Ligninger med adskilte variable. Adskillelige ligninger

Ofte giver den blotte omtale af differentialligninger eleverne en ubehagelig følelse. Hvorfor sker dette? Oftest, fordi når man studerer det grundlæggende i materialet, opstår der et vidensgab, på grund af hvilken yderligere undersøgelse af diffusorer simpelthen bliver tortur. Det er ikke klart, hvad man skal gøre, hvordan man beslutter sig, hvor man skal starte?

Vi vil dog forsøge at vise dig, at diffusorer ikke er så svære, som det ser ud til.

Grundlæggende begreber i teorien om differentialligninger

Fra skolen kender vi de simpleste ligninger, hvor vi skal finde det ukendte x. Faktisk differentialligninger kun lidt anderledes end dem - i stedet for en variabel x du skal finde en funktion i dem y(x) , som vil gøre ligningen til en identitet.

Differentialligninger er af stor praktisk betydning. Dette er ikke abstrakt matematik, der ikke har nogen relation til verden omkring os. Mange virkelige naturlige processer er beskrevet ved hjælp af differentialligninger. For eksempel, vibrationerne af en streng, bevægelsen af ​​en harmonisk oscillator, ved hjælp af differentialligninger i problemer med mekanik, finder hastigheden og accelerationen af ​​et legeme. Også DU er meget udbredt inden for biologi, kemi, økonomi og mange andre videnskaber.

Differentialligning (DU) er en ligning, der indeholder afledte af funktionen y(x), selve funktionen, uafhængige variable og andre parametre i forskellige kombinationer.

Der er mange typer differentialligninger: almindelige differentialligninger, lineære og ikke-lineære, homogene og inhomogene, første og højere ordens differentialligninger, partielle differentialligninger, og så videre.

Løsningen på en differentialligning er en funktion, der gør den til en identitet. Der er generelle og særlige løsninger til fjernbetjeningen.

En generel løsning til en differentialligning er et generelt sæt af løsninger, der transformerer ligningen til en identitet. En partiel løsning af en differentialligning er en løsning, der opfylder yderligere betingelser specificeret i begyndelsen.

Rækkefølgen af ​​en differentialligning bestemmes af den højeste rækkefølge af dens afledte.

Almindelige differentialligninger

Almindelige differentialligninger er ligninger, der indeholder en uafhængig variabel.

Lad os overveje den enkleste almindelige differentialligning af første orden. Det ser ud som om:

En sådan ligning kan løses ved blot at integrere dens højre side.

Eksempler på sådanne ligninger:

Adskillelige ligninger

Generelt ser denne type ligning således ud:

Her er et eksempel:

Når du løser en sådan ligning, skal du adskille variablerne og bringe dem til formen:

Herefter er det tilbage at integrere begge dele og få en løsning.

Lineære differentialligninger af første orden

Sådanne ligninger ser ud som:

Her er p(x) og q(x) nogle funktioner af den uafhængige variabel, og y=y(x) er den ønskede funktion. Her er et eksempel på sådan en ligning:

Når de løser en sådan ligning, bruger de oftest metoden til at variere en vilkårlig konstant eller repræsenterer den ønskede funktion som et produkt af to andre funktioner y(x)=u(x)v(x).

For at løse sådanne ligninger kræves der en vis forberedelse, og det vil være ret svært at tage dem "med et blik".

Et eksempel på løsning af en differentialligning med adskillelige variable

Så vi kiggede på de enkleste typer fjernbetjening. Lad os nu se på løsningen på en af ​​dem. Lad dette være en ligning med adskillelige variable.

Lad os først omskrive den afledte i en mere velkendt form:

Derefter deler vi variablerne, det vil sige, i den ene del af ligningen samler vi alle "jeg'erne", og i den anden - "X'erne":

Nu er det tilbage at integrere begge dele:

Vi integrerer og opnår en generel løsning på denne ligning:

Selvfølgelig er løsning af differentialligninger en slags kunst. Du skal kunne forstå, hvilken type ligning det er, og også lære at se, hvilke transformationer der skal laves med den for at føre til den ene eller anden form, for ikke at nævne blot evnen til at differentiere og integrere. Og for at få succes med at løse DE, skal du øve dig (som i alt). Og hvis du i øjeblikket ikke har tid til at forstå, hvordan differentialligninger løses, eller Cauchy-problemet har siddet fast som en knogle i halsen, eller du ikke ved, hvordan du forbereder en præsentation korrekt, så kontakt vores forfattere. På kort tid vil vi give dig en færdiglavet og detaljeret løsning, hvis detaljer du kan forstå til enhver tid, der passer dig. I mellemtiden foreslår vi at se en video om emnet "Sådan løses differentialligninger":

En metode til løsning af differentialligninger, der kan reduceres til ligninger med adskillelige variable, overvejes. Der gives et eksempel på en detaljeret løsning af en differentialligning, der reducerer til en ligning med adskillelige variable.

Indhold

Formulering af problemet

Overvej differentialligningen
(jeg) ,
hvor f er en funktion, a, b, c er konstanter, b ≠ 0 .
Denne ligning reduceres til en ligning med adskillelige variable.

Løsningsmetode

Lad os lave en erstatning:
u = axe + by + c
Her er y en funktion af variablen x. Derfor er u også en funktion af variablen x.
Differentiere med hensyn til x
u′ = (ax + by + c)′ = a + by′
Lad os erstatte (jeg)
u′ = a + by′ = a +b f(ax + by + c) = a + b f (u)
Eller:
(ii)
Lad os adskille variablerne. Gang med dx og divider med a + b f (u). Hvis a + b f (u) ≠ 0, At

Ved at integrere får vi det generelle integral af den oprindelige ligning (jeg) i kvadraturer:
(iii) .

Afslutningsvis overveje sagen
(iv) a + b f (u) = 0.
Antag, at denne ligning har n rødder u = r i, a + b f (ri) = 0, i = 1, 2, ... n. Da funktionen u = r i er konstant, er dens afledede i forhold til x lig med nul. Derfor er u = r i en løsning på ligningen (ii).
Men lign. (ii) falder ikke sammen med den oprindelige ligning (jeg) og måske ikke alle løsninger u = r i udtrykt i form af variablerne x og y opfylder den oprindelige ligning (jeg).

Løsningen til den oprindelige ligning er således det generelle integral (iii) og nogle rødder til ligningen (iv).

Et eksempel på løsning af en differentialligning, der reducerer til en ligning med adskillelige variable

Løs ligningen
(1)

Lad os lave en erstatning:
u = x - y
Vi differentierer med hensyn til x og udfører transformationer:
;

Gang med dx og divider med u 2 .

Hvis u ≠ 0, så får vi:

Lad os integrere:

Vi anvender formlen fra tabellen over integraler:

Beregn integralet

Derefter
;
, eller

Fælles beslutning:
.

Overvej nu tilfældet u = 0 eller u = x - y = 0 , eller
y = x.
Siden y′ = (x)′ = 1, så er y = x en løsning til den oprindelige ligning (1) .

;
.

Referencer:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling af problemer i højere matematik, "Lan", 2003.

En differentialligning med adskilte variable skrives som: (1). I denne ligning afhænger det ene led kun af x, og det andet afhænger kun af y. Ved at integrere denne ligning led for led får vi:
er dens generelle integral.

Eksempel: find det generelle integral af ligningen:
.

Løsning: Denne ligning er en adskilt differentialligning. Derfor
eller
Lad os betegne
. Derefter
– generelt integral af en differentialligning.

Den adskillelige ligning har formen (2). Ligning (2) kan let reduceres til ligning (1) ved at dividere den led med led
. Vi får:

– generel integral.

Eksempel: Løs ligningen .

Løsning: transformer venstre side af ligningen: . Divider begge sider af ligningen med


Løsningen er udtrykket:
de der.

Homogene differentialligninger. Bernoullis ligninger. Lineære differentialligninger af første orden.

En ligning af formen kaldes homogen, hvis
Og
– homogene funktioner af samme orden (dimensioner). Fungere
kaldes en homogen funktion af første orden (måling), hvis hvert af dets argumenter ganges med en vilkårlig faktor hele funktionen ganges med , dvs.
=
.

Den homogene ligning kan reduceres til formen
. Brug af substitution
(
) den homogene ligning reduceres til en ligning med adskillelige variable i forhold til den nye funktion .

Den første ordens differentialligning kaldes lineær, hvis det kan skrives i formen
.

Bernoulli metode

Løsning af ligningen
søges som et produkt af to andre funktioner, dvs. ved hjælp af substitution
(
).

Eksempel: integrere ligningen
.

Vi tror
. Derefter, dvs. . Først løser vi ligningen
=0:


.

Nu løser vi ligningen
de der.


. Så den generelle løsning på denne ligning er
de der.

Ligning af J. Bernoulli

En ligning af formen , hvor
hedder Bernoullis ligning. Denne ligning løses ved hjælp af Bernoullis metode.

Homogene andenordens differentialligninger med konstante koefficienter

En homogen lineær differentialligning af anden orden er en formligning (1) , Hvor Og permanent.

Vi vil lede efter partielle løsninger af ligning (1) i formen
, Hvor Til– et vist antal. Differentiering af denne funktion to gange og erstatning af udtryk for
ind i ligning (1), får vi det vil sige eller
(2) (
).

Ligning 2 kaldes differentialligningens karakteristiske ligning.

Ved løsning af den karakteristiske ligning (2) er tre tilfælde mulige.

Tilfælde 1. Rødder Og ligning (2) er reelle og forskellige:

Og

.

Tilfælde 2. Rødder Og ligning (2) er reelle og ens:
. I dette tilfælde er partielle løsninger af ligning (1) funktionerne
Og
. Derfor har den generelle løsning til ligning (1) formen
.

Tilfælde 3. Rødder Og ligning (2) er komplekse:
,
. I dette tilfælde er partielle løsninger af ligning (1) funktionerne
Og
. Derfor har den generelle løsning til ligning (1) formen

Eksempel. Løs ligningen
.

Løsning: Lad os lave en karakteristisk ligning:
. Derefter
. Generel løsning på denne ligning
.

Ekstrem af en funktion af flere variable. Betinget ekstremum.

Ekstrem af en funktion af flere variable

Definition.Punkt M (x O ,y O ) Heddermaksimum (minimum) punkt funktionerz= f(x, y), hvis der er et kvarter til punktet M, således at uligheden for alle punkter (x, y) fra dette kvarter
(
)

I fig. 1 point EN
- der er et minimumspunkt og et punkt I
- maksimum point.

Nødvendigekstremumtilstanden er en multidimensionel analog til Fermats sætning.

Sætning.Lad pointen
– er ekstremumpunktet for den differentiable funktionz= f(x, y). Derefter de partielle afledte
Og
Vpå dette tidspunkt er lig med nul.

Punkter, hvor de nødvendige betingelser for funktionens ekstremum er opfyldt z= f(x, y), de der. partielle derivater z" x Og z" y er lig med nul kaldes kritisk eller stationær.

Ligheden af ​​partielle afledte til nul udtrykker kun en nødvendig, men ikke tilstrækkelig betingelse for yderpunktet af en funktion af flere variable.

I fig. den såkaldte sadelspids M (x O ,y O ). Partielle derivater
Og
er lig med nul, men åbenbart intet ekstremum på punktet M(x O ,y O ) Ingen.

Sådanne sadelpunkter er todimensionelle analoger af bøjningspunkter for funktioner af en variabel. Udfordringen er at adskille dem fra yderpunkterne. Du skal med andre ord vide det tilstrækkelig ekstrem tilstand.

Sætning (tilstrækkelig betingelse for ekstremum af en funktion af to variable).Lad funktionenz= f(x, y): EN) defineret i et eller andet område af det kritiske punkt (x O ,y O ), hvori
=0 og
=0 ;

b) har kontinuerlige partielle afledte af anden orden på dette tidspunkt
;

;
Så, hvis ∆=AC-B 2 >0, derefter ved punkt (x O ,y O ) funktionz= f(x, y) har et ekstremum, og hvis EN<0 - maksimum hvis A>0 - minimum. I tilfældet ∆=AC-B 2 <0, функция z= f(x, y) har intet ekstremum. Hvis ∆=AC-B 2 =0, så forbliver spørgsmålet om tilstedeværelsen af ​​et ekstremum åbent.

Undersøgelse af en funktion af to variable ved et ekstremum det anbefales at udføre følgende diagram:

Find partielle afledte af en funktion z" x Og z" y .

Løs ligningssystem z" x =0, z" y =0 og find funktionens kritiske punkter.

Find andenordens partielle derivater, beregn deres værdier ved hvert kritisk punkt, og konkluder med en tilstrækkelig betingelse om tilstedeværelsen af ​​ekstrema.

Find ekstrema (ekstreme værdier) af funktionen.

Eksempel. Find yderpunkterne af funktionen

Løsning. 1. At finde partielle derivater

2. Vi finder funktionens kritiske punkter ud fra ligningssystemet:

med fire opløsninger (1; 1), (1; -1), (-1; 1) og (-1; -1).

3. Find andenordens partielle afledte:

;
;
, beregner vi deres værdier ved hvert kritisk punkt og kontrollerer opfyldelsen af ​​en tilstrækkelig ekstrem tilstand ved det.

For eksempel ved punkt (1; 1) EN= z"(1; 1)= -1; B=0; C= -1. Fordi ∆ =AC-B 2 = (-1) 2 -0=1 >0 og A=-1<0, så er punkt (1; 1) et maksimumpunkt.

På samme måde fastslår vi, at (-1; -1) er minimumspunktet, og ved punkterne (1; -1) og (-1; 1), hvor ∆ =AC-B 2 <0, - экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Find yderpunkterne for funktionen z max = z(l; 1) = 2, z min = z(-l; -1) = -2,

Betinget ekstremum. Lagrange multiplikator metode.

Lad os overveje et problem, der er specifikt for funktioner af flere variable, når dets ekstremum ikke søges over hele definitionsdomænet, men over et sæt, der opfylder en bestemt betingelse.

Lad os betragte funktionen z = f(x, y), argumenter x Og på som opfylder betingelsen g(x,y)= MED, hedder forbindelsesligning.

Definition.Prik
kaldet et punktbetinget maksimum (minimum), hvis der er et kvarter til dette punkt, således at det for alle punkter (x,y) fra dette kvarter opfylder betingelseng (x, y) = C, uligheden gælder

(
).

I fig. det betingede maksimumpunkt vises
. Det er naturligvis ikke det ubetingede ekstremum for funktionen z = f(x, y) (i figuren er dette et punkt
).

Den enkleste måde at finde det betingede ekstremum af en funktion af to variable er at reducere problemet til at finde ekstremum af en funktion af en variabel. Lad os antage forbindelsesligningen g (x, y) = MED formået at løse med hensyn til en af ​​variablerne, for eksempel at udtrykke på igennem X:
. Ved at erstatte det resulterende udtryk i en funktion af to variable får vi z = f(x, y) =
, de der. funktion af en variabel. Dens ekstremum vil være funktionens betingede ekstremum z = f(x, y).

Eksempel. x 2 + y 2 givet det 3x +2y = 11.

Løsning. Fra ligningen 3x + 2y = 11 udtrykker vi variablen y gennem variablen x og erstatter den resulterende
at fungere z. Vi får z= x 2 +2
eller z =
. Denne funktion har et unikt minimum kl = 3. Tilsvarende funktionsværdi
Således er (3; 1) et betinget ekstremum (minimum) punkt.

I det betragtede eksempel er koblingsligningen g(x, y) = C viste sig at være lineær, så det var let at løse med hensyn til en af ​​variablerne. I mere komplekse sager kan dette dog ikke lade sig gøre.

For at finde et betinget ekstremum i det generelle tilfælde bruger vi Lagrange multiplikator metode.

Overvej en funktion af tre variable

Denne funktion kaldes Lagrange funktion, EN - Lagrange multiplikator. Følgende sætning er sand.

Sætning.Hvis pointen
er funktionens betingede ekstremumpunktz = f(x, y) givet detg (x, y) = C, så er der en værdi sådan det punkt
er funktionens yderpunktL{ x, y, ).

Således at finde det betingede ekstremum af funktionen z = f(x,y) givet det g(x, y) = C skal finde en løsning på systemet

I fig. den geometriske betydning af Lagranges forhold er vist. Linje g(x,y)= C stiplet, niveaulinje g(x, y) = Q funktioner z = f(x, y) solid.

Fra Fig. følger det ved det betingede ekstremum punkt funktionsniveaulinjen z = f(x, y) rører linjeng(x, y) = S.

Eksempel. Find maksimum- og minimumpunkterne for funktionen z = x 2 + y 2 givet det 3x +2y = 11 ved hjælp af Lagrange multiplikatormetoden.

Løsning. Kompilering af Lagrange-funktionen L= x 2 + 2у 2 +

Ved at sidestille dens partielle afledte med nul, får vi et ligningssystem

Dens eneste løsning (x=3, y=1, =-2). Det betingede ekstremumpunkt kan således kun være punkt (3;1). Det er let at verificere, at funktionen på dette tidspunkt z= f(x, y) har et betinget minimum.

Engelsk: Wikipedia gør siden mere sikker. Du bruger en gammel webbrowser, som ikke vil være i stand til at oprette forbindelse til Wikipedia i fremtiden. Opdater venligst din enhed eller kontakt din it-administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，请更新IT ）。

Spansk: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Aktuelt er dispositivt eller kontakt en administrator informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la security de son site. Vous usez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil eller de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informationssupplémentaires plus teknikker og engelsk er disponibles ci-dessous.

日本語: ??? IT情報は以下に英語で提供しています。

Tysk: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du bruger en anden webbrowser, der i fremtiden ikke er tilgængelig på Wikipedia. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findes Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Bliv ved med at bruge browseren på nettet, når du ikke ser det i fremtiden på Wikipedia. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più detgliato e tecnico på engelsk.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gør siden mere sikker. Du bruger en ældre webbläsare som ikke kommer til at kunne læse Wikipedia i fremtiden. Opdater din enhed eller kontakt din IT-administrator. Det findes en længere och mer teknisk förklaring på engelsk längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Vi fjerner understøttelse af usikre TLS-protokolversioner, specifikt TLSv1.0 og TLSv1.1, som din browsersoftware er afhængig af for at oprette forbindelse til vores websteder. Dette er normalt forårsaget af forældede browsere eller ældre Android-smartphones. Eller det kan være interferens fra virksomheds- eller personlig "Web Security"-software, som faktisk nedgraderer forbindelsessikkerheden.

Du skal opgradere din webbrowser eller på anden måde løse dette problem for at få adgang til vores websteder. Denne besked forbliver indtil 1. januar 2020. Efter den dato vil din browser ikke være i stand til at oprette forbindelse til vores servere.

Definition 7. En ligning af formen kaldes en ligning med adskillelige variable.

Denne ligning kan reduceres til formen ved at dividere alle led i ligningen med produktet.

Løs f.eks. ligningen

Løsning. Den afledte er lig, hvilket betyder

Ved at adskille variablerne får vi:

.

Lad os nu integrere:

Løs differentialligning

Løsning. Dette er en førsteordensligning med separerbare variable. For at adskille variablerne i denne ligning i formen og opdel det termin for termin i produktet. Som et resultat får vi eller

ved at integrere begge sider af den sidste ligning, får vi den generelle løsning

arcsin y = arcsin x + C

Lad os nu finde en bestemt løsning, der opfylder de oprindelige betingelser. Ved at erstatte de indledende betingelser med den generelle løsning, opnår vi

; hvorfra C=0

Følgelig har den bestemte løsning formen arc sin y=arc sin x, men sinus af lige buer er lig med hinanden

sin(arcsin y) = sin(arcsin x).

Hvoraf det ved definitionen af ​​arcsine følger, at y = x.

Homogene differentialligninger

Definition 8. En differentialligning af formen, der kan reduceres til formen, kaldes homogen.

For at integrere sådanne ligninger foretages en ændring af variabler, forudsat . Denne substitution resulterer i en differentialligning for x og t, hvor variablerne adskilles, hvorefter ligningen kan integreres. For at få det endelige svar skal variablen t erstattes med .

For eksempel, løse ligningen

Løsning. Lad os omskrive ligningen sådan her:

vi får:

Efter annullering af x 2 har vi:

Erstat t med:

Gennemgå spørgsmål

1 Hvilken ligning kaldes differential?

2 Nævn typerne af differentialligninger.

3 Forklar algoritmerne til løsning af alle de nævnte ligninger.

Eksempel 3

Løsning: Vi omskriver den afledte i den form, vi har brug for:

Vi vurderer, om det er muligt at adskille variablerne? Kan. Vi flytter det andet led til højre med et fortegnsskifte:

Og vi overfører multiplikatorerne efter proportionsreglen:

Variablerne er adskilt, lad os integrere begge dele:

Jeg må advare dig, dommedag nærmer sig. Hvis du ikke har studeret godt ubestemte integraler, har løst få eksempler, så er der ingen steder at gå hen - du bliver nødt til at mestre dem nu.

Integralet af venstre side er let at finde; vi behandler integralet af cotangensen ved hjælp af standardteknikken, som vi så på i lektionen Integrering af trigonometriske funktioner sidste år:

På højre side har vi en logaritme, ifølge min første tekniske anbefaling, i dette tilfælde skal konstanten også skrives under logaritmen.

Nu forsøger vi at forenkle det generelle integral. Da vi kun har logaritmer, er det meget muligt (og nødvendigt) at slippe af med dem. Vi "pakker" logaritmer så meget som muligt. Emballering udføres ved hjælp af tre egenskaber:

Kopier venligst disse tre formler ind i din projektmappe; de ​​bruges meget ofte, når du løser diffuse.

Jeg vil beskrive løsningen meget detaljeret:

Pakningen er færdig, fjern logaritmerne:

Er det muligt at udtrykke "spil"? Kan. Det er nødvendigt at firkante begge dele. Men du behøver ikke at gøre dette.

Tredje tekniske tip: Hvis det for at opnå en generel løsning er nødvendigt at hæve til en magt eller slå rødder, så I de fleste tilfælde du bør afholde dig fra disse handlinger og lade svaret være i form af et generelt integral. Faktum er, at den generelle løsning vil se prætentiøs og forfærdelig ud - med store rødder, tegn.

Derfor skriver vi svaret i form af et generelt integral. Det anses for god praksis at præsentere det generelle integral i formen , det vil sige på højre side, hvis det er muligt, kun efterlade en konstant. Det er ikke nødvendigt at gøre dette, men det er altid en fordel at behage professoren ;-)

Svar: generelt integral:

Bemærk: Det generelle integral af enhver ligning kan skrives på mere end én måde. Hvis dit resultat ikke falder sammen med et tidligere kendt svar, betyder det ikke, at du har løst ligningen forkert.

Det generelle integral er også ret nemt at kontrollere, det vigtigste er at kunne finde afledte af en funktion specificeret implicit. Lad os skelne svaret:

Vi multiplicerer begge led med:

Og dividere med:

Den oprindelige differentialligning er opnået nøjagtigt, hvilket betyder, at det generelle integral er fundet korrekt.

Eksempel 4

Find en bestemt løsning på differentialligningen, der opfylder startbetingelsen. Udfør kontrol.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Lad mig minde dig om, at Cauchy-problemet består af to faser:
1) At finde en generel løsning.
2) At finde en bestemt løsning.

Kontrollen udføres også i to trin (se også eksempel 2), du skal:
1) Sørg for, at den bestemte løsning, der findes, virkelig opfylder den oprindelige betingelse.
2) Kontroller, at den pågældende løsning generelt opfylder differentialligningen.

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Eksempel 5

Find en bestemt løsning på differentialligningen , der opfylder den oprindelige betingelse. Udfør kontrol.

Løsning: Lad os først finde en generel løsning.Denne ligning indeholder allerede færdige differentialer, og derfor er løsningen forenklet. Vi adskiller variablerne:

Lad os integrere ligningen:

Integralet til venstre er tabelformet, integralet til højre er taget metode til at subsumere en funktion under differentialtegnet:

Det generelle integral er opnået; er det muligt at udtrykke den generelle løsning med succes? Kan. Vi hænger logaritmer:

(Jeg håber alle forstår transformationen, sådanne ting burde allerede være kendt)

Så den generelle løsning er:

Lad os finde en bestemt løsning, der svarer til den givne begyndelsestilstand. I den generelle løsning erstatter vi nul i stedet for "X", og i stedet for "Y" erstatter vi logaritmen af ​​to:

Mere kendt design:

Vi erstatter den fundne værdi af konstanten i den generelle løsning.

Svar: privat løsning:

Tjek: Lad os først kontrollere, om den oprindelige betingelse er opfyldt:
- alt er godt.

Lad os nu kontrollere, om den fundne bestemte løsning overhovedet opfylder differentialligningen. Sådan finder du den afledede:

Lad os se på den oprindelige ligning: – det præsenteres i differentialer. Der er to måder at kontrollere. Det er muligt at udtrykke differentialet fra den fundne afledte:

Lad os erstatte den fundne bestemte løsning og den resulterende differentiale i den oprindelige ligning :

Vi bruger den grundlæggende logaritmiske identitet:

Den korrekte lighed opnås, hvilket betyder, at den pågældende løsning er fundet korrekt.

Den anden metode til kontrol er spejlet og mere velkendt: fra ligningen Lad os udtrykke den afledte, for at gøre dette deler vi alle brikkerne med:

Og ind i den transformerede DE erstatter vi den opnåede partielle opløsning og det fundne derivat. Som følge af forenklinger bør den korrekte lighed også opnås.

Eksempel 6

Løs differentialligning. Præsenter svaret i form af et generelt integral.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd, komplet løsning og besvare i slutningen af ​​lektionen.

Hvilke vanskeligheder venter, når man løser differentialligninger med adskillelige variable?

1) Det er ikke altid indlysende (især for en tekande), at variable kan adskilles. Lad os overveje et betinget eksempel: . Her skal du tage faktorerne ud af parentes: og adskille rødderne: . Det er klart, hvad du skal gøre nu.

2) Vanskeligheder med selve integrationen. Integraler er ofte ikke de enkleste, og hvis der er mangler i evnerne til at finde ubestemt integral, så bliver det svært med mange diffusorer. Derudover er logikken "da differentialligningen er enkel, så lad integralerne være mere komplicerede" populær blandt kompilatorer af samlinger og træningsmanualer.

3) Transformationer med en konstant. Som alle har bemærket, kan du gøre næsten alt med en konstant i differentialligninger. Og sådanne transformationer er ikke altid forståelige for en begynder. Lad os se på et andet betinget eksempel: . Det er tilrådeligt at gange alle led med 2: . Den resulterende konstant er også en slags konstant, som kan betegnes med: . Ja, og da der er en logaritme på højre side, så er det tilrådeligt at omskrive konstanten i form af en anden konstant: .

Problemet er, at de ofte ikke gider indekser og bruger det samme bogstav. Og som et resultat har løsningsposten følgende form:

Hvad fanden er det? Der er også fejl. Formelt, ja. Men uformelt - der er ingen fejl; det er underforstået, at når man konverterer en konstant, opnås der stadig en anden konstant.

Eller dette eksempel, antag, at i løbet af løsningen af ​​ligningen opnås et generelt integral. Dette svar ser grimt ud, så det er tilrådeligt at ændre tegnene på alle faktorer: . Formelt er der ifølge optagelsen igen en fejl, den skulle have været skrevet ned. Men uformelt forstås det, at det stadig er en anden konstant (desuden kan den antage enhver værdi), så det giver ingen mening at ændre fortegnet for en konstant, og du kan bruge det samme bogstav.

Jeg vil forsøge at undgå en skødesløs tilgang, og stadig tildele forskellige indekser til konstanter, når jeg konverterer dem.

Eksempel 7

Løs differentialligning. Udfør kontrol.

Løsning: Denne ligning giver mulighed for adskillelse af variabler. Vi adskiller variablerne:

Lad os integrere:

Det er ikke nødvendigt at definere konstanten her som en logaritme, da der ikke kommer noget brugbart ud af dette.

Svar: generelt integral:

Tjek: Differentier svaret (implicit funktion):

Vi slipper for brøker ved at gange begge led med:

Den oprindelige differentialligning er opnået, hvilket betyder, at det generelle integral er fundet korrekt.

Eksempel 8

Find en bestemt løsning af DE.
,

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Den eneste kommentar er, at her får du et generelt integral, og mere korrekt sagt, du skal finde på at finde en bestemt løsning, men delvis integral. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Som allerede nævnt, i diffuser med separerbare variable, dukker ofte ikke de enkleste integraler op. Og her er et par flere sådanne eksempler, som du kan løse på egen hånd. Jeg anbefaler alle at løse eksempler nr. 9-10, uanset deres forberedelsesniveau, vil dette give dem mulighed for at opdatere deres færdigheder i at finde integraler eller udfylde huller i viden.

Eksempel 9

Løs differentialligning

Eksempel 10

Løs differentialligning

Husk, at der er mere end én måde at skrive et generelt integral på, og udseendet af dine svar kan afvige fra udseendet af mine svar. Kort løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

God forfremmelse!

Løsninger og svar:

Eksempel 4:Løsning: Lad os finde en generel løsning. Vi adskiller variablerne:


Lad os integrere:



Det generelle integral er opnået, vi forsøger at forenkle det. Lad os pakke logaritmer og slippe af med dem:

Vi udtrykker funktionen eksplicit vha .
Fælles beslutning:

Lad os finde en bestemt løsning, der opfylder den oprindelige betingelse .
Metode et, i stedet for "X" erstatter vi 1, i stedet for "Y" erstatter vi "e":
.
Metode to:

Erstat den fundne værdi af konstanten til en generel løsning.
Svar: privat løsning:

Tjek: Vi kontrollerer, om den oprindelige betingelse virkelig er opfyldt:
, ja, starttilstand Færdig.
Vi tjekker om den konkrete løsning opfylder differentialligning. Først finder vi den afledede:

Lad os erstatte den resulterende særlige løsning og den fundne afledte ind i den oprindelige ligning :

Den korrekte lighed opnås, hvilket betyder, at løsningen er fundet korrekt.

Eksempel 6:Løsning: Denne ligning giver mulighed for adskillelse af variabler. Vi adskiller variablerne og integrerer:




Svar: generelt integral:

Bemærk: her kan du få en generel løsning:

Men ifølge mit tredje tekniske tip, er det ikke tilrådeligt at gøre dette, fordi det ligner et ret lorte svar.

Eksempel 8:Løsning: Denne fjernbetjening giver mulighed for adskillelse af variabler. Vi adskiller variablerne:



Lad os integrere:


Generelt integral:
Lad os finde en bestemt løsning (delintegral), der svarer til den givne begyndelsestilstand . Substitut i den generelle løsning Og:

Svar: Delvis integral:
I princippet kan svaret kæmmes og du får noget mere kompakt. .