Numeriske intervaller omfatter stråler, segmenter, intervaller og halve intervaller.
Typer af numeriske intervaller
| Navn | Billede | Ulighed | Betegnelse |
|---|---|---|---|
| Åben stråle | x > -en | (-en; +∞) | |
| x < -en | (-∞; -en) | ||
| Lukket stråle | x ⩾ -en | [-en; +∞) | |
| x ⩽ -en | (-∞; -en] | ||
| Linjestykke | -en ⩽ x ⩽ b | [-en; b] | |
| Interval | -en < x < b | (-en; b) | |
| Halv-interval | -en < x ⩽ b | (-en; b] | |
| -en ⩽ x < b | [-en; b) |
I bordet -en Og b er grænsepunkter, og x- en variabel, der kan tage koordinaten for ethvert punkt, der hører til et numerisk interval.
Grænsepunkt- dette er det punkt, der definerer grænsen for det numeriske interval. Et grænsepunkt hører muligvis ikke til et numerisk interval. På tegningerne er grænsepunkter, der ikke hører til det numeriske interval, der er under overvejelse, angivet med en åben cirkel, og de, der hører til dem, er angivet med en udfyldt cirkel.
Åben og lukket bjælke
Åben stråle er et sæt punkter på en linje, der ligger på den ene side af et grænsepunkt, som ikke er inkluderet i dette sæt. Strålen kaldes åben netop på grund af grænsepunktet, der ikke hører til den.
Lad os overveje et sæt punkter på koordinatlinjen, der har en koordinat større end 2, og derfor er placeret til højre for punkt 2:
Et sådant sæt kan defineres ved uligheden x> 2. Åbne stråler er angivet med parenteser - (2; +∞), denne indgang lyder således: åben numerisk stråle fra to til plus uendelig.
Det sæt, som uligheden svarer til x < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Lukket stråle er et sæt punkter på en linje, der ligger på den ene side af et grænsepunkt, der hører til et givet sæt. På tegningerne er grænsepunkter, der hører til det betragtede sæt, angivet med en udfyldt cirkel.
Lukket antal stråler er defineret af ikke-strenge uligheder. For eksempel uligheder x 2 og x 2 kan afbildes sådan:
Disse lukkede stråler betegnes som følger: , det læses således: en numerisk stråle fra to til plus uendeligt og en numerisk stråle fra minus uendelig til to. Den firkantede parentes i notationen angiver, at punkt 2 hører til det numeriske interval.
Linjestykke
Linjestykke er det sæt af punkter på en linje, der ligger mellem to grænsepunkter, der hører til et givet sæt. Sådanne sæt er defineret af dobbelte ikke-strenge uligheder.
Betragt et segment af en koordinatlinje med ender i punkterne -2 og 3:
Sættet af punkter, der udgør et givet segment, kan specificeres ved den dobbelte ulighed -2 x 3 eller betegne [-2; 3], en sådan post lyder således: et segment fra minus to til tre.
Interval og halv-interval
Interval- dette er sæt af punkter på en linje, der ligger mellem to grænsepunkter, der ikke hører til dette sæt. Sådanne sæt er defineret af dobbelte strenge uligheder.
Betragt et segment af en koordinatlinje med ender i punkterne -2 og 3:
Sættet af punkter, der udgør et givet interval, kan specificeres ved den dobbelte ulighed -2< x < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Halv-interval er mængden af punkter på en linje, der ligger mellem to grænsepunkter, hvoraf det ene hører til mængden og det andet ikke. Sådanne sæt er defineret af dobbelte uligheder:
Disse halve intervaller er betegnet som følger: (-2; 3] og [-2; 3), det læses således: halv-interval fra minus to til tre, inklusive 3, og halv-interval fra minus to til tre , inklusive minus to.
Numerisk interval
Interval, åbent spænd, interval- sættet af punkter på tallinjen mellem to givne tal -en Og b, altså et sæt tal x, der opfylder betingelsen: -en < x < b . Intervallet inkluderer ikke ender og er angivet med ( -en,b) (Sommetider ] -en,b[ ), i modsætning til segmentet [ -en,b] (lukket interval), inklusive enderne, dvs. bestående af punkter.
Ved optagelse ( -en,b), tal -en Og b kaldes enderne af intervallet. Intervallet omfatter alle reelle tal, intervallet omfatter alle mindre tal -en og intervallet - alle tal er store -en .
Semester interval brugt i komplekse termer:
- efter integration - integrationsinterval,
- når man afklarer ligningens rødder - isoleringsspænd
- ved bestemmelse af konvergensen af potensrækker - interval for konvergens af potensrækker.
Forresten, på engelsk ordet interval kaldes et segment. Og for at betegne begrebet interval, bruges udtrykket åbent interval.
Litteratur
- Vygodsky M. Ya. Håndbog i højere matematik. M.: "Astrel", "AST", 2002
se også
Links
Wikimedia Foundation. 2010.
Se, hvad "Numerisk interval" er i andre ordbøger:
Fra lat. intervallum interval, distance: I musik: Interval er forholdet mellem højderne af to toner; forholdet mellem lydfrekvenserne for disse toner. I matematik: Interval (geometri) er mængden af punkter på en linje indeholdt mellem punkt A og B, ... ... Wikipedia
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Interval, åbent interval, interval er et sæt punkter på en tallinje indesluttet mellem to givne tal a og b, det vil sige et sæt tal x, der opfylder betingelsen: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Et interval, eller mere præcist, et interval af en tallinje, er et sæt reelle tal, der har den egenskab, at det sammen med to vilkårlige tal indeholder et hvilket som helst tal, der ligger mellem dem. Ved at bruge logiske symboler, denne definition... ... Wikipedia
Lad os huske definitionerne af nogle grundlæggende delmængder af reelle tal. Hvis, så kaldes mængden et segment af den udvidede tallinje R og betegnes med, det vil sige i tilfælde af et segment ... Wikipedia
Rækkefølge En talrække er en sekvens af elementer i talrummet. Numeriske tal... Wikipedia
MIKROSKOP- (fra det græske mikros small og skopeo I look), et optisk instrument til at studere små genstande, som ikke er direkte synlige for det blotte øje. Der er simple mikroskoper eller forstørrelsesglas og komplekse mikroskoper eller mikroskoper i egentlig forstand. Forstørrelsesglas... ... Great Medical Encyclopedia
GOST R 53187-2008: Akustik. Støjovervågning af byområder- Terminologi GOST R 53187 2008: Akustik. Støjovervågning af byområder originaldokument: 1 Dagligt estimeret lydniveau. 2 Aften estimeret maksimalt lydniveau. 3 Nat estimeret lydtrykniveau... Ordbogsopslagsbog med vilkår for normativ og teknisk dokumentation
Et segment kan kaldes et af to relaterede begreber inden for geometri og matematisk analyse. Et segment er et sæt punkter, for at ... Wikipedia
Korrelationskoefficient- (Korrelationskoefficient) Korrelationskoefficienten er en statistisk indikator for afhængigheden af to stokastiske variable Definition af korrelationskoefficienten, typer af korrelationskoefficienter, egenskaber af korrelationskoefficienten, beregning og anvendelse... ... Investor Encyclopedia
Svar - Mængden (-∞;+∞) kaldes en tallinje, og ethvert tal er et punkt på denne linje. Lad a være et vilkårligt punkt på tallinjen og δ
Positivt tal. Intervallet (a-δ; a+δ) kaldes δ-kvarteret til punkt a.
En mængde X er afgrænset fra oven (nedefra), hvis der er et tal c, således at uligheden x≤с (x≥c) gælder for enhver x ∈ X. Tallet c kaldes i dette tilfælde den øvre (nedre) grænse af mængden X. En mængde, der er afgrænset både over og under, kaldes afgrænset. Den mindste (største) af de øvre (nedre) grænser af et sæt kaldes den nøjagtige øvre (nedre) grænse af dette sæt.
Et numerisk interval er et forbundet sæt af reelle tal, det vil sige sådan, at hvis 2 tal hører til dette sæt, så hører alle tallene imellem dem også til dette sæt. Der er flere lidt forskellige typer af ikke-tomme talintervaller: Linje, åben stråle, lukket stråle, segment, halvinterval, interval
Tallinje
Mængden af alle reelle tal kaldes også tallinjen. De skriver.
I praksis er der ingen grund til at skelne mellem begrebet en koordinat eller tallinje i geometrisk forstand og begrebet en tallinje introduceret ved denne definition. Derfor er disse forskellige begreber betegnet med det samme udtryk.
Åben stråle
Det sæt af tal, der kaldes en åben talstråle. De skriver 
eller i overensstemmelse hermed: 
.
Lukket stråle
Det sæt af tal, der kaldes en lukket tallinje. De skriver 
eller tilsvarende:.
Et sæt tal kaldes et talsegment.
Kommentar. Definitionen foreskriver ikke det. Det forudsættes, at sagen er mulig. Så bliver det numeriske interval til et punkt.
Interval
Et sæt tal, som kaldes et numerisk interval.
Kommentar. Sammenfaldet af betegnelserne for en åben stråle, en lige linje og et interval er ikke tilfældig. En åben stråle kan forstås som et interval, hvis ender er fjernet til det uendelige, og en tallinje - som et interval, hvis begge ender er fjernet til det uendelige.
Halv-interval
Et sæt tal som dette kaldes et numerisk halvinterval.
De skriver eller hhv.
3.Funktion.Graf af funktionen. Metoder til at specificere en funktion.
Svar - Hvis to variable x og y er givet, så siges variablen y at være en funktion af variablen x, hvis der er givet et sådant forhold mellem disse variable, der gør det muligt for hver værdi entydigt at bestemme værdien af y.
Notationen F = y(x) betyder, at der overvejes en funktion, der tillader enhver værdi af den uafhængige variabel x (blandt dem, som argumentet x generelt kan tage) for at finde den tilsvarende værdi af den afhængige variabel y.
Metoder til at specificere en funktion.
Funktionen kan specificeres med en formel, for eksempel:
y = 3x2 – 2.
Funktionen kan angives med en graf. Ved hjælp af en graf kan du bestemme, hvilken funktionsværdi der svarer til en specificeret argumentværdi. Dette er normalt en omtrentlig værdi af funktionen.
4. Hovedkarakteristika for funktionen: monotoni, paritet, periodicitet.
Svar - Periodicitet Definition. En funktion f kaldes periodisk, hvis der er et sådant tal 
, at f(x+ 
)=f(x), for alle x 
D(f). Naturligvis er der et utal af sådanne tal. Det mindste positive tal ^ T kaldes funktionens periode. Eksempler. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, denne funktion er ikke periodisk. Paritet Definition. En funktion f kaldes, selvom egenskaben f(-x) = f(x) gælder for alle x i D(f). Hvis f(-x) = -f(x), så kaldes funktionen ulige. Hvis ingen af de angivne relationer er opfyldt, kaldes funktionen en generel funktion. Eksempler. A. y = cos (x) - lige; V. y = tg (x) - ulige; S. y = (x); y=sin(x+1) – funktioner af generel form. Monotoni definition. En funktion f: X -> R kaldes stigende (faldende) hvis det er nogen 
betingelsen er opfyldt: 
Definition. En funktion X -> R kaldes monoton på X, hvis den er stigende eller faldende på X. Hvis f er monoton på nogle delmængder af X, så kaldes det stykkevis monoton. Eksempel. y = cos x - stykkevis monoton funktion.
B) Tallinje
Overvej tallinjen (fig. 6):
Overvej sættet af rationelle tal
Hvert rationelt tal er repræsenteret af et bestemt punkt på talaksen. Så tallene er markeret i figuren.
Lad os bevise det.
Bevis. Lad der være en brøk:. Vi har ret til at betragte denne fraktion som irreducerbar. Siden , da - er tallet lige: - ulige. Ved at erstatte dets udtryk finder vi: , hvilket antyder, at det er et lige tal. Vi har fået en modsigelse, der beviser udsagnet.
Så ikke alle punkter på talaksen repræsenterer rationelle tal. De punkter, der ikke repræsenterer rationelle tal, repræsenterer tal, der kaldes irrationel.
Ethvert tal på formen , , er enten et heltal eller et irrationelt tal.
Numeriske intervaller
Numeriske segmenter, intervaller, halve intervaller og stråler kaldes numeriske intervaller.
| Ulighed, der angiver et numerisk interval | Betegnelse af et numerisk interval | Navn på nummerintervallet | Det lyder sådan her: |
| a ≤ x ≤ b | [en; b] | Numerisk segment | Segment fra a til b |
| -en< x < b | (en; b) | Interval | Interval fra a til b |
| a ≤ x< b | [en; b) | Halv-interval | Halv-interval fra -en Før b, herunder -en. |
| -en< x ≤ b | (en; b] | Halv-interval | Halv-interval fra -en Før b, herunder b. |
| x ≥ a | [en; +∞) | Nummerstråle | Nummerstråle fra -en op til plus uendeligt |
| x>a | (en; +∞) | Åbn talstråle | Åbn numerisk stråle fra -en op til plus uendeligt |
| x ≤ a | (- ∞; -en] | Nummerstråle | Talstråle fra minus uendelig til -en |
| x< a | (- ∞; -en) | Åbn talstråle | Åbn talstråle fra minus uendelig til -en |
Lad os repræsentere tallene på koordinatlinjen -en Og b, samt nummeret x mellem dem.
Sættet af alle tal, der opfylder betingelsen a ≤ x ≤ b, hedder numerisk segment eller bare et segment. Det er betegnet som følger: [ en; b] - Det lyder sådan her: et segment fra a til b.
Det sæt af tal, der opfylder betingelsen -en< x < b , hedder interval. Det er betegnet som følger: ( en; b)
Det lyder sådan her: interval fra a til b.
Sæt af tal, der opfylder betingelserne a ≤ x< b или -en<x ≤ b, hedder halve intervaller. Betegnelser:
Indstil a ≤ x< b обозначается так:[en; b), lyder sådan her: halvt interval fra -en Før b, herunder -en.
En masse -en<x ≤ b er angivet som følger:( en; b], lyder således: halvt interval fra -en Før b, herunder b.
Lad os nu forestille os Ray med en prik -en, til højre og venstre, hvoraf der er et sæt tal.
-en, opfylder betingelsen x ≥ a, hedder numerisk stråle.
Det er betegnet som følger: [ en; +∞)-Læser sådan her: en numerisk stråle fra -en til plus uendeligt.
Sæt af tal til højre for et punkt -en, svarende til uligheden x>a, hedder åben talstråle.
Det er betegnet som følger: ( en; +∞)-Læser sådan her: en åben numerisk stråle fra -en til plus uendeligt.
-en, opfylder betingelsen x ≤ a, hedder numerisk stråle fra minus uendelig til-en .
Det er betegnet som følger:( - ∞; -en]-Læser sådan her: en numerisk stråle fra minus uendelig til -en.
Sæt af tal til venstre for punktet -en, svarende til uligheden x< a , hedder åben talstråle fra minus uendelig til-en .
Det er betegnet som følger: ( - ∞; -en)-Læser sådan her: en åben talstråle fra minus uendelig til -en.
Sættet af reelle tal er repræsenteret af hele koordinatlinjen. Han kaldes tallinje. Det er betegnet som følger: ( - ∞; + ∞ )
3) Lineære ligninger og uligheder med én variabel, deres løsninger:
En ligning, der indeholder en variabel, kaldes en ligning med én variabel eller en ligning med én ukendt. For eksempel er en ligning med én variabel 3(2x+7)=4x-1.
Roden eller løsningen af en ligning er værdien af en variabel, ved hvilken ligningen bliver en ægte numerisk lighed. For eksempel er tallet 1 en løsning på ligningen 2x+5=8x-1. Ligningen x2+1=0 har ingen løsning, fordi venstre side af ligningen er altid større end nul. Ligningen (x+3)(x-4) =0 har to rødder: x1= -3, x2=4.
At løse en ligning betyder at finde alle dens rødder eller bevise, at der ikke er nogen rødder.
Ligninger kaldes ækvivalente, hvis alle rødderne af den første ligning er rødder af den anden ligning og omvendt, alle rødderne af den anden ligning er rødder af den første ligning, eller hvis begge ligninger ikke har nogen rødder. For eksempel er ligningerne x-8=2 og x+10=20 ækvivalente, fordi roden af den første ligning x=10 er også roden af den anden ligning, og begge ligninger har samme rod.
Ved løsning af ligninger bruges følgende egenskaber:
Hvis du flytter et led i en ligning fra en del til en anden og ændrer dets fortegn, får du en ligning svarende til den givne.
Hvis begge sider af en ligning ganges eller divideres med det samme ikke-nul tal, får du en ligning svarende til den givne.
Ligningen ax=b, hvor x er en variabel og a og b er nogle tal, kaldes en lineær ligning med én variabel.
Hvis a¹0, så har ligningen en unik løsning.
Hvis a=0, b=0, så er ligningen opfyldt af enhver værdi af x.
Hvis a=0, b¹0, så har ligningen ingen løsninger, fordi 0x=b udføres ikke for nogen værdi af variablen.
Eksempel 1. Løs ligningen: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
Lad os åbne parenteserne på begge sider af ligningen, flytte alle led med x til venstre side af ligningen, og led, der ikke indeholder x til højre side, får vi:
16x-15x=88-40-12
Eksempel 2. Løs ligningerne:
x3-2x2-98x+18=0;
Disse ligninger er ikke lineære, men vi vil vise, hvordan sådanne ligninger kan løses.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Produktet er lig nul, hvis en af faktorerne er lig nul, får vi x1=0; x2= .
Svar: 0; .
Faktor venstre side af ligningen:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), dvs. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Dette viser, at løsningerne til denne ligning er tallene x1=2, x2=3, x3=-3.
c) Forestil dig 7x som 3x+4x, så har vi: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, derfor x1=-3, x2=- 4.
Svar: -3; - 4.
Eksempel 3. Løs ligningen: ½x+1ç+½x-1ç=3.
Lad os huske definitionen af et tals modul: 
For eksempel: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
I denne ligning er tallene x-1 og x+1 under modultegnet. Hvis x er mindre end –1, så er tallet x+1 negativt, så ½x+1½=-x-1. Og hvis x>-1, så er ½x+1½=x+1. Ved x=-1 ½x+1½=0.
Dermed, 
Ligeledes
a) Betragt denne ligning½x+1½+½x-1½=3 for x £-1, den svarer til ligningen -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, dette tal hører til mængden x £-1.
b) Lad -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) Overvej tilfældet x>1.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Dette tal hører til sættet x>1.
Svar: x1=-1,5; x2=1,5.
Eksempel 4. Løs ligningen:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
Lad os vise en kort registrering af løsningen til ligningen, der afslører fortegnet for modulet "over intervaller".
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), -4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
Svar: [-2; 0]
Eksempel 5. Løs ligningen: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), for alle værdier af parameter a.
Der er faktisk to variable i denne ligning, men betragte x som det ukendte og a som parameteren. Det er nødvendigt at løse ligningen for variablen x for enhver værdi af parameteren a.
Hvis a=1, så har ligningen formen 0×x=0; ethvert tal opfylder denne ligning.
Hvis a=-1, så ser ligningen ud som 0×x=-2; ikke et enkelt tal opfylder denne ligning.
Hvis a¹1, a¹-1, så har ligningen en unik løsning.
Svar: hvis a=1, så er x et hvilket som helst tal;
hvis a=-1, så er der ingen løsninger;
hvis a¹±1, så .
B) Lineære uligheder med én variabel.
Hvis variablen x får en numerisk værdi, får vi en numerisk ulighed, der udtrykker enten en sand eller falsk udsagn. Lad f.eks. uligheden 5x-1>3x+2 være givet. For x=2 får vi 5·2-1>3·2+2 – et sandt udsagn (sandt numerisk udsagn); for x=0 får vi 5·0-1>3·0+2 – et falsk udsagn. Enhver værdi af en variabel, hvor en given ulighed med en variabel bliver til en sand numerisk ulighed, kaldes en løsning på uligheden. At løse en ulighed med en variabel betyder at finde mængden af alle dens løsninger.
To uligheder med den samme variabel x siges at være ækvivalente, hvis mængderne af løsninger til disse uligheder er sammenfaldende.
Hovedideen med at løse uligheden er som følger: vi erstatter den givne ulighed med en anden, enklere, men svarende til den givne; vi erstatter igen den resulterende ulighed med en enklere ulighed svarende til den osv.
Sådanne udskiftninger foretages på grundlag af følgende udsagn.
Sætning 1. Hvis et led i en ulighed med en variabel overføres fra en del af uligheden til en anden med det modsatte fortegn, mens ulighedens fortegnet forbliver uændret, så opnås en ulighed svarende til den givne.
Sætning 2. Hvis begge sider af en ulighed med én variabel ganges eller divideres med det samme positive tal, så ulighedens fortegnet forbliver uændret, så vil en ulighed svarende til den givne fås.
Sætning 3. Hvis begge sider af en ulighed med én variabel ganges eller divideres med det samme negative tal, mens man ændrer fortegnet for uligheden til det modsatte, så får man en ulighed svarende til den givne.
En ulighed på formen ax+b>0 kaldes lineær (henholdsvis ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Eksempel 1. Løs uligheden: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Når vi åbner beslagene, får vi 2x-6+5-5x³6x-15,
Numeriske intervaller. Sammenhæng. Definition
En lighed (ligning) har et punkt på tallinjen (selvom dette punkt afhænger af de udførte transformationer og den valgte rod). Løsningen til selve ligningen vil være et numerisk sæt (nogle gange bestående af et enkelt tal). Alt dette på tallinjen (visualisering af et sæt reelle tal) vil dog kun blive vist punktvis, men der er også mere generaliserede typer forhold mellem to tal - uligheder. I dem er tallinjen divideret med et bestemt tal, og en bestemt del er afskåret fra det - værdierne af et udtryk eller et numerisk interval.
Det er logisk at diskutere emnet numeriske intervaller sammen med uligheder, men det betyder ikke, at det kun er forbundet med dem. Numeriske intervaller (intervaller, segmenter, stråler) er et sæt variable værdier, der opfylder en vis ulighed. Det vil sige, at dette i bund og grund er sættet af alle punkter på tallinjen, begrænset af en form for ramme. Derfor er emnet numeriske intervaller tættest forbundet med begrebet variabel. Hvor der er en variabel, eller et vilkårligt punkt x på tallinjen, og det bruges, er der også numeriske intervaller, intervaller - x-værdier. Ofte kan værdien være hvad som helst, men dette er også et numerisk interval, der dækker hele tallinjen.
Lad os introducere konceptet numerisk interval. Blandt numeriske mængder, det vil sige mængder, hvis objekter er tal, skelnes der såkaldte numeriske intervaller. Deres værdi er, at det er meget let at forestille sig et sæt svarende til et specificeret numerisk interval, og omvendt. Derfor er det med deres hjælp praktisk at nedskrive mange løsninger på en ulighed. Hvorimod mængden af løsninger til ligningen ikke vil være et numerisk interval, men blot flere tal på tallinjen, med uligheder, med andre ord, eventuelle begrænsninger på værdien af en variabel, vises numeriske intervaller.
Et talinterval er mængden af alle punkter på tallinjen, begrænset af et eller flere givet tal (punkter på tallinjen).
Et numerisk interval af enhver art (et sæt af x-værdier indesluttet mellem visse tal) kan altid repræsenteres af tre typer matematisk notation: speciel notation for intervaller, kæder af uligheder (en ulighed eller dobbelt ulighed) eller geometrisk på et tal linje. I det væsentlige har alle disse betegnelser den samme betydning. De giver en begrænsning(er) på værdierne af et matematisk objekt, variabel (en eller anden variabel, ethvert udtryk med en variabel, funktion osv.).
Ud fra ovenstående kan det forstås, at da arealet af tallinjen kan begrænses på forskellige måder (der er forskellige typer af uligheder), så er typerne af numeriske intervaller forskellige.
Typer af numeriske intervaller
Hver type numerisk interval har sit eget navn, en speciel betegnelse. For at angive numeriske intervaller bruges runde og firkantede parenteser. En parentes betyder, at det sidste, grænsedefinerende punkt på tallinjen (enden) af denne parentes ikke er inkluderet i dette intervals punktsæt. Det firkantede beslag betyder, at enden passer ind i mellemrummet. Med uendeligt (på denne side er intervallet ikke begrænset) brug en parentes. Nogle gange kan du i stedet for parenteser skrive firkantede parenteser vendt i den modsatte retning: (a;b) ⇔]a;b[
| Type mellemrum (navn) | Geometrisk billede (på en tallinje) | Betegnelse | Skrivning ved hjælp af uligheder (altid lænket for kortheds skyld) |
|---|---|---|---|
| Interval (åben) | (a;b) | -en< x < b | |
| Segment (sektion) | a ≤ x ≤ b | ||
| Halvt interval (halvt segment) | -en< x ≤ b | ||
| Ray | x ≤ b | ||
| Åben stråle | (a;+∞) | x>a | |
| Åben stråle | (-∞;b) | x< b | |
| Sættet af alle tal (på en koordinatlinje) | (-∞;+∞) , selvom det her er nødvendigt at angive den specifikke sæt-bærer af algebraen, med hvilken arbejdet udføres; eksempel: | x ∈(de taler normalt om mængden af reelle tal; til at repræsentere komplekse tal bruger de det komplekse plan, ikke den rette linje) | |
| Lighed | eller x=a | x = a(et særligt tilfælde af en ikke-streng ulighed: a ≤ x ≤ a- et interval med længde 1, hvor begge ender falder sammen - et segment bestående af et punkt) | |
| Tomt sæt | ∅ | Det tomme sæt er også et interval - variablen x har ingen værdier (det tomme sæt). Betegnelse: x∈∅⇔x∈( ). |
Navnene på intervallerne kan være forvirrende: Der er et stort antal muligheder. Derfor er det altid bedre at angive dem nøjagtigt. I engelsk litteratur bruges kun udtrykket interval ("interval") - åben, lukket, halvåben (halvt lukket). Der er mange variationer.
Intervaller i matematik bruges til at betegne et meget stort antal ting: der er intervaller af isolation, når man løser ligninger, intervaller for integration, intervaller for konvergens af serier. Når man studerer en funktion, bruges intervaller altid til at angive dens værdiområde og definitionsdomæne. Huller er meget vigtige, for eksempel er der Bolzano-Cauchy teorem(du kan finde ud af mere på Wikipedia).
Systemer og sæt af uligheder
System af uligheder
Så en variabel x eller værdien af et udtryk kan sammenlignes med en konstant værdi - dette er en ulighed, men dette udtryk kan sammenlignes med flere størrelser - en dobbelt ulighed, en kæde af uligheder osv. Det er præcis, hvad der var vist ovenfor - som et interval og et segment. Begge dele er system af ulighed.
Så hvis opgaven er at finde et sæt fælles løsninger på to eller flere uligheder, så kan vi tale om at løse et system af uligheder (ligesom med ligninger - selvom vi kan sige, at ligninger er et specialtilfælde).
Så er det indlysende, at værdien af den variabel, der bruges i ulighederne, ved hvilken hver af dem bliver sande, kaldes løsningen på ulighedssystemet.
Alle uligheder inkluderet i systemet er kombineret med en krøllet klammeparentes - "(". Nogle gange er de skrevet i formen dobbelt ulighed(som vist ovenfor) eller endda kæde af uligheder. Eksempel på en typisk indtastning: f x ≤ 30 g x 5 .
Løsningen på systemer med lineære uligheder med én variabel i det generelle tilfælde kommer ned til disse 4 typer: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
Ethvert system kan løses grafisk ved hjælp af tallinjen. Hvor løsningerne af de uligheder, der udgør systemet, krydser hinanden, vil der være en løsning på selve systemet.
Lad os præsentere en grafisk løsning for hvert enkelt tilfælde.
(1) x>b (2) aYdermere kan ulighedssystemer klassificeres som ækvivalente, hvis de har et fælles sæt af løsninger. Herfra (som det kan ses ovenfor) følger det, at mere komplekse systemer kan simplificeres (for eksempel ved hjælp af en geometrisk løsning).
Den krøllede bøjle kan groft sagt, groft sagt, kaldes det ækvivalente til konjunktionen " OG"for uligheder
Sæt af uligheder
Der er dog andre tilfælde. Så ud over skæringspunktet mellem sæt af løsninger er der deres forening: hvis opgaven er at finde sættet af alle sådanne værdier af en variabel, som hver er en løsning på mindst en af de givne uligheder, så siger de, at det er nødvendigt at løse sættet af uligheder.
Så alle uligheder i aggregatet forenes af den samlede parentes "[". Hvis værdien af en variabel opfylder mindst én ulighed fra befolkningen, så tilhører den et sæt af løsninger for hele befolkningen. Det samme gælder for ligninger (igen, de kan kaldes et specialtilfælde).
Hvis den krøllede bøjle er Og, så er den samlede parentes, betinget, i enkle vendinger, ækvivalenten til foreningen " ELLER" for uligheder (selvom dette selvfølgelig vil være en logisk eller, herunder tilfældet, der opfylder begge betingelser).
Så løsningen på et sæt af uligheder er værdien af den variabel, ved hvilken mindst en ulighed bliver sand.
Sættet af løsninger, både samlinger og systemer af uligheder, kan defineres gennem to grundlæggende binære operationer til at arbejde med sæt - skæringspunkt og forening. Sættet af løsninger til et system af uligheder er vejkryds sæt af løsninger på uligheder, der udgør det. Sættet af løsninger på et sæt af uligheder er Union sæt af løsninger på uligheder, der udgør det. Dette kan også illustreres. Lad os sige, at vi har et system og et sæt af to uligheder. Vi betegner sæt af løsninger af den første EN, og angiv mængden af løsninger af den anden B. En glimrende illustration ville være Euler-Venn diagrammet.
A ∪ B - løsning til et system af uligheder A ∩ B - løsning til et sæt af uligheder