For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en Google-konto og logge ind på den: https://accounts.google.com
Slide billedtekster:
Talcirkel i koordinatplanet
Lad os gentage: Enhedscirklen er en talcirkel, hvis radius er 1. R=1 C=2 π + - y x
Hvis punktet M i talcirklen svarer til tallet t, så svarer det også til et tal på formen t+2 π k, hvor k er et hvilket som helst heltal (k ϵ Z). M(t) = M(t+2 π k), hvor k ϵ Z
Grundlæggende layouts Første layout 0 π y x Andet layout y x
x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y
Lad os finde koordinaterne for punktet M svarende til punktet. 1) 2) x y M P 45° O A
Koordinater for hovedpunkterne i det første layout 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x
MP x y O A Lad os finde koordinaterne for punktet M svarende til punktet. 1) 2) 30°
M P Lad os finde koordinaterne til punktet M svarende til punktet. 1) 2) 30° x y O A B
Ved at bruge symmetriegenskaben finder vi koordinaterne for punkter, der er multipla af y x
Koordinater for hovedpunkterne i det andet layout x y x y y x
Eksempel Find koordinaterne for et punkt på en talcirkel. Løsning: P y x
Eksempel Find punkter med ordinat på talcirklen Løsning: y x x y x y
Øvelser: Find koordinaterne for punkterne på talcirklen: a) , b) . Find punkterne med en abscisse på talcirklen.
Koordinater for hovedpunkterne 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Koordinater for hovedpunkterne i det første layout x y x y Koordinater for hovedpunkterne punkter i det andet layout
Om emnet: metodiske udviklinger, præsentationer og notater
Didaktisk stof om algebra og begyndelsen af analyse i 10. klasse (profilniveau) "Talcirkel på koordinatplanet"
Mulighed 1.1 Find punktet på talcirklen: A) -2∏/3B) 72. Hvilken fjerdedel af talcirklen finder punkt 16.3.
Talcirkel er en enhedscirkel, hvis punkter svarer til bestemte reelle tal.
En enhedscirkel er en cirkel med radius 1.
Generelt billede af talcirklen.
1) Dens radius tages som en måleenhed.
2) De vandrette og lodrette diametre deler talcirklen i fire kvarte (se figur). De kaldes henholdsvis første, andet, tredje og fjerde kvartal.
3) Den vandrette diameter er angivet med AC, hvor A er det yderste højre punkt.
Den lodrette diameter er betegnet BD, hvor B er det højeste punkt.
Henholdsvis:
det første kvartal er buen AB
andet kvartal – bue f.Kr
tredje kvartal – arc CD
fjerde kvartal – arc DA
4) Startpunktet for talcirklen er punkt A.
Tælling langs talcirklen kan udføres enten med eller mod uret.
At tælle fra punkt A mod uret kaldes positiv retning.
At tælle fra punkt A med uret kaldes negativ retning.
Talcirkel på koordinatplanet.
Centrum af radius af talcirklen svarer til oprindelsen (tal 0).
Den vandrette diameter svarer til aksen x, lodrette – akser y.
Startpunktet A for talcirklen er på aksen x og har koordinater (1; 0).
Værdierx Ogy i kvarte af en talcirkel:
Grundværdier for talcirklen:
Navne og placeringer af hovedpunkterne på talcirklen:
Sådan husker du nummercirkelnavne.
Der er flere enkle mønstre, der hjælper dig med nemt at huske de grundlæggende navne på talcirklen.
Før vi begynder, lad os minde dig om: Optællingen udføres i positiv retning, det vil sige fra punkt A (2π) mod uret.
1) Lad os starte med yderpunkterne på koordinatakserne.
Startpunktet er 2π (punktet længst til højre på aksen x, lig med 1).
Som du ved, er 2π omkredsen af en cirkel. Det betyder, at en halv cirkel er 1π eller π. Akse x deler cirklen nøjagtigt i to. Følgelig punktet længst til venstre på aksen x lig med -1 kaldes π.
