Lineære ligninger, koefficienter, differentialligninger. Lineære differentialligninger af anden orden

Uddannelsesinstitution "Hviderussisk stat

landbrugsakademi"

Institut for Højere Matematik

Retningslinier

at studere emnet "Lineære differentialligninger af anden orden" af studerende fra det regnskabsmæssige fakultet for korrespondanceuddannelse (NISPO)

Gorki, 2013

Lineære differentialligninger

anden orden med konstanterkoefficienter

    Lineære homogene differentialligninger

Lineær differentialligning af anden orden med konstante koefficienter kaldet formens ligning

de der. en ligning, der kun indeholder den ønskede funktion og dens afledte i første grad og ikke indeholder deres produkter. I denne ligning Og
- nogle tal og en funktion
givet med et bestemt interval
.

Hvis
på intervallet
, så vil ligning (1) antage formen

, (2)

og kaldes lineær homogen . Ellers kaldes ligning (1). lineær inhomogen .

Overvej den komplekse funktion

, (3)

Hvor
Og
- rigtige funktioner. Hvis funktion (3) er en kompleks løsning til ligning (2), så er den reelle del
, og den imaginære del
løsninger
separat er løsninger af den samme homogene ligning. Enhver kompleks løsning til ligning (2) genererer således to reelle løsninger til denne ligning.

Løsninger af en homogen lineær ligning har følgende egenskaber:

Hvis er en løsning til ligning (2), derefter funktionen
, Hvor MED– en vilkårlig konstant vil også være en løsning på ligning (2);

Hvis Og der er løsninger til ligning (2), derefter funktionen
vil også være en løsning til ligning (2);

Hvis Og der er løsninger til ligning (2), derefter deres lineære kombination
vil også være en løsning på ligning (2), hvor Og
– vilkårlige konstanter.

Funktioner
Og
hedder lineært afhængig på intervallet
, hvis sådanne tal findes Og
, ikke lig med nul på samme tid, at på dette interval ligheden

Hvis lighed (4) kun opstår når
Og
, derefter funktionerne
Og
hedder lineært uafhængig på intervallet
.

Eksempel 1 . Funktioner
Og
er lineært afhængige, da
på hele tallinjen. I dette eksempel
.

Eksempel 2 . Funktioner
Og
er lineært uafhængige af ethvert interval, da ligheden
er kun muligt i det tilfælde, hvor
, Og
.

    Konstruktion af en generel løsning til en lineær homogen

ligninger

For at finde en generel løsning til ligning (2), skal du finde to af dens lineært uafhængige løsninger Og . Lineær kombination af disse løsninger
, Hvor Og
er vilkårlige konstanter, og vil give en generel løsning til en lineær homogen ligning.

Vi vil lede efter lineært uafhængige løsninger til ligning (2) i formen

, (5)

Hvor – et vist antal. Derefter
,
. Lad os erstatte disse udtryk i ligning (2):

eller
.

Fordi
, At
. Altså funktionen
vil være en løsning til ligning (2) if vil opfylde ligningen

. (6)

Ligning (6) kaldes karakteristisk ligning for ligning (2). Denne ligning er en algebraisk andengradsligning.

Lade Og der er rødder til denne ligning. De kan enten være reelle og forskellige, eller komplekse eller reelle og lige. Lad os overveje disse sager.

Lad rødderne Og karakteristiske ligninger er reelle og distinkte. Så vil løsningerne til ligning (2) være funktionerne
Og
. Disse løsninger er lineært uafhængige, da ligheden
kan kun udføres når
, Og
. Derfor har den generelle løsning til ligning (2) formen

,

Hvor Og
- vilkårlige konstanter.

Eksempel 3
.

Løsning . Den karakteristiske ligning for denne differential vil være
. Efter at have løst denne andengradsligning finder vi dens rødder
Og
. Funktioner
Og
er løsninger til differentialligningen. Den generelle løsning på denne ligning er
.

Kompleks tal kaldes et udtryk for formen
, Hvor Og er reelle tal, og
kaldet den imaginære enhed. Hvis
, derefter nummeret
kaldes rent imaginært. Hvis
, derefter nummeret
er identificeret med et reelt tal .

Nummer kaldes den reelle del af et komplekst tal, og - imaginær del. Hvis to komplekse tal kun adskiller sig fra hinanden ved tegnet for den imaginære del, kaldes de konjugat:
,
.

Eksempel 4 . Løs andengradsligning
.

Løsning . Diskriminerende ligning
. Derefter. Ligeledes,
. Denne andengradsligning har således konjugerede komplekse rødder.

Lad rødderne til den karakteristiske ligning være komplekse, dvs.
,
, Hvor
. Løsninger af ligning (2) kan skrives i formen
,
eller
,
. Ifølge Eulers formler

,
.

Derefter ,. Som det er kendt, hvis en kompleks funktion er en løsning til en lineær homogen ligning, så er løsningerne til denne ligning både den reelle og imaginære del af denne funktion. Løsningerne til ligning (2) vil således være funktionerne
Og
. Siden ligestilling

kan kun udføres hvis
Og
, så er disse løsninger lineært uafhængige. Derfor har den generelle løsning til ligning (2) formen

Hvor Og
- vilkårlige konstanter.

Eksempel 5 . Find den generelle løsning til differentialligningen
.

Løsning . Ligningen
er karakteristisk for en given differential. Lad os løse det og få komplekse rødder
,
. Funktioner
Og
er lineært uafhængige løsninger af differentialligningen. Den generelle løsning på denne ligning er:

Lad rødderne af den karakteristiske ligning være reelle og lige, dvs.
. Så er løsningerne til ligning (2) funktionerne
Og
. Disse løsninger er lineært uafhængige, da udtrykket kun kan være identisk lig med nul når
Og
. Derfor har den generelle løsning til ligning (2) formen
.

