Første niveau

Afledt af en funktion. Omfattende guide (2019)

Lad os forestille os en lige vej, der går gennem et bakket område. Det vil sige, at den går op og ned, men drejer hverken til højre eller venstre. Hvis aksen er rettet vandret langs vejen og lodret, vil vejlinjen være meget lig grafen for en kontinuerlig funktion:

Aksen er et vist niveau af nul højde; i livet bruger vi havniveau som det.

Når vi bevæger os fremad ad sådan en vej, bevæger vi os også op eller ned. Vi kan også sige: når argumentet ændres (bevægelse langs abscisseaksen), ændres værdien af ​​funktionen (bevægelse langs ordinataksen). Lad os nu tænke på, hvordan man bestemmer "stejlheden" af vores vej? Hvilken slags værdi kan dette være? Det er meget enkelt: hvor meget højden vil ændre sig, når man bevæger sig fremad en vis afstand. Efter alt, på forskellige områder veje, der bevæger os fremad (langs x-aksen) med en kilometer, vil vi stige eller falde forbi forskellige mængder meter i forhold til havoverfladen (langs ordinataksen).

Lad os betegne fremskridt (læs "delta x").

Det græske bogstav (delta) er almindeligt brugt i matematik som et præfiks, der betyder "ændring". Det vil sige - dette er en ændring i mængde, - en ændring; hvad er det så? Det er rigtigt, en ændring i størrelse.

Vigtigt: et udtryk er en enkelt helhed, én variabel. Adskil aldrig "delta" fra "x" eller noget andet bogstav! Det er for eksempel.

Så vi har bevæget os fremad, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner vejens linje med grafen for funktionen, hvordan betegner vi så stigningen? Sikkert, . Det vil sige, når vi bevæger os fremad, stiger vi højere.

Værdien er let at beregne: hvis vi i begyndelsen var i en højde, og efter at have flyttet vi befandt os i en højde, så. Hvis slutpunkt viste sig at være lavere end den oprindelige, vil den være negativ - det betyder, at vi ikke stiger op, men falder.

Lad os vende tilbage til "stejlhed": dette er en værdi, der viser, hvor meget (stejlt) højden stiger, når man bevæger sig en afstandsenhed frem:

Lad os antage, at på et stykke af vejen, når man bevæger sig en kilometer frem, stiger vejen en kilometer op. Så er hældningen på dette sted ens. Og hvis vejen, mens den bevægede sig frem med m, faldt med km? Så er hældningen ens.

Lad os nu se på toppen af ​​en bakke. Hvis du tager begyndelsen af ​​strækningen en halv kilometer før toppen, og slutningen en halv kilometer efter den, kan du se, at højden er næsten den samme.

Det vil sige, ifølge vores logik viser det sig, at hældningen her er næsten lig med nul, hvilket tydeligvis ikke er sandt. Lidt over en afstand på kilometer kan meget ændre sig. Mindre områder skal overvejes for mere passende og præcis vurdering stejlhed. Hvis du for eksempel måler ændringen i højden, når du bevæger dig en meter, vil resultatet være meget mere præcist. Men selv denne nøjagtighed er måske ikke nok for os - trods alt, hvis der er en pæl midt på vejen, kan vi bare passere den. Hvilken afstand skal vi så vælge? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I I virkeligheden At måle afstande til nærmeste millimeter er mere end nok. Men matematikere stræber altid efter perfektion. Derfor blev konceptet opfundet uendelig lille, det vil sige, at den absolutte værdi er mindre end ethvert tal, vi kan navngive. For eksempel siger du: en trilliontedel! Hvor meget mindre? Og du dividerer dette tal med - og det bliver endnu mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive, at en størrelse er uendelig, skriver vi sådan her: (vi læser "x har en tendens til nul"). Det er meget vigtigt at forstå at dette tal ikke er nul! Men meget tæt på det. Det betyder, at du kan dividere med det.

Begrebet modsat infinitesimal er uendeligt stort (). Du har sikkert allerede stødt på det, da du arbejdede på uligheder: dette tal er modulo større end noget tal, du kan komme i tanke om. Hvis du kommer op på det størst mulige tal, skal du bare gange det med to, og du får et endnu større tal. Og stadig uendeligt desuden Hvad vil der ske. Faktisk er det uendeligt store og det uendeligt lille det omvendte af hinanden, det vil sige ved og omvendt: kl.

Lad os nu vende tilbage til vores vej. Den ideelt beregnede hældning er hældningen beregnet for et infinitesimalt segment af stien, dvs.

Jeg bemærker, at med en infinitesimal forskydning vil højdeændringen også være uendelig. Men lad mig minde dig om, at infinitesimal ikke betyder lig med nul. Hvis man dividerer infinitesimale tal med hinanden, kan man få ganske almindeligt nummer, For eksempel, . Det vil sige, at en lille værdi kan være nøjagtigt gange større end en anden.

Hvad er alt dette til for? Vejen, stejlheden... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematik. Og i matematik er alt præcis det samme, kun kaldet anderledes.

Begrebet afledt

Den afledte af en funktion er forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af ​​argumentet for en uendelig stigning af argumentet.

Trinvist i matematik kalder de forandring. I hvilket omfang argumentet () ændres, når det bevæger sig langs aksen, kaldes argumentstigning og betegnes Hvor meget funktionen (højden) har ændret sig, når man bevæger sig fremad langs aksen med en afstand, kaldes funktionstilvækst og er udpeget.

Så den afledede af en funktion er forholdet til hvornår. Vi betegner den afledede med samme bogstav som funktionen, kun med et primtal øverst til højre: eller simpelthen. Så lad os skrive den afledte formel ved hjælp af disse notationer:

Som i analogien med vejen, her, når funktionen øges, er den afledte positiv, og når den falder, er den negativ.

Kan den afledede være lig nul? Sikkert. For eksempel, hvis vi kører på en flad vandret vej, er stejlheden nul. Og det er rigtigt, højden ændres overhovedet ikke. Sådan er det med den afledede: den afledede af en konstant funktion (konstant) er lig med nul:

da stigningen af ​​en sådan funktion er lig med nul for enhver.

Lad os huske eksemplet på en bakketop. Det viste sig, at det var muligt at arrangere enderne af segmentet langs forskellige sider fra toppen, så højden i enderne er den samme, det vil sige, at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøjagtig måling. Vi hæver vores segment op parallelt med sig selv, så vil dets længde falde.

Til sidst, når vi er uendeligt tæt på toppen, vil længden af ​​segmentet blive uendeligt lille. Men på samme tid forblev det parallelt med aksen, det vil sige, at forskellen i højder ved dens ender er lig med nul (den plejer ikke, men er lig med). Altså den afledte

Dette kan forstås sådan: Når vi står helt øverst, ændrer et lille skift til venstre eller højre vores højde ubetydeligt.

Der er også en rent algebraisk forklaring: Til venstre for toppunktet øges funktionen, og til højre falder den. Som vi fandt ud af tidligere, når en funktion øges, er den afledte positiv, og når den falder, er den negativ. Men det skifter jævnt uden hop (da vejen ikke ændrer sin hældning skarpt nogen steder). Derfor mellem negativ og positive værdier der skal bestemt være. Det vil være der, hvor funktionen hverken stiger eller falder - i toppunktet.

Det samme gælder for truget (det område, hvor funktionen til venstre aftager og til højre øges):

Lidt mere om stigninger.

Så vi ændrer argumentet til størrelse. Vi ændrer fra hvilken værdi? Hvad er det (argumentet) blevet til nu? Vi kan vælge et hvilket som helst punkt, og nu vil vi danse ud fra det.

Overvej et punkt med en koordinat. Værdien af ​​funktionen i den er lig. Så gør vi den samme stigning: vi øger koordinaten med. Hvad er argumentet nu? Meget let: . Hvad er værdien af ​​funktionen nu? Hvor argumentet går, gør funktionen også: . Hvad med funktionstilvækst? Intet nyt: dette er stadig det beløb, som funktionen er ændret med:

Øv dig i at finde trin:

1. Find stigningen af ​​funktionen på et punkt, hvor stigningen af ​​argumentet er lig med.
2. Det samme gælder for funktionen på et punkt.

Løsninger:

I forskellige punkter med det samme argument increment vil funktionen increment være anderledes. Det betyder, at den afledte på hvert punkt er forskellig (vi diskuterede dette i begyndelsen - vejens stejlhed er forskellig på forskellige punkter). Derfor, når vi skriver en afledt, skal vi angive på hvilket tidspunkt:

Power funktion.

En potensfunktion er en funktion, hvor argumentet til en vis grad er (logisk, ikke?).

Desuden - i ethvert omfang: .

Den enkleste sag- det er når eksponenten:

Lad os finde dens afledte på et tidspunkt. Lad os huske definitionen af ​​et derivat:

Så argumentet skifter fra til. Hvad er stigningen af ​​funktionen?

Tilvækst er dette. Men en funktion er til enhver tid lig med dens argument. Derfor:

Den afledte er lig med:

Den afledte af er lig med:

b) Overvej nu kvadratisk funktion (): .

Lad os nu huske det. Dette betyder, at værdien af ​​stigningen kan negligeres, da den er uendelig lille og derfor ubetydelig på baggrund af det andet udtryk:

Så vi fandt på en anden regel:

c) Vi fortsætter den logiske række: .

Dette udtryk kan forenkles på forskellige måder: Åbn den første parentes ved hjælp af formlen for forkortet multiplikation af summens terning, eller faktoriser hele udtrykket ved hjælp af formlen for forskellen mellem terninger. Prøv at gøre det selv ved hjælp af en af ​​de foreslåede metoder.

Så jeg fik følgende:

Og lad os igen huske det. Det betyder, at vi kan negligere alle udtryk, der indeholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan opnås for store magter:

e) Det viser sig, at denne regel kan generaliseres for en potensfunktion med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltal:

(2)

Reglen kan formuleres med ordene: "graden fremføres som en koefficient og reduceres derefter med ."

Vi vil bevise denne regel senere (næsten til allersidst). Lad os nu se på et par eksempler. Find den afledede af funktionerne:

1. (på to måder: ved formel og ved hjælp af definitionen af ​​afledt - ved at beregne stigningen af ​​funktionen);

1. . Tro det eller ej, dette er en magtfunktion. Hvis du har spørgsmål som "Hvordan er det her? Hvor er graden?”, husk emnet “”!
   Ja, ja, roden er også en grad, kun brøktal:.
   Så vores Kvadrat rod- dette er blot en grad med en indikator:
   .
   Vi leder efter den afledede ved hjælp af den nyligt lærte formel:

   Hvis det på dette tidspunkt bliver uklart igen, gentag emnet ""!!! (om grad med negativ indikator)

2. . Nu eksponenten:

   Og nu gennem definitionen (har du glemt det endnu?):
   ;
   .
   Nu forsømmer vi som sædvanlig udtrykket, der indeholder:
   .

3. . Kombination af tidligere sager: .

Trigonometriske funktioner.

Her vil vi bruge et faktum fra højere matematik:

Med udtryk.

Du vil lære beviset i det første år af instituttet (og for at komme dertil skal du bestå Unified State Examen godt). Nu vil jeg bare vise det grafisk:

Vi ser, at når funktionen ikke eksisterer - skæres punktet på grafen ud. Men jo tættere på værdien, jo tættere er funktionen. Det er det, der "måler".

Derudover kan du kontrollere denne regel ved hjælp af en lommeregner. Ja, ja, vær ikke genert, tag en lommeregner, vi er ikke til Unified State Exam endnu.

Så lad os prøve: ;

Glem ikke at skifte din lommeregner til Radians-tilstand!

etc. Vi ser, at jo mindre, jo tættere værdi forhold til

a) Overvej funktionen. Lad os som sædvanlig finde dens stigning:

Lad os gøre forskellen på sinus til et produkt. For at gøre dette bruger vi formlen (husk emnet ""): .

Nu den afledte:

Lad os lave en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Udtrykket for har formen:

Og nu husker vi det med udtrykket. Og også, hvad nu hvis en uendelig størrelse kan negligeres i summen (det vil sige ved).

Så vi får næste regel:den afledede af sinus er lig med cosinus:

Disse er grundlæggende (“tabel”) derivater. Her er de på én liste:

Senere vil vi tilføje nogle flere til dem, men disse er de vigtigste, da de bruges oftest.

Øve sig:

1. Find den afledede af funktionen i et punkt;
2. Find den afledede af funktionen.

Løsninger:

1. Lad os først finde den afledte i generel opfattelse, og erstatte dens værdi:
   ;
   .
2. Her har vi noget lignende power funktion. Lad os prøve at bringe hende til
   normal visning:
   .
   Godt, nu kan du bruge formlen:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Hvad er det her????

Okay, du har ret, vi ved endnu ikke, hvordan man finder sådanne derivater. Her har vi en kombination af flere typer funktioner. For at arbejde med dem skal du lære nogle flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Der er en funktion i matematik, hvis afledede for enhver værdi er lig med værdien af ​​selve funktionen på samme tid. Det kaldes "eksponent", og er en eksponentiel funktion

Grundlaget for denne funktion er en konstant - den er uendelig decimal, altså et irrationelt tal (som f.eks.). Det kaldes "Euler-nummeret", hvorfor det er angivet med et bogstav.

Så reglen:

Meget let at huske.

Nå, lad os ikke gå langt, lad os se på det med det samme omvendt funktion. Hvilken funktion er det omvendte af eksponentiel funktion? Logaritme:

I vores tilfælde er basen tallet:

En sådan logaritme (det vil sige en logaritme med en base) kaldes "naturlig", og vi bruger en speciel notation til den: vi skriver i stedet.

Hvad er det lig med? Selvfølgelig, .

Afledningen af ​​den naturlige logaritme er også meget enkel:

Eksempler:

1. Find den afledede af funktionen.
2. Hvad er den afledede af funktionen?

Svar: Udstiller og naturlig logaritme- funktioner er entydigt enkle med hensyn til afledte. Eksponentielle og logaritmiske funktioner med enhver anden base vil have en anden afledet, som vi vil analysere senere, efter lad os gennemgå reglerne differentiering.

Regler for differentiering

Regler for hvad? En gang til ny sigt, en gang til?!...

Differentiering er processen med at finde den afledte.

Det er alt. Hvad kan du ellers kalde denne proces med ét ord? Ikke afledt... Matematikere kalder differentialet den samme stigning i en funktion ved. Dette udtryk kommer fra det latinske differentia - forskel. Her.

Når vi udleder alle disse regler, vil vi bruge to funktioner, for eksempel og. Vi skal også bruge formler for deres trin:

Der er i alt 5 regler.

Konstanten tages ud af det afledte fortegn.

Hvis - nogle konstant tal(konstant), så.

Denne regel virker naturligvis også for forskellen: .

Lad os bevise det. Lad det være, eller mere enkelt.

Eksempler.

Find de afledte funktioner:

1. på et tidspunkt;
2. på et tidspunkt;
3. på et tidspunkt;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den afledte er den samme på alle punkter, da dette lineær funktion, Husk?);

Afledt af produktet

Alt ligner her: lad os gå ind ny funktion og find dens stigning:

Afledte:

Eksempler:

1. Find de afledte funktioner og;
2. Find den afledede af funktionen i et punkt.

Løsninger:

Afledt af en eksponentiel funktion

Nu er din viden nok til at lære at finde den afledede af enhver eksponentiel funktion, og ikke kun eksponenter (har du glemt, hvad det er endnu?).

Så hvor er et tal.

Vi kender allerede den afledede af funktionen, så lad os prøve at reducere vores funktion til en ny base:

Til dette vil vi bruge simpel regel: . Derefter:

Nå, det virkede. Prøv nu at finde den afledede, og glem ikke, at denne funktion er kompleks.

sket?

Tjek dig selv her:

Formlen viste sig at være meget lig den afledte af en eksponent: Som den var, forbliver den den samme, kun en faktor dukkede op, som kun er et tal, men ikke en variabel.

Eksempler:
Find de afledte funktioner:

Svar:

Dette er bare et tal, der ikke kan beregnes uden en lommeregner, dvs. det kan ikke skrives ned i mere i simpel form. Derfor efterlader vi det i denne form i svaret.

Afledt af en logaritmisk funktion

Det ligner her: du kender allerede den afledede af den naturlige logaritme:

Derfor, for at finde en vilkårlig logaritme med en anden base, for eksempel:

Vi er nødt til at reducere denne logaritme til basen. Hvordan ændrer man basen for en logaritme? Jeg håber du husker denne formel:

Først nu skriver vi i stedet:

Nævneren er simpelthen en konstant (et konstant tal, uden en variabel). Den afledte opnås meget enkelt:

Afledte af eksponentiel og logaritmiske funktioner dukker næsten aldrig op i Unified State Examination, men det ville ikke skade at kende dem.

Afledt af en kompleks funktion.

Hvad er en "kompleks funktion"? Nej, dette er ikke en logaritme og ikke en arctangens. Disse funktioner kan være svære at forstå (selvom hvis du synes, logaritmen er svær, så læs emnet "Logarithms", og du vil være i orden), men fra et matematisk synspunkt betyder ordet "kompleks" ikke "svært".

Forestil dig et lille transportbånd: to personer sidder og laver nogle handlinger med nogle genstande. For eksempel pakker den første en chokoladebar ind i en indpakning, og den anden binder den med et bånd. Resultatet er en sammensat genstand: en chokoladebar pakket ind og bundet med et bånd. For at spise chokolade, skal du gøre omvendte handlinger V omvendt rækkefølge.

Lad os skabe en lignende matematisk pipeline: først finder vi cosinus af et tal og derefter kvadreret det resulterende tal. Så vi får et nummer (chokolade), jeg finder dens cosinus (omslag), og så firkanter du det, jeg fik (bind det med et bånd). Hvad skete der? Fungere. Dette er et eksempel kompleks funktion: når vi, for at finde dens værdi, udfører den første handling direkte med variablen, og derefter en anden handling med det, der resulterede fra den første.

Vi kan nemt udføre de samme trin i omvendt rækkefølge: først skal du kvadrere det, og jeg leder derefter efter cosinus af det resulterende tal: . Det er let at gætte, at resultatet næsten altid vil være anderledes. Vigtig funktion komplekse funktioner: Når rækkefølgen af ​​handlinger ændres, ændres funktionen.

Med andre ord, en kompleks funktion er en funktion, hvis argument er en anden funktion: .

For det første eksempel.

Andet eksempel: (samme ting). .

Den handling, vi laver sidst, vil blive kaldt "ekstern" funktion, og handlingen udført først - i overensstemmelse hermed "intern" funktion(dette er uformelle navne, jeg bruger dem kun til at forklare materialet i et enkelt sprog).

Prøv selv at afgøre, hvilken funktion der er ekstern og hvilken intern:

Svar: At adskille indre og ydre funktioner ligner meget at ændre variable: for eksempel i en funktion

1. Hvilken handling vil vi udføre først? Lad os først beregne sinus, og først derefter kube den. Det betyder, at det er en intern funktion, men en ekstern.
   Og den oprindelige funktion er deres sammensætning:.
2. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern:.
   Eksamen:.

Vi ændrer variable og får en funktion.

Nå, nu vil vi udtrække vores chokoladebar og lede efter derivatet. Proceduren er altid omvendt: først ser vi efter den afledte ekstern funktion, gange derefter resultatet med den afledede af den interne funktion. I forhold til det originale eksempel ser det sådan ud:

Et andet eksempel:

Så lad os endelig formulere den officielle regel:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

Det virker simpelt, ikke?

Lad os tjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Forsøg bare ikke at skære det nu! Der kommer ikke noget ud under cosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart, at dette er en kompleks funktion på tre niveauer: dette er trods alt allerede en kompleks funktion i sig selv, og vi udvinder også roden fra den, det vil sige, vi udfører den tredje handling (vi lægger chokoladen i en indpakning og med et bånd i mappen). Men der er ingen grund til at være bange: vi vil stadig "pakke ud" denne funktion i samme rækkefølge som normalt: fra slutningen.

Det vil sige, at vi først differentierer roden, derefter cosinus og først derefter udtrykket i parentes. Og så formerer vi det hele.

I sådanne tilfælde er det praktisk at nummerere handlingerne. Det vil sige, lad os forestille os, hvad vi ved. I hvilken rækkefølge vil vi udføre handlinger for at beregne værdien af ​​dette udtryk? Lad os se på et eksempel:

Jo senere handlingen udføres, jo mere "ekstern" vil den tilsvarende funktion være. Rækkefølgen af ​​handlinger er den samme som før:

Her er redet generelt 4-niveau. Lad os bestemme handlingsforløbet.

1. Radikale udtryk. .

2. Rod. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sæt det hele sammen:

AFLEDTE. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Afledt af en funktion- forholdet mellem stigningen af ​​funktionen og stigningen af ​​argumentet for en infinitesimal stigning af argumentet:

Grundlæggende derivater:

Regler for differentiering:

Konstanten tages ud af det afledte fortegn:

Afledt af summen:

Afledte af produktet:

Afledt af kvotienten:

Afledt af en kompleks funktion:

Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:

1. Vi definerer den "interne" funktion og finder dens afledede.
2. Vi definerer den "eksterne" funktion og finder dens afledede.
3. Vi multiplicerer resultaterne af det første og andet punkt.

Efter indledende artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 rede af funktioner være mindre skræmmende. Måske vil de følgende to eksempler virke komplicerede for nogle, men hvis du forstår dem (nogen vil lide), så næsten alt andet i differentialregning Det vil virke som en barnejoke.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

Som allerede nævnt, når man finder derivatet af en kompleks funktion, er det først og fremmest nødvendigt Højre FORSTÅ dine investeringer. I tilfælde, hvor der er tvivl, minder jeg dig om brugbart trick: vi tager for eksempel den eksperimentelle værdi af "x", og forsøger (mentalt eller i et udkast) at erstatte givet værdi til et "forfærdeligt udtryk".

1) Først skal vi beregne udtrykket, hvilket betyder, at summen er den dybeste indlejring.

2) Så skal du beregne logaritmen:

4) Sæt derefter cosinus i terninger:

5) På det femte trin er forskellen:

6) Og endelig er den yderste funktion kvadratroden:

Formel til at differentiere en kompleks funktion anvendes i omvendt rækkefølge, fra den yderste funktion til den inderste. Vi beslutter:

Det virker uden fejl:

1) Tag den afledede af kvadratroden.

2) Tag den afledede af forskellen ved hjælp af reglen

3) Den afledte af en tripel er nul. I andet led tager vi den afledede af graden (terningen).

4) Tag derivatet af cosinus.

6) Og endelig tager vi derivatet af den dybeste indlejring.

Det kan virke for svært, men dette er ikke det mest brutale eksempel. Tag for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sætte pris på al skønheden og enkelheden i det analyserede derivat. Jeg bemærkede, at de kan lide at give en lignende ting i en eksamen for at kontrollere, om en studerende forstår, hvordan man finder den afledede af en kompleks funktion eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for selvstændig beslutning.

Eksempel 3

Find den afledede af en funktion

Tip: Først anvender vi linearitetsreglerne og produktdifferentieringsreglen

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Det er tid til at gå videre til noget mindre og pænere.
Det er ikke ualmindeligt, at et eksempel viser produktet af ikke to, men tre funktioner. Sådan finder du den afledte af produkter af tre multiplikatorer?

Eksempel 4

Find den afledede af en funktion

Først ser vi, er det muligt at omdanne produktet af tre funktioner til produktet af to funktioner? For eksempel, hvis vi havde to polynomier i produktet, så kunne vi åbne parenteserne. Men i det undersøgte eksempel er alle funktionerne forskellige: grad, eksponent og logaritme.

I sådanne tilfælde er det nødvendigt sekventielt anvende produktdifferentieringsreglen to gange

Tricket er, at vi med "y" betegner produktet af to funktioner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette lade sig gøre? Er det virkelig - dette er ikke et produkt af to faktorer, og reglen virker ikke?! Der er ikke noget kompliceret:

Nu er det tilbage at anvende reglen en anden gang til parentes:

Du kan stadig være pervers og tage noget ud af parentes, men ind I dette tilfælde Det er bedre at efterlade svaret i denne formular - det vil være lettere at kontrollere.

Det betragtede eksempel kan løses på den anden måde:

Begge løsninger er absolut ligeværdige.

Eksempel 5

Find den afledede af en funktion

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning; i prøven er det løst ved hjælp af den første metode.

Lad os se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Find den afledede af en funktion

Der er flere måder, du kan gå her:

Eller sådan her:

Men løsningen bliver skrevet mere kompakt, hvis vi først bruger reglen om differentiering af kvotienten , tager for hele tælleren:

I princippet er eksemplet løst, og hvis det efterlades som det er, vil det ikke være en fejl. Men hvis du har tid, er det altid tilrådeligt at tjekke en kladde for at se, om svaret kan forenkles?

Lad os reducere tællerens udtryk til fællesnævner og slippe af med den tre-etagers fraktion:

Ulempen ved yderligere forenklinger er, at der er risiko for at begå en fejl, ikke når man finder den afledte, men under banale skoletransformationer. På den anden side afviser lærere ofte opgaven og beder om at "bringe det i tankerne" om det afledte.

Et lettere eksempel at løse på egen hånd:

Eksempel 7

Find den afledede af en funktion

Vi fortsætter med at mestre metoderne til at finde den afledede, og nu vil vi overveje et typisk tilfælde, hvor den "forfærdelige" logaritme foreslås til differentiering

Og sætningen om derivatet af en kompleks funktion, hvis formulering er som følger:

Lad 1) funktionen $u=\varphi (x)$ på et tidspunkt have $x_0$ den afledte $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funktionen $y=f(u)$ har kl tilsvarende punkt$u_0=\varphi (x_0)$ afledt $y_(u)"=f"(u)$. Så vil den komplekse funktion $y=f\left(\varphi (x) \right)$ på det nævnte punkt også have en afledt, lig med produktet derivater af funktionerne $f(u)$ og $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

eller i kortere notation: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

I eksemplerne i dette afsnit har alle funktioner formen $y=f(x)$ (dvs. vi betragter kun funktioner af én variabel $x$). Derfor er den afledte $y"$ i alle eksempler taget med hensyn til variablen $x$. For at understrege, at den afledte tages med hensyn til variablen $x$, skrives $y"_x$ ofte i stedet for $y "$.

Eksempler nr. 1, nr. 2 og nr. 3 skitserer detaljeret proces at finde den afledede af komplekse funktioner. Eksempel nr. 4 er beregnet til en mere fuldstændig forståelse af den afledte tabel, og det giver mening at sætte dig ind i den.

Det er tilrådeligt, efter at have studeret materialet i eksempel nr. 1-3, at gå videre til selvstændig løsning af eksempel nr. 5, nr. 6 og nr. 7. Eksempel nr. 5, nr. 6 og nr. 7 indeholder kort løsning så læseren kan kontrollere rigtigheden af ​​sit resultat.

Eksempel nr. 1

Find den afledede af funktionen $y=e^(\cos x)$.

Vi skal finde den afledede af en kompleks funktion $y"$. Siden $y=e^(\cos x)$, så $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Til find den afledte $ \left(e^(\cos x)\right)"$ vi bruger formel nr. 6 fra tabellen over afledte. For at bruge formel nr. 6 skal vi tage højde for, at i vores tilfælde $u=\cos x$. Den yderligere løsning består i blot at erstatte udtrykket $\cos x$ i stedet for $u$ i formel nr. 6:

$$ y"=\venstre(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Nu skal vi finde værdien af ​​udtrykket $(\cos x)"$. Vi vender igen til tabellen over afledte, idet vi vælger formel nr. 10 fra den. Ved at erstatte $u=x$ med formel nr. 10, har vi : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Lad os nu fortsætte ligheden (1.1) og supplere den med resultatet:

$$ y"=\venstre(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Siden $x"=1$ fortsætter vi ligestilling (1.2):

$$ y"=\venstre(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Så fra lighed (1.3) har vi: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naturligvis springes forklaringer og mellemliggende ligheder over, idet fundet af den afledede nedskrives på én linje, som i ligheden ( 1.3) Så der er fundet den afledede af en kompleks funktion, der er kun tilbage at skrive svaret ned.

Svar: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Eksempel nr. 2

Find den afledede af funktionen $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Vi skal beregne den afledte $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Til at begynde med bemærker vi, at konstanten (dvs. tallet 9) kan tages ud af det afledte tegn:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Lad os nu gå til udtrykket $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. For at vælge den nødvendige formel fra tabellen over afledte var det lettere, jeg vil præsentere det pågældende udtryk i denne form: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Nu er det klart, at det er nødvendigt at bruge formel nr. 2, dvs. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. I denne formel vi erstatter $u=\arctg(4 \cdot \ln x)$ og $\alpha=12$:

Ved at supplere lighed (2.1) med det opnåede resultat har vi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

I denne situation begår der ofte en fejl, når løseren ved første trin vælger formlen $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ i stedet for formlen $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Pointen er, at den afledede af den eksterne funktion skal komme først. For at forstå, hvilken funktion der vil være ekstern i forhold til udtrykket $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, forestil dig, at du beregner værdien af ​​udtrykket $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ til en vis værdi $x$. Først vil du beregne værdien af ​​$5^x$, derefter gange resultatet med 4, hvilket får $4\cdot 5^x$. Nu tager vi arctangensen fra dette resultat og opnår $\arctg(4\cdot 5^x)$. Så hæver vi det resulterende tal til tolvte potens og får $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Sidste handling, - dvs. at hæve til magten 12 vil være en ekstern funktion. Og det er ud fra dette, vi skal begynde at finde den afledte, hvilket blev gjort i lighed (2.2).

Nu skal vi finde $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Vi bruger formel nr. 19 i derivattabellen og erstatter $u=4\cdot \ln x$ i den:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Lad os forenkle det resulterende udtryk lidt, idet vi tager $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ i betragtning.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Ligestilling (2.2) bliver nu:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Det er tilbage at finde $(4\cdot \ln x)"$. Lad os tage konstanten (dvs. 4) ud af det afledte tegn: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. For For at finde $(\ln x)"$ bruger vi formel nr. 8, der erstatter $u=x$ i den: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Siden $x"=1$, derefter $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Ved at erstatte det opnåede resultat med formel (2.3), opnår vi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Lad mig minde dig om, at den afledede af en kompleks funktion oftest findes i én linje, som skrevet i den sidste lighed. Derfor ved udarbejdelse af standardberegninger el tests Det er slet ikke nødvendigt at beskrive løsningen så detaljeret.

Svar: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Eksempel nr. 3

Find $y"$ af funktionen $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Lad os først transformere funktionen $y$ lidt, der udtrykker radikalen (roden) som en potens: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Lad os nu begynde at finde den afledte. Siden $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, så:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Lad os bruge formel nr. 2 fra tabellen over afledte, og erstatte $u=\sin(5\cdot 9^x)$ og $\alpha=\frac(3)(7)$ i den:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Lad os fortsætte ligheden (3.1) ved at bruge det opnåede resultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Nu skal vi finde $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Til dette bruger vi formel nr. 9 fra tabellen over afledte, og erstatter $u=5\cdot 9^x$ i den:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Efter at have suppleret lighed (3.2) med det opnåede resultat, har vi:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \venstre(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Det er tilbage at finde $(5\cdot 9^x)"$. Lad os først tage konstanten (tallet $5$) uden for det afledte tegnet, dvs. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. For at finde den afledte $(9^x)"$ skal du anvende formel nr. 5 i tabellen over afledte værdier, idet du erstatter $a=9$ og $u=x$: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Siden $x"=1$, derefter $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Nu kan vi fortsætte ligestilling (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \venstre(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Vi kan igen vende tilbage fra magter til radikaler (dvs. rødder) ved at skrive $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ i formen $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Derefter vil den afledede blive skrevet i denne form:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Svar: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Eksempel nr. 4

Vis, at formlerne nr. 3 og nr. 4 i tabellen over afledte er særlig situation formel nr. 2 i denne tabel.

Formel nr. 2 i derivattabellen indeholder den afledede af funktionen $u^\alpha$. Ved at erstatte $\alpha=-1$ i formel nr. 2 får vi:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Da $u^(-1)=\frac(1)(u)$ og $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, så kan lighed (4.1) omskrives som følger: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Dette er formel nr. 3 i tabellen over derivater.

Lad os igen vende tilbage til formel nr. 2 i tabellen over derivater. Lad os erstatte $\alpha=\frac(1)(2)$ i det:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Siden $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ og $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, så kan lighed (4.2) omskrives som følger:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Den resulterende lighed $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ er formel nr. 4 i tabellen over afledte. Som du kan se, er formlerne nr. 3 og nr. 4 i derivattabellen hentet fra formel nr. 2 ved at erstatte den tilsvarende $\alpha$-værdi.

I denne artikel vil vi tale om et så vigtigt matematisk begreb som en kompleks funktion, og lære at finde den afledede af en kompleks funktion.

Før vi lærer at finde derivatet af en kompleks funktion, lad os forstå begrebet en kompleks funktion, hvad det er, "hvad det spises med" og "hvordan man tilbereder det korrekt."

Lad os overveje vilkårlig funktion for eksempel sådan her:

Bemærk, at argumentet på højre og venstre side af funktionsligningen er det samme tal eller udtryk.

I stedet for en variabel kan vi f.eks. sætte følgende udtryk: . Og så får vi funktionen

Lad os kalde udtrykket et mellemargument, og funktionen en ydre funktion. Det er ikke strengt matematiske begreber, men de hjælper med at forstå betydningen af ​​begrebet en kompleks funktion.

En streng definition af begrebet en kompleks funktion lyder således:

Lad en funktion defineres på et sæt og vær værdisættet for denne funktion. Lad mængden (eller dens delmængde) være definitionsdomænet for funktionen. Lad os tildele et nummer til hver af dem. Således vil funktionen blive defineret på sættet. Det kaldes funktionssammensætning eller kompleks funktion.

I denne definition, hvis vi bruger vores terminologi, er en ekstern funktion et mellemargument.

Den afledte af en kompleks funktion findes i henhold til følgende regel:

For at gøre det mere klart skriver jeg gerne denne regel som følger:

I dette udtryk betegner brug en mellemfunktion.

Så. For at finde den afledede af en kompleks funktion, skal du bruge

1. Bestem hvilken funktion der er ekstern, og find den tilsvarende afledede fra tabellen over afledte.

2. Definer et mellemargument.

I denne procedure er den største vanskelighed at finde den eksterne funktion. En simpel algoritme bruges til dette:

EN. Skriv funktionens ligning ned.

b. Forestil dig, at du skal beregne værdien af ​​en funktion for en eller anden værdi af x. For at gøre dette erstatter du denne værdi af x i funktionens ligning og producerer aritmetiske operationer. Den sidste handling, du gør, er den eksterne funktion.

For eksempel i funktionen

Den sidste handling er eksponentiering.

Lad os finde den afledede af denne funktion. For at gøre dette skriver vi et mellemargument

Der gives eksempler på beregning af afledte ved hjælp af formlen for afledede af en kompleks funktion.

Her giver vi eksempler på beregning af afledte af følgende funktioner:
; ; ; ; .

Hvis en funktion kan repræsenteres som en kompleks funktion i følgende formular:
,
så bestemmes dens afledte af formlen:
.
I eksemplerne nedenfor vil vi skrive denne formel som følger:
.
Hvor .
Her angiver de sænkede eller , placeret under det afledede tegn, de variable, hvormed differentiering udføres.

Normalt er der i afledte tabeller givet afledte funktioner fra variablen x. Men x er en formel parameter. Variablen x kan erstattes af enhver anden variabel. Derfor, når vi differentierer en funktion fra en variabel, ændrer vi blot i tabellen over afledte variablen x til variablen u.

Simple eksempler

Eksempel 1

Find den afledede af en kompleks funktion
.

Løsning

Lad os skrive det ned givet funktion i tilsvarende form:
.
I tabellen over afledte finder vi:
;
.

Ifølge formlen for den afledede af en kompleks funktion har vi:
.
Her .

Svar

Eksempel 2

Find den afledede
.

Løsning

Vi tager konstanten 5 ud af afledt fortegnet og fra tabellen over afledte finder vi:
.

.
Her .

Svar

Eksempel 3

Find den afledede
.

Løsning

Vi tager en konstant ud -1 for tegnet for den afledte og fra tabellen over afledte finder vi:
;
Fra tabellen over afledte finder vi:
.

Vi anvender formlen for den afledede af en kompleks funktion:
.
Her .

Svar

Mere komplekse eksempler

I mere komplekse eksempler vi anvender reglen for at differentiere en kompleks funktion flere gange. I dette tilfælde beregner vi den afledte fra slutningen. Det vil sige, at vi opdeler funktionen i dens bestanddele og finder afledningerne af de simpleste dele vha tabel over derivater. Vi bruger også regler for differentiering af beløb, produkter og fraktioner. Derefter foretager vi substitutioner og anvender formlen for den afledte af en kompleks funktion.

Eksempel 4

Find den afledede
.

Løsning

Lad os fremhæve det meste enkel del formel og find dens afledte. .

.
Her har vi brugt notationen
.

Vi finder den afledede af den næste del af den oprindelige funktion ved at bruge de opnåede resultater. Vi anvender reglen for at differentiere summen:
.

Igen anvender vi reglen om differentiering af komplekse funktioner.

.
Her .

Svar

Eksempel 5

Find den afledede af funktionen
.

Løsning

Lad os vælge den enkleste del af formlen og finde dens afledte fra tabellen over afledte. .

Vi anvender reglen om differentiering af komplekse funktioner.
.
Her
.