Sådan finder du stationære punkter i en funktion. Kritiske punkter på grafen for en funktion

Definitioner:

Extremum kalder maksimum- eller minimumværdien af ​​en funktion på et givet sæt.

Ekstrem punkt er det punkt, hvor funktionens maksimum- eller minimumværdi nås.

Maksimal point er det punkt, hvor den maksimale værdi af funktionen nås.

Minimum point er det punkt, hvor funktionens minimumværdi nås.

Forklaring.

I figuren, i nærheden af ​​punktet x = 3, når funktionen sin maksimale værdi (dvs. i nærheden af ​​dette særlige punkt er der intet punkt højere). I nærheden af ​​x = 8 har det igen en maksimal værdi (lad os præcisere igen: det er i dette nabolag, at der ikke er noget højere punkt). På disse punkter viger stigningen til et fald. De er de maksimale point:

x max = 3, x max = 8.

I nærheden af ​​punktet x = 5 nås funktionens minimumsværdi (dvs. i nærheden af ​​x = 5 er der intet punkt under). På dette tidspunkt giver faldet plads til en stigning. Det er minimumspunktet:

Maksimum og minimum point er yderpunkter for funktionen, og værdierne af funktionen på disse punkter er dens ekstremer.

Kritiske og stationære punkter ved funktionen:

Nødvendig betingelse for et ekstremum:

Tilstrækkelig tilstand for et ekstremum:

På et segment funktionen y = f(x) kan nå sin minimums- eller maksimumværdi enten på kritiske punkter eller i enderne af segmentet.

Algoritme til undersøgelse af en kontinuerlig funktiony = f(x) for monotoni og ekstrema:

Domæne af en funktion, beregn dens afledte, find domænet af en afledt af en funktion, find point ved at dreje den afledede til nul, bevis, at de fundne punkter tilhører definitionsdomænet for den oprindelige funktion.

Eksempel 1 Identificer kritiske point funktioner y = (x - 3)²·(x-2).

Løsning Find definitionsdomænet for funktionen, i dette tilfælde er der ingen begrænsninger: x ∈ (-∞; +∞); Beregn den afledte y'. Ifølge reglerne for at differentiere produktet af to har vi: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Så får vi en andengradsligning: y' = 3 x² – 16 x + 21.

Find definitionsdomænet for den afledede af funktionen: x ∈ (-∞; +∞) Løs ligningen 3 x² – 16 x + 21 = 0 for at finde, hvor den bliver nul: 3 x² – 16 x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Så den afledte går til nul ved værdier af x lig med 3 og 7/3.

Bestem, om de fundne tilhører point definitionsdomæne for den oprindelige funktion. Siden x (-∞; +∞), så begge disse point er kritiske.

Eksempel 2: Identificer kritiske point funktioner y = x² – 2/x.

Løsning Funktionens domæne: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), da x er i nævneren. Beregn den afledte y' = 2 x + 2/x².

Definitionsdomænet for den afledede af funktionen er det samme som for originalen: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Løs ligningen 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Så den afledte går til nul ved x = -1. Den nødvendige, men ikke tilstrækkelige betingelse for kritikalitet er opfyldt. Da x=-1 falder ind i intervallet (-∞; 0) ∪ (0; +∞), så er dette punkt kritisk.

Kilder:

• Kritisk salgsvolumen, stk.Tærskel

Mange kvinder lider af præmenstruelt syndrom, som ikke kun viser sig ved smertefulde fornemmelser, men også ved øget appetit. Som følge heraf kan kritiske dage betydeligt bremse vægttabsprocessen.

Årsager til øget appetit under menstruation

Årsagen til stigningen i appetit under menstruation er en ændring i de generelle hormonelle niveauer i den kvindelige krop. Få dage før menstruationens begyndelse stiger niveauet af hormonet progesteron, kroppen tilpasser sig muligheden og forsøger at lave yderligere energireserver i form af fedtdepoter, selvom kvinden sidder. Vægtændringer på kritiske dage er således normale.

Sådan spiser du i din menstruation

Prøv ikke at spise slik, konfekture og andre kalorierige fødevarer, der indeholder "hurtig" mad i disse dage. Deres overskud vil straks blive deponeret i fedt. I denne periode vil mange kvinder virkelig gerne spise chokolade; i dette tilfælde kan du købe mørk chokolade og forkæle dig selv med et par skiver, men ikke mere. Under din menstruation bør du ikke indtage alkoholholdige drikkevarer, marinader, pickles, røget kød, frø og nødder. Generelt bør pickles og røget mad begrænses i kosten 6-8 dage før starten af ​​menstruationen, da sådanne produkter øger vandreserverne i kroppen, og denne periode er karakteriseret ved øget væskeophobning. For at reducere mængden af ​​salt i din kost skal du tilføje minimale mængder af det til tilberedte fødevarer.

Det anbefales at indtage fedtfattige mejeriprodukter, vegetabilske fødevarer og korn. Bønner, kogte kartofler, ris - produkter, der indeholder "langsomme" kulhydrater, vil være nyttige. Fisk og skaldyr, lever, fisk, oksekød, fjerkræ, æg, bælgfrugter og tørrede frugter vil hjælpe med at genopbygge jerntab. Hvedeklid vil være nyttigt. En naturlig reaktion under menstruation er hævelse. Lette vanddrivende urter hjælper med at rette op på tilstanden: basilikum, dild, persille, selleri. De kan bruges som krydderi. I anden halvdel af cyklussen anbefales det at indtage proteinfødevarer (magert kød og fisk, mejeriprodukter), og mængden af ​​kulhydrater i kosten bør reduceres så meget som muligt.

Økonomisk koncept for kritisk volumen salg svarer til virksomhedens position på markedet, hvor indtægterne fra salg af varer er minimale. Denne situation kaldes break-even point, når efterspørgslen efter produkter falder, og fortjenesten knap dækker omkostningerne. For at bestemme det kritiske volumen salg, brug flere metoder.

Instruktioner

Arbejdscyklussen er ikke begrænset til dens aktiviteter - produktion eller tjenesteydelser. Dette er et komplekst arbejde med en bestemt struktur, herunder arbejdet med hovedpersonalet, ledelsespersonalet, ledelsespersonalet osv., samt økonomer, hvis opgave er den økonomiske analyse af virksomheden.

Formålet med denne analyse er at beregne bestemte mængder, der i en eller anden grad påvirker størrelsen af ​​det endelige overskud. Disse er forskellige typer af produktions- og salgsmængder, fuld og gennemsnit, efterspørgselsindikatorer osv. Hovedopgaven er at identificere mængden af ​​produktion, hvor der etableres et stabilt forhold mellem omkostninger og overskud.

Minimum volumen salg, hvor indtægter helt dækker omkostningerne, men ikke øger virksomhedens egenkapital, kaldes kritisk volumen salg. Der er tre metoder til at beregne metoden for denne indikator: metoden med ligninger, marginalindkomst og grafisk.

For at bestemme det kritiske volumen salg efter den første metode oprettes en ligning af formen: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, hvor: Вп – indtægter fra salg og ;Zper og Zpos – variable og konstante omkostninger, Pp – profit fra salg Og.

Efter en anden metode, første sigt, indtægter fra salg, præsentere det som produktet af marginalindkomst pr. enhed af varer og volumen salg, det samme gælder variable omkostninger. Faste omkostninger gælder for hele varepartiet, så lad denne komponent være fælles: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Udtryk værdien af ​​N fra denne ligning, og du får det kritiske volumen salg:N = Zpos/(MD – Zper1), hvor Zper1 er de variable omkostninger pr. vareenhed.

Den grafiske metode går ud på at konstruere. Tegn to linjer på koordinatplanet: indtægtsfunktionen fra salg minus både omkostnings- og profitfunktionen. På abscisseaksen plottes produktionsvolumen, og på ordinataksen indtegnes indkomsten fra den tilsvarende mængde varer, udtrykt i monetære enheder. Skæringspunktet for disse linjer svarer til det kritiske volumen salg, break-even position.

Kilder:

• hvordan man definerer kritisk arbejde

Kritisk tænkning er et sæt af domme, på grundlag af hvilke der dannes visse konklusioner og foretages en vurdering af kritikobjekterne. Det er især karakteristisk for forskere og videnskabsmænd fra alle grene af videnskaben. Kritisk tænkning indtager et højere niveau sammenlignet med almindelig tænkning.