Det højeste punkt på aksen på, lig med 1, deler den øverste halvcirkel i to. Det betyder, at hvis en halvcirkel er π, så er en halv halvcirkel π/2.
Samtidig er π/2 også en kvart cirkel. Lad os tælle tre sådanne kvarter fra det første til det tredje - og vi kommer til det laveste punkt på aksen på, lig med -1. Men hvis den omfatter tre fjerdedele, så er dens navn 3π/2.
2) Lad os nu gå videre til de resterende punkter. Bemærk venligst: alle modstående punkter har samme tæller - og disse er modsatte punkter i forhold til aksen på, både i forhold til midten af akserne og i forhold til aksen x. Dette vil hjælpe os med at kende deres pointværdier uden at proppe.
Du skal kun huske betydningen af punkterne i første kvartal: π/6, π/4 og π/3. Og så vil vi "se" nogle mønstre:
- I forhold til y-aksen i punkter i andet kvartal, modsat punkterne i første kvartal, er tallene i tællere 1 mindre end nævnernes størrelse. Tag for eksempel punktet π/6. Punktet modsat det i forhold til aksen på har også 6 i nævneren og 5 i tælleren (1 mindre). Det vil sige, at navnet på dette punkt er: 5π/6. Punktet modsat π/4 har også 4 i nævneren og 3 i tælleren (1 mindre end 4) - det vil sige, det er et 3π/4 punkt.
Punktet modsat π/3 har også 3 i nævneren og 1 mindre i tælleren: 2π/3.
- I forhold til midten af koordinatakserne alt er omvendt: tallene i tællere af modsatte punkter (i tredje kvartal) er 1 større end værdien af nævnerne. Lad os tage punktet π/6 igen. Punktet modsat i forhold til midten har også 6 i nævneren, og i tælleren er tallet 1 større - det vil sige, det er 7π/6.
Punktet modsat punktet π/4 har også 4 i nævneren, og i tælleren er tallet 1 mere: 5π/4.
Punktet modsat punktet π/3 har også 3 i nævneren, og i tælleren er tallet 1 mere: 4π/3.
- I forhold til akse x(fjerde kvartal) sagen er mere kompliceret. Her skal du tilføje et tal, der er 1 mindre, til værdien af nævneren - denne sum vil være lig med den numeriske del af tælleren i det modsatte punkt. Lad os starte igen med π/6. Lad os lægge til nævneren værdi lig med 6 et tal, der er 1 mindre end dette tal - altså 5. Vi får: 6 + 5 = 11. Det betyder, at det er modsat aksen x punktet vil have 6 i nævneren og 11 i tælleren - det vil sige 11π/6.
Punkt π/4. Vi lægger til værdien af nævneren et tal 1 mindre: 4 + 3 = 7. Det betyder, at det er modsat aksen x punktet har 4 i nævneren og 7 i tælleren - altså 7π/4.
Punkt π/3. Nævneren er 3. Vi lægger til 3 et mindre tal med en - altså 2. Vi får 5. Det betyder, at punktet modsat har 5 i tælleren - og dette er punktet 5π/3.
3) Endnu et mønster for punkterne i kvartalernes midtpunkter. Det er tydeligt, at deres nævner er 4. Lad os være opmærksomme på tællere. Tælleren i midten af første kvartal er 1π (men det er ikke sædvanligt at skrive 1). Tælleren for midten af andet kvartal er 3π. Tælleren for midten af tredje kvartal er 5π. Tælleren for midten af fjerde kvartal er 7π. Det viser sig, at tællerne i de midterste kvartaler indeholder de første fire ulige tal i stigende rækkefølge:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Dette er også meget enkelt. Da midtpunkterne i alle kvarte har 4 i nævneren, kender vi allerede deres fulde navne: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Funktioner af talcirklen. Sammenligning med tallinjen.
Som du ved, svarer hvert punkt på tallinjen til et enkelt tal. For eksempel, hvis punkt A på en linje er lig med 3, kan det ikke længere være lig med noget andet tal.
Det er anderledes på talcirklen, fordi det er en cirkel. For eksempel, for at komme fra punkt A i en cirkel til punkt M, kan du gøre det som på en lige linje (kun passerer en bue), eller du kan gå rundt om en hel cirkel og så komme til punkt M. Konklusion:
Lad punktet M være lig med et tal t. Som vi ved, er omkredsen af en cirkel 2π. Det betyder, at vi kan skrive et punkt på en cirkel t på to måder: t eller t + 2π. Disse er ækvivalente værdier.
Det vil sige t = t + 2π. Den eneste forskel er, at du i det første tilfælde kom til punkt M med det samme uden at lave en cirkel, og i det andet tilfælde lavede du en cirkel, men endte i samme punkt M. Du kan lave to, tre eller to hundrede sådanne cirkler. Hvis vi angiver antallet af cirkler med bogstavet k, så får vi et nyt udtryk:
t = t + 2π k.
Derfor formlen:
Talcirkelligning
(den anden ligning er i afsnittet "Sinus, cosinus, tangent, cotangens"):
x 2 + y 2 = 1 |
Talcirkel er en enhedscirkel, hvis punkter svarer til bestemte reelle tal.
En enhedscirkel er en cirkel med radius 1.
Generelt billede af talcirklen.
1) Dens radius tages som en måleenhed.
2) De vandrette og lodrette diametre deler talcirklen i fire kvarte. De kaldes henholdsvis første, andet, tredje og fjerde kvartal.
3) Den vandrette diameter er angivet med AC, hvor A er det yderste højre prik.
Den lodrette diameter er betegnet BD, hvor B er det højeste punkt.
Henholdsvis:
det første kvartal er buen AB
andet kvartal - bue f.Kr
tredje kvartal - arc CD
fjerde kvartal - bue DA
4) Startpunktet for talcirklen er punkt A.
Tælling langs talcirklen kan udføres enten med eller mod uret.
Tæller fra punkt A mod med uret kaldes positiv retning.
Tæller fra punkt A Ved kaldet med uret negativ retning.
Talcirkel på koordinatplanet.
Centrum af radius af talcirklen svarer til oprindelsen (tal 0).
Den vandrette diameter svarer til aksen x, lodret akse y.
Udgangspunkt En talcirkeltee er på aksenxog har koordinater (1; 0).
Navne og placeringer af hovedpunkterne på talcirklen:
Sådan husker du nummercirkelnavne.
Der er flere enkle mønstre, der hjælper dig med nemt at huske de grundlæggende navne på talcirklen.
Før vi begynder, lad os minde dig om: Optællingen udføres i positiv retning, det vil sige fra punkt A (2π) mod uret.
1) Lad os starte med yderpunkterne på koordinatakserne.
Startpunktet er 2π (punktet længst til højre på aksen x, lig med 1).
Som du ved, er 2π omkredsen af en cirkel. Det betyder, at en halv cirkel er 1π eller π. Akse x deler cirklen nøjagtigt i to. Følgelig punktet længst til venstre på aksen x lig med -1 kaldes π.
Det højeste punkt på aksen på, lig med 1, deler den øverste halvcirkel i to. Det betyder, at hvis en halvcirkel er π, så er en halv halvcirkel π/2.
Samtidig er π/2 også en kvart cirkel. Lad os tælle tre sådanne kvarter fra det første til det tredje - og vi kommer til det laveste punkt på aksen på, lig med -1. Men hvis den omfatter tre fjerdedele, så er dens navn 3π/2.
2) Lad os nu gå videre til de resterende punkter. Bemærk venligst: alle modstående punkter har samme nævner - og disse er modsatte punkter i forhold til aksen på, både i forhold til midten af akserne og i forhold til aksen x. Dette vil hjælpe os med at kende deres pointværdier uden at proppe.
Du skal kun huske betydningen af punkterne i første kvartal: π/6, π/4 og π/3. Og så vil vi "se" nogle mønstre:
- I forhold til akse på
i punkter i andet kvartal, modsat punkterne i første kvartal, er tallene i tællere 1 mindre end nævnernes størrelse. Tag for eksempel punktet π/6. Punktet modsat det i forhold til aksen på har også 6 i nævneren og 5 i tælleren (1 mindre). Det vil sige, at navnet på dette punkt er: 5π/6. Punktet modsat π/4 har også 4 i nævneren og 3 i tælleren (1 mindre end 4) - det vil sige, det er et 3π/4-punkt.
Punktet modsat π/3 har også 3 i nævneren og 1 mindre i tælleren: 2π/3.
- I forhold til midten af koordinatakserne alt er omvendt: tallene i tællere af modsatte punkter (i tredje kvartal) er 1 større end værdien af nævnerne. Lad os tage punktet π/6 igen. Punktet modsat i forhold til midten har også 6 i nævneren, og i tælleren er tallet 1 mere - det vil sige, det er 7π/6.
Punktet modsat punktet π/4 har også 4 i nævneren, og i tælleren er tallet 1 mere: 5π/4.
Punktet modsat punktet π/3 har også 3 i nævneren, og i tælleren er tallet 1 mere: 4π/3.
- I forhold til akse x(fjerde kvartal) sagen er mere kompliceret. Her skal du tilføje et tal, der er 1 mindre, til værdien af nævneren - denne sum vil være lig med den numeriske del af tælleren i det modsatte punkt. Lad os starte igen med π/6. Lad os lægge til nævneren værdi lig med 6 et tal, der er 1 mindre end dette tal - altså 5. Vi får: 6 + 5 = 11. Det betyder, at det er modsat aksen x punktet vil have 6 i nævneren og 11 i tælleren - det vil sige 11π/6.
Punkt π/4. Vi lægger til værdien af nævneren et tal 1 mindre: 4 + 3 = 7. Det betyder, at det er modsat aksen x punktet har 4 i nævneren og 7 i tælleren - altså 7π/4.
Punkt π/3. Nævneren er 3. Vi lægger til 3 et mindre tal med en - altså 2. Vi får 5. Det betyder, at punktet modsat har 5 i tælleren - og dette er punktet 5π/3.
3) Endnu et mønster for punkterne i kvartalernes midtpunkter. Det er tydeligt, at deres nævner er 4. Lad os være opmærksomme på tællere. Tælleren i midten af første kvartal er 1π (men det er ikke sædvanligt at skrive 1). Tælleren for midten af andet kvartal er 3π. Tælleren for midten af tredje kvartal er 5π. Tælleren for midten af fjerde kvartal er 7π. Det viser sig, at tællerne i de midterste kvartaler indeholder de første fire ulige tal i stigende rækkefølge:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Dette er også meget enkelt. Da midtpunkterne i alle kvarte har 4 i nævneren, kender vi allerede deres fulde navne: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Funktioner af talcirklen. Sammenligning med tallinjen.
Som du ved, svarer hvert punkt på tallinjen til et enkelt tal. For eksempel, hvis punkt A på en linje er lig med 3, kan det ikke længere være lig med noget andet tal.
Det er anderledes på talcirklen, fordi det er en cirkel. For eksempel, for at komme fra punkt A i en cirkel til punkt M, kan du gøre det som på en lige linje (kun passerer en bue), eller du kan gå rundt om en hel cirkel og så komme til punkt M. Konklusion:
Lad punktet M være lig med et tal t. Som vi ved, er omkredsen af en cirkel 2π. Det betyder, at vi kan skrive et punkt på en cirkel t på to måder: t eller t + 2π. Disse er ækvivalente værdier.
Det vil sige t = t + 2π. Den eneste forskel er, at du i det første tilfælde kom til punkt M med det samme uden at lave en cirkel, og i det andet tilfælde lavede du en cirkel, men endte i samme punkt M. Du kan lave to, tre eller to hundrede sådanne cirkler. Hvis vi angiver antallet af cirkler med bogstavet n, så får vi et nyt udtryk:
t = t + 2π n.
Derfor formlen:
Hvis du placerer enhedstalcirklen på koordinatplanet, så kan du finde koordinaterne for dets punkter. Talcirklen er placeret således, at dens centrum falder sammen med planens begyndelse, dvs. punktet O (0; 0).
Normalt på enhedstalcirklen er de punkter, der svarer til cirklens oprindelse, markeret
- kvarte - 0 eller 2π, π/2, π, (2π)/3,
- mellemkvarter - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- tredjedele af kvarte - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
På koordinatplanet, med ovenstående placering af enhedscirklen på, kan du finde de koordinater, der svarer til disse punkter i cirklen.
Koordinaterne for enderne af kvartalerne er meget nemme at finde. Ved punkt 0 af cirklen er x-koordinaten 1, og y-koordinaten er 0. Vi kan betegne det som A (0) = A (1; 0).
Slutningen af første kvartal vil blive placeret på den positive y-akse. Derfor er B (π/2) = B (0; 1).
Slutningen af andet kvartal er på den negative halvakse: C (π) = C (-1; 0).
Slutningen af tredje kvartal: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Men hvordan finder man koordinaterne for kvarterernes midtpunkter? For at gøre dette skal du konstruere en retvinklet trekant. Dens hypotenus er et segment fra midten af cirklen (eller oprindelsen) til midtpunktet af kvartcirklen. Dette er radius af cirklen. Da cirklen er enhed, er hypotenusen lig med 1. Tegn derefter en vinkelret fra et punkt på cirklen til en hvilken som helst akse. Lad det være mod x-aksen. Resultatet er en retvinklet trekant, hvis benlængder er x- og y-koordinaterne for punktet på cirklen.
En kvart cirkel er 90º. Og et halvt kvarter er 45º. Da hypotenusen er trukket til midtpunktet af kvadranten, er vinklen mellem hypotenusen og benet, der strækker sig fra origo, 45º. Men summen af vinklerne i enhver trekant er 180º. Som følge heraf forbliver vinklen mellem hypotenusen og det andet ben også 45º. Dette resulterer i en ligebenet retvinklet trekant.
Fra Pythagoras sætning får vi ligningen x 2 + y 2 = 1 2. Da x = y og 1 2 = 1, forenkles ligningen til x 2 + x 2 = 1. Løser vi det, får vi x = √½ = 1/√2 = √2/2.
Koordinaterne for punktet M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
I koordinaterne for punkterne i midtpunkterne i de andre kvartaler vil kun tegnene ændre sig, og værdiernes moduler forbliver de samme, da den højre trekant kun bliver vendt. Vi får:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)
Når man bestemmer koordinaterne for de tredje dele af en cirkels fjerdedele, konstrueres også en retvinklet trekant. Hvis vi tager punktet π/6 og tegner en vinkelret på x-aksen, så vil vinklen mellem hypotenusen og benet, der ligger på x-aksen, være 30º. Det er kendt, at et ben, der ligger modsat en vinkel på 30º, er lig med halvdelen af hypotenusen. Det betyder, at vi har fundet y-koordinaten, den er lig med ½.
Ved at kende længden af hypotenusen og et af benene, ved hjælp af Pythagoras sætning, finder vi det andet ben:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Således T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
For punktet i den anden tredjedel af det første kvartal (π/3) er det bedre at tegne en vinkelret på aksen til y-aksen. Så vil vinklen ved origo også være 30º. Her vil x-koordinaten være lig med ½, og y henholdsvis √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
For andre punkter i tredje kvartal ændres tegnene og rækkefølgen af koordinatværdierne. Alle punkter, der er tættere på x-aksen, vil have en modulus x-koordinatværdi lig med √3/2. De punkter, der er tættere på y-aksen, vil have en modulus y-værdi lig med √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Lektion 9. Talcirkel. Sinus og cosinus. Tangent og cotangens.
En enhedscirkel er en cirkel med radius 1.
Talcirkel er en enhedscirkel, hvis punkter svarer til bestemte reelle tal.
Generelt billede af talcirklen.
1) Dens radius tages som en måleenhed.
2) De vandrette og lodrette diametre deler talcirklen i fire kvarte. De kaldes henholdsvis første, andet, tredje og fjerde kvartal.
3) Den vandrette diameter er angivet med AC, hvor A er det yderste højre punkt. Den lodrette diameter er betegnet BD, hvor B er det højeste punkt.
det første kvartal er buen AB
andet kvartal - bue f.Kr
tredje kvartal - arc CD
fjerde kvartal - bue DA
4) Startpunktet for talcirklen er punkt A.
Tælling langs talcirklen kan udføres enten med eller mod uret. Tæller fra punkt A mod med uret kaldes positiv retning. Tæller fra punkt A Ved kaldet med uret negativ retning.
Talcirkel på koordinatplanet.
Centrum af radius af talcirklen svarer til oprindelsen (tal 0). Den vandrette diameter svarer til aksen x , lodret akse y . Startpunktet A for talcirklen er på aksen x og har koordinater (1; 0).
Værdier x Og y i kvarte af en talcirkel:
Værdien af ethvert punkt på talcirklen:
Ethvert punkt på talcirklen med koordinater (x; y) kan ikke være mindre end -1, men kan ikke være større end 1: ;
Grundværdier for talcirklen:
Navne og placeringer af hovedpunkterne på talcirklen:
Sådan husker du nummercirkelnavne.
Der er flere enkle mønstre, der hjælper dig med nemt at huske de grundlæggende navne på talcirklen. Før vi begynder, lad os minde dig om: nedtællingen er i den positive retning, det vil sige fra punkt A (2 P) mod uret.
1) Lad os starte med yderpunkterne på koordinatakserne. Udgangspunktet er 2 P(punkt længst til højre på aksen x, lig med 1). Som du ved 2 P er omkredsen. Så en halv cirkel er 1 P eller P. Akse x deler cirklen nøjagtigt i to. Følgelig kaldes punktet længst til venstre på x-aksen, lig med -1 P. Det højeste punkt på y-aksen, lig med 1, halverer den øverste halvcirkel. Det betyder, at hvis en halvcirkel er P, så er halvdelen af halvcirklen P/2. Samtidigt P/2 er også en kvart cirkel. Lad os tælle tre sådanne kvarter fra det første til det tredje - og vi kommer til det laveste punkt på aksen på, lig med -1. Men hvis den omfatter tre fjerdedele, så er dens navn 3 P/2.
2) Lad os nu gå videre til de resterende punkter. Bemærk venligst: alle modstående punkter har samme tæller - og disse er modsatte punkter i forhold til aksen på , både i forhold til midten af akserne og i forhold til aksen x . Dette vil hjælpe os med at kende deres pointværdier uden at proppe. Du skal kun huske betydningen af punkterne i det første kvartal: P/6, P/4 og P/3. Og så vil vi "se" nogle mønstre:
Definition. Hvis punktet M i talcirklen svarer til tallet t, så kaldes abscissen af punktet M cosinus af tallet t og betegnes сos t, og ordinaten af punktet M kaldes sinus af tallet t og betegnes synd t.
Hvis M(t) = M(x;y), så er x = pris, y = sint.
Definition. Forholdet mellem sinus af et tal t og cosinus af samme tal kaldes tangens af tallet t. Forholdet mellem cosinus af et tal t og sinus af samme tal kaldes cotangens af tallet t.
Tabel over sinus-, cosinus-, tangent- og cotangenstegn for kvarte af en talcirkel: