Instruktioner. For en onlineløsning skal du angive et matrixudtryk. På anden fase vil det være nødvendigt at afklare dimensionerne af matricerne.
Gyldige operationer: multiplikation (*), addition (+), subtraktion (-), invers matrix A^(-1), eksponentiering (A^2, B^3), matrixtransposition (A^T).Gyldige operationer: multiplikation (*), addition (+), subtraktion (-), invers matrix A^(-1), eksponentiering (A^2, B^3), matrixtransposition (A^T).
For at udføre en liste over operationer skal du bruge et semikolon (;)-separator. For eksempel at udføre tre operationer:
a) 3A+4B
b) AB-VA
c) (A-B) -1
du skal skrive det sådan her: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
En matrix er en rektangulær numerisk tabel med m rækker og n kolonner, så matrixen kan ske skematisk repræsenteret som et rektangel.
Nul matrix (nul matrix) er en matrix, hvis elementer alle er lig med nul og er angivet med 0.
Identitetsmatrix kaldes en kvadratisk matrix af formen
To matricer A og B er lige store, hvis de har samme størrelse og deres tilsvarende elementer er ens.
Singular matrix er en matrix, hvis determinant er lig med nul (Δ = 0).
Lad os definere grundlæggende operationer på matricer.
Matrix tilføjelse
Definition . Summen af to matricer af samme størrelse er en matrix af samme dimensioner, hvis elementer findes i henhold til formlen
. Betegnes med C = A+B. Eksempel 6. .
Operationen af matrixaddition strækker sig til tilfældet med et hvilket som helst antal led. Åbenbart A+0=A.
Lad os endnu en gang understrege, at kun matricer af samme størrelse kan tilføjes; For matricer af forskellig størrelse er additionsoperationen ikke defineret.
Subtraktion af matricer
Definition . Forskellen B-A af matricer B og A af samme størrelse er en matrix C, således at A+ C = B.Matrix multiplikation
Definition . Produktet af en matrix med et tal α er en matrix opnået fra A ved at gange alle dens elementer med α, .Definition . Lad to matricer gives
og , og antallet af kolonner i A er lig med antallet af rækker i B. Produktet af A ved B er en matrix, hvis elementer findes i henhold til formlen 
.
Betegnes med C = A·B.
Skematisk kan operationen af matrixmultiplikation afbildes som følger:
og reglen for beregning af et element i et produkt:
Lad os endnu en gang understrege, at produktet A·B giver mening, hvis og kun hvis antallet af kolonner i den første faktor er lig med antallet af rækker i den anden faktor, og produktet producerer en matrix, hvis antal rækker er lig med antal rækker i den første faktor, og antallet af kolonner er lig med antallet af kolonner i den anden. Du kan kontrollere resultatet af multiplikation ved hjælp af en speciel online lommeregner.
Eksempel 7. Givet matricer 
Og 
. Find matricerne C = A·B og D = B·A.
Løsning.
Først og fremmest skal du bemærke, at produktet A·B eksisterer, fordi antallet af kolonner i A er lig med antallet af rækker i B.
Bemærk, at i det generelle tilfælde A·B≠B·A, dvs. produktet af matricer er antikommutativt.
Lad os finde B·A (multiplikation er mulig).
Eksempel 8. Givet en matrix 
. Find 3A 2 – 2A.
Løsning.
.
; 
.
.
Lad os bemærke følgende interessante kendsgerning.
Som du ved, er produktet af to ikke-nul tal ikke lig med nul. For matricer forekommer en lignende omstændighed muligvis ikke, det vil sige, at produktet af matricer, der ikke er nul, kan vise sig at være lig med nulmatricen.
1. Generelle instruktioner. Prøven skal gennemføres i en separat firkantet notesbog med marginer til noter. Værkets tekst er skrevet læseligt i hånden med blæk af samme farve. Når du udfører opgaver, skal du oplyse deres betingelser fuldt ud. Opgaver, der kun giver svar uden løsninger, vil blive betragtet som uløste. Prøver af en anden mulighed tælles ikke med. Arbejdet skal udføres pænt, rent, uden mærker.
Prøven skal gennemføres, gennemføres og indsendes af den studerende til gennemgang inden sessionens start.
Hver elev gennemfører din egen mulighed prøvearbejde. Tilvalgsnummeret bestemmes af det sidste ciffer i karakterbogen eller studiekortet. Hvis det sidste ciffer er nul, udføres den tiende mulighed.
2. Muligheder for opgaver.
Øvelse 1
Find produktet af matricerEN OgI:
, 
.
Løsning:
Da faktorerne har dimensioner 
Og 
, så er deres produkt defineret og har dimensioner 
. Derfor,
Opgavemuligheder 1
Find produktet af matricerne A og B:
, 
.
|
k 1 |
k 2 |
k 3 |
|
Opgave 2
Givet en matrixEN. Find matrixEN -1 og fastslå detAA -1 =E.