Værdien af ​​erfaring i at udvikle kritisk tænkning

Det er svært at analysere og drage konklusioner om noget, du ikke forstår godt. For at lære at tænke kritisk er det derfor nødvendigt at studere genstande i alle mulige sammenhænge og relationer til andre fænomener. Også af stor betydning i denne sag er besiddelsen af ​​information om sådanne objekter, evnen til at bygge logiske kæder af domme og drage rimelige konklusioner.

For eksempel kan man kun bedømme værdien af ​​et kunstværk ved at kende en hel del andre frugter af litterær aktivitet. Samtidig er det godt at være ekspert i menneskets udviklingshistorie, litteraturdannelse og litteraturkritik. Isoleret fra den historiske kontekst kan et værk miste sin tilsigtede betydning. For at vurderingen af ​​et kunstværk skal være tilstrækkelig fyldestgørende og begrundet, er det også nødvendigt at bruge din litterære viden, som omfatter reglerne for opbygning af en litterær tekst inden for de enkelte genrer, et system af forskellige litterære teknikker, klassifikation og analyse. af eksisterende stilarter og tendenser i litteratur mv. Samtidig er det også vigtigt at studere plottets interne logik, handlingsrækkefølgen, arrangementet og interaktionen af ​​karakterer i et kunstværk.

Egenskaber ved kritisk tænkning

Andre træk ved kritisk tænkning omfatter følgende:
- viden om det undersøgte objekt er kun et udgangspunkt for yderligere hjerneaktivitet forbundet med konstruktionen af ​​logiske kæder;
- konsekvent konstrueret og sund fornuft ræsonnement fører til identifikation af sand og fejlagtig information om det objekt, der studeres;
- kritisk tænkning er altid forbundet med vurderingen af ​​tilgængelig information om et givent objekt og de tilsvarende konklusioner, vurderingen er til gengæld forbundet med eksisterende færdigheder.

I modsætning til almindelig tænkning er kritisk tænkning ikke underlagt blind tro. Kritisk tænkning gør det muligt ved hjælp af et helt system af domme om kritikobjektet at forstå dets essens, identificere sand viden om det og tilbagevise falske. Den er baseret på logik, dybde og fuldstændighed af undersøgelser, sandfærdighed, tilstrækkelighed og konsekvens af domme. I dette tilfælde accepteres åbenlyse og gennemprøvede udsagn som postulater og kræver ikke gentagne beviser og evalueringer.

Kritiske punkter– det er de punkter, hvor den afledede af en funktion er lig med nul eller ikke eksisterer. Hvis den afledede er lig med 0, tager funktionen på dette tidspunkt lokalt minimum eller maksimum. På grafen på sådanne punkter har funktionen en vandret asymptote, det vil sige, at tangenten er parallel med Ox-aksen.

Sådanne punkter kaldes stationær. Hvis du ser en "pukkel" eller "hul" på grafen for en kontinuerlig funktion, skal du huske, at maksimum eller minimum nås på et kritisk punkt. Lad os tage følgende opgave som eksempel.

Eksempel 1. Find de kritiske punkter for funktionen y=2x^3-3x^2+5.
Løsning. Algoritmen til at finde kritiske punkter er som følger:

Så funktionen har to kritiske punkter.

Dernæst, hvis du har brug for at studere en funktion, så bestemmer vi tegnet for den afledede til venstre og til højre for det kritiske punkt. Hvis den afledede ændrer fortegn fra "-" til "+", når den passerer gennem det kritiske punkt, så tager funktionen lokalt minimum. Hvis fra “+” til “-” skal lokalt maksimum.

Anden type kritiske punkter disse er nulpunkterne for nævneren for brøk- og irrationelle funktioner

Logaritmiske og trigonometriske funktioner, der ikke er defineret på disse punkter


Tredje type kritiske punkter har stykkevis kontinuerlige funktioner og moduler.
For eksempel har enhver modulfunktion et minimum eller maksimum ved brudpunktet.

For eksempel modul y = | x -5 | ved punkt x = 5 har et minimum (kritisk punkt).
Den afledte findes ikke i den, men til højre og venstre tager værdien henholdsvis 1 og -1.

Prøv at bestemme de kritiske punkter for funktioner

1)
2)
3)
4)
5)

Hvis svaret er y får du værdien
1) x=4;
2) x=-1; x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
så ved du det allerede hvordan man finder kritiske punkter og kunne klare en simpel test eller tests.

Overvej følgende figur.

Den viser grafen for funktionen y = x^3 – 3*x^2. Lad os overveje et interval, der indeholder punktet x = 0, for eksempel fra -1 til 1. Et sådant interval kaldes også naboskabet til punktet x = 0. Som det kan ses på grafen, er funktionen y = x i dette nabolag ^3 – 3*x^2 tager den største værdi præcis ved punktet x = 0.

Maksimum og minimum funktioner

I dette tilfælde kaldes punktet x = 0 funktionens maksimale punkt. I analogi med dette kaldes punktet x = 2 minimumpunktet for funktionen y = x^3 – 3*x^2. Fordi der er et kvarter i dette punkt, hvor værdien på dette tidspunkt vil være minimal blandt alle andre værdier fra dette kvarter.

Prik maksimum funktionen f(x) kaldes punktet x0, forudsat at der er et kvarter til punktet x0, således at for alle x, der ikke er lig med x0 fra dette kvarter, gælder uligheden f(x)< f(x0).

Prik minimum funktionen f(x) kaldes punktet x0, forudsat at der er et kvarter til punktet x0, således at for alle x, der ikke er lig med x0 fra dette kvarter, gælder uligheden f(x) > f(x0).

Ved punkterne for maksimum og minimum af funktioner er værdien af ​​funktionens afledte værdi nul. Men dette er ikke en tilstrækkelig betingelse for eksistensen af ​​en funktion på et maksimum- eller minimumspunkt.

For eksempel har funktionen y = x^3 i punktet x = 0 en afledt lig med nul. Men punktet x = 0 er ikke minimum- eller maksimumpunktet for funktionen. Som du ved, øges funktionen y = x^3 langs hele den numeriske akse.

Således vil minimum- og maksimumpunkterne altid være blandt rødderne af ligningen f’(x) = 0. Men ikke alle rødderne i denne ligning vil være maksimum- eller minimumpunkter.

Stationære og kritiske punkter

De punkter, hvor værdien af ​​den afledede af funktionen er nul, kaldes stationære punkter. Der kan også være punkter med maksimum eller minimum på punkter, hvor den afledede af funktionen slet ikke eksisterer. For eksempel, y = |x| i punktet x = 0 har et minimum, men den afledede eksisterer ikke på dette tidspunkt. Dette punkt vil være det kritiske punkt for funktionen.

De kritiske punkter for en funktion er de punkter, hvor den afledede er lig med nul, eller den afledede ikke eksisterer på dette tidspunkt, dvs. funktionen på dette tidspunkt er ikke-differentierbar. For at finde maksimum eller minimum af en funktion skal en tilstrækkelig betingelse være opfyldt.

Lad f(x) være en differentierbar funktion på intervallet (a;b). Punkt x0 hører til dette interval og f'(x0) = 0. Så:

1. hvis funktionen f(x) og dens afledte ved passage gennem et stationært punkt x0 skifter fortegn, fra “plus” til “minus”, så er punktet x0 funktionens maksimumpunkt.

2. hvis funktionen f(x) og dens afledede, når den passerer gennem et stationært punkt x0, skifter fortegn, fra "minus" til "plus", så er punktet x0 funktionens minimumspunkt.

Stationære punkter i en funktion. En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum af en funktion

Den første tilstrækkelige betingelse for et lokalt ekstremum

Anden og tredje tilstrækkelige betingelser for et lokalt ekstremum

De mindste og største værdier af en funktion på et segment

Konvekse funktioner og bøjningspunkter

1. Funktionens stationære punkter. En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum af en funktion

Definition 1 . Lad funktionen defineres på
. Prik kaldes det stationære punkt i funktionen
, hvis
differentieret på et tidspunkt Og
.

