Diagrammer stykvis givet funktioner
Murzalieva T.A. lærer matematikere MBOU"Borskaya gennemsnit helhedsskole»Boksitogorsk-distriktet Leningrad-regionen
Mål:
- mestre den lineære spline metode til at konstruere grafer indeholdende et modul;
- lære at anvende det i simple situationer.
Under spline(af engelsk spline - plank, rail) forstås normalt som en stykkevis given funktion.
Sådanne funktioner har været kendt af matematikere i lang tid, begyndende med Euler (1707-1783, schweizisk, tysk og russisk matematiker), men deres intensiv undersøgelse begyndte faktisk først i midten af det 20. århundrede.
I 1946, Isaac Schoenberg (1903-1990, rumænsk og amerikansk matematiker) første gang, du bruger dette udtryk. Siden 1960 med udvikling computerteknologi begyndte at bruge splines i computer grafik og modellering.
1 . Introduktion
2. Definition af en lineær spline
3. Moduldefinition
4. Tegning af grafer
Et af hovedformålene med funktioner er beskrivelse reelle processer, der forekommer i naturen.
Men i lang tid har videnskabsmænd - filosoffer og naturvidenskabsmænd - identificeret to typer processer: gradvist ( sammenhængende ) Og krampagtig.
Når en krop falder til jorden, sker det først løbende stigning kørehastighed , og i kollisionsøjeblikket med jordens overflade hastigheden ændrer sig brat , blive lig med nul eller ændring af retning (tegn), når kroppen "hopper" fra jorden (f.eks. hvis kroppen er en bold).
Men da der er diskontinuerlige processer, så er der brug for midler til at beskrive dem. Til dette formål introduceres funktioner, der har brister .
a - ved formlen y = h(x), og vi vil antage, at hver af funktionerne g(x) og h(x) er defineret for alle værdier af x og ikke har nogen diskontinuiteter. Så, hvis g(a) = h(a), så har funktionen f(x) et spring ved x=a; hvis g(a) = h(a) = f(a), så har den "kombinerede" funktion f ingen diskontinuiteter. Hvis begge funktioner g og h er elementære, så kaldes f stykkevis elementær. "width="640" - En måde at indføre sådanne diskontinuiteter på er Næste:
Lade fungere y = f(x)
på x er defineret af formlen y = g(x),
og når xa - formel y = h(x), og vi vil overveje at hver af funktionerne g(x) Og h(x) er defineret for alle værdier af x og har ingen diskontinuiteter.
Derefter , Hvis g(a) = h(a), derefter funktionen f(x) har kl x=a hoppe;
hvis g(a) = h(a) = f(a), derefter den "kombinerede" funktion f har ingen pauser. Hvis begge funktioner g Og h elementære, At f kaldes stykkevis elementært.
Diagrammer kontinuerlige funktioner
Tegn en graf af funktionen:
Y = |X-1| + 1
X=1 – formelændringspunkt
Ord "modul" kom fra latinske ord"modul", som betyder "mål".
Modulus af tal EN hedder afstand (i enkelte segmenter) fra oprindelsen til punkt A ( EN) .
Denne definition afslører geometrisk betydning modul.
modul (absolut værdi ) reelle tal EN det samme nummer kaldes EN≥ 0, og modsatte tal -EN, hvis en
0 eller x=0 y = -3x -2 ved x "width="640" Tegn en graf af funktionen y = 3|x|-2.
Per definition af modulet har vi: 3x – 2 ved x0 eller x=0
-3x -2 ved x
x n) "width="640" . Lad x være givet 1 x 2 x n – ændringspunkter for formler i stykkevise elementære funktioner.
En funktion f defineret for alle x kaldes stykkevis lineær, hvis den er lineær på hvert interval
og derudover er koordinationsbetingelserne opfyldt, det vil sige, på tidspunktet for ændring af formler, lider funktionen ikke af en pause.
Kontinuerlig stykkevis lineær funktion hedder lineær spline . Hende tidsplan Der er polylinje med to uendeligheder ekstreme links – venstre (svarende til værdierne x n ) og rigtigt ( tilsvarende værdier x x n )
En stykkevis elementær funktion kan defineres med mere end to formler
Tidsplan - brudt linje med to uendelige ekstreme led - venstre (x1).
Y=|x| - |x – 1|
Formelændringspunkter: x=0 og x=1.
Y(0)=-1, y(1)=1.
Det er praktisk at plotte grafen for en stykkevis lineær funktion, peger på koordinatplan hjørner af den stiplede linje.
Udover at bygge n hjørner skal bygge Også to point : en til venstre for toppunktet EN 1 ( x 1; y ( x 1)), den anden - til højre for toppen An ( xn ; y ( xn )).
Bemærk, at en diskontinuerlig stykkevis lineær funktion ikke kan repræsenteres som en lineær kombination af modulerne af binomialer .
Tegn en graf af funktionen y = x+ |x -2| - |X|.
En kontinuerlig stykkevis lineær funktion kaldes en lineær spline
1. Point for at ændre formler: X-2=0, X=2 ; X=0
2. Lad os lave en tabel:
U( 0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;
y( 2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;
på (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;
y( 3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .
Konstruer en graf for funktionen y = |x+1| +|x| – |x -2|.
1 .Points til at ændre formler:
x+1=0, x=-1 ;
x=0 ; x-2=0, x=2.
2 . Lad os lave en tabel:
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
|x – 1| = |x + 3|
Løs ligningen:
Løsning. Overvej funktionen y = |x -1| - |x +3|
Lad os bygge en graf over funktionen /ved hjælp af den lineære spline-metode/
- Formelændringspunkter:
x-1 = 0, x = 1; x + 3 = 0, x = - 3.
2. Lad os lave en tabel:
y(- 4) =|- 4-1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;
y(-1) = 0.
y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.
Svar: -1.
1. Konstruer grafer af stykkevis lineære funktioner ved hjælp af den lineære spline-metode:
y = |x – 3| + |x|;
1). Formelændringspunkter:
2). Lad os lave en tabel:
2. Konstruer grafer over funktioner ved hjælp af læremidlet "Live Mathematics" »
EN) y = |2x – 4| + |x +1|
1) Formelændringspunkter:
2) y() =
B) Byg funktionsgrafer, opret et mønster :
a) y = |x – 4| b) y = |x| +1
y = |x + 3| y = |x| - 3
y = |x – 3| y = |x| - 5
y = |x + 4| y = |x| + 4
Brug værktøjerne punkt, linje og pil på værktøjslinjen.
1. Menuen "Charts".
2. Fanen "Byg en graf".
.3. Indtast formlen i vinduet "Lommeregner".
Tegn en graf af funktionen:
1) Y = 2x + 4
1. Kozina M.E. Matematik. 8-9 klasser: samling valgfag. – Volgograd: Lærer, 2006.
2. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Algebra: lærebog. Til 7. klasse. almen uddannelse institutioner / udg. S. A. Telyakovsky. – 17. udg. – M.: Uddannelse, 2011
3. Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova. Algebra: lærebog. Til 8. klasse. almen uddannelse institutioner / udg. S. A. Telyakovsky. – 17. udg. – M.: Uddannelse, 2011
4. Wikipedia er den frie encyklopædi
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline
Stykkevise funktioner er de specificerede funktioner forskellige formler på forskellige numeriske intervaller. For eksempel,
Denne notation betyder, at værdien af funktionen beregnes ved hjælp af formlen √x, når x er større end eller lig med nul. Når x er mindre end nul, bestemmes værdien af funktionen af formlen –x 2. For eksempel, hvis x = 4, så er f(x) = 2, fordi i I dette tilfælde rodekstraktionsformlen bruges. Hvis x = –4, så er f(x) = –16, da formlen –x 2 i dette tilfælde bruges (først kvadrerer vi den, så tager vi minus i betragtning).
For at plotte en sådan stykkevis funktion, plot først to forskellige funktioner uanset værdien af x (dvs. på hele tallinjen i argumentet). Herefter tages kun de dele, der hører til de tilsvarende x-områder, fra de resulterende grafer. Disse dele af graferne er kombineret til én. Det er klart, at i simple sager Du kan tegne dele af graferne på én gang og undlade den foreløbige tegning af deres "fulde" versioner.
For eksemplet ovenfor, for formlen y = √x, får vi følgende graf:
Her kan x i princippet ikke acceptere negative værdier(dvs. det radikale udtryk i dette tilfælde kan ikke være negativt). Derfor vil hele grafen for ligningen y = √x gå ind i grafen for den stykvise funktion.
Lad os plotte funktionen f(x) = –x 2 . Vi får en omvendt parabel:
I dette tilfælde vil vi i den stykvise funktion kun tage den del af parablen, for hvilken x hører til intervallet (–∞; 0). Resultatet vil være en graf over den stykkevise funktion:
Lad os se på et andet eksempel:
Grafen for funktionen f(x) = (0,6x – 0,5) 2 – 1,7 vil være en modificeret parabel. Grafen for f(x) = 0,5x + 1 er en ret linje:
I en stykkevis funktion kan x tage værdier i et begrænset område: fra 1 til 5 og fra –5 til 0. Dens graf vil bestå af to separate dele. Vi tager den ene del på intervallet fra parablen, den anden på intervallet [–5; 0] fra lige linje: 
Kommunal budgetuddannelsesinstitution
gymnasiet nr. 13
"Stykvise funktioner"
Sapogova Valentina og
Donskaya Alexandra
Hovedkonsulent:
Berdsk
1. Fastlæggelse af hovedmål og målsætninger.
2. Spørgeskema.
2.1. Bestemmelse af arbejdets relevans
2.2. Praktisk betydning.
3. Funktionshistorie.
4. Generelle karakteristika.
5. Metoder til angivelse af funktioner.
6. Konstruktionsalgoritme.
8. Anvendt litteratur.
1. Fastlæggelse af hovedmål og målsætninger.
Mål:
Find ud af en måde at løse stykvise funktioner på og skab ud fra dette en algoritme for deres konstruktion.
Opgaver:
Lære at kende generelt koncept om stykkevise funktioner;
Find ud af historien om udtrykket "funktion";
Udfør en undersøgelse;
Identificer måder at specificere stykkevise funktioner på;
Opret en algoritme til deres konstruktion;
2. Spørgeskema.
Der blev gennemført en undersøgelse blandt gymnasieelever om deres evne til at konstruere stykvise funktioner. Det samlede antal respondenter var 54 personer. Blandt dem fuldførte 6% arbejdet fuldstændigt. 28 % var i stand til at fuldføre arbejdet, men med visse fejl. 62 % var ude af stand til at fuldføre arbejdet, selvom de gjorde nogle forsøg, og de resterende 4 % begyndte slet ikke at arbejde.
Fra denne undersøgelse kan vi konkludere, at eleverne på vores skole, der tager programmet, ikke har en tilstrækkelig videnbase, fordi denne forfatter ikke er opmærksom på særlig opmærksomhed til opgaver af denne art. Det er ud fra dette, at relevansen og praktisk betydning vores arbejde.
2.1. Bestemmelse af arbejdets relevans.
Relevans:
Stykkevise funktioner findes både i GIA og i Unified State Exam opgaver, der indeholder funktioner af denne art, får 2 eller flere point. Og derfor kan din vurdering afhænge af deres beslutning.
2.2. Praktisk betydning.
Resultatet af vores arbejde vil være en algoritme til løsning af stykkevise funktioner, som vil hjælpe med at forstå deres konstruktion. Og det vil øge dine chancer for at få den karakter, du ønsker til eksamen.
3. Funktionshistorie.
“Algebra 9. klasse” osv.;
Tilbage frem
Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle præsentationens funktioner. Hvis du er interesseret dette arbejde, download venligst den fulde version.
Lærebog: Algebra 8. klasse, redigeret af A. G. Mordkovich.
Lektionstype: Opdagelse af ny viden.
Mål:
for læreren mål er fastsat på hvert trin af lektionen;
for eleven:
Personlige mål:
- Lær at klart, præcist, kompetent udtrykke dine tanker verbalt og skrivning, forstå betydningen af opgaven;
- Lær at anvende erhvervet viden og færdigheder til at løse nye problemer;
- Lær at kontrollere processen og resultaterne af dine aktiviteter;
Meta-fagmål:
I kognitiv aktivitet:
- Udvikling logisk tænkning og tale, evnen til logisk at underbygge sine domme og udføre simple systematiseringer;
- Lær at fremsætte hypoteser hvornår problemløsning, forstå behovet for at kontrollere dem;
- Anvend viden i en standardsituation, lær at udføre opgaver selvstændigt;
- Overfør viden til en ændret situation, se opgaven i sammenhæng med problemsituationen;
I informations- og kommunikationsaktiviteter:
- Lær at føre en dialog, anerkend retten til en anden mening;
I reflekterende aktivitet:
- Lær at forudse mulige konsekvenser dine handlinger;
- Lær at eliminere årsagerne til vanskeligheder.
Fagmål:
- Find ud af, hvad en stykkevis funktion er;
- Lær at definere en stykkevis given funktion analytisk ved hjælp af dens graf;
Under timerne
1. Selvbestemmelse pædagogiske aktiviteter
Formålet med scenen:
- inkludere elever i læringsaktiviteter;
- bestemme indholdet af lektionen: vi fortsætter med at gentage emnet for numeriske funktioner.
Organisation pædagogisk proces på trin 1:
T: Hvad gjorde vi i tidligere lektioner?
D: Vi gentog emnet numeriske funktioner.
U: I dag vil vi fortsætte med at gentage emnet fra tidligere lektioner, og i dag skal vi finde ud af, hvilke nye ting vi kan lære i dette emne.
2. Opdatering af viden og registrering af vanskeligheder i aktiviteter
Formålet med scenen:
- opdatering pædagogisk indhold, nødvendigt og tilstrækkeligt for opfattelsen af nyt materiale: husk formlerne numeriske funktioner deres egenskaber og konstruktionsmetoder;
- opdatering mentale operationer, nødvendigt og tilstrækkeligt til opfattelsen af nyt materiale: sammenligning, analyse, generalisering;
- registrere en individuel vanskelighed i en aktivitet, der viser det personligt betydeligt niveau utilstrækkelig eksisterende viden: specificering af en stykkevis given funktion analytisk, samt konstruering af dens graf.
Organisering af uddannelsesprocessen på trin 2:
T: Diasset viser fem numeriske funktioner. Bestem deres type.
1) fraktioneret-rationel;
2) kvadratisk;
3) irrationel;
4) funktion med modul;
5) beroligende.
T: Navngiv de formler, der svarer til dem.
3) 
;
4) 
;
U: Lad os diskutere, hvilken rolle hver koefficient spiller i disse formler?
D: Variable "l" og "m" er ansvarlige for at flytte graferne for disse funktioner henholdsvis venstre - højre og op - ned, koefficienten "k" i den første funktion bestemmer positionen af grenene af hyperbelen: k> 0 - grenene er i I- og III-kvarteret, k< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - grene er rettet opad, og< 0 - вниз).
2. Slide 2
U: Definer analytisk de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne. (i betragtning af at de flytter y=x2). Læreren skriver svarene ned på tavlen.
D: 1) 
);
2)
;
3. Slide 3
U: Definer analytisk de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne. (med tanke på at de flytter). Læreren skriver svarene ned på tavlen.
4. Slide 4
U: Brug de tidligere resultater til at definere analytisk de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne.
3. Identificering af årsager til vanskeligheder og opstilling af mål for aktiviteter
Formålet med scenen:
- organisere kommunikativ interaktion, hvorunder særegen ejendom en opgave, der forårsagede vanskeligheder i læringsaktiviteter;
- blive enige om formålet og emnet for lektionen.
Organisering af uddannelsesprocessen på trin 3:
T: Hvad volder dig vanskeligheder?
D: Grafer vises på skærmen.
T: Hvad er formålet med vores lektion?
D: Lær at definere dele af funktioner analytisk.
T: Formuler lektionens emne. (Børn forsøger selvstændigt at formulere emnet. Læreren præciserer det. Emne: Stykkevis givet funktion.)
4. Konstruktion af et projekt for at komme ud af en vanskelighed
Formålet med scenen:
- organisere kommunikativ interaktion for at bygge en ny virkemåde, eliminering af årsagen til den identificerede vanskelighed;
- rette op ny vej handlinger.
Organisering af uddannelsesprocessen på trin 4:
T: Lad os læse opgaven grundigt igennem igen. Hvilke resultater bliver bedt om at blive brugt som hjælp?
D: Tidligere, dvs. dem, der er skrevet på tavlen.
U: Måske er disse formler allerede svaret på denne opgave?
D: Nej, fordi disse formler definerer kvadratisk og rationel funktion, og diaset viser deres brikker.
U: Lad os diskutere, hvilke intervaller af x-aksen, der svarer til stykkerne af den første funktion?
U: Så analytisk metode tildelingen af den første funktion ser sådan ud: if
T: Hvad skal der gøres for at udføre en lignende opgave?
D: Skriv formlen ned, og bestem, hvilke intervaller af abscisseaksen, der svarer til stykkerne af denne funktion.
5. Primær konsolidering i ekstern tale
Formålet med scenen:
- registrere det studerede undervisningsindhold i ekstern tale.
Organisering af uddannelsesprocessen på trin 5:
7. Inklusion i vidensystemet og gentagelse
Formålet med scenen:
- træne færdigheder i at bruge nyt indhold i sammenhæng med tidligere lært indhold.
Organisering af uddannelsesprocessen på trin 7:
U: Definer analytisk den funktion, hvis graf er vist i figuren.
8. Refleksion over aktiviteter i lektionen
Formålet med scenen:
- optage nyt indhold lært i lektionen;
- evaluere dine egne aktiviteter i lektionen;
- tak klassekammerater, der hjalp med at få lektionsresultaterne;
- registrere uløste vanskeligheder som retningslinier for fremtidige uddannelsesaktiviteter;
- diskutere og skrive lektier ned.
Organisering af uddannelsesprocessen på trin 8:
T: Hvad lærte vi om i klassen i dag?
D: Med en stykkevis given funktion.
T: Hvilket arbejde har vi lært at udføre i dag?
D: Spørg denne type fungerer analytisk.
T: Ræk hånden op, hvem forstod emnet for dagens lektion? (Diskuter eventuelle problemer, der er opstået med de andre børn).
Lektier
- nr. 21.12(a, c);
- nr. 21.13(a, c);
- №22.41;
- №22.44.
Virkelige processer, der forekommer i naturen, kan beskrives ved hjælp af funktioner. Vi kan således skelne mellem to hovedtyper af processer, der er modsat hinanden – det er disse gradvist eller sammenhængende Og krampagtig(et eksempel ville være en bold, der falder og hopper). Men hvis der er diskontinuerlige processer, så er der særlige midler at beskrive dem. Til dette formål introduceres funktioner, der har diskontinuiteter og spring, det vil sige, at i forskellige dele af tallinjen opfører funktionen sig efter forskellige love og derfor er specificeret af forskellige formler. Begreberne diskontinuitetspunkter og aftagelig diskontinuitet introduceres.
Du er helt sikkert allerede stødt på funktioner defineret af flere formler, afhængigt af værdierne af argumentet, for eksempel:
y = (x – 3, for x > -3;
(-(x – 3), ved x< -3.
Sådanne funktioner kaldes stykkevis eller stykvis angivet. Udsnit af tallinjen med forskellige formler opgaver, lad os kalde dem komponenter domæne. Foreningen af alle komponenter er domænet for den stykkevise funktion. De punkter, der opdeler definitionsdomænet for en funktion i komponenter, kaldes grænsepunkter. Formler, der definerer en stykkevis funktion på hver komponent af definitionsdomænet, kaldes indgående funktioner. Diagrammer stykkevis definerede funktioner opnås som et resultat af at kombinere dele af grafer konstrueret på hvert af partitionsintervallerne.
Øvelser.
Konstruer grafer af stykvise funktioner:
1)
(-3, med -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, for x = 0,
(1, ved 0< x ≤ 5.
Grafen for den første funktion er en ret linje, der går gennem punktet y = -3. Den udspringer af et punkt med koordinater (-4; -3), løber parallelt med x-aksen til et punkt med koordinater (0; -3). Grafen for den anden funktion er et punkt med koordinater (0; 0). Den tredje graf ligner den første - det er en lige linje, der går gennem punktet y = 1, men allerede i området fra 0 til 5 langs Ox-aksen.
Svar: Figur 1.
2)
(3 hvis x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, hvis -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 hvis x > 4.
Lad os overveje hver funktion separat og bygge dens graf.
Så f(x) = 3 er en ret linje, parallelt med aksenÅh, men du behøver kun at afbilde det i området, hvor x ≤ -4.
Grafen for funktionen f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| kan fås ud fra parablen y = x 2 – 4x + 3. Efter at have konstrueret sin graf, skal den del af figuren, der ligger over Ox-aksen, forblive uændret, og den del, der ligger under abscisse-aksen, skal vises symmetrisk relativt til okseaksen. Vis derefter symmetrisk den del af grafen, hvor
x ≥ 0 i forhold til Oy-aksen for negativ x. Vi forlader grafen opnået som et resultat af alle transformationer kun i området fra -4 til 4 langs abscisse-aksen.
Grafen for den tredje funktion er en parabel, hvis grene er rettet nedad, og toppunktet er i punktet med koordinaterne (4; 3). Vi afbilder tegningen kun i området, hvor x > 4.
Svar: Figur 2.
3)
(8 – (x + 6) 2, hvis x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, hvis -6 ≤ x< 5,
(3 hvis x ≥ 5.
Konstruktionen af den foreslåede stykkevis givne funktion svarer til forrige punkt. Her fås graferne for de to første funktioner ud fra parablens transformationer, og grafen for den tredje er en ret linje parallel med Ox.
Svar: Figur 3.
4) Tegn grafen for funktionen y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .
Løsning. Omfanget af denne funktion er alt reelle tal, undtagen nul. Lad os udvide modulet. For at gøre dette skal du overveje to tilfælde:
1) For x > 0 får vi y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2.
2) Ved x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .
Vi har således en stykkevis given funktion:
y = ((x – 2) 2, for x > 0;
( x 2 + 2x, ved x< 0.
Graferne for begge funktioner er parabler, hvis grene er rettet opad.
Svar: Figur 4.
5) Tegn en graf for funktionen y = (x + |x|/x – 1) 2.
Løsning.
Det er let at se, at funktionens domæne er alle reelle tal undtagen nul. Efter udvidelse af modulet får vi en stykkevis given funktion:
1) For x > 0 får vi y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .
2) Ved x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .
Lad os omskrive det.
y = (x 2, for x > 0;
((x – 2) 2, ved x< 0.
Graferne for disse funktioner er parabler.
Svar: Figur 5.
6) Er der en funktion, hvis graf på koordinatplanet har fælles punkt fra enhver lige linje?
Løsning.
Ja, det findes.
Et eksempel kunne være funktionen f(x) = x 3 . Faktisk skærer grafen for en kubisk parabel den lodrette linje x = a i punktet (a; a 3). Lad nu den rette linje være givet ved ligningen y = kx + b. Derefter ligningen
x 3 – kx – b = 0 har ægte rod x 0 (da et polynomium af ulige grader altid har mindst én reel rod). Følgelig skærer grafen for funktionen den rette linje y = kx + b, for eksempel i punktet (x 0; x 0 3).
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.