4 afledet af en kompleks funktion. Afledt af en funktion

Hvis g(x) Og f(u) – differentiable funktioner af deres argumenter, henholdsvis på punkter x Og u= g(x), så er den komplekse funktion også differentierbar på punktet x og findes ved formlen

En typisk fejl ved løsning af afledte problemer er mekanisk overførsel af reglerne for differentiering af simple funktioner til komplekse funktioner. Lad os lære at undgå denne fejl.

Eksempel 2. Find den afledede af en funktion

Forkert løsning: beregn den naturlige logaritme for hvert led i parentes og se efter summen af ​​de afledte:

Korrekt løsning: igen bestemmer vi, hvor "æblet" er, og hvor "hakket kød" er. Her er den naturlige logaritme af udtrykket i parentes et "æble", det vil sige en funktion over det mellemliggende argument u, og udtrykket i parentes er "hakket kød", altså et mellemargument u ved uafhængig variabel x.

Derefter (ved hjælp af formel 14 fra derivattabellen)

I mange virkelige problemer kan udtrykket med en logaritme være noget mere kompliceret, hvorfor der er en lektie

Eksempel 3. Find den afledede af en funktion

Forkert løsning:

Korrekt løsning. Endnu en gang bestemmer vi, hvor "æblet" er, og hvor "farsen" er. Her er cosinus for udtrykket i parentes (formel 7 i tabellen over afledte) et "æble", det er fremstillet i tilstand 1, som kun påvirker det, og udtrykket i parentes (afledet af graden er nummer 3 i tabellen over derivater) er "hakket kød", det er tilberedt under tilstand 2, som kun påvirker det. Og som altid forbinder vi to derivater med produkttegnet. Resultat:

Afledet af en kompleks logaritmisk funktion er en hyppig opgave i test, så vi anbefaler stærkt, at du deltager i lektionen "Afledt af en logaritmisk funktion."

De første eksempler handlede om komplekse funktioner, hvor det mellemliggende argument på den uafhængige variabel var en simpel funktion. Men i praktiske opgaver er det ofte nødvendigt at finde den afledede af en kompleks funktion, hvor mellemargumentet enten selv er en kompleks funktion eller indeholder en sådan funktion. Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Find afledte af sådanne funktioner ved hjælp af tabeller og differentieringsregler. Når den afledede af mellemargumentet er fundet, erstattes den blot på det rigtige sted i formlen. Nedenfor er to eksempler på, hvordan dette gøres.

Derudover er det nyttigt at vide følgende. Hvis en kompleks funktion kan repræsenteres som en kæde af tre funktioner

så skal dens derivat findes som produktet af derivaterne af hver af disse funktioner:

Mange af dine hjemmeopgaver kræver muligvis, at du åbner dine guider i nye vinduer. Handlinger med kræfter og rødder Og Operationer med brøker .

Eksempel 4. Find den afledede af en funktion

Vi anvender reglen om differentiering af en kompleks funktion uden at glemme, at der i det resulterende produkt af afledte er et mellemliggende argument med hensyn til den uafhængige variabel xændres ikke:

Vi forbereder den anden faktor af produktet og anvender reglen for at differentiere summen:

Det andet led er roden, så

Således fandt vi ud af, at mellemargumentet, som er en sum, indeholder en kompleks funktion som et af begreberne: at hæve til en potens er en kompleks funktion, og hvad der hæves til en potens er et mellemargument med hensyn til den uafhængige variabel x.

Derfor anvender vi igen reglen for at differentiere en kompleks funktion:

Vi omdanner graden af ​​den første faktor til en rod, og når du differentierer den anden faktor, glem ikke, at den afledede af konstanten er lig nul:

Nu kan vi finde den afledede af det mellemliggende argument, der er nødvendig for at beregne den afledede af en kompleks funktion, der kræves i problemformuleringen y:

Eksempel 5. Find den afledede af en funktion

Først bruger vi reglen til at differentiere summen:

Vi fik summen af ​​afledte af to komplekse funktioner. Lad os finde den første:

Her er det en kompleks funktion at hæve sinus til en potens, og sinus i sig selv er et mellemargument for den uafhængige variabel x. Derfor vil vi bruge reglen om differentiering af en kompleks funktion undervejs tage faktoren ud af parentes :

Nu finder vi det andet led af funktionens afledte y:

Her er det en kompleks funktion at hæve cosinus til en potens f, og selve cosinus er et mellemargument i den uafhængige variabel x. Lad os igen bruge reglen til at differentiere en kompleks funktion:

Resultatet er den nødvendige afledte:

Tabel over afledte funktioner af nogle komplekse funktioner

For komplekse funktioner, baseret på reglen om differentiering af en kompleks funktion, antager formlen for den afledede af en simpel funktion en anden form.

1. Afledt af en kompleks potensfunktion, hvor u x
2. Afledt af udtrykkets rod
3. Afledt af en eksponentiel funktion
4. Særligt tilfælde af eksponentiel funktion
5. Afledt af en logaritmisk funktion med en vilkårlig positiv base EN
6. Afledt af en kompleks logaritmisk funktion, hvor u– argumentets differentierbare funktion x
7. Afledt af sinus
8. Afledt af cosinus
9. Afledt af tangent
10. Afledt af cotangens
11. Afledt af arcsine
12. Afledt af arc cosinus
13. Afledt af arctangens
14. Afledt af lysbue cotangens

Hvis du følger definitionen, så er den afledede af en funktion i et punkt grænsen for forholdet mellem tilvæksten af ​​funktionen Δ y til argumenttilvæksten Δ x:

Alt ser ud til at være klart. Men prøv at bruge denne formel til at beregne f.eks. den afledede af funktionen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gør alt pr. definition, falder du simpelthen i søvn efter et par siders beregninger. Derfor er der enklere og mere effektive måder.

Til at begynde med bemærker vi, at vi fra hele rækken af ​​funktioner kan skelne de såkaldte elementære funktioner. Det er relativt simple udtryk, hvis afledninger længe er blevet beregnet og opstillet i tabelform. Sådanne funktioner er ret nemme at huske - sammen med deres derivater.

Afledte af elementære funktioner

Elementære funktioner er alle dem, der er anført nedenfor. Afledte af disse funktioner skal kendes udenad. Desuden er det slet ikke svært at huske dem - det er derfor, de er elementære.

Så afledte af elementære funktioner:

Navn Fungere Afledte
Konstant f(x) = C, C ∈ R 0 (ja, nul!)
Magt med rationel eksponent f(x) = x n n · x n − 1
Bihule f(x) = synd x cos x
Cosinus f(x) = cos x −synd x(minus sinus)
Tangent f(x) = tg x 1/cos 2 x
Cotangens f(x) = ctg x − 1/synd 2 x
Naturlig logaritme f(x) = log x 1/x
Vilkårlig logaritme f(x) = log -en x 1/(x ln -en)
Eksponentiel funktion f(x) = e x e x(intet ændrede sig)

Hvis en elementær funktion ganges med en vilkårlig konstant, beregnes den afledede af den nye funktion også let:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tages ud af fortegn for den afledte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart, at elementære funktioner kan lægges til hinanden, ganges, divideres - og meget mere. Sådan vil nye funktioner fremstå, ikke længere særligt elementære, men også differentierede efter bestemte regler. Disse regler diskuteres nedenfor.

Afledt af sum og forskel

Lad funktionerne være givet f(x) Og g(x), hvis afledte er kendt af os. For eksempel kan du tage de elementære funktioner diskuteret ovenfor. Så kan du finde den afledede af summen og forskellen af ​​disse funktioner:

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’
  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så den afledte af summen (forskel) af to funktioner er lig summen (forskel) af de afledte. Der kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt taget er der ikke noget begreb om "subtraktion" i algebra. Der er et begreb om "negativt element". Derfor forskellen f − g kan omskrives som en sum f+ (−1) g, og så er der kun én formel tilbage - den afledede af summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungere f(x) er summen af ​​to elementære funktioner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi begrunder tilsvarende for funktionen g(x). Kun der er allerede tre udtryk (fra et algebra synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Afledt af produktet

Matematik er en logisk videnskab, så mange mennesker tror, ​​at hvis den afledede af en sum er lig med summen af ​​afledte, så er den afledte af produktet strejke">lig med produktet af derivater. Men pyt dig! Den afledte af et produkt beregnes ved hjælp af en helt anden formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formlen er enkel, men den bliver ofte glemt. Og ikke kun skolebørn, men også studerende. Resultatet er forkert løste problemer.

Opgave. Find afledede funktioner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Fungere f(x) er produktet af to elementære funktioner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− synd x) = x 2 (3 cos x − x synd x)

Fungere g(x) den første multiplikator er lidt mere kompliceret, men den generelle ordning ændres ikke. Det er klart, den første faktor af funktionen g(x) er et polynomium, og dets afledte er den afledede af summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Bemærk venligst, at i det sidste trin faktoriseres den afledte. Formelt set skal dette ikke gøres, men de fleste afledte beregnes ikke alene, men for at undersøge funktionen. Det betyder, at yderligere vil den afledede blive lig med nul, dens fortegn vil blive bestemt, og så videre. I et sådant tilfælde er det bedre at få et udtryk faktoriseret.

Hvis der er to funktioner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på det sæt, vi er interesseret i, kan vi definere en ny funktion h(x) = f(x)/g(x). For en sådan funktion kan du også finde den afledede:

Ikke svag, vel? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sådan her! Dette er en af ​​de mest komplekse formler - du kan ikke finde ud af det uden en flaske. Derfor er det bedre at studere det med specifikke eksempler.

Opgave. Find afledede funktioner:

Tælleren og nævneren for hver brøk indeholder elementære funktioner, så alt, hvad vi behøver, er formlen for den afledede af kvotienten:


Ifølge traditionen, lad os faktorisere tælleren - dette vil i høj grad forenkle svaret:

En kompleks funktion er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok at tage funktionen f(x) = synd x og erstatte variablen x, siger, på x 2 + ln x. Det ordner sig f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funktion. Det har også en derivat, men det vil ikke være muligt at finde det ved at bruge reglerne diskuteret ovenfor.

Hvad skal jeg gøre? I sådanne tilfælde hjælper det at erstatte en variabel og formel for den afledede af en kompleks funktion:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet af t(x).

Som regel er situationen med at forstå denne formel endnu mere trist end med kvotientens afledte. Derfor er det også bedre at forklare det ved hjælp af specifikke eksempler med en detaljeret beskrivelse af hvert trin.

Opgave. Find afledede funktioner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Bemærk, at hvis i funktionen f(x) i stedet for udtryk 2 x+ 3 vil være let x, så får vi en elementær funktion f(x) = e x. Derfor laver vi en erstatning: lad 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi leder efter den afledede af en kompleks funktion ved hjælp af formlen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nu - opmærksomhed! Vi udfører den omvendte udskiftning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Lad os nu se på funktionen g(x). Det er klart, at det skal udskiftes x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt udskiftning: t = x 2 + ln x. Derefter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som det fremgår af det sidste udtryk, er hele problemet reduceret til at beregne den afledte sum.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Meget ofte i mine lektioner, i stedet for udtrykket "afledt", bruger jeg ordet "prime". For eksempel er summens streg lig med summen af ​​streger. Er det klarere? Det var da godt.

Beregning af den afledte kommer således ned til at slippe af med de samme slag i henhold til reglerne diskuteret ovenfor. Som et sidste eksempel, lad os vende tilbage til den afledte potens med en rationel eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste kender det i rollen n kan godt være et brøktal. For eksempel er roden x 0,5. Hvad hvis der er noget fancy under roden? Igen bliver resultatet en kompleks funktion - de giver gerne sådanne konstruktioner i prøver og eksamener.

Opgave. Find den afledede af funktionen:

Lad os først omskrive roden som en potens med en rationel eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nu laver vi en erstatning: lad x 2 + 8x − 7 = t. Vi finder den afledede ved hjælp af formlen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Lad os gøre den omvendte udskiftning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til sidst tilbage til rødderne:


Det er ikke helt korrekt at kalde funktioner af en kompleks type begrebet "kompleks funktion". For eksempel ser det meget imponerende ud, men denne funktion er ikke kompliceret, i modsætning til.

I denne artikel vil vi forstå begrebet en kompleks funktion, lære at identificere den som en del af elementære funktioner, give en formel til at finde dens afledte og i detaljer overveje løsningen af ​​typiske eksempler.

Når vi løser eksempler, vil vi konstant bruge tabellen over afledte og differentieringsregler, så hold dem for øjnene af dig.


Kompleks funktion er en funktion, hvis argument også er en funktion.

Fra vores synspunkt er denne definition den mest forståelige. Konventionelt kan det betegnes som f(g(x)) . Det vil sige, at g(x) er som et argument for funktionen f(g(x)) .

Lad f.eks. f være den arctangent funktion og g(x) = lnx være den naturlige logaritmefunktion, så er den komplekse funktion f(g(x)) arctan(lnx) . Et andet eksempel: f er funktionen ved at hæve til fjerde potens, og er en hel rationel funktion (se ), så .

Til gengæld kan g(x) også være en kompleks funktion. For eksempel, . Konventionelt kan et sådant udtryk betegnes som . Her er f sinusfunktionen, er kvadratrodsfunktionen, - rationel brøkfunktion. Det er logisk at antage, at graden af ​​indlejring af funktioner kan være et hvilket som helst endeligt naturligt tal.

Du kan ofte høre en kompleks funktion kaldet sammensætning af funktioner.

Formel til at finde den afledede af en kompleks funktion.

Eksempel.

Find den afledede af en kompleks funktion.

Løsning.

I dette eksempel er f kvadratfunktionen, og g(x) = 2x+1 er den lineære funktion.

Her er den detaljerede løsning ved hjælp af den komplekse funktionsafledte formel:

Lad os finde denne afledede ved først at forenkle formen af ​​den oprindelige funktion.

Derfor,

Som du kan se, er resultaterne de samme.

Prøv ikke at forveksle, hvilken funktion der er f og hvilken der er g(x) .

Lad os illustrere dette med et eksempel for at vise din opmærksomhed.


Eksempel.

Find afledte af komplekse funktioner og .

Løsning.

I det første tilfælde er f kvadratfunktionen og g(x) er sinusfunktionen, altså
.

I det andet tilfælde er f en sinusfunktion og er en potensfunktion. Derfor har vi ved formlen for produktet af en kompleks funktion

Afledt formlen for en funktion har formen

Eksempel.

Differentiere funktion .

Løsning.

I dette eksempel kan den komplekse funktion konventionelt skrives som , hvor er henholdsvis sinusfunktionen, tredje potensfunktionen, basis-e-logaritmefunktionen, arctangensfunktionen og den lineære funktion.

Ifølge formlen for derivatet af en kompleks funktion

Nu finder vi

Lad os sammensætte de opnåede mellemresultater:

Der er ikke noget skræmmende, analyser komplekse funktioner som nesting-dukker.

Dette kunne være slutningen på artiklen, hvis ikke for én ting...

Det er tilrådeligt at forstå, hvornår man skal anvende reglerne for differentiering og tabellen over afledte, og hvornår man skal anvende formlen for den afledede af en kompleks funktion.

VÆR EKSTREMT FORSIGTIG NU. Vi vil tale om forskellen mellem komplekse funktioner og komplekse funktioner. Din succes med at finde derivater vil afhænge af, hvor meget du ser denne forskel.

Lad os starte med simple eksempler. Fungere kan betragtes som kompleks: g(x) = tanx , . Derfor kan du straks anvende formlen for den afledede af en kompleks funktion

Og her er funktionen Det kan ikke længere kaldes komplekst.

Denne funktion er summen af ​​tre funktioner, 3tgx og 1. Selvom - er en kompleks funktion: - en potensfunktion (kvadratparabel), og f er en tangentfunktion. Derfor anvender vi først sumdifferentieringsformlen:

Det er tilbage at finde derivatet af den komplekse funktion:

Derfor .

Vi håber du forstår kernen.

Hvis vi ser mere bredt, kan det argumenteres, at funktioner af en kompleks type kan være en del af komplekse funktioner, og komplekse funktioner kan være komponenter af funktioner af en kompleks type.

Lad os som et eksempel analysere funktionen i dens bestanddele .

for det første, dette er en kompleks funktion, der kan repræsenteres som , hvor f er logaritmefunktionen på basis 3, og g(x) er summen af ​​to funktioner Og . Det er, .

For det andet, lad os beskæftige os med funktionen h(x) . Det repræsenterer et forhold til .

Dette er summen af ​​to funktioner og , Hvor - en kompleks funktion med en numerisk koefficient på 3. - terningfunktion, - cosinusfunktion, - lineær funktion.

Dette er summen af ​​to funktioner og hvor - kompleks funktion, - eksponentiel funktion, - potensfunktion.

Dermed, .

Tredje, gå til , som er produktet af en kompleks funktion og hele den rationelle funktion

Kvadreringsfunktionen er logaritmefunktionen til at basere e.

Derfor,.

Lad os opsummere:

Nu er strukturen af ​​funktionen klar, og det er blevet klart, hvilke formler og i hvilken rækkefølge der skal anvendes, når den differentieres.

I afsnittet om at differentiere en funktion (finde den afledede) kan du sætte dig ind i løsningen på lignende problemer.

Meget let at huske.

Nå, lad os ikke gå langt, lad os straks overveje den omvendte funktion. Hvilken funktion er den inverse af eksponentialfunktionen? Logaritme:

I vores tilfælde er basen tallet:

En sådan logaritme (det vil sige en logaritme med en base) kaldes "naturlig", og vi bruger en speciel notation til den: vi skriver i stedet.

Hvad er det lig med? Selvfølgelig, .

Afledningen af ​​den naturlige logaritme er også meget enkel:

Eksempler:

  1. Find den afledede af funktionen.
  2. Hvad er den afledede af funktionen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritme er entydigt simple funktioner fra et afledt perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funktioner med enhver anden base vil have en anden afledet, som vi vil analysere senere, efter at vi har gennemgået reglerne for differentiering.

Regler for differentiering

Regler for hvad? Igen en ny periode, igen?!...

Differentiering er processen med at finde derivatet.

Det er alt. Hvad kan du ellers kalde denne proces med ét ord? Ikke afledt... Matematikere kalder differentialet den samme stigning i en funktion ved. Dette udtryk kommer fra det latinske differentia - forskel. Her.

Når vi udleder alle disse regler, vil vi bruge to funktioner, for eksempel og. Vi skal også bruge formler for deres trin:

Der er i alt 5 regler.

Konstanten tages ud af det afledte fortegn.

Hvis - et eller andet konstant tal (konstant), så.

Denne regel virker naturligvis også for forskellen: .

Lad os bevise det. Lad det være, eller mere enkelt.

Eksempler.

Find de afledte funktioner:

  1. på et tidspunkt;
  2. på et tidspunkt;
  3. på et tidspunkt;
  4. på punktet.

Løsninger:

  1. (den afledte er den samme i alle punkter, da det er en lineær funktion, husker du?);

Afledt af produktet

Alt ligner her: lad os introducere en ny funktion og finde dens stigning:

Afledte:

Eksempler:

  1. Find de afledte funktioner og;
  2. Find den afledede af funktionen i et punkt.

Løsninger:

Afledt af en eksponentiel funktion

Nu er din viden nok til at lære at finde den afledede af enhver eksponentiel funktion, og ikke kun eksponenter (har du glemt, hvad det er endnu?).

Så hvor er et tal.

Vi kender allerede den afledede af funktionen, så lad os prøve at reducere vores funktion til en ny base:

For at gøre dette vil vi bruge en simpel regel: . Derefter:

Nå, det virkede. Prøv nu at finde den afledede, og glem ikke, at denne funktion er kompleks.

sket?

Tjek dig selv her:

Formlen viste sig at være meget lig den afledte af en eksponent: Som den var, forbliver den den samme, kun en faktor dukkede op, som kun er et tal, men ikke en variabel.

Eksempler:
Find de afledte funktioner:

Svar:

Dette er blot et tal, der ikke kan beregnes uden en lommeregner, det vil sige, at det ikke kan skrives ned på en enklere form. Derfor efterlader vi det i denne form i svaret.