Eksempel 6 . Find den generelle løsning til differentialligningen
.

Løsning . Karakteristisk ligning
har lige store rødder
. I dette tilfælde er lineært uafhængige løsninger til differentialligningen funktionerne
Og
. Den generelle løsning har formen
.

    Inhomogene lineære differentialligninger af anden orden med konstante koefficienter

og den specielle højre side

Den generelle løsning af den lineære inhomogene ligning (1) er lig med summen af ​​den generelle løsning
den tilsvarende homogene ligning og enhver bestemt løsning
inhomogen ligning:
.

I nogle tilfælde kan en bestemt løsning på en inhomogen ligning ganske enkelt findes i form af højre side
ligning (1). Lad os se på tilfælde, hvor dette er muligt.

de der. højre side af den inhomogene ligning er et gradpolynomium m. Hvis
er ikke en rod af den karakteristiske ligning, så skal en bestemt løsning til den inhomogene ligning søges i form af et gradpolynomium m, dvs.

Odds
er bestemt i processen med at finde en bestemt løsning.

Hvis
er roden til den karakteristiske ligning, så skal en bestemt løsning til den inhomogene ligning søges i formen

Eksempel 7 . Find den generelle løsning til differentialligningen
.

Løsning . Den tilsvarende homogene ligning for denne ligning er
. Dens karakteristiske ligning
har rødder
Og
. Den generelle løsning af den homogene ligning har formen
.

Fordi
ikke er en rod til den karakteristiske ligning, så vil vi lede efter en bestemt løsning af den inhomogene ligning i form af en funktion
. Lad os finde de afledte af denne funktion
,
og indsæt dem i denne ligning:

eller . Lad os sidestille koefficienterne for og gratis medlemmer:
Efter at have løst dette system, får vi
,
. Så har en bestemt løsning af den inhomogene ligning formen
, og den generelle løsning af en given inhomogen ligning vil være summen af ​​den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning og den særlige løsning af den inhomogene ligning:
.

Lad den inhomogene ligning have formen

Hvis
ikke er en rod til den karakteristiske ligning, så skal en bestemt løsning til den inhomogene ligning søges i formen. Hvis
er roden til den karakteristiske multiplicitetsligning k (k=1 eller k=2), så vil en bestemt løsning af den inhomogene ligning i dette tilfælde have formen .

Eksempel 8 . Find den generelle løsning til differentialligningen
.

Løsning . Den karakteristiske ligning for den tilsvarende homogene ligning har formen
. Dens rødder
,
. I dette tilfælde skrives den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning i formen
.

Da tallet 3 ikke er en rod af den karakteristiske ligning, bør en bestemt løsning til den inhomogene ligning søges i formen
. Lad os finde de afledte af første og anden orden:

Lad os erstatte i differentialligningen:
+ +,
+,.

Lad os sidestille koefficienterne for og gratis medlemmer:

Herfra
,
. Så har en bestemt løsning til denne ligning formen
, og den generelle løsning

.

    Lagrange metode til variation af vilkårlige konstanter

Metoden til at variere vilkårlige konstanter kan anvendes på enhver inhomogen lineær ligning med konstante koefficienter, uanset typen af ​​højre side. Denne metode giver dig mulighed for altid at finde en generel løsning til en inhomogen ligning, hvis den generelle løsning til den tilsvarende homogene ligning er kendt.

Lade
Og
er lineært uafhængige løsninger af ligning (2). Så er den generelle løsning til denne ligning
, Hvor Og
- vilkårlige konstanter. Essensen af ​​metoden til at variere vilkårlige konstanter er, at den generelle løsning til ligning (1) søges i formen

Hvor
Og
- nye ukendte funktioner, der skal findes. Da der er to ukendte funktioner, er det nødvendigt med to ligninger, der indeholder disse funktioner for at finde dem. Disse to ligninger udgør systemet

som er et lineært algebraisk ligningssystem mht
Og
. Løsning af dette system, finder vi
Og
. Vi finder, at begge sider af de opnåede ligheder integreres

Og
.

Ved at erstatte disse udtryk med (9), får vi en generel løsning til den inhomogene lineære ligning (1).

Eksempel 9 . Find den generelle løsning til differentialligningen
.

Løsning. Den karakteristiske ligning for den homogene ligning svarende til en given differentialligning er
. Dens rødder er komplekse
,
. Fordi
Og
, At
,
, og den generelle løsning af den homogene ligning har formen. Så vil vi lede efter en generel løsning på denne inhomogene ligning i formen hvor
Og
- ukendte funktioner.

Ligningssystemet til at finde disse ukendte funktioner har formen

Efter at have løst dette system, finder vi
,
. Derefter

,
. Lad os erstatte de resulterende udtryk i formlen for den generelle løsning:

Dette er den generelle løsning til denne differentialligning, opnået ved hjælp af Lagrange-metoden.

Spørgsmål til selvkontrol af viden

    Hvilken differentialligning kaldes en andenordens lineær differentialligning med konstante koefficienter?

    Hvilken lineær differentialligning kaldes homogen, og hvilken kaldes inhomogen?

    Hvilke egenskaber har en lineær homogen ligning?

    Hvilken ligning kaldes karakteristisk for en lineær differentialligning, og hvordan opnås den?

    I hvilken form skrives den generelle løsning af en lineær homogen differentialligning med konstante koefficienter i tilfælde af forskellige rødder af den karakteristiske ligning?

