løs ligningen: synd x+cos x = 1 .
Løsning Lad os flytte alle led i ligningen til venstre:
Synd x+cos x – 1 = 0 ,
Lad os transformere og faktorisere udtrykket ind
Venstre side af ligningen:
Eksempel 2. Løs ligningen: cos 2 x+ synd x cos x = 1.
Løsning: cos 2 x+ synd x cos x– synd 2 x– for 2 x = 0 ,
Synd x cos x– synd 2 x = 0 ,
Synd x· (cos x– synd x ) = 0 ,
Eksempel 3. Løs ligningen: for 2 x– for 8 x+ cos 6 x = 1.
Løsning: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,
2 med 4 x for 2 x= 2cos² 4 x ,
Cos 4 x · (koster 2 x– for 4 x) = 0 ,
Cos 4 x · 2 synd 3 x synd x = 0 ,
1). for 4 x= 0, 2). synd 3 x= 0, 3). synd x = 0 ,
3. Reduktion til homogen ligning.Ligningen hedder homogen fra vedrørende synd Og cos , Hvis det hele vilkår af samme grad i forhold til synd Og cos samme vinkel. For at løse en homogen ligning skal du bruge: EN) flytte alle dens medlemmer til venstre side; b) sæt alle fælles faktorer ud af parentes; V) lig alle faktorer og parenteser til nul; G) parentes lig med nul giver homogen ligning af mindre grad, som skal opdeles i cos(eller synd) i senior grad; d) løse den resulterende algebraiske ligning fortan . synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Løsning: 3sin 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 tan x + 3 = 0 , herfra y 2 + 4y +3 = 0 , Rødderne til denne ligning er:y 1 = - 1, y 2 = - 3, derfor 1) solbrun x= –1, 2) solbrun x = –3, |
4. Overgang til halv vinkel.
Lad os se på denne metode ved hjælp af et eksempel:
EKSEMPEL Løs ligning: 3 synd x– 5 cos x = 7.
Løsning: 6 synd ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =
7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,
2 sin² ( x/ 2) – 6 synd ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,
tan²( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,
. . . . . . . . . .
5. Indførelse af en hjælpevinkel.
Overvej en ligning af formen:
-en synd x + b cos x = c ,
Hvor -en, b, c– koefficienter;x- ukendt.
Nu har ligningens koefficienter egenskaberne for sinus og cosinus, nemlig: modul (absolut værdi) af hver heraf højst 1, og summen af deres kvadrater er 1. Så kan vi betegne dem i overensstemmelse hermed Hvordan cos og synd (her - såkaldte hjælpevinkel), Ogtag vores ligning
Emne:"Metoder til løsning af trigonometriske ligninger."
Lektionens mål:
pædagogisk:
Udvikle færdigheder til at skelne mellem typer af trigonometriske ligninger;
Uddybe forståelse af metoder til løsning af trigonometriske ligninger;
pædagogisk:
At dyrke kognitiv interesse for uddannelsesprocessen;
Dannelse af evnen til at analysere en given opgave;
udvikler:
At udvikle evnen til at analysere en situation og derefter vælge den mest rationelle vej ud af den.
Udstyr: plakat med grundlæggende trigonometriske formler, computer, projektor, lærred.
Lad os starte lektionen med at gentage den grundlæggende teknik til at løse enhver ligning: at reducere den til standardform. Gennem transformationer reduceres lineære ligninger til formen ax = b, andengradsligninger reduceres til formen økse 2+bx +c = 0. I tilfælde af trigonometriske ligninger er det nødvendigt at reducere dem til den enkleste af formen: sinx = a, cosx = a, tgx = a, som let kan løses.
Først og fremmest skal du selvfølgelig bruge de grundlæggende trigonometriske formler, der er præsenteret på plakaten: additionsformler, dobbeltvinkelformler, reduktion af ligningens mangfoldighed. Vi ved allerede, hvordan man løser sådanne ligninger. Lad os gentage nogle af dem:
Samtidig er der ligninger, hvis løsning kræver kendskab til nogle specielle teknikker.
Emnet for vores lektion er at overveje disse teknikker og systematisere metoder til løsning af trigonometriske ligninger.
Metoder til løsning af trigonometriske ligninger.
1. Konvertering til en andengradsligning med hensyn til en eller anden trigonometrisk funktion efterfulgt af en ændring af variabel.
Lad os se på hver af de anførte metoder med eksempler, men lad os dvæle mere detaljeret ved de sidste to, da vi allerede har brugt de to første, når vi løser ligninger.
1. Konvertering til en andengradsligning med hensyn til en eller anden trigonometrisk funktion.
2. Løsning af ligninger ved hjælp af faktoriseringsmetoden.
3. Løsning af homogene ligninger.
Homogene ligninger af første og anden grad er ligninger af formen:
henholdsvis (a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0).
Når du løser homogene ligninger, skal du dividere begge sider af ligningsleddet med cosx for (1) ligning og med cos 2 x for (2). Denne opdeling er mulig, fordi sinx og cosx ikke er lig med nul på samme tid - de bliver nul på forskellige punkter. Lad os overveje eksempler på løsning af homogene ligninger af første og anden grad.
Lad os huske denne ligning: Når vi overvejer den næste metode - indførelse af et hjælpeargument, lad os løse det på en anden måde.
4. Indførelse af et hjælpeargument.
Lad os overveje ligningen, der allerede er løst ved den foregående metode:
Som du kan se, opnås det samme resultat.
Lad os se på et andet eksempel:
I de betragtede eksempler var det generelt klart, hvad der skulle opdeles i den oprindelige ligning for at indføre et hjælpeargument. Men det kan ske, at det ikke er indlysende, hvilken divisor man skal vælge. Der er en speciel teknik til dette, som vi nu vil overveje i generelle vendinger. Lad en ligning gives.