Løsning:
, Hvor
For at finde matrixen EN -1 det er først og fremmest nødvendigt at beregne determinanten af matrixen EN og sørg for at den eksisterer. For at gøre dette vil vi bruge Sarrus-metoden.
Lad os beregne de algebraiske komplementer til hvert element i matrixen ved hjælp af formlen:
EN -1 .
.
Lad os tjekke:
Opgavemuligheder 2
Givet matrix A. Find matrix A -1 og fastslå, at AA -1 =E.
|
Matrix EN |
Matrix EN |
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Opgave 3
Find en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger (SLAE) ved hjælp af en af de foreslåede metoder:
Cramers metode
invers matrix metode
Gaussisk metode
Tjek løsningen.
Løsning:
Lad os nedskrive matrixen af systemkoefficienter
Lad os løse systemet ved hjælp af Cramers metode.
Lad os først overveje kompatibilitetsbetingelsen, dvs.
Derfor er systemet kompatibelt, dvs. har en unik løsning.
Hvor 
- hentet fra determinanten
udskiftning jeg Den th kolonne er en kolonne af frie elementer.
Hvor
- skæringspunktet for systemets linjer.
Så 
Lad os tjekke ved at erstatte den fundne løsning i hver ligning i systemet.
Undersøgelse:
;
.
Så vi ser, at efter substitution i systemet, blev hver ligning til en numerisk identitet. Løsningen på systemet blev derfor fundet korrekt.
Lad os løse systemet ved hjælp af den inverse matrix-metode.
Lad os skrive systemet i matrixform:
,
,
.
; 
. Lad os finde den inverse matrix EN
-1
.
, Hvor
Determinant
fundet i løsning af systemet ved hjælp af Cramers metode:
For at finde matrixen EN -1 Det eneste, der er tilbage, er at beregne de algebraiske komplementer til hvert element i matrixen ved hjælp af formlen:
Lad os erstatte de fundne værdier i den oprindelige formel til beregning EN -1 .
.
Lad os tjekke:
Kontrollen bekræftede rigtigheden af den matrix, vi fandt.
Lad os finde matrix-kolonnen med ukendte:
.
Svaret falder sammen med løsningen fundet ved Cramers metode, så den vil vi ikke tjekke.
Lad os løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden.
Da elementære transformationer af et system ligner elementære transformationer af en matrix, skriver vi for at løse systemet den udvidede matrix af systemet ud:
.
Lad os reducere systemets udvidede matrix til systemets ækvivalente matrix i trinvis form.
Ifølge Kronecker-Capelli-sætningen har systemet en løsning, hvis rangen af den udvidede matrix er lig med rangeringen af den reducerede matrix.
Det fundne svar falder sammen med svarene fundet ved tidligere metoder. Der er ingen grund til at tjekke, fordi det blev gjort tidligere.
bestående af T linjer og P kolonner kaldes størrelsesmatrixen n× m. Tal EN 11 , A 12 , ..., A mn kaldes hende elementer. Tabellen, der angiver matricen, er skrevet i parentes og angivet A = (a ij ).
Hvis antallet af rækker i en matrix er lig med antallet af dens kolonner, kaldes matrixen firkant, og antallet af dens rækker er lig med antallet af kolonner - i orden kvadratisk matrix.
Sættet af alle elementer i en kvadratisk matrix, der ligger på det segment, der forbinder det øverste venstre hjørne med det nederste højre hjørne, kaldes hoveddiagonal, og på segmentet, der forbinder det øverste højre hjørne med det nederste venstre - side diagonal.
Den kvadratiske matrix kaldes diagonal, hvis alle dens elementer, der ikke ligger på hoveddiagonalen, er lig med nul. En kvadratisk matrix, hvor elementerne langs hoveddiagonalen er lig med én, og resten er nuller, kaldes enkelt og er udpeget E.
De to matricer kaldes lige hvis antallet af deres rækker og kolonner er ens, og hvis elementerne på de tilsvarende steder i disse matricer er ens.
En matrix, hvis elementer alle er nul kaldes nul og er betegnet med N.
Per definition, at gange en matrix EN for tallet r skal du bruge hvert element i matrixen EN gange med r.
Eksempel. Givet en matrix A =
, find matrix 3 EN.
3
A = 3
=
Summen af matricer EN Og I kaldes en matrix C, hvis elementer er lig med summen af de tilsvarende elementer i matricerne EN Og I. Kun matricer med det samme antal rækker og kolonner kan tilføjes.
Eksempel. Givet matricer A =
Og I
=
. Find matrix C = A + B.
C =
Egenskaber for matrixaddition:
A+B=B+A
(A+B)+ C = A+ (B + C)
EN + N = EN
Matrix produkt EN til matrixen I kun defineret, hvis antallet af matrixkolonner EN lig med antallet af rækker i matrixen I. Resultatet af multiplikation er matrixen AB, som har det samme antal rækker, som der er i matricen EN, og det samme antal kolonner, som der er i matrixen I.
Produkt af to matricer EN (m× s) Og I(s× n) kaldet en matrix MED (m× n), hvis elementer er bestemt af reglen
MED ij
=
Kommentar. For at gange to matricer skal du bruge elementerne jeg gange den th række i den første matrix med elementer j kolonne i den anden matrix og tilsæt de resulterende produkter. Lad os få elementet i den nye matrix med indekset ij.
Eksempel. Givet matricer a og b. ;. Find produktet af matricer ab.
AB= 
=
=
Eksempel. Givet matricer EN Og I.
EN=
Og B =
.
Løsning: A =(2X3), I= (3X2) => AB =(2X2)
AB=
=
=
Egenskaber for matrixmultiplikation:
AB VA;
(AB)C=A(BC);
AE= EA= EN
(AB)k = (AB)k= A(Bk)
(A+B)C = AB +BC
A(B+C) = AB + AC/
Transponeret matrix A T er en matrix, hvor rækker skrives i stedet for kolonner, og kolonner skrives i stedet for rækker.
Eksempel. Lad matrixen være givet A=
, Derefter
EN T
=
Determinanter.
Anden ordens determinant svarende til matrix EN
=
, ringede til nummeret 
=EN 11 EN 22
- EN 12 EN 21 .
Eksempel. Beregn ved hjælp af en andenordens determinant.
= 1 · (-3) – 2 · 4 = -11.
Tredje ordens determinant svarende til matrix
EN
=
, ringede til nummeret 
=EN 11
EN 22
EN 33
+a 12
EN 23
EN 31
+ a 13
EN 21
EN 32
- A 13
EN 22
EN 31
- A 12
EN 21
EN 33
-EN 11
EN 23
EN 32.
For at huske hvilke produkter på højre side af ligheden der skal tages med "+" tegnet, og hvilke med "-" tegnet, kaldes en nyttig regel trekantsreglen, vist i fig. 1.
«
+ » « - »
Billede 1.
Eksempel. Beregn determinant
Den anden måde at beregne tredjeordens determinanter på er at tilføje de to første kolonner, finde produkterne langs hoveddiagonalen og paralleller til den og langs den sekundære diagonal og paralleller til den.
=
EN 11
EN 22
EN 33
+a 12
EN 23
EN 31
+ a 13
EN 21
EN 32
- A 13
EN 22
EN 31
- A 12
EN 21
EN 33
-EN 11
EN 23
EN 32.
Determinanters egenskaber:
Hvis to rækker (kolonner) er byttet om i determinanten, vil dens fortegn ændre sig til det modsatte.
Hvis rækkerne og kolonnerne i determinanten byttes om, ændres dens fortegn og størrelse ikke.
Hvis to linjer i determinanten er proportionale (lige), så er det lig nul.
Hvis en række (kolonne) i determinanten ganges med et bestemt tal og lægges til en anden række (kolonne), ændres dens værdi ikke.
Hvis elementerne i en række (kolonne) i determinanten har en fælles faktor, kan den tages ud af determinantens fortegn.
Hvis determinanten indeholder en nul række eller kolonne, så er den lig nul.
Mindre M ij bestemmende element EN ij er en determinant hentet fra originalen ved at slette jeg- åh linjer og j kolonne, hvor dette element er placeret.
Algebraisk komplement A ij bestemmende element EN ij kaldet mol ganget med (-1) jeg + j .
Den tredje måde at beregne determinanter på er at bruge dekomponeringssætningen.
Dekomponeringssætning: Determinanten er lig med summen af produkterne af elementerne i enhver række (kolonne) og deres algebraiske komplementer.
Eksempel. Beregn tredjeordens determinant 
, udvide determinanten til elementerne i den første række.
= 5· (-1) 1+1 · 
+ 3 · (-1) 1+2 · 
+ 2·(-1) 1+3 · 
= 68.
Den samme determinant kan beregnes ved hjælp af egenskab 4), og derefter kan dekomponeringssætningen anvendes. I vores eksempel opretter vi nuller i den første kolonne. For at gøre dette tilføjer vi elementerne i den første række til elementerne i den anden række, ganget med 5, og til elementerne i den tredje række tilføjer vi elementerne i den anden række ganget med 7. Og vi dekomponerer den resulterende matrix ind i elementerne i den første kolonne.
=
=
0
- (-1)
+0
=
=13 · 34 – 17 · 22 = 68.