Hvad er brikkernes funktion. Stykkevis funktion

Kommunal budgetuddannelsesinstitution

gennemsnit helhedsskole №13

"Stykvise funktioner"

Sapogova Valentina og

Donskaya Alexandra

Hovedkonsulent:

Berdsk

1. Fastlæggelse af hovedmål og målsætninger.

2. Spørgeskema.

2.1. Bestemmelse af arbejdets relevans

2.2. Praktisk betydning.

3. Funktionshistorie.

4. Generelle karakteristika.

5. Metoder til angivelse af funktioner.

6. Konstruktionsalgoritme.

8. Anvendt litteratur.

1. Fastlæggelse af hovedmål og målsætninger.

Mål:

Find ud af en måde at løse stykvise funktioner på og skab ud fra dette en algoritme for deres konstruktion.

Opgaver:

Lære at kende generelt koncept om stykvise funktioner;

Find ud af historien om udtrykket "funktion";

Udfør en undersøgelse;

Identificer måder at specificere stykkevise funktioner på;

Opret en algoritme til deres konstruktion;

2. Spørgeskema.

Der blev gennemført en undersøgelse blandt gymnasieelever om deres evne til at konstruere stykvise funktioner. Det samlede antal respondenter var 54 personer. Blandt dem fuldførte 6 % arbejdet fuldstændigt. 28 % var i stand til at fuldføre arbejdet, men med visse fejl. 62 % var ude af stand til at fuldføre arbejdet, selvom de gjorde nogle forsøg, og de resterende 4 % begyndte slet ikke at arbejde.

Fra denne undersøgelse kan vi konkludere, at eleverne på vores skole, der tager programmet, ikke har en tilstrækkelig videnbase, fordi denne forfatter ikke er opmærksom på særlig opmærksomhed til opgaver af denne art. Det er ud fra dette, at relevansen og praktisk betydning vores arbejde.

2.1. Bestemmelse af arbejdets relevans.

Relevans:

Stykkevise funktioner findes både i GIA og i Unified State Exam; opgaver, der indeholder funktioner af denne art, får 2 eller flere point. Og derfor kan din vurdering afhænge af deres beslutning.

2.2. Praktisk betydning.

Resultatet af vores arbejde vil være en algoritme til løsning af stykkevise funktioner, som vil hjælpe med at forstå deres konstruktion. Og det vil øge dine chancer for at få den karakter, du ønsker til eksamen.

3. Funktionshistorie.

“Algebra 9. klasse” osv.;

Kontinuitet og graftegning af stykkevis definerede funktioner – komplekst emne. Det er bedre at lære at bygge grafer direkte i en praktisk lektion. Dette er hovedsageligt et kontinuitetsstudie.

Det er kendt, at elementær funktion(se s. 16) er kontinuerlig på alle punkter, hvor den er defineret. Derfor er diskontinuiteten i elementære funktioner kun muligt på to typer punkter:

a) på punkter, hvor funktionen er "omdefineret";

b) på punkter, hvor funktionen ikke eksisterer.

Det er derfor kun sådanne punkter, der kontrolleres for kontinuitet under undersøgelsen, som vist i eksemplerne.

For ikke-elementære funktioner er undersøgelsen mere kompliceret. For eksempel er en funktion (heltalsdelen af ​​et tal) defineret på hele tallinjen, men får et brud ved hvert heltal x. Sådanne spørgsmål ligger uden for manualens omfang.

Inden du studerer materialet, bør du gentage fra forelæsningen eller lærebogen, hvilke (hvilken slags) pausepunkter der er.

Undersøgelse af stykkevis definerede funktioner for kontinuitet

Funktionssæt stykkevis hvis hun er på forskellige områder definitionsdomæne er givet forskellige formler.

Hovedideen, når man undersøger sådanne funktioner, er at finde ud af, om og hvordan funktionen er defineret på de punkter, hvor den omdefineres. Den kontrollerer derefter, om funktionsværdierne til venstre og højre for sådanne punkter er de samme.

Eksempel 1. Lad os vise, at funktionen
sammenhængende.

Fungere
er elementær og derfor kontinuerlig på de punkter, hvor den er defineret. Men det er selvfølgelig defineret på alle punkter. Følgelig er den kontinuerlig på alle punkter, herunder kl
, som krævet af betingelsen.

Det samme gælder for funktionen
, og kl
det er kontinuerligt.

I sådanne tilfælde må kontinuiteten kun brydes, hvor funktionen tilsidesættes. I vores eksempel er dette et punkt
. Lad os tjekke det, for hvilket vi finder grænserne til venstre og højre:

Grænserne til venstre og højre er de samme. Det er tilbage at se:

a) er funktionen defineret i selve punktet?
;

b) hvis ja, stemmer det overens
med grænseværdier til venstre og højre.

Efter betingelse, hvis
, At
. Derfor
.

Vi ser det (alle er lig med tallet 2). Det betyder, at på det tidspunkt
funktionen er kontinuerlig. Så funktionen er kontinuerlig langs hele aksen, inklusive punktet
.

Bemærkninger til afgørelsen

a) Det spillede ikke nogen rolle i beregningerne, erstatning vi har en bestemt talformel
eller
. Dette er normalt vigtigt, når man dividerer med en infinitesimal, fordi det påvirker uendelighedstegnet. Lige her
Og
kun er ansvarlig for funktionsvalg;

b) som regel notationer
Og
er lige, gælder det samme for betegnelserne
Og
(og er gyldig for ethvert punkt, ikke kun for
). Nedenfor bruger vi for kortheds skyld notation af formen
;

c) når grænserne til venstre og højre er lige, for at kontrollere kontinuitet er det faktisk tilbage at se, om en af ​​ulighederne vil være ikke streng. I eksemplet viste det sig at være den 2. ulighed.

Eksempel 2. Vi undersøger funktionen for kontinuitet
.

Af samme grunde som i eksempel 1 kan kontinuiteten kun brydes på punktet
. Lad os tjekke:

Grænserne til venstre og højre er lige store, men på selve punktet
funktionen er ikke defineret (ulighederne er strenge). Det betyder at
- prik reparationsbar spalte.

"Fjernbar kløft" betyder, at det er nok enten at gøre nogen af ​​ulighederne ikke-strenge eller at opfinde en for et separat punkt
en funktion, hvis værdi kl
er lig med -5, eller blot angive det
så hele funktionen
blev kontinuerlig.

Svar: prik
– aftageligt knækpunkt.

Note 1. I litteraturen betragtes et udtageligt mellemrum normalt som et specialtilfælde af et type 1-gab, men det forstås oftere af eleverne som separat type brud. For at undgå uoverensstemmelser, vil vi holde os til 1. synspunkt og specielt fastlægge det "uoprettelige" hul af 1. slags.

Eksempel 3. Lad os tjekke om funktionen er kontinuerlig

På punktet

Grænserne til venstre og højre er forskellige:
. Uanset om funktionen er defineret ved
(ja) og hvis ja, hvad er det lig med (lig med 2), punkt
–punkt med uafvendelig diskontinuitet af 1. slags.

På punktet
Det sker sidste spring(fra 1 til 2).

Svar: prik

Note 2. I stedet for
Og
normalt skrive
Og
henholdsvis.

Ledig spørgsmål: hvordan funktionerne adskiller sig

Og
,

og også deres grafer? Korrekt svar:

a) Den 2. funktion er ikke defineret på punktet
;

b) på grafen for det 1. funktionspunkt
"skraveret", på 2. graf - ikke ("punkteret punkt").

Prik
, hvor grafen bryder af
, er ikke skraveret i begge grafer.

Det er sværere at undersøge funktioner, der er defineret forskelligt på tre områder.

Eksempel 4. Er funktionen kontinuerlig?
?

Ligesom i eksempel 1 – 3, hver af funktionerne
,
Og er kontinuerlig langs hele den numeriske akse, inklusive det område, hvori det er angivet. Det er kun muligt at bryde på det punkt
og/eller på punktet
, hvor funktionen tilsidesættes.

Opgaven er opdelt i 2 delopgaver: undersøge kontinuiteten i funktionen

Og
,

og periode
ikke af interesse for funktionen
, og peg
– til funktion
.

1. trin. Tjekker pointen
og funktion
(vi skriver ikke indekset):

Grænserne er de samme. Efter betingelse,
(hvis grænserne til venstre og højre er lige store, så er funktionen faktisk kontinuerlig, når en af ​​ulighederne ikke er streng). Altså på punktet
funktionen er kontinuerlig.

2. trin. Tjekker pointen
og funktion
:

Fordi
, prik
– diskontinuitetspunkt af 1. art, og værdien
(og om det overhovedet findes) spiller ikke længere en rolle.

Svar: funktionen er kontinuerlig på alle punkter undtagen punktet
, hvor der er en uafvendelig diskontinuitet af 1. slags - et spring fra 6 til 4.

Eksempel 5. Find funktionsbrudpunkter
.

Vi fortsætter efter samme skema som i eksempel 4.

1. trin. Tjekker pointen
:

EN)
, siden til venstre for
funktionen er konstant og lig med 0;

b) (
– jævn funktion).

Grænserne er de samme, men hvornår
funktionen er ikke defineret af betingelse, og det viser sig at
– aftageligt knækpunkt.

2. trin. Tjekker pointen
:

EN)
;

b)
– Funktionens værdi afhænger ikke af variablen.

Grænserne varierer: , prik
– punkt med uafvendelig diskontinuitet af 1. art.

Svar:
– aftageligt knækpunkt,
er et punkt med uopløselig diskontinuitet af den 1. art; på andre punkter er funktionen kontinuerlig.

Eksempel 6. Er funktionen kontinuerlig?
?

Fungere
fastlagt kl
, så tilstanden
bliver til en tilstand
.

På den anden side funktionen
fastlagt kl
, dvs. på
. Altså tilstanden
bliver til en tilstand
.

Det viser sig, at betingelsen skal være opfyldt
, og definitionsdomænet for hele funktionen er et segment
.

Selve funktionerne
Og
er elementære og derfor kontinuerlige på alle punkter, hvor de er defineret - især og ved
.

Det er tilbage at kontrollere, hvad der sker på det tidspunkt
:

EN)
;

Fordi
, se om funktionen er defineret på punktet
. Ja, den 1. ulighed er forholdsvis svag
, og det er nok.

Svar: funktionen er defineret på intervallet
og er kontinuerlig på den.

Mere komplekse tilfælde, hvor en af ​​komponentfunktionerne er ikke-elementær eller ikke defineret på noget tidspunkt i sit segment, ligger uden for manualens omfang.

NF1. Konstruer grafer over funktioner. Bemærk, om funktionen er defineret på det punkt, hvor den omdefineres, og hvis det er tilfældet, hvad værdien af ​​funktionen er (ordet " Hvis" er udeladt fra funktionsdefinitionen for kortheds skyld):

1) a)
b)
V)
G)

2) a)
b)
V)
G)

3) a)
b)
V)
G)

4) a)
b)
V)
G)

Eksempel 7. Lade
. Så på stedet
bygge en vandret linje
, og på webstedet
bygge en vandret linje
. I dette tilfælde punktet med koordinater
"punkteret", og pointen
"malet over". På punktet
opnås en diskontinuitet af 1. slags ("spring"), og
.

NF2. Undersøg kontinuiteten af ​​funktioner defineret forskelligt med 3 intervaller. Plot grafer:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

Eksempel 8. Lade
. Placering på
bygge en lige linje
, hvorfor vi finder
Og
. Forbindelse af prikkerne
Og
segment. Vi medtager ikke selve punkterne, for hvornår
Og
funktionen er ikke defineret af betingelse.

Placering på
Og
cirkulere OX-aksen (på den
), dog punkterne
Og
"stød ud." På punktet
vi opnår et aftageligt mellemrum, og på punktet
– diskontinuitet af 1. slags ("spring").

NF3. Tegn en graf af funktionerne, og sørg for, at de er kontinuerlige:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF4. Sørg for, at funktionerne er kontinuerlige, og tegn graferne for dem:

1) a)
b)
V)

2 a)
b)
V)

3) a)
b)
V)

NF5. Konstruer grafer over funktioner. Bemærk kontinuiteten:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

5) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF6. Konstruer grafer over diskontinuerlige funktioner. Bemærk funktionsværdien på det punkt, hvor funktionen tilsidesættes (og om den eksisterer):

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

5) a)
b)
V)

G)
d)
e)

NF7. Samme opgave som i NF6:

1) a)
b)
V)

G)
d)
e)

2) a)
b)
V)

G)
d)
e)

3) a)
b)
V)

G)
d)
e)

4) a)
b)
V)

G)
d)
e)

Diagrammer stykvis givet funktioner

Murzalieva T.A. lærer matematikere MBOU"Bor gymnasium" Boksitogorsky-distriktet Leningrad-regionen


Mål:

  • mestre den lineære spline metode til at konstruere grafer indeholdende et modul;
  • lære at anvende det i simple situationer.

Under spline(af engelsk spline - plank, rail) forstås normalt som en stykkevis given funktion.

Sådanne funktioner har været kendt af matematikere i lang tid, begyndende med Euler (1707-1783, schweizisk, tysk og russisk matematiker), men deres intensiv undersøgelse begyndte faktisk først i midten af ​​det 20. århundrede.

I 1946, Isaac Schoenberg (1903-1990, rumænsk og amerikansk matematiker) første gang, du bruger dette udtryk. Siden 1960 med udvikling computerteknologi begyndte at bruge splines i computer grafik og modellering.


1 . Introduktion

2. Definition af en lineær spline

3. Moduldefinition

4. Tegning af grafer

5. Praktisk arbejde



Et af hovedformålene med funktioner er beskrivelse reelle processer forekommer i naturen.

Men i lang tid har videnskabsmænd - filosoffer og naturvidenskabsmænd - identificeret to typer processer: gradvist ( sammenhængende ) Og krampagtig.


Når en krop falder til jorden, sker det først løbende stigning kørehastighed , og i kollisionsøjeblikket med jordens overflade hastigheden ændrer sig brat , blive lig med nul eller ændring af retning (tegn), når kroppen "hopper" fra jorden (f.eks. hvis kroppen er en bold).

Men da der er diskontinuerlige processer, så er der brug for midler til at beskrive dem. Til dette formål introduceres funktioner, der har brister .


a - ved formlen y = h(x), og vi vil antage, at hver af funktionerne g(x) og h(x) er defineret for alle værdier af x og ikke har nogen diskontinuiteter. Så, hvis g(a) = h(a), så har funktionen f(x) et spring ved x=a; hvis g(a) = h(a) = f(a), så har den "kombinerede" funktion f ingen diskontinuiteter. Hvis begge funktioner g og h er elementære, så kaldes f stykkevis elementær. "width="640"
  • En måde at indføre sådanne diskontinuiteter på er Næste:

Lade fungere y = f(x)

på x er defineret af formlen y = g(x),

og når xa - formel y = h(x), og vi vil overveje at hver af funktionerne g(x) Og h(x) er defineret for alle værdier af x og har ingen diskontinuiteter.

Derefter , Hvis g(a) = h(a), derefter funktionen f(x) har kl x=a hoppe;

hvis g(a) = h(a) = f(a), derefter den "kombinerede" funktion f har ingen pauser. Hvis begge funktioner g Og h elementære, At f kaldes stykkevis elementært.



Diagrammer kontinuerlige funktioner


Tegn en graf af funktionen:

Y = |X-1| + 1

X=1 – formelændringspunkt


Ord "modul" kom fra latinske ord"modul", som betyder "mål".

Modulus af tal EN hedder afstand (i enkelte segmenter) fra oprindelsen til punkt A ( EN) .

Denne definition afslører geometrisk betydning modul.

modul (absolut værdi ) reelle tal EN det samme nummer kaldes EN≥ 0, og modsatte tal -EN, hvis en


0 eller x=0 y = -3x -2 ved x "width="640"

Tegn en graf af funktionen y = 3|x|-2.

Per definition af modulet har vi: 3x – 2 ved x0 eller x=0

-3x -2 ved x


x n) "width="640"

. Lad x være givet 1 x 2 x n – ændringspunkter for formler i stykkevise elementære funktioner.

En funktion f defineret for alle x kaldes stykkevis lineær, hvis den er lineær på hvert interval

og desuden er koordinationsbetingelserne opfyldt, det vil sige, at der ved ændring af formler er funktionen ikke afbrudt.

Kontinuerlig stykkevis lineær funktion hedder lineær spline . Hende tidsplan Der er polylinje med to uendeligheder ekstreme links – venstre (svarende til værdierne x n ) og rigtigt ( tilsvarende værdier x x n )


En stykkevis elementær funktion kan defineres med mere end to formler

Tidsplan - brudt linje med to uendelige ekstreme led - venstre (x1).

Y=|x| - |x – 1|

Formelændringspunkter: x=0 og x=1.

Y(0)=-1, y(1)=1.


Det er praktisk at plotte grafen for en stykkevis lineær funktion, peger på koordinatplan hjørner af den stiplede linje.

Udover at bygge n hjørner skal bygge Også to point : en til venstre for toppunktet EN 1 ( x 1; y ( x 1)), den anden - til højre for toppen An ( xn ; y ( xn )).

Bemærk, at en diskontinuerlig stykkevis lineær funktion ikke kan repræsenteres som en lineær kombination af modulerne af binomialer .


Tegn en graf af funktionen y = x+ |x -2| - |X|.

En kontinuerlig stykkevis lineær funktion kaldes en lineær spline

1. Point for at ændre formler: X-2=0, X=2 ; X=0

2. Lad os lave en tabel:

U( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;

y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;

på (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;

y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .


Konstruer en graf for funktionen y = |x+1| +|x| – |x -2|.

1 .Points til at ændre formler:

x+1=0, x=-1 ;

x=0 ; x-2=0, x=2.

2 . Lad os lave en tabel:

y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;

y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;

y(0)=1+0-2=-1;

y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;

y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.


|x – 1| = |x + 3|

Løs ligningen:

Løsning. Overvej funktionen y = |x -1| - |x +3|

Lad os bygge en graf over funktionen /ved hjælp af den lineære spline-metode/

  • Formelændringspunkter:

x-1 = 0, x = 1; x + 3 = 0, x = - 3.

2. Lad os lave en tabel:

y(- 4) =|- 4-1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;

y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;

y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;

y(-1) = 0.

y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.

Svar: -1.



1. Konstruer grafer af stykkevise lineære funktioner ved hjælp af den lineære spline-metode:

y = |x – 3| + |x|;

1). Formelændringspunkter:

2). Lad os lave en tabel:


2. Konstruer funktionsgrafer ved hjælp af læremidlet "Live Mathematics" »

EN) y = |2x – 4| + |x +1|

1) Formelændringspunkter:

2) y() =

B) Byg funktionsgrafer, opret et mønster :

a) y = |x – 4| b) y = |x| +1

y = |x + 3| y = |x| - 3

y = |x – 3| y = |x| - 5

y = |x + 4| y = |x| + 4

Brug værktøjerne punkt, linje og pil på værktøjslinjen.

1. Menuen "Charts".

2. Fanen "Byg en graf".

.3. Indtast formlen i vinduet "Lommeregner".


Tegn en graf af funktionen:

1) Y = 2x + 4


1. Kozina M.E. Matematik. 8-9 klasser: samling valgfag. – Volgograd: Lærer, 2006.

2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Algebra: lærebog. Til 7. klasse. almen uddannelse institutioner / udg. S. A. Telyakovsky. – 17. udg. – M.: Uddannelse, 2011

3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Algebra: lærebog. Til 8. klasse. almen uddannelse institutioner / udg. S. A. Telyakovsky. – 17. udg. – M.: Uddannelse, 2011

4. Wikipedia, den frie encyklopædi

http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline






Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.

Lærebog: Algebra 8. klasse, redigeret af A. G. Mordkovich.

Lektionstype: Opdagelse af ny viden.

Mål:

for læreren mål er fastsat på hvert trin af lektionen;

for eleven:

Personlige mål:

  • Lær at klart, præcist, kompetent udtrykke dine tanker verbalt og skrivning, forstå betydningen af ​​opgaven;
  • Lær at anvende erhvervet viden og færdigheder til at løse nye problemer;
  • Lær at kontrollere processen og resultaterne af dine aktiviteter;

Meta-fagmål:

I kognitiv aktivitet:

  • Udvikling logisk tænkning og tale, evnen til logisk at underbygge sine domme og udføre simple systematiseringer;
  • Lær at fremsætte hypoteser hvornår problemløsning, forstå behovet for at kontrollere dem;
  • Anvend viden i en standardsituation, lær at udføre opgaver selvstændigt;
  • Overfør viden til en ændret situation, se opgaven i sammenhæng med problemsituationen;

I informations- og kommunikationsaktiviteter:

  • Lær at føre en dialog, anerkend retten til en anden mening;

I reflekterende aktivitet:

  • Lær at forudse mulige konsekvenser dine handlinger;
  • Lær at eliminere årsagerne til vanskeligheder.

Fagmål:

  • Find ud af, hvad en stykkevis funktion er;
  • Lær at definere en stykkevis given funktion analytisk ud fra dens graf;

Under timerne

1. Selvbestemmelse pædagogiske aktiviteter

Formål med scenen:

  • inkludere elever i læringsaktiviteter;
  • bestemme indholdet af lektionen: vi fortsætter med at gentage emnet for numeriske funktioner.

Organisation pædagogisk proces på trin 1:

T: Hvad gjorde vi i tidligere lektioner?

D: Vi gentog emnet numeriske funktioner.

U: I dag vil vi fortsætte med at gentage emnet fra tidligere lektioner, og i dag skal vi finde ud af, hvilke nye ting vi kan lære i dette emne.

2. Opdatering af viden og registrering af vanskeligheder i aktiviteter

Formål med scenen:

  • opdatering pædagogisk indhold, nødvendigt og tilstrækkeligt for opfattelsen af ​​nyt materiale: husk formlerne numeriske funktioner, deres egenskaber og konstruktionsmetoder;
  • opdatering mentale operationer, nødvendigt og tilstrækkeligt til opfattelsen af ​​nyt materiale: sammenligning, analyse, generalisering;
  • registrere en individuel vanskelighed i en aktivitet, der viser det personligt betydeligt niveau utilstrækkelig eksisterende viden: specificering af en stykkevis given funktion analytisk, samt konstruering af dens graf.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 2:

T: Diasset viser fem numeriske funktioner. Bestem deres type.

1) fraktioneret-rationel;

2) kvadratisk;

3) irrationel;

4) funktion med modul;

5) beroligende.

T: Navngiv de formler, der svarer til dem.

3) ;

4) ;

U: Lad os diskutere, hvilken rolle hver koefficient spiller i disse formler?

D: Variablerne "l" og "m" er ansvarlige for at flytte graferne for disse funktioner henholdsvis venstre - højre og op - ned, koefficienten "k" i den første funktion bestemmer positionen af ​​grenene af hyperbelen: k> 0 - grenene er i I- og III-kvarteret, k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - grene er rettet opad, og< 0 - вниз).

2. Slide 2

U: Definer analytisk de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne. (i betragtning af at de flytter y=x2). Læreren skriver svarene ned på tavlen.

D: 1) );

2);

3. Slide 3

U: Definer analytisk de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne. (med tanke på at de flytter). Læreren skriver svarene ned på tavlen.

4. Slide 4

U: Brug de tidligere resultater til at definere analytisk de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne.

3. Identificering af årsager til vanskeligheder og opstilling af mål for aktiviteter

Formål med scenen:

  • organisere kommunikativ interaktion, hvorunder særegen ejendom en opgave, der forårsagede vanskeligheder i læringsaktiviteter;
  • blive enige om formålet og emnet for lektionen.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 3:

T: Hvad volder dig vanskeligheder?

D: Stykker af grafer vises på skærmen.

T: Hvad er formålet med vores lektion?

D: Lær at definere dele af funktioner analytisk.

T: Formuler emnet for lektionen. (Børn forsøger selvstændigt at formulere emnet. Læreren præciserer det. Emne: Stykkevis givet funktion.)

4. Konstruktion af et projekt for at komme ud af en vanskelighed

Formål med scenen:

  • organisere kommunikativ interaktion for at bygge en ny virkemåde, eliminering af årsagen til den identificerede vanskelighed;
  • rette op ny vej handlinger.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 4:

T: Lad os læse opgaven grundigt igennem igen. Hvilke resultater bliver bedt om at blive brugt som hjælp?

D: Tidligere, dvs. dem, der er skrevet på tavlen.

U: Måske er disse formler allerede svaret på denne opgave?

D: Nej, fordi disse formler definerer kvadratisk og rationel funktion, og diaset viser deres brikker.

U: Lad os diskutere, hvilke intervaller af x-aksen, der svarer til stykkerne af den første funktion?

U: Så analytisk metode tildelingen af ​​den første funktion ser sådan ud: if

T: Hvad skal der gøres for at udføre en lignende opgave?

D: Skriv formlen ned, og bestem, hvilke intervaller af abscisseaksen, der svarer til stykkerne af denne funktion.

5. Primær konsolidering i ekstern tale

Formål med scenen:

  • registrere det studerede undervisningsindhold i ekstern tale.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 5:

7. Inklusion i vidensystemet og gentagelse

Formål med scenen:

  • træne færdigheder i at bruge nyt indhold i sammenhæng med tidligere lært indhold.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 7:

U: Definer analytisk den funktion, hvis graf er vist i figuren.

8. Refleksion over aktiviteter i lektionen

Formål med scenen:

  • optage nyt indhold lært i lektionen;
  • evaluere dine egne aktiviteter i lektionen;
  • tak til dine klassekammerater, som hjalp med at få lektionsresultaterne;
  • registrere uløste vanskeligheder som retningslinier for fremtidige uddannelsesaktiviteter;
  • diskutere og skrive lektier ned.

Organisering af uddannelsesprocessen på trin 8:

T: Hvad lærte vi om i klassen i dag?

D: Med en stykkevis given funktion.

T: Hvilket arbejde har vi lært at udføre i dag?

D: Spørg denne type fungerer analytisk.

T: Ræk hånden op, hvem forstod emnet for dagens lektion? (Diskuter eventuelle problemer, der er opstået med de andre børn).

Lektier

  • nr. 21.12(a, c);
  • nr. 21.13(a, c);
  • №22.41;
  • №22.44.

Virkelige processer, der forekommer i naturen, kan beskrives ved hjælp af funktioner. Vi kan således skelne mellem to hovedtyper af processer, der er modsat hinanden – det er disse gradvist eller sammenhængende Og krampagtig(et eksempel ville være en bold, der falder og hopper). Men hvis der er diskontinuerlige processer, så er der særlige midler at beskrive dem. Til dette formål introduceres funktioner, der har diskontinuiteter og spring, det vil sige, at i forskellige dele af tallinjen opfører funktionen sig efter forskellige love og derfor er specificeret af forskellige formler. Begreberne diskontinuitetspunkter og aftagelig diskontinuitet introduceres.

Du er helt sikkert allerede stødt på funktioner defineret af flere formler, afhængigt af værdierne af argumentet, for eksempel:

y = (x – 3, for x > -3;
(-(x – 3), ved x< -3.