    Bemærk, at her er kvotienten af ​​to funktioner, så vi anvender den tilsvarende differentieringsregel:

    I dette eksempel er produktet af to funktioner:

Afledt af en logaritmisk funktion

Det ligner her: du kender allerede den afledede af den naturlige logaritme:

Derfor, for at finde en vilkårlig logaritme med en anden base, for eksempel:

Vi er nødt til at reducere denne logaritme til basen. Hvordan ændrer man basen for en logaritme? Jeg håber du husker denne formel:

Først nu skriver vi i stedet:

Nævneren er simpelthen en konstant (et konstant tal, uden en variabel). Den afledte opnås meget enkelt:

Derivater af eksponentielle og logaritmiske funktioner findes næsten aldrig i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødigt at kende dem.

Afledt af en kompleks funktion.

Hvad er en "kompleks funktion"? Nej, dette er ikke en logaritme og ikke en arctangens. Disse funktioner kan være svære at forstå (selvom hvis du synes, logaritmen er svær, så læs emnet "Logarithms", og du vil være i orden), men fra et matematisk synspunkt betyder ordet "kompleks" ikke "svært".

Forestil dig et lille transportbånd: to personer sidder og laver nogle handlinger med nogle genstande. For eksempel pakker den første en chokoladebar ind i en indpakning, og den anden binder den med et bånd. Resultatet er en sammensat genstand: en chokoladebar pakket ind og bundet med et bånd. For at spise en chokoladebar skal du udføre de omvendte trin i omvendt rækkefølge.

Lad os skabe en lignende matematisk pipeline: først finder vi cosinus af et tal og derefter kvadreret det resulterende tal. Så vi får et nummer (chokolade), jeg finder dens cosinus (omslag), og så firkanter du det, jeg fik (bind det med et bånd). Hvad skete der? Fungere. Dette er et eksempel på en kompleks funktion: når vi, for at finde dens værdi, udfører den første handling direkte med variablen, og derefter en anden handling med det, der er resultatet af den første.

Med andre ord, en kompleks funktion er en funktion, hvis argument er en anden funktion: .

For vores eksempel.

Vi kan nemt udføre de samme trin i omvendt rækkefølge: først skal du kvadrere det, og jeg leder derefter efter cosinus af det resulterende tal: . Det er let at gætte, at resultatet næsten altid vil være anderledes. Et vigtigt træk ved komplekse funktioner: Når rækkefølgen af ​​handlinger ændres, ændres funktionen.

Andet eksempel: (samme ting). .

Den handling, vi laver sidst, vil blive kaldt "ekstern" funktion, og handlingen udført først - i overensstemmelse hermed "intern" funktion(dette er uformelle navne, jeg bruger dem kun til at forklare materialet i et enkelt sprog).

Prøv selv at afgøre, hvilken funktion der er ekstern og hvilken intern:

Svar: At adskille indre og ydre funktioner ligner meget at ændre variable: for eksempel i en funktion

  1. Hvilken handling vil vi udføre først? Lad os først beregne sinus, og først derefter kube den. Det betyder, at det er en intern funktion, men en ekstern.
    Og den oprindelige funktion er deres sammensætning:.
  2. Internt: ; ekstern:.
    Eksamen:.
  3. Internt: ; ekstern:.
    Eksamen:.
  4. Internt: ; ekstern:.
    Eksamen:.
  5. Internt: ; ekstern:.
    Eksamen:.

Vi ændrer variable og får en funktion.

Nå, nu vil vi udtrække vores chokoladebar og lede efter derivatet. Fremgangsmåden er altid omvendt: først ser vi efter den afledede af den ydre funktion, derefter gange vi resultatet med den afledede af den indre funktion. I forhold til det originale eksempel ser det sådan ud:

Et andet eksempel:

Så lad os endelig formulere den officielle regel:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

Det virker simpelt, ikke?

Lad os tjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Forsøg bare ikke at skære det nu! Der kommer ikke noget ud under cosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart, at dette er en kompleks funktion på tre niveauer: dette er trods alt allerede en kompleks funktion i sig selv, og vi udtrækker også roden fra den, det vil sige, vi udfører den tredje handling (læg chokoladen i en indpakning og med et bånd i mappen). Men der er ingen grund til at være bange: vi vil stadig "pakke ud" denne funktion i samme rækkefølge som normalt: fra slutningen.

