Tre definitioner af kontinuitet af en funktion i et punkt. Funktionernes egenskaber fortsætter i et interval

En kontinuert funktion er en funktion uden "spring", det vil sige en, for hvilken betingelsen er opfyldt: små ændringer i argumentet efterfølges af små ændringer i funktionens tilsvarende værdier. Grafen for en sådan funktion er en jævn eller kontinuerlig kurve.

Kontinuitet ved et grænsepunkt for et bestemt sæt kan defineres ved hjælp af begrebet en grænse, nemlig: en funktion skal have en grænse på dette punkt, der er lig med dens værdi ved grænsepunktet.

Hvis disse betingelser overtrædes på et bestemt tidspunkt, siger de, at funktionen på dette tidspunkt lider af en diskontinuitet, det vil sige, at dens kontinuitet er krænket. I grænsesproget kan et brudpunkt beskrives som en uoverensstemmelse mellem værdien af en funktion ved brudpunktet og funktionens grænse (hvis den findes).

Brydepunktet kan fjernes; for dette er eksistensen af en grænse for funktionen nødvendig, men den falder ikke sammen med dens værdi på et givet punkt. I dette tilfælde kan det "korrigeres" på dette tidspunkt, det vil sige, at det kan defineres yderligere til kontinuitet.
Et helt andet billede tegner sig, hvis der er en grænse for den givne funktion. Der er to mulige pausepunkter:

af den første slags - begge de ensidede grænser er tilgængelige og endelige, og værdien af en af dem eller begge falder ikke sammen med værdien af funktionen på et givet punkt;
af den anden slags, når en eller begge af de ensidige grænser ikke eksisterer, eller deres værdier er uendelige.

Egenskaber for kontinuerlige funktioner

Funktionen opnået som et resultat af aritmetiske operationer, såvel som overlejringen af kontinuerte funktioner på deres definitionsdomæne, er også kontinuert.
Hvis du på et tidspunkt får en kontinuerlig funktion, der er positiv, så kan du altid finde et tilstrækkeligt lille kvarter af den, hvor den bevarer sit fortegn.
Tilsvarende, hvis dens værdier i to punkter A og B er lig med henholdsvis a og b, og a er forskellig fra b, så vil den for mellemliggende punkter tage alle værdier fra intervallet (a ; b). Ud fra dette kan vi drage en interessant konklusion: hvis du lader et strakt elastik komprimere, så det ikke synker (forbliver lige), så vil et af dets punkter forblive ubevægeligt. Og geometrisk betyder det, at der går en ret linje gennem et hvilket som helst mellempunkt mellem A og B, der skærer funktionens graf.

Lad os bemærke nogle af de kontinuerlige (i deres definitions domæne) elementære funktioner:

konstant;
rationel;
trigonometrisk.

Der er en uløselig sammenhæng mellem to grundlæggende begreber i matematik - kontinuitet og differentiabilitet. Det er nok bare at huske, at for at en funktion kan differentieres, er det nødvendigt, at det er en kontinuerlig funktion.

Hvis en funktion er differentierbar på et tidspunkt, så er den kontinuert der. Det er dog slet ikke nødvendigt, at dens afledte er kontinuert.

En funktion, der har en kontinuert afledet på et bestemt sæt, tilhører en separat klasse af glatte funktioner. Det er med andre ord en kontinuerligt differentierbar funktion. Hvis den afledte har et begrænset antal diskontinuitetspunkter (kun af den første slags), så kaldes en sådan funktion stykkevis glat.

Et andet vigtigt begreb er den ensartede kontinuitet af en funktion, det vil sige dens evne til at være lige kontinuerlig på ethvert punkt i dens definitionsdomæne. Dette er således en egenskab, der overvejes på mange punkter, og ikke på et hvilket som helst tidspunkt.

Hvis vi fikserer et punkt, så får vi intet andet end en definition af kontinuitet, det vil sige af tilstedeværelsen af ensartet kontinuitet følger det, at vi har en kontinuerlig funktion. Generelt er det omvendte ikke sandt. Men ifølge Cantors teorem, hvis en funktion er kontinuert på et kompakt sæt, det vil sige på et lukket interval, så er den ensartet kontinuerlig på den.

Bestemmelse af kontinuiteten af en funktion i et punkt
Funktion f (x) hedder kontinuert i punkt x 0 kvarter U (x0) dette punkt, og hvis grænsen som x har tendens til x 0 eksisterer og er lig med værdien af funktionen ved x 0 :
.

Dette indebærer, at x 0 - dette er slutpunktet. Funktionsværdien i den kan kun være et endeligt tal.

Definition af kontinuitet til højre (venstre)
Funktion f (x) hedder kontinuerlig til højre (venstre) ved punkt x 0 , hvis det er defineret i et eller andet højresidet (venstresidet) kvarter af dette punkt, og hvis højre (venstre) grænse ved punktet x 0 lig med funktionsværdien ved x 0 :
.

Eksempler

Eksempel 1

Brug Heine- og Cauchy-definitionerne til at bevise, at funktionen er kontinuert for alle x.

Lad der være et vilkårligt tal. Lad os bevise, at den givne funktion er kontinuert i punktet. Funktionen er defineret for alle x . Derfor er det defineret på et punkt og i et hvilket som helst af dets kvarterer.

Vi bruger Heines definition

Lad os bruge. Lad der være en vilkårlig sekvens, der konvergerer til: . Ved at anvende egenskaben af grænsen for et produkt af sekvenser har vi:
.
Da der er en vilkårlig sekvens, der konvergerer til , så
.
Kontinuitet er blevet bevist.

Vi bruger Cauchy-definitionen

Lad os bruge.
Lad os overveje sagen. Vi har ret til at overveje funktionen på ethvert område af punktet. Derfor vil vi antage det
(A1.1) .

Lad os anvende formlen:
.
Under hensyntagen til (A1.1) foretager vi følgende skøn:

;
(A1.2) .

