Billede på et plan af et sæt punkter defineret af en ulighed med to variable Udførte arbejdet: Ksenia Surova
Formål: 1). Form: - konceptet, at løsningen på en ulighed med to variable er et sæt punkter i planet. - evnen til at afbilde på et plan et sæt punkter defineret af en ulighed med to variable. - lære at bruge algoritmen. 2). Udvikle: evnen til at analysere den foreslåede situation; grafiske færdigheder. 3). Dyrk mindfulness.
Fremskridt: 1. Forberedelse til opfattelsen af nyt materiale: y-3x+4=0. . x 2 +6x-8=0 x 2 +y-16=0 -Hvad er løsningen på en ligning med to variable? -Er det muligt at afbilde løsningen af en ligning med to variable på koordinatplanet? Hvad vil være løsningen på sådan en ligning?
2. At studere nyt materiale. Hver linje deler koordinatplanet i to dele (halvplaner). 0 x y y-3x+4=0 -4 2. halvplan 1. halvplan Hvad er betingelsen for, at punkter ligger på en linje? f (x;y)=0 (en linjes ligning) Hvilken betingelse tror du, er opfyldt ved at punkter ikke ligger på en linje? Overvej den første figur: Tag punkterne A(-4;-1), B(-2;4). C(0;2). Hvilket halvplan tilhører disse punkter? Lad os erstatte punkternes koordinater i ligningen for den rette linje og sammenligne de resulterende værdier med nul. A(-4;-1) -1-3(-4)+4= -1+12+4=15, 15 0, B(-2;4) 4-3(-2)+4=4 +6+4=14, 14 0, C(0;2) 2-3 0+4=6, 6 0. Værdien af vores polynomium f (x;y) i punkterne A, B, C tager på en værdi større 0.
Hvordan skriver man denne betingelse ved hjælp af en matematisk model? y-3x+4 0 . Hvilket halvplan tilhører punkterne D(6;0), E(0;-6), F (3;-3)? Lad os sammenligne værdierne af polynomiet y-3x+4 på disse punkter med nul. D(6;0) 0-36+4=-18+4=-14, -14 0, E(0;-6) -6-30+4= -2, -2 0, F (3 ;-3) -3-3 3+4= -3-9+4, -8 0. Hvilken betingelse opfylder punkterne i det nederste halvplan? y-3x+4 0 Konklusion: Punkter ikke liggende på linjen tilfredsstille uligheden. f (x;y) 0 eller f (x;y) 0.
3. Udfyld tabellen. Hvilke af betingelserne er opfyldt af punkterne i koordinatplanet: A(0;4), B(0;-4), O(0;0), C(-2;-2), D(5;0 ), E(4; 8), F (0;-6), K(4;1), M(-2;1), N (8;-2) F(x;y)=0 F(x) ;y) 0 F (x;y) 0
Definer planetens punkter i billederne som en ulighed: x y 0 4 2 y=x 2 -6x+8 y x 0 4 -4 4 -4 x 2 +y 2 =16 Lad os opsummere: Sådan indstilles mængden af punkter i flyet med en ulighed? Jeg lavede en algoritme for mine handlinger. 1. Vi bygger en graf af funktionen f (x;y) = 0 2. Vi tager et kontrolpunkt. 3. Tjek uligheden f (x;y) 0 eller f (x;y) 0
6 3 0 y x y+2x-6=0 6 3 0 y x y+2x-6=0 4. Indstil uligheden af punkter på koordinatplanet Hvad er forskellen mellem disse to tilfælde? Konklusion: I det første tilfælde indgår linjens punkter i det angivne sæt, derfor definerer disse punkter et sæt, der opfylder uligheden f (x;y) 0, i det andet tilfælde er linjens punkter ikke del af mængden af den specificerede halvplan, derfor er vores mængde defineret af uligheden f (x; y) 0. Så hvis ulighedstegnet ikke er strengt, så er ligningens graf afbildet som et fast stof linje; hvis ulighedstegnet er strengt, så er grafen for ligningen afbildet med en stiplet linje.
Selvstændigt arbejde. Mulighed 1 Mulighed 2 Vis på planet et sæt punkter specificeret af uligheden: A) y=2x-4 0 (2b) y-x -5 0 C) x 2 +4x+y 2 0 (3b) x 2 =y 2 -4у≤0 Definer et sæt af punkter i koordinatplanet ved uligheden: (2b) Afbild grafisk løsningen til uligheden (3b) Hvordan tror du, at dette sæt kan defineres: (Den samme tegning uden skygge er vist på tavlen.) Hvilke linjer er vist? (lige cirkel) En ret linje deler et plan i to halvplaner. Hvilket halvplan tilhører den skraverede del, og hvilken betingelse opfylder den? y+x-4≥0 Cirklen deler planet i to dele: inde i cirklen og uden for den. Vi er interesserede i den interne del. Hvilken betingelse opfylder den? (x+y) 2 + (y-2) 2 -9
Det vil sige, at dette sæt er resultatet af skæringspunktet mellem to sæt. Det vil sige ved at løse et system af uligheder: (x-2) 2 + (y-2) 2 -9 0 Og så har du og jeg defineret et bestemt sæt med et system af uligheder. Lad os opsummere: Lad os skabe en algoritme til at konstruere et sæt punkter på planet, specificeret af et system af uligheder: Vi bygger en graf af ligningen f 1 (x;y)=0 og f 2 (x;y)=0 Vi skildrer et sæt punkter, der tilfredsstiller den første ulighed. Vi skildrer et sæt punkter, der opfylder den anden ulighed. Resultatet er skæringspunktet mellem sæt.
Tak for din opmærksomhed!!!
5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Hvad hedder den rette linje vist på figuren?
Navngiv punkternes koordinater
A, B, C, D, O.
A(4), B(-4), C(5,5), D(-1,5), O(0)
Оx – abscisse-akse
Oy - ordinatakse
Punkt 0 – oprindelse
3 – abscisse af punkt M
4 - ordinat af punkt M
Et plan med et koordinatsystem angivet på kaldes et koordinatplan.
Tal, der bruges til at angive, hvor et objekt er placeret, kalder det koordinater.
( fra de latinske ord co - "sammen"
ordinatus - "bestemt")
Det rektangulære koordinatsystem, der består af to indbyrdes vinkelrette akser med en fælles oprindelse, blev opfundet i det 16. århundrede. Den berømte franske matematiker Rene Descartes.
Det kartesiske koordinatsystem gjorde det muligt at kombinere matematikkens numeriske og geometriske linjer.
Navngiv punkternes koordinater
A, B, C, D, E, F
- A(3;1)
- B(2;-2)
- C (-2;4)
- D (-4;-2)
- E (0;2)
- F(-4;0)
Dette skal du vide:
- Hvis et punkt ligger på ordinataksen, er dets abscisse nul.
2. Hvis et punkt ligger på x-aksen, er dets ordinat nul.
Tegn koordinatakser i din notesbog, tag et enhedssegment på 1 cm.
Tegn punkterne:
A (4;1), B (-1;4), C (3;-2),
D(-3;-1); K (0;3), N (-2;1)
F (-2,5; -4,5), S (0,5; -2,5)
Lad os tjekke os selv
Skriv ned koordinaterne for punkterne B, A, R, S, I, K
- B(3;1)
- A(2:-5)
- R(0;-9)
- S (-3;-5)
- I (-2;3)
- K(-1;9)
Konstruer en figur ved sekventielt at forbinde punkter med koordinater med segmenter Og
(3; 7), (1; 5), (2; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 2),
(8; 4), (8;-1), (6; 0), (0;-3), (2;-6), (-2;-3), (-4;-2), (-5;-1), (-6; 1), (-6; 2), (-3; 5), (3; 7) Separat: (-3; 3) Separat: (-6; 1), (-4; 1) Separat: (-3; 5), (-2; 2), (-2; 0), (-4;-2) (tag 1 celle i en notesbog som et enhedssegment)
3. Tegn et sæt punkter x≤2 på koordinataksen. Tegn et sæt punkter på koordinatplanet 2 ≤ y ≤5." width="640" - Tegn et sæt punkter y på koordinataksen
- Tegn et sæt punkter x 3 på koordinataksen.