    I hvilken form skrives den generelle løsning af en lineær homogen differentialligning med konstante koefficienter i tilfælde af lige rødder af den karakteristiske ligning?

    I hvilken form skrives den generelle løsning af en lineær homogen differentialligning med konstante koefficienter i tilfælde af komplekse rødder af den karakteristiske ligning?

    Hvordan skrives den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning?

    I hvilken form søges en bestemt løsning til en lineær inhomogen ligning, hvis rødderne af den karakteristiske ligning er forskellige og ikke lig med nul, og højre side af ligningen er et gradpolynomium m?

    I hvilken form søges en bestemt løsning til en lineær inhomogen ligning, hvis der er et nul blandt rødderne af den karakteristiske ligning, og den højre side af ligningen er et gradpolynomium m?

    Hvad er essensen af ​​Lagranges metode?

Vi har set, at i det tilfælde, hvor den generelle løsning af en lineær homogen ligning er kendt, er det muligt at finde den generelle løsning af en inhomogen ligning ved hjælp af metoden til variation af vilkårlige konstanter. Spørgsmålet om, hvordan man finder en generel løsning på en homogen ligning, forblev imidlertid åbent. I det specielle tilfælde, når i den lineære differentialligning (3) alle koefficienter p i(x)= et i - konstanter, kan det løses ganske enkelt, selv uden integration.

Overvej en lineær homogen differentialligning med konstante koefficienter, dvs. ligninger af formen

y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)

Hvor og jeg- konstanter (jeg= 1, 2, ...,n).

Som bekendt er løsningen for en lineær homogen ligning af 1. orden en funktion af formen e kx. Vi vil lede efter en løsning til ligning (14) i skemaet j (x) = e kx.

Lad os erstatte funktionen i ligning (14) j (x) og dets rækkefølgederivater m (1 £ m£ n)j (m) (x) = k m e kx. Vi får

(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,

Men e k x ¹ 0 for enhver x, Derfor

k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n = 0. (15)

Ligning (15) kaldes karakteristisk ligning, polynomiet i venstre side- karakteristisk polynomium , dens rødder- karakteristiske rødder differentialligning (14).

Konklusion:

fungerej (x) = e kx - løsning til lineær homogen ligning (14) hvis og kun hvis tallet k - roden af ​​den karakteristiske ligning (15).

Processen med at løse den lineære homogene ligning (14) reduceres således til at løse den algebraiske ligning (15).

Forskellige tilfælde af karakteristiske rødder er mulige.

1.Alle rødder af den karakteristiske ligning er reelle og distinkte.

I dette tilfælde n forskellige karakteristiske rødder k 1 ,k 2 ,..., k n svarer n forskellige løsninger af homogen ligning (14)

Det kan påvises, at disse løsninger er lineært uafhængige og derfor danner et grundlæggende system af løsninger. Den generelle løsning til ligningen er således funktionen

Hvor MED 1 , C 2 , ..., C n - vilkårlige konstanter.

Eksempel 7. Find den generelle løsning af den lineære homogene ligning:

EN) på¢ ¢ (x) - 6på¢ (x) + 8på(x) = 0,b) på¢ ¢ ¢ (x) + 2på¢ ¢ (x) - 3på¢ (x) = 0.

Løsning. Lad os lave en karakteristisk ligning. For at gøre dette erstatter vi ordreafledten m funktioner y(x) i passende grad

k(på (m) (x) « k m),

mens selve funktionen på(x) som den nulte ordens afledte erstattes af k 0 = 1.

I tilfælde (a) har den karakteristiske ligning formen k 2 - 6k+ 8 = 0. Rødderne til denne andengradsligning k 1 = 2,k 2 = 4. Da de er ægte og forskellige, har den generelle løsning formen j (x)= C 1 e 2x + C 2 e 4x.

For tilfælde (b) er den karakteristiske ligning 3. grads ligning k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Lad os finde rødderne til denne ligning:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

Disse karakteristiske rødder svarer til det grundlæggende system af løsninger af differentialligningen:

j 1 (x)= e 0x = 1, j 2 (x) = e x, j 3 (x)= e - 3x .

Den generelle løsning ifølge formel (9) er funktionen

j (x)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3x .

II . Alle rødder til den karakteristiske ligning er forskellige, men nogle af dem er komplekse.

Alle koefficienter for differentialligningen (14) og derfor dens karakteristiske ligning (15)- reelle tal, betyder det, at hvis c blandt de karakteristiske rødder er der en kompleks rod k 1 = a + ib, det vil sige dens konjugerede rod k 2 = ` k 1 = a- ib.Til den første rod k 1 svarer til løsningen af ​​differentialligningen (14)

j 1 (x)= e (a+ib)x = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(vi brugte Eulers formel e i x = cosx + isinx). Ligeledes roden k 2 = a- ib svarer til løsningen

j 2 (x)= e (en - -ib)x = e a x e - ib x= e økse(cosbx - isinbx).

Disse løsninger er komplekse. For at få rigtige løsninger fra dem bruger vi løsningernes egenskaber til en lineær homogen ligning (se 13.2). Funktioner

er reelle løsninger af ligning (14). Desuden er disse løsninger lineært uafhængige. Derfor kan vi drage følgende konklusion.

Regel 1.Et par konjugerede komplekse rødder a± ib af den karakteristiske ligning i FSR for den lineære homogene ligning (14) svarer til to reelle delløsningerOg .

Eksempel 8. Find den generelle løsning til ligningen:

EN) på¢ ¢ (x) - 2på ¢ (x) + 5på(x) = 0 ;b) på¢ ¢ ¢ (x) - på¢ ¢ (x) + 4på ¢ (x) - 4på(x) = 0.

Løsning. I tilfælde af ligning (a), rødderne af den karakteristiske ligning k 2 - 2k+ 5 = 0 er to konjugerede komplekse tal

k 1, 2 = .

Følgelig svarer de ifølge regel 1 til to reelle lineært uafhængige løsninger: og , og den generelle løsning af ligningen er funktionen

j (x)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x synd 2x.

I tilfælde (b), for at finde rødderne til den karakteristiske ligning k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, faktoriserer vi dens venstre side:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

Derfor har vi tre karakteristiske rødder: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2jeg. Cornu k 1 svarer til løsningen og et par konjugerede komplekse rødder k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2jeg- to gyldige løsninger: og . Vi komponerer en generel løsning til ligningen:

j (x)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 synd 2x.

III . Blandt rødderne til den karakteristiske ligning er der multipler.

Lade k 1 - reelle rod til mangfoldighed m karakteristisk ligning (15), dvs. blandt rødderne er der m lige rødder. Hver af dem svarer til den samme løsning til differentialligningen (14) Inkluder dog m Der er ingen lige løsninger i FSR, da de udgør et lineært afhængigt system af funktioner.

Det kan påvises, at i tilfælde af en multipel rod k 1 løsninger til ligning (14), udover funktionen, er funktionerne

Funktionerne er lineært uafhængige af hele den numeriske akse, da , det vil sige, de kan indgå i FSR.

Regel 2. Virkelig karakteristisk rod k 1 mangfoldighed m i FSR svarer m løsninger:

Hvis k 1 - kompleks rodmangfoldighed m karakteristisk ligning (15), så er der en konjugeret rod k 1 mangfoldighed m. Analogt får vi følgende regel.

Regel 3. Et par konjugerede komplekse rødder a± ib i FSR svarer til 2mreal lineært uafhængige løsninger:

, , ..., ,

, , ..., .

Eksempel 9. Find den generelle løsning til ligningen:

EN) på¢ ¢ ¢ (x) + 3på¢ ¢ (x) + 3på¢ (x)+ y ( x)= 0;b) ved IV(x) + 6på¢ ¢ (x) + 9på(x) = 0.

Løsning. I tilfælde (a) har den karakteristiske ligning formen

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k+ 1) 3 = 0,

dvs. k =- 1 - multiplicitetsrod 3. Ud fra regel 2 skriver vi den generelle løsning ned:

j (x)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .

Den karakteristiske ligning i tilfælde (b) er ligningen

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

for ellers,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± jeg.

Vi har et par konjugerede komplekse rødder, som hver har multiplicitet 2. Ifølge regel 3 skrives den generelle løsning som

j (x)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.

Af ovenstående følger det, at for enhver lineær homogen ligning med konstante koefficienter er det muligt at finde et grundlæggende system af løsninger og sammensætte en generel løsning. Følgelig løsningen til den tilsvarende inhomogene ligning for enhver kontinuert funktion f(x) på højre side kan findes ved hjælp af metoden til variation af vilkårlige konstanter (se afsnit 5.3).

Eksempel 10. Brug variationsmetoden til at finde den generelle løsning til den inhomogene ligning på¢ ¢ (x) - på¢ (x) - 6på(x) = x e 2x .

Løsning. Først finder vi den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning på¢ ¢ (x) - på¢ (x) - 6på(x) = 0. Rødder af den karakteristiske ligning k 2 - k- 6 = 0 er k 1 = 3,k 2 = - 2, a generel løsning af den homogene ligning - fungere ` på ( x) = C 1 e 3x + C 2 e - 2x .

Vi vil lede efter en løsning på den inhomogene ligning i formen

på( x) = MED 1 (x)e 3x + C 2 (x)e 2x . (*)

Lad os finde Wronski-determinanten

W[e 3x e 2x ] = .

Lad os sammensætte et ligningssystem (12) for afledte af ukendte funktioner MED ¢ 1 (x) Og MED¢ 2 (x):

Løsning af systemet ved hjælp af Cramers formler, får vi

Integrering, finder vi MED 1 (x) Og MED 2 (x):

Erstatning af funktioner MED 1 (x) Og MED 2 (x) ind i lighed (*), får vi en generel løsning på ligningen på¢ ¢ (x) - på¢ (x) - 6på(x) = x e 2x :

I det tilfælde, hvor højre side af en lineær inhomogen ligning med konstante koefficienter har en speciel form, kan en særlig løsning på den inhomogene ligning findes uden at ty til metoden til at variere vilkårlige konstanter.

Overvej ligningen med konstante koefficienter

y (n) + et 1 år (n– 1) +...a n – 1 år " + a n y = f (x), (16)

f( x) = eøkse(Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

Hvor Pn(x) Og Rm(x) - grad polynomier n Og m henholdsvis.

Privat løsning y*(x) i ligning (16) bestemmes af formlen

på* (x) = xse økse(Hr(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

Hvor Hr(x) Og N r(x) - grad polynomier r = maks(n, m) med usikre koefficienter , EN s lig med multiplum af roden k 0 = a + ib karakteristisk polynomium af ligning (16), og vi antager s = 0 hvis k 0 er ikke en karakteristisk rod.

For at sammensætte en bestemt løsning ved hjælp af formel (18), skal du finde fire parametre - a, b, r Og s. De første tre bestemmes fra højre side af ligningen, og r- dette er faktisk den højeste grad x, fundet i højre side. Parameter s fundet ved sammenligning af tal k 0 = a + ib Og mængden af ​​alle (under hensyntagen til multipliciteter) karakteristiske rødder af ligning (16), som findes ved at løse den tilsvarende homogene ligning.