Ved at anvende (A1.2) estimerer vi den absolutte værdi af forskellen:
;
(A1.3) .
.
Ifølge egenskaberne ved uligheder, hvis (A1.3) er opfyldt, hvis og hvis , så .

Lad os nu se på pointen. I dette tilfælde
.
.

.
Det betyder, at funktionen er kontinuerlig på punktet.

På lignende måde kan man bevise, at funktionen , hvor n er et naturligt tal, er kontinuert på hele den reelle akse.

Eksempel 2

Ved hjælp af bevise, at funktionen er kontinuerlig for alle.

Den givne funktion er defineret ved . Lad os bevise, at det er kontinuerligt på punktet.

Lad os overveje sagen.
Vi har ret til at overveje funktionen på ethvert område af punktet. Derfor vil vi antage det
(A2.1) .

Lad os anvende formlen:
(A2.2) .
Lad os sige det. Derefter
.

Under hensyntagen til (A2.1) foretager vi følgende skøn:

.
Så,
.

Ved at anvende denne ulighed og bruge (A2.2) estimerer vi forskellen:

.
Så,
(A2.3) .

Vi introducerer positive tal og forbinder dem med følgende relationer:
.
Ifølge egenskaberne ved uligheder, hvis (A2.3) er opfyldt, hvis og hvis , så .

Det betyder, at for enhver positiv er der altid en . Så for alle x, der opfylder uligheden, er følgende ulighed automatisk opfyldt:
.
Det betyder, at funktionen er kontinuerlig på punktet.

Lad os nu se på pointen. Vi skal vise, at den givne funktion er kontinuerlig på dette punkt til højre. I dette tilfælde
.
Indtast positive tal og :
.

Dette viser, at for enhver positiv er der altid. Derefter gælder følgende ulighed for alle x, således at :
.
Det betyder at . Det vil sige, at funktionen er kontinuerlig til højre i punktet.

På lignende måde kan man bevise, at funktionen , hvor n er et naturligt tal, er kontinuert for .

Referencer:
O.I. Besov. Forelæsninger om matematisk analyse. Del 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.

1. Introduktion.

2. Bestemmelse af kontinuitet i en funktion.

3. Klassificering af brudpunkter

4. Egenskaber ved kontinuerlige funktioner.

5. Den økonomiske betydning af kontinuitet.

6. Konklusion.

10.1. Introduktion

Hver gang vi vurderer de uundgåelige forandringer i verden omkring os over tid, forsøger vi at analysere de igangværende processer for at fremhæve deres vigtigste egenskaber. Et af de første spørgsmål, der opstår langs denne vej, er: Hvordanændringer, der er karakteristiske for dette fænomen, forekommer - løbende eller diskret, dvs. krampagtigt. Falder eller kollapser valutakursen jævnt, er der en gradvis udvikling eller et revolutionært spring? For at forene kvalitative og kvantitative vurderinger af, hvad der sker, bør man abstrahere fra det specifikke indhold og studere problemstillingen i form af funktionel afhængighed. Dette kan gøres ved teorien om grænser, som vi diskuterede i sidste forelæsning.

10.2. Definition af kontinuitet af en funktion

Kontinuiteten af en funktion hænger intuitivt sammen med, at dens graf er en kontinuerlig kurve, der ikke knækker nogen steder. Vi tegner en graf af en sådan funktion uden at løfte vores kuglepen fra papiret. Hvis en funktion er givet i en tabel, så kan dens kontinuitet strengt taget ikke bedømmes, fordi for et givet tabeltrin er funktionsadfærden i intervaller ikke defineret.

I virkeligheden, med kontinuitet, opstår følgende omstændighed: hvis de parametre, der karakteriserer situationen En lille skift så En lille situationen vil ændre sig. Det vigtige her er ikke, at situationen vil ændre sig, men at den vil ændre sig "lidt."

Lad os formulere begrebet kontinuitet i trinsproget. Lad et eller andet fænomen beskrives ved en funktion og et punkt -en hører til funktionens definitionsdomæne. Forskellen hedder argumentstigning på punktet -en, forskel – funktionstilvækst på punktet -en.

Definition 10.1.Fungere kontinuerlig på et punkt a, hvis det er defineret på dette tidspunkt, og en infinitesimal stigning i argumentet svarer til en infinitesimal stigning i funktionen:

Eksempel 10.1. Undersøg kontinuiteten af funktionen på punktet.

Løsning. Lad os bygge en graf over funktionen og markere trinene D på den x og D y(Fig. 10.1).

Grafen viser, at jo mindre stigningen er D x, jo mindre D y. Lad os vise dette analytisk. Forøgelsen af argumentet er lig med , så vil tilvæksten af funktionen på dette tidspunkt være lig med

Heraf er det klart, at hvis , så og:

Lad os give en anden definition af kontinuiteten af en funktion.

Definition 10.2.Funktionen kaldes sammenhængende i punkt a, hvis:

1) det er defineret ved punkt a og nogle af dets omgivelser;

2) ensidige grænser eksisterer og er lig med hinanden:

;

3) grænse for funktionen ved x® a er lig med værdien af funktionen på dette tidspunkt:

Hvis mindst en af disse betingelser er overtrådt, så siges funktionen at gennemgå hul.

Denne definition er operationel til at etablere kontinuitet på et punkt. Ved at følge hans algoritme og bemærke sammenfaldene og uoverensstemmelserne mellem kravene i definitionen og et specifikt eksempel, kan vi konkludere, at funktionen er kontinuert i et punkt.

I definition 2 kommer ideen om nærhed tydeligt frem, da vi introducerede begrebet grænse. Med en ubegrænset tilnærmelse af argumentet x til grænseværdien -en, kontinuerlig på et punkt -en fungere f(x) nærmer sig grænseværdien vilkårligt tæt på f(-en).

10.3. Klassificering af brudpunkter

De punkter, hvor kontinuitetsbetingelserne for en funktion er overtrådt, kaldes brudpunkter denne funktion. Hvis x 0 er funktionens brudpunkt; mindst en af betingelserne for funktionens kontinuitet er ikke opfyldt. Overvej følgende eksempel.

