1) Hilsen

2) Lektionens motivation Læreren tjekker klassens parathed til lektionen; motiverer eleverne til at formulere et emne.

Læs definitionen på tavlen (emneark) og indsæt det pågældende begreb:

Størrelsen af ​​den del af planet, der er optaget af polygonen, er ... (areal)

En firkant, hvis modsatte sider er parallelle i par - ....(parallelogram)

En figur, der består af tre punkter, der ikke ligger på samme linje, og tre segmenter, der forbinder dem, kaldes .... (trekant)

En figur, hvor to sider er parallelle, og de to andre ikke er parallelle, kaldes ... (trapez)

Ud fra de resulterende ord, prøv at skabe emnet for vores dagens lektion.

Så emnet for lektionen .... Områder af et parallelogram, trekant, trapez.

Områder, hvilke figurer kan vi finde og hvordan?

Beregn arealet af figurerne i fig.

Er der andre løsninger?

Hvad skete der?

Hvilke forsøg er der gjort for at finde området?

Hvem forsøgte at finde arealet af et parallelogram? Fortæl mig.

Afledning af formlen for arealet af et parallelogram.

Opgave.

Hvordan "gentegner" man et parallelogram for at få et rektangel med samme areal?

Parallelogrammet blev omtegnet til et rektangel. Det betyder, at dens areal er lig med arealet af rektanglet.

Hvad er længden og bredden af ​​et rektangel for et parallelogram?

Arealet af et parallelogram er lig med produktet af dets base og dets højde.

I et parallelogram kan basen være en hvilken som helst side. Og for at anvende formlen for at finde arealet, skal højden tegnes til basen.

Lad os beregne arealet af dette parallelogram.

Afledning af formlen for arealet af en trekant.

Hvordan kan du gentegne eller færdiggøre en trekant?

Arealet af en trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af dens base og højde.

Hvad hvis trekanten er retvinklet?

Se fig.

Det kan "gentegnes" til et rektangel.

Og vi finder dens areal ved hjælp af formlen

S =a *b. Længden af ​​rektanglet er halvdelen af ​​benet, og bredden er det andet ben.

Arealet af en retvinklet trekant er lig med halvdelen af ​​produktet af dens ben.

Afledning af formlen for arealet af en trapez.

Se, hvordan treapezium er blevet "omtegnet" - til en trekant. Og vi finder arealet af trekanten ved hjælp af formlen:

Basen af ​​trekanten er summen af ​​længderne af den øvre og nedre base, og højden af ​​trekanten er højden af ​​trapez.

Arealet af en trapez er lig med produktet af halvdelen af ​​summen af ​​dens baser og dens højde.

1) Find S damp. , hvis EN=5, h =4.

2) Find S trekant. , hvis EN=3,5; h =2.

3) Find S-stige. , hvis EN=4,5; b = 2,5; h =3.

Udfør testopgaver (se bilag)

Peer review af selvstændigt arbejde.

Løsning af problemer om et nyt emne:

nr. 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

For svage og underpræsterende elever er der udarbejdet individuelt arbejde på kort, som indeholder opgaver, hvor der er et eksempel på registrering af løsningen.

Læreren tilbyder at besvare spørgsmål om et nyt emne.

Gutter, lad os opsummere det!

Hvad lærte du i klassen i dag?

Hvad har du lært at gøre?

Hvad var svært at beslutte?

Læreren kommenterer lektierne.

paragraf 23 nr. 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Godt gået alle sammen!

Lektionen er slut. Farvel!

Areal af en geometrisk figur- en numerisk karakteristik af en geometrisk figur, der viser størrelsen af ​​denne figur (en del af overfladen begrænset af den lukkede kontur af denne figur). Størrelsen af ​​området er udtrykt ved antallet af kvadratenheder indeholdt i det.

Formler for trekantareal

1. Formel for arealet af en trekant ved side og højde
   Areal af en trekant lig med halvdelen af ​​produktet af længden af ​​en side af en trekant og længden af ​​højden trukket til denne side
   
2. Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den omskrevne cirkel
   
3. Formel for arealet af en trekant baseret på tre sider og radius af den indskrevne cirkel
   Areal af en trekant er lig med produktet af trekantens halvomkreds og radius af den indskrevne cirkel.
   
hvor S er arealet af trekanten,
- længden af ​​trekantens sider,
- højden af ​​trekanten,
- vinklen mellem siderne og,
- radius af den indskrevne cirkel,
R - radius af den omskrevne cirkel,

Formler for kvadratisk areal

1. Formel for arealet af en firkant ved sidelængde
   Firkantet område lig med kvadratet af længden af ​​dens side.
2. Formel for arealet af en firkant langs den diagonale længde
   Firkantet område lig med halvdelen af ​​kvadratet af længden af ​​dens diagonal.
   

   S=	1	2
   	2

hvor S er arealet af kvadratet,
- længden af ​​siden af ​​firkanten,
- længden af ​​firkantens diagonal.

Formel for rektangelareal

Arealet af et rektangel lig med produktet af længderne af dens to tilstødende sider

hvor S er arealet af rektanglet,
- længder af rektanglets sider.

Parallelogram område formler

1. Formel for arealet af et parallelogram baseret på sidelængde og højde
   Arealet af et parallelogram
2. Formel for arealet af et parallelogram baseret på to sider og vinklen mellem dem
   Arealet af et parallelogram er lig med produktet af længderne af dens sider ganget med sinus af vinklen mellem dem.
   

   a b sin α

hvor S er arealet af parallelogrammet,
- længden af ​​parallelogrammets sider,
- længden af ​​parallelogramhøjden,
- vinklen mellem siderne af parallelogrammet.

Formler for området af en rombe

1. Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og højde
   Område af en rombe er lig med produktet af længden af ​​dens side og længden af ​​højden sænket til denne side.
2. Formel for arealet af en rombe baseret på sidelængde og vinkel
   Område af en rombe er lig med produktet af kvadratet af længden af ​​dens side og sinus af vinklen mellem siderne af romben.
3. Formel for arealet af en rhombus baseret på længden af ​​dens diagonaler
   Område af en rombe lig med halvdelen af ​​produktet af længderne af dens diagonaler.
hvor S er arealet af romben,
- længden af ​​siden af ​​romben,
- længden af ​​rhombus højde,
- vinklen mellem siderne af romben,
1, 2 - længder af diagonaler.

Trapezområdeformler

1. Herons formel for trapez

   Hvor S er arealet af trapezoidet,
   - længder af trapezets baser,
   - længder af siderne af trapezoidet,
   

Arealet af et parallelogram

Sætning 1

Arealet af et parallelogram er defineret som produktet af længden af ​​dets side og højden trukket til det.

hvor $a$ er en side af parallelogrammet, er $h$ højden tegnet til denne side.

Bevis.

Lad os få et parallelogram $ABCD$ med $AD=BC=a$. Lad os tegne højderne $DF$ og $AE$ (fig. 1).

Billede 1.

Det er klart, at $FDAE$-tallet er et rektangel.

\[\vinkel BAE=(90)^0-\vinkel A,\ \] \[\vinkel CDF=\vinkel D-(90)^0=(180)^0-\vinkel A-(90)^0 =(90)^0-\vinkel A=\vinkel BAE\]

Som følge heraf, da $CD=AB,\ DF=AE=h$, ved $I$-kriteriet for trekanters lighed $\triangle BAE=\triangle CDF$. Derefter

Så ifølge sætningen om arealet af et rektangel:

Sætningen er bevist.

Sætning 2

Arealet af et parallelogram er defineret som produktet af længden af ​​dets tilstødende sider og sinus af vinklen mellem disse sider.

Matematisk kan dette skrives som følger

hvor $a,\b$ er siderne af parallelogrammet, $\alpha$ er vinklen mellem dem.

Bevis.

Lad os få et parallelogram $ABCD$ med $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Lad os tegne højden $DF=h$ (fig. 2).

Figur 2.

Per definition af sinus får vi

Derfor

Så ved sætning $1$:

Sætningen er bevist.

Areal af en trekant

Sætning 3

Arealet af en trekant er defineret som halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens side og højden trukket til den.

Matematisk kan dette skrives som følger

hvor $a$ er en side af trekanten, er $h$ højden tegnet til denne side.

Bevis.

Figur 3.

Så ved sætning $1$:

Sætningen er bevist.

Sætning 4

Arealet af en trekant er defineret som halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens tilstødende sider og sinus af vinklen mellem disse sider.

Matematisk kan dette skrives som følger

hvor $a,\b$ er siderne i trekanten, $\alpha$ er vinklen mellem dem.

Bevis.

Lad os få en trekant $ABC$ med $AB=a$. Lad os tegne højden $CH=h$. Lad os bygge det op til et parallelogram $ABCD$ (fig. 3).

Det er klart, ved $I$-kriteriet for trekanters lighed, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Derefter

Så ved sætning $1$:

Sætningen er bevist.

Område med trapez

Sætning 5

Arealet af en trapez er defineret som halvdelen af ​​produktet af summen af ​​længderne af dens baser og dens højde.

Matematisk kan dette skrives som følger

Bevis.

Lad os få et trapezformet $ABCK$, hvor $AK=a,\ BC=b$. Lad os tegne højderne $BM=h$ og $KP=h$ i den samt diagonalen $BK$ (fig. 4).

Figur 4.

Ved sætning $3$, får vi

Sætningen er bevist.

Prøveopgave

Eksempel 1

Find arealet af en ligesidet trekant, hvis dens sidelængde er $a.$

Løsning.

Da trekanten er ligesidet, er alle dens vinkler lig med $(60)^0$.

Så har vi ved sætning $4$

Svar:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Bemærk, at resultatet af dette problem kan bruges til at finde arealet af enhver ligesidet trekant med en given side.

Lad os blive enige om at kalde en af ​​siderne af parallelogrammet basis, og vinkelret tegnet fra ethvert punkt på den modsatte side til linjen, der indeholder basen er parallelogram højde.

Sætning

Bevis

Lad os betragte et parallelogram ABCD med areal S. Lad os tage siden AD som basis og tegne højderne ВН og СК (fig. 182). Lad os bevise, at S = AD VN.

Ris. 182

Lad os først bevise, at arealet af rektanglet ABCD også er lig med S. Trapezoidet ABCD er sammensat af et parallelogram ABCD og en trekant DCK. På den anden side er den sammensat af et rektangel НВСК og en trekant АВН. Men de retvinklede trekanter DCK og ABH er ens i hypotenusen og den spidse vinkel (deres hypotenuser AB og CD er ens som modsatte sider af et parallelogram, og vinklerne 1 og 2 er ens som de tilsvarende vinkler, når parallelle linjer AB og CD skærer sekant AD) , så deres områder er lige store.

Som følge heraf er arealerne af parallelogrammet ABCD og rektanglet NVSK også ens, dvs. arealet af rektanglet NVSK er lig med S. Ved sætningen om rektanglets areal er S = BC BN, og da BC = AD, derefter S = AD BN. Sætningen er bevist.

Areal af en trekant

En af siderne i en trekant kaldes det ofte basis. Hvis basen er valgt, betyder ordet "højde" højden af ​​trekanten tegnet til basen. Sætning

Bevis

Lad S være arealet af trekanten ABC (fig. 183). Lad os tage siden AB som basis for trekanten og tegne højden CH. Lad os bevise det .

Ris. 183

Lad os færdiggøre trekanten ABC til parallelogrammet ABDC som vist i figur 183. Trekanter ABC og DCB er lige store på tre sider (BC er deres fælles side, AB = CD og AC = BD som modsatte sider af parallelogrammet ABDC), så deres arealer er lige. Derfor er arealet S af trekant ABC lig med halvdelen af ​​arealet af parallellogram ABDC, dvs. . Sætningen er bevist.

Konsekvens 1

Konsekvens 2

Lad os bruge konsekvens 2 til at bevise sætningen om forholdet mellem arealer af trekanter med lige store vinkler.

Sætning

Bevis

Lad S og S 1 være arealerne af trekanter ABC og A 1 B 1 C 1, for hvilke ∠A = ∠A 1 (Fig. 184, a). Lad os bevise det .

Ris. 184

Lad os overlejre trekant A 1 B 1 C 1 på trekant ABC, så toppunkt A 1 flugter med toppunkt A, og siderne A 1 B 1 og A 1 C 1 overlapper strålerne AB og AC, henholdsvis (fig. 184, b). Trekanter ABC og AB 1 C har en fælles højde - CH, derfor .

Trekanter AB 1 C og AB 1 C 1 har også en fælles højde - B 1 H 1, derfor . Multiplicerer vi de resulterende ligheder, finder vi:

Sætningen er bevist.

Område med trapez

For at beregne arealet af en vilkårlig polygon gør du normalt dette: opdel polygonen i trekanter og find arealet af hver trekant. Summen af ​​arealerne af disse trekanter er lig med arealet af den givne polygon (fig. 185, a). Ved hjælp af denne teknik vil vi udlede en formel til beregning af arealet af en trapez. Lad os blive enige om at kalde højden af ​​et trapez for en vinkelret trukket fra et hvilket som helst punkt på en af ​​baserne til en linje, der indeholder den anden base. I figur 185, b, er segment BH (såvel som segment DH 1) højden af ​​trapezet ABCD.

Ris. 185

Sætning

Bevis

Betragt trapezet ABCD med base AD og BC, højde BH og areal S (se fig. 185, b).

Lad os bevise det

Den diagonale BD deler trapezoidet i to trekanter ABD og BCD, så S = S ABD + S BCD.

Lad os tage segmenterne AD og ВН som basis og højden af ​​trekanten ABD, og ​​segmenterne ВС og DH 1 som basis og højden af ​​trekanten BCD. Derefter

.

Sætningen er bevist.

Opgaver

459. Lad a være grundfladen, h højden og S arealet af parallelogrammet. Find: a) S, hvis a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, hvis S = 34 cm2, h = 8,5 cm; c) a, hvis S = 162 cm2, h = 1/2a; d) h, hvis h = 3a, S = 27.

460. Diagonalen af ​​et parallelogram, lig med 13 cm, er vinkelret på siden af ​​parallelogrammet, lig med 12 cm. Find arealet af parallelogrammet.

461. De tilstødende sider af et parallelogram er 12 cm og 14 cm, og dets spidse vinkel er 30°. Find arealet af parallelogrammet.

462. Siden af ​​en rombe er 6 cm, og en af ​​vinklerne er 150°. Find arealet af romben.

463. Side af et parallelogram er 8,1 cm, og diagonalen, lig med 14 cm, danner en vinkel på 30° med den. Find arealet af parallelogrammet.

464. Lad a og b være tilstødende sider af parallelogrammet, S arealet, a h 1 og h 2 dets højder. Find: a) h 2 hvis a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, hvis a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 og h 2, hvis S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 cm.

465. Den spidse vinkel på parallelogrammet er 30°, og højderne tegnet fra toppen af ​​den stumpe vinkel er 2 cm og 3 cm. Find arealet af parallelogrammet.

466. Diagonalen af ​​et parallelogram er lig med dets side. Find arealet af et parallelogram, hvis dets længste side er 15,2 cm og en af ​​dets vinkler er 45°.

467. En firkant og en rombe, der ikke er en firkant, har samme omkreds. Sammenlign områderne af disse figurer.

468. Lad a være grundfladen, h højden og S arealet af trekanten. Find: a) S, hvis a = 7 cm, h = 11 cm; b) S, hvis a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, hvis S = 37,8 cm2, a - 14 cm; d) a, hvis S = 12 cm2, h = 3√2 cm.

469. Sider AB og BC i trekant ABC er lig med henholdsvis 16 cm og 22 cm, og højden tegnet til side AB er lig med 11 cm. Find højden tegnet til side BC.

470. To sider af en trekant er lig med 7,5 cm og 3,2 cm. Højden tegnet til den større side er 2,4 cm.

471. D Find arealet af en retvinklet trekant, hvis dens ben er lige store: a) 4 cm og 11 cm; b) 1,2 dm og 3 dm.

472. Arealet af en retvinklet trekant er 168 cm 2. Find dens ben, hvis forholdet mellem deres længder er 7/12.

473. Gennem toppunktet C i trekanten ABC trækkes en ret linje m parallelt med siden AB. Bevis, at alle trekanter med toppunkter på linie m og basis AB har lige store arealer.

474. Sammenlign arealer af to trekanter, hvori en given trekant er divideret med sin median.

475. Tegn trekant ABC. Tegn to lige linjer gennem toppunktet A, så de deler denne trekant i tre trekanter med lige store arealer.

476. Bevis, at arealet af en rombe er lig med halvdelen af ​​produktet af dens diagonaler. Beregn arealet af en rombe, hvis dens diagonaler er lig med: a) 3,2 dm og 14 cm; b) 4,6 dm og 2 dm.

477. Find diagonalerne på en rombe, hvis den ene af dem er 1,5 gange større end den anden, og rombens areal er 27 cm 2.

478. I en konveks firkant er diagonalerne indbyrdes vinkelrette. Bevis, at arealet af en firkant er lig med halvdelen af ​​produktet af dens diagonaler.

479. Punkterne D og E ligger på siderne AB og AC i trekanten ABC. Find: a) S ADE, hvis AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; b) AD, hvis AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Find arealet af trapezform ABCD med baser AB og CD, hvis:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, højden BH er 7 cm;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Find arealet af en rektangulær trapez, hvis to mindre sider er 6 cm og den største vinkel er 135°.

482. Den stumpe vinkel på en ligebenet trapez er 135°, og højden trukket fra toppen af ​​denne vinkel deler den større base i segmenter på 1,4 cm og 3,4 cm. Find arealet af trapez.

Svar på problemer

459. a) 180 cm2; b) 4 cm; c) 18 cm; d) 9.

460. 156 cm 2.

461,84 cm 2.

462. 18 cm 2.

463,56,7 cm2.

464. a) 10 cm; b) 4 cm; c) 12 cm og 9 cm.

465. 12 cm 2.

466. 115,52 cm 2.

467. Arealet af en firkant er større.

468. a) 38,5 cm2; b) 5√3 cm2; c) d) 4√2 cm.

470.5.625 cm.

471. a) 22 cm2; b) 1,8 dm 2.

472. 14 cm og 24 cm.

473. Instruktion. Brug sætning 38.

474. Arealerne af trekanter er lige store.

475. Instruktion. Del først side BC i tre lige store dele.

476. a) 224 cm2; b) 4,6 dm 2. Bemærk. Bemærk, at diagonalerne på en rombe er indbyrdes vinkelrette.

477. 6 cm og 9 cm.

479. a) 2 cm2; b) 2,4 cm Instruktion. Brug den anden sætning i afsnit 53.

480. a) 133 cm2; b) 24 cm2; c) 72 cm 2.

481,54 cm 2.

Arealet af et parallelogram

Sætning 1

Arealet af et parallelogram er defineret som produktet af længden af ​​dets side og højden trukket til det.

hvor $a$ er en side af parallelogrammet, er $h$ højden tegnet til denne side.

Bevis.

Lad os få et parallelogram $ABCD$ med $AD=BC=a$. Lad os tegne højderne $DF$ og $AE$ (fig. 1).

Billede 1.

Det er klart, at $FDAE$-tallet er et rektangel.

\[\vinkel BAE=(90)^0-\vinkel A,\ \] \[\vinkel CDF=\vinkel D-(90)^0=(180)^0-\vinkel A-(90)^0 =(90)^0-\vinkel A=\vinkel BAE\]

Som følge heraf, da $CD=AB,\ DF=AE=h$, ved $I$-kriteriet for trekanters lighed $\triangle BAE=\triangle CDF$. Derefter

Så ifølge sætningen om arealet af et rektangel:

Sætningen er bevist.

Sætning 2

Arealet af et parallelogram er defineret som produktet af længden af ​​dets tilstødende sider og sinus af vinklen mellem disse sider.

Matematisk kan dette skrives som følger

hvor $a,\b$ er siderne af parallelogrammet, $\alpha$ er vinklen mellem dem.

Bevis.

Lad os få et parallelogram $ABCD$ med $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Lad os tegne højden $DF=h$ (fig. 2).



Figur 2.

Per definition af sinus får vi

Derfor

Så ved sætning $1$:

Sætningen er bevist.

Areal af en trekant

Sætning 3

Arealet af en trekant er defineret som halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens side og højden trukket til den.

Matematisk kan dette skrives som følger

hvor $a$ er en side af trekanten, er $h$ højden tegnet til denne side.

Bevis.



Figur 3.

Så ved sætning $1$:

Sætningen er bevist.

Sætning 4

Arealet af en trekant er defineret som halvdelen af ​​produktet af længden af ​​dens tilstødende sider og sinus af vinklen mellem disse sider.

Matematisk kan dette skrives som følger

hvor $a,\b$ er siderne i trekanten, $\alpha$ er vinklen mellem dem.

Bevis.

Lad os få en trekant $ABC$ med $AB=a$. Lad os tegne højden $CH=h$. Lad os bygge det op til et parallelogram $ABCD$ (fig. 3).

Det er klart, ved $I$-kriteriet for trekanters lighed, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Derefter

Så ved sætning $1$:

Sætningen er bevist.

Område med trapez

Sætning 5

Arealet af en trapez er defineret som halvdelen af ​​produktet af summen af ​​længderne af dens baser og dens højde.

Matematisk kan dette skrives som følger

Bevis.

Lad os få et trapezformet $ABCK$, hvor $AK=a,\ BC=b$. Lad os tegne højderne $BM=h$ og $KP=h$ i den samt diagonalen $BK$ (fig. 4).



Figur 4.

Ved sætning $3$, får vi

Sætningen er bevist.

Prøveopgave

Eksempel 1

Find arealet af en ligesidet trekant, hvis dens sidelængde er $a.$

Løsning.

Da trekanten er ligesidet, er alle dens vinkler lig med $(60)^0$.

Så har vi ved sætning $4$

Svar:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Bemærk, at resultatet af dette problem kan bruges til at finde arealet af enhver ligesidet trekant med en given side.