Sætning 1 (nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum af en funktion) . Lad funktionen
fastlagt på
og har ved punktet
lokalt ekstremum. Så er en af ​​betingelserne opfyldt:

For at finde punkter, der er mistænkelige for et ekstremum, er det således nødvendigt at finde stationære punkter af funktionen og punkter, hvor den afledede af funktionen ikke eksisterer, men som hører til funktionens definitionsdomæne.

Eksempel . Lade
. Find punkter for det, der er mistænkelige for ekstremum. For at løse problemet finder vi først og fremmest definitionsdomænet for funktionen:
. Lad os nu finde den afledede af funktionen:

Punkter, hvor derivatet ikke eksisterer:
. Stationære funktionspunkter:

Siden og
, Og
hører til funktionens definitionsdomæne, så vil de begge være mistænkelige for et ekstremum. Men for at konkludere, om der virkelig vil være et ekstremum der, er det nødvendigt at anvende tilstrækkelige betingelser for ekstremum.

2. Den første tilstrækkelige betingelse for et lokalt ekstremum

Sætning 1 (første tilstrækkelig betingelse for lokalt ekstremum) . Lad funktionen
fastlagt på
og differentieret på dette interval overalt undtagen måske punktet
, men på dette tidspunkt fungere
er kontinuerlig. Hvis der er sådanne højre og venstre semi-kvarterer af et punkt , i hver af dem
bevarer altså et vist tegn

1) funktion
har et lokalt ekstremum på punktet , hvis
tager værdier af forskellige tegn i de tilsvarende semi-kvarterer;

2) funktion
har ikke et lokalt ekstremum på punktet , hvis til højre og venstre for punktet
har samme tegn.

Bevis . 1) Antag, at i et semi-kvarter
afledte
, og i

.

Altså på punktet fungere
har et lokalt ekstremum, nemlig et lokalt maksimum, som var det, der skulle bevises.

2) Antag, at til venstre og højre for punktet derivatet bevarer sit fortegn, f.eks.
. Så videre
Og
fungere
stiger strengt monotont, det vil sige:

Altså ekstremum på punktet fungere
ikke har, hvilket var det, der skulle bevises.

Note 1 . Hvis den afledte
når man passerer gennem et punkt skifter fortegn fra "+" til "-", derefter ved punktet fungere
har et lokalt maksimum, og hvis tegnet skifter fra "-" til "+", så er der et lokalt minimum.

Note 2 . En vigtig betingelse er kontinuiteten i funktionen
på punktet . Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, holder sætning 1 muligvis ikke.

Eksempel . Funktionen tages i betragtning (fig. 1):

Denne funktion er defineret på og er kontinuerlig overalt undtagen et punkt
, hvor den har et aftageligt mellemrum. Når man passerer gennem et punkt

skifter fortegn fra "-" til "+", men funktionen har ikke et lokalt minimum på dette tidspunkt, men har et lokalt maksimum pr. definition. Faktisk tæt på punktet
det er muligt at konstruere et kvarter sådan, at for alle argumenter fra dette kvarter vil funktionsværdierne være mindre end værdien
. Sætning 1 virkede ikke, fordi på det tidspunkt
funktionen havde et hul.

Note 3 . Den første tilstrækkelige betingelse for et lokalt ekstremum kan ikke bruges, når den afledede af funktionen
skifter fortegn i hver venstre og hver højre semi-kvarter af et punkt .

Eksempel . Funktionen der overvejes er:

Fordi
, At
, og derfor
, Men
. Dermed:

,

de der. på punktet
fungere
har et lokalt minimum pr. definition. Lad os se, om den første tilstrækkelige betingelse for et lokalt ekstremum virker her.

Til
:

For det første led på højre side af den resulterende formel har vi:

,

og derfor i et lille kvarter af punktet
tegnet for den afledte bestemmes af tegnet for det andet led, det vil sige:

,

hvilket betyder, at i ethvert område af punktet

vil tage både positive og negative værdier. Overvej faktisk et vilkårligt område af punktet
:
. Hvornår

,

At

(fig. 2), og skifter her fortegn uendeligt mange gange. Den første tilstrækkelige betingelse for et lokalt ekstremum kan således ikke bruges i det givne eksempel.