1. Funktionen er defineret i et bestemt område af punktet -en, men ikke defineret på selve punktet -en. For eksempel er funktionen ikke defineret ved punkt -en=2, gennemgår derfor en diskontinuitet (se fig. 10.2).

Ris. 10.2 Fig. 10.3

2. Funktionen er defineret ved et punkt -en og i nogle af dens nabolag eksisterer dens ensidige grænser, men de er ikke lige hinanden: , så gennemgår funktionen en diskontinuitet. For eksempel funktionen

er defineret ved punktet, men oplever ved funktionen en diskontinuitet (se fig. 10.3), pga.

Og ().

3. Funktionen defineres ved et punkt -en og i nogle områder af den er der en grænse for funktionen ved , men denne grænse er ikke lig med værdien af funktionen ved punktet -en:

For eksempel funktionen (se fig. 10.4)

Her er bristepunktet:

Alle diskontinuitetspunkter er opdelt i aftagelige diskontinuitetspunkter, diskontinuitetspunkter af den første og anden slags.

Definition 10.1. Brudpunktet kaldes punktet reparationsbar spalte , hvis der på dette tidspunkt er endelige grænser for funktionen til venstre og højre, lig med hinanden:

Funktionens grænse på dette tidspunkt eksisterer, men er ikke lig med værdien af funktionen ved grænsepunktet (hvis funktionen er defineret ved grænsepunktet), eller funktionen ved grænsepunktet er ikke defineret.

I fig. 10.4 på det tidspunkt, hvor kontinuitetsbetingelserne er overtrådt, og funktionen har en diskontinuitet. Peg på grafen (0; 1) stikket ud. Imidlertid kan dette hul let elimineres - det er nok at omdefinere denne funktion ved at sætte den lig med dens grænse på dette tidspunkt, dvs. sætte . Derfor kaldes sådanne huller aftagelige.

Definition 10.2. Brydepunktet kaldes diskontinuitetspunkt af 1. slags , hvis der på dette tidspunkt er endelige grænser for funktionen til venstre og højre, men de er ikke ens med hinanden:

På dette tidspunkt siges funktionen at opleve springe.

I fig. 10.3 funktionen har en diskontinuitet af 1. slags på punktet. Venstre og højre grænser på dette tidspunkt er ens:

Og .

Funktionens spring ved diskontinuitetspunktet er lig med .

Det er umuligt at definere en sådan funktion som kontinuerlig. Grafen består af to halvlinjer adskilt af et spring.

Definition 10.3. Brydepunktet kaldes diskontinuitetspunkt af 2. art , hvis mindst en af de ensidige grænser for funktionen (venstre eller højre) ikke eksisterer eller er lig med uendelig.

I figur 10.3 har funktionen i et punkt en diskontinuitet af 2. slags. Den betragtede funktion ved er uendelig stor og har ingen endelig grænse hverken til højre eller venstre. Derfor er der ingen grund til at tale om kontinuitet på et sådant tidspunkt.

Eksempel 10.2. Konstruer en graf og bestem arten af brudpunkterne:

Løsning. Lad os plotte funktionen f(x) (Figur 10.5).

Figuren viser, at den oprindelige funktion har tre diskontinuitetspunkter: , x 2 = 1,
x 3 = 3. Lad os betragte dem i rækkefølge.

Derfor har pointen brud af 2. art.

a) Funktionen er defineret på dette tidspunkt: f(1) = –1.

b) , ,

de der. på punktet x 2 = 1 tilgængelig reparationsbar spalte. Ved at omdefinere funktionsværdien på dette tidspunkt: f(1) = 5, diskontinuiteten elimineres, og funktionen på dette tidspunkt bliver kontinuert.

a) Funktionen er defineret på dette tidspunkt: f(3) = 1.

Altså på punktet x 1 = 3 tilgængelige brud af 1. slags. Funktionen oplever på dette tidspunkt et spring svarende til D y= –2–1 = –3.

10.4. Egenskaber for kontinuerlige funktioner

Idet vi husker de tilsvarende egenskaber ved grænser, konkluderer vi, at funktioner, der er resultatet af aritmetiske operationer på funktioner, der er kontinuerte på samme punkt, også er kontinuerte. Bemærk:

1) hvis funktionerne og er kontinuerlige på punktet -en, så er funktionerne , og (forudsat at ) også kontinuerlige på dette tidspunkt;

2) hvis funktionen er kontinuerlig på punktet -en og funktionen er kontinuert ved punktet , så er den komplekse funktion kontinuert ved punktet -en Og

de der. grænsetegnet kan placeres under tegnet for en kontinuerlig funktion.

Det siger de en funktion er kontinuerlig på et sæt, hvis den er kontinuerlig på hvert punkt i dette sæt. Grafen for en sådan funktion er en kontinuerlig linje, der kan streges over med et pennestrøg.

Alle større elementære funktioner er kontinuerte på alle punkter, hvor de er defineret.

Funktioner, kontinuerlig på segmentet, har en række vigtige karakteristiske egenskaber. Lad os formulere sætninger, der udtrykker nogle af disse egenskaber.

Sætning 10.1 (Weierstrass' sætning ). Hvis en funktion er kontinuerlig på et segment, når den sine minimums- og maksimumværdier på dette segment.

Sætning 10.2 (Cauchys sætning ). Hvis en funktion er kontinuert på et interval, så på dette interval er alle mellemværdier mellem de mindste og største værdier.

Følgende vigtige egenskab følger af Cauchys sætning.

Sætning 10.3. Hvis en funktion er kontinuert på et segment og antager værdier af forskellige fortegn i enderne af segmentet, så er der mellem a og b et punkt c, hvor funktionen forsvinder:.

Den geometriske betydning af denne sætning er indlysende: hvis grafen for en kontinuerlig funktion går fra den nederste halvplan til den øvre halvplan (eller omvendt), så vil den i det mindste på et punkt skære aksen Okse(Fig. 10.6).

Eksempel 10.3. Beregn tilnærmelsesvis roden af ligningen

, (dvs. tilnærmelsesvis erstatte) polynomium af den tilsvarende grad.

Dette er en meget vigtig egenskab ved kontinuerlige funktioner til praksis. For eksempel er kontinuerlige funktioner meget ofte specificeret af tabeller (observationsdata eller eksperimentelle data). Så ved hjælp af en metode kan du erstatte den tabelformede funktion med et polynomium. I overensstemmelse med sætning 10.3 kan dette altid gøres med tilstrækkelig høj nøjagtighed. At arbejde med en analytisk defineret funktion (især et polynomium) er meget lettere.

10.5. Økonomisk betydning af kontinuitet

De fleste af de funktioner, der bruges i økonomi, er kontinuerlige, og det giver mulighed for at komme med ganske væsentlige udsagn om økonomisk indhold.

For at illustrere, overvej følgende eksempel.

Skatteprocent N har omtrent samme graf som i fig. 10,7a.

I enderne af intervallerne er den diskontinuerlig og disse diskontinuiteter er af 1. slags. Men selve indkomstskattens størrelse P(Fig. 10.7b) er en kontinuerlig funktion af årsindkomsten Q. Herfra følger det især, at hvis to personers årlige indkomst er uvæsentligt forskellige, så bør forskellen i de beløb af indkomstskat, som de skal betale, også være uvæsentligt forskellig. Det er interessant, at omstændighederne af langt de fleste mennesker opfattes som helt naturligt, hvilket de slet ikke tænker over.

10.6. Konklusion

Mod slutningen, lad os tillade os et lille tilbagetog.

Sådan udtrykker du de gamles triste observation grafisk:

Sic transit Gloria mundi...

(Sådan passerer jordisk herlighed …)

Slut på arbejde -

Dette emne hører til sektionen:

Begrebet funktion

Funktionsbegrebet.. alt flyder og alt ændrer sig Heraklit.. tabel x x x x y y y y y..

Hvis du har brug for yderligere materiale om dette emne, eller du ikke fandt det, du ledte efter, anbefaler vi at bruge søgningen i vores database over værker:

Hvad vil vi gøre med det modtagne materiale:

Hvis dette materiale var nyttigt for dig, kan du gemme det på din side på sociale netværk:

Undersøgelsen af en funktion for kontinuitet på et punkt udføres i henhold til et allerede etableret rutineskema, som består i at kontrollere tre kontinuitetsbetingelser:

Eksempel 1

Undersøg funktionen for kontinuitet. Bestem karakteren af funktionsdiskontinuiteterne, hvis de findes. Udfør tegningen.

Løsning:

1) Det eneste punkt inden for rammerne er, hvor funktionen ikke er defineret.

Ensidige grænser er endelige og lige store.

På det tidspunkt lider funktionen således af en aftagelig diskontinuitet.

Hvordan ser grafen for denne funktion ud?

Jeg vil gerne forenkle , og det ser ud til, at man får en almindelig parabel. MEN den oprindelige funktion er ikke defineret ved punkt , så følgende klausul er påkrævet:

Lad os lave tegningen:

Svar: Funktionen er kontinuerlig på hele tallinjen undtagen det punkt, hvor den lider af en aftagelig diskontinuitet.

Funktionen kan defineres yderligere på en god eller knap så god måde, men efter betingelsen er dette ikke påkrævet.

Du siger, at dette er et langt ude eksempel? Slet ikke. Dette er sket dusinvis af gange i praksis. Næsten alle sidens opgaver kommer fra ægte selvstændigt arbejde og tests.

Lad os slippe af med vores yndlingsmoduler:

Eksempel 2

Udforsk funktion for kontinuitet. Bestem karakteren af funktionsdiskontinuiteterne, hvis de findes. Udfør tegningen.

Løsning: Af en eller anden grund er eleverne bange og kan ikke lide funktioner med et modul, selvom der ikke er noget kompliceret ved dem. Sådan noget har vi allerede berørt lidt i lektionen. Geometriske transformationer af grafer. Da modulet er ikke-negativt, udvides det som følger: , hvor "alfa" er et eller andet udtryk. I dette tilfælde, og vores funktion skal skrives stykkevis:

Men brøkdelene af begge stykker skal reduceres med . Reduktionen vil som i det foregående eksempel ikke ske uden konsekvenser. Den oprindelige funktion er ikke defineret ved punktet, da nævneren går til nul. Derfor bør systemet desuden specificere betingelsen og gøre den første ulighed streng:

Nu om en MEGET NYTTIG beslutningsteknik: inden man færdiggør opgaven på et udkast, kan man med fordel lave en tegning (uanset om det er påkrævet af betingelserne eller ej). Dette vil for det første hjælpe med straks at se kontinuitetspunkter og diskontinuitetspunkter, og for det andet vil det beskytte dig 100% mod fejl, når du finder ensidige grænser.

Lad os tegne. I overensstemmelse med vores beregninger er det til venstre for punktet nødvendigt at tegne et fragment af en parabel (blå farve), og til højre - et stykke af en parabel (rød farve), mens funktionen ikke er defineret ved selve punkt:

Hvis du er i tvivl, så tag et par x-værdier og sæt dem ind i funktionen (husk at modulet ødelægger det mulige minustegnet) og tjek grafen.

Lad os undersøge funktionen for kontinuitet analytisk:

1) Funktionen er ikke defineret på punktet, så vi kan umiddelbart sige, at den ikke er kontinuert på den.

2) Lad os fastslå arten af diskontinuiteten; for at gøre dette beregner vi ensidige grænser:

De ensidige grænser er endelige og forskellige, hvilket betyder, at funktionen lider af en diskontinuitet af 1. slags med et spring i punktet. Bemærk, at det er ligegyldigt, om funktionen ved pausepunktet er defineret eller ej.

Nu er der kun tilbage at overføre tegningen fra udkastet (det blev lavet som ved hjælp af forskning ;-)) og fuldføre opgaven:

Svar: funktionen er kontinuert på hele tallinjen undtagen det punkt, hvor den lider af en diskontinuitet af den første slags med et spring.

Nogle gange kræver de yderligere indikation af diskontinuitetsspringet. Det beregnes enkelt - fra den højre grænse skal du trække venstre grænse fra: , det vil sige, ved pausepunktet hoppede vores funktion 2 enheder ned (som minustegnet fortæller os).

Eksempel 3

Udforsk funktion for kontinuitet. Bestem karakteren af funktionsdiskontinuiteterne, hvis de findes. Lav en tegning.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd, en prøveløsning i slutningen af lektionen.

Lad os gå videre til den mest populære og udbredte version af opgaven, når funktionen består af tre dele:

Eksempel 4

Undersøg en funktion for kontinuitet og plot en graf over funktionen

Løsning: det er indlysende, at alle tre dele af funktionen er kontinuerlige på de tilsvarende intervaller, så det er tilbage kun at kontrollere to "krydspunkter" mellem brikkerne. Lad os først lave et udkast til tegning; Jeg kommenterede byggeteknikken tilstrækkeligt detaljeret i den første del af artiklen. Det eneste er, at vi nøje skal følge vores entalspunkter: på grund af uligheden hører værdien til den rette linje (grøn prik), og på grund af uligheden hører værdien til parablen (rød prik):

Nå, i princippet er alt klart =) Tilbage er kun at formalisere beslutningen. For hvert af de to "sammenføjningspunkter" kontrollerer vi normalt 3 kontinuitetsbetingelser:

JEG)

De ensidige grænser er endelige og forskellige, hvilket betyder, at funktionen lider af en diskontinuitet af 1. slags med et spring i punktet.

Lad os beregne diskontinuitetsspringet som forskellen mellem højre og venstre grænse:
, det vil sige, at grafen rykkede en enhed op.

II) Vi undersøger pointen for kontinuitet

1) - funktionen er defineret på et givet punkt.

2) Find ensidige grænser:

- ensidige grænser er endelige og lige, hvilket betyder, at der er en generel grænse.

På den sidste fase overfører vi tegningen til den endelige version, hvorefter vi sætter den endelige akkord:

Svar: funktionen er kontinuert på hele tallinjen, bortset fra det punkt, hvor den lider af en diskontinuitet af den første slags med et spring.

Eksempel 5

Undersøg en funktion for kontinuitet og konstruer dens graf .

Dette er et eksempel på uafhængig løsning, en kort løsning og et omtrentligt udsnit af problemet i slutningen af lektionen.

Du kan få det indtryk, at funktionen på et tidspunkt skal være kontinuert, og på et andet tidspunkt skal der være en diskontinuitet. I praksis er det ikke altid tilfældet. Prøv ikke at forsømme de resterende eksempler - der vil være flere interessante og vigtige funktioner:

Eksempel 6

Givet en funktion . Undersøg funktionen for kontinuitet på punkter. Byg en graf.

Løsning: og gentag straks tegningen på udkastet:

Det særlige ved denne graf er, at den stykkevise funktion er givet af abscisse-aksens ligning. Her er dette område tegnet med grønt, men i en notesbog er det normalt fremhævet med fed skrift med en simpel blyant. Og, selvfølgelig, glem ikke vores væddere: værdien tilhører tangentgrenen (rød prik), og værdien tilhører den lige linje.

Alt er tydeligt ud fra tegningen - funktionen er kontinuerlig langs hele tallinjen, der mangler kun at formalisere løsningen, som bringes til fuld automatisering bogstaveligt efter 3-4 lignende eksempler:

JEG) Vi undersøger pointen for kontinuitet

2) Lad os beregne ensidige grænser:

, hvilket betyder, at der er en generel grænse.

Der skete en lille sjov ting her. Faktum er, at jeg har skabt en masse materialer om grænserne for en funktion, og flere gange ville jeg, men flere gange glemte jeg et enkelt spørgsmål. Og så, med en utrolig indsats af vilje, tvang jeg mig selv til ikke at miste tanken =) Mest sandsynligt tvivler nogle "dummies" læsere: hvad er grænsen for konstanten? Grænsen for en konstant er lig med selve konstanten. I dette tilfælde er grænsen på nul lig med selve nul (venstrehåndsgrænse).

3) - grænsen for en funktion i et punkt er lig med værdien af denne funktion i et givet punkt.

En funktion er således kontinuert i et punkt ved definitionen af kontinuitet af en funktion i et punkt.

II) Vi undersøger pointen for kontinuitet

1) - funktionen er defineret på et givet punkt.

2) Find ensidige grænser:

Og her, i højre grænse, er grænsen for enhed lig med selve enhed.

- der er en generel grænse.

3) - grænsen for en funktion i et punkt er lig med værdien af denne funktion i et givet punkt.

En funktion er således kontinuert i et punkt ved definitionen af kontinuitet af en funktion i et punkt.

Som sædvanlig overfører vi efter research vores tegning til den endelige version.

Svar: Funktionen er kontinuerlig i punkterne.

Bemærk, at vi i betingelsen ikke blev spurgt om noget om at studere hele funktionen for kontinuitet, og det anses for god matematisk form at formulere præcis og klar svaret på det stillede spørgsmål. Forresten, hvis forholdene ikke kræver, at du bygger en graf, så har du al mulig ret til ikke at bygge den (selvom læreren senere kan tvinge dig til at gøre dette).

En lille matematisk "tungevrider" til at løse det selv:

Eksempel 7

Givet en funktion .

Undersøg funktionen for kontinuitet på punkter. Klassificer eventuelle brudpunkter. Udfør tegningen.

Prøv at "udtale" alle "ordene" korrekt =) Og tegn grafen mere præcist, nøjagtighed, det vil ikke være overflødigt alle steder;-)

Som du husker anbefalede jeg straks at færdiggøre tegningen som udkast, men fra tid til anden støder du på eksempler, hvor du ikke umiddelbart kan finde ud af, hvordan grafen ser ud. Derfor er det i nogle tilfælde fordelagtigt først at finde ensidige grænser og først derefter ud fra undersøgelsen afbilde grenene. I de sidste to eksempler vil vi også lære en teknik til at beregne nogle ensidige grænser:

Eksempel 8

Undersøg funktionen for kontinuitet og konstruer dens skematiske graf.

Løsning: de dårlige punkter er indlysende: (reducerer nævneren af eksponenten til nul) og (reducerer nævneren af hele brøken til nul). Det er ikke klart, hvordan grafen for denne funktion ser ud, hvilket betyder, at det er bedre at lave noget research først:

JEG) Vi undersøger pointen for kontinuitet

2) Find ensidige grænser:

Vær opmærksom på typisk metode til at beregne en ensidig grænse: i stedet for "x" erstatter vi . Der er ingen forbrydelse i nævneren: "tillægget" "minus nul" spiller ikke en rolle, og resultatet er "fire". Men i tælleren foregår der en lille thriller: først dræber vi -1 og 1 i indikatorens nævner, hvilket resulterer i . Enhed divideret med , er lig med "minus uendelig", derfor: . Og endelig, de "to" i uendelig stor negativ grad lig med nul:. Eller for at være endnu mere specifik: .

Lad os beregne den højre grænse:

Og her - i stedet for "X" erstatter vi . I nævneren spiller “additivet” igen ingen rolle: . I tælleren udføres handlinger svarende til den tidligere grænse: vi ødelægger modsatte tal og dividerer en med :

Højre grænse er uendelig, hvilket betyder, at funktionen lider af en diskontinuitet af 2. art i punktet .

II) Vi undersøger pointen for kontinuitet

1) Funktionen er ikke defineret på dette tidspunkt.

2) Lad os beregne den venstre sidegrænse:

Metoden er den samme: vi erstatter "X" i funktionen. Der er ikke noget interessant i tælleren - det viser sig at være et endeligt positivt tal. Og i nævneren åbner vi parenteserne, fjerner "tre", og "tilsætningsstoffet" spiller en afgørende rolle.

Som et resultat er det endelige positive tal divideret med infinitesimalt positivt tal, giver "plus uendelig": .

Højre grænse er som en tvillingebror, med den eneste undtagelse, at den optræder i nævneren uendeligt negativt tal:

Ensidige grænser er uendelige, hvilket betyder, at funktionen lider af en diskontinuitet af 2. art i punktet .

Således har vi to brudpunkter og naturligvis tre grene af grafen. For hver gren er det tilrådeligt at udføre en punktvis konstruktion, dvs. tage flere "x"-værdier og erstatte dem med . Bemærk venligst, at betingelsen giver mulighed for konstruktion af en skematisk tegning, og en sådan lempelse er naturlig for manuelt arbejde. Jeg bygger grafer ved hjælp af et program, så jeg har ikke sådanne vanskeligheder, her er et ret præcist billede:

Direkte er lodrette asymptoter for grafen for denne funktion.

Svar: funktionen er kontinuert på hele tallinjen bortset fra punkter, hvor den lider af diskontinuiteter af 2. art.

En enklere funktion at løse på egen hånd:

Eksempel 9

Undersøg funktionen for kontinuitet og lav en skematisk tegning.

Et omtrentligt eksempel på en løsning i slutningen, der sneg sig ubemærket frem.

Vi ses snart!

Løsninger og svar:

Eksempel 3:Løsning : transformer funktionen: . I betragtning af moduloplysningsreglen og det faktum, at , omskriver vi funktionen i stykkevis form:

Lad os undersøge funktionen for kontinuitet.

1) Funktionen er ikke defineret på punktet .

De ensidige grænser er endelige og forskellige, hvilket betyder, at funktionen lider af en diskontinuitet af 1. slags med et spring i punktet . Lad os lave tegningen:

Svar: funktionen er kontinuerlig på hele tallinjen undtagen punktet , hvor den lider af en diskontinuitet af den første slags med et spring. Jump Gap: (to enheder op).

Eksempel 5:Løsning : Hver af de tre dele af funktionen er kontinuert i sit eget interval.
JEG)
1)

2) Lad os beregne ensidige grænser:

, hvilket betyder, at der er en generel grænse.
3) - grænsen for en funktion i et punkt er lig med værdien af denne funktion i et givet punkt.
Altså funktionen kontinuerlig på et punkt ved at definere kontinuiteten af en funktion i et punkt.
II) Vi undersøger pointen for kontinuitet

1) - funktionen er defineret på et givet punkt. funktionen lider af en diskontinuitet af 2. art på punktet

Hvordan finder man domænet for en funktion?

Eksempler på løsninger

Hvis der mangler noget et sted, betyder det, at der er noget et sted

Vi fortsætter med at studere afsnittet "Funktioner og grafer", og den næste station på vores rejse er Funktion Domæne. En aktiv diskussion af dette koncept begyndte i den første lektion. om funktionsgrafer, hvor jeg så på elementære funktioner, og især deres definitionsdomæner. Derfor anbefaler jeg, at dummies starter med det grundlæggende i emnet, da jeg ikke vil dvæle ved nogle grundlæggende punkter igen.

Det antages, at læseren kender definitionsdomænerne for de grundlæggende funktioner: lineære, kvadratiske, kubiske funktioner, polynomier, eksponentiel, logaritme, sinus, cosinus. De er defineret på . For tangenter, arcsines, så må det være, jeg tilgiver dig =) Sjældnere grafer huskes ikke umiddelbart.

Definitionsomfanget synes at være en simpel ting, og et logisk spørgsmål opstår: hvad vil artiklen handle om? I denne lektion vil jeg se på almindelige problemer med at finde domænet for en funktion. Desuden vil vi gentage uligheder med én variabel, hvis løsningsevne også vil være påkrævet i andre problemer i højere matematik. Materialet er i øvrigt alt skolemateriale, så det vil være nyttigt ikke kun for elever, men også for elever. Oplysningerne foregiver naturligvis ikke at være encyklopædiske, men her er ikke fjerntliggende "døde" eksempler, men ristede kastanjer, som er hentet fra rigtige praktiske værker.

Lad os starte med et hurtigt dyk ned i emnet. Kort om det vigtigste: vi taler om en funktion af en variabel. Dens definitionsdomæne er mange betydninger af "x", for hvilket eksisterer betydningen af "spillere". Lad os se på et hypotetisk eksempel:

Definitionsdomænet for denne funktion er en forening af intervaller:
(for dem, der har glemt: - foreningsikon). Med andre ord, hvis du tager en værdi af "x" fra intervallet , eller fra , eller fra , så vil der for hver sådan "x" være en værdi "y".

Groft sagt, hvor definitionsdomænet er, er der en graf over funktionen. Men halv-intervallet og "tse"-punktet er ikke inkluderet i definitionsområdet, så der er ingen graf der.

Ja, forresten, hvis noget ikke er klart ud fra terminologien og/eller indholdet af de første afsnit, er det bedre at vende tilbage til artiklen Grafer og egenskaber for elementære funktioner.

Definition
Funktion f (x) hedder kontinuert i punkt x 0 i nærheden af dette punkt, og hvis grænsen som x har tendens til x 0 lig med funktionsværdien ved x 0 :
.

Ved at bruge Cauchy- og Heine-definitionerne af grænsen for en funktion kan vi give udvidede definitioner af kontinuiteten af en funktion i et punkt .

Vi kan formulere begrebet kontinuitet i i form af stigninger. For at gøre dette introducerer vi en ny variabel, som kaldes stigningen af variablen x ved punktet. Så er funktionen kontinuerlig på punktet if
.
Lad os introducere en ny funktion:
.
De ringer til hende funktionstilvækst på punktet. Så er funktionen kontinuerlig på punktet if
.

Sætning om afgrænsningen af en kontinuert funktion
Lad funktionen f (x) er kontinuert i punkt x 0 . Så er der et kvarter U (x0), hvor funktionen er begrænset.

Sætning om bevarelse af tegnet for en kontinuert funktion
Lad funktionen være kontinuerlig ved punktet. Og lad det have en positiv (negativ) værdi på dette tidspunkt:
.
Så er der et kvarter til det punkt, hvor funktionen har en positiv (negativ) værdi:
kl.

Kontinuerlige funktioners aritmetiske egenskaber
Lad funktionerne og være kontinuerlige på punktet.
Så er funktionerne og kontinuerlige på punktet.
Hvis , så er funktionen kontinuerlig på punktet.

Venstre-højre kontinuitetsejendom
En funktion er kontinuerlig på et punkt, hvis og kun hvis den er kontinuerlig til højre og venstre.

Beviser for egenskaberne er givet på siden "Egenskaber for funktioner kontinuert i et punkt".

Kontinuitet af en kompleks funktion

Kontinuitetssætning for en kompleks funktion
Lad funktionen være kontinuerlig ved punktet. Og lad funktionen være kontinuerlig på punktet.
Så er den komplekse funktion kontinuert på punktet.

Grænse for en kompleks funktion

Sætning om grænsen for en kontinuert funktion af en funktion
Lad der være en grænse for funktionen ved , og den er lig med:
.
Her er punkt t 0 kan være endelig eller uendelig fjern:.
Og lad funktionen være kontinuerlig på punktet.
Så er der en grænse for en kompleks funktion, og den er lig med:
.

Sætning om grænsen for en kompleks funktion
Lad funktionen have en grænse og kortlæg et punkteret kvarter af et punkt til et punkteret kvarter af et punkt. Lad funktionen være defineret på dette kvarter og hav en grænse for det.
Her er de sidste eller uendeligt fjerne punkter: . Kvarter og deres tilsvarende grænser kan være enten tosidede eller ensidige.
Så er der en grænse for en kompleks funktion, og den er lig med:
.

Brydpunkter

Bestemmelse af brudpunktet
Lad funktionen defineres på et punkteret område af punktet. Pointen hedder funktionsbrudpunkt, hvis en af to betingelser er opfyldt:
1) ikke defineret i ;
2) er defineret ved, men er ikke på dette tidspunkt.

Bestemmelse af diskontinuitetspunktet af 1. art
Pointen hedder diskontinuitetspunkt af den første slags, hvis er et brudpunkt, og der er endelige ensidige grænser til venstre og højre:
.

Definition af et funktionsspring
Spring Δ funktion på et punkt er forskellen mellem grænserne til højre og venstre
.

Bestemmelse af brudpunktet
Pointen hedder aftageligt knækpunkt, hvis der er en grænse
,
men funktionen i punktet er enten ikke defineret eller er ikke lig med grænseværdien:.

Punktet for aftagelig diskontinuitet er således diskontinuitetspunktet af 1. slags, hvor springet af funktionen er lig nul.

Bestemmelse af diskontinuitetspunktet af 2. art
Pointen hedder diskontinuitetspunkt af den anden art, hvis det ikke er et diskontinuitetspunkt af 1. art. Det vil sige, hvis der ikke er mindst én ensidig grænse, eller mindst én ensidig grænse ved et punkt er lig med uendelig.

Funktionernes egenskaber fortsætter i et interval

Definition af en funktion kontinuert på et interval
En funktion kaldes kontinuert på et interval (at), hvis den er kontinuert i alle punkter i det åbne interval (at) og i punkterne a og b, henholdsvis.

Weierstrass' første sætning om afgrænsningen af en funktion kontinuert på et interval
Hvis en funktion er kontinuert på et interval, så er den afgrænset på dette interval.

Bestemmelse af opnåeligheden af maksimum (minimum)
En funktion når sit maksimum (minimum) på sættet, hvis der er et argument for hvilket
for alle .

Bestemmelse af tilgængeligheden af den øvre (nedre) flade
En funktion når sin øvre (nedre) grænse på sættet, hvis der er et argument for hvilket
.

Weierstrass anden sætning om maksimum og minimum af en kontinuerlig funktion
En funktion kontinuert på et segment når sine øvre og nedre grænser på det eller, hvilket er det samme, når sit maksimum og minimum på segmentet.

Bolzano-Cauchy mellemværdisætning
Lad funktionen være kontinuerlig på segmentet. Og lad C være et vilkårligt tal placeret mellem værdierne af funktionen i enderne af segmentet: og . Så er der et punkt for hvilket
.

Konsekvens 1
Lad funktionen være kontinuerlig på segmentet. Og lad funktionsværdierne i enderne af segmentet have forskellige fortegn: eller . Så er der et punkt, hvor værdien af funktionen er lig med nul:
.

Konsekvens 2
Lad funktionen være kontinuerlig på segmentet. Giv slip . Så tager funktionen intervallet alle værdierne fra og kun disse værdier:
kl.

Omvendte funktioner

Definition af en invers funktion
Lad en funktion have et definitionsdomæne X og et sæt værdier Y. Og lad det have ejendommen:
for alle .
Så for ethvert element fra mængden Y kan man kun tilknytte ét element i mængden X, som . Denne korrespondance definerer en funktion kaldet omvendt funktion Til . Den omvendte funktion betegnes som følger:
.

Det følger af definitionen
;
for alle ;
for alle .

Lemma om den gensidige monotoni af direkte og omvendte funktioner
Hvis en funktion er strengt stigende (faldende), så er der en omvendt funktion, der også er strengt stigende (faldende).

Egenskab for symmetri af grafer for direkte og inverse funktioner
Graferne for direkte og inverse funktioner er symmetriske i forhold til den rette linje.

Sætning om eksistensen og kontinuiteten af en invers funktion på et interval
Lad funktionen være kontinuerlig og strengt stigende (faldende) på segmentet. Så er den inverse funktion defineret og kontinuerlig på segmentet, som strengt stiger (falder).

For en stigende funktion. For at mindske -.

Sætning om eksistensen og kontinuiteten af en invers funktion på et interval
Lad funktionen være kontinuerlig og strengt stigende (aftagende) på et åbent endeligt eller uendeligt interval. Så er den omvendte funktion defineret og kontinuerlig på intervallet, som strengt stiger (falder).

For en stigende funktion.
For at mindske:.

På lignende måde kan vi formulere sætningen om eksistensen og kontinuiteten af den inverse funktion på et halvt interval.

Egenskaber og kontinuitet af elementære funktioner

Elementære funktioner og deres invers er kontinuerte i deres definitionsdomæne. Nedenfor præsenterer vi formuleringerne af de tilsvarende teoremer og giver links til deres beviser.

Eksponentiel funktion

Eksponentiel funktion f (x) = akse, med base a > 0 er grænsen for rækkefølgen
,
hvor er en vilkårlig række af rationelle tal, der har tendens til x:
.

Sætning. Egenskaber for den eksponentielle funktion
Den eksponentielle funktion har følgende egenskaber:
(P.0) defineret, for, for alle;
(S.1) for en ≠ 1 har mange betydninger;
(S.2) strengt stiger ved , strengt falder ved , er konstant ved ;
(S.3) ;
(S.3*) ;
(S.4) ;
(S.5) ;
(S.6) ;
(S.7) ;
(S.8) kontinuerlig for alle;
(S.9) kl ;
kl.

Logaritme

Logaritmisk funktion eller logaritme, y = log økse, med base a er det omvendte af eksponentialfunktionen med basis a.

Sætning. Egenskaber for logaritmen
Logaritmisk funktion med basis a, y = log et x, har følgende egenskaber:
(L.1) defineret og kontinuerlig, for og, for positive værdier af argumentet;
(L.2) har mange betydninger;
(L.3) strengt stiger som , strengt falder som ;
(L.4) kl ;
kl ;
(L.5) ;
(L.6) kl ;
(L.7) kl ;
(L.8) kl ;
(L.9) kl.

Eksponent og naturlig logaritme

I definitionerne af eksponentialfunktionen og logaritmen optræder en konstant, som kaldes potensens basis eller logaritmen. Ved matematisk analyse opnås i langt de fleste tilfælde enklere beregninger, hvis tallet e lægges til grund:
.
En eksponentiel funktion med grundtallet e kaldes en eksponent: , og en logaritme med grundtallet e kaldes en naturlig logaritme: .

Eksponentens egenskaber og den naturlige logaritme præsenteres på siderne
"Eksponent, e i potensen af x",
"Naturlig logaritme, ln x funktion"

Power funktion

Power funktion med eksponent s er funktionen f (x) = xp, hvis værdi i punktet x er lig med værdien af eksponentialfunktionen med grundtallet x i punktet p.
Desuden f (0) = 0 p = 0 for p > 0 .

Her vil vi overveje egenskaberne af potensfunktionen y = x p for ikke-negative værdier af argumentet. For rationaler, for ulige m, er potensfunktionen også defineret for negativ x. I dette tilfælde kan dets egenskaber opnås ved hjælp af lige eller ulige.
Disse tilfælde diskuteres i detaljer og illustreres på siden "Powerfunktion, dens egenskaber og grafer".

Sætning. Egenskaber for strømfunktionen (x ≥ 0)
En potensfunktion, y = x p, med eksponent p har følgende egenskaber:
(C.1) defineret og kontinuerligt på settet
kl ,
kl ".

Trigonometriske funktioner

Sætning om kontinuiteten af trigonometriske funktioner
Trigonometriske funktioner: sinus ( synd x), cosinus ( fordi x), tangent ( tg x) og cotangens ( ctg x

Sætning om kontinuiteten af inverse trigonometriske funktioner
Inverse trigonometriske funktioner: arcsine ( arcsin x), bue cosinus ( arccos x), arctangens ( arctan x) og buetangens ( arcctg x), er kontinuerlige i deres definitionsdomæner.