- Tegn et sæt punkter x≤2 på koordinataksen.
- Tegn et sæt punkter 2 ≤ y ≤5 på koordinatplanet.
y 
3" width="640"
Lad det være givet ligning med to variable F(x; y). Du er allerede blevet bekendt med måder at løse sådanne ligninger analytisk på. Mange løsninger af sådanne ligninger kan repræsenteres i grafform.
Grafen for ligningen F(x; y) er sættet af punkter på koordinatplanet xOy, hvis koordinater opfylder ligningen.
For at tegne ligninger i to variable skal du først udtrykke y-variablen i ligningen i form af x-variablen.
Du ved sikkert allerede, hvordan man bygger forskellige grafer af ligninger med to variable: ax + b = c - ret linje, yx = k - hyperbel, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 - cirkel, hvis radius er lig med R, og centrum er i punktet O(a; b).
Eksempel 1.
Tegn grafen af ligningen x 2 – 9y 2 = 0.
Løsning.
Lad os faktorisere venstre side af ligningen.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, dvs. y = x/3 eller y = -x/3.
Svar: Figur 1.
En særlig plads er optaget ved at definere figurer på et plan med ligninger, der indeholder tegnet for den absolutte værdi, som vi vil dvæle ved i detaljer. Lad os overveje stadierne til at konstruere grafer for ligninger på formen |y| = f(x) og |y| = |f(x)|.
Den første ligning svarer til systemet
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) eller y = -f(x).
Det vil sige, at dens graf består af grafer med to funktioner: y = f(x) og y = -f(x), hvor f(x) ≥ 0.
For at plotte den anden ligning, plot to funktioner: y = f(x) og y = -f(x).
Eksempel 2.
Tegn grafen for ligningen |y| = 2 + x.
Løsning.
Den givne ligning svarer til systemet
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 eller y = -x – 2.
Vi bygger mange point.
Svar: Figur 2.
Eksempel 3.
Tegn ligningen |y – x| = 1.
Løsning.
Hvis y ≥ x, så er y = x + 1, hvis y ≤ x, så er y = x – 1.
Svar: Figur 3.
Når man konstruerer grafer af ligninger, der indeholder en variabel under modultegnet, er det praktisk og rationelt at bruge arealmetode, baseret på opdeling af koordinatplanet i dele, hvor hvert submodulært udtryk bevarer sit fortegn.
Eksempel 4.
Tegn grafen for ligningen x + |x| + y + |y| = 2.
Løsning.
I dette eksempel afhænger tegnet af hvert submodulært udtryk af koordinatkvadranten.
1) I det første koordinatkvartal x ≥ 0 og y ≥ 0. Efter udvidelse af modulet vil den givne ligning se således ud:
2x + 2y = 2, og efter forenkling x + y = 1.
2) I andet kvartal, hvor x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) I tredje kvartal x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) I fjerde kvartal, når x ≥ 0, og y< 0 получим, что x = 1.
Vi vil plotte denne ligning efter kvartaler.
Svar: Figur 4.
Eksempel 5.
Tegn et sæt punkter, hvis koordinater opfylder ligheden |x – 1| + |y – 1| = 1.
Løsning.
Nullerne i de submodulære udtryk x = 1 og y = 1 deler koordinatplanet i fire områder. Lad os opdele modulerne efter region. Lad os arrangere dette i form af en tabel.
| Område |
Submodulært udtrykstegn |
Den resulterende ligning efter udvidelse af modulet |
| jeg | x ≥ 1 og y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 og y< 1 | x – y = 1 |
Svar: Figur 5.
På koordinatplanet kan der angives tal og uligheder.
Ulighedsgraf med to variable er mængden af alle punkter i koordinatplanet, hvis koordinater er løsninger på denne ulighed.
Lad os overveje algoritme til at konstruere en model til løsning af uligheder med to variable:
- Skriv ligningen ned, der svarer til uligheden.
- Tegn en graf af ligningen fra trin 1.
- Vælg et vilkårligt punkt i et af halvplanerne. Kontroller, om koordinaterne for det valgte punkt opfylder denne ulighed.
- Tegn grafisk mængden af alle løsninger på uligheden.
Lad os først betragte uligheden ax + bx + c > 0. Ligningen ax + bx + c = 0 definerer en ret linje, der deler planet i to halvplaner. I hver af dem bevarer funktionen f(x) = ax + bx + c sit fortegn. For at bestemme dette tegn er det nok at tage ethvert punkt, der tilhører halvplanet og beregne værdien af funktionen på dette tidspunkt. Hvis funktionens fortegn falder sammen med fortegnet for uligheden, så vil dette halvplan være løsningen på uligheden.
Lad os se på eksempler på grafiske løsninger på de mest almindelige uligheder med to variable.
1) ax + bx + c ≥ 0. Figur 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Figur 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Figur 8.
4) y ≥ x 2. Figur 9.
5)
xy ≤ 1. Figur 10. 
Hvis du har spørgsmål eller ønsker at øve dig i at tegne på en plan model sæt af alle løsninger på uligheder i to variable ved hjælp af matematisk modellering, kan du udføre gratis 25-minutters lektion med en online tutor efter . For at arbejde videre med en lærer får du mulighed for at vælge den, der passer til dig
Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man tegner en figur på et koordinatplan?
For at få hjælp fra en vejleder -.
Den første lektion er gratis!
blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.
"Coordinate Line" - Dinosaur Rock. I lektionerne i hvilket emne stødte du på koordinatlinjen? Hvad minder koordinatlinjen dig om? Hvad kaldes koordinaterne for et punkt på et plan? Hvad er en koordinatlinje? Orenburg State Steppe Reserve blev oprettet i 1989. Koordinater på en lige linje og et plan.
"Rektangulært koordinatsystem" - To indbyrdes vinkelrette rette linjer, en algoritme til at finde koordinaterne for punkt M (x1, y1), specificeret i et rektangulært koordinatsystem. Navn; Betegnelse. Længdeenhed. Bestemmer utvetydigt placeringen af hvert punkt på planet. Emne: Rektangulært koordinatsystem på et plan. Inddeler flyet i fire dele.
"Koordinatsystemer" - Koordinatsystemer. Affint (skrå) koordinatsystem. Verdenslinjer af Rindler-observatører (blå buer af hyperbler) i kartesiske koordinater. Punkt i cylindriske koordinater. Polar koordinatsystem. Rektangulært (kartesisk) koordinatsystem. I elementær geometri er koordinater størrelser, der bestemmer positionen af et punkt på et plan og i rummet.
"Koordiner fly med koordinater" - Kort 2. Hvor mange hektar pløjede den tredje? 4. 24 personer lugede et jordbærstykke på 6 dage. 5. Løs ligningen: 0,9(4y-2)=0,5(3y-4)+4,4. 5.Løs ligningen: 0,2(5y-2)=0,3(2y-1)-0,9. 2. Find arealet af et rektangel, hvis bredde er 5,5 m, og hvis længde er 1,5 m større end dets bredde. 2. Tre traktorførere pløjede 405 hektar jord.
"Koordinater på planet" - Lad os markere punkterne A(3;5), B(-2;8), C(-4;-3), E(5;-5) på koordinatplanet. Mål: 8.150. Under timerne. Beregn: Koordinatsystem. Gennem de markerede punkter tegner vi lige linjer parallelt med akserne. Spil Sea Battle. X - abscisse Y - ordinat. Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz. Konstruer en trekant. Konstruktionsalgoritme: Lad os konstruere et koordinatplan.
"Kartesiske koordinater" - Descartes. Tidslinje. Descartes introducerede først koordinatsystemet. Bestemmelse af koordinaterne for punkter. Geografisk koordinatsystem. Hipparchus. Rejs til øen "Koordinater". Koordinatsystemet har fundet sin anvendelse på mange områder af menneskelig aktivitet. René Descartes (1596-1650). Bestemmelse af koordinaterne for øen.
Der er i alt 19 oplæg