Den største og mindste værdi af en funktion. Opgave B15 (2014)

Fra et praktisk synspunkt er den største interesse i at bruge den afledte til at finde de største og mindste værdier af en funktion. Hvad er dette forbundet med? Maksimering af overskud, minimering af omkostninger, bestemmelse af den optimale belastning af udstyr... Med andre ord, på mange områder af livet er vi nødt til at løse problemer med at optimere nogle parametre. Og det er opgaverne med at finde de største og mindste værdier af en funktion.

Det skal bemærkes, at de største og mindste værdier af en funktion normalt søges på et bestemt interval X, som enten er hele funktionens domæne eller en del af definitionsdomænet. Selve intervallet X kan være et segment, et åbent interval , et uendeligt interval.

I denne artikel vil vi tale om at finde de største og mindste værdier eksplicit givet funktionén variabel y=f(x) .

Sidenavigation.

Den største og mindste værdi af en funktion - definitioner, illustrationer.

Lad os kort se på hoveddefinitionerne.

Funktionens største værdi det for enhver ulighed er sandt.

Funktionens mindste værdi y=f(x) på intervallet X kaldes en sådan værdi det for enhver ulighed er sandt.

Disse definitioner er intuitive: den største (mindste) værdi af en funktion er den største (mindste) accepterede værdi på det interval, der overvejes ved abscissen.

Stationære punkter– disse er værdierne af argumentet, hvor den afledede af funktionen bliver nul.

Hvorfor har vi brug for stationære punkter, når vi finder de største og mindste værdier? Svaret på dette spørgsmål er givet af Fermats sætning. Af denne sætning følger det, at hvis en differentierbar funktion har et ekstremum (lokalt minimum eller lokalt maksimum) på et tidspunkt, så er dette punkt stationært. Funktionen tager således ofte sin største (mindste) værdi på intervallet X i en af stationære punkter fra dette hul.

Desuden kan en funktion ofte antage sine største og mindste værdier på punkter, hvor den første afledede af denne funktion ikke eksisterer, og selve funktionen er defineret.

Lad os straks besvare et af de mest almindelige spørgsmål om dette emne: "Er det altid muligt at bestemme den største (mindste) værdi af en funktion"? Nej ikke altid. Nogle gange falder grænserne for intervallet X sammen med grænserne for funktionens definitionsdomæne, eller intervallet X er uendeligt. Og nogle funktioner i det uendelige og ved grænserne af definitionsdomænet kan antage både uendeligt store og uendeligt små værdier. I disse tilfælde kan der ikke siges noget om den største og mindste værdi af funktionen.

For klarhedens skyld vil vi give en grafisk illustration. Se på billederne, og meget bliver tydeligere.

På segmentet

I den første figur tager funktionen de største (max y) og mindste (min y) værdier ved stationære punkter placeret inde i segmentet [-6;6].

Overvej sagen afbildet i den anden figur. Lad os ændre segmentet til . I dette eksempel opnås den mindste værdi af funktionen ved et stationært punkt, og den største i det punkt, hvor abscissen svarer til intervallets højre grænse.

I figur 3 er grænsepunkterne for segmentet [-3;2] abscissen af de punkter, der svarer til den største og mindste værdi af funktionen.

I et åbent interval

I den fjerde figur tager funktionen de største (max y) og mindste (min y) værdier ved stationære punkter placeret inden for det åbne interval (-6;6).

På intervallet kan der ikke drages konklusioner om den største værdi.

I det uendelige

I eksemplet vist i den syvende figur tager funktionen højeste værdi(max y) i et stationært punkt med abscisse x=1, og den mindste værdi (min y) opnås på den højre grænse af intervallet. Ved minus uendelig nærmer funktionsværdierne sig asymptotisk y=3.

I løbet af intervallet når funktionen hverken den mindste eller den største værdi. Når x=2 nærmer sig fra højre, har funktionsværdierne en tendens til minus uendelig (linjen x=2 er en lodret asymptote), og da abscissen har en tendens til plus uendeligt, nærmer funktionsværdierne sig asymptotisk y=3. En grafisk illustration af dette eksempel er vist i figur 8.

Algoritme til at finde de største og mindste værdier af en kontinuerlig funktion på et segment.

Lad os skrive en algoritme, der giver os mulighed for at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment.

Vi finder funktionens definitionsdomæne og tjekker, om den indeholder hele segmentet.
Vi finder alle de punkter, hvor den første afledede ikke eksisterer, og som er indeholdt i segmentet (normalt findes sådanne punkter i funktioner med et argument under modultegnet og i magt funktioner med en fraktionel-rationel eksponent). Hvis der ikke er sådanne punkter, så gå videre til næste punkt.
Vi bestemmer alle stationære punkter, der falder inden for segmentet. For at gøre dette ligestiller vi det til nul, løser den resulterende ligning og vælger passende rødder. Hvis der ikke er nogen stationære punkter, eller ingen af dem falder ind i segmentet, så gå videre til næste punkt.
Vi beregner værdierne af funktionen ved udvalgte stationære punkter (hvis nogen), på punkter, hvor den første afledte ikke eksisterer (hvis nogen), såvel som ved x=a og x=b.
Fra de opnåede værdier af funktionen vælger vi den største og mindste - de vil være henholdsvis den krævede største og mindste værdi af funktionen.

Lad os analysere algoritmen til at løse et eksempel for at finde de største og mindste værdier af en funktion på et segment.

Eksempel.

Find den største og mindste værdi af en funktion

på segmentet ;
på segmentet [-4;-1] .

Løsning.

En funktions domæne er hele sættet reelle tal, bortset fra nul, dvs. Begge segmenter falder inden for definitionsdomænet.

Find den afledede af funktionen med hensyn til:

Det er klart, at den afledede af funktionen eksisterer på alle punkter af segmenterne og [-4;-1].

Vi bestemmer stationære punkter ud fra ligningen. Den eneste ene ægte rod er x=2. Dette stationære punkt falder ind i det første segment.

For det første tilfælde beregner vi værdierne af funktionen i enderne af segmentet og i det stationære punkt, det vil sige for x=1, x=2 og x=4:

Derfor er den største værdi af funktionen opnås ved x=1, og den mindste værdi – ved x=2.

For det andet tilfælde beregner vi funktionsværdierne kun i enderne af segmentet [-4;-1] (da det ikke indeholder et enkelt stationært punkt):

På mange områder af livet kan du blive konfronteret med det faktum, at du skal løse noget ved hjælp af tal, for eksempel inden for økonomi og regnskab kan du kun finde ud af minimum og maksimum af nogle indikatorer ved at optimere de givne parametre. Og dette er intet andet end at finde de største og mindste værdier på givet segment funktioner. Lad os nu se på, hvordan man finder den største værdi af en funktion.

At finde den største værdi: instruktioner

Find ud af hvilket segment af funktionen du skal bruge for at beregne værdien, angiv den med prikker. Dette interval kan være åbent (når funktionen er lig med segmentet), lukket (når funktionen er på segmentet) og uendeligt (når funktionen ikke slutter).
Find den afledede funktion.
Find punkterne på segmentet af funktionen, hvor den afledede er lig med nul, og det er det kritiske punkter. Beregn derefter værdierne af funktionen på disse punkter og løs ligningen. Find den største blandt de opnåede værdier.
Vis funktionsværdier slået til endepunkter, bestemme den største af dem
Sammenlign dataene med den største værdi, og vælg den største. Dette vil være den største værdi af funktionen.

Hvordan finder man den største heltalsværdi af en funktion? Du skal beregne, om funktionen er lige eller ulige, og derefter løse konkret eksempel. Hvis tallet opnås med en brøk, skal du ikke tage det i betragtning; resultatet af funktionens største heltalsværdi vil kun være et heltal.

I denne artikel vil jeg tale om, hvordan man anvender evnen til at finde til studiet af en funktion: at finde dens største eller mindste værdi. Og så skal vi løse flere problemer fra Opgave B15 fra Åben bank opgaver til.

Lad os som sædvanlig først huske teorien.

I begyndelsen af enhver undersøgelse af en funktion finder vi den

For at finde den største eller mindste værdi af en funktion, skal du undersøge, på hvilke intervaller funktionen stiger, og på hvilke den falder.

For at gøre dette skal vi finde den afledede af funktionen og undersøge dens intervaller med konstant fortegn, det vil sige de intervaller, over hvilke den afledede beholder sit fortegn.

Intervaller, over hvilke den afledede af en funktion er positiv, er intervaller med stigende funktion.

Intervaller, hvor den afledede af en funktion er negativ, er intervaller med aftagende funktion.

1 . Lad os løse opgave B15 (nr. 245184)

For at løse det, vil vi følge følgende algoritme:

a) Find definitionsdomænet for funktionen

b) Lad os finde den afledede af funktionen.

c) Lad os sidestille det med nul.

d) Lad os finde intervallerne af konstant fortegn for funktionen.

e) Find det punkt, hvor funktionen får den største værdi.

f) Find værdien af funktionen på dette tidspunkt.

Jeg forklarer den detaljerede løsning på denne opgave i VIDEO TUTORIAL:

Din browser er sandsynligvis ikke understøttet. For at bruge træneren " Unified State Exam Hour", prøv at downloade
Firefox

2. Lad os løse opgave B15 (nr. 282862)

Find den største værdi af funktionen på segmentet

Det er indlysende, at funktionen tager den største værdi på segmentet ved maksimumpunktet, ved x=2. Lad os finde værdien af funktionen på dette tidspunkt:

Svar: 5

3. Lad os løse opgave B15 (nr. 245180):

Find den største værdi af funktionen

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Fordi ifølge definitionsdomænet for den oprindelige funktion title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Tæller lig med nul kl. Lad os tjekke om det hører til ODZ funktioner. For at gøre dette, lad os kontrollere, om betingelsen title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

det betyder, at punktet hører til ODZ-funktionen

Lad os undersøge tegnet for den afledede til højre og venstre for punktet:

Vi ser, at funktionen får sin største værdi på et punkt. Lad os nu finde værdien af funktionen på:

Bemærkning 1. Bemærk, at vi i denne opgave ikke fandt funktionens definitionsdomæne: vi fik kun rettet begrænsningerne og kontrolleret, om det punkt, hvor den afledede er lig med nul, hører til funktionens definitionsdomæne. Dette viste sig at være tilstrækkeligt til denne opgave. Dette er dog ikke altid tilfældet. Det afhænger af opgaven.

Note 2. Når man studerer adfærd kompleks funktion du kan bruge denne regel:

Hvis ekstern funktion af en kompleks funktion er stigende, så får funktionen sin største værdi på samme punkt, hvor den interne funktion får sin største værdi. Dette følger af definitionen af en stigende funktion: en funktion stiger ved interval I if højere værdi argumentet fra dette interval svarer til en større værdi af funktionen.
hvis den ydre funktion af en kompleks funktion er faldende, så får funktionen sin største værdi på samme punkt, hvor den indre funktion får sin mindste værdi . Dette følger af definitionen af en faldende funktion: en funktion falder ved interval I, hvis en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en mindre værdi af funktionen

I vores eksempel øges den eksterne funktion gennem hele definitionsdomænet. Under fortegnet for logaritmen er der et udtryk - kvadratisk trinomium, som med en negativ førende koefficient tager den største værdi på punktet . Dernæst erstatter vi denne x-værdi i funktionsligningen og finde dens største værdi.

Metodiske anbefalinger til at studere emnet "Flere værdier af en funktion. De største og mindste værdier af en funktion."

I selve matematikken er det vigtigste middel

at opnå sandhed - induktion og analogi.

Givet: - funktion. Lad os betegne
- definitionsdomæne for funktionen.

Sættet (domænet) af værdier for en funktion er sættet af alle de værdier, som en funktion kan tage.
.Geometrisk betyder dette projektionen af grafen for en funktion på aksen
.

Hvis der er en mening sådan for enhver af sættet er der en ulighed
, så siger de, at funktionen på sættet tager sit mindste værdi

Hvis der er et punkt sådan, at uligheden gælder for nogen af mængden
, så siger de, at funktionen på sættet tager sit højeste værdi .

Funktionen kaldes afgrænset nedenfor på sættet, hvis et sådant nummer findes
. Geometrisk betyder det, at grafen for funktionen ikke er lavere end den rette linje
.

Funktionen kaldes afgrænset ovenfor på sættet, hvis et sådant nummer findes , at for enhver af sættet er uligheden sand
. Geometrisk betyder det, at grafen for funktionen ikke er højere end den rette linje

Funktionen kaldes begrænset på sættet, hvis det er afgrænset på dette sæt nedefra og ovenfra. En funktions afgrænsning betyder, at dens graf er inden for et bestemt vandret bånd.

Cauchys ulighed om den aritmetiske middelværdi og den geometriske middelværdi
:

>,>0) Eksempel:

De største og mindste værdier af en funktion på et interval

(segment, interval, stråle)

Funktionernes egenskaber fortsætter i et interval.

1. Hvis en funktion er kontinuert på et segment, når den både dens maksimum- og minimumsværdier på den.

2. En kontinuerlig funktion kan nå sine maksimum- og minimumværdier både i enderne af et segment og inde i det

3. Hvis den største (eller mindste) værdi opnås inde i segmentet, så kun på et stationært eller kritisk punkt.

Algoritme til at finde de største og mindste værdier kontinuerlig funktion på segmentet

1. Find den afledede
.

2. Find stationære og kritiske punkter, der ligger inde i segmentet .

3. Find funktionens værdier ved udvalgte stationære og kritiske punkter og i enderne af segmentet, dvs.
Og
.

4.Blandt de fundne værdier skal du vælge den mindste (dette vil være
) og den største (dette vil være
)

Egenskaber for kontinuerlige funktioner, der er monotone på et interval:

Kontinuerlig stigning på et segment funktionen når sin største værdi ved
, den mindste – kl
.

Kontinuerlig aftagende på et segment funktionen når sin største værdi ved , og dens minimum ved .

Hvis funktionsværdien
ikke-negativ på et eller andet interval, så denne funktion og funktionen
, hvor n er et naturligt tal, tager den største (mindste) værdi i samme punkt.

At finde de største og mindste værdier kontinuerlig funktion på intervallet
eller på bjælke

(optimeringsproblemer).

Hvis en kontinuert funktion har et enkelt ekstremumpunkt på et interval eller en stråle, og dette ekstremum er et maksimum eller minimum, så opnås på dette tidspunkt den maksimale eller minimale værdi af funktionen ( eller )

Anvendelse af egenskaben monotoni af funktioner.

1. En kompleks funktion sammensat af to stigende funktioner er stigende.

2.Hvis funktionen øges og funktionen
falder, så funktionen
- faldende.

3. Summen af to stigende (faldende) funktioner, stigende (faldende) funktion.

4. Hvis i lign.
venstre side er en stigende (eller faldende) funktion, så har ligningen højst én rod.

5.Hvis funktionen er stigende (faldende), og funktionen er faldende (stigende), så er ligningen
har højst én løsning.

6. Ligning
har mindst én rod hvis og kun hvis

hører til flere betydninger
funktioner .

Anvendelse af egenskaben af afgrænsede funktioner.

1. Hvis venstre side af ligningen (ulighed) (
mindre end eller lig med et tal (
), og højre side er større end eller lig med dette tal (), så systemet
hvis løsning er løsningen til selve ligningen (uligheden).

Selvkontrolopgaver

Ansøgning:

3. Find alle værdier, som ligningen for
har en løsning.

Lektier

1.Find den største værdi af funktionen:

, hvis
.

2. Find den mindste værdi af funktionen:

3. Find den største heltalværdi for funktionen:

. dem der svarer til størst. Ideel -...

Metodiske anbefalinger til praktiske timer Emne: Introduktion. En kort historie om det latinske sprog. Alfabet. Fonetik

Retningslinier

Stor, øvre, lille, front, mindst, størst. 3) Oversæt: A. Mm. palati og... betyder a) Streptocidum b) Barbamylum c) Corticotropinum d) Cholosasum e) Agovirin Fakultet: MTD-modul: latinsk sprog Metodisk anbefalinger Til ...

Retningslinier

... . Størst Og mindste værdier funktioner Størst Og mindst værdier 2 14. Antiderivat funktioner Antiderivat 2 15. Begrebet differentialligninger Eksempler på brug af et derivat Til ...

Metodiske anbefalinger til selvtræning af kadetter og studerende i disciplinen "Fysisk træning" Krasnodar

Retningslinier

... Størst hastighed af vilkårlig enkelt bevægelse Og mindste... Ledig en masse anbefalinger Ved... betyder har en rationel kombination af midler til generel og lokal handling. 4. Metodisk anbefalinger Til uafhængig studerer ... funktioner. De de der ...

Metodiske anbefalinger til brug af lærebøger "Algebra og matematisk analyse, 10", "Algebra og matematisk analyse, 11" (forfattere: N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd) når man studerer emnet på profilniveau

Retningslinier

... , en masse værdier funktioner, nuller funktioner, intervaller af konstant fortegn funktioner, lige, ulige, periodicitet. Monotone funktioner, monotoniske intervaller, ekstrema funktioner. Størst Og mindst værdier funktioner ...

Undersøgelse af et sådant objekt matematisk analyse som en funktion har stor betyder og inden for andre videnskabsområder. For eksempel i økonomisk analyse adfærd skal konstant vurderes funktioner fortjeneste, nemlig at bestemme dens største betyder og udvikle en strategi for at nå det.

Instruktioner

Studiet af enhver adfærd bør altid begynde med en søgning efter definitionsdomænet. Normalt efter tilstand specifik opgave det er nødvendigt at bestemme den største betyder funktioner enten over hele dette område eller over et bestemt interval af det med åbne eller lukkede grænser.

Baseret på er den største betyder funktioner y(x0), hvor uligheden y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) gælder for ethvert punkt i definitionsdomænet. Grafisk vil dette punkt være det højeste, hvis argumentværdierne placeres langs abscisseaksen, og selve funktionen langs ordinataksen.

For at bestemme den største betyder funktioner, følg tre-trins-algoritmen. Vær opmærksom på, at du skal kunne arbejde med ensidig og , samt beregne den afledte. Så lad en funktion y(x) blive givet, og du skal finde den største betyder på et bestemt interval med grænseværdier A og B.

Find ud af, om dette interval er inden for definitionens rammer funktioner. For at gøre dette skal du finde det ved at overveje alle mulige begrænsninger: tilstedeværelsen af en brøkdel i udtrykket, kvadrat rod etc. Definitionsdomænet er det sæt af argumentværdier, som funktionen giver mening for. Beslutte hvorvidt givet interval dens undergruppe. Hvis ja, så gå til næste fase.

Find den afledede funktioner og løse den resulterende ligning ved at ligne den afledte med nul. På denne måde får du værdierne for de såkaldte stationære punkter. Vurder, om mindst én af dem tilhører intervallet A, B.

På det tredje trin skal du overveje disse punkter og erstatte deres værdier i funktionen. Afhængigt af intervaltypen skal du udføre følgende yderligere trin. Hvis der er et segment på formen [A, B], er grænsepunkterne inkluderet i intervallet; dette er angivet med parentes. Beregn værdier funktioner for x = A og x = B. Hvis åbent interval(A, B), grænseværdierne er punkteret, dvs. er ikke inkluderet i den. Løs ensidige grænser for x→A og x→B. Et kombineret interval af formen [A, B) eller (A, B), hvis grænser hører til den, den anden ikke. Find den ensidige grænse, da x har en tendens til den punkterede værdi, og indsæt den anden i funktionen. Uendeligt tosidet interval (-∞, +∞) eller ensidet uendeligt intervaller af formen: , (-∞, B).For reelle grænser A og B, fortsæt efter de allerede beskrevne principper, og for uendelige dem, se efter grænser for henholdsvis x→-∞ og x→+∞.

Opgaven på dette stadium