Komplekse derivater. Logaritmisk afledt.
Afledt af en potenseksponentiel funktion

Vi fortsætter med at forbedre vores differentieringsteknik. I denne lektion vil vi konsolidere det materiale, vi har dækket, se på mere komplekse afledte og også stifte bekendtskab med nye teknikker og tricks til at finde en afledt, især med den logaritmiske afledte.

Til de læsere, der har lavt niveau forberedelse, bør du henvise til artiklen Hvordan finder man derivatet? Eksempler på løsninger, som giver dig mulighed for at hæve dine færdigheder næsten fra bunden. Dernæst skal du omhyggeligt studere siden Afledt af en kompleks funktion, forstå og løse Alle de eksempler jeg gav. Denne lektion er logisk den tredje i rækken, og efter at have mestret den, vil du med sikkerhed differentiere ret komplekse funktioner. Det er uønsket at indtage holdningen "Hvor ellers? Ja, det er nok!”, da alle eksempler og løsninger er taget fra virkeligheden tests og ses ofte i praksis.

Lad os starte med gentagelser. Ved lektionen Afledt af en kompleks funktion Vi så på en række eksempler med detaljerede kommentarer. Under studiet af differentialregning og andre afsnit matematisk analyse– du bliver nødt til at differentiere meget ofte, og det er ikke altid praktisk (og ikke altid nødvendigt) at beskrive eksempler i detaljer. Derfor vil vi øve os i at finde derivater mundtligt. De mest egnede "kandidater" til dette er afledte af de enkleste af komplekse funktioner, for eksempel:

Efter differentieringsreglen kompleks funktion :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er en sådan detaljeret registrering oftest ikke påkrævet; det antages, at eleven ved, hvordan man finder sådanne afledte på autopilot. Lad os forestille os, at der ved 3-tiden om morgenen var en telefon opkald, Og en behagelig stemme spurgte: "Hvad er den afledede af tangenten af ​​to X'er?" Dette bør efterfølges af et næsten øjeblikkeligt og høfligt svar: .

Det første eksempel vil umiddelbart være beregnet til selvstændig beslutning.

Eksempel 1

Find følgende afledninger mundtligt, i én handling, for eksempel: . For at fuldføre opgaven skal du kun bruge tabel over afledte elementære funktioner(hvis du ikke har husket det endnu). Hvis du har problemer, anbefaler jeg, at du læser lektionen igen Afledt af en kompleks funktion.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar i slutningen af ​​lektionen

Komplekse derivater

Efter indledende artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 rede af funktioner være mindre skræmmende. Måske vil de følgende to eksempler virke komplicerede for nogle, men hvis du forstår dem (nogen vil lide), så næsten alt andet i differentialregning Det vil virke som en barnejoke.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Som allerede nævnt, når man finder derivatet af en kompleks funktion, er det først og fremmest nødvendigt Højre FORSTÅ dine investeringer. I tilfælde, hvor der er tvivl, minder jeg dig om brugbart trick: vi tager for eksempel den eksperimentelle værdi af "x", og forsøger (mentalt eller i et udkast) at erstatte givet værdi til et "forfærdeligt udtryk".

1) Først skal vi beregne udtrykket, hvilket betyder, at summen er den dybeste indlejring.

2) Så skal du beregne logaritmen:

4) Sæt derefter cosinus i terninger:

5) På det femte trin er forskellen:

6) Og endelig er den yderste funktion kvadratroden:

Formel til at differentiere en kompleks funktion vil blive brugt i omvendt rækkefølge, fra den yderste funktion til den inderste. Vi beslutter:

Der er vist ingen fejl...

(1) Tag den afledede af kvadratroden.

(2) Vi tager den afledede af forskellen ved at bruge reglen

(3) Den afledte af en tripel er nul. I andet led tager vi den afledede af graden (terningen).

(4) Tag derivatet af cosinus.

(5) Tag den afledede af logaritmen.

(6) Og endelig tager vi derivatet af den dybeste indlejring.

Det kan virke for svært, men dette er ikke det mest brutale eksempel. Tag for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sætte pris på al skønheden og enkelheden i det analyserede derivat. Jeg bemærkede, at de kan lide at give en lignende ting i en eksamen for at kontrollere, om en studerende forstår, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion eller ikke forstår.

Følgende eksempel skal du løse på egen hånd.

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Tip: Først anvender vi linearitetsreglerne og produktdifferentieringsreglen

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Det er tid til at gå videre til noget mindre og pænere.
Det er ikke ualmindeligt, at et eksempel viser produktet af ikke to, men tre funktioner. Sådan finder du den afledte af produkter af tre multiplikatorer?

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Først ser vi, er det muligt at omdanne produktet af tre funktioner til produktet af to funktioner? For eksempel, hvis vi havde to polynomier i produktet, så kunne vi åbne parenteserne. Men i det undersøgte eksempel er alle funktionerne forskellige: grad, eksponent og logaritme.

I sådanne tilfælde er det nødvendigt sekventielt anvende produktdifferentieringsreglen to gange

Tricket er, at vi med "y" betegner produktet af to funktioner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette lade sig gøre? Er det virkelig – dette er ikke et produkt af to faktorer, og reglen virker ikke?! Der er ikke noget kompliceret:

Nu er det tilbage at anvende reglen en anden gang til parentes:

Du kan stadig være pervers og tage noget ud af parentes, men ind I dette tilfælde Det er bedre at efterlade svaret i denne formular - det vil være lettere at kontrollere.

Det betragtede eksempel kan løses på den anden måde:

Begge løsninger er absolut ligeværdige.

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning; i prøven er det løst ved hjælp af den første metode.

Lad os se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Der er flere måder, du kan gå her:

Eller sådan her:

Men løsningen bliver skrevet mere kompakt, hvis vi først bruger reglen om differentiering af kvotienten , tager for hele tælleren:

I princippet er eksemplet løst, og hvis det efterlades som det er, vil det ikke være en fejl. Men hvis du har tid, er det altid tilrådeligt at tjekke en kladde for at se, om svaret kan forenkles? Lad os reducere tællerens udtryk til fællesnævner Og lad os slippe af med den tre-etagers fraktion:

Ulempen ved yderligere forenklinger er, at der er risiko for at begå en fejl, ikke når man finder den afledte, men under banale skoletransformationer. På den anden side afviser lærere ofte opgaven og beder om at "bringe det i tankerne" om det afledte.

Et lettere eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Vi fortsætter med at mestre metoderne til at finde den afledede, og nu vil vi overveje et typisk tilfælde, hvor den "forfærdelige" logaritme foreslås til differentiering

Eksempel 8

Find den afledede af en funktion

Her kan du gå den lange vej ved at bruge reglen til at differentiere en kompleks funktion:

Men det allerførste skridt kaster dig straks ud i modløshed - du er nødt til at tage den ubehagelige afledning af brøkkraft, og så også fra brøken.

Derfor Før hvordan man tager den afledede af en "sofistikeret" logaritme, det er først forenklet ved hjælp af velkendte skoleegenskaber:

! Hvis du har en øvelsesnotesbog ved hånden, skal du kopiere disse formler direkte dertil. Hvis du ikke har en notesbog, så kopier den over på et stykke papir, da de resterende eksempler i lektionen vil dreje sig om disse formler.

Selve løsningen kan skrives sådan her:

Lad os omdanne funktionen:

Sådan finder du den afledede:

Forhåndskonvertering af selve funktionen forenklede løsningen betydeligt. Når en lignende logaritme foreslås til differentiering, er det derfor altid tilrådeligt at "nedbryde den".

Og nu et par enkle eksempler, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Find den afledede af en funktion

Eksempel 10

Find den afledede af en funktion

Alle transformationer og svar er i slutningen af ​​lektionen.

Logaritmisk afledt

Hvis afledten af ​​logaritmer er så sød musik, så opstår spørgsmålet: er det i nogle tilfælde muligt at organisere logaritmen kunstigt? Kan! Og endda nødvendigt.

Eksempel 11

Find den afledede af en funktion

Vi har for nylig set på lignende eksempler. Hvad skal man gøre? Du kan sekventielt anvende reglen om differentiering af kvotienten og derefter reglen om differentiering af produktet. Ulempen ved denne metode er, at du ender med en enorm tre-etagers fraktion, som du slet ikke ønsker at beskæftige dig med.

Men i teori og praksis er der sådan en vidunderlig ting som den logaritmiske afledte. Logaritmer kan organiseres kunstigt ved at "hænge" dem på begge sider:

Nu skal du "disintegrere" logaritmen af ​​højre side så meget som muligt (formler foran dine øjne?). Jeg vil beskrive denne proces meget detaljeret:

Lad os starte med differentiering.
Vi afslutter begge dele under primeord:

Afledningen af ​​højre side er ret enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du læser denne tekst, burde du være i stand til at håndtere den med tillid.

Hvad med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funktion. Jeg forudser spørgsmålet: "Hvorfor, er der et bogstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er, at dette "et bogstavsspil" - ER SELV EN FUNKTION(hvis det ikke er meget tydeligt, henvises til artiklen Afledt af en funktion angivet implicit). Derfor er logaritmen en ekstern funktion, og "y" er intern funktion. Og vi bruger reglen til at differentiere en kompleks funktion :

På venstre side, som ved et trylleslag tryllestav vi har en afledt . Derefter overfører vi ifølge proportionsreglen "y" fra nævneren på venstre side til toppen af ​​højre side:

Og lad os nu huske, hvilken slags "spiller"-funktion vi talte om under differentieringen? Lad os se på tilstanden:

Endeligt svar:

Eksempel 12

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Eksempel design eksempel af denne type i slutningen af ​​lektionen.

Ved at bruge den logaritmiske afledte var det muligt at løse et hvilket som helst af eksemplerne nr. 4-7, en anden ting er, at funktionerne der er enklere, og måske er brugen af ​​den logaritmiske afledte ikke særlig berettiget.

Afledt af en potenseksponentiel funktion

Vi har ikke overvejet denne funktion endnu. En potenseksponentiel funktion er en funktion, for hvilken både graden og grundtallet afhænger af "x". Klassisk eksempel, som vil blive givet til dig i enhver lærebog eller ved enhver forelæsning:

Hvordan finder man den afledede af en potenseksponentiel funktion?

Det er nødvendigt at bruge den netop omtalte teknik - den logaritmiske afledte. Vi hænger logaritmer på begge sider:

Som regel tages graden på højre side fra under logaritmen:

Som et resultat har vi på højre side produktet af to funktioner, som vil blive differentieret med standard formel .

Vi finder den afledede; for at gøre dette omslutter vi begge dele under streger:

Yderligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, bedes du genlæse forklaringerne i eksempel #11 omhyggeligt.

I praktiske opgaver Power-eksponentialfunktionen vil altid være mere kompleks end det eksempel, der blev diskuteret i forelæsningen.

Eksempel 13

Find den afledede af en funktion

Vi bruger den logaritmiske afledte.

På højre side har vi en konstant og produktet af to faktorer - "x" og "logaritme af logaritme x" (en anden logaritme er indlejret under logaritmen). Når man differentierer, er det, som vi husker, bedre straks at flytte konstanten ud af det afledte tegn, så det ikke kommer i vejen; og vi anvender selvfølgelig den velkendte regel :

Som du kan se, indeholder algoritmen til at bruge den logaritmiske afledte ingen specielle tricks eller tricks, og at finde den afledede af en potenseksponentiel funktion er normalt ikke forbundet med "pine".

Der gives eksempler på beregning af afledte ved hjælp af formlen for afledede af en kompleks funktion.

Her giver vi eksempler på beregning af afledte af følgende funktioner:
; ; ; ; .

Hvis en funktion kan repræsenteres som en kompleks funktion i følgende formular:
,
så bestemmes dens afledte af formlen:
.
I eksemplerne nedenfor vil vi skrive denne formel som følger:
.
Hvor .
Her angiver de sænkede eller , placeret under det afledede tegn, de variable, hvormed differentiering udføres.

Normalt er der i afledte tabeller givet afledte funktioner fra variablen x. Men x er en formel parameter. Variablen x kan erstattes af enhver anden variabel. Derfor, når vi differentierer en funktion fra en variabel, ændrer vi blot i tabellen over afledte variablen x til variablen u.

Simple eksempler

Eksempel 1

Find den afledede af en kompleks funktion
.

Løsning

Lad os skrive det ned givet funktion i tilsvarende form:
.
I tabellen over afledte finder vi:
;
.

Ifølge formlen for den afledede af en kompleks funktion har vi:
.
Her .

Svar

Eksempel 2

Find den afledede
.

Løsning

Vi tager konstanten 5 ud af afledt fortegnet og fra tabellen over afledte finder vi:
.

.
Her .

Svar

Eksempel 3

Find den afledede
.

Løsning

Vi tager en konstant ud -1 for tegnet for den afledte og fra tabellen over afledte finder vi:
;
Fra tabellen over afledte finder vi:
.

Vi anvender formlen for den afledede af en kompleks funktion:
.
Her .

Svar

Mere komplekse eksempler

I mere komplekse eksempler vi anvender reglen for at differentiere en kompleks funktion flere gange. I dette tilfælde beregner vi den afledte fra slutningen. Det vil sige, at vi opdeler funktionen i dens bestanddele og finder afledningerne af de simpleste dele vha tabel over derivater. Vi bruger også regler for differentiering af beløb, produkter og fraktioner. Derefter foretager vi substitutioner og anvender formlen for den afledte af en kompleks funktion.

Eksempel 4

Find den afledede
.

Løsning

Lad os fremhæve det meste enkel del formel og find dens afledte. .

.
Her har vi brugt notationen
.

Vi finder den afledede af den næste del af den oprindelige funktion ved at bruge de opnåede resultater. Vi anvender reglen for at differentiere summen:
.

Igen anvender vi reglen om differentiering af komplekse funktioner.

.
Her .

Svar

Eksempel 5

Find den afledede af funktionen
.

Løsning

Lad os vælge den enkleste del af formlen og finde dens afledte fra tabellen over afledte. .

Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner.
.
Her
.

Beslutte fysiske opgaver eller eksempler i matematik er fuldstændig umuligt uden kendskab til den afledede og metoder til at beregne den. Afledt er en af de vigtigste begreber matematisk analyse. Det her grundlæggende emne vi besluttede at dedikere dagens artikel. Hvad er et derivat, hvad er dets fysiske og geometrisk betydning hvordan beregner man den afledede af en funktion? Alle disse spørgsmål kan kombineres til ét: hvordan forstår man derivatet?

Geometrisk og fysisk betydning af afledte

Lad der være en funktion f(x) , angivet i et bestemt interval (a, b) . Punkterne x og x0 hører til dette interval. Når x ændres, ændres selve funktionen. Ændring af argumentet - forskellen i dets værdier x-x0 . Denne forskel skrives som delta x og kaldes argumenttilvækst. En ændring eller stigning af en funktion er forskellen mellem værdierne af en funktion i to punkter. Definition af afledt:

Den afledede af en funktion i et punkt er grænsen for forholdet mellem funktionens stigning i et givet punkt og stigningen i argumentet, når sidstnævnte har en tendens til nul.

Ellers kan det skrives sådan her:

Hvad er meningen med at finde en sådan grænse? Og her er hvad det er:

den afledede af en funktion i et punkt er lig med tangenten af ​​vinklen mellem OX-aksen og tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt.

Fysisk betydning afledte: den afledte af stien med hensyn til tid er lig med hastigheden af ​​retlinet bevægelse.

Faktisk, siden skoletiden ved alle, at hastighed er en bestemt vej x=f(t) og tid t . gennemsnitshastighed i en vis periode:

For at finde ud af bevægelseshastigheden på et tidspunkt t0 du skal beregne grænsen:

Regel 1: Indstil en konstant

Konstanten kan tages ud af det afledte tegn. Desuden skal dette gøres. Når du løser eksempler i matematik, så tag det som en regel - Hvis du kan forenkle et udtryk, skal du sørge for at forenkle det .

Eksempel. Lad os beregne den afledede:

Regel to: afledet af summen af ​​funktioner

Den afledte af summen af ​​to funktioner er lig med summen af ​​disse funktioners afledte. Det samme gælder for den afledte af forskellen mellem funktioner.

Vi vil ikke give et bevis for denne sætning, men snarere overveje et praktisk eksempel.

Find den afledede af funktionen:

Regel tre: afledt af produktet af funktioner

Den afledte af produktet af to differentiable funktioner beregnes ved formlen:

Eksempel: find den afledede af en funktion:

Løsning:

Det er vigtigt at tale om beregning af afledte af komplekse funktioner her. Den afledte af en kompleks funktion er lig med produktet af den afledede af denne funktion med hensyn til det mellemliggende argument og den afledte af det mellemliggende argument med hensyn til den uafhængige variabel.

I ovenstående eksempel støder vi på udtrykket:

I dette tilfælde er mellemargumentet 8x i femte potens. For at beregne den afledede af et sådant udtryk, beregner vi først den afledede af den eksterne funktion i forhold til mellemargumentet og multiplicerer derefter med den afledede af selve mellemargumentet med hensyn til den uafhængige variabel.

Regel fire: afledt af kvotienten af ​​to funktioner

Formel til bestemmelse af den afledede af kvotienten af ​​to funktioner:

Vi forsøgte at tale om derivater til dummies fra bunden. Dette emne er ikke så simpelt, som det ser ud til, så vær advaret: Der er ofte faldgruber i eksemplerne, så vær forsigtig, når du beregner derivater.

Ved spørgsmål om dette og andre emner kan du kontakte elevservicen. Bag kort sigt Vi hjælper dig med at løse de sværeste tests og løse problemer, selvom du aldrig har lavet afledte beregninger før.

Definition. Lad funktionen \(y = f(x) \) defineres i et bestemt interval, der indeholder punktet \(x_0\) i sig selv. Lad os give argumentet en stigning \(\Delta x \), således at det ikke forlader dette interval. Lad os finde den tilsvarende forøgelse af funktionen \(\Delta y \) (når vi flytter fra punktet \(x_0 \) til punktet \(x_0 + \Delta x \)) og komponere relationen \(\frac(\Delta) y)(\Delta x) \). Hvis der er en grænse for dette forhold ved \(\Delta x \rightarrow 0\), så kaldes den angivne grænse afledet af en funktion\(y=f(x) \) ved punktet \(x_0 \) og angiv \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolet y bruges ofte til at betegne den afledede." Bemærk, at y" = f(x) er ny funktion, men naturligt forbundet med funktionen y = f(x), defineret ved alle punkter x, hvor ovenstående grænse eksisterer. Denne funktion kaldes sådan: afledet af funktionen y = f(x).

Geometrisk betydning af afledte er som følgende. Hvis det er muligt at tegne en tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punktet med abscisse x=a, som ikke er parallel med y-aksen, så udtrykker f(a) hældningen af ​​tangenten :
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), så er ligheden \(f"(a) = tan(a) \) sand.

Lad os nu fortolke definitionen af ​​derivat ud fra synspunktet om omtrentlige ligheder. Lad funktionen \(y = f(x)\) have en afledet i et bestemt punkt \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dette betyder, at nær punktet x den omtrentlige lighed \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), dvs. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Den meningsfulde betydning af den resulterende omtrentlige lighed er som følger: stigningen af ​​funktionen er "næsten proportional" med stigningen af ​​argumentet, og proportionalitetskoefficienten er værdien af ​​den afledte i givet point X. For eksempel, for funktionen \(y = x^2\) er den omtrentlige lighed \(\Delta y \ca. 2x \cdot \Delta x \) gyldig. Hvis vi omhyggeligt analyserer definitionen af ​​en afledt, vil vi opdage, at den indeholder en algoritme til at finde den.

Lad os formulere det.

Hvordan finder man den afledede af funktionen y = f(x)?

1. Ret værdien af ​​\(x\), find \(f(x)\)
2. Giv argumentet \(x\) et trin \(\Delta x\), gå til nyt punkt\(x+ \Delta x \), find \(f(x+ \Delta x) \)
3. Find tilvæksten af ​​funktionen: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Opret relationen \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Beregn $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Denne grænse er den afledede af funktionen i punkt x.

Hvis en funktion y = f(x) har en afledet i et punkt x, så kaldes den differentiabel i et punkt x. Fremgangsmåden for at finde den afledede af funktionen y = f(x) kaldes differentiering funktioner y = f(x).

Lad os diskutere følgende spørgsmål: hvordan er kontinuitet og differentierbarhed af en funktion på et punkt relateret til hinanden?

Lad funktionen y = f(x) være differentiabel i punktet x. Derefter kan der tegnes en tangent til grafen for funktionen i punktet M(x; f(x)), og husk, tangens vinkelkoefficient er lig med f "(x). En sådan graf kan ikke "knække" ved punkt M, dvs. funktionen skal være kontinuert i punkt x.

Disse var "hands-on" argumenter. Lad os give en mere stringent begrundelse. Hvis funktionen y = f(x) er differentiabel i punktet x, så gælder den omtrentlige lighed \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Hvis i denne lighed \(\Delta x \) har en tendens til nul, så vil \(\Delta y \) vende mod nul, og dette er betingelsen for kontinuiteten af ​​funktionen i et punkt.

Så, hvis en funktion er differentierbar i et punkt x, så er den kontinuert på det punkt.

Det omvendte udsagn er ikke sandt. For eksempel: funktion y = |x| er kontinuert overalt, især i punktet x = 0, men tangenten til grafen for funktionen i "forbindelsespunktet" (0; 0) eksisterer ikke. Hvis en tangent på et tidspunkt ikke kan trækkes til grafen for en funktion, så eksisterer den afledede ikke på det punkt.

Endnu et eksempel. Funktionen \(y=\sqrt(x)\) er kontinuert på hele tallinjen, inklusive i punktet x = 0. Og tangenten til funktionens graf findes på ethvert punkt, inklusive i punktet x = 0 Men på dette tidspunkt falder tangenten sammen med y-aksen, dvs. den er vinkelret på abscisseaksen, dens ligning har formen x = 0. Hældningskoefficient sådan en linje har ikke, hvilket betyder at \(f"(0) \) heller ikke eksisterer

Så vi stiftede bekendtskab med en ny egenskab ved en funktion - differentiabilitet. Hvordan kan man ud fra grafen for en funktion konkludere, at den er differentierbar?

Svaret er faktisk givet ovenfor. Hvis det på et tidspunkt er muligt at tegne en tangent til grafen for en funktion, der ikke er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt differentierbar. Hvis tangenten til grafen for en funktion på et tidspunkt ikke eksisterer, eller den er vinkelret på abscisseaksen, så er funktionen på dette tidspunkt ikke differentierbar.

Regler for differentiering

Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering. Når du udfører denne operation, skal du ofte arbejde med kvotienter, summer, produkter af funktioner såvel som "funktioner af funktioner", det vil sige komplekse funktioner. Ud fra definitionen af ​​afledt kan vi udlede differentieringsregler, der gør dette arbejde lettere. Hvis C - konstant tal og f=f(x), g=g(x) er nogle differentiable funktioner, så er følgende sande differentieringsregler:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Afledt af en kompleks funktion:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabel over afledte funktioner af nogle funktioner

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Der gives et bevis på formlen for den afledede af en kompleks funktion. Tilfælde, hvor en kompleks funktion afhænger af en eller to variable, overvejes i detaljer. Der foretages en generalisering af sagen ethvert nummer variabler.

Her præsenterer vi konklusionen følgende formler for den afledede af en kompleks funktion.
Hvis så
.
Hvis så
.
Hvis så
.

Afledt af en kompleks funktion fra en variabel

Lad en funktion af variabel x repræsenteres som en kompleks funktion i følgende form:
,
hvor der er nogle funktioner. Funktionen er differentierbar for en eller anden værdi af variablen x. Funktionen er differentierbar ved værdien af ​​variablen.
Så er den komplekse (sammensatte) funktion differentierbar ved punkt x, og dens afledte bestemmes af formlen:
(1) .

Formel (1) kan også skrives som følger:
;
.

Bevis

Lad os introducere følgende notation.
;
.
Her er der en funktion af variablerne og , der er en funktion af variablerne og . Men vi vil udelade argumenterne for disse funktioner for ikke at rode i beregningerne.

Da funktionerne og er differentiable i henholdsvis punkterne x og , så er der ved disse punkter afledte af disse funktioner, som er følgende grænser:
;
.

Overvej følgende funktion:
.
For en fast værdi af variablen u, er en funktion af . Det er indlysende
.
Derefter
.

Da funktionen er en differentierbar funktion på punktet, er den kontinuerlig på det punkt. Derfor
.
Derefter
.

Nu finder vi den afledte.

.

Formlen er bevist.

Følge

Hvis en funktion af en variabel x kan repræsenteres som en kompleks funktion af en kompleks funktion
,
så bestemmes dens afledte af formlen
.
Her og der er nogle differentierbare funktioner.

For at bevise denne formel beregner vi sekventielt den afledede ved hjælp af reglen til differentiering af en kompleks funktion.
Overvej den komplekse funktion
.
Dens afledte
.
Overvej den oprindelige funktion
.
Dens afledte
.

Afledt af en kompleks funktion fra to variable

Lad nu den komplekse funktion afhænge af flere variable. Lad os først se på tilfælde af en kompleks funktion af to variable.

Lad en funktion afhængig af variablen x være repræsenteret som en kompleks funktion af to variable i følgende form:
,
Hvor
og der er differentierbare funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- en funktion af to variable, der kan differentieres ved punktet , . Så er den komplekse funktion defineret i et bestemt område af punktet og har en afledt, som bestemmes af formlen:
(2) .

Bevis

Da funktionerne og er differentierbare ved punktet, er de defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerte i punktet, og deres afledte eksisterer i punktet, som er følgende grænser:
;
.
Her
;
.
På grund af kontinuiteten i disse funktioner på et tidspunkt har vi:
;
.

Da funktionen er differentierbar på punktet, er den defineret i et bestemt område af dette punkt, er kontinuerlig på dette punkt, og dens stigning kan skrives i følgende form:
(3) .
Her

- stigning af en funktion, når dens argumenter øges med værdier og ;
;

- partielle afledninger af funktionen med hensyn til variablerne og .
For faste værdier af og , og er funktioner af variablerne og . De har en tendens til nul ved og:
;
.
Siden og, da
;
.

Funktionsstigning:

. :
.
Lad os erstatte (3):



.

Formlen er bevist.

Afledt af en kompleks funktion fra flere variable

Ovenstående konklusion kan let generaliseres til det tilfælde, hvor antallet af variable i en kompleks funktion er mere end to.

For eksempel, hvis f er funktion af tre variable, At
,
Hvor
, og der er differentierbare funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- differentierbar funktion af tre variable ved punkt , , .
Så har vi fra definitionen af ​​differentiabilitet af funktionen:
(4)
.
Fordi på grund af kontinuitet,
; ; ,
At
;
;
.

Ved at dividere (4) med og gå til grænsen får vi:
.

Og endelig, lad os overveje mest almindelig sag .
Lad en funktion af variabel x repræsenteres som en kompleks funktion af n variable i følgende form:
,
Hvor
der er differentiable funktioner for en eller anden værdi af variablen x;
- differentierbar funktion af n variable i et punkt
, , ... , .
Derefter
.