Sådanne funktioner kaldes stykkevis eller stykvis angivet. Udsnit af tallinjen med forskellige formler opgaver, lad os kalde dem komponenter domæne. Foreningen af ​​alle komponenter er definitionsdomænet for den stykkevise funktion. De punkter, der opdeler definitionsdomænet for en funktion i komponenter, kaldes grænsepunkter. Formler, der definerer en stykkevis funktion på hver komponent af definitionsdomænet, kaldes indgående funktioner. Grafer af stykkevis givne funktioner opnås ved at kombinere dele af grafer konstrueret på hvert af partitionsintervallerne.

Øvelser.

Konstruer grafer af stykvise funktioner:

1) (-3, med -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, for x = 0,
(1, ved 0< x ≤ 5.

Grafen for den første funktion er en ret linje, der går gennem punktet y = -3. Den udspringer af et punkt med koordinater (-4; -3), løber parallelt med x-aksen til et punkt med koordinater (0; -3). Grafen for den anden funktion er et punkt med koordinater (0; 0). Den tredje graf ligner den første - det er en lige linje, der går gennem punktet y = 1, men allerede i området fra 0 til 5 langs Ox-aksen.

Svar: Figur 1.

2) (3 hvis x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, hvis -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 hvis x > 4.

Lad os overveje hver funktion separat og bygge dens graf.

Så f(x) = 3 er en ret linje, parallelt med aksenÅh, men du behøver kun at afbilde det i området, hvor x ≤ -4.

Grafen for funktionen f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| kan fås fra parablen y = x 2 – 4x + 3. Efter at have konstrueret sin graf, skal den del af figuren, der ligger over Ox-aksen, forblive uændret, og den del, der ligger under abscisse-aksen, skal vises symmetrisk i forhold til til okseaksen. Vis derefter symmetrisk den del af grafen, hvor
x ≥ 0 i forhold til Oy-aksen for negativ x. Vi forlader grafen opnået som et resultat af alle transformationer kun i området fra -4 til 4 langs abscisse-aksen.

Grafen for den tredje funktion er en parabel, hvis grene er rettet nedad, og toppunktet er i punktet med koordinaterne (4; 3). Vi afbilder tegningen kun i området, hvor x > 4.

Svar: Figur 2.

3) (8 – (x + 6) 2, hvis x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, hvis -6 ≤ x< 5,
(3 hvis x ≥ 5.

Opførelse af det foreslåede stykvis specificeret funktion tilsvarende forrige punkt. Her er graferne for de to første funktioner hentet fra parablens transformationer, og grafen for den tredje er en ret linje parallel med Ox.

Svar: Figur 3.

4) Tegn grafen for funktionen y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Løsning. Omfanget af denne funktion er alt reelle tal, undtagen nul. Lad os udvide modulet. For at gøre dette skal du overveje to tilfælde:

1) For x > 0 får vi y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.

2) Ved x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Vi har således en stykkevis given funktion:

y = ((x – 2) 2, for x > 0;
( x 2 + 2x, ved x< 0.

Graferne for begge funktioner er parabler, hvis grene er rettet opad.

Svar: Figur 4.

5) Tegn en graf for funktionen y = (x + |x|/x – 1) 2.

Løsning.

Det er let at se, at funktionens domæne er alle reelle tal undtagen nul. Efter at have udvidet modulet får vi en stykkevis given funktion:

1) For x > 0 får vi y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) Ved x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Lad os omskrive det.

y = (x 2, for x > 0;
((x – 2) 2, ved x< 0.

Graferne for disse funktioner er parabler.

Svar: Figur 5.

6) Er der en funktion, hvis graf på koordinatplanet har fælles punkt fra enhver lige linje?

Løsning.

Ja, det findes.

Et eksempel kunne være funktionen f(x) = x 3 . Faktisk skærer grafen for en kubisk parabel den lodrette linje x = a i punktet (a; a 3). Lad nu den rette linje være givet ved ligningen y = kx + b. Derefter ligningen
x 3 – kx – b = 0 har ægte rod x 0 (da et polynomium af ulige grader altid har mindst én reel rod). Følgelig skærer grafen for funktionen den rette linje y = kx + b, for eksempel i punktet (x 0; x 0 3).

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.