Det vil sige, at vi først differentierer roden, derefter cosinus og først derefter udtrykket i parentes. Og så formerer vi det hele.

I sådanne tilfælde er det praktisk at nummerere handlingerne. Det vil sige, lad os forestille os, hvad vi ved. I hvilken rækkefølge vil vi udføre handlinger for at beregne værdien af ​​dette udtryk? Lad os se på et eksempel:

Jo senere handlingen udføres, jo mere "ekstern" vil den tilsvarende funktion være. Rækkefølgen af ​​handlinger er den samme som før:

Her er redet generelt 4-niveau. Lad os bestemme handlingsforløbet.

1. Radikale udtryk. .

2. Rod. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sæt det hele sammen:

AFLEDTE. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Afledt af en funktion- forholdet mellem stigningen af ​​funktionen og stigningen af ​​argumentet for en infinitesimal stigning af argumentet:

Grundlæggende derivater:

Regler for differentiering:

Konstanten tages ud af det afledte fortegn:

Afledt af summen:

Afledte af produktet:

Afledt af kvotienten:

Afledt af en kompleks funktion:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

  1. Vi definerer den "interne" funktion og finder dens afledede.
  2. Vi definerer den "eksterne" funktion og finder dens afledede.
  3. Vi multiplicerer resultaterne af det første og andet punkt.

Funktioner af en kompleks type passer ikke altid til definitionen af ​​en kompleks funktion. Hvis der er en funktion af formen y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, så kan den ikke betragtes som kompleks, i modsætning til y = sin 2 x.

Denne artikel vil vise begrebet en kompleks funktion og dens identifikation. Lad os arbejde med formler til at finde den afledede med eksempler på løsninger i konklusionen. Brugen af ​​derivattabellen og differentieringsregler reducerer tiden for at finde derivatet betydeligt.

Grundlæggende definitioner

Definition 1

En kompleks funktion er en, hvis argument også er en funktion.

Det er angivet på denne måde: f (g (x)). Vi har, at funktionen g (x) betragtes som et argument f (g (x)).

Definition 2

Hvis der er en funktion f, og det er en cotangensfunktion, så er g(x) = ln x den naturlige logaritmefunktion. Vi finder, at den komplekse funktion f (g (x)) vil blive skrevet som arctg(lnx). Eller en funktion f, som er en funktion hævet til 4. potens, hvor g (x) = x 2 + 2 x - 3 betragtes som en hel rationel funktion, får vi at f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Det er klart, at g(x) kan være kompleks. Fra eksemplet y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 er det tydeligt, at værdien af ​​g har terningroden af ​​brøken. Dette udtryk kan betegnes som y = f (f 1 (f 2 (x))). Hvorfra vi har, at f er en sinusfunktion, og f 1 er en funktion placeret under kvadratroden, er f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 en rationel brøkfunktion.

Definition 3

Graden af ​​rede bestemmes af ethvert naturligt tal og skrives som y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))).

Definition 4

Begrebet funktionssammensætning refererer til antallet af indlejrede funktioner i henhold til problemets betingelser. For at løse, brug formlen til at finde den afledede af en kompleks funktion af formen

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Eksempler

Eksempel 1

Find den afledede af en kompleks funktion på formen y = (2 x + 1) 2.

Løsning

Betingelsen viser, at f er en kvadratisk funktion, og g(x) = 2 x + 1 betragtes som en lineær funktion.

Lad os anvende den afledede formel for en kompleks funktion og skrive:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Det er nødvendigt at finde den afledede med en forenklet original form af funktionen. Vi får:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Det har vi herfra

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Resultaterne var de samme.

Når man løser problemer af denne type, er det vigtigt at forstå, hvor funktionen af ​​formen f og g (x) vil være placeret.

Eksempel 2

Du skal finde afledte af komplekse funktioner på formen y = sin 2 x og y = sin x 2.

Løsning

Den første funktionsnotation siger, at f er kvadratfunktionen og g(x) er sinusfunktionen. Så får vi det

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Den anden post viser, at f er en sinusfunktion, og g(x) = x 2 angiver en potensfunktion. Det følger heraf, at vi skriver produktet af en kompleks funktion som

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formlen for den afledte y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) vil blive skrevet som y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.). . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Eksempel 3

Find den afledede af funktionen y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Løsning

Dette eksempel viser vanskeligheden ved at skrive og bestemme placeringen af ​​funktioner. Så angiver y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) hvor f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) er sinusfunktionen, funktionen til at hæve til 3 grader, funktion med logaritme og base e, arctangent og lineær funktion.

Fra formlen til at definere en kompleks funktion har vi det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Vi får det, vi skal finde

  1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) som den afledede af sinus ifølge tabellen over afledte, derefter f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
  2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) som den afledede af en potensfunktion, derefter f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
  3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) som en logaritmisk afledt, derefter f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
  4. f 3 " (f 4 (x)) som derivatet af arctangensen, derefter f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
  5. Når du finder den afledede f 4 (x) = 2 x, skal du fjerne 2 fra fortegnet for den afledede ved hjælp af formlen for den afledede af en potensfunktion med en eksponent lig med 1, derefter f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Vi kombinerer mellemresultaterne og får det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analyse af sådanne funktioner minder om rededukker. Differentieringsregler kan ikke altid anvendes eksplicit ved hjælp af en afledt tabel. Ofte skal du bruge en formel til at finde afledte af komplekse funktioner.

Der er nogle forskelle mellem komplekst udseende og komplekse funktioner. Med en klar evne til at skelne dette vil det være særligt nemt at finde derivater.

Eksempel 4

Det er nødvendigt at overveje at give et sådant eksempel. Hvis der er en funktion af formen y = t g 2 x + 3 t g x + 1, så kan den betragtes som en kompleks funktion af formen g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Det er klart, at det er nødvendigt at bruge formlen for et komplekst derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

En funktion af formen y = t g x 2 + 3 t g x + 1 betragtes ikke som kompleks, da den har summen af ​​t g x 2, 3 t g x og 1. Dog betragtes t g x 2 som en kompleks funktion, så får vi en potensfunktion af formen g (x) = x 2 og f, som er en tangentfunktion. For at gøre dette skal du differentiere efter beløb. Det forstår vi

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 for 2 x

Lad os gå videre til at finde den afledede af en kompleks funktion (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Vi får, at y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funktioner af en kompleks type kan indgå i komplekse funktioner, og komplekse funktioner i sig selv kan være komponenter af funktioner af en kompleks type.

Eksempel 5

Overvej for eksempel en kompleks funktion af formen y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Denne funktion kan repræsenteres som y = f (g (x)), hvor værdien af ​​f er en funktion af grundtallet 3-logaritmen, og g (x) betragtes som summen af ​​to funktioner på formen h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 og k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Det er klart, y = f (h (x) + k (x)).

Overvej funktionen h(x). Dette er forholdet l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 til m (x) = e x 2 + 3 3

Vi har, at l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) er summen af ​​to funktioner n (x) = x 2 + 7 og p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , hvor p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) er en kompleks funktion med numerisk koefficient 3, og p 1 er en terningfunktion, p 2 ved en cosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 ved en lineær funktion.

Vi fandt ud af, at m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) er summen af ​​to funktioner q (x) = e x 2 og r (x) = 3 3, hvor q (x) = q 1 (q 2 (x)) er en kompleks funktion, q 1 er en funktion med en eksponentiel, q 2 (x) = x 2 er en potensfunktion.

Dette viser, at h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Når man går til et udtryk på formen k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), er det tydeligt, at funktionen præsenteres i form af et komplekst s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) med et rationelt heltal t (x) = x 2 + 1, hvor s 1 er en kvadratisk funktion, og s 2 (x) = ln x er logaritmisk med base e.

Det følger heraf, at udtrykket vil have formen k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Så får vi det

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Ud fra funktionens strukturer blev det klart, hvordan og hvilke formler der skal bruges for at forenkle udtrykket, når man differentierer det. For at blive fortrolig med sådanne problemer og for konceptet med deres løsning er det nødvendigt at vende sig til det punkt, hvor man differentierer en funktion, det vil sige at finde dens afledte.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter