8 egenskaber ved funktioner. Grundlæggende egenskaber for en kvadratisk funktion

Grænser og kontinuitet

Sæt

Under mange forstås som en samling af homogene genstande. Objekter, der danner et sæt kaldes elementer eller prikker af denne mængde. Sæt er angivet med store bogstaver og deres elementer med små bogstaver. Hvis -en er en del af sættet EN, så bruges posten -enÎ EN. Hvis b er ikke en del af sættet EN, så er det skrevet sådan: b Ï EN. Et sæt, der ikke indeholder et enkelt element, kaldes et tomt sæt og betegnes som følger: Ø.

Hvis sættet B består af en del af sættets elementer EN eller falder sammen med det, så sættet B hedder delmængde sæt og betegne BÌ EN.

De to sæt kaldes lige, hvis de består af de samme elementer.

Foreningen to sæt EN Og B kaldet et sæt C, bestående af alle elementer, der tilhører mindst ét ​​af sættene: C=ENÈ B.

Ved at krydse to sæt EN Og B kaldet et sæt C, bestående af alle elementer, der tilhører hvert af disse sæt: C=ENÇ B.

Ved forskel sæt EN Og B kaldet et sæt E EN, som ikke hører til sættet B: .

Supplement sæt ENÌ B kaldet et sæt C, bestående af alle sættets elementer B, hører ikke til EN.

Mængder, hvis elementer er reelle tal, kaldes numerisk:

Hvori NÌ ZÌ QÌ R, jegÌ R Og R=jegÈ Q.

En masse x, hvis elementer opfylder uligheden kaldes segment(segment) og er angivet med [ -en; b]; ulighed -en<x<b – interval og er betegnet med (); uligheder og - halve intervaller og er betegnet med hhv. Du skal også ofte forholde dig til uendelige intervaller og halve intervaller: , , , og . Det er praktisk at ringe til dem alle med mellemrum .

Interval, dvs. sæt af punkter, der opfylder uligheden (hvor ), kaldes punktets -kvarter -en.

Funktionsbegrebet. Grundlæggende egenskaber for en funktion

Hvis hvert element x sæt x et enkelt element matches y sæt Y, så siger de det på settet x givet fungere y=f(x). Hvori x hedder uafhængige variabel eller argument, A y – afhængig variabel eller fungere, A f betegner korrespondanceloven. En masse x hedder definitionsdomæne funktioner og et sæt Y – række af værdier funktioner.

Der er flere måder at specificere funktioner på.


1) Analytisk metode - funktionen er givet ved formlens formel y=f(x).

2) Tabelmetode - funktionen er specificeret af en tabel, der indeholder argumentværdierne og de tilsvarende funktionsværdier y=f(x).

3) Grafisk metode - skildrer en graf for en funktion, dvs. sæt punkter ( x; y) koordinatplan, hvis abscisse repræsenterer værdierne af argumentet, og ordinaterne repræsenterer de tilsvarende værdier af funktionen y=f(x).

4) Verbal metode - en funktion er beskrevet af reglen for dens sammensætning. For eksempel tager Dirichlet-funktionen værdien 1 if x er et rationelt tal og 0 hvis x– irrationelt tal.

Der skelnes mellem følgende hovedegenskaber ved funktioner.

1 Lige og ulige Fungere y=f(x) Hedder også selvom, hvis for nogen værdier x fra dets definitionsdomæne er opfyldt f(–x)=f(x), Og ulige, hvis f(–x)=–f(x). Hvis ingen af ​​de anførte ligheder er opfyldt, så y=f(x) Hedder generel funktion. Grafen for en lige funktion er symmetrisk om aksen Åh, og grafen for den ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen.

2 Monotoni Fungere y=f(x) Hedder stigende (faldende) på intervallet x, hvis en større argumentværdi fra dette interval svarer til en større (mindre) funktionsværdi. Lade x 1 ,x 2 Î x, x 2 >x 1 . Så øges funktionen på intervallet x, hvis f(x 2)>f(x 1), og reducerer if f(x 2)<f(x 1).

Sammen med stigende og faldende funktioner betragtes ikke-faldende og ikke-stigende funktioner. Funktionen kaldes ikke aftagende (ikke stigende), hvis kl x 1 ,x 2 Î x, x 2 >x 1 ulighed holder f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Stigende og faldende funktioner, såvel som ikke-stigende og ikke-faldende funktioner kaldes monotone.

3 Begrænset Fungere y=f(x) kaldes afgrænset på intervallet x, hvis der er et sådant positivt tal M>0, hvad | f(x)|≤M for enhver xÎ x. Ellers siges funktionen at være ubegrænset x.

4 Frekvens Fungere y=f(x) kaldes periodisk med en periode T≠0, hvis for nogen x fra funktionens domæne f(x+T)=f(x). I det følgende mener vi med periode den mindste positive periode af en funktion.

Funktionen kaldes eksplicit, hvis det er givet ved formlens formel y=f(x). Hvis funktionen er givet af ligningen F(x, y)=0, ikke tilladt i forhold til den afhængige variabel y, så hedder det implicit.

Lade y=f(x) er en funktion af den uafhængige variabel, der er defineret på sættet x med rækkevidde Y. Lad os matche hver enkelt yÎ Y enkelt betydning xÎ x, hvorpå f(x)=y.Derefter den resulterende funktion x=φ (y), defineret på sættet Y med rækkevidde x, hedder baglæns og er udpeget y=f –1 (x). Graferne for gensidigt omvendte funktioner er symmetriske med hensyn til halveringslinjen for den første og tredje koordinatfjerding.

Lad funktionen y=f(u) er en funktion af en variabel u, defineret på sættet U med rækkevidde Y, og variablen u til gengæld er en funktion u=φ (x), defineret på sættet x med rækkevidde U. Derefter givet på sættet x fungere y=f(φ (x)) Hedder kompleks funktion(sammensætning af funktioner, overlejring af funktioner, funktion af en funktion).

Elementære funktioner

De vigtigste elementære funktioner omfatter:

  • power funktion y=x n; y=x–n Og y=x 1/ n;
  • eksponentiel funktion y=et x;
  • logaritmisk funktion y=log et x;
  • trigonometriske funktioner y= synd x, y=cos x, y=tg x Og y=ctg x;
  • inverse trigonometriske funktioner y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x Og y=arcctg x.

Fra de grundlæggende elementære funktioner kan nye funktioner opnås ved hjælp af algebraiske operationer og superposition af funktioner.

Funktioner konstrueret ud fra grundlæggende elementære funktioner ved hjælp af et endeligt antal algebraiske operationer og et endeligt antal superpositionsoperationer kaldes elementære.

Algebraisk er en funktion, hvor et begrænset antal algebraiske operationer udføres på argumentet. Algebraiske funktioner omfatter:

· en hel rationel funktion (polynomium eller polynomium)

· brøk-rationel funktion (forholdet mellem to polynomier)

· irrationel funktion (hvis operationerne på argumentet inkluderer at udtrække roden).

Enhver ikke-algebraisk funktion kaldes transcendental. Transcendentale funktioner omfatter eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske og inverse trigonometriske funktioner.

Giver referencedata om den eksponentielle funktion - grundlæggende egenskaber, grafer og formler. Følgende emner behandles: definitionsdomæne, værdisæt, monotoni, invers funktion, afledt, integral, potensrækkeudvidelse og repræsentation ved komplekse tal.

Definition

Eksponentiel funktion er en generalisering af produktet af n tal lig med a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
til mængden af ​​reelle tal x:
y (x) = akse.
Her er a et fast reelt tal, som kaldes grundlaget for eksponentialfunktionen.
En eksponentiel funktion med basis a kaldes også eksponent til base a.

Generaliseringen udføres som følger.
For naturlig x = 1, 2, 3,... , den eksponentielle funktion er produktet af x faktorer:
.
Desuden har den egenskaber (1,5-8) (), som følger af reglerne for multiplikation af tal. For nul og negative værdier af heltal bestemmes eksponentialfunktionen ved hjælp af formlerne (1,9-10). For brøkværdier x = m/n rationelle tal, bestemmes det af formlen (1.11). For reel er den eksponentielle funktion defineret som grænsen for sekvensen:
,
hvor er en vilkårlig række af rationelle tal, der konvergerer til x: .
Med denne definition er den eksponentielle funktion defineret for alle og opfylder egenskaber (1,5-8), som for naturlig x.

En stringent matematisk formulering af definitionen af ​​en eksponentiel funktion og beviset for dens egenskaber er givet på siden "Definition og bevis for egenskaberne af en eksponentiel funktion".

Egenskaber for den eksponentielle funktion

Eksponentialfunktionen y = a x har følgende egenskaber på mængden af ​​reelle tal ():
(1.1) defineret og kontinuerligt, for , for alle ;
(1.2) for en ≠ 1 har mange betydninger;
(1.3) stiger strengt ved , strengt falder ved ,
er konstant ved ;
(1.4) kl ;
kl ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Andre nyttige formler.
.
Formel til konvertering til en eksponentiel funktion med en anden eksponentbase:

Når b = e, får vi udtrykket af eksponentialfunktionen gennem eksponentialet:

Private værdier

, , , , .

Figuren viser grafer for eksponentialfunktionen
y (x) = akse
for fire værdier gradsgrundlag: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 og en = 1/8 . Det kan ses, at for en > 1 eksponentialfunktionen øges monotont. Jo større bunden af ​​graden a, jo stærkere er væksten. På 0 < a < 1 eksponentialfunktionen aftager monotont. Jo mindre eksponent a, jo stærkere fald.

Stigende, faldende

Den eksponentielle funktion for er strengt monotonisk og har derfor ingen ekstrema. Dens vigtigste egenskaber er vist i tabellen.

y = a x, a > 1 y = økse, 0 < a < 1
Domæne - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Vifte af værdier 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotone monotont stiger monotont aftager
Nuller, y = 0 Ingen Ingen
Skæringspunkter med ordinataksen, x = 0 y = 1 y = 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Omvendt funktion

Det omvendte af en eksponentiel funktion med basis a er logaritmen til basis a.

Hvis så
.
Hvis så
.

Differentiering af en eksponentiel funktion

For at differentiere en eksponentiel funktion skal dens grundtal reduceres til tallet e, anvende tabellen over afledte og reglen for differentiering af en kompleks funktion.

For at gøre dette skal du bruge egenskaben for logaritmer
og formlen fra derivattabellen:
.

Lad en eksponentiel funktion være givet:
.
Vi bringer det til basen e:

Lad os anvende reglen om differentiering af komplekse funktioner. For at gøre dette skal du introducere variablen

Derefter

Fra tabellen over afledte har vi (erstat variablen x med z):
.
Da er en konstant, er den afledede af z med hensyn til x lig med
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion:
.

Afledt af en eksponentiel funktion

.
Afledt af n. orden:
.
Udledning af formler > > >

Et eksempel på differentiering af en eksponentiel funktion

Find den afledede af en funktion
y = 3 5 x

Løsning

Lad os udtrykke basis for eksponentialfunktionen gennem tallet e.
3 = e ln 3
Derefter
.
Indtast en variabel
.
Derefter

Fra tabellen over afledte finder vi:
.
Fordi 5ln 3 er en konstant, så er den afledede af z med hensyn til x lig med:
.
Ifølge reglen om differentiering af en kompleks funktion har vi:
.

Svar

Integral

Udtryk ved hjælp af komplekse tal

Overvej den komplekse talfunktion z:
f (z) = a z
hvor z = x + iy; jeg 2 = - 1 .
Lad os udtrykke den komplekse konstant a i form af modul r og argument φ:
a = r e i φ
Derefter


.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Generelt
φ = φ 0 + 2 πn,
hvor n er et heltal. Derfor funktionen f (z) er heller ikke klart. Dens vigtigste betydning overvejes ofte
.

Serieudvidelse


.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og universitetsstuderende, "Lan", 2009.

Definition: En numerisk funktion er en korrespondance, der forbinder hvert tal x fra et givet sæt med et enkelt tal y.

Betegnelse:

hvor x er den uafhængige variabel (argument), y er den afhængige variabel (funktion). Sættet af værdier af x kaldes funktionens domæne (betegnet D(f)). Sættet af værdier for y kaldes funktionens værdiområde (betegnet E(f)). Grafen for en funktion er sættet af punkter i planet med koordinater (x, f(x))

Metoder til at specificere en funktion.

  1. analytisk metode (ved hjælp af en matematisk formel);
  2. tabelmetode (ved hjælp af en tabel);
  3. beskrivende metode (ved hjælp af verbal beskrivelse);
  4. grafisk metode (ved hjælp af en graf).

Funktionens grundlæggende egenskaber.

1. Lige og ulige

En funktion kaldes selvom
– funktionens definitionsdomæne er symmetrisk omkring nul
f(-x) = f(x)


Grafen for en lige funktion er symmetrisk om aksen 0 år

En funktion kaldes ulige hvis
– funktionens definitionsdomæne er symmetrisk omkring nul
– for ethvert x fra definitionsdomænet f(-x) = –f(x)

Grafen for en ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen.

2. Frekvens

En funktion f(x) kaldes periodisk med periode, hvis for enhver x fra definitionsdomænet f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Grafen for en periodisk funktion består af ubegrænset gentagelse af identiske fragmenter.

3. Monotoni (stigende, faldende)

Funktionen f(x) er stigende på mængden P hvis for enhver x 1 og x 2 fra dette sæt, således at x 1

Funktionen f(x) falder på mængden P hvis for enhver x 1 og x 2 fra dette sæt, således at x 1 f(x 2) .

4. Yderligheder

Punktet X max kaldes det maksimale punkt for funktionen f(x), hvis for alle x fra et eller andet område af X max er uligheden f(x) f(X max) opfyldt.

Værdien Y max =f(X max) kaldes maksimum af denne funktion.

X max – maksimum punkt
Ved max - maksimum

Et punkt X min kaldes et minimumspunkt for funktionen f(x), hvis uligheden f(x) f(X min) er opfyldt for alle x fra et eller andet område af X min.

Værdien Y min =f(X min) kaldes minimum af denne funktion.

X min – minimumspunkt
Y min – minimum

X min , X max – ekstremumpunkter
Y min, Y max – ekstreme.

5. Funktionens nuller

Nullpunktet for en funktion y = f(x) er værdien af ​​argumentet x, hvor funktionen bliver nul: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – nuller af funktionen y = f(x).

Opgaver og test om emnet "En funktions grundlæggende egenskaber"

  • Funktionsegenskaber - Numeriske funktioner 9. klasse

    Lektioner: 2 opgaver: 11 prøver: 1

  • Egenskaber for logaritmer - Eksponentielle og logaritmiske funktioner klasse 11

    Lektioner: 2 opgaver: 14 prøver: 1

  • Kvadratrodsfunktion, dens egenskaber og graf - Kvadratrodsfunktion. Egenskaber af kvadratrod grad 8

    Lektioner: 1 opgaver: 9 prøver: 1

  • Potensfunktioner, deres egenskaber og grafer - Grader og rødder. Power funktioner klasse 11

    Lektioner: 4 opgaver: 14 prøver: 1

  • Funktioner - Vigtige emner til gennemgang af Unified State Examination i matematik

    Opgaver: 24

Efter at have studeret dette emne, bør du være i stand til at finde definitionsdomænet for forskellige funktioner, bestemme monotonisitetsintervallerne for en funktion ved hjælp af grafer og undersøge funktioner for jævnhed og ulighed. Lad os overveje at løse lignende problemer ved at bruge følgende eksempler.

Eksempler.

1. Find funktionens definitionsdomæne.

Løsning: definitionsdomænet for funktionen findes ud fra betingelsen

Funktion nuller
En funktions nul er værdien x, hvor funktionen bliver til 0, det vil sige f(x)=0.

Nuller er skæringspunkterne mellem funktionsgrafen og aksen Åh.

Funktionsparitet
En funktion kaldes, selvom for nogen x fra definitionsdomænet gælder ligheden f(-x) = f(x).

En jævn funktion er symmetrisk om aksen OU

Ulige paritetsfunktion
En funktion kaldes ulige, hvis for nogen x fra definitionsdomænet gælder ligheden f(-x) = -f(x).

En ulige funktion er symmetrisk omkring oprindelsen.
En funktion, der hverken er lige eller ulige, kaldes en generel funktion.

Forøgende funktion
En funktion f(x) siges at være stigende, hvis en større værdi af argumentet svarer til en større værdi af funktionen, dvs.

Faldende funktion
En funktion f(x) kaldes aftagende, hvis en større værdi af argumentet svarer til en mindre værdi af funktionen, dvs.

Intervaller, over hvilke funktionen enten kun falder eller kun øges, kaldes intervaller af monotoni. Funktionen f(x) har 3 intervaller af monotoni:

Find intervaller for monotoni ved hjælp af tjenesten Intervaller med stigende og faldende funktion

Lokalt maksimum
Prik x 0 kaldes et lokalt maksimumspunkt, hvis der er nogen x fra nærheden af ​​et punkt x 0 uligheden gælder: f(x 0) > f(x)

Lokalt minimum
Prik x 0 kaldes et lokalt minimumspunkt, hvis der er nogen x fra nærheden af ​​et punkt x 0 ulighed gælder: f(x 0)< f(x).

Lokale maksimumpunkter og lokale minimumspunkter kaldes lokale ekstremumpunkter.

lokale ekstreme punkter.

Funktionsfrekvens
Funktionen f(x) kaldes periodisk, med et punktum T, hvis for nogen x ligheden f(x+T) = f(x) gælder.

Intervaller for tegnkonstans
Intervaller, hvor funktionen enten kun er positiv eller kun negativ, kaldes intervaller med konstant fortegn.

Kontinuitet i funktion
En funktion f(x) kaldes kontinuert i et punkt x 0, hvis grænsen for funktionen som x → x 0 er lig med værdien af ​​funktionen på dette punkt, dvs. .

Brydpunkter
De punkter, hvor kontinuitetsbetingelsen overtrædes, kaldes funktionsbrudpunkter.

x 0- knækpunkt.

Generelt skema for plotte funktioner

1. Find definitionsdomænet for funktionen D(y).

2. Find skæringspunkterne for grafen for funktioner med koordinatakserne.

3. Undersøg funktionen for lige eller ulige.

4. Undersøg funktionen for periodicitet.

5. Find monotonisitetsintervaller og ekstremumpunkter for funktionen.

6. Find funktionens konveksitetsintervaller og bøjningspunkter.

7. Find funktionens asymptoter.

8. Konstruer en graf på baggrund af forskningsresultaterne.

Eksempel: Udforsk funktionen og plot den: y = x 3 – 3x

1) Funktionen er defineret på hele den numeriske akse, dvs. dens definitionsdomæne er D(y) = (-∞; +∞).

2) Find skæringspunkterne med koordinatakserne:

med OX-aksen: løs ligningen x 3 – 3x = 0

med OY-akse: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Find ud af, om funktionen er lige eller ulige:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Det følger heraf, at funktionen er ulige.

4) Funktionen er ikke-periodisk.

5) Lad os finde monotonisitetsintervallerne og ekstremumpunkterne for funktionen: y' = 3x 2 - 3.

Kritiske punkter: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 13 – 3*1 = -2

6) Find konveksitetsintervallerne og bøjningspunkterne for funktionen: y'' = 6x

Kritiske punkter: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funktionen er kontinuerlig, den har ingen asymptoter.

8) På baggrund af undersøgelsens resultater vil vi konstruere en graf over funktionen.