Lad os overveje særlige tilfælde af funktionsformen (17):

1) hvornår -en ¹ 0, b= 0f(x)= e økse P n(x);

2) hvornår -en= 0, b ¹ 0f(x)= Pn(x) Medosbx + Rm(x)sinbx;

3) hvornår -en = 0, b = 0f(x)=Pn(x).

Bemærkning 1. Hvis P n (x) º 0 eller Rm(x)º 0, så højre side af ligningen f(x) = e ax P n (x)с osbx eller f(x) = e ax R m (x)sinbx, dvs. indeholder kun en af ​​funktionerne - cosinus eller sinus. Men i registreringen af ​​en bestemt løsning skal begge være til stede, da hver af dem ifølge formel (18) multipliceres med et polynomium med ubestemte koefficienter af samme grad r = max(n, m).

Eksempel 11. Bestem typen af ​​partiel løsning til en lineær homogen ligning af 4. orden med konstante koefficienter, hvis den højre side af ligningen er kendt f(x) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)synd 3x) og rødderne til den karakteristiske ligning:

EN ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3jeg,k 3, 4 = ± 1;

V ) k 1, 2 = 1 ± 3jeg,k 3, 4 = 1 ± 3jeg.

Løsning. På højre side finder vi det i den specifikke løsning på*(x), som er bestemt af formel (18), parametre: -en= 1, b= 3, r = 2. De forbliver de samme for alle tre tilfælde, deraf antallet k 0, som angiver den sidste parameter s formel (18) er lig med k 0 = 1+ 3jeg. I tilfælde (a) er der intet tal blandt de karakteristiske rødder k 0 = 1 + 3jeg, Midler, s= 0, og en bestemt løsning har formen

y*(x) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x+N 2 (x)synd 3x) =

= ex( (Økse 2 +Bx+C)cos 3x+(EN 1 x 2 +B 1 x+C 1)synd 3x.

I tilfælde (b) nummeret k 0 = 1 + 3jeg forekommer én gang blandt de karakteristiske rødder, hvilket betyder s = 1 Og

y*(x) = x e x((Økse 2 +Bx+C)cos 3x+(EN 1 x 2 +B 1 x+C 1)synd 3x.

For tilfælde (c) har vi s = 2 og

y*(x) = x 2 e x((Økse 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)synd 3x.

I eksempel 11 indeholder den bestemte løsning to polynomier af grad 2 med ubestemte koefficienter. For at finde en løsning skal du bestemme de numeriske værdier af disse koefficienter. Lad os formulere en generel regel.

At bestemme de ukendte koefficienter for polynomier Hr(x) Og N r(x) lighed (17) differentieres det nødvendige antal gange, og funktionen erstattes y*(x) og dets derivater ind i ligning (16). Ved at sammenligne dens venstre og højre side fås et system af algebraiske ligninger til at finde koefficienterne.

Eksempel 12. Find en løsning til ligningen på¢ ¢ (x) - på¢ (x) - 6på(x) = xe 2x, efter at have bestemt en bestemt løsning af den inhomogene ligning i form af højre side.

Løsning. Den generelle løsning af den inhomogene ligning har formen

på( x) = ` på(x)+ y*(x),

Hvor ` på ( x) - den generelle løsning af den tilsvarende homogene ligning, og y*(x) - bestemt løsning af en ikke-homogen ligning.

Først løser vi den homogene ligning på¢ ¢ (x) - på¢ (x) - 6på(x) = 0. Dens karakteristiske ligning k 2 - k- 6 = 0 har to rødder k 1 = 3,k 2 = - 2, derfor, ` på ( x) = C 1 e 3x + C 2 e - 2x .

Lad os bruge formel (18) til at bestemme typen af ​​en bestemt løsning på*(x). Fungere f(x) = xe 2x repræsenterer et specialtilfælde (a) af formel (17), mens a = 2,b = 0 Og r = 1, dvs. k 0 = 2 + 0i = 2. Sammenligner vi med de karakteristiske rødder, konkluderer vi det s = 0. Ved at erstatte værdierne af alle parametre i formel (18), har vi y*(x) = (Ah + B)e 2x .

For at finde værdierne EN Og I, lad os finde den første og anden ordens afledte af funktionen y*(x) = (Ah + B)e 2x :

y*¢ (x)= Ae 2x + 2(Ah + B)e 2x = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,

y*¢ ¢ (x) = 2Ae 2x + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2x = (4Ah + 4A+ 4B)e 2x .

Efter funktionssubstitution y*(x) og dets afledte ind i den ligning, vi har

(4Ah + 4A+ 4B)e 2x - (2Ah + Ah + 2B)e 2x - 6(Ah + B)e 2x =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Således har en bestemt løsning til den inhomogene ligning formen

y*(x) = (- 1/4x- 3/16)e 2x ,

og den generelle løsning - på ( x) = C 1 e 3x + C 2 e - 2x + (- 1/4x- 3/16)e 2x .

Note 2.I det tilfælde, hvor Cauchy-problemet er stillet for en inhomogen ligning, skal man først finde en generel løsning på ligningen

på( x) = ,

efter at have bestemt alle de numeriske værdier af koefficienterne i på*(x). Brug derefter de indledende betingelser og erstatte dem med den generelle løsning (og ikke i y*(x)), find værdierne af konstanterne C i.

Eksempel 13. Find en løsning på Cauchy-problemet:

på¢ ¢ (x) - på¢ (x) - 6på(x) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (x) = 0.

Løsning. Den generelle løsning på denne ligning er

på(x) = C 1 e 3x + C 2 e - 2x + (- 1/4x- 3/16)e 2x

blev fundet i eksempel 12. For at finde en bestemt løsning, der opfylder startbetingelserne for dette Cauchy-problem, får vi et ligningssystem

Vi har løst det C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Derfor er løsningen på Cauchy-problemet funktionen

på(x) = 1/8e 3x + 1/16e - 2x + (- 1/4x- 3/16)e 2x .

Note 3(superpositionsprincippet). Hvis i en lineær ligning Ln[y(x)]=f(x), Hvor f(x) =f 1 (x)+f 2 (x) Og y* 1 (x) - løsning på ligningen Ln[y(x)]=f 1 (x), EN y* 2 (x) - løsning på ligningen Ln[y(x)]=f 2 (x), derefter funktionen y*(x)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) er løsning af ligningen Ln[y(x)]=f(x).

Eksempel 14. Angiv typen af ​​generel løsning til en lineær ligning

på¢ ¢ (x) + 4på(x) = x + sinx.

Løsning. Generel løsning af den tilsvarende homogene ligning

` på(x) = C 1 cos 2x + C 2 synd 2x,

siden den karakteristiske ligning k 2 + 4 = 0 har rødder k 1, 2 = ± 2jeg.Højre side af ligningen svarer ikke til formel (17), men hvis vi indfører notationen f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx og bruge superpositionsprincippet , så kan en bestemt løsning til den inhomogene ligning findes i formen y*(x)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), Hvor y* 1 (x) - løsning på ligningen på¢ ¢ (x) + 4på(x) = x, EN y* 2 (x) - løsning på ligningen på¢ ¢ (x) + 4på(x) = sinx. Ifølge formel (18)

y* 1 (x) = Axe + B,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.

Så den særlige løsning

y*(x) = Axe + B + Ccosx + Dsinx,

derfor har den generelle løsning formen

på(x) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2x + A x + B + Ccosx + Dsinx.

Eksempel 15. Et elektrisk kredsløb består af en strømkilde forbundet i serie med en emk e(t) = E syndw t, induktans L og containere MED, og

Grundlæggende om løsning af lineære inhomogene andenordens differentialligninger (LNDE-2) med konstante koefficienter (PC)

En 2. ordens LDDE med konstante koefficienter $p$ og $q$ har formen $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, hvor $f\left(x \right)$ er en kontinuerlig funktion.

Med hensyn til LNDU 2 med PC er følgende to udsagn sande.

Lad os antage, at en eller anden funktion $U$ er en vilkårlig partiel løsning af en inhomogen differentialligning. Lad os også antage, at en eller anden funktion $Y$ er den generelle løsning (GS) af den tilsvarende lineære homogene differentialligning (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Så GR for LHDE-2 er lig med summen af ​​de angivne private og generelle løsninger, det vil sige $y=U+Y$.

Hvis højre side af en 2. ordens LMDE er en sum af funktioner, det vil sige $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, så kan vi først finde de PD'er $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, der svarer til til hver af funktionerne $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, og derefter skriv CR LNDU-2 i formen $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Løsning af 2. ordens LPDE med PC

Det er indlysende, at typen af ​​en eller anden PD $U$ af en given LNDU-2 afhænger af den specifikke form af dens højre side $f\left(x\right)$. De enkleste tilfælde af søgning efter PD LNDU-2 er formuleret i form af følgende fire regler.

Regel #1.

Højre side af LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, det vil sige, det kaldes en polynomium af grad $n$. Derefter søges dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, hvor $Q_(n) \left(x\right)$ er en anden polynomium af samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antallet af rødder af den karakteristiske ligning for den tilsvarende LODE-2, der er lig med nul. Koefficienterne for polynomiet $Q_(n) \left(x\right)$ findes ved metoden med ubestemte koefficienter (UK).

Regel nr. 2.

Højre side af LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left( x\right)$ er et polynomium af grad $n$. Derefter søges dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\højre)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, hvor $Q_(n ) \ left(x\right)$ er et andet polynomium af samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antallet af rødder af den karakteristiske ligning for den tilsvarende LODE-2 lig med $\alpha $. Koefficienterne for polynomiet $Q_(n) \left(x\right)$ findes ved NC-metoden.

Regel nr. 3.

Højre side af LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, hvor $a$, $b$ og $\beta$ er kendte tal. Derefter søges dens PD $U$ i formen $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, hvor $A$ og $B$ er ukendte koefficienter, og $r$ er antallet af rødder af den karakteristiske ligning for den tilsvarende LODE-2, lig med $i\cdot \beta $. Koefficienterne $A$ og $B$ findes ved hjælp af den ikke-destruktive metode.

Regel nr. 4.

Højre side af LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, hvor $P_(n) \left(x\right)$ er et polynomium af grad $ n$, og $P_(m) \left(x\right)$ er et polynomium af grad $m$. Derefter søges dens PD $U$ i formen $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, hvor $Q_(s) \left(x\right)$ og $ R_(s) \left(x\right)$ er polynomier af grad $s$, tallet $s$ er maksimum af to tal $n$ og $m$, og $r$ er antallet af rødder af den karakteristiske ligning for den tilsvarende LODE-2, lig med $\alpha +i\cdot \beta $. Koefficienterne for polynomierne $Q_(s) \left(x\right)$ og $R_(s) \left(x\right)$ findes ved NC-metoden.

NK-metoden består i at anvende følgende regel. For at finde de ukendte koefficienter for polynomiet, der er en del af den partielle løsning af den inhomogene differentialligning LNDU-2, er det nødvendigt:

  • erstatte PD $U$, skrevet i generel form, i venstre side af LNDU-2;
  • på venstre side af LNDU-2, udfør forenklinger og gruppeudtryk med samme magt $x$;
  • i den resulterende identitet, sidestille koefficienterne af led med de samme potenser $x$ af venstre og højre side;
  • løse det resulterende system af lineære ligninger for ukendte koefficienter.

Eksempel 1

Opgave: find ELLER LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Find også PD , der opfylder startbetingelserne $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$.

Vi skriver den tilsvarende LOD-2 ned: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Karakteristisk ligning: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Rødderne af den karakteristiske ligning er: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Disse rødder er gyldige og distinkte. Således har OR for den tilsvarende LODE-2 formen: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Højre side af denne LNDU-2 har formen $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Det er nødvendigt at overveje koefficienten for eksponenten $\alpha =3$. Denne koefficient falder ikke sammen med nogen af ​​rødderne til den karakteristiske ligning. Derfor har PD'en for denne LNDU-2 formen $U=\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vi vil søge efter koefficienterne $A$, $B$ ved hjælp af NC-metoden.

Vi finder den første afledte af Tjekkiet:

$U"=\venstre(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi finder den anden afledte af Tjekkiet:

$U""=\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter funktionerne $U""$, $U"$ og $U$ i stedet for $y""$, $y"$ og $y$ i den givne NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Desuden er eksponenten $e^(3\cdot x)$ inkluderet som en faktor i alle komponenter, så kan den udelades. Vi får:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \venstre(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Vi udfører handlingerne på venstre side af den resulterende lighed:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Vi bruger NDT-metoden. Vi får et system af lineære ligninger med to ubekendte:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Løsningen til dette system er: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ for vores problem ser sådan ud: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ELLER $y=Y+U$ for vores problem ser sådan ud: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ venstre(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

For at søge efter en PD, der opfylder de givne startbetingelser, finder vi den afledte $y"$ af OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\venstre(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter med $y$ og $y"$ startbetingelserne $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Vi modtog et ligningssystem:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Lad os løse det. Vi finder $C_(1) $ ved hjælp af Cramers formel, og $C_(2) $ bestemmer vi ud fra den første ligning:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\venstre(-3\højre)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Således har PD af denne differentialligning formen: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\venstre(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Denne artikel behandler spørgsmålet om at løse lineære inhomogene andenordens differentialligninger med konstante koefficienter. Teorien vil blive diskuteret sammen med eksempler på givne problemstillinger. For at tyde uklare udtryk er det nødvendigt at henvise til emnet om de grundlæggende definitioner og begreber i teorien om differentialligninger.

Lad os overveje en lineær differentialligning (LDE) af anden orden med konstante koefficienter af formen y "" + p · y " + q · y = f (x), hvor p og q er vilkårlige tal, og den eksisterende funktion f (x) er kontinuerlig på integrationsintervallet x.

Lad os gå videre til formuleringen af ​​teoremet for den generelle løsning af LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Generel løsningssætning for LDNU

Sætning 1

En generel løsning, placeret på intervallet x, af en inhomogen differentialligning af formen y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) +. . . + f 0 (x) · y = f (x) med kontinuerte integrationskoefficienter på x-intervallet f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) og en kontinuert funktion f (x) er lig med summen af ​​den generelle løsning y 0, som svarer til LOD og en bestemt løsning y ~, hvor den oprindelige inhomogene ligning er y = y 0 + y ~.

Dette viser, at løsningen til en sådan andenordens ligning har formen y = y 0 + y ~ . Algoritmen til at finde y 0 er diskuteret i artiklen om lineære homogene andenordens differentialligninger med konstante koefficienter. Hvorefter vi skal gå videre til definitionen af ​​y ~.

Valget af en bestemt løsning til LPDE afhænger af typen af ​​den tilgængelige funktion f (x) placeret på højre side af ligningen. For at gøre dette er det nødvendigt at overveje separat løsningerne af lineære inhomogene andenordens differentialligninger med konstante koefficienter.

Når f (x) anses for at være et polynomium af n. grad f (x) = P n (x), følger det, at en bestemt løsning af LPDE findes ved hjælp af en formel på formen y ~ = Q n (x ) x γ, hvor Q n ( x) er et polynomium af grad n, r er antallet af nulrødder af den karakteristiske ligning. Værdien y ~ er en bestemt løsning y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , derefter de tilgængelige koefficienter, som er defineret af polynomiet
Q n (x), finder vi ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter fra ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Eksempel 1

Beregn ved hjælp af Cauchys sætning y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Løsning

Med andre ord er det nødvendigt at gå videre til en bestemt løsning af en lineær inhomogen differentialligning af anden orden med konstante koefficienter y "" - 2 y " = x 2 + 1, som vil opfylde de givne betingelser y (0) = 2, y" (0) = 14.

Den generelle løsning af en lineær inhomogen ligning er summen af ​​den generelle løsning, som svarer til ligningen y 0 eller en særlig løsning til den inhomogene ligning y ~, det vil sige y = y 0 + y ~.

Først finder vi en generel løsning for LNDU, og derefter en bestemt.

Lad os gå videre til at finde y 0. At skrive den karakteristiske ligning ned vil hjælpe dig med at finde rødderne. Det forstår vi

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Vi fandt ud af, at rødderne er anderledes og ægte. Lad os derfor skrive ned

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Lad os finde y ~ . Det kan ses, at højre side af den givne ligning er et polynomium af anden grad, så er en af ​​rødderne lig nul. Ud fra dette får vi, at en bestemt løsning for y ~ vil være

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, hvor værdierne af A, B, C antager ubestemte koefficienter.

Lad os finde dem ud fra en lighed af formen y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Så får vi det:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ved at sidestille koefficienterne med de samme eksponenter for x får vi et system af lineære udtryk - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Når vi løser med en af ​​metoderne, finder vi koefficienterne og skriver: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 og y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Denne post kaldes den generelle løsning af den oprindelige lineære inhomogene andenordens differentialligning med konstante koefficienter.

For at finde en bestemt løsning, der opfylder betingelserne y (0) = 2, y "(0) = 1 4, er det nødvendigt at bestemme værdierne C 1 Og C 2, baseret på en lighed af formen y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Vi får det:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Vi arbejder med det resulterende ligningssystem af formen C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, hvor C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Ved at anvende Cauchys sætning, har vi det

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Svar: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Når funktionen f (x) er repræsenteret som produktet af et polynomium med grad n og en eksponent f (x) = P n (x) · e a x , så får vi, at en bestemt løsning af andenordens LPDE vil være en ligning af formen y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, hvor Q n (x) er et polynomium af n. grad, og r er antallet af rødder af den karakteristiske ligning lig med α.

Koefficienterne tilhørende Q n (x) findes ved ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 2

Find den generelle løsning til en differentialligning på formen y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Løsning

Den generelle ligning er y = y 0 + y ~ . Den angivne ligning svarer til LOD y "" - 2 y " = 0. Fra det foregående eksempel kan det ses, at dets rødder er lige store k 1 = 0 og k 2 = 2 og y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ved den karakteristiske ligning.

Det kan ses, at højre side af ligningen er x 2 + 1 · e x. Herfra findes LPDE gennem y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, hvor Q n (x) er et polynomium af anden grad, hvor α = 1 og r = 0, fordi den karakteristiske ligning ikke har en rod lig med 1. Det får vi herfra

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C er ukendte koefficienter, der kan findes ved ligheden y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Forstået

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Vi sidestiller indikatorerne med de samme koefficienter og får et system af lineære ligninger. Herfra finder vi A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Svar: det er klart, at y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 er en bestemt løsning af LNDDE, og y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - en generel løsning for en andenordens inhomogen differensligning.

Når funktionen skrives som f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, og A 1 Og I 1 er tal, så anses en partiel løsning af LPDE for at være en ligning af formen y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, hvor A og B betragtes som ubestemte koefficienter, og r er antallet af komplekse konjugerede rødder relateret til den karakteristiske ligning, lig med ± i β . I dette tilfælde udføres søgningen efter koefficienter ved hjælp af ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Eksempel 3

Find den generelle løsning til en differentialligning på formen y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Løsning

Før vi skriver den karakteristiske ligning, finder vi y 0. Derefter

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

Vi har et par komplekse konjugerede rødder. Lad os transformere og få:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Rødderne af den karakteristiske ligning anses for at være det konjugerede par ± 2 i, så f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Dette viser, at søgningen efter y ~ vil blive foretaget ud fra y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Ukendte Vi vil lede efter koefficienterne A og B fra en lighed af formen y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Lad os konvertere:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Så er det klart at

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Det er nødvendigt at sidestille koefficienterne for sinus og cosinus. Vi får et system af formen:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Det følger, at y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Svar: den generelle løsning af den originale andenordens LDDE med konstante koefficienter overvejes

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Når f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), så er y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Vi har, at r er antallet af komplekse konjugerede par af rødder relateret til den karakteristiske ligning, lig med α ± i β, hvor P n (x), Q k (x), L m (x) og Nm(x) er polynomier af grad n, k, m, m, hvor m = m a x (n, k). At finde koefficienter Lm(x) Og Nm(x) er lavet ud fra ligheden y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 4

Find den generelle løsning y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Løsning

Ifølge betingelsen er det klart, at

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Så er m = m a x (n, k) = 1. Vi finder y 0 ved først at skrive en karakteristisk ligning af formen:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Vi fandt ud af, at rødderne er ægte og tydelige. Derfor y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Dernæst er det nødvendigt at lede efter en generel løsning baseret på den inhomogene ligning y ~ af formen

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Det er kendt, at A, B, C er koefficienter, r = 0, fordi der ikke er et par konjugerede rødder relateret til den karakteristiske ligning med α ± i β = 3 ± 5 · i. Vi finder disse koefficienter fra den resulterende lighed:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

At finde den afledte og lignende udtryk giver

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Efter at have ligestillet koefficienterne får vi et system af formen

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Af alt følger det

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Svar: Nu har vi fået en generel løsning til den givne lineære ligning:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritme til løsning af LDNU

Definition 1

Enhver anden type funktion f (x) for løsning kræver overholdelse af løsningsalgoritmen:

  • finde en generel løsning til den tilsvarende lineære homogene ligning, hvor y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, hvor y 1 Og y 2 er lineært uafhængige delløsninger af LODE, C 1 Og C 2 betragtes som vilkårlige konstanter;
  • adoption som en generel løsning af LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
  • bestemmelse af afledte af en funktion gennem et system af formen C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , og finde funktioner C 1 (x) og C2(x) gennem integration.

Eksempel 5

Find den generelle løsning for y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Løsning

Vi fortsætter med at skrive den karakteristiske ligning, efter at have skrevet y 0, y "" + 36 y = 0. Lad os skrive og løse:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Vi har, at den generelle løsning af den givne ligning vil blive skrevet som y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Det er nødvendigt at gå videre til definitionen af ​​afledte funktioner C 1 (x) Og C2(x) efter et system med ligninger:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Der skal tages stilling vedr C 1" (x) Og C 2" (x) ved hjælp af enhver metode. Så skriver vi:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Hver af ligningerne skal integreres. Så skriver vi de resulterende ligninger:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Det følger heraf, at den generelle løsning vil have formen:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C4 sin (6 x)